Dviejų trečiosios tiesių sankirta yra vidinė. Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai. Lygiagrečių tiesių savybės. Lygiagrečių linijų ženklai

Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai

1 teorema. Jei dviejų sekanto tiesių sankirtoje:

įstrižai gulėti kampai yra lygūs, arba

atitinkami kampai yra lygūs arba

vienpusių kampų suma yra 180°, tada

linijos lygiagrečios(1 pav.).

Įrodymas. Mes apsiribojame 1 atvejo įrodymu.

Tarkime, kad tiesių a ir b susikirtimo taške AB skersai gulėti kampai yra lygūs. Pavyzdžiui, ∠ 4 = ∠ 6. Įrodykime, kad a || b.

Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios. Tada jie susikerta tam tikrame taške M ir dėl to vienas iš kampų 4 arba 6 bus išorinis trikampio ABM kampas. Apibrėžtumo dėlei ∠ 4 yra išorinis trikampio ABM kampas, o ∠ 6 – vidinis. Iš trikampio išorinio kampo teoremos išplaukia, kad ∠ 4 yra didesnis nei ∠ 6, ir tai prieštarauja sąlygai, o tai reiškia, kad tiesės a ir 6 negali susikirsti, todėl yra lygiagrečios.

1 išvada. Dvi skirtingos tiesės plokštumoje, statmenoje tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios(2 pav.).

komentuoti. Tai, kaip ką tik įrodėme 1 teoremos 1 atvejį, vadinamas įrodinėjimo prieštaravimu arba redukavimu iki absurdo metodu. Šis metodas gavo savo pirmąjį pavadinimą, nes samprotavimo pradžioje daroma prielaida, kuri yra priešinga (priešinga) tam, ką reikalaujama įrodyti. Redukcija iki absurdo ji vadinama dėl to, kad, argumentuodami remiantis padaryta prielaida, prieiname prie absurdiškos išvados (absurdo). Tokios išvados gavimas verčia atmesti pradžioje padarytą prielaidą ir priimti tą, kurią reikėjo įrodyti.

1 užduotis. Sukurkite tiesę, einančią per nurodytą tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, nekertančią taško M.

Sprendimas. Per tašką M brėžiame tiesę p, statmeną tiesei a (3 pav.).

Tada per tašką M brėžiame tiesę b, statmeną tiesei p. Tiesė b yra lygiagreti tiesei a pagal 1 teoremos išvadą.

Iš nagrinėjamos problemos daroma svarbi išvada:
Per tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, visada galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią nurodytai tiesei..

Pagrindinė lygiagrečių linijų savybė yra tokia.

Lygiagrečių tiesių aksioma. Per tam tikrą tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, yra tik viena tiesė, lygiagreti nurodytai tiesei.

Apsvarstykite kai kurias lygiagrečių linijų savybes, kurios išplaukia iš šios aksiomos.

1) Jei tiesė kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji kerta ir kitą (4 pav.).

2) Jei dvi skirtingos tiesės yra lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios (5 pav.).

Ši teorema taip pat teisinga.

2 teorema. Jei dvi lygiagrečias tieses kerta sekantas, tai:

gulėjimo kampai yra lygūs;

atitinkami kampai yra lygūs;

vienpusių kampų suma yra 180°.

2 pasekmė. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.(žr. 2 pav.).

komentuoti. 2 teorema vadinama atvirkštine 1 teorema. 1 teoremos išvada yra 2 teoremos sąlyga. O 1 teoremos sąlyga yra 2 teoremos išvada. Ne kiekviena teorema turi atvirkštinę, t. y. jei duota teorema yra teisinga, tada atvirkštinė teorema gali būti klaidinga.

Paaiškinkime tai vertikalių kampų teoremos pavyzdžiu. Šią teoremą galima suformuluoti taip: jei du kampai yra vertikalūs, tai jie lygūs. Atvirkštinė teorema būtų tokia: jei du kampai lygūs, tai jie vertikalūs. Ir tai, žinoma, netiesa. Du vienodi kampai visai nebūtinai turi būti vertikalūs.

1 pavyzdys Dvi lygiagrečias linijas kerta trečdalis. Yra žinoma, kad skirtumas tarp dviejų vidinių vienpusių kampų yra 30°. Raskite tuos kampus.

Sprendimas. Tegul 6 paveikslas atitinka sąlygą.

