Jei visi skaičiai A, B, C ir D yra ne nuliai, tada bendroji plokštumos lygtis vadinama užbaigti. Priešingu atveju vadinama bendroji plokštumos lygtis Nebaigtas.
Apsvarstykite visus galimus bendrus nepilnos lygtys plokštuma stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz trimatėje erdvėje.
Tegu D = 0, tada turime bendrąją nepilną formos plokštumos lygtį. Ši stačiakampės koordinačių sistemos Oxyz plokštuma eina per pradžios tašką. Iš tiesų, pakeitę taško koordinates į gautą nepilną plokštumos lygtį, gauname tapatybę .
Dėl , Ar , Ar mes turime bendrąsias neišsamias plokštumų lygtis , arba , arba atitinkamai. Šios lygtys apibrėžia plokštumas, kurios yra lygiagrečios koordinačių plokštumoms Oxy , Oxz ir Oyz atitinkamai (žr. straipsnį Lygiagretumo sąlyga plokštumoms) ir eina per taškus. 
ir atitinkamai. At. Nuo taško 
priklauso plokštumai pagal sąlygą, tada šio taško koordinatės turi tenkinti plokštumos lygtį, tai yra, lygybė turi būti teisinga. Iš čia randame. Taigi norima lygtis turi formą .
Pateikiame antrąjį šios problemos sprendimo būdą.
Kadangi plokštuma, kurios bendrąją lygtį turime sudaryti, yra lygiagreti plokštumai Oyz, tai kaip normalųjį vektorių galime paimti normalus vektorius lėktuvas Oyz . Normalus vektorius koordinačių plokštuma Oyz yra koordinačių vektorius. Dabar žinome normalųjį plokštumos vektorių ir plokštumos tašką, todėl galime užrašyti jo bendrąją lygtį (panašią problemą išsprendėme ankstesnėje šio straipsnio pastraipoje):
, tada jo koordinatės turi tenkinti plokštumos lygtį. Todėl lygybė 
kur randame. Dabar galime parašyti norimą bendrąją plokštumos lygtį, ji turi formą .
Atsakymas:
Bibliografija.
- Bugrovas Ya.S., Nikolsky S.M. Aukštoji matematika. Pirmas tomas: tiesinės algebros ir analitinės geometrijos elementai.
- Iljinas V.A., Poznyak E.G. Analitinė geometrija.
Plokštumos lygtis. Kaip parašyti lygtį plokštumai?
Abipusis plokštumų išdėstymas. Užduotys
Erdvinė geometrija nėra daug sudėtingesnė nei „plokščia“ geometrija, o mūsų skrydžiai erdvėje prasideda šiuo straipsniu. Norint suprasti temą, reikia gerai suprasti vektoriai, be to, pageidautina išmanyti plokštumos geometriją – bus daug panašumų, daug analogijų, todėl informacija bus daug geriau įsisavinama. Mano pamokų serijoje 2D pasaulis atidaromas straipsniu Tiesės lygtis plokštumoje. Bet dabar Betmenas atsitraukė nuo plokščiaekranio televizoriaus ir paleidžia iš Baikonūro kosmodromo.
Pradėkime nuo piešinių ir simbolių. Schematiškai plokštumą galima nubraižyti kaip lygiagretainį, kuris sukuria erdvės įspūdį: 
Plokštuma begalinė, bet turime galimybę pavaizduoti tik jos dalelę. Praktikoje, be lygiagretainio, dar brėžiamas ovalas ar net debesis. Dėl techninių priežasčių man patogiau vaizduoti lėktuvą taip ir tokioje pozicijoje. Tikri lėktuvai, kuriuos mes apsvarstysime praktinių pavyzdžių, galima išdėstyti kaip nori - mintyse paimkite piešinį į rankas ir pasukite erdvėje, suteikdami plokštumai bet kokį nuolydį, bet kokį kampą.
Žymėjimas: įprasta plokštumus žymėti mažomis graikiškomis raidėmis, matyt, kad jų nesupainiotų su tiesiai į lėktuvą arba su tiesiai erdvėje. Aš įpratau naudoti raidę. Piešinyje tai raidė „sigma“, o visai ne skylė. Nors, skylėtas lėktuvas, tai tikrai labai juokinga.
Kai kuriais atvejais patogu naudoti tas pačias graikiškas raides su apatiniais indeksais plokštumoms žymėti, pavyzdžiui, .
Akivaizdu, kad plokštumą vienareikšmiškai lemia trys skirtingi taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Todėl trijų raidžių lėktuvų žymėjimai yra gana populiarūs – pagal jiems priklausančius taškus, pavyzdžiui, ir pan. Dažnai raidės rašomos skliausteliuose: 
, kad nesupainiotumėte plokštumos su kita geometrine figūra.
