Introducerea coordonatelor carteziene în spațiu. Distanța dintre puncte. Coordonatele mijlocului segmentului.

Obiectivele lecției:

Educational: Luați în considerare conceptul de sistem de coordonate și coordonatele unui punct din spațiu; deduceți formula distanței în coordonate; deduceți formula pentru coordonatele punctului de mijloc al unui segment.

În curs de dezvoltare: Contribuie la dezvoltarea imaginației spațiale a elevilor; contribuie la dezvoltarea rezolvării problemelor și la dezvoltarea gândirii logice a elevilor.

Educational: Cresterea activitate cognitivă, simțul responsabilității, cultura comunicării, cultura dialogului.

Echipament: Accesorii desen, prezentare, DER

Tip de lecție: Lecția de învățare a materialelor noi

Structura lecției:

Organizarea timpului.

Actualizarea cunoștințelor de bază.

Învățarea de materiale noi.

Actualizarea noilor cunoștințe

Rezumatul lecției.

În timpul orelor

Un mesaj din istorie Sistemul de coordonate carteziene»(Student)

Rezolvarea geometrică, fizică, problema chimica Puteți utiliza diferite sisteme de coordonate: dreptunghiulare, polare, cilindrice, sferice.

Cursul de educație generală studiază sistemul de coordonate dreptunghiulare în plan și în spațiu. Altfel, se numește sistemul de coordonate carteziene după filozoful francez Rene Descartes (1596 - 1650), care a introdus pentru prima dată coordonatele în geometrie.

(Povestea elevului despre Rene Descartes.)

Rene Descartes s-a născut în 1596 în orașul Lae din sudul Franței, într-o familie nobiliară. Tatăl meu a vrut să facă din Rene un ofițer. Pentru aceasta, în 1613 l-a trimis pe Rene la Paris. Mulți ani Descartes a trebuit să rămână în armată, să participe la campanii militare în Olanda, Germania, Ungaria, Cehia, Italia, la asediul cetății hughenote La Rochale. Dar Rene era interesat de filozofie, fizică și matematică. La scurt timp după sosirea sa la Paris, l-a întâlnit pe studentul lui Vieta, un matematician proeminent al acelei vremuri - Mersen, și apoi cu alți matematicieni francezi. Fiind în armată, Descartes tot al lui timp liber dedicat matematicii. A studiat algebra germană, matematica franceză și greacă.

După capturarea La Rochalie în 1628, Descartes părăsește armata. El duce o viață solitar pentru a realiza planurile extinse planificate pentru munca științifică.

Descartes a fost cel mai mare filozof și matematician al timpului său. Cea mai faimoasă lucrare a lui Descartes este Geometria. Descartes a introdus sistemul de coordonate pe care toată lumea îl folosește astăzi. El a stabilit o corespondență între numere și segmente de dreaptă și astfel a introdus metoda algebrică în geometrie. Aceste descoperiri ale lui Descartes au dat un impuls imens dezvoltării atât a geometriei, cât și a altor ramuri ale matematicii și opticii. A devenit posibilă reprezentarea grafică a dependenței cantităților de plan de coordonate, numere - segmente și efectuează operații aritmetice pe segmente și alte mărimi geometrice, precum și diverse funcții. Era o metodă complet nouă, care se distingea prin frumusețe, grație și simplitate.

Repetiţie. Sistem de coordonate dreptunghiular pe plan.

Întrebări:

Ce este un sistem de coordonate într-un plan?

Cum se determină coordonatele unui punct dintr-un plan?

Care sunt coordonatele originii?

Care este formula pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment și distanța dintre punctele unui plan?

Învățarea de materiale noi:

Un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu este un triplu de linii de coordonate reciproc perpendiculare cu o origine comună. Originea comună este indicată de literăO.