III SKYRIUS.
LYGIALELIOS LINIJAS

§ 35. DVIEJŲ TIESIOGIŲ LYGŲ LYGUMO ŽENKLAI.

Teorema, kad du statmenai vienai tiesei yra lygiagrečios (§ 33), duoda ženklą, kad dvi tiesės yra lygiagrečios. Galima išvesti bendresnius dviejų tiesių lygiagretumo požymius.

1. Pirmasis paralelizmo požymis.

Jei dviejų tiesių sankirtoje su trečiąja vidiniai kampai yra lygūs, tada šios linijos yra lygiagrečios.

Tegul tiesės AB ir CD kerta tiesę EF ir / 1 = / 2. Paimkite tašką O - sekanto EF atkarpos KL vidurį (189 pav.).

Numeskime statmeną OM iš taško O į tiesę AB ir tęskime tol, kol susikirs su tiese CD, AB_|_MN. Įrodykime, kad CD_|_MN.
Norėdami tai padaryti, apsvarstykite du trikampius: MOE ir NOK. Šie trikampiai yra lygūs vienas kitam. Iš tikrųjų: / 1 = / 2 pagal teoremos sąlygą; OK = OL – pagal konstrukciją;
/ MOL = / NOK kaip vertikalūs kampai. Taigi, vieno trikampio kraštinė ir du kampai, esantys šalia jo, yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir du kampai, esantys šalia jo; Vadinasi, /\ MOL = /\ NOK, taigi
/ LMO = / kno bet / LMO yra tiesioginis, taigi ir / KNO taip pat yra tiesioginis. Taigi tiesės AB ir CD yra statmenos tai pačiai tiesei MN, vadinasi, lygiagrečios (§ 33), kas turėjo būti įrodyta.

Pastaba. Tiesių MO ir CD sankirta gali būti nustatyta pasukus trikampį MOL aplink tašką O 180°.

2. Antrasis paralelizmo požymis.

Pažiūrėkime, ar tiesės AB ir CD lygiagrečios, jei jų trečiosios tiesės EF sankirtoje atitinkami kampai yra lygūs.

Pavyzdžiui, kai kurie atitinkami kampai bus lygūs / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, nes kampai yra vertikalūs; reiškia, / 2 bus lygus / 1. Bet kampai 2 ir 1 yra vidiniai skersiniai kampai, ir mes jau žinome, kad jei dviejų tiesių susikirtimo trečdaliu vidiniai skersiniai gulėjimo kampai yra lygūs, tai šios tiesės yra lygiagrečios. Todėl AB || CD.

Jei dviejų trečiosios tiesių sankirtoje atitinkami kampai yra lygūs, tai šios dvi tiesės yra lygiagrečios.

Šia savybe remiasi lygiagrečių linijų konstravimas liniuote ir braižymo trikampiu. Tai daroma taip.

Trikampį pritvirtinkime prie liniuotės, kaip parodyta 191 brėžinyje. Trikampį pajudinsime taip, kad viena jo kraštinė slystų išilgai liniuote, ir išilgai bet kurios kitos trikampio kraštinės nubrėžkime kelias tiesias linijas. Šios linijos bus lygiagrečios.

3. Trečiasis paralelizmo požymis.

Žinokime, kad dviejų tiesių AB ir CD susikirtimo su trečiąja tiese bet kurių vidinių vienpusių kampų suma yra lygi 2 d(arba 180°). Ar tiesės AB ir CD šiuo atveju bus lygiagrečios (192 pav.).

Leisti / 1 ir / 2 vidiniai vienpusiai kampai ir pridėkite iki 2 d.
Bet / 3 + / 2 = 2d kaip gretimi kampai. Vadinasi, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Iš čia / 1 = / 3, o šie kampai viduje yra skersai. Todėl AB || CD.

Jei dviejų tiesių sankirtoje su trečdaliu, vidinių vienpusių kampų suma yra lygi 2 d, tada dvi tiesės yra lygiagrečios.

Pratimas.

Įrodykite, kad tiesės lygiagrečios:
a) jei išoriniai kryžminio gulėjimo kampai lygūs (193 pav.);
b) jei išorinių vienašalių kampų suma lygi 2 d(velnias 194).

