Sankirtos x ašyje turi išspręsti lygtį y₁=y2, t. y. k₁x+b₁=k₂x+b2.

Transformuokite šią nelygybę, kad gautumėte k₁x-k₂x=b2-b1. Dabar išreikškite x: x=(b2-b₁)/(k1-k2). Taip rasite grafikų susikirtimo tašką, esantį išilgai OX ašies. Raskite y ašies susikirtimo tašką. Tiesiog pakeiskite bet kurią iš funkcijų x reikšmę, kurią radote anksčiau.

Ankstesnė parinktis tinka diagramoms. Jei funkcija yra , vadovaukitės toliau pateiktomis instrukcijomis. Kaip ir tiesine funkcija, raskite x reikšmę. Norėdami tai padaryti, nuspręskite kvadratinė lygtis. Lygtyje 2x² + 2x - 4=0 raskite (lygtis pateikta kaip pavyzdys). Norėdami tai padaryti, naudokite formulę: D= b² - 4ac, kur b yra reikšmė prieš X, o c yra skaitinė reikšmė.

Pakeitę skaitines reikšmes, gausite tokią išraišką kaip D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Lygtys priklauso nuo diskriminanto reikšmės. Dabar pridėkite arba atimkite (paeiliui) šaknį iš gauto diskriminanto prie kintamojo b reikšmės su „-“ ženklu ir padalykite iš dvigubo koeficiento a sandaugos. Taigi rasite lygties šaknis, tai yra susikirtimo taškų koordinates.

Funkcijų grafikai turi savybę: OX ašis susikirs du kartus, tai yra, rasite dvi x ašies koordinates. Jei gaunate periodinę X ir Y reikšmę, žinokite, kad grafikas kertasi su x ašimi be galo daug taškų. Patikrinkite, ar radote susikirtimo taškus. Norėdami tai padaryti, pakeiskite X reikšmes į lygtį f(x)=0.

Šaltiniai:

Tiesių susikirtimo taškų radimas

Jei žinote a reikšmę, galite sakyti, kad išsprendėte kvadratinę lygtį, nes jos šaknis bus labai lengva rasti.

Jums reikės

-kvadratinės lygties diskriminanto formulė;
- Daugybos lentelės išmanymas

Instrukcija

Susiję vaizdo įrašai

Naudingi patarimai

Kvadratinės lygties diskriminantas gali būti teigiamas, neigiamas arba lygus 0.

Šaltiniai:

Kvadratinių lygčių sprendimas
diskriminuojantis yra lygus

3 patarimas: kaip rasti funkcijų grafiko susikirtimo taškų koordinates

Funkcijos y \u003d f (x) grafikas yra visų plokštumos taškų, koordinačių x, kurioms jie tenkina santykį y \u003d f (x), rinkinys. Funkcijos grafikas vizualiai iliustruoja funkcijos elgesį ir savybes. Norint sudaryti grafiką, paprastai pasirenkamos kelios argumento x reikšmės ir joms apskaičiuojamos atitinkamos funkcijos y=f(x) reikšmės. Norint tiksliau ir vaizdingiau sudaryti grafiką, naudinga rasti jo susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.

Instrukcija

Kertant x ašį (X ašį), funkcijos reikšmė lygi 0, t.y. y=f(x)=0. Norėdami apskaičiuoti x, turite išspręsti lygtį f(x)=0. Funkcijos atveju gauname lygtį ax+b=0 ir randame x=-b/a.

Taigi X ašis susikerta taške (-b/a,0).

Sudėtingesniais atvejais, pavyzdžiui, esant kvadratinei y priklausomybei nuo x, lygtis f (x) \u003d 0 turi dvi šaknis, todėl x ašis susikerta du kartus. Jei y priklausomybė nuo x, pavyzdžiui, y=sin(x), turi begalinį susikirtimo su x ašimi taškų skaičių.

Norint patikrinti funkcijos grafiko susikirtimo su X ašimi koordinačių teisingumą, reikia pakeisti rastas x f (x) reikšmes. Bet kurio apskaičiuoto x išraiškos reikšmė turi būti lygi 0.

Instrukcija

Pirmiausia reikia aptarti koordinačių sistemos, patogios uždaviniui spręsti, pasirinkimą. Paprastai tokio pobūdžio uždaviniuose vienas iš trikampių dedamas ant 0X ašies taip, kad vienas taškas sutaptų su pradžia. Todėl neturėtumėte nukrypti nuo visuotinai priimtų sprendimo kanonų ir daryti tą patį (žr. 1 pav.). Pats trikampio nurodymo metodas neatlieka esminio vaidmens, nes visada galite pereiti nuo vieno iš jų prie (kurį pamatysite vėliau).

Tegu norimą trikampį pateikia du jo kraštinių AC ir AB vektoriai a(x1, y1) ir b(x2, y2). Be to, pagal konstrukciją y1=0. Trečioji BC pusė atitinka c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), pagal šią iliustraciją. Taškas A yra koordinačių pradžioje, tai yra jo koordinates A(0, 0). Tai taip pat nesunku pastebėti koordinates B (x2, y2), a C (x1, 0). Iš to galime daryti išvadą, kad trikampio apibrėžimas dviem vektoriais automatiškai sutapo su jo apibrėžimu trimis taškais.

Tada turėtumėte užpildyti norimą trikampį iki lygiagretainio ABDC, atitinkančio jį pagal dydį. Be to, kad taške sankryžų lygiagretainio įstrižainės, jos padalinamos taip, kad AQ yra trikampio ABC mediana, nusileidžianti iš A į kraštinę BC. Įstrižainės vektorius s turi šį ir pagal lygiagretainio taisyklę yra a ir b geometrinė suma. Tada s = a + b, ir jos koordinates s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Tas pats koordinates taip pat bus taške D(x1+x2, y2).

Dabar galite pradėti sudaryti tiesės, kurią sudaro s, mediana AQ ir, svarbiausia, norimą tašką, lygtį sankryžų mediana H. Kadangi pats vektorius s yra šios tiesės vadovas, o jam priklausantis taškas A (0, 0) taip pat žinomas, paprasčiausia naudoti plokštumos tiesės lygtį kanonine forma: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Čia (x0, y0) koordinates savavališkas tiesės taškas (taškas А(0, 0)) ir (m, n) – koordinates s (vektorius (x1+x2, y2). Taigi norima eilutė l1 atrodys taip: x/(x1+x2)=y/ y2.

Pats būdas jį rasti yra sankryžoje. Todėl reikia rasti dar vieną tiesią liniją, kurioje yra vadinamoji. 1 kito lygiagretainio АPBC konstrukcija, kurios įstrižainėje g=a+c =g(2x1-x2, -y2) yra antroji mediana CW, nuleista iš C į AB pusę. Šioje įstrižainėje yra taškas C(x1, 0), koordinates kuris atliks (x0, y0) vaidmenį, o krypties vektorius čia bus g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Iš čia l2 gaunama pagal lygtį: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

Sprendžiant kai kuriuos geometrinius uždavinius koordinačių metodu, reikia rasti tiesių susikirtimo taško koordinates. Dažniausiai plokštumoje tenka ieškoti dviejų tiesių susikirtimo taško koordinačių, tačiau kartais prireikia nustatyti dviejų erdvėje esančių tiesių susikirtimo taško koordinates. Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie taško, kuriame susikerta dvi tiesės, koordinates.

Puslapio naršymas.

Dviejų tiesių susikirtimo taškas yra apibrėžimas.

Pirmiausia apibrėžkime dviejų tiesių susikirtimo tašką.

Taigi, norint rasti dviejų tiesių, apibrėžtų plokštumoje bendromis lygtimis, susikirtimo taško koordinates, reikia išspręsti sistemą, sudarytą iš pateiktų tiesių lygčių.

Panagrinėkime sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite dviejų tiesių, apibrėžtų , susikirtimo tašką stačiakampė sistema koordinates plokštumoje pagal lygtis x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 .

Sprendimas.

Pateikiame dvi bendrąsias linijų lygtis, iš jų sudarysime sistemą: . Gautos lygčių sistemos sprendiniai lengvai randami, jei jos pirmoji lygtis yra išspręsta kintamojo x atžvilgiu ir ši išraiška pakeičiama antrąja lygtimi:

Rastas lygčių sistemos sprendinys suteikia mums norimas dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates.

Atsakymas:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ir 5x-2y-16=0 .

Taigi, dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės, apibrėžtos bendromis lygtimis plokštumoje, yra sumažintos iki dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomais kintamaisiais sistemos išsprendimo. Bet ką daryti, jei tiesės plokštumoje pateiktos ne bendromis, o kitokio tipo lygtimis (žr. plokštumos tiesės lygties tipus)? Tokiais atvejais pirmiausia galite perkelti tiesių lygtis į bendrą formą ir tik tada rasti susikirtimo taško koordinates.

Pavyzdys.

ir .

Sprendimas.

Prieš surasdami pateiktų tiesių susikirtimo taško koordinates, jų lygtis sumažiname iki bendras vaizdas. Perėjimas nuo parametrinių lygčių prie tiesės šios tiesios linijos bendroji lygtis yra tokia:

Dabar atliksime reikiamus veiksmus su kanonine linijos lygtimi:

Taigi, norimos tiesių susikirtimo taško koordinatės yra formos lygčių sistemos sprendimas . Jai išspręsti naudojame:

Atsakymas:

M 0 (-5, 1)

Yra dar vienas būdas rasti dviejų tiesių susikirtimo plokštumoje taško koordinates. Jį patogu naudoti, kai vieną iš eilučių duoda formos parametrinės lygtys , o kita - skirtingos formos tiesės lygtis. Šiuo atveju kitoje lygtyje vietoj kintamųjų x ir y galite pakeisti išraiškas ir , iš kurios bus galima gauti reikšmę, atitinkančią nurodytų linijų susikirtimo tašką. Šiuo atveju linijų susikirtimo taškas turi koordinates.

Taip suraskime ankstesnio pavyzdžio tiesių susikirtimo taško koordinates.

Pavyzdys.

Nustatykite tiesių susikirtimo taško koordinates ir .

Sprendimas.

Tiesioginės išraiškos lygtyje pakeiskite:

Išspręsdami gautą lygtį, gauname . Ši reikšmė atitinka bendrą linijų tašką ir . Apskaičiuojame sankirtos taško koordinates, pakeisdami tiesę į parametrines lygtis:
.

Atsakymas:

M 0 (-5, 1) .

Norint užbaigti paveikslą, reikėtų aptarti dar vieną dalyką.

Prieš ieškant dviejų tiesių susikirtimo plokštumoje taško koordinates, pravartu įsitikinti, ar duotosios tiesės tikrai susikerta. Jeigu paaiškėja, kad pradinės tiesės sutampa arba yra lygiagrečios, tai tokių tiesių susikirtimo taško koordinačių radimas išvis išeina.

Žinoma, galite apsieiti be tokio patikrinimo ir iš karto sudaryti formos lygčių sistemą ir ją išspręsti. Jei lygčių sistema turi unikalų sprendimą, tada ji pateikia taško, kuriame pradinės tiesės susikerta, koordinates. Jei lygčių sistema neturi sprendinių, galime daryti išvadą, kad pradinės tiesės yra lygiagrečios (nes nėra tokios realiųjų skaičių poros x ir y, kuri vienu metu tenkintų abi duotųjų tiesių lygtis). Iš to, kad lygčių sistemoje yra begalinis sprendinių rinkinys, išplaukia, kad pradinės linijos turi be galo daug bendrų taškų, tai yra, jie atitinka.

Pažvelkime į pavyzdžius, kurie tinka šioms situacijoms.

Pavyzdys.

Sužinokite, ar linijos ir susikerta, o jei susikerta, tada raskite susikirtimo taško koordinates.

Sprendimas.

Duotos tiesių lygtys atitinka lygtis ir . Išspręskime iš šių lygčių sudarytą sistemą .

Akivaizdu, kad sistemos lygtys yra tiesiškai išreiškiamos viena per kitą (antroji sistemos lygtis gaunama iš pirmosios, padauginus abi jos dalis iš 4), todėl lygčių sistema turi begalinį sprendinių skaičių. Taigi, lygtys ir apibrėžia tą pačią tiesę, ir mes negalime kalbėti apie šių linijų susikirtimo taško koordinačių radimą.

Atsakymas:

Lygtys ir nustato tą pačią tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy, todėl negalime kalbėti apie susikirtimo taško koordinačių radimą.

Pavyzdys.

Raskite tiesių susikirtimo taško koordinates ir , jei įmanoma.

Sprendimas.

Problemos sąlyga pripažįsta, kad linijos gali nesikirsti. Sudarykime šių lygčių sistemą. Taikoma jos sprendimui, nes leidžia nustatyti lygčių sistemos suderinamumą ar nenuoseklumą ir, jei ji suderinama, rasti sprendimą:

Paskutinė sistemos lygtis po tiesioginės Gauso metodo eigos virto neteisinga lygybe, todėl lygčių sistema neturi sprendinių. Iš to galime daryti išvadą, kad pradinės tiesės yra lygiagrečios, ir negalime kalbėti apie šių linijų susikirtimo taško koordinačių radimą.

Antrasis sprendimas.

Sužinokime, ar duotosios linijos susikerta.