Oh - abscisă,

Oh - axa y,

Oz– aplicați axa

Trei planuri care trec prin axele de coordonate Ox și Oy, Oy și Oz, Ozși Ox se numesc planuri de coordonate: Oxy, Oyz, OzX.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, fiecare punct M al spațiului este asociat cu un triplu de numere - coordonatele sale.

M (x, y,z), unde x este abscisa, y este ordonata,z- aplicare.

Sistemul de coordonate în spațiu

Coordonatele punctului

Distanța dintre puncte

1 (X 1 ;y 1 ;z 1 ) și A 2 (X 2 ;y 2 ;z 2 )

Apoi distanța dintre punctele A 1 si A 2 calculat astfel:

Coordonatele mijlocului segmentului în spațiu

Există două puncte arbitrare A 1 (X 1 ;y 1 ;z 1 ) și A 2 (X 2 ;y 2 ;z 2 ). Apoi punctul de mijloc al segmentului A 1 A 2 va exista punctul C cu coordonatele x, y, z, unde

Dobândirea abilităților de decizie:

1) Găsiți coordonatele proiecții ortogonale puncteA (1, 3, 4) și

B (5, -6, 2) la:

un avionOxy ; b) avionOyz ; c) axaBou ; d) axaOz .

Răspuns: a) (1, 3, 0), (5, -6, 0); b) (0, 3, 4), (0, -6, 2); c) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

d) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) Cât de departe este ideeaA (1, -2, 3) din planul de coordonate:

A)Oxy ; b)Oxz ; în)Oyz ?

Răspuns: a) 3; b) 2; în 1

3) Aflați coordonatele mijlocului segmentului:

A)AB , dacăA (1, 2, 3) șiB (-1, 0, 1); b)CD , dacăC (3, 3, 0) șiD (3, -1, 2).

Răspuns: a) (1, 1, 2); b) (3, 1, 1).

5. Tema pentru acasă: Manualul lui A.V.Pogorelov „Geometria 10-11” p. 23 - 25, p. 53 răspunde la întrebările nr. 1 - 3; №7, №10(1)

6. Rezultatul lecției.

Masa

La suprafață

In spatiu

Definiție. Un sistem de coordonate este un set de două axe de coordonate care se intersectează, punctul în care aceste axe se intersectează - originea coordonatelor - și segmente de unitate pe fiecare dintre axe.

Definiție. Un sistem de coordonate este un set de trei axe de coordonate, punctul în care aceste axe se intersectează - originea coordonatelor - și segmentele de unitate pe fiecare dintre axe.

2 axe,

OU - axa y,

OX - axa absciselor

3 axe,

OX - axa absciselor,

ОУ – axa y,

OZ - aplica axa.

OX este perpendicular pe OU

OX este perpendicular pe OU,

OX este perpendicular pe OZ,

OU este perpendiculară pe OZ

(O; Oh)

(OOO)

Direcție, o singură linie

Distanța dintre puncte.

Distanța dintre puncte

Coordonatele mijlocului segmentului.

Coordonatele punctului de mijloc

Întrebări:

Cum să intri sistemul cartezian coordonate? În ce constă?

Cum se determină coordonatele unui punct din spațiu?

Care este coordonata punctului de intersecție a axelor de coordonate?

Care este distanța de la originea coordonatelor până la punctul dat?

Care este formula pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment și distanța dintre punctele din spațiu?

Evaluarea elevilor

7. Reflecție

La lecție

Am aflat …

Am invatat…

Imi place…

mi-a fost greu...

Starea mea…

Literatură.

A.V. Pogorelov. Tutorial 10-11. M. „Iluminismul”, 2010

ESTE. Petrakov. Cercuri matematice în clasele 8-10. M, „Iluminismul”, 1987

Articolul de mai jos va acoperi problemele de a găsi coordonatele mijlocului segmentului în prezența coordonatelor sale ca date inițiale puncte extreme. Dar, înainte de a trece la studiul problemei, introducem o serie de definiții.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1

Segment de linie- o linie dreaptă care leagă două puncte arbitrare, numite capetele segmentului. De exemplu, să fie acestea punctele A și B și, respectiv, segmentul A B .