Šis skyrius skirtas lygiagrečių tiesių tyrimui. Taip vadinamos dvi tiesios linijos plokštumoje, kurios nesikerta. Aplinkoje matome lygiagrečių linijų segmentus – tai dvi stačiakampio stalo briaunos, dvi knygos viršelio briaunos, dvi troleibuso juostos ir t.t.. Lygiagrečios linijos vaidina labai svarbų vaidmenį geometrijoje. Šiame skyriuje sužinosite, kas yra geometrijos aksiomos ir iš ko susideda lygiagrečių tiesių aksioma – viena žinomiausių geometrijos aksiomų.

1 skyriuje pažymėjome, kad dvi tiesės arba turi vieną bendrą tašką, tai yra, jos susikerta, arba neturi vieno bendro taško, tai yra, jos nesikerta.

Apibrėžimas

Tiesių a ir b lygiagretumas žymimas taip: a || b.

98 paveiksle pavaizduotos tiesei a ir b statmenos tiesei c. 12 skirsnyje nustatėme, kad tokios tiesės a ir b nesikerta, tai yra lygiagrečios.

Ryžiai. 98

Kartu su lygiagrečiomis linijomis dažnai atsižvelgiama į lygiagrečius segmentus. Du segmentai vadinami lygiagrečiai jei jie guli lygiagrečiose tiesėse. 99 paveiksle atkarpos AB ir CD yra lygiagrečios (AB || CD), o atkarpos MN ir CD nėra lygiagrečios. Panašiai nustatomas atkarpos ir tiesės (99 pav., b), spindulio ir tiesės, atkarpos ir spindulio, dviejų spindulių (99 pav., c) lygiagretumas.

Ryžiai. 99 Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai

Tiesiogiai su vadinama sekantas tiesių a ir b atžvilgiu, jei kerta jas dviejuose taškuose (100 pav.). Tiesių a ir b sankirtoje sekantas c sudaro aštuonis kampus, kurie 100 paveiksle pažymėti skaičiais. Kai kurios šių kampų poros turi specialius pavadinimus:

kryžminiai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;
vienpusiai kampai: 4 ir 5, 3 ir 6;
atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7.

Ryžiai. šimtas

Apsvarstykite tris dviejų tiesių, susijusių su šiomis kampų poromis, lygiagretumo požymius.

Teorema

Įrodymas

Tarkime, kad tiesių a ir b susikirtimo taške AB gulėjimo kampai yra lygūs: ∠1 = ∠2 (101 pav., a).

Įrodykime, kad a || b. Jei kampai 1 ir 2 yra tiesūs (101 pav., b), tai tiesės a ir b yra statmenos tiesei AB, todėl lygiagrečios.

Ryžiai. 101

Apsvarstykite atvejį, kai kampai 1 ir 2 nėra teisingi.

Nuo atkarpos AB vidurio O nubrėžkite statmeną OH tiesei a (101 pav., c). Tiesėje b nuo taško B atidėsime atkarpą VH 1, lygią atkarpai AH, kaip parodyta 101 paveiksle, c ir nubrėžiame atkarpą OH 1. Trikampiai ONA ir OH 1 V yra lygūs dviejose kraštinėse ir kampas tarp jų (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), todėl ∠3 = ∠4 ir ∠5 = ∠6. Iš lygybės ∠3 = ∠4 išplaukia, kad taškas H 1 yra spindulio OH tęsinyje, ty taškai H, O ir H 1 yra toje pačioje tiesėje, o iš lygybės ∠5 = ∠6 jis yra iš to seka, kad kampas 6 yra tiesi linija (kadangi kampas 5 yra stačias kampas). Taigi tiesės a ir b yra statmenos tiesei HH 1, taigi jos yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Teorema

Įrodymas

Tegul tiesių a ir b sankirtoje sekantas su atitinkamais kampais bus lygus, pvz., ∠1 = ∠2 (102 pav.).

Ryžiai. 102

Kadangi kampai 2 ir 3 yra vertikalūs, tai ∠2 = ∠3. Šios dvi lygybės reiškia, kad ∠1 = ∠3. Bet kampai 1 ir 3 yra kryžminiai, todėl tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Teorema

Įrodymas

Tegul tiesių a ir b sankirtoje sekantas su vienpusių kampų suma yra 180°, pvz., ∠1 + ∠4 = 180° (žr. 102 pav.).

Kadangi kampai 3 ir 4 yra gretimi, tai ∠3 + ∠4 = 180°. Iš šių dviejų lygybių išplaukia, kad skersiniai kampai 1 ir 3 yra lygūs, taigi tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Praktiški lygiagrečių linijų brėžimo būdai

Lygiagrečių linijų ženklais grindžiami lygiagrečių linijų kūrimo būdai, naudojant įvairius praktikoje naudojamus įrankius. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygiagrečių linijų konstravimo metodą, naudojant piešimo kvadratą ir liniuotę. Norėdami sukurti tiesę, kertančią tašką M ir lygiagrečią duotai tiesei a, tiesei a pritaikome piešimo kvadratą, o jai – liniuotę, kaip parodyta 103 paveiksle. Tada perkeldami kvadratą išilgai liniuote, mes užtikrins, kad taškas M būtų kvadrato šone ir nubrėžtų liniją b. Tiesės a ir b yra lygiagrečios, nes atitinkami kampai, 103 paveiksle pažymėti raidėmis α ir β, yra lygūs.

Ryžiai. 103 104 paveiksle parodytas lygiagrečių linijų, naudojant T kvadratą, sudarymo metodas. Šis metodas naudojamas piešimo praktikoje.

Ryžiai. 104 Panašus būdas taikomas ir atliekant staliaus darbus, kai nuožulniu būdu pažymimos lygiagrečios linijos (dvi medinės lentos tvirtinamos vyriais, 105 pav.).

Ryžiai. 105

Užduotys

186. 106 paveiksle tieses a ir b kerta tiese c. Įrodykite, kad a || b jei:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, o kampas 7 yra tris kartus didesnis už kampą 3.

Ryžiai. 106

187. Pagal 107 paveikslą įrodykite, kad AB || D.E.

Ryžiai. 107

188. Atkarpos AB ir CD susikerta jų bendrame viduryje. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.

189. Naudodamiesi 108 paveikslo duomenimis, įrodykite, kad BC || REKLAMA.

Ryžiai. 108

190. 109 paveiksle AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Įrodykite, kad DE || AS.

Ryžiai. 109

191. Atkarpa VK yra trikampio ABC pusiausvyra. Per tašką K nubrėžiama tiesė, kertanti kraštinę BC taške M taip, kad BM = MK. Įrodykite, kad tiesės KM ir AB yra lygiagrečios.

192. Trikampyje ABC kampas A yra 40°, o kampas ALL, esantis greta kampo ACB, yra 80°. Įrodykite, kad kampo ALL bisektorius lygiagretus tiesei AB.

193. Trikampyje ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Tiesė BD brėžiama per viršūnę B taip, kad spindulys BC būtų kampo ABD pusiausvyra. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.

194. Nubraižykite trikampį. Per kiekvieną šio trikampio viršūnę, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią priešingai kraštinei.

195. Nubrėžkite trikampį ABC ir pažymėkite tašką D kraštinėje AC. Per tašką D, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias kitoms dviem trikampio kraštinėms.

1 skyriuje pažymėjome, kad dvi tiesės arba turi vieną bendrą tašką, tai yra, jos susikerta, arba neturi vieno bendro taško, tai yra, jos nesikerta.

Apibrėžimas

Tiesių a ir b lygiagretumas žymimas taip: a || b.

98 paveiksle pavaizduotos tiesei a ir b statmenos tiesei c. 12 skirsnyje nustatėme, kad tokios tiesės a ir b nesikerta, tai yra lygiagrečios.

Ryžiai. 98

Ryžiai. 99 Dviejų tiesių lygiagretumo ženklai

kryžminiai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;
vienpusiai kampai: 4 ir 5, 3 ir 6;
atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7.

Ryžiai. šimtas

Apsvarstykite tris dviejų tiesių, susijusių su šiomis kampų poromis, lygiagretumo požymius.

Teorema

Įrodymas

Tarkime, kad tiesių a ir b susikirtimo taške AB gulėjimo kampai yra lygūs: ∠1 = ∠2 (101 pav., a).

Įrodykime, kad a || b. Jei kampai 1 ir 2 yra tiesūs (101 pav., b), tai tiesės a ir b yra statmenos tiesei AB, todėl lygiagrečios.

Ryžiai. 101

Apsvarstykite atvejį, kai kampai 1 ir 2 nėra teisingi.

Teorema

Įrodymas

Tegul tiesių a ir b sankirtoje sekantas su atitinkamais kampais bus lygus, pvz., ∠1 = ∠2 (102 pav.).

Ryžiai. 102

Kadangi kampai 2 ir 3 yra vertikalūs, tai ∠2 = ∠3. Šios dvi lygybės reiškia, kad ∠1 = ∠3. Bet kampai 1 ir 3 yra kryžminiai, todėl tiesės a ir b yra lygiagrečios. Teorema įrodyta.

Teorema

Įrodymas

Tegul tiesių a ir b sankirtoje sekantas su vienpusių kampų suma yra 180°, pvz., ∠1 + ∠4 = 180° (žr. 102 pav.).

Praktiški lygiagrečių linijų brėžimo būdai

Ryžiai. 103 104 paveiksle parodytas lygiagrečių linijų, naudojant T kvadratą, sudarymo metodas. Šis metodas naudojamas piešimo praktikoje.

Ryžiai. 104 Panašus būdas taikomas ir atliekant staliaus darbus, kai nuožulniu būdu pažymimos lygiagrečios linijos (dvi medinės lentos tvirtinamos vyriais, 105 pav.).

Ryžiai. 105

Užduotys

186. 106 paveiksle tieses a ir b kerta tiese c. Įrodykite, kad a || b jei:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, o kampas 7 yra tris kartus didesnis už kampą 3.

Ryžiai. 106

187. Pagal 107 paveikslą įrodykite, kad AB || D.E.

Ryžiai. 107

188. Atkarpos AB ir CD susikerta jų bendrame viduryje. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.

189. Naudodamiesi 108 paveikslo duomenimis, įrodykite, kad BC || REKLAMA.

Ryžiai. 108

190. 109 paveiksle AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Įrodykite, kad DE || AS.

Ryžiai. 109

191. Atkarpa VK yra trikampio ABC pusiausvyra. Per tašką K nubrėžiama tiesė, kertanti kraštinę BC taške M taip, kad BM = MK. Įrodykite, kad tiesės KM ir AB yra lygiagrečios.

192. Trikampyje ABC kampas A yra 40°, o kampas ALL, esantis greta kampo ACB, yra 80°. Įrodykite, kad kampo ALL bisektorius lygiagretus tiesei AB.

193. Trikampyje ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Tiesė BD brėžiama per viršūnę B taip, kad spindulys BC būtų kampo ABD pusiausvyra. Įrodykite, kad tiesės AC ir BD yra lygiagrečios.

194. Nubraižykite trikampį. Per kiekvieną šio trikampio viršūnę, naudodami piešimo kvadratą ir liniuotę, nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią priešingai kraštinei.

AB ir NUOD kerta trečia linija MN, tada šiuo atveju suformuoti kampai poromis gauna tokius pavadinimus:

atitinkami kampai: 1 ir 5, 4 ir 8, 2 ir 6, 3 ir 7;

vidiniai kryžminiai kampai: 3 ir 5, 4 ir 6;

išoriniai kryžminiai kampai: 1 ir 7, 2 ir 8;

vidiniai vienpusiai kampai: 3 ir 6, 4 ir 5;

išoriniai vienpusiai kampai: 1 ir 8, 2 ir 7.

Taigi, ∠ 2 = ∠ 4 ir ∠ 8 = ∠ 6, bet pagal įrodytą ∠ 4 = ∠ 6.

Todėl ∠ 2 = ∠ 8.

3. Atitinkami kampai 2 ir 6 yra vienodi, nes ∠ 2 = ∠ 4 ir ∠ 4 = ∠ 6. Taip pat įsitikiname, kad kiti atitinkami kampai yra lygūs.

4. Suma vidiniai vienpusiai kampai 3 ir 6 bus 2d, nes suma gretimų kampų 3 ir 4 yra lygūs 2d = 180 0 , o ∠ 4 galima pakeisti identišku ∠ 6. Taip pat įsitikinkite, kad kampų suma 4 ir 5 yra lygūs 2d.

5. Suma išoriniai vienpusiai kampai bus 2d, nes šie kampai yra atitinkamai lygūs vidiniai vienpusiai kampai kaip kampai vertikaliai.

Iš aukščiau įrodyto pagrindimo gauname atvirkštinės teoremos.

Kai dviejų savavališkos trečiosios eilutės eilučių sankirtoje gauname, kad:

1. Vidiniai kryžminiai gulėjimo kampai yra vienodi;

arba 2. Išoriniai kryžminiai gulėjimo kampai yra vienodi;

arba 3. Atitinkami kampai yra vienodi;

arba 4. Vidinių vienpusių kampų suma lygi 2d = 180 0 ;

arba 5. Išorinio vienpusio suma yra 2d = 180 0 ,

tada pirmosios dvi tiesės yra lygiagrečios.