Tikiuosi, kad išstudijavę šį straipsnį sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Diskriminanto pagalba sprendžiamos tik pilnos kvadratinės lygtys; išspręsti nepilnas kvadratines lygtis naudokite kitus metodus, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilnių kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turite apskaičiuoti diskriminantą D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Atsižvelgdami į tai, kokią reikšmę turi diskriminantas, surašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas nulis, tada x \u003d (-b) / 2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D > 0),

tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.

Pavyzdžiui. išspręskite lygtį x 2– 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Atsakymas: - 3,5; vienas.

Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą pagal 1 paveiksle pateiktą schemą.

Šios formulės gali būti naudojamos sprendžiant bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip standartinės formos daugianario

a x 2 + bx + c, kitaip galite suklysti. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad

a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1, tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 sprendimo pavyzdį aukščiau).

Todėl, jei lygtis parašyta ne kaip standartinės formos daugianario, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (pirmiausia turi būti monomas su didžiausiu eksponentu, t. y. a x 2 , tada su mažiau – bx, o tada laisvas terminas Su.

Sprendžiant aukščiau minėtą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu antrojo nario koeficientu, galima naudoti ir kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje su antruoju nariu koeficientas yra lyginis (b = 2k), tai lygtį galima išspręsti naudojant 2 paveikslo diagramoje pateiktas formules.

Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at x 2 lygi vienybei ir lygtis įgauna formą x 2 + px + q = 0. Tokia lygtis gali būti pateikta išspręsti arba gaunama padalijus visus lygties koeficientus iš koeficiento a stovi prie x 2 .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtys. Apsvarstykite šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. išspręskite lygtį

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveiksle parodytas formules.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Atsakymas: -1 - √3; –1 + √3

Matote, kad koeficientas x šioje lygtyje yra lyginis skaičius, tai yra b \u003d 6 arba b \u003d 2k, iš kur k \u003d 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodami formules, parodytas paveikslo diagramoje D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Atsakymas: -1 - √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir padalijame, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x - 2 = 0 Išsprendžiame šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules.
lygtys 3 pav.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Atsakymas: -1 - √3; –1 + √3.

Kaip matote, sprendžiant šią lygtį naudojant skirtingas formules, gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įvaldę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Visiškos kvadratinės lygties transformacija į nepilną atrodo taip (atvejui \(b=0\)):

Tais atvejais, kai \(c=0\) arba kai abu koeficientai lygūs nuliui, viskas yra panašiai.

Atkreipkite dėmesį, kad \(a\) nėra lygus nuliui, jis negali būti lygus nuliui, nes šiuo atveju jis virsta:

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

Visų pirma, jūs turite suprasti, kad nepilna kvadratinė lygtis vis dar yra, todėl ją galima išspręsti taip pat, kaip ir įprastą kvadratinę (per). Norėdami tai padaryti, tiesiog pridedame trūkstamą lygties komponentą su nuliniu koeficientu.

Pavyzdys : Raskite lygties šaknis \(3x^2-27=0\)
Sprendimas :

		Turime nepilną kvadratinę lygtį su koeficientu \(b=0\). Tai yra, lygtį galime parašyti tokia forma:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Tiesą sakant, čia yra ta pati lygtis kaip ir pradžioje, bet dabar ją galima išspręsti kaip įprastą kvadratą. Pirmiausia užrašome koeficientus.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Apskaičiuokite diskriminantą naudodami formulę \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Raskime lygties šaknis naudodami formules \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ir \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Užsirašykite atsakymą

Atsakymas : \(x_(1)=3\); \(x_(2) = -3\)

Pavyzdys : Raskite lygties \(-x^2+x=0\) šaknis
Sprendimas :

		Vėlgi, nepilna kvadratinė lygtis, bet dabar koeficientas \(c\) yra lygus nuliui. Rašome lygtį kaip užbaigtą.

Nepilna kvadratinė lygtis skiriasi nuo klasikinių (visiškų) lygčių tuo, kad jos faktoriai arba laisvasis narys yra lygus nuliui. Tokių funkcijų grafikas yra parabolės. Pagal bendrą išvaizdą jie skirstomi į 3 grupes. Visų tipų lygčių sprendimo principai yra vienodi.

Nėra nieko sudėtingo nustatyti nepilno daugianario tipą. Geriausia atsižvelgti į pagrindinius iliustruojančių pavyzdžių skirtumus:

1. Jei b = 0, tada lygtis yra ax 2 + c = 0.
2. Jei c = 0, tuomet reikia išspręsti išraišką ax 2 + bx = 0.
3. Jei b = 0 ir c = 0, tai polinomas tampa ax 2 = 0 tipo lygybe.

Paskutinis atvejis yra labiau teorinė galimybė ir niekada nepasitaiko žinių testuose, nes vienintelė tikroji kintamojo x reikšmė išraiškoje yra nulis. Ateityje bus nagrinėjami 1) ir 2) tipų nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai ir pavyzdžiai.

Bendras algoritmas ieškant kintamųjų ir pavyzdžių su sprendimu

Nepriklausomai nuo lygties tipo, sprendimo algoritmas sumažinamas iki šių žingsnių:

1. Perkelkite išraišką į formą, patogią šaknims rasti.
2. Atlikite skaičiavimus.
3. Užsirašykite atsakymą.

Neišsamias lygtis lengviausia išspręsti kairėje pusėje, o dešinėje paliekant nulį. Taigi, nepilnos kvadratinės lygties, skirtos šaknims rasti, formulė sumažinama iki x vertės apskaičiavimo kiekvienam veiksniui.

Galite išmokti išspręsti problemą tik praktiškai, todėl panagrinėkime konkretų nepilnos lygties šaknų radimo pavyzdį:

Kaip matote, šiuo atveju b = 0. Suskaičiuojame kairę pusę ir gauname išraišką:

4 (x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Akivaizdu, kad sandauga yra lygi nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Panašius reikalavimus atitinka kintamojo x1 = 0,5 ir (arba) x2 = -0,5 reikšmės.

Norint lengvai ir greitai susidoroti su skilimo užduotimi kvadratinis trinaris daugikliai, turėtumėte atsiminti šią formulę:

Jei posakyje nėra laisvo termino, užduotis labai supaprastinama. Užteks tik surasti ir išimti bendrą vardiklį. Aiškumo dėlei apsvarstykite pavyzdį, kaip išspręsti nepilnas kvadratines lygtis, kurių forma yra ax2 + bx = 0.

Išimkime kintamąjį x iš skliaustų ir gaukime tokią išraišką:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Remdamiesi logika, darome išvadą, kad x1 = 0 ir x2 = -3.

Tradicinis ir nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdas

Kas atsitiks, jei pritaikysime diskriminanto formulę ir bandysime rasti daugianario šaknis, kurių koeficientai lygūs nuliui? Paimkime pavyzdį iš 2017 m. Vieningo valstybinio matematikos egzamino tipinių užduočių rinkinio, ją spręsime naudodami standartines formules ir faktorizavimo metodą.

7x 2 - 3x = 0.

Apskaičiuokite diskriminanto reikšmę: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Pasirodo, daugianomas turi dvi šaknis:

Dabar išspręskite lygtį faktoringo būdu ir palyginkite rezultatus.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Kaip matote, abu metodai duoda tą patį rezultatą, tačiau antrasis būdas išspręsti lygtį pasirodė esąs daug lengvesnis ir greitesnis.

Vietos teorema

Bet ką daryti su mylima Vieta teorema? Ar šis metodas gali būti taikomas su nepilnu trinaliu? Pabandykime suprasti mažinimo aspektus pilnas lygtisį klasikinę formą ax2 + bx + c = 0.

Tiesą sakant, šiuo atveju galima pritaikyti Vietos teoremą. Reikia tik pareikšti išraišką bendras vaizdas, pakeisdami trūkstamus terminus nuliu.

Pavyzdžiui, kai b = 0 ir a = 1, siekiant išvengti painiavos, užduotį reikia parašyti tokia forma: ax2 + 0 + c = 0. Tada šaknų sumos ir sandaugos santykis ir daugianario veiksnius galima išreikšti taip:

Teoriniai skaičiavimai padeda susipažinti su klausimo esme ir visada reikalauja ugdyti įgūdžius sprendžiant konkrečias problemas. Dar kartą atsigręžkime į tipinių egzamino užduočių žinyną ir raskime tinkamą pavyzdį:

Rašome išraišką tokia forma, kuri patogi Vieta teoremai taikyti:

x2 + 0 - 16 = 0.

Kitas žingsnis yra sukurti sąlygų sistemą:

Akivaizdu, kad kvadratinio daugianario šaknys bus x 1 \u003d 4 ir x 2 \u003d -4.

Dabar pabandykime pateikti lygtį į bendrą formą. Paimkite tokį pavyzdį: 1/4× x 2 – 1 = 0

Norint pritaikyti Vieta teoremą išraiškai, reikia atsikratyti trupmenos. Padauginkime kairę ir dešinę puses iš 4 ir pažiūrėkime į rezultatą: x2– 4 = 0. Gauta lygybė yra paruošta išspręsti Vietos teorema, tačiau daug lengviau ir greičiau gauti atsakymą tiesiog perkeliant c = 4 iki dešinioji pusė lygtys: x2 = 4.

Apibendrinant reikia pasakyti, kad geriausias būdas sprendimus nepilnos lygtys yra faktorizacija, yra paprasčiausias ir greičiausias metodas. Jei kyla sunkumų ieškant šaknų, galite susisiekti tradicinis metodasšaknų radimas per diskriminantą.

Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Lygtis žmogus naudojo nuo seniausių laikų ir nuo to laiko jų naudojimas tik išaugo. Diskriminantas leidžia išspręsti bet kokias kvadratines lygtis naudojant bendroji formulė, kurios forma yra tokia:

Diskriminacinė formulė priklauso nuo daugianario laipsnio. Aukščiau pateikta formulė tinka šios formos kvadratinėms lygtims išspręsti:

Diskriminantas turi šias savybes, kurias reikia žinoti:

* "D" yra 0, kai daugianomas turi kelias šaknis (lygias šaknis);

* "D" yra simetriškas daugianario daugianario šaknų atžvilgiu ir todėl yra daugianario koeficientai; be to, šio daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, neatsižvelgiant į plėtinį, kuriame paimtos šaknys.

Tarkime, kad mums duota tokios formos kvadratinė lygtis:

1 lygtis

Pagal formulę turime:

Kadangi \, tada lygtis turi 2 šaknis. Apibrėžkime juos:

Kur galiu išspręsti lygtį per diskriminacinį internetinį sprendiklį?

Galite išspręsti lygtį mūsų svetainėje https: //. Nemokamas internetinis sprendėjas leis per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetinę lygtį. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. O jei turite klausimų, galite juos užduoti mūsų Vkontakte grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.

Kvadratinė lygtis – lengva išspręsti! *Toliau tekste „KU“. Draugai, atrodytų, kad matematikoje tai gali būti lengviau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų „Yandex“ suteikia užklausai per mėnesį. Štai kas atsitiko, pažiūrėkite:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad per mėnesį ieško apie 70 tūkst Ši informacija, ką su tuo turi bendra ši vasara ir kas nutiks tarp mokslo metai– prašymai bus dvigubai didesni. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško seniai mokyklą baigę ir egzaminui besiruošiantys vaikinai ir merginos, o atmintį atgaivinti stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daug svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai apsilankytų mano svetainėje pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai pasirodys kalba „KU“, duosiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai rašoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir su savavališkais skaičiais su a≠0.

Mokyklos kurse medžiaga pateikiama tokia forma - lygčių padalijimas į tris klases atliekamas sąlygiškai:

1. Turėkite dvi šaknis.

2. * Turėti tik vieną šaknį.

3. Neturi šaknų. Čia verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir nuspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Autorius šia proga, kai diskriminantas lygus nuliui, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia lygi devynioms. Teisingai, taip, bet...

Šis vaizdas yra šiek tiek neteisingas. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nesistebėkite, pasirodo, dvi lygios šaknys, o kad būtų matematiškai tikslūs, tada atsakyme reikia parašyti dvi šaknis:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra tik viena šaknis.

Dabar toks pavyzdys:

Kaip žinome, šaknis neigiamas skaičius nėra išgaunamas, todėl šiuo atveju sprendimo nėra.

Tai yra visas sprendimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Štai kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c - duotus skaičius, kur a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad išsprendę kvadratinę lygtį, kurioje "y" lygi nuliui, randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) arba nė vieno (diskriminantas yra neigiamas). Daugiau apie kvadratinę funkciją Galite peržiūrėti Innos Feldman straipsnis.

Apsvarstykite pavyzdžius:

1 pavyzdys: nuspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = -12

* Galite iš karto padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš 2, tai yra, supaprastinti. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Nuspręskite x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Gavome x 1 \u003d 11 ir x 2 \u003d 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Nuspręskite x 2 – 8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 –4, 1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai gaunamas neigiamas diskriminantas. Ar žinote ką nors apie kompleksinius skaičius? Čia nenagrinėsiu, kodėl ir kur jie atsirado ir koks jų specifinis vaidmuo bei būtinybė matematikoje, tai yra didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur a ir b yra realieji skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi yra VIENAS SKAIČIUS, o ne priedas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gaukite dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Apsvarstykite specialius atvejus, kai koeficientas "b" arba "c" yra lygus nuliui (arba abu yra lygūs nuliui). Jie lengvai išsprendžiami be jokių diskriminavimo priemonių.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis įgauna tokią formą:

Transformuoti, koeficientuoti:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

ax 2 + bx+ c=0 lygybė

a + b+ c = 0, tada

— jei lygties koeficientams ax 2 + bx+ c=0 lygybė

a+ su =b, tada

Šios savybės padeda išspręsti tam tikros rūšies lygtį.

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, taigi

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė a+ su =b, reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 - bx + c \u003d 0, koeficientas "b" yra (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje ax 2 + bx - c = 0 koeficientas "b" lygus (a 2 – 1), o koeficientas „c“ skaičiais lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 - bx - c \u003d 0, koeficientas "b" yra lygus (a 2 - 1), o koeficientas c yra skaitiniu būdu lygus koeficientui "a", tada jo šaknys yra

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsaus prancūzų matematiko Francois Vieta vardu. Naudojant Vietos teoremą, galima išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Apibendrinant, skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai yra šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. patogu, nes įprastu būdu (per diskriminantą) išsprendus kvadratinę lygtį galima patikrinti gautas šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visą laiką.

PERDAVIMO METODAS

Šiuo metodu koeficientas "a" dauginamas iš laisvojo termino, tarsi "perkeliamas" į jį, todėl jis vadinamas perdavimo būdas.Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu a± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pagal Vieta teoremą (2) lygtyje nesunku nustatyti, kad x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi du buvo „išmesti“ iš x 2), gauname

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėkite, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra šie:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, gaunami tik skirtingi vardikliai, o rezultatas tiksliai priklauso nuo koeficiento x 2:

Antrosios (modifikuotos) šaknys yra 2 kartus didesnės.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei ridename tris vienodus, tai rezultatą dalijame iš 3 ir t.t.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir egzaminas.

Apie jo svarbą pasakysiu trumpai - TURĖKITE MESTI greitai ir negalvodami, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminanto formules. Daugelis užduočių, kurios yra USE užduočių dalis, yra susijusios su kvadratinės lygties (įskaitant geometrines) sprendimu.

Į ką verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinoma reikšmė ir ji gali būti žymima bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.