Dacă segmentul A B este continuat în ambele direcții din punctele A și B, vom obține o dreaptă A B. Atunci segmentul A B este o parte a dreptei obținute mărginită de punctele A și B . Segmentul A B unește punctele A și B , care sunt capetele sale, precum și setul de puncte aflat între ele. Dacă, de exemplu, luăm orice punct K arbitrar situat între punctele A și B , putem spune că punctul K se află pe segmentul A B .

Definiția 2

Lungimea tăiată este distanța dintre capetele segmentului la o scară dată (segment de unitate de lungime). Notăm lungimea segmentului A B astfel: A B .

Definiția 3

punct de mijloc Un punct de pe un segment de dreaptă care este echidistant de capetele acestuia. Dacă mijlocul segmentului A B este notat cu punctul C, atunci egalitatea va fi adevărată: A C \u003d C B

Date inițiale: linia de coordonate O x și puncte nepotrivite de pe ea: A și B . Aceste puncte corespund numerelor reale x A și x B . Punctul C este punctul de mijloc al segmentului A B: trebuie să determinați coordonatele x C .

Deoarece punctul C este mijlocul segmentului A B, egalitatea va fi adevărată: | A C | = | C B | . Distanța dintre puncte este determinată de modulul diferenței dintre coordonatele lor, adică.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Atunci sunt posibile două egalități: x C - x A = x B - x C și x C - x A = - (x B - x C)

Din prima egalitate, derivăm o formulă pentru coordonatele punctului C: x C \u003d x A + x B 2 (jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului).

Din a doua egalitate obținem: x A = x B , ceea ce este imposibil, deoarece în datele originale - puncte nepotrivite. În acest fel, formula de determinare a coordonatelor punctului mijlociu al segmentului A B cu capete A (x A) si B(xB):

Formula rezultată va sta la baza determinării coordonatelor punctului de mijloc al segmentului pe un plan sau în spațiu.

Date inițiale: sistem de coordonate dreptunghiulare pe planul O x y , două puncte arbitrare necoincidente cu coordonatele date A x A , y A și B x B , y B . Punctul C este mijlocul segmentului A B . Este necesar să se determine coordonatele x C și y C pentru punctul C .

Să luăm spre analiză cazul când punctele A și B nu coincid și nu se află pe aceeași dreaptă de coordonate sau pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axe. A x , A y ; B x , B y și C x , C y - proiecții ale punctelor A , B și C pe axele de coordonate (drepte O x și O y).

Prin construcție, dreptele A A x , B B x , C C x sunt paralele; liniile sunt de asemenea paralele între ele. Împreună cu aceasta, conform teoremei Thales, din egalitatea A C \u003d C B, urmează egalitățile: A x C x \u003d C x B x și A y C y \u003d C y B y, iar ei, la rândul lor, indicați că punctul C x - mijlocul segmentului A x B x, iar C y este mijlocul segmentului A y B y. Și apoi, pe baza formulei obținute mai devreme, obținem:

x C = x A + x B 2 și y C = y A + y B 2

Aceleași formule pot fi folosite în cazul în care punctele A și B se află pe aceeași linie de coordonate sau pe o linie perpendiculară pe una dintre axe. Nu vom efectua o analiză detaliată a acestui caz, îl vom lua în considerare doar grafic:

Rezumând toate cele de mai sus, coordonatele mijlocului segmentului A B pe planul cu coordonatele capetelor A (x A , y A) și B(x B, y B) definit ca:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Date inițiale: sistemul de coordonate О x y z și două puncte arbitrare cu coordonatele date A (x A , y A , z A) și B (x B , y B , z B) . Este necesar să se determine coordonatele punctului C , care este mijlocul segmentului A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z și C x , C y , C z sunt proiecții ale tuturor puncte date pe axa sistemului de coordonate.

