Când se pregătesc pentru examenul de matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la bază și fețele laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația este clară cu fețele laterale, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.
Ce să faceți când găsiți zona bazei piramidei?
Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o cifră obișnuită sau una incorectă. În sarcinile USE de interes pentru școlari, există doar sarcini cu cifrele corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.
triunghi dreptunghic
Asta este echilateral. Una în care toate părțile sunt egale și notate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Pătrat
Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:
N-gon regulat arbitrar
Latura unui poligon are aceeași denumire. Pentru numărul de colțuri se folosește litera latină n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Cum se procedează la calcularea suprafeței laterale și totale?
Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. Mai mult, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, aveți nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.
Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generala pentru suprafața laterală arată astfel:
S \u003d ½ P * A, unde P este perimetrul bazei piramidei.
Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi ar trebui să se folosească o astfel de formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:
S = n/2 * în 2 sin α .
Sarcina 1
Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza acesteia are o latură de 4 cm, iar apotema are o valoare de √3 cm.
Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, puteți calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.
Pentru un triunghi la bază, se va obține următoarea valoare a ariei: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Răspuns. 10√3 cm2.
Sarcina #2
Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii bazei este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Trebuie să-i cunoști suprafața.
Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, atunci baza lui este un pătrat. După ce ați învățat zonele de bază și ale fețelor laterale, va fi posibil să se calculeze aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și la fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.
Primele calcule sunt simple și duc la acest număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.
Rezultă: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.
Sarcina #3
Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. În el, latura pătratului este de 6 cm și înălțimea este de 4 cm.
Soluţie. Cel mai simplu mod este să folosești formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este puțin mai dificil.
Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm că este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.
Apotema dorită (ipotenuză triunghi dreptunghic) este egal cu √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Acum puteți calcula valoarea dorită: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Răspuns. 96 cm2.
Sarcina #4
Condiție. Partea corectă a bazei sale este de 22 mm, nervurile laterale sunt de 61 mm. Care este aria suprafeței laterale a acestui poliedru?
Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în problema nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.
În primul rând, aria bazei este calculată folosind formula de mai sus: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este o față laterală. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Rămâne să calculăm aria unui astfel de triunghi folosind formula Heron, apoi înmulțiți-o cu șase și adăugați-o la cea care a rezultat pentru baza.
Calcule folosind formula Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Calcule care vor da suprafața laterală: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.
Răspuns. Baza - 726√3 cm 2, suprafata laterala - 3960 cm 2, intreaga suprafata - 5217 cm 2.
piramidă triunghiulară Un poliedru se numește poliedru a cărui bază este un triunghi regulat.
Într-o astfel de piramidă, fețele bazei și marginile laturilor sunt egale între ele. În consecință, aria fețelor laterale se găsește din suma ariilor a trei triunghiuri identice. Puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite folosind formula. Și puteți face calculul de câteva ori mai rapid. Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru zona suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare:
unde p este perimetrul bazei, ale cărei toate laturile sunt egale cu b, a este apotema coborâtă de la vârf la această bază. Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.
Sarcină: Să fie dată piramida corectă. Latura triunghiului aflată la bază este b = 4 cm. Apotema piramidei este a = 7 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Deoarece, în funcție de condițiile problemei, cunoaștem lungimile tuturor elementele necesare, găsiți perimetrul. Amintiți-vă că într-un triunghi obișnuit, toate laturile sunt egale și, prin urmare, perimetrul este calculat prin formula:
Înlocuiți datele și găsiți valoarea:
Acum, cunoscând perimetrul, putem calcula aria suprafeței laterale: 
Pentru a aplica formula pentru aria unei piramide triunghiulare pentru a calcula valoarea completă, trebuie să găsiți aria bazei poliedrului. Pentru aceasta se folosește formula: 
Formula pentru aria bazei unei piramide triunghiulare poate fi diferită. Este permisă utilizarea oricărui calcul al parametrilor pentru cifra dată, dar cel mai adesea acest lucru nu este necesar. Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide triunghiulare.
Sarcină: Într-o piramidă obișnuită, latura triunghiului care se află la bază este a = 6 cm. Calculați aria bazei.
Pentru a calcula, avem nevoie doar de lungimea laturii unui triunghi regulat situat la baza piramidei. Înlocuiți datele din formula: 
Destul de des este necesar să se găsească aria totală a unui poliedru. Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați zona suprafeței laterale și a bazei. 
Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.
Sarcină: lăsați-l pe cel corect piramidă triunghiulară. Latura bazei este b = 4 cm, apotema este a = 6 cm. Aflați aria totală a piramidei.
Mai întâi, să găsim suprafața laterală formula binecunoscuta. Calculați perimetrul:
Inlocuim datele in formula: 
Acum găsiți aria bazei: 
Cunoscând aria bazei și a suprafeței laterale, găsim aria totală a piramidei: 
Când se calculează aria unei piramide obișnuite, nu trebuie uitat că baza este un triunghi regulat și multe elemente ale acestui poliedru sunt egale între ele.
Piramida, la baza căreia se află hexagon obișnuit, iar laturile sunt formate triunghiuri regulate, se numește hexagonal.
Acest poliedru are multe proprietăți:
- Toate laturile și unghiurile bazei sunt egale între ele;
- Toate marginile și piramidele diedrice de cărbune sunt, de asemenea, egale între ele;
- Triunghiurile care formează laturile sunt aceleași, respectiv, au aceeași suprafață, laturi și înălțimi.
Pentru a calcula aria unei piramide hexagonale obișnuite, se utilizează formula standard pentru aria suprafeței laterale a unei piramide hexagonale:
unde P este perimetrul bazei, a este lungimea apotemei piramidei. În cele mai multe cazuri, puteți calcula suprafața laterală folosind această formulă, dar uneori puteți utiliza o altă metodă. Deoarece se formează fețele laterale ale piramidei triunghiuri egale, puteți găsi aria unui triunghi și apoi să o înmulțiți cu numărul de laturi. Există 6 dintre ele într-o piramidă hexagonală. Dar această metodă poate fi folosită și în calcul. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide hexagonale.
Să fie dată o piramidă hexagonală regulată, în care apotema este a = 7 cm, latura bazei este b = 3 cm. Calculați aria suprafeței laterale a poliedrului.
Mai întâi, găsiți perimetrul bazei. Deoarece piramida este regulată, are un hexagon regulat la bază. Deci, toate laturile sale sunt egale, iar perimetrul este calculat cu formula:
Inlocuim datele in formula:
Acum putem găsi cu ușurință aria suprafeței laterale înlocuind valoarea găsită în formula principală: 
De asemenea, un punct important este căutarea zonei bazei. Formula pentru aria bazei unei piramide hexagonale este derivată din proprietățile unui hexagon regulat: 
Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide hexagonale, luând ca bază condițiile din exemplul anterior. Din ele știm că latura bazei este b = 3 cm. Să înlocuim datele în formula: 
Formula pentru aria unei piramide hexagonale este suma ariei bazei și a scanării laterale: 
Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide hexagonale.
Să se dea o piramidă, la baza căreia se află un hexagon regulat cu latura b = 4 cm.Apotema unui poliedru dat este a = 6 cm.Aflați aria totală.
Știm că suprafața totală este formată din zonele bazei și ale maturii laterale. Deci haideți să le găsim mai întâi. Calculați perimetrul:
Acum găsiți aria suprafeței laterale: 
Apoi, calculăm aria bazei în care se află hexagonul obișnuit: 
Acum putem aduna rezultatele:
