UDK 681.51.011

ANALIZA MATRICE ÎN SISTEMUL DE MANAGEMENT AL ÎNTREPRINDERILOR

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belaşevski2

SRL „Samara - AviaGaz”

Universitatea Aerospațială de Stat din Samara

Lucrarea analizează diferite moduri de utilizare a matricelor în managementul întreprinderii. Relația (conexiunea) dintre elementele a două sau mai multe mulțimi poate fi reprezentată sub formă de matrice. Compoziția relațiilor vă permite să simplificați analiza relațiilor dintre elementele mulțimilor. Este dat un exemplu de utilizare a matricelor de prioritate în sistemul de management al întreprinderii.

Matricele, ca instrument de analiză, au fost folosite de multă vreme în sistemul de management al întreprinderii. Este suficient să denumim astfel de instrumente de calitate, cum ar fi diagrame matrice, matrice prioritare, analiză matrice în Quality Function Deployment.

1. Utilizarea matricelor în management se datorează faptului că aproape orice întreprindere se caracterizează printr-un set mare de obiecte (diverse echipamente, divizii, furnizori, consumatori), și este dificil de descris relațiile dintre ei cu dependențe precum y \u003d f (x) . Conexiunile reale sunt multidimensionale și implicite. Matricele, pe de altă parte, fac posibilă identificarea unor astfel de relații într-o formă destul de vizuală și analizarea acestora. În sarcina de a forma structura de producție a unei întreprinderi, se poate folosi o matrice de relații între grupuri de părți B = ], unde ^ este numărul de unități.

echipamente generale folosite la prelucrarea pieselor I si] -a, in cercetare de piata matricea nivelului tehnic este utilizată u = \u^], unde

si y - nivelul tehnic al primei intreprinderi pe piata ] -a si matricea preturilor.

Din punctul de vedere al matematicii, atribuirea unei matrice poate fi interpretată ca o specificare a unei relații (conexiuni) între obiectele a două mulțimi. Elementul de matrice în acest caz poate însemna atât legătura dintre obiecte (cum ar fi „da” sau „nu”), cât și puterea conexiunii, exprimată ca număr. În cazul a trei sau mai multe mulțimi, se pot construi relații multidimensionale și, în consecință, matrici multidimensionale. Cu toate acestea, această abordare își pierde claritatea și ușurința de interpretare. Complexitatea analizei relaţiilor multidimensionale

ionii pot fi depășiți cu ajutorul compoziției relației.

2. Să presupunem că firma are furnizori P1 P2, ... P5, care furnizează materiale (piese, ansambluri, componente) Mі, M2, M3. Din aceste materiale, întreprinderea fabrică produse Ib I2, ... I, pentru clienții (consumatori) Zi, Z2, ... Z5. Pentru aceste seturi, puteți compune matrici de conexiuni. Să se stabilească, de exemplu, relații între furnizori și materialele pe care le furnizează (Tabelul 1), produse și materialele necesare(tabelul 2), clienții și produsele (tabelul 3). Semnul „x” denotă legătura dintre obiecte din două mulțimi.

Tabelul 1. Matricea relațiilor cu furnizorii

și materialele furnizate (PM)

PM Pі P2 Pz P4 P5

Tabelul 2. Matricea relațiilor dintre produse și materiale (IM)

IM Mі M2 Mz

Tabelul 3. Matricea relațiilor dintre clienți și produse (PI)

ZI II I2 Din Din

Folosind compoziția rapoartelor date de matricele PM, MI și ZI, nu este dificil să se compună o matrice a raportului PP. Matricea PZ (Tabelul 4) prezintă legăturile stabilite de întreprindere între furnizorii P și clienții Z^ Deci, de exemplu, interacțiunea clientului Z3 cu întreprinderea are loc pe produsul I3, care necesită materiale M! și M3 furnizate de Pn P3 și P5.