Conform teoremei lui Thales, egalitățile sunt adevărate: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Prin urmare, punctele C x , C y , C z sunt punctele medii ale segmentelor A x B x , A y B y , respectiv A z B z. Apoi, pentru a determina coordonatele mijlocului segmentului în spațiu, următoarele formule sunt adevărate:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Formulele rezultate sunt aplicabile și în cazurile în care punctele A și B se află pe una dintre liniile de coordonate; pe o linie dreaptă perpendiculară pe una dintre axe; într-un plan de coordonate sau un plan perpendicular pe unul dintre planurile de coordonate.

Determinarea coordonatelor mijlocului unui segment prin coordonatele vectorilor de rază ai capetelor acestuia

Formula pentru aflarea coordonatelor mijlocului segmentului poate fi derivată și în funcție de interpretarea algebrică a vectorilor.

Date inițiale: sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare O x y , puncte cu coordonatele date A (x A , y A) și B (x B , x B) . Punctul C este mijlocul segmentului A B .

Conform definiției geometrice a acțiunilor asupra vectorilor, următoarea egalitate va fi adevărată: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Punctul C în acest caz este punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului construit pe baza vectorilor O A → și O B → , adică. punctul din mijlocul diagonalelor.Coordonatele vectorului raza punctului sunt egale cu coordonatele punctului, atunci egalitățile sunt adevărate: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B). Să efectuăm câteva operații pe vectori în coordonate și să obținem:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Prin urmare, punctul C are coordonatele:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Prin analogie, o formulă este definită pentru a găsi coordonatele punctului mijlociu al unui segment în spațiu:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Exemple de rezolvare a problemelor pentru găsirea coordonatelor mijlocului unui segment

Printre sarcinile care presupun folosirea formulelor obtinute mai sus se numara atat cele in care intrebarea este direct de a calcula coordonatele mijlocului segmentului, cat si cele care presupun aducerea conditiilor date la aceasta intrebare: termenul „mediana” este adesea folosit, scopul este de a găsi coordonatele unuia de la capetele segmentului, precum și probleme de simetrie, a căror soluție, în general, nu ar trebui să provoace dificultăți după studierea acestui subiect. Să luăm în considerare exemplele tipice.

Exemplul 1

Date inițiale: pe plan - puncte cu coordonatele date A (- 7, 3) și B (2, 4) . Este necesar să găsiți coordonatele punctului mijlociu al segmentului A B.

Soluţie

Să notăm mijlocul segmentului A B cu punctul C . Coordonatele sale vor fi determinate ca jumătate din suma coordonatelor capetelor segmentului, i.e. punctele A și B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Răspuns: coordonatele mijlocului segmentului A B - 5 2 , 7 2 .

Exemplul 2

Date inițiale: se cunosc coordonatele triunghiului A B C: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Este necesar să găsiți lungimea mediei A M.

Soluţie

1. După condiția problemei, A M este mediana, ceea ce înseamnă că M este punctul de mijloc al segmentului B C . În primul rând, găsim coordonatele mijlocului segmentului B C , adică. M puncte:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Deoarece acum cunoaștem coordonatele ambelor capete ale medianei (punctele A și M), putem folosi formula pentru a determina distanța dintre puncte și pentru a calcula lungimea medianei A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Răspuns: 58

Exemplul 3

Date inițiale: un paralelipiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 este dat în sistemul de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional. Sunt date coordonatele punctului C 1 (1 , 1 , 0) și se definește și punctul M, care este mijlocul diagonalei B D 1 și are coordonatele M (4 , 2 , - 4) . Este necesar să se calculeze coordonatele punctului A.

