Pristatymas tema: Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas

1 iš 24

Pristatymas tema: Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas

skaidrės numeris 1

Skaidrės aprašymas:

skaidrės numeris 2

Skaidrės aprašymas:

Pamokos tikslai: Šios pamokos medžiaga supažindina su tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu bei statmenų tiesių ir plokštumos savybėmis. Mus supantis pasaulis pateikia daug tiesės ir plokštumos statmenumo pavyzdžių. Tinkamai sumontuotas vertikalus stulpas yra statmenas žemės plokštumai. Kambario sienų susikirtimo linijos yra statmenos grindų plokštumai. Statant pastatus, įrengiant stulpus jų stabilumui, labai svarbu užtikrinti statmenumą žemei. Tam yra specialūs statmenumo tikrinimo metodai, pagrįsti tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu bei statmenų tiesių ir plokštumos savybėmis, kuriuos išnagrinėsime. Išstudijavę ankstesnės pamokos medžiagą, susipažinote su statmenų tiesių apibrėžimu ir savybėmis, su tiesės, statmenos plokštumai, apibrėžimu. Pakartokite šias medžiagas dar kartą. Tai padės teisingai atsakyti į testo, kuriame patikrinamos jūsų žinios tema „Statmenos tiesės“, klausimus.

skaidrės numeris 3

Skaidrės aprašymas:

Statmenos linijos Dvi erdvėje esančios tiesės vadinamos statmenomis (abipusiomis statmenomis), jei kampas tarp jų yra 900. Statmenumui žymėti naudojamas ženklas ┴. Paveiksle tiesė m yra statmena tiesei n arba m┴n. Statmenų tiesių lema Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena trečiajai tiesei, tai kita tiesė taip pat yra statmena šiai tiesei. Simboliškai šią lemą galima parašyti kaip

skaidrės numeris 4

Skaidrės aprašymas:

Tiesė, statmena plokštumai Tiesė laikoma statmena plokštumai, jei ji yra statmena bet kuriai tos plokštumos tiesei. Ženklas ┴ naudojamas statmenumui nurodyti. Paveiksle pavaizduota tiesė a, statmena plokštumai a arba a┴α.

skaidrės numeris 5

Skaidrės aprašymas:

Dviejų lygiagrečių tiesių ir plokštumos teorema Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai kita tiesė taip pat yra statmena šiai plokštumai. Simboliškai šią teoremą galima parašyti taip Teorema apie dvi tieses, statmenas plokštumai Jei dvi tiesės yra statmenos plokštumai, tai jos lygiagrečios viena kitai. Simboliškai šią teoremą galima parašyti kaip

skaidrės numeris 6

Skaidrės aprašymas:

Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas Ko gero, kiekvienam teko kasti futbolo vartų stulpus. Kartais net nepasiekdavo skersinio. Kaip svarbu buvo nustatyti juostą taip, kad ji būtų statmena žemės paviršiui. Jei naudojate tiesės statmenumo plokštumai apibrėžimą, tuomet turėtumėte patikrinti juostos statmenumą kiekvienai futbolo aikštės tiesei. Ar galima apsiriboti mažesniu patikrinimų skaičiumi? Pasirodo, gali. Tačiau vieno patikrinimo akivaizdžiai neužtenka. Jei duotoji tiesė yra statmena tik vienai plokštumos tiesei, tai ji nėra statmena pačiai plokštumai (3 pav.). Tai gali būti šioje plokštumoje. Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena pačiai plokštumai (4 pav.). Šis teiginys vadinamas tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu ir formuluojamas kaip teorema. Taigi, norint nustatyti vartų virpstą statmenai lauko plokštumai, užtenka patikrinti jo statmenumą pažiūrėjus į jį iš dviejų skirtingų, bet ne priešingų pusių.

skaidrės numeris 7

Skaidrės aprašymas:

Teorema Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena šiai plokštumai. Tegu b┴q; b┴p; p a; qa; p ∩ q=O. Įrodykime, kad b┴a. Norėdami tai padaryti, turime įrodyti, kad tiesė b yra statmena bet kuriai (savavališkai) tiesei m plokštumos a. Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai tiesė b eina per susikirtimo tašką O. Nubrėžkime tiesę l per tašką O ir lygiagrečią tiesei m. Tiesėje b pažymime taškus A ir B, vienodu atstumu nuo taško O, ir plokštumoje a nubrėžiame tiesę, kuri kerta tieses p, l ir q atitinkamai taškuose P, L ir Q. Kadangi tiesės p ir q yra statmenos pusiausvyros, tada АР = BP ir AQ = BQ. Todėl ∆APQ=∆BPQ (iš trijų pusių). Tada APL = BPL ir ∆ APL = ∆ BPL (iš dviejų pusių ir kampe). Tada AL=BL. Todėl ∆ALB yra lygiašonis, atkarpa LO yra mediana ir aukštis šiame trikampyje, AOL=900 ir b┴l. Nes l || m, tada b┴m (pagal lemą statmenose tiesėse), tai yra, b┴a.

skaidrės numeris 8

Skaidrės aprašymas:

Dabar panagrinėkime atvejį, kai tiesė a eina ne per tašką O, o a┴q; a┴p. Per tašką O nubrėžkime tiesę, lygiagrečią tiesei a. Ši linija yra statmena tiesėms p ir q (statmenomis ties lema) ir todėl sutampa su tiese b. Kadangi b┴a ir b||a, tada a┴a (pagal teoremą ant dviejų lygiagrečių tiesių ir plokštumos). Teorema įrodyta. Simboliškai šią teoremą galima parašyti taip.Įrodome dvi teoremas, kurios pagrindžia plokštumos, einančios per tam tikrą tašką ir statmenos nurodytai tiesei, egzistavimą bei tiesės, einančios per nurodytą tašką ir statmenos tam tikrai plokštumai, egzistavimą. Įrodinėdami šias teoremas naudosime tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą.

skaidrės numeris 9

Skaidrės aprašymas:

Tiesei statmena plokštuma Teorema Per bet kurį erdvės tašką eina plokštuma, statmena nurodytai tiesei ir, be to, tik viena. Duotą tiesę pažymėkime raide a, o savavališką erdvės tašką – raide M. 1. Įrodykime, kad egzistuoja plokštuma, statmena tiesei a ir einanti per tašką M. Nubrėžkime dvi plokštumas per tiesė a ir taip, kad plokštuma eitų per tašką M .. Plokštumoje per tašką M nubrėžkite tiesę p, statmeną tiesei a ir kertančią ją taške A. Plokštumoje nubrėžkite tiesę q, statmeną tiesė a ir einanti per tašką A. Panagrinėkime plokštumą, einančią per tieses p ir q. Ši plokštuma yra statmena tiesei a (tiesės ir plokštumos statmenumo pagrindu) ir eina per savavališką tašką M. Todėl tai yra norima plokštuma. Egzistavimas įrodytas.

skaidrės numeris 10

Skaidrės aprašymas:

2. Įrodykime tokios plokštumos išskirtinumą. Įrodykime prieštaravimu. Tegu yra dvi plokštumos u, einančios per tašką M ir statmenos tiesei a. Bet tada || . Bet plokštumos ir negali būti lygiagrečios viena kitai, nes turi bendrą tašką M. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga ir yra tik viena plokštuma, einanti per savavališką erdvės tašką, statmeną duotai tiesei. Unikalumas įrodytas.

skaidrės numeris 11

Skaidrės aprašymas:

Plokštumai statmenos tiesės teorema Per bet kurį erdvės tašką eina tiesė, statmena duotai plokštumai ir, be to, tik viena. Pažymėti duotas lėktuvas raidė a, o savavališkas erdvės taškas - raidė M. 1. Įrodome, kad egzistuoja tiesė, statmena plokštumai ir einanti per tašką M. Nubrėžkite tiesę b plokštumoje. Per tašką M nubrėžiame tiesei b statmeną plokštumą (tai galime padaryti remiantis ankstesne teorema tiesei statmenoje plokštumoje). Tegul c yra bendroji plokštumų ir linija. Plokštumoje per tašką M nubrėžkime tiesę a, statmeną tiesei c. Tada tiesė a yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje. Todėl tiesė a yra statmena plokštumai a (pagal tiesės ir plokštumos statmenumo kriterijų). Todėl a yra norima eilutė. Egzistavimas įrodytas.

skaidrės numeris 12

Skaidrės aprašymas:

2. Įrodykime tokios linijos išskirtinumą. Įrodykime prieštaravimu. Tegul yra dvi tiesės a ir a1, einančios per tašką M ir statmenos plokštumos a. Bet tada a||a1 (žr. teoremą ant dviejų tiesių, statmenų plokštumai). Bet tiesės a ir a1 negali būti lygiagrečios viena kitai, nes turi bendrą tašką M. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga ir yra tik viena tiesė, einanti per savavališką erdvės tašką, statmeną duotai plokštumai. Unikalumas įrodytas.

skaidrės numeris 13

Skaidrės aprašymas:

Įrodinėjimo problemų pavyzdžiai. Skaičiavimo užduočių pavyzdžiai Pateikta: plokštuma (ABC), MV┴AB, MV┴BC, D(ABC). Įrodykite: ∆MBD yra stačiakampis. Įrodymas. MV┴AB, MV┴BC. Todėl МВ┴(АВС) (pagal tiesės ir plokštumos statmeną). Tada МВ┴BD (pagal apibrėžimą, tiesė, statmena plokštumai). Todėl DBM=900 ir ∆MBD yra stačiakampis, ką reikėjo įrodyti.

skaidrės numeris 14

Skaidrės aprašymas:

Duota: ABCD - kvadratas, MA ┴, ABCD. Įrodykite: BD┴MO. Įrodymas. MA┴, todėl MA┴BD (pagal apibrėžimą, tiesė, statmena plokštumai). ВD┴АО (pagal kvadrato savybę). Tada BD┴(AOM) (pagal tiesės ir plokštumos statmeną BD yra statmena dviem šioje plokštumoje esančioms susikertančioms tiesėms AO ir MA). Todėl BD┴MO (pagal apibrėžimą, tiesė, statmena plokštumai), kurią reikėjo įrodyti.

Skaidrės aprašymas:

Patikrinkite save. Statmenos linijos Prieš rašydami sakinius, padalintus į dvi dalis. Pagalvokite, kurį variantą turite pasirinkti, kad pasisektų teisingas sakinys. Įveskite pasirinktos parinkties numerį. Jei dvi tiesės yra lygiagrečios trečiajai tiesei, tada visos trys tiesės visada yra toje pačioje plokštumoje. tada jie kryžminasi vienas su kitu. tada jie yra lygiagrečiai vienas kitam. tada jie yra statmeni vienas kitam.

skaidrės numeris 19

Skaidrės aprašymas:

Patikrinkite save. Statmenos linijos Prieš rašydami sakinius, padalintus į dvi dalis. Pagalvokite, kurį iš variantų turite pasirinkti, kad gautumėte tinkamą sakinį. Įveskite pasirinktos parinkties numerį. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių plokštumų, tai ji priklauso kitai plokštumai. tada kita plokštuma nėra statmena duotai tiesei. tada jis yra statmenas kitai plokštumai. tada ji visada lygiagreti kitai plokštumai.