Tabelul 4. Matricea relațiilor dintre furnizor-

Programarea detaliată a proceselor tehnologice (linii de produse) cu ajutorul matricelor de relații simplifică determinarea valorii adăugate pentru client, a profitului întreprinderii și a pierderilor acesteia.

3. Construirea unui sistem de management al calității întreprinderii este asociată cu alocarea unei rețele de procese. Distribuția proceselor între unitățile de afaceri, implementarea cerințelor standardului, de exemplu, ISO 9001-2000, pot fi efectuate folosind matrici. Să presupunem că sunt evidențiate procesele: contractare, managementul documentației SMC, audit intern, achiziții, producție, monitorizare satisfacție a clienților, iar compania are divizii: departament marketing, departament achiziții, departament proiectant șef, departament tehnolog șef, producție, departament suport garanție. Pe baza rezultatelor discuțiilor cu reprezentanții departamentelor, poate fi compilată o matrice PP (Tabelul 5). Pe de altă parte, procesele dedicate ar trebui să acopere cerințele unui standard, cum ar fi ISO 9001-2000. Conectarea proceselor la ISO 9001-2000 are ca rezultat o matrice TP (Tabelul 6).

Folosind compoziția relațiilor, obținem matricea ISO (Tabelul 7).

noi și clienții (PP)

ПЗ Зі 32 Зз 34 35

Tabelul 5. Matricea legăturilor dintre procese și departamente (SP)

Matrice PP Departamentul de marketing Departamentul de achiziții Departamentul proiectant șef Departamentul tehnolog șef Producție Departamentul suport garanție

Contractarea X X

Auditul intern X

Achiziții X

Fabricarea X

Tabelul 6. Relația proceselor cu ISO 9001-2000

Matricea TP Sisteme de management al calității Responsabilitatea managementului Managementul resurselor Procese ciclului de viață al produsului Măsurare, analiză și îmbunătățire

Contractarea X

Managementul documentației QMS X X

Audit intern X X

Achiziții X

Productie X X X

Monitorizarea satisfacției clienților X

ISO Matrix Departamentul de marketing Departamentul de achiziții Cap. departamentul de designeri cap. tehnolog Departamentul de suport pentru garanție de producție

Sisteme de management al calității X X

Responsabilitatea managementului X X X

Managementul resurselor X

Procesele ciclului de viață al produsului X X X

Măsurare, analiză și îmbunătățire X X

Evident, cu o asemenea distribuție a cerințelor ISO, se pot aștepta neconcordanțe în secțiunea 5 „Responsabilitatea managementului”, întrucât politica de calitate este responsabilitatea conducerii de vârf.

4. Extinderea fiecărui element al matricei de relații, de exemplu, „Management Responsibility - Marketing Department” poate fi folosind matricea de priorități care stă la baza metodei de analiză a ierarhiei. Cerințele seriei ISO 9000-2000 stabilesc sfera și profunzimea documentației de reglementare și tehnice necesare funcționării SMC al întreprinderii. Unul dintre documentele obligatorii ale SMC al întreprinderii este politica și obiectivele în domeniul calității. Obiectivele întreprinderii sunt formulate în diverse domenii: finanțe, piață, concurență

(benchmarking), satisfacția clienților, îmbunătățirea performanței produsului și proceselor. Obiectivele întregii organizații ar trebui proiectate (desfășurate, descompuse) în diviziile sale, astfel încât personalul să fie conștient de implicarea și responsabilitatea lor pentru atingerea unui anumit scop al întregii organizații.

Planificarea, alegerea obiectivelor, optimizarea comportamentului într-un mediu competitiv necesită întotdeauna o decizie la o anumită etapă. A devenit practic evident că procesele sociale, în special procesele de management, sunt slab formalizate în cadrul clasic.

subiecte. În acest caz, metoda de analiză a ierarhiilor poate fi destul de eficientă.

