Caracteristica principală orice figură geometricăîn spațiu este volumul său. În acest articol, vom lua în considerare ce este o piramidă cu un triunghi la bază și, de asemenea, vom arăta cum să găsim volumul unei piramide triunghiulare - obișnuită, plină și trunchiată.
Ce este o piramidă triunghiulară?
Toată lumea a auzit de piramidele egiptene antice, dar ele sunt patrulatere regulate, nu triunghiulare. Să explicăm cum să obțineți o piramidă triunghiulară.
Să luăm un triunghi arbitrar și să conectăm toate vârfurile sale cu un punct situat în afara planului acestui triunghi. figură educată va fi numită piramidă triunghiulară. Este prezentat în figura de mai jos.
După cum puteți vedea, figura luată în considerare este formată din patru triunghiuri, care în cazul general sunt diferite. Fiecare triunghi este laturile piramidei sau fața acesteia. Această piramidă este adesea numită tetraedru, adică o figură tridimensională cu patru fețe.
Pe lângă laturi, piramida are și margini (sunt 6) și vârfuri (sunt 4).
cu baza triunghiulara
Figura, care se obține folosind un triunghi arbitrar și un punct în spațiu, va fi o piramidă înclinată neregulată în cazul general. Acum imaginați-vă că triunghiul original are aceleași laturi, iar un punct din spațiu este situat exact deasupra centrului său geometric la o distanță h de planul triunghiului. Piramida construită folosind aceste date inițiale va fi corectă.
Evident, numărul de muchii, laturi și vârfuri ale unei piramide triunghiulare regulate va fi același cu cel al unei piramide construite dintr-un triunghi arbitrar.
Cu toate acestea, cifra corectă are unele semne distinctive:
- înălțimea sa, trasă din vârf, va intersecta exact baza în centrul geometric (punctul de intersecție al medianelor);
- suprafața laterală a unei astfel de piramide este formată din trei triunghiuri identice care sunt isoscele sau echilaterale.
Piramida triunghiulară obișnuită nu este doar un obiect geometric pur teoretic. Unele structuri din natură au forma ei, de exemplu celulă de cristal diamant, unde un atom de carbon este conectat la patru dintre aceiași atomi legaturi covalente, sau o moleculă de metan, unde vârfurile piramidei sunt formate din atomi de hidrogen.
piramidă triunghiulară
Puteți determina volumul absolut oricărei piramide cu un n-gon arbitrar la bază folosind următoarea expresie:
Aici simbolul S o denotă aria bazei, h este înălțimea figurii desenate la baza marcată din vârful piramidei.
Deoarece aria unui triunghi arbitrar este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii sale a și apotema h a coborâtă pe această latură, formula pentru volumul unei piramide triunghiulare poate fi scrisă în următoarea formă:
V = 1/6 × a × h a × h
Pentru tip general Determinarea înălțimii nu este o sarcină ușoară. Pentru a o rezolva, cel mai simplu este să folosiți formula pentru distanța dintre un punct (vârf) și un plan (bază triunghiulară), reprezentată de ecuație vedere generala.
Pentru cea corectă, are un aspect specific. Aria bazei (un triunghi echilateral) pentru aceasta este egală cu:
Înlocuiește-l în expresie generală pentru V, obținem:
V = √3/12 × a 2 × h
Un caz special este situația în care toate laturile unui tetraedru se dovedesc a fi triunghiuri echilaterale identice. În acest caz, volumul său poate fi determinat numai pe baza cunoașterii parametrului marginii sale a. Expresia corespunzătoare arată astfel:
Piramida trunchiată
Dacă partea superioară care conține vârful este tăiată dintr-o piramidă triunghiulară obișnuită, atunci se va obține o figură trunchiată. Spre deosebire de cel original, acesta va fi format din două baze triunghiulare echilaterale și trei trapeze isoscele.
Fotografia de mai jos arată cum arată o piramidă triunghiulară trunchiată obișnuită făcută din hârtie.
Pentru a determina volumul unei piramide triunghiulare trunchiate, este necesar să cunoaștem cele trei caracteristici liniare ale acesteia: fiecare dintre laturile bazelor și înălțimea figurii, egală cu distanța dintre bazele superioare și inferioare. Formula corespunzătoare pentru volum este scrisă după cum urmează:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Aici h este înălțimea figurii, A și a sunt lungimile laturilor triunghiurilor echilaterale mari (inferioare) și, respectiv, mici (superioare).
Rezolvarea problemei
Pentru a face informațiile din articol mai clare pentru cititor, vom arăta cu un exemplu clar cum să folosiți unele dintre formulele scrise.
Fie volumul unei piramide triunghiulare de 15 cm 3. Se știe că cifra este corectă. Ar trebui să găsiți apotema a b a marginii laterale dacă se știe că înălțimea piramidei este de 4 cm.
Deoarece volumul și înălțimea figurii sunt cunoscute, puteți utiliza formula adecvată pentru a calcula lungimea laturii bazei acesteia. Avem:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) \u003d √ (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 cm
Lungimea calculată a apotemului figurii s-a dovedit a fi mai mare decât înălțimea acesteia, ceea ce este valabil pentru orice tip de piramidă.
O piramidă este un poliedru cu un poligon la bază. Toate fețele, la rândul lor, formează triunghiuri care converg la un singur vârf. Piramidele sunt triunghiulare, patrulatere și așa mai departe. Pentru a determina ce piramidă se află în fața ta, este suficient să numeri numărul de colțuri de la baza acesteia. Definiția „înălțimii piramidei” se găsește foarte des în problemele de geometrie din curiculumul scolar. În articol vom încerca să luăm în considerare diferite moduri de a-l găsi.
Părți ale piramidei
Fiecare piramidă este formată din următoarele elemente:
- fețe laterale care au trei colțuri și converg în partea de sus;
- apotema reprezintă înălțimea care coboară din vârful ei;
- vârful piramidei este un punct care leagă marginile laterale, dar nu se află în planul bazei;
- o bază este un poligon care nu conține un vârf;
- înălțimea piramidei este un segment care intersectează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza acesteia.
Cum se află înălțimea unei piramide dacă este cunoscut volumul acesteia
Prin formula V \u003d (S * h) / 3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei), aflăm că h \u003d (3 * V) / S . Pentru a consolida materialul, să rezolvăm imediat problema. LA baza triunghiulara este de 50 cm 2, în timp ce volumul său este de 125 cm 3. Înălțimea piramidei triunghiulare este necunoscută, pe care trebuie să o găsim. Totul este simplu aici: introducem datele în formula noastră. Obținem h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Cum se află înălțimea unei piramide dacă lungimea diagonalei și marginea ei sunt cunoscute
După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Și asta înseamnă că înălțimea, muchia și jumătatea diagonalei formează împreună. Mulți, desigur, își amintesc de teorema lui Pitagora. Cunoscând două dimensiuni, nu va fi greu să găsiți a treia valoare. Reamintim binecunoscuta teoremă a² = b² + c², unde a este ipotenuza, iar în cazul nostru marginea piramidei; b - primul picior sau jumătate din diagonală și, respectiv, c - al doilea picior, sau înălțimea piramidei. Din această formulă, c² = a² - b².
Acum problema: într-o piramidă obișnuită, diagonala este de 20 cm, în timp ce lungimea marginii este de 30 cm. Trebuie să găsiți înălțimea. Rezolvăm: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Prin urmare, c \u003d √ 500 \u003d aproximativ 22,4.
Cum să aflați înălțimea unei piramide trunchiate
Este un poligon care are o secțiune paralelă cu baza sa. Înălțimea unei piramide trunchiate este segmentul care leagă cele două baze ale acesteia. Înălțimea poate fi găsită la o piramidă obișnuită dacă sunt cunoscute lungimile diagonalelor ambelor baze, precum și marginea piramidei. Fie diagonala bazei mai mari d1, în timp ce diagonala bazei mai mici este d2, iar muchia are lungimea l. Pentru a găsi înălțimea, puteți coborî înălțimile din cele două puncte superioare opuse ale diagramei până la baza acesteia. Vedem că avem două triunghiuri dreptunghiulare, rămâne să găsim lungimile picioarelor lor. Pentru a face acest lucru, scădeți diagonala mai mică din diagonala mai mare și împărțiți cu 2. Deci vom găsi un picior: a \u003d (d1-d2) / 2. După aceea, conform teoremei lui Pitagora, trebuie să găsim doar al doilea picior, care este înălțimea piramidei.
Acum să ne uităm la toată chestia asta în practică. Avem o sarcină în față. Piramida trunchiată are un pătrat la bază, lungimea diagonală a bazei mai mari este de 10 cm, în timp ce cea mai mică este de 6 cm, iar marginea este de 4 cm. Este necesară găsirea înălțimii. Pentru început, găsim un picior: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Un picior este de 2 cm, iar ipotenuza este de 4 cm. Se dovedește că al doilea picior sau înălțimea va fi de 16- 4 \u003d 12, adică h \u003d √12 = aproximativ 3,5 cm.
Teorema. volumul piramidei este egal cu produsul zona bazei sale cu o treime din înălțimea sa.
Mai întâi, demonstrăm această teoremă pentru o piramidă triunghiulară și apoi pentru una poligonală.
1) Pe baza piramidei triunghiulare SABC (Fig. 102), construim o prismă SABCDE a cărei înălțime este egală cu înălțimea piramidei, iar o muchie laterală coincide cu muchia SB. Să demonstrăm că volumul piramidei este o treime din volumul acestei prisme. Separați această piramidă de prismă. Aceasta părăsește piramida pătraunghiulară SADEC (care este prezentată separat pentru claritate). Să desenăm un plan de tăiere în el prin vârful S și diagonala bazei DC. Cele două piramide triunghiulare rezultate au un vârf comun S și baze egale DEC și DAC situate în același plan; prin urmare, conform lemei demonstrate mai sus, aceste piramide sunt egale. Să comparăm una dintre ele, și anume SDEC, cu această piramidă. Pentru baza piramidei SDEC, puteți lua \(\Delta\)SDE; atunci vârful său va fi în punctul C și înălțimea este egală cu înălțimea acestei piramide. Deoarece \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, atunci, conform aceleiași leme, piramidele SDEC și SABC sunt egale.
Prisma ABCDES este împărțită de noi în trei piramide de dimensiuni egale: SABC, SDEC și SDAC. (Evident, orice prismă triunghiulară poate fi supusă unei astfel de partiții. Aceasta este una dintre proprietățile importante ale unei prisme triunghiulare.) Astfel, suma volumelor a trei piramide care sunt egale ca mărime cu una dată este volumul de prisma; Prin urmare,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
unde H este înălțimea piramidei.
2) Prin vreun vârf E (Fig. 103) al bazei piramidei poligonale SABCDE trasăm diagonalele EB și EC.
Apoi desenăm planuri de tăiere prin muchia SE și fiecare dintre aceste diagonale. Apoi piramida poligonală va fi împărțită în mai multe triunghiulare având o înălțime comună cu piramida dată. Indicând ariile bazelor piramidelor triunghiulare prin b 1 ,b 2 ,b 3 și înălțimea prin H, vom avea:
volum SABCDE = 1 / 3 b 1H+1/3 b 2H+1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H/3 =
= (zona ABCDE) H / 3 .
Consecinţă. Dacă V, B și H înseamnă numere care exprimă în unități adecvate volumul, aria bazei și înălțimea oricărei piramide, atunci
Teorema. Volum trunchi de piramidă este egală cu suma volumele a trei piramide având o înălțime egală cu înălțimea unei piramide trunchiate și baze: una este baza inferioară a acestei piramide, cealaltă este baza superioară, iar aria bazei celei de-a treia piramide este egală cu media geometrică a ariilor bazelor superioare și inferioare.
Fie ariile bazelor trunchiului piramidei (Fig. 104) B și b, înălțimea H și volumul V (o piramidă trunchiată poate fi triunghiulară sau poligonală - nu contează).
Se cere să se demonstreze că
V = 1/3 BH + 1/3 b H + 1/3 H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),
unde √B b este media geometrică dintre B și b.
Pentru a demonstra pe o bază mai mică, plasăm o piramidă mică care completează această piramidă trunchiată la una completă. Apoi putem considera volumul piramidei trunchiate V ca diferența a două volume - piramida completași top suplimentar.
Indicând înălțimea piramidei suplimentare cu litera X, vom găsi asta
V = 1/3 B (H + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1 / 3 [ВH + (В - b)X].
Pentru a găsi înălțimea X folosim teorema din , conform căreia putem scrie ecuația:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
Pentru a simplifica această ecuație, extragem din ambele părți ale aritmeticii sale Rădăcină pătrată:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Din această ecuație (care poate fi considerată o proporție) obținem:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
și, prin urmare
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Înlocuind această expresie în formula pe care am derivat-o pentru volumul V, găsim:
$$ V = \frac(1)(3)\left $$
Din moment ce V- b= (√B + √ b) (√B - √ b), apoi prin reducerea fracției cu diferența √B - √ b primim:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
adică, obținem formula care trebuia să fie demonstrată.
Alte materialePiramidă numit poliedru a cărui bază este un poligon arbitrar, iar toate fețele sunt triunghiuri cu un vârf comun, care este vârful piramidei.
Piramida este o figură tridimensională. De aceea, destul de des este necesar să-și găsească nu numai zona, ci și volumul. Formula pentru volumul unei piramide este foarte simplă:
unde S este aria bazei și h este înălțimea piramidei.
Înălţime piramida se numește linie dreaptă, coborâtă de la vârf la bază în unghi drept. În consecință, pentru a găsi volumul piramidei, este necesar să se determine ce poligon se află la bază, să se calculeze aria acestuia, să se afle înălțimea piramidei și să se găsească volumul acesteia. Luați în considerare un exemplu de calcul al volumului unei piramide.
Sarcină: dată o piramidă patruunghiulară obișnuită. 
Laturile bazei a = 3 cm, toate marginile laterale b = 4 cm Aflați volumul piramidei.
Mai întâi, amintiți-vă că pentru a calcula volumul, aveți nevoie de înălțimea piramidei. Îl putem găsi folosind teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de lungimea diagonalei sau, mai degrabă, de jumătate din ea. Apoi știind două dintre părți triunghi dreptunghic, putem găsi înălțimea. Mai întâi, găsiți diagonala: 
Înlocuiți valorile din formula: 
Găsim înălțimea h folosind d și muchia b: 
Acum să găsim
Teorema.
Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea..
Dovada:
Mai întâi demonstrăm teorema pentru o piramidă triunghiulară, apoi pentru una arbitrară.1. Luați în considerare o piramidă triunghiularăOABCcu volumul V, suprafata de bazaS si inaltime h. Desenați o axă oh (OM2- înălțime), luați în considerare secțiuneaA1 B1 C1piramide cu un plan perpendicular pe axaOhși, prin urmare, paralel cu planul bazei. Notează prinX punct de abscisă M1 intersecția acestui plan cu axa x și prinS(X)- arie a secțiunii transversale. Expres S(X) prin S, hși X. Rețineți că triunghiurile A1 LA1 DIN1 și ABC sunt similare. Intr-adevar A1 LA1 II AB, deci triunghi OA 1 LA 1 similar cu triunghiul OAB. DIN prin urmare, DAR1 LA1 : DARB= OA 1: OA .
triunghiuri dreptunghiulare OA 1 LA 1 și OAB sunt, de asemenea, asemănătoare (au un comun colt ascutit sus O). Prin urmare, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. În acest fel DAR 1 LA 1 : A B = x: h.În mod similar, este dovedit căB1 C1:soare = X: hși A1 C1:AC = X: h.Deci triunghiulA1 B1 C1și ABCasemănător cu coeficientul de similitudine X: h.Prin urmare, S(x): S = (x: h)², sau S(x) = S x²/ h².
Să aplicăm acum formula de bază pentru calcularea volumelor corpurilor laA= 0, b=h primim
Astfel, volumul piramidei originale este de 1/3Sh. Teorema a fost demonstrată.
Consecinţă:
Volumul V al unei piramide trunchiate cu înălțimea h și zonele de bază S și S1 , sunt calculate prin formula
h - înălțimea piramidei
Stop - zona bazei superioare
Mai lent - zona bazei inferioare