Patyrusiems skaitytojams duosiu nuorodų meniu:
- Kaip parašyti lygtį plokštumai naudojant tašką ir du vektorius?
- Kaip parašyti lygtį plokštumai naudojant tašką ir normalųjį vektorių?
ir mes ilgai lauksime:
Bendroji plokštumos lygtis
Bendroji plokštumos lygtis turi formą , kur koeficientai tuo pačiu metu yra nuliniai.
Nemažai teorinių skaičiavimų ir praktinių uždavinių galioja tiek įprastiniam ortonormaliniam, tiek afininiam erdvės pagrindui (jei nafta yra nafta, grįžkite į pamoką Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorinis pagrindas). Paprastumo dėlei darysime prielaidą, kad visi įvykiai vyksta ortonormaliu pagrindu ir Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje.
O dabar treniruokime šiek tiek erdvinės vaizduotės. Viskas gerai, jei jums tai blogai, dabar mes tai šiek tiek patobulinsime. Net žaidžiant ant nervų reikia praktikos.
Bendriausiu atveju, kai skaičiai nėra lygūs nuliui, plokštuma kerta visas tris koordinačių ašis. Pavyzdžiui, taip:
Dar kartą kartoju, kad lėktuvas tęsiasi neribotą laiką visomis kryptimis, o mes turime galimybę pavaizduoti tik dalį jo.
Apsvarstykite paprasčiausias plokštumų lygtis:
Kaip suprasti šią lygtį? Pagalvokite apie tai: „Z“ VISADA, bet kokios „X“ ir „Y“ reikšmės yra lygios nuliui. Tai yra „gimtosios“ koordinačių plokštumos lygtis. Iš tiesų, formaliai lygtis gali būti perrašyta taip: 
, iš kur aiškiai matyti, kad mums nesvarbu, kokias reikšmes turi „x“ ir „y“, svarbu, kad „z“ būtų lygus nuliui.
Panašiai:
yra koordinačių plokštumos lygtis ;
yra koordinačių plokštumos lygtis.
Šiek tiek apsunkinkime problemą, apsvarstykime plokštumą (čia ir toliau pastraipoje darome prielaidą, kad skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui). Perrašykime lygtį į formą: . Kaip tai suprasti? „X“ yra VISADA, nes bet kuri „y“ ir „z“ reikšmė yra lygi tam tikram skaičiui. Ši plokštuma lygiagreti koordinačių plokštumai. Pavyzdžiui, plokštuma yra lygiagreti plokštumai ir eina per tašką.
Panašiai:
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis;
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis.
Pridėti narių: . Lygtį galima perrašyti taip: , tai yra, „Z“ gali būti bet kas. Ką tai reiškia? „X“ ir „Y“ yra susiję santykiu, kuris plokštumoje nubrėžia tam tikrą tiesią liniją (atpažinsite plokštumos tiesės lygtis?). Kadangi Z gali būti bet kas, ši eilutė „atkartojama“ bet kuriame aukštyje. Taigi lygtis apibrėžia plokštumą, lygiagrečią koordinačių ašiai
Panašiai:
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis;
- plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis.
Jei laisvieji nariai lygūs nuliui, tai plokštumos tiesiogiai eis per atitinkamas ašis. Pavyzdžiui, klasikinis „tiesioginis proporcingumas“:. Nubrėžkite tiesią liniją plokštumoje ir mintyse padauginkite ją aukštyn ir žemyn (nes „z“ yra bet koks). Išvada: lygties pateikta plokštuma eina per koordinačių ašį.
Apžvalgą baigiame: plokštumos lygtis 
eina per kilmę. Na, čia visiškai akivaizdu, kad taškas atitinka pateiktą lygtį.
Ir galiausiai atvejis, parodytas brėžinyje: - plokštuma draugauja su visomis koordinačių ašimis, tuo tarpu ji visada „nukerta“ trikampį, kuris gali būti bet kuriame iš aštuonių oktantų.
Tiesinės nelygybės erdvėje
Norint suprasti informaciją, būtina gerai mokytis tiesinės nelygybės plokštumoje nes daug kas bus panašiai. Pastraipa bus trumpa apžvalga su keliais pavyzdžiais, nes medžiaga praktikoje yra gana reta.
Jei lygtis apibrėžia plokštumą, tai nelygybės
paklausti pustarpiai. Jei nelygybė nėra griežta (paskutiniai du sąraše), tai nelygybės sprendinys, be pustarpės, apima ir pačią plokštumą.