Metoda de analiză a ierarhiilor se bazează pe așa-numita matrice de priorități. Să presupunem că sarcina este de a compara factorii care influențează obiectul selectat. De regulă, numărul factorilor de influență este destul de mare, dependențele exacte sunt necunoscute și este practic imposibil de realizat formalizarea matematică a problemei. De asemenea, expertul întâmpină dificultăți în aprecierea influenței factorilor asupra obiectului. În mod surprinzător, problema este rezolvată mai ușor dacă se efectuează o comparație în perechi a influenței factorilor asupra obiectului. (Concluzia este că este dificil să răspunzi la întrebarea cât cântărește A, este mult mai ușor să decizi care este mai greu: A sau B)

Pentru planificarea analitică a dezvoltării unei întreprinderi, este necesar să se descrie starea inițială (poziția „ca atare”), starea țintă (obiectivele) și mijloacele de a lega aceste stări. Mai jos este un exemplu de aplicare a metodei analizei ierarhice, ca obiect, se selectează scopul din politica calității „Creșterea durabilă a profiturilor întreprinderii” și sunt evidențiați câțiva factori care influențează scopul (Tabelul 8).

Specialiști - experți ai întreprinderii au compilat matrice de prioritate în funcție de criteriile selectate (un exemplu este dat în tabelul 9).

Logistica de management

planificare, achiziții,

Investiții, relații cu furnizorii,

Publicitate, control la intrare,

Prețurile de vânzare, controlul resurselor.

Strategie de marketing. Personal și Dezvoltare

calificarea producției,

Respectarea termenelor limită, pregătirea personalului,

Tehnologie, motivarea personalului,

Calitate, creativitate,

Organizarea productiei, controlul costurilor. planificarea de noi dezvoltări

Tabelul 9. Exemplu de matrice „Producție”

Productie Respectarea termenilor de livrare a produselor Tehnologie Calitatea Organizarea productiei Controlul costurilor

Respectarea termenelor de livrare a produselor 1 5 1 3 3

Tehnologie 1/5 1 3 1 3

Calitate 1 1/3 1 3 1

Organizarea producției 1/3 1 1/3 1 1

Controlul costurilor 1/3 1/3 1 1 1

Scara relațiilor și completarea tabelelor 1 - echivalența factorilor, 3 - dominanța unui factor asupra altui factor,

5 - dominanta puternica a unui factor asupra altui factor, 2.4 - posibile valori intermediare.

Prelucrarea matematică a matricelor a constat în găsirea vectorului prioritar ca un vector propriu corespunzător valorii proprii maxime. Ca exemplu, mai jos sunt rezultatele prelucrării estimărilor expertului N (tabelul 10). Coloanele indică componentele vectorului prioritar prin diverși factori, de exemplu, conform criteriului „Management”

Se acordă prioritate investițiilor.

Pe fig. 1. Sunt date rezultatele calculării priorităților experților conform criteriilor de mai sus. Realizarea obiectivului este asociată cu investiții, calitate,

planificarea noilor dezvoltări și controlul resurselor.

Tabelul 10. Rezultatele procesării estimărilor expertului N

Scop - Creșterea durabilă a profitului companiei

Management Productie Mat - aprovizionare tehnica Personal si dezvoltare

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

management

Productie

S&I^TO o i_CO

Personal și Dezvoltare

Orez. 1. Rezultatele calculării priorităților experților

Cunoașterea repartizării priorităților în funcție de criteriile selectate permite conducerii de vârf a întreprinderii să urmeze o politică rezonabilă pentru atingerea scopului.

Bibliografie

1. Gludkin O.P., Gorbunov NM., Gurov A.I., Zorin Yu.V. Managementul total al calității. - M.: Radio și comunicare, 1999.

2. Kuzin B., Yuriev V., Shakhdinarov G. Metode și modele de management al firmelor. - Sankt Petersburg: Peter, 2001.

3. Faure R., Kofman A., Denis-Papin M. Matematică modernă. - M.: Mir, 1966.

4. Saati T. Luarea deciziilor. Metoda analizei ierarhice. / per. din engleza. - M.: Radio și comunicare, 1993.

ANALIZA MATRICE ÎN SISTEMUL EXECUTIV AL ÎNTREPRINDERILOR

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belachewskij2

\cSamara - Aviagas»

Universitatea Aerospațială de Stat din Samara

În lucru sunt analizate diverse modalități de aplicare a matricelor în operarea afacerii. Relația (conexiunea) dintre elementele a două sau mai multe mulțimi poate fi transmisă în formă de matrice. Compoziția relațiilor permite simplificarea analizei conexiunilor dintre elementele mulțimilor. Rezultatul este exemplul de utilizare a matricelor de priorități într-un sistem de control al întreprinderii.

Analiza matriceală sau metoda matriceală a devenit larg răspândită în evaluarea comparativă a diferitelor sisteme economice (întreprinderi, divizii individuale ale întreprinderilor etc.). Metoda matricei vă permite să determinați evaluarea integrală a fiecărei întreprinderi pentru mai mulți indicatori. Această evaluare se numește ratingul întreprinderii. Luați în considerare aplicarea metodei matricei în etape folosind un exemplu specific.

1. Selectarea indicatorilor de evaluare și formarea unei matrice de date inițiale a ij, adică tabele, unde numărul de sisteme (întreprinderi) este reflectat în rânduri, iar numărul de indicatori (i = 1,2 ... .n) - sistemele sunt reflectate în coloane; (j=1,2…..n) - indicatori. Indicatorii selectați ar trebui să aibă aceeași atenție (cu cât mai mulți, cu atât mai bine).

2. Alcătuirea unei matrice de coeficienți standardizați.În fiecare coloană, se determină elementul maxim, iar apoi toate elementele acestei coloane sunt împărțite la elementul maxim. Pe baza rezultatelor calculului, se creează o matrice de coeficienți standardizați.

Selectăm elementul maxim în fiecare coloană.

metodă cercetare științifică proprietățile obiectelor bazate pe utilizarea regulilor teoriei matricelor, care determină valoarea elementelor modelului, reflectând relația dintre obiectele economice. Este utilizat în cazurile în care obiectul principal de studiu este raportul de echilibru dintre costuri și rezultatele activităților de producție și economice și standardele de costuri și rezultate.

• - pseudopunte, punte matrice

  Biologie moleculara si genetica. Dicţionar

• - Engleză. analiza matriceală; limba germana Matrixanaliza. În sociologie - o metodă de studiere a proprietăților sociale. obiecte bazate pe utilizarea regulilor teoriei matricelor...

  Enciclopedia Sociologiei

• - în industria tipografică - o presă pentru gofrarea matricilor stereotipe sau nemetalice. stereotipurile sunt de obicei hidraulice...

  Marele dicționar politehnic enciclopedic

• - Un dispozitiv folosit pentru presarea matricilor din carton sau vinil plastic, precum și stereotipuri din plastic ...

  Scurt dicționar explicativ de poligrafie

• - Vezi: imprimantă matriceală...

  Glosar de termeni de afaceri

• - o metodă de studiu științific al proprietăților obiectelor bazată pe utilizarea regulilor teoriei matricilor, care determină valoarea elementelor modelului, reflectând relația dintre obiectele economice ...

  Marele Dicţionar Economic

• - în economie, o metodă de studiu științific al proprietăților obiectelor bazată pe utilizarea regulilor teoriei matricelor, care determină valoarea elementelor modelului, reflectând relația dintre obiectele economice ...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - o metodă de studiere a relaţiei dintre obiecte economice cu modelarea lor matriceală...

  Dicționar enciclopedic mare

• - ...

  Dicționar de ortografie al limbii ruse

• - MATRI-A, -s, w. ...

  Dicționar explicativ al lui Ozhegov

• - MATRICE, matrice, matrice. adj. la matrice. Carton Matrix...