Soluţie

Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct, care este punctul de mijloc al tuturor diagonalelor. Pe baza acestei afirmații, putem reține că punctul M cunoscut de condițiile problemei este mijlocul segmentului А С 1 . Pe baza formulei de găsire a coordonatelor mijlocului segmentului în spațiu, găsim coordonatele punctului A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Răspuns: coordonatele punctului A (7, 3, - 8) .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Foarte des în problema C2 este necesar să se lucreze cu puncte care împart segmentul în jumătate. Coordonatele unor astfel de puncte sunt ușor de calculat dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului.

Deci, lăsați segmentul să fie dat de capetele sale - punctele A \u003d (x a; y a; z a) și B \u003d (x b; y b; z b). Apoi coordonatele mijlocului segmentului - îl notăm cu punctul H - pot fi găsite prin formula:

Cu alte cuvinte, coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor acestuia.

· O sarcină . Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat în sistemul de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și respectiv AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Punctul K este punctul de mijloc al muchiei A 1 B unul . Găsiți coordonatele acestui punct.

Soluţie. Deoarece punctul K este mijlocul segmentului A 1 B 1 , coordonatele acestuia sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Să notăm coordonatele capetelor: A 1 = (0; 0; 1) și B 1 = (1; 0; 1). Acum să găsim coordonatele punctului K:

Răspuns: K = (0,5; 0; 1)

· O sarcină . Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat în sistemul de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și respectiv AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Aflați coordonatele a punctului L unde se intersectează diagonalele pătratului A 1 B 1 C 1 D 1 .

Soluţie. Din cursul planimetriei se știe că punctul de intersecție al diagonalelor unui pătrat este echidistant de toate vârfurile acestuia. În special, A 1 L = C 1 L, adică. punctul L este mijlocul segmentului A 1 C 1 . Dar A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), deci avem:

Răspuns: L = (0,5; 0,5; 1)

Cele mai simple probleme de geometrie analitică.
Acțiuni cu vectori în coordonate

Sarcinile care vor fi luate în considerare, este foarte de dorit să învățați cum să le rezolvați complet automat și formulele memora, nici nu-l amintesc intenționat, ei își vor aminti ei înșiși =) Acest lucru este foarte important, pentru că în cel mai simplu exemple elementare alte probleme de geometrie analitică se bazează și ar fi enervant să petreci timp suplimentar mâncând pioni. Nu trebuie să-ți închizi nasturii de sus pe cămașă, multe lucruri îți sunt familiare de la școală.

Prezentarea materialului va urma un curs paralel - atât pentru avion, cât și pentru spațiu. Din motivul că toate formulele... veți vedea singur.

Fie A (X 1; y 1) și B (x 2; y 2) două puncte arbitrare și C (x; y) punctul de mijloc al segmentului AB. Aflați coordonatele x, y ale punctului C.

Luați în considerare mai întâi cazul în care segmentul AB nu este paralel cu axa y, adică X 1 X 2. Să trasăm drepte prin punctele A, B, C, paralele cu axa y (Fig. 173). Ei vor traversa axa x în punctele A 1 (X 1; 0), B 1 (X 2; 0), C 1 (x; 0). Conform teoremei Thales, punctul C 1 va fi punctul de mijloc al segmentului A 1 B 1.

Deoarece punctul C 1 este mijlocul segmentului AiBi, atunci A 1 C 1 \u003d B 1 C 1, ceea ce înseamnă că Ix - X 1 I \u003d Ix - X 2 I. Rezultă că fie x -x 1 \ u003d x - x 2 sau (x - x 1) \u003d - (x-x 2).
Prima egalitate este imposibilă deoarece x 1 x 2 . Prin urmare, al doilea este adevărat. Și de aici vine formula

Dacă x 1 \u003d x 2, adică segmentul AB este paralel cu axa y, atunci toate cele trei puncte A 1, B 1, C 1 au aceeași abscisă. Prin urmare, formula rămâne adevărată și în acest caz.
În mod similar se găsește ordonata punctului C. Liniile paralele cu axa x sunt trasate prin punctele A, B, C. Se pare că formula

Problema (15). Sunt date trei vârfuri ale paralelogramului ABCD: A (1; 0), B (2; 3), C (3; 2). Aflați coordonatele celui de-al patrulea vârf D și punctele de intersecție ale diagonalelor.

Soluţie. Punctul de intersecție al diagonalelor este punctul de mijloc al fiecăreia dintre ele. Prin urmare, este punctul de mijloc al segmentului AC, ceea ce înseamnă că are coordonate

Acum, cunoscând coordonatele punctului de intersecție al diagonalelor, găsim coordonatele x, y ale celui de-al patrulea vârf D. Folosind faptul că punctul de intersecție al diagonalelor este punctul de mijloc al segmentului BD, avem:

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ

• Coordonatele mijlocului segmentului.

Obiectivele lecției

• Extindeți-vă orizonturile de concepte.
• Familiarizați-vă cu noi definiții și amintiți-vă unele deja studiate.
• Învață să aplici proprietățile formelor în rezolvarea problemelor.
• Dezvoltarea - pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gandire logica, discurs matematic.
• Educativ - printr-o lecție, de a cultiva o atitudine atentă unul față de celălalt, de a insufla capacitatea de a asculta tovarăși, asistență reciprocă, independență.

Obiectivele lecției

• Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.

Planul lecției

1. Discurs de deschidere.
2. Repetarea materialului învățat anterior.
3. Coordonatele mijlocului segmentului.
4. Sarcini logice.

discurs de deschidere

Înainte de a trece la materialul în sine despre subiect, aș vrea să vorbesc puțin despre segment, nu doar ca definiție matematică. Mulți oameni de știință au încercat priviți segmentul într-un mod diferit a văzut ceva neobișnuit în el. Unii talentați artiștii au forțat formele geometrice să transmită starea de spirit și emoțiile.

Există multe teorii despre modul în care culoarea ne afectează starea de spirit și de ce.

Culoarea poate fi simțită, este strâns legată de emoțiile noastre. Culoarea naturii, arhitectura, plantele, hainele care ne inconjoara ne afecteaza treptat starea de spirit.

Potrivit experților, schema de culori poate afecta o persoană.

• roșu culoarea poate înveseli, da putere.
• Roz Culoarea simbolizează pacea și liniștea.
• Portocale este o culoare caldă, agitată, care dă energie și o stare de spirit înălțătoare.
• În China imperială galben Era considerată o culoare atât de sacră încât doar împăratul putea purta haine galbene. Egiptenii și mayașii considerau galbenul culoarea Soarelui și venerau puterea acestuia de susținere a vieții. Flori galbene te poți înveseli și te rog când te simți rău.
• Verde- culoare vindecătoare. Provoacă un sentiment de echilibru și armonie.
• Albastru sporește creativitatea.
• violet- culoarea chibzuirii, spiritualității și păcii. Este asociat cu intuiția și preocuparea pentru ceilalți.
• alb considerată în general culoarea purității și a inocenței. De asemenea, este asociat cu inspirația, iluminarea, spiritualitatea și iubirea.

Dar câți oameni au atâtea păreri. Fiecare are adevărul lui.

Există, de asemenea, o teorie interesantă despre cum forma unei linii sau a unui segment de linie cu caracterul său.

Forma, ca și culoarea, este o proprietate a unui obiect. Forma- acestea sunt contururile exterioare ale unui obiect vizibil, reflectând aspectele sale spațiale (forma, tradus din latină, - vedere externă). Tot ceea ce ne înconjoară are o anumită formă. A înțelege și a descrie structura constructivă și conținutul semantic este sarcina artistului. Și noi, ca privitori, trebuie să fim capabili să citim imaginea, să descifrăm caracterul și sensul diferite forme. Pe o foaie de hârtie și pe un ecran de computer, se formează o formă când se închide o linie. Prin urmare, natura formei depinde de natura liniei prin care este formată.

Care dintre aceste rânduri poate exprima calm, furie, indiferență, entuziasm, bucurie?