Skaidrės aprašymas:

skaidrės numeris 24

Skaidrės aprašymas:

Namų darbai: L. S. Atanasyanas ir kt. Geometrija. Vadovėlis 10-11 klasei vidurinė mokykla. 1. 129 pratimas b) Tiesė AM yra statmena kvadrato ABCD plokštumai, kurios įstrižainės susikerta taške O. Įrodykite, kad MO > MD. 2. 131 pratimas Tetraedre ABCD taškas M yra briaunos BC vidurio taškas, AB=AC, DB=DC. Įrodykite, kad trikampio ADM plokštuma yra statmena tiesei BC. 3. 134 pratimas Įrodykite, kad visos tiesės, einančios per nurodytą tiesės a tašką M ir statmenos šiai tiesei, yra plokštumoje, einančioje per tašką M ir statmenoje tiesei a. 4. 137 pratimas Įrodykite, kad per dvi viena kitai statmenas pasvirimo linijas eina kitai tiesei statmena plokštuma.

Šioje pamokoje pakartosime teoriją ir įrodysime tiesės ir plokštumos statmenumo teoremą-atributą.
Pamokos pradžioje primename tiesės, statmenos plokštumai, apibrėžimą. Toliau nagrinėjame ir įrodome tiesės ir plokštumos statmenumo teoremą. Norėdami įrodyti šią teoremą, primename statmeno bisektoriaus savybę.
Toliau išsprendžiame keletą tiesės ir plokštumos statmenumo uždavinių.

Tema: Tiesės ir plokštumos statmena

Pamoka: tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas

Šioje pamokoje pakartosime teoriją ir įrodysime teorema-tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas.

Apibrėžimas. Tiesiai a vadinama statmena plokštumai α, jei ji statmena bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei.

Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena tai plokštumai.

Įrodymas.

Pateikiame plokštumą α. Šioje plokštumoje yra dvi susikertančios linijos. p ir q. Tiesiai a statmenai linijai p ir tiesioginis q. Turime įrodyti, kad linija a yra statmena plokštumai α, tai yra, kad tiesė a yra statmena bet kuriai tiesei, esančiai plokštumoje α.

Priminimas.

Norėdami tai įrodyti, turime prisiminti statmenos atkarpos pusiausvyros savybes. Vidurinis statmenas Rį segmentą AB yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo atkarpos galų, vieta. Tai yra, jei esmė NUO guli ant statmeno bisektoriaus p, tada AC = BC.

Tegul taškas O- linijos susikirtimo taškas a ir plokštuma α (2 pav.). Neprarasdami bendrumo, manysime, kad linijos p ir q susikerta taške O. Turime įrodyti linijos statmenumą aį savavališką eilutę m iš plokštumos α.

Pereikime per tašką O tiesioginis l, lygiagrečiai linijai m. Tiesioje linijoje a atidėti segmentus OA ir OV, ir OA = OV, tai yra esmė O- segmento vidurys AB. Nubrėžkime tiesią liniją PL, .

Tiesiai R statmenai linijai a(iš būklės), (pagal konstrukciją). Reiškia, R AB. Taškas R guli ant tiesios linijos R. Reiškia, RA = RV.

Tiesiai q statmenai linijai a(iš būklės), (pagal konstrukciją). Reiškia, q- vidurio statmena segmentui AB. Taškas K guli ant tiesios linijos q. Reiškia, QA =QB.

trikampiai ARK ir VRK lygios iš trijų pusių (RA = RV, QA =QB, PQ- bendroji pusė). Taigi kampai ARK ir VRK yra lygūs.

trikampiai BETPL ir BPL vienodo kampo ir dviejų gretimų kraštinių (∠ ARL= ∠VRL, RA = RV, PL- bendroji pusė). Iš trikampių lygybės gauname tai AL=BL.

Apsvarstykite trikampį ABL. Jis yra lygiakraštis, nes AL=B.L. Lygiašoniame trikampyje mediana LO taip pat yra aukštis, tai yra linija LO statmenai AB.