5 pavyzdys
Raskite plokštumos vienetinį normalųjį vektorių 
.
Sprendimas: Vieneto vektorius yra vektorius, kurio ilgis yra vienas. Pažymėkime šį vektorių . Visiškai aišku, kad vektoriai yra kolineariniai: 
Pirmiausia iš plokštumos lygties pašaliname normalųjį vektorių: .
Kaip rasti vieneto vektorių? Norėdami rasti vieneto vektorių, jums reikia kas vektoriaus koordinatė, padalinta iš vektoriaus ilgio.
Perrašykime normalųjį vektorių į formą ir raskime jo ilgį:
Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau:
Atsakymas: 
Patikrinti: , kurį reikėjo patikrinti.
Skaitytojai, atidžiai išstudijavę paskutinę pamokos pastraipą, tikriausiai tai pastebėjo vieneto vektoriaus koordinatės yra būtent vektoriaus krypties kosinusai:
Nukrypkime nuo išardytos problemos: kai jums duotas savavališkas nulinis vektorius, o pagal sąlygą reikia rasti jo krypties kosinusus (žr. paskutines pamokos užduotis Taškinė vektorių sandauga), tada jūs iš tikrųjų taip pat rasite vienetinį vektorių, esantį kolinerėje su duotuoju. Tiesą sakant, dvi užduotys viename butelyje.
Poreikis rasti vienetinį normalųjį vektorių iškyla kai kuriose matematinės analizės problemose.
Mes išsiaiškinome įprasto vektoriaus žvejybą, dabar atsakysime į priešingą klausimą:
Kaip parašyti lygtį plokštumai naudojant tašką ir normalųjį vektorių?
Ši standi normalaus vektoriaus ir taško konstrukcija yra gerai žinoma smiginio taikinio. Ištieskite ranką į priekį ir mintyse pasirinkite savavališką erdvės tašką, pavyzdžiui, mažą katę bufetėje. Akivaizdu, kad per duotas taškas galite piešti vieną plokštumą statmenai rankai.
Plokštumos, einančios per vektoriui statmeną tašką, lygtis išreiškiama formule:
Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.
Yra be galo daug linijų, kurias galima nubrėžti per bet kurį tašką.
Per bet kuriuos du nesutampančius taškus yra tik viena tiesi linija.
Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje arba susikerta viename taške, arba yra
lygiagretus (seka nuo ankstesnio).
Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:
- linijos susikerta;
- tiesios linijos yra lygiagrečios;
- susikerta tiesios linijos.
Tiesiai linija yra pirmos eilės algebrinė kreivė: in Dekarto sistema koordinačių tiesė
plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).
Bendroji tiesės lygtis.
Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi
Ah + Wu + C = 0,
ir pastovus A, B nelygu nuliui tuo pačiu metu. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras
tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B ir NUO Galimi šie ypatingi atvejai:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija eina per pradžią
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU
. B = C = 0, A ≠ 0- linija sutampa su ašimi OU
. A = C = 0, B ≠ 0- linija sutampa su ašimi Oi
Tiesios linijos lygtis gali būti pavaizduota įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją
pradines sąlygas.
Taško ir normaliojo vektoriaus tiesės lygtis.
Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)
statmenai linijai pateikta lygtimi
Ah + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).
Sprendimas. Sudarykime ties A \u003d 3 ir B \u003d -1 tiesės lygtį: 3x - y + C \u003d 0. Norėdami rasti koeficientą C
gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates. Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl
C = -1. Iš viso: norima lygtis: 3x - y - 1 \u003d 0.
Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.
Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir M2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesios linijos lygtis,
einantis per šiuos taškus:
Jei kuris nors vardiklis nulis, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Ant
plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:
jeigu x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2 .
Frakcija = k paskambino nuolydžio koeficientas tiesiai.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.
Sprendimas. Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:
Tiesės lygtis su tašku ir nuolydžiu.
Jei bendroji tiesės lygtis Ah + Wu + C = 0 atnešti į formą:
ir paskirti 
, tada gauta lygtis vadinama
tiesės su nuolydžiu k lygtis.
Taško tiesės ir krypties vektoriaus lygtis.
Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį
tiesi linija per tašką ir tiesės krypties vektorius.
Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą
Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.
Ah + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.
Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,
koeficientai turi atitikti sąlygas:
1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.
Tada tiesios linijos lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.
adresu x = 1, y = 2 mes gauname C/ A = -3, t.y. norima lygtis:
x + y - 3 = 0
Tiesios linijos atkarpose lygtis.
Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada dalijant iš -C gauname:
arba kur
geometrine prasme koeficientai tuo, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė
tiesiai su ašimi Oi, a b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.
Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.
C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.
Normali tiesės lygtis.
Jei abi lygties pusės Ah + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus 
, kuris vadinamas
normalizuojantis veiksnys, tada gauname
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.
Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ * C< 0.
R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki linijos,
a φ yra kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.
Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalingas rašyti skirtingi tipai lygtys
ši tiesi linija.
Šios tiesės lygtis atkarpomis:
Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)
Tiesios linijos lygtis:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi segmentuose, pavyzdžiui, tiesės,
lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.
Kampas tarp linijų plokštumoje.
Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, tada aštrus kampas tarp šių eilučių
bus apibrėžtas kaip
Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Du tiesios linijos yra statmenos,
jeigu k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Tiesioginis Ah + Wu + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai yra proporcingi
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jei taip pat C 1 \u003d λ C, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės
randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygtis yra statmena nurodytai tiesei.
Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b
pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos.
Teorema. Jei duodamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki linijos Ah + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- statmeno pagrindas nukrito nuo taško M už duotą
tiesiai. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:
(1)
Koordinatės x 1 ir 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis
duota linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
Jis gali būti nurodytas įvairiais būdais (vienas taškas ir vektorius, du taškai ir vektorius, trys taškai ir tt). Atsižvelgiant į tai, plokštumos lygtis gali turėti skirtingas formas. Taip pat tam tikromis sąlygomis plokštumos gali būti lygiagrečios, statmenos, susikertančios ir pan. Apie tai kalbėsime šiame straipsnyje. Išmoksime parašyti bendrąją plokštumos lygtį ir ne tik.
Normalioji lygties forma
Tarkime, kad yra erdvė R 3, kuri turi stačiakampę koordinačių sistemą XYZ. Nustatome vektorių α, kuris bus atleistas nuo pradinio taško O. Per vektoriaus α galą nubrėžiame plokštumą P, kuri bus jam statmena.
Pažymėkite P savavališką tašką Q=(x, y, z). Taško Q spindulio vektorių pažymėsime raide p. Vektoriaus α ilgis yra p=IαI ir Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Tai vienetinis vektorius, nukreiptas į šoną, kaip ir vektorius α. α, β ir γ yra atitinkamai kampai, susidarantys tarp vektoriaus Ʋ ir erdvės ašių x, y, z teigiamų krypčių. Tam tikro taško QϵП projekcija į vektorių Ʋ yra pastovią vertę, kuris lygus p: (p,Ʋ) = p(p≥0).
Ši lygtis prasminga, kai p=0. Vienintelis dalykas, kad plokštuma P šiuo atveju susikirs su tašku O (α=0), kuris yra pradžios taškas, o iš taško O atleistas vieneto vektorius Ʋ bus statmenas P, nepaisant jo krypties, o tai reiškia kad vektorius Ʋ nustatomas iš ženklo tikslumo. Ankstesnė lygtis yra mūsų P plokštumos lygtis, išreikšta vektorine forma. Bet koordinatėmis tai atrodys taip:
P čia yra didesnis arba lygus 0. Mes radome lygtį erdvės plokštumos normaliąja forma.
Bendroji lygtis
Jei lygtį padauginsime iš koordinačių iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausime lygtį, lygiavertę duotajai, kuri apibrėžia tą pačią plokštumą. Tai atrodys taip:
Čia A, B, C yra skaičiai, kurie tuo pačiu metu skiriasi nuo nulio. Ši lygtis vadinama bendrosios plokštumos lygtimi.
Plokštumos lygtys. Ypatingi atvejai
Lygtis in bendras vaizdas gali būti pakeistas esant papildomoms sąlygoms. Panagrinėkime kai kuriuos iš jų.
Tarkime, kad koeficientas A lygus 0. Tai reiškia, kad duotoji plokštuma lygiagreti duotai ašiai Ox. Tokiu atveju pasikeis lygties forma: Ву+Cz+D=0.
Panašiai lygties forma pasikeis tokiomis sąlygomis:
- Pirma, jei B = 0, tada lygtis pasikeis į Ax + Cz + D = 0, o tai parodys lygiagretumą Oy ašiai.
- Antra, jei С=0, tai lygtis transformuojama į Ах+Ву+D=0, kas parodys lygiagretumą duotai ašiai Oz.
- Trečia, jei D=0, lygtis atrodys taip: Ax+By+Cz=0, o tai reikš, kad plokštuma kerta O (kilmę).
- Ketvirta, jei A = B = 0, tada lygtis pasikeis į Cz + D = 0, o tai bus lygiagreti su Oxy.