Nu poate exista un singur răspuns în acest caz. De exemplu, o linie înțepătoare poate exprima furie, veselie sau bucurie furtunoasă care se limitează la imprudență.

Ce dispoziție sau emoție corespunde fiecăreia dintre aceste rânduri?

Cum depinde forma de natura liniei prin care este formată?

Repetarea materialului studiat anterior

In spatiu

Există două puncte arbitrare A1(x 1 ;y 1 ;z 1) și A2(x 2 ;y 2 ;z 2). Atunci punctul de mijloc al segmentului A1A2 va fi punctul DIN cu coordonatele x, y, z, unde

Împărțirea unui segment într-un raport dat

Dacă x 1 și y 1 sunt coordonatele punctului A, iar x 2 și y 2 sunt coordonatele punctului B, atunci coordonatele x și y ale punctului C, împărțind segmentul AB în relație, sunt determinate de formulele

Aria unui triunghi în funcție de coordonatele cunoscute ale vârfurilor sale A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) se calculează prin formula.

Numărul obținut folosind această formulă trebuie luat în valoare absolută.

Exemplul #1

Aflați punctul de mijloc al segmentului de dreaptă AB.

Răspuns: Coordonatele punctului mijlociu ale segmentului sunt (1.5;2)

Exemplul #2.

Aflați punctul de mijloc al segmentului de dreaptă AB.

Răspuns: Coordonatele punctului mijlociu ale segmentului sunt (21;0)

Exemplul #3.

Aflați coordonatele punctului C dacă AC=5,5 și CB=19,5.

A(1;7), B(43;-4)

Răspuns: Punctul C(10.24;4.58)

Sarcini

Sarcina 1

Găsiți punctul de mijloc al segmentului DB.

Sarcina numărul 2.

Găsiți punctul de mijloc al segmentului CD.

Cum se fac statuile.

Despre mulți sculptori celebri se spune că, atunci când au fost întrebați cum reușesc să facă astfel de statui minunate, răspunsul a fost: „Iau un bloc de marmură și tai tot ce este de prisos din el”. În diferite cărți puteți citi despre Michelangelo, despre Thorvaldsen, despre Rodin.

În același mod se poate obține orice plan mărginit figură geometrică: trebuie să luați un pătrat în care se află și apoi să tăiați tot ce este de prisos. Cu toate acestea, este necesar să nu tăiați imediat, ci treptat, la fiecare pas, aruncând o bucată care are forma de cerc. În acest caz, cercul în sine este aruncat afară, iar chenarul său - cercul - rămâne în figură.

La prima vedere, se pare că numai cifre de un anumit tip pot fi obținute în acest fel. Dar ideea este că ei aruncă nu unul sau două cercuri, ci un infinit, mai precis, un set numărabil de cercuri. În acest fel, puteți obține orice cifră. Pentru a verifica acest lucru, este suficient să ținem cont de faptul că mulțimea de cercuri pentru care atât raza, cât și ambele coordonate ale centrului sunt raționale, este numărabilă.

Și acum, pentru a obține orice figură, este suficient să luăm pătratul care o conține (un bloc de marmură) și să aruncăm toate cercurile de tipul de mai sus care nu conțin un singur punct al figurii de care avem nevoie. Dacă, totuși, cercurile sunt aruncate nu dintr-un pătrat, ci din întregul plan, atunci prin metoda descrisă se pot obține și cifre nelimitate.

Întrebări

1. Ce este o tăietură?
   
2. Care este segmentul?
3. Cum poți găsi punctul de mijloc al unui segment?

Lista surselor utilizate

1. Kuznetsov A. V., profesor de matematică (clasele 5-9), Kiev
2. "Singur Examen de stat 2006. Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea studenților / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. „Rezolvarea principalelor probleme competitive de matematică ale colecției editate de M. I. Scanavi”
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ”

Lucrând la lecție

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Tatyana Prosnyakova