Mes tai aiškiai supratome a statmenai linijai l, taigi tiesiai m, Q.E.D.

taškų A, M, O guli ant tiesės, statmenos plokštumai α, ir taškais O, V, S ir D guli α plokštumoje (3 pav.). Kuris iš šių kampų yra teisingas: ?

Sprendimas

Panagrinėkime kampą. Tiesiai UAB yra statmena plokštumai α, taigi ir tiesei UAB yra statmena bet kuriai tiesei, esančiai plokštumoje α, įskaitant tiesę IN. Reiškia,.

Panagrinėkime kampą. Tiesiai UAB statmenai linijai OS, reiškia,.

Panagrinėkime kampą. Tiesiai UAB statmenai linijai OD, reiškia,. Apsvarstykite trikampį DAO. Trikampis gali turėti tik vieną stačią kampą. Taigi kampas DAM– nėra tiesioginis.

Panagrinėkime kampą. Tiesiai UAB statmenai linijai OD, reiškia,.

Panagrinėkime kampą. Tai yra stačiakampio trikampio kampas BMO, jis negali būti tiesus, nes kampas SM- tiesiai.

Atsakymas: .

Trikampyje ABC duota: , AC= 6 cm, Saulė= 8 cm, CM- mediana (4 pav.). Per viršų NUO tiesioginis SC statmena trikampio plokštumai ABC, ir SC= 12 cm Raskite KM.

Sprendimas:

Raskime ilgį AB pagal Pitagoro teoremą: (cm).

Pagal nuosavybę taisyklingas trikampis hipotenuzės vidurio taškas M vienodu atstumu nuo trikampio viršūnių. Tai yra SM = AM = VM, (cm).

Apsvarstykite trikampį KSM. Tiesiai KS statmenai plokštumai ABC, tai reiškia KS statmenai CM. Taigi trikampis KSM- stačiakampis. Raskite hipotenuzę KM iš Pitagoro teoremos: (žr.).

1. Geometrija. 10-11 klasė: vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų(pagrindas ir profilio lygiai) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovas. - 5-asis leidimas, taisytas ir papildytas - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: iliustr.

1, 2, 5, 6 užduotys 57 psl

2. Apibrėžkite tiesės ir plokštumos statmenumą.

3. Nurodykite porą kube – briauną ir veidą, kurie yra statmeni.

4. Taškas Į yra už lygiašonio trikampio plokštumos ABC ir vienodu atstumu nuo taškų AT ir NUO. M- pagrindo vidurys Saulė. Įrodykite, kad linija Saulė statmenai plokštumai AKM.

TEKSTAS PAMOKOS PAAIŠKINIMAS:

Inžinierius daug laiko praleidžia kurdamas įrenginio dizainą. Įrenginio dizaino keitimas ir modifikavimas. Kodėl, pavyzdžiui, buitinis ventiliatorius turi tokią formą? Konstrukcija turi būti tokia, kad ventiliatorius nenukristų ir darbo metu stovėtų tvirtai statmenai grindims. Šio buitinio prietaiso dizainą galima perkelti į brėžinį.

Grindys pakeisime plokštuma α, ventiliatoriaus strypą nubrėžsime kaip tiesią liniją a, o tvirtinimo kojeles – tiesiomis b ir c linijomis.

Tarkime, jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena tai plokštumai.

Įrodykime prielaidą.

Apsvarstykite mūsų tiesę a, kuri bus statmena susikertančioms tiesėms b ir c, esančioms plokštumoje α. Tiesių susikirtimo tašką pažymėkime tašku M.

Įrodykime, kad tiesė a yra statmena plokštumai α.

Kadangi žinome, kad tiesė yra statmena plokštumai, jei ji yra statmena bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei, tai turime įrodyti, kad tiesė a yra statmena savavališkai tiesei x.

Norėdami tai įrodyti, papildomai statome tiesę y, lygiagrečią tiesei x ir kertančią tašką M.