- Penkta, jei B=C=0, tai lygtis tampa Ax+D=0, o tai reiškia, kad plokštuma į Oyz yra lygiagreti.
- Šešta, jei A=C=0, tada lygtis bus Ву+D=0, tai yra, ji praneš apie lygiagretumą Oxz.
Lygties tipas segmentais
Tuo atveju, kai skaičiai A, B, C, D yra ne nulis, (0) lygties forma gali būti tokia:
x/a + y/b + z/c = 1,
kuriame a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.
Gauname rezultatą Verta pažymėti, kad ši plokštuma susikirs su Ox ašimi taške, kurio koordinatės (a,0,0), Oy - (0,b,0), o Oz - (0,0,c) .
Atsižvelgiant į lygtį x/a + y/b + z/c = 1, nesunku vizualiai pavaizduoti plokštumos išsidėstymą tam tikros koordinačių sistemos atžvilgiu.
Normaliosios vektoriaus koordinatės
Normalus vektorius n plokštumai P turi koordinates, kurios yra koeficientai bendroji lygtis duotoje plokštumoje, tai yra n (A, B, C).
Norint nustatyti normaliosios n koordinates, pakanka žinoti bendrąją tam tikros plokštumos lygtį.
Naudojant lygtį atkarpose, kurios forma x/a + y/b + z/c = 1, taip pat naudojant bendrąją lygtį, galima užrašyti bet kurio duotosios plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates: (1 /a + 1/b + 1/ Su).
Reikia pažymėti, kad normalus vektorius padeda išspręsti įvairias problemas. Dažniausios yra užduotys, kurias sudaro plokštumų statmenumo ar lygiagretumo įrodymas, kampų tarp plokštumų arba kampų tarp plokštumų ir tiesių nustatymo problemos.
Plokštumos lygties vaizdas pagal taško ir normaliojo vektoriaus koordinates
Nulinis vektorius n, statmenas duotai plokštumai, vadinamas normaliuoju (normaliuoju) duotai plokštumai.
Tarkime, kad koordinačių erdvėje (stačiakampėje koordinačių sistemoje) Oxyz yra pateikti:
- taškas Mₒ su koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ);
- nulinis vektorius n=A*i+B*j+C*k.
Būtina sudaryti lygtį plokštumai, kuri eis per tašką Mₒ, statmeną normaliajai n.
Erdvėje pasirenkame bet kurį savavališką tašką ir pažymime jį M (x y, z). Tegul bet kurio taško M (x, y, z) spindulio vektorius yra r=x*i+y*j+z*k, o taško Mₒ spindulio vektorius (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Taškas M priklausys duotai plokštumai, jei vektorius MₒM yra statmenas vektoriui n. Ortogonalumo sąlygą rašome naudodami skaliarinį sandaugą:
[MₒM, n] = 0.
Kadangi MₒM \u003d r-rₒ, plokštumos vektorinė lygtis atrodys taip:
Ši lygtis gali būti kitokia. Tam naudojamos skaliarinio sandaugos savybės ir Kairioji pusė lygtys. = -. Jei žymima c, tada bus gauta ši lygtis: - c \u003d 0 arba \u003d c, kuri išreiškia projekcijų pastovumą į normalią nurodytų taškų spindulio vektorių, priklausančių plokštumai, vektorių.
Dabar galite gauti mūsų plokštumos vektorinės lygties rašymo koordinačių formą = 0. Kadangi r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, o n = A*i+B *j+C*k, turime:
Pasirodo, turime lygtį plokštumai, einančia per tašką, statmeną normaliajai n:
A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.
Plokštumos lygties vaizdas pagal dviejų taškų koordinates ir vektoriaus, esančio kolinerėje su plokštuma, vaizdas
Apibrėžiame du savavališkus taškus M′ (x′,y′,z′) ir M″ (x″,y″,z″), taip pat vektorių a (a′,a″,a‴).
Dabar galime sudaryti lygtį duotai plokštumai, kuri eis per turimus taškus M′ ir M″, taip pat bet kurį tašką M, kurio koordinatės (x, y, z) yra lygiagrečios duotam vektoriui a.
Šiuo atveju vektoriai M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ir M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) turi būti vienodi su vektoriumi a=(a′,a″,a‴), o tai reiškia, kad (M′M, M″M, a)=0.