  Dicționar explicativ al lui Ushakov

• - matrice I adj. rel. cu substantiv. matricea I asociată cu aceasta II adj. 1. raport cu substantiv. matricea II, asociată cu aceasta 2. Oferă imprimare folosind o matrice. III adj. raport...

  Dicţionar explicativ al Efremova

• - m "...

  Rusă dicţionar ortografic

• - ...

  Forme de cuvinte

• - adj., număr de sinonime: 1 matrice-vector ...

  Dicţionar de sinonime

• - adj., număr de sinonime: 1 patru ...

  Dicţionar de sinonime

„MATRICE DE ANALIZĂ” în cărți

T.N. Pancenko. Strawson și Wittgenstein. Analiza ca dezvăluire a structurii formale a limbajului informal și analiza ca terapie

Din cartea Idei filozofice de Ludwig Wittgenstein autor Gryaznov Alexandru Feodosievici

T.N. Pancenko. Strawson și Wittgenstein. Analiza ca dezvăluirea structurii formale a limbajului informal și analiza ca terapie *** Ludwig Wittgenstein și Peter Strawson definesc într-un fel granițele filozofiei analizei, începutul și sfârșitul acesteia. Unul dintre ei îi aparține

§ 34. Dezvoltarea fundamentală a metodei fenomenologice. Analiza transcendentală ca analiză eidetică

Din cartea Reflecții carteziene autor Husserl Edmund

§ 34. Dezvoltarea fundamentală a metodei fenomenologice. Analiza transcendentală ca analiză eidetică punct important, problemele genezei fenomenologice și, astfel,

2.6. Biosinteza proteinelor și acizilor nucleici. Natura matriceală a reacțiilor de biosinteză. Informații genetice într-o celulă. Genele, codul genetic și proprietățile sale

Din cartea Biologie [ Referință completă să se pregătească pentru examen] autor Lerner Georgy Isaakovich

2.6. biosinteza proteinelor si acizi nucleici. Natura matriceală a reacțiilor de biosinteză. Informații genetice într-o celulă. Genele, codul genetic și proprietățile acestuia Termeni și concepte testate în lucrarea de examen: anticodon, biosinteză, genă, informație genetică,

Analiza matriceală

Din cartea Marea Enciclopedie Sovietică (MA) a autorului TSB

2.4. ANALIZA CERINȚELOR PENTRU SISTEM (ANALIZA SISTEMULUI) ȘI FORMULAREA OBIECTIVELOR

Din cartea Tehnologii de programare autorul Kamaev V A

2.4. ANALIZA CERINȚELOR LA SISTEM (ANALIZA SISTEMULUI) ȘI FORMULAREA OBIECTIVELOR Sarcina de optimizare a dezvoltării programelor este de a atinge obiectivele cu cât mai puțin posibil cheltuirea resurselor.

Măsurarea matriceală

Din cartea Fotografie digitală de la A la Z autor Gazarov Artur Iurievici

Măsurarea matriceală Măsurarea matriceală (Pattern Evaluative, E) se mai numește și multi-zonă, multi-zonă, multi-segment, evaluativă. În modul automat, camera setează măsurarea matriceală standard utilizată mai des decât altele. Aceasta este cea mai inteligentă măsurătoare

Întrebarea 47 Temeiul de fapt și de drept. Analiza probelor.

Din cartea Examenul de avocat al autorului

Întrebarea 47 Temeiul de fapt și de drept. Analiza probelor. Acordarea onesta, rezonabilă și conștiincioasă a asistenței juridice sub orice formă, fie că este vorba de consultanță, redactare diverse documente, reprezentare de interese sau apărare

9. Știința în serviciul toxicologiei. Analiza spectrală. Cristale și puncte de topire. Analiza structurală prin raze X. Cromatografia

Din cartea O sută de ani de criminalistică autorul Thorvald Jürgen

9. Știința în serviciul toxicologiei. Analiza spectrală. Cristale și puncte de topire. Analiza structurală prin raze X. Cromatografia Între timp, evenimentele care au avut loc în procesul împotriva lui Buchanan au devenit cunoscute în întreaga lume. Cu toată lipsa de respect pentru știința americană din acei ani, acestea

12.9. Metoda de dezvoltare a soluției matriceale

Din cartea Rezolvarea sistematică a problemelor autor Lapygin Yuri Nikolaevici

12.9. Metoda matriceală de elaborare a deciziilor Luarea deciziilor pe baza metodei matriceale se reduce la efectuarea unei alegeri, ținând cont de interesele tuturor părților interesate. Schematic, procesul de decizie în acest caz arată așa cum este prezentat în Fig. 12.7. După cum vedem, există

4. Cercetare și analiză de piață (analiza mediului de afaceri al organizației)

Din cartea Business Planning: Lecture Notes autoarea Beketova Olga

4. Cercetarea și analiza pieței (analiza mediului de afaceri al organizației) Cercetarea și analiza pieței de vânzări este una dintre cele mai importante etape în pregătirea planurilor de afaceri, care ar trebui să răspundă la întrebări despre cine, de ce și în ce cantitățile cumpără sau vor cumpăra produse

5.1. Analiza mediului extern si intern al organizatiei, analiza SWOT

autor Lapygin Yuri Nikolaevici

5.1. Analiza externă și mediu intern organizații, analiza SWOT Mediul extern și adaptarea sistemului Organizațiile, ca orice sistem, sunt izolate de mediul extern și, în același timp, sunt conectate cu mediul extern în așa fel încât să primească resursele de care au nevoie din mediul extern și

8.11. Metoda matricei RUR

Din carte Deciziile de management autor Lapygin Yuri Nikolaevici

8.11. Metoda matriceală DSR Luarea deciziilor bazată pe metoda matricei se reduce la a face o alegere, ținând cont de interesele tuturor părților interesate. Schematic, procesul RUR în acest caz arată așa cum este prezentat în Fig. 8.13. Orez. 8.13. Modelul RUR prin metoda matricei

4. Analiza punctelor forte și slabe ale proiectului, perspectivele și amenințările acestuia (analiza SWOT)

autor Filonenko Igor

4. Analiza punctelor forte și slabe ale proiectului, perspectivele și amenințările acestuia (analiza SWOT) La evaluarea fezabilității lansării unui nou proiect, o combinație de factori joacă un rol și nu întotdeauna rezultatul financiar este de o importanță capitală. De exemplu, pentru o companie de expoziții

5. Analiză politică, economică, socială și tehnologică (analiza PEST)

Din cartea Exhibition Management: Management Strategies and Marketing Communications autor Filonenko Igor

5. Analiza Politică, Economică, Socială și Tehnologică (Analiza PEST)

11.3. Metoda de dezvoltare a strategiei matriceale

Din cartea Management strategic: tutorial autor Lapygin Yuri Nikolaevici

11.3. Metoda matriceală de elaborare a strategiilor Dezvoltarea viziunii unei organizații Diferitele stări ale mediului extern și intern al organizațiilor explică diversitatea organizațiilor în sine și starea lor reală Natura multifactorială a parametrilor care determină poziția fiecăreia.

Curs de prelegeri pe disciplina

"Analiza matricei"

pentru elevii din anul II

Facultatea de specialitate Matematică

„Cibernetică economică”

(profesor Dmitruk Maria Alexandrovna)

Capitolul 3. Funcţiile matriceale.

1. Definirea functiei.

Df. Fie funcția un argument scalar. Este necesar să se definească ce se înțelege prin f(A), adică. trebuie să extindem funcția f(x) la valoarea matriceală a argumentului.

Soluția acestei probleme este cunoscută când f(x) este un polinom: , atunci.

Definiția lui f(A) în cazul general.

Fie m(x) un polinom minim A și să aibă o descompunere canonică astfel încât valori proprii A. Fie polinoamele g(x) și h(x) să ia aceleași valori.

Fie g(A)=h(A) (1), atunci polinomul d(x)=g(x)-h(x) este polinomul anihilator pentru A, deoarece d(A)=0, deci d(x ) este divizibil cu un polinom liniar, i.e. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Apoi, adică (3), .

Să fim de acord să numim m numere pentru f(x) astfel de valori ale funcției f(x) pe spectrul matricei A, iar setul acestor valori va fi notat.

Dacă mulțimea f(Sp A) este definită pentru f(x), atunci funcția este definită pe spectrul matricei A.

Din (3) rezultă că polinoamele h(x) și g(x) au aceleași valori pe spectrul matricei A.

Raționamentul nostru este reversibil, adică. din (3) (3) (1). Astfel, dacă este dată matricea A, atunci valoarea polinomului f(x) este complet determinată de valorile acestui polinom pe spectrul matricei A, adică. toate polinoamele gi(x) care iau aceleași valori pe spectrul matricei au aceleași valori matricei gi(A). Solicităm ca definiția valorii lui f(A) în cazul general să respecte același principiu.

Valorile funcției f(x) pe spectrul matricei A trebuie să determine pe deplin f(A), adică. funcțiile care au aceleași valori pe spectru trebuie să aibă aceeași valoare matriceală f(A). Evident, pentru a determina f(A) în cazul general, este suficient să găsim un polinom g(x) care să ia aceleași valori pe spectrul A ca și funcția f(A)=g(A).

Df. Dacă f(x) este definit pe spectrul matricei A, atunci f(A)=g(A), unde g(A) este un polinom care ia aceleași valori pe spectru ca f(A),

Df. Valoarea funcției din matricea A numim valoarea polinomului din aceasta matrice la.

Dintre polinoamele din С[x], luând aceleași valori pe spectrul matricei A, ca f(x), de grad nu mai mare decât (m-1), luând aceleași valori pe spectrul A , deoarece f(x) este restul împărțirii oricărui polinom g(x) având aceleași valori pe spectrul matricei A ca f(x) cu polinomul minim m(x)=g(x) =m(x)*g(x)+r(x).

Acest polinom r(x) se numește polinomul de interpolare Lagrange-Sylvester pentru funcția f(x) pe spectrul matricei A.

Cometariu. Dacă polinomul minim m(x) al matricei A nu are rădăcini multiple, i.e. , apoi valoarea funcției pe spectru.

Exemplu:

Găsiți r(x) pentru f(x) arbitrar dacă matricea

. Să construim f(H1 ). Aflați polinomul minim H1 ultimul factor invariant:

, dn-1=x2 ; dn-1=1;

mX=fn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xn 0 nrădăcină multiplă m(x), adică valori proprii de n ori H1 .

, r(0)=f(0), r(0)=f(0),…,r(n-1)(0)=f(n-1)(0) .

1. Proprietăți ale funcțiilor din matrice.

Proprietatea #1. Dacă matricea are valori proprii (pot fi multipli între ele), a, atunci valorile proprii ale matricei f(A) sunt valorile proprii ale polinomului f(x): .

Dovada:

Fie polinomul caracteristic al matricei A să aibă forma:

Hai să numărăm. Să trecem de la egalitate la determinanți:

Să facem o schimbare în egalitate:

Egalitatea (*) este valabilă pentru orice mulțime f(x), așa că înlocuim polinomul f(x) cu, obținem:

În stânga, am obținut polinomul caracteristic pentru matricea f(A), extinsă în dreapta în factori liniari, de unde rezultă că valorile proprii ale matricei f(A).

CHTD.

Proprietatea #2. Fie matricea și valorile proprii ale matricei A, f(x) o funcție arbitrară definită pe spectrul matricei A, atunci valorile proprii ale matricei f(A) sunt egale.