Be to, tiesėje a pažymime taškus M1 ir M2 taip, kad taškas M būtų atkarpos M1M2 vidurio taškas.

Taip pat plokštumoje nubrėžiame liniją, kertančią tieses b, c, y in taškai B, C, Y atitinkamai.

Sujungiame gautus taškus su atkarpos M1M2 galais. Kadangi tiesės b ir c yra statmenos tiesei a ir eina per atkarpos M1M2 vidurį, jas galima vadinti statmenomis atkarpos M1M2 pusiaukelėmis. Tada taškai B ir C yra vienodu atstumu nuo atkarpos galų, tai yra atkarpa M1B lygi atkarpai VM2, o atkarpa M1C – atkarpai CM2.

Trikampis VM1M lygus trikampiui VM2M iš trijų kraštinių. Iš trikampių lygybės matyti, kad kampas M1BY lygus kampui.

Tada trikampiai M1BY yra lygūs trikampiui M2BY iš dviejų pusių ir kampui tarp jų. Iš šių trikampių lygybės išplaukia atkarpų M1Y ir M2Y lygybė.

Tai reiškia, kad trikampis M1YM2 yra lygiašonis su pagrindu M1M2, o atkarpa YM yra jo mediana, o pagal lygiašonio trikampio, nubrėžto į trikampio pagrindą, medianos savybę, atkarpa YM yra aukštis, o tai reiškia, kad linijos y ir a, kuriose yra šios atkarpos, gali būti laikomos statmenomis.

Tiesė y yra statmena tiesei a ir lygiagreti tiesei x. Dviejų lygiagrečių tiesių statmenumo trečiajai tiesei lema išplaukia, kad tiesė x taip pat yra statmena tiesei a.

Taigi, tiesė a yra statmena bet kuriai tiesei x, tai reiškia, kad ji yra statmena plokštumai α.

Tačiau šioje teoremoje galimas dar vienas tiesės a vietos atvejis, kurio mūsų brėžinio konfigūracija neparodo. Kai tiesė a nekerta tiesių b ir c susikirtimo taško.

Įrodykime šį variantą.

Šiuo atveju brėžiame tiesę a1, lygiagrečią tiesei a ir kertančią tašką M.

Svarbu atsiminti ankstesnėje pamokoje išnagrinėtą teoremą:

jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai kita tiesė taip pat yra statmena tai plokštumai.

Kadangi tiesė a yra statmena tiesėms b ir c ir lygiagreti tiesei a1, tai pagal lemą tiesė a1 taip pat bus statmena tiesėms b ir c.

Šiuo tiesių išdėstymu mes jau įrodėme, kad linija yra statmena plokštumai.

Bet tada, jei tiesė a1 yra statmena plokštumai ir lygiagreti tiesei a, tai pagal 1 teoremą tiesė a yra statmena plokštumai α.

Ši teorema leidžia įrodyti tiesės statmenumą plokštumai, nurodant tik dviejų susikertančių tiesių, esančių šioje plokštumoje, o ne bet kurios tiesės statmenumą. Geometrijoje šis teiginys vadinamas tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu.

Apsvarstykite tiesės ir plokštumos statmenumo ženklo taikymą.

Duotas trikampis ABC, kurio kampų A ir B suma lygi 90 laipsnių. Tiesė BD nubrėžta statmenai trikampio ABC plokštumai.

Linija CD yra trikampio BC plokštumoje.

Trikampis ABC yra stačiakampis, nes kampas DAB yra lygus 180 laipsnių skirtumui ir kampų A ir B sumai. Vadinasi, tiesė AC yra statmena tiesei BC.

Pagal sąlygą tiesė BD yra statmena plokštumai ABC, taigi ji yra statmena tiesei AC.

Tada tiesė AC yra statmena dviem susikertančioms tiesėms BC ir BD, esančioms trikampio BCD plokštumoje, o tai reiškia, kad AC yra statmena plokštumai BCD ir statmena šioje plokštumoje esančiai tiesei CD.