Taigi, mūsų plokštumos erdvėje lygtis atrodys taip:
Plokštumos, kertančios tris taškus, lygties tipas
Tarkime, kad turime tris taškus: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kurie nepriklauso tai pačiai tiesei. Būtina parašyti plokštumos, einančios per duotus tris taškus, lygtį. Geometrijos teorija teigia, kad tokia plokštuma tikrai egzistuoja, tik ji yra vienintelė ir nepakartojama. Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x′, y′, z′), jos lygties forma bus tokia:
Čia A, B, C skiriasi nuo nulio tuo pačiu metu. Taip pat duotoji plokštuma kerta dar du taškus: (x″,y″,z″) ir (x‴,y‴,z‴). Šiuo atžvilgiu turi būti įvykdytos šios sąlygos:
Dabar galime sudaryti vienalytę sistemą su nežinomaisiais u, v, w:
Mūsų atvejis x,y arba z yra savavališkas taškas, atitinkantis (1) lygtį. Atsižvelgiant į (1) lygtį ir (2) bei (3) lygčių sistemą, aukščiau esančiame paveikslėlyje parodyta lygčių sistema tenkina vektorių N (A, B, C), kuris nėra trivialus. Štai kodėl šios sistemos determinantas yra lygus nuliui.
(1) lygtis, kurią gavome, yra plokštumos lygtis. Jis tiksliai eina per 3 taškus, ir tai lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, turime išplėsti savo determinantą, palyginti su pirmosios eilutės elementais. Iš esamų determinanto savybių matyti, kad mūsų plokštuma vienu metu kerta tris iš pradžių duotus taškus (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Tai yra, mes išsprendėme mums iškeltą užduotį.
Dvikampis kampas tarp plokštumų
Dvikampis kampas yra erdvinis geometrinė figūra, sudarytas iš dviejų pusiau plokštumų, kylančių iš vienos tiesios linijos. Kitaip tariant, tai yra erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos.
Tarkime, kad turime dvi plokštumas su tokiomis lygtimis:
Žinome, kad vektoriai N=(A,B,C) ir N¹=(A¹,B¹,C¹) yra statmeni nurodytoms plokštumoms. Šiuo atžvilgiu kampas φ tarp vektorių N ir N¹ yra lygus kampui (diedraliui), kuris yra tarp šių plokštumų. Skaliarinis sandauga turi tokią formą:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
būtent todėl
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Pakanka atsižvelgti į tai, kad 0≤φ≤π.
Tiesą sakant, dvi plokštumos, kurios susikerta, sudaro du (dvikampius) kampus: φ 1 ir φ 2 . Jų suma lygi π (φ 1 + φ 2 = π). Kalbant apie jų kosinusus, jų absoliučios vertės yra lygios, tačiau skiriasi ženklais, ty cos φ 1 =-cos φ 2. Jei (0) lygtyje A, B ir C pakeisime atitinkamai skaičiais -A, -B ir -C, tada gauta lygtis nustatys tą pačią plokštumą, vienintelį kampą φ lygtyje cos φ= NN 1 /| N||N 1 | bus pakeistas π-φ.
Statmenos plokštumos lygtis
Plokštumos vadinamos statmenomis, jei kampas tarp jų yra 90 laipsnių. Naudodami aukščiau aprašytą medžiagą galime rasti plokštumos, statmenos kitai, lygtį. Tarkime, kad turime dvi plokštumas: Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Galime teigti, kad jie bus statmeni, jei cosφ=0. Tai reiškia, kad NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Lygiagrečios plokštumos lygtis
Lygiagrečios yra dvi plokštumos, kuriose nėra bendrų taškų.
Sąlyga (jų lygtys yra tokios pačios kaip ir ankstesnėje pastraipoje) yra ta, kad vektoriai N ir N¹, kurie yra statmeni jiems, yra kolinearūs. Tai reiškia, kad tenkinamos šios proporcingumo sąlygos:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Jei proporcingumo sąlygos yra išplėstos - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
tai rodo, kad šios plokštumos sutampa. Tai reiškia, kad lygtys Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apibūdina vieną plokštumą.
Atstumas iki plokštumos nuo taško
Tarkime, kad turime plokštumą P, kuri pateikiama pagal (0) lygtį. Reikia rasti atstumą iki jo nuo taško koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Norėdami tai padaryti, turite paversti plokštumos P lygtį į normalią formą:
(ρ,v)=p (p≥0).
Šiuo atveju ρ(x,y,z) yra mūsų taško Q, esančio P, spindulio vektorius, p yra statmeno P, kuris buvo atleistas nuo nulinio taško, ilgis, v yra vieneto vektorius, kuris yra esantis a kryptimi.
Kai kurio taško Q=(x, y, z), priklausančio P, spindulio vektoriaus skirtumas ρ-ρº, taip pat tam tikro taško spindulio vektorius Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) yra toks vektorius, projekcijos, kurios į v absoliuti vertė yra lygi atstumui d, kurį reikia rasti nuo Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) iki P:
D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet
(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).
Taigi pasirodo
d=|(ρ 0 ,v)-p|.
Taigi rasime gautos išraiškos absoliučią reikšmę, tai yra norimą d.
Naudodami parametrų kalbą gauname akivaizdų:
d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
Jeigu duotas taškas Q 0 yra kitoje P plokštumos pusėje, kaip ir pradžios taškas, taigi tarp vektoriaus ρ-ρ 0 ir v yra:
d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.
Tuo atveju, kai taškas Q 0 kartu su pradžia yra toje pačioje P pusėje, tada sukurtas kampas yra smailus, tai yra:
d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.
Dėl to išeina, kad pirmuoju atveju (ρ 0 ,v)> р, antruoju (ρ 0 ,v)<р.
Liestinės plokštuma ir jos lygtis
Paviršiaus liestinė sąlyčio taške Mº yra plokštuma, kurioje yra visos galimos kreivių, nubrėžtų per šį paviršiaus tašką, liestinės.
Esant tokiai paviršiaus lygties F (x, y, z) \u003d 0 formai, liestinės plokštumos lygtis liestinės taške Mº (xº, yº, zº) atrodys taip:
F x (xº, yº, zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº) (y-yº)+ F x (xº, yº, zº) (z-zº)=0.
Jei paviršių nurodysite aiškia forma z=f (x, y), tada liestinės plokštuma bus aprašyta lygtimi:
z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).
Dviejų plokštumų sankirta
Koordinačių sistemoje (stačiakampėje) yra Oxyz, pateiktos dvi plokštumos П′ ir П″, kurios susikerta ir nesutampa. Kadangi bet kuri plokštuma, esanti stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra nustatoma pagal bendrąją lygtį, manysime, kad P′ ir P″ pateikiamos lygtimis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x +B″y+ С″z+D″=0. Šiuo atveju turime P′ plokštumos normaliąją n′ (A′, B′, C′) ir P″ plokštumos normaliąją n″ (A″, B″, C″). Kadangi mūsų plokštumos nėra lygiagrečios ir nesutampa, šie vektoriai nėra kolineariniai. Naudodamiesi matematikos kalba, šią sąlygą galime užrašyti taip: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Tegul tiesė, esanti P′ ir P″ sankirtoje, yra pažymėta raide a, šiuo atveju a = P′ ∩ P″.
a yra tiesė, susidedanti iš visų (bendrų) plokštumų П′ ir П″ taškų aibės. Tai reiškia, kad bet kurio taško, priklausančio tiesei a koordinatės, vienu metu turi atitikti lygtis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x+B″y+C″z+D″= 0. Tai reiškia, kad taško koordinatės bus tam tikras šios lygčių sistemos sprendimas:
Dėl to paaiškėja, kad šios lygčių sistemos (bendrasis) sprendimas nustatys kiekvieno tiesės taško, kuris veiks kaip П′ ir П″ susikirtimo taškas, koordinates ir nustatys tiesę. tiesė a koordinačių sistemoje Oxyz (stačiakampė) erdvėje.
Kad viena plokštuma būtų nubrėžta per bet kuriuos tris erdvės taškus, būtina, kad šie taškai nebūtų vienoje tiesėje.
Apsvarstykite taškus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) bendroje Dekarto koordinačių sistemoje.
Kad savavališkas taškas M(x, y, z) atsidurtų toje pačioje plokštumoje kaip ir taškai M 1 , M 2 , M 3 , vektoriai turi būti vienodi.
(
)
= 0
Šiuo būdu, 
Plokštumos, kertančios tris taškus, lygtis:
Plokštumos dviejų taškų ir plokštumai kolinerinio vektoriaus lygtis.
Tegu taškai M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ir vektorius 
.
Sudarykime lygtį plokštumos, einančios per duotus taškus M 1 ir M 2 ir savavališką tašką M (x, y, z), lygiagretų vektoriui 
.
Vektoriai 
ir vektorius 
turi būti lygiagrečiai, t.y.
(
)
= 0
Plokštumos lygtis:
Plokštumos lygtis vieno taško ir dviejų vektorių atžvilgiu,
kolinearinė plokštuma.
Tegu pateikiami du vektoriai 
ir 
, kolinearinės plokštumos. Tada savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, vektoriai 
turi būti lygiagrečios.
Plokštumos lygtis:
Plokštumos lygtis pagal tašką ir normalųjį vektorių .
Teorema.
Jeigu erdvėje duotas taškas M 0
(X 0
, y 0
,
z 0
), tada plokštumos, einančios per tašką M, lygtis 0
statmenai normaliajam vektoriui
(A,
B,
C) turi tokią formą:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Įrodymas.
Savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, sudarome vektorių . Nes vektorius
- normalus vektorius, tada jis yra statmenas plokštumai, taigi, statmenas vektoriui 
. Tada skaliarinė sandauga
=
0
Taigi gauname plokštumos lygtį
Teorema įrodyta.
Plokštumos atkarpomis lygtis.
Jei bendrojoje lygtyje Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, padalykite abi dalis iš (-D)
,
pakeičiant 
, gauname plokštumos lygtį atkarpomis:
Skaičiai a, b, c yra atitinkamai plokštumos susikirtimo taškai su x, y, z ašimis.
Plokštumos lygtis vektorine forma.
kur
- dabartinio taško M(x, y, z) spindulys-vektorius,
Vienetinis vektorius, kurio statmens kryptis nukrenta į plokštumą nuo pradžios.
, ir yra šio vektoriaus suformuoti kampai su x, y, z ašimis.
p yra šio statmens ilgis.
Koordinatėse ši lygtis turi tokią formą:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Atstumas nuo taško iki plokštumos.
Atstumas nuo savavališko taško M 0 (x 0, y 0, z 0) iki plokštumos Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 yra:
Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P (4; -3; 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.
Taigi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, naudokite formulę:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per du taškus P(2; 0; -1) lygtį ir
Q(1; -1; 3) yra statmena plokštumai 3x + 2y - z + 5 = 0.
Normalus vektorius plokštumai 3x + 2y - z + 5 = 0 
lygiagrečiai norimai plokštumai.
Mes gauname:
Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per taškus A(2, -1, 4) lygtį ir
В(3, 2, -1) statmenai plokštumai X + adresu + 2z – 3 = 0.
Norima plokštumos lygtis yra tokia: A x+ B y+C z+ D = 0, normalusis vektorius šiai plokštumai 
(A, B, C). Vektorius 
(1, 3, -5) priklauso plokštumai. Mums duota plokštuma, statmena norimai, turi normalųjį vektorių 
(1, 1, 2). Nes taškai A ir B priklauso abiem plokštumoms, o plokštumos yra viena kitai statmenos, tada
Taigi normalus vektorius 
(11, -7, -2). Nes taškas A priklauso norimai plokštumai, tada jo koordinatės turi tenkinti šios plokštumos lygtį, t.y. 112 + 71 - 24 + D= 0;D= -21.
Iš viso gauname plokštumos lygtį: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.
Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P(4, -3, 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.
Normaliojo vektoriaus koordinačių radimas 
= (4, -3, 12). Norima plokštumos lygtis yra tokia: 4 x
– 3y
+ 12z+ D = 0. Norėdami rasti koeficientą D, taško Р koordinates pakeičiame į lygtį:
16 + 9 + 144 + D = 0
Iš viso gauname norimą lygtį: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0
Pavyzdys. Duotos piramidės viršūnių koordinatės A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),
Raskite kraštinės ilgį A 1 A 2 .
Raskite kampą tarp kraštinių A 1 A 2 ir A 1 A 4.
Raskite kampą tarp briaunos A 1 A 4 ir paviršiaus A 1 A 2 A 3 .
Pirmiausia suraskite normaliojo veido vektorių A 1 A 2 A 3 
kaip vektorių kryžminė sandauga 
ir 
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Raskite kampą tarp normalaus vektoriaus ir vektoriaus 
.
-4
– 4 = -8.
Norimas kampas tarp vektoriaus ir plokštumos bus lygus = 90 0 - .
Raskite veido plotą A 1 A 2 A 3.
Raskite piramidės tūrį.
Raskite plokštumos А 1 А 2 А 3 lygtį.
Mes naudojame formulę plokštumos, einančios per tris taškus, lygčiai.
2x + 2y + 2z - 8 = 0
x + y + z-4 = 0;
Kai naudojate kompiuterio versiją " Aukštosios matematikos kursas“ galite paleisti programą, kuri išspręs aukščiau pateiktą pavyzdį bet kurioms piramidės viršūnių koordinatėms.
Dukart spustelėkite piktogramą, kad paleistumėte programą:
Atsidariusiame programos lange įveskite piramidės viršūnių koordinates ir paspauskite Enter. Taigi visus sprendimo taškus galima gauti po vieną.
Pastaba: Kad paleistumėte programą, kompiuteryje turi būti įdiegta Maple ( Waterloo Maple Inc.), bet kuri versija prasideda nuo 4 MapleV Release.