Dovada:

pentru că funcția f(x) este definită pe spectrul matricei A, atunci există un polinom de interpolare al matricei r(x) astfel încât, și apoi f(A)=r(A), și matricea r(A) are valori proprii conform proprietății nr. 1 care sunt, respectiv, egale.

CHTD.

Proprietatea #3 Dacă A și B sunt matrici similare, i.e. , iar f(x) este o funcție arbitrară definită pe spectrul matricei A, atunci

Dovada:

pentru că A și B sunt similare, atunci polinoamele lor caracteristice sunt aceleași și valorile lor proprii, deci valoarea lui f(x) pe spectrul matricei A coincide cu valoarea funcției f(x) pe spectrul matricei B și există un polinom de interpolare r(x) astfel încât f(A)=r(A), .

CHTD.

Proprietatea numarul 4. Dacă A este o matrice diagonală bloc, atunci

Consecinţă: Dacă, atunci, unde f(x) este o funcție definită pe spectrul matricei A.

1. Polinomul de interpolare Lagrange-Sylvester.

Cazul numărul 1.

Să fie dat. Luați în considerare primul caz: polinomul caracteristic are exact n rădăcini, dintre care nu există multipli, adică. toate valorile proprii ale matricei A sunt diferite, adică , Sp A este simplu. În acest caz, construim polinoamele de bază lk(x):

Fie f(x) o funcție definită pe spectrul matricei A și fie valorile acestei funcție pe spectru. Trebuie să construim.

Să construim:

Să notăm că.

Exemplu: Construiți un polinom de interpolare Lagrange-Sylvester pentru o matrice.

Să construim polinoame de bază:

Atunci pentru funcția f(x) definită pe spectrul matricei A, obținem:

Hai sa luam, apoi polinomul de interpolare

Cazul numărul 2.

Polinomul caracteristic al matricei A are rădăcini multiple, dar polinomul minim al acestei matrice este un divizor al polinomului caracteristic și are doar rădăcini simple, adică. . În acest caz, polinomul de interpolare este construit în același mod ca în cazul precedent.

Cazul numărul 3.

Să luăm în considerare cazul general. Fie că polinomul minim are forma:

unde m1+m2+…+ms=m, grad r(x)

Să compunem o funcție fracționară-rațională:

și descompuneți-l în fracții simple.

Să desemnăm: . Înmulțiți (*) cu și obțineți

unde este o funcție care nu merge la infinit la.

Dacă introducem (**), obținem:

Pentru a găsi ak3 trebuie (**) să diferențiem de două ori și așa mai departe. Astfel, coeficientul aki este determinat în mod unic.

După ce găsim toți coeficienții, revenim la (*), înmulțim cu m(x) și obținem polinomul de interpolare r(x), adică.

Exemplu: Găsiți f(A) dacă, unde tun parametru,

Să verificăm dacă funcția este definită pe spectrul matricei A

Înmulțiți (*) cu (x-3)

la x=3

Înmulțiți (*) cu (x-5)

În acest fel,este un polinom de interpolare.

Exemplul 2

În cazul în care un, apoi dovedeste asta

Să găsim polinomul minim al matricei A:

este polinomul caracteristic.

d2 (x)=1, apoi polinomul minim

Considerăm f(x)=sin x pe spectrul matricei:

funcția este definită pe spectru.

Înmulțit cu

.

Înmulțit cu:

Calculați luând derivata (**):

. Presupunând,

, adică.

Asa de,,

Exemplul 3

Fie definită f(x) pe spectrul unei matrice al cărei polinom minim are forma. Găsiți polinomul de interpolare r(x) pentru funcția f(x).

Rezolvare: Prin condiția f(x) este definită pe spectrul matricei A f(1), f(1), f(2), f(2), f(2) definit.

Folosim metoda coeficienților nedeterminați:

Dacă f(x)=log x

f(1)=0f(1)=1

f(2)=log 2f(2)=0.5 f(2)=-0.25

4. Matrici simple.

Fie matricea, deoarece C este un câmp închis algebric, atunci x