Apsvarstykite kitą problemos sprendimo pavyzdį.

Duoti du kvadratai ABCD ir ABEF, kurie išdėstyti taip, kad kraštinė AD AF.

Kadangi ABEF yra kvadratas, tiesė AB yra statmena kraštinei AF.

Tada, remiantis tiesės ir plokštumos AF statmenumu kvadrato ABCD plokštumai ir šioje plokštumoje esančiai tiesei BC.

Pagal kvadrato ABCD apibrėžimą kraštinė BC yra statmena tiesei AB, o tiesė AB lygiagreti tiesei FE plokštumai ABEF, todėl pagal lemą lygiagrečiose tiesėse, statmenose trečiajai tiesei, tiesė FE yra statmena tiesei BC.

Taigi, tiesė BC yra statmena susikertančioms tiesėms AF ir FE, esančioms plokštumoje AEF, o tai pagal tiesės statmens plokštumai ženklą reiškia, kad tiesė BC yra statmena plokštumai AEF.

Ateityje šios savybės pagalba bus įrodinėjamos kelios pagrindinės teoremos apie tiesių ir plokštumų statmenumą erdvėje.

Akivaizdu, kad naudojant tiesioginį apibrėžimą neįmanoma patikrinti linijos ir plokštumos statmenumo

ši sąvoka: juk joje kalbama apie begalinės eilučių porų aibės statmenumą. Tačiau paaiškėja, kad tam pakanka nustatyti tik dviejų linijų porų statmenumą. Štai ką sako kita teorema.

2 teorema. Tiesė, statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms duotoje plokštumoje, yra statmena šiai plokštumai.

Paaiškinimas: Štai pavyzdys: atidarykite knygą ir padėkite ją ant stalo (2.14 pav.).

Knygos stuburas statmenas ant stalo gulinčio viršelio kraštams, taigi ir pačiam stalui. Kitas pavyzdys. Statant stiebą vertikaliai, pakanka jį padaryti taip, kad jis būtų statmenas dviem tiesioms linijoms, nubrėžtoms per jo pagrindą ant denio arba ant žemės. Ir tai galima padaryti iš vieno stiebo taško ištraukiant dvi poras vienodo ilgio vaikinų ir pritvirtinus juos vienodu atstumu nuo stiebo pagrindo kiekvienoje iš dviejų tiesių (2.15 pav.). Šia realia konstrukcija pagrįstas tiesės ir plokštumos statmenumo ženklo įrodymas.

Tegul tiesė a kerta plokštumą a taške O ir yra statmena dviem tiesėms b ir C, einančiomis plokštumoje a per tašką O. Būtina įrodyti, kad tiesė a yra statmena bet kuriai tiesei, einančiai per tašką O lėktuve a. Paimkite bet kurią tokią eilutę d, išskyrus b ir C (2.16 pav.).

Parinkime tieses b ir C išilgai taškų B ir C taip, kad atkarpa BC kirstų tiesę d tam tikrame taške D. Paimkime taškus ir C, EC taip, kad taškas O būtų atkarpų vidurio taškas, t.y. simetriškas taškams B ir C taško O atžvilgiu plokštumoje a. Tada atkarpa ВХСХ, kuri yra simetriška atkarpos BC atžvilgiu O atžvilgiu, susikirs tiesę d taške, simetriškame taškui D O atžvilgiu (įrodykite!).

Dėl taškų simetrijos taškams B, C, D turime lygybes

Dabar paimkime bet kurį tiesės a tašką ir sujunkime jį su atkarpomis AB, AC, AD ir taškais Nuo, o tada a yra statmena atkarpai. Štai kodėl . Taip pat. Kadangi, be to, , t.y. . Be šių vienodi kampai, trikampiuose ABD ir mes turime ir . Bet tada ir