- normalios linijos vektorius , ir vektorius yra normalus linijos vektorius . Patikrinkime vykdymą ir : lygybė yra tiesa, nes , todėl duotų linijų normalieji vektoriai yra kolineariniai. Tada šios linijos yra lygiagrečios arba sutampa. Taigi negalime rasti pradinių tiesių susikirtimo taško koordinačių.

Atsakymas:

Neįmanoma rasti nurodytų tiesių susikirtimo taško koordinačių, nes šios tiesės yra lygiagrečios.

Pavyzdys.

Raskite tiesių 2x-1=0 susikirtimo taško koordinates ir jei jos susikerta.

Sprendimas.

Sudarome lygčių sistemą, kuri yra bendrosios duotų eilučių lygtys: . Šios lygčių sistemos pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio , taigi lygčių sistema turi unikalų sprendinį, kuris nurodo duotųjų tiesių sankirtą.

Norėdami rasti linijų susikirtimo taško koordinates, turime išspręsti sistemą:

Gautas sprendimas suteikia mums linijų susikirtimo taško koordinates, ty 2x-1=0 ir .

Atsakymas:

Dviejų tiesių erdvėje susikirtimo taško koordinačių radimas.

Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės trimatėje erdvėje randamos panašiai.

Panagrinėkime pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite dviejų tiesių, pateiktų erdvėje lygtimis, susikirtimo taško koordinates ir .

Sprendimas.

Iš pateiktų eilučių lygčių sudarome lygčių sistemą: . Šios sistemos sprendimas suteiks mums norimas linijų susikirtimo taško koordinates erdvėje. Raskime rašytinės lygčių sistemos sprendimą.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą , ir pratęstas .

Apibrėžkime A ir matricos rangas T . Mes naudojame

Nuspręsti geometrinė problema koordinačių metodas, reikalingas susikirtimo taškas, kurio koordinatės naudojamos sprendime. Susidaro situacija, kai reikia ieškoti dviejų tiesių susikirtimo plokštumoje koordinačių arba nustatyti tų pačių tiesių koordinates erdvėje. Šis straipsnis svarsto taškų, kuriuose susikerta duotosios tiesės, koordinačių radimo atvejus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Būtina apibrėžti dviejų tiesių susikirtimo taškus.

Atkarpa apie tiesių santykinę padėtį plokštumoje rodo, kad jos gali sutapti, būti lygiagrečios, susikirsti viename bendrame taške arba susikirsti. Dvi tiesės erdvėje vadinamos susikertančiomis, jei jos turi vieną bendrą tašką.

Tiesų susikirtimo taško apibrėžimas skamba taip:

1 apibrėžimas

Dviejų tiesių susikirtimo taškas vadinamas jų susikirtimo tašku. Kitaip tariant, susikertančių linijų taškas yra susikirtimo taškas.

Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Prieš surandant dviejų tiesių susikirtimo taško koordinates, būtina atsižvelgti į žemiau pateiktą pavyzdį.

Jei plokštumoje yra koordinačių sistema O x y, tai duotos dvi tiesės a ir b. Tiesė a atitinka bendrąją A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 formos lygtį, tiesei b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada M 0 (x 0 , y 0) yra koks nors plokštumos taškas, reikia nustatyti, ar taškas M 0 bus šių tiesių susikirtimo taškas.

Norint išspręsti problemą, būtina laikytis apibrėžimo. Tada tiesės turi susikirsti taške, kurio koordinatės yra duotų lygčių A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sprendinys. Tai reiškia, kad susikirtimo taško koordinatės pakeičiamos į visas pateiktas lygtis. Jei pakeisdami jie pateikia teisingą tapatybę, tada M 0 (x 0 , y 0) laikomas jų susikirtimo tašku.

1 pavyzdys

Duotos dvi susikertančios tiesės 5 x - 2 y - 16 = 0 ir 2 x - 5 y - 19 = 0 . Ar taškas M 0 su koordinatėmis (2, - 3) bus susikirtimo taškas.

Sprendimas

Kad tiesių sankirta būtų reali, būtina, kad taško M 0 koordinatės tenkintų tiesių lygtis. Tai patikrinama juos pakeičiant. Mes tai gauname

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Abi lygybės yra teisingos, o tai reiškia, kad M 0 (2, - 3) yra duotųjų tiesių susikirtimo taškas.

Šį sprendimą pavaizduojame žemiau esančio paveikslo koordinačių linijoje.

Atsakymas:duotas taškas su koordinatėmis (2, - 3) bus nurodytų linijų susikirtimo taškas.

2 pavyzdys

Ar tiesės 5 x + 3 y - 1 = 0 ir 7 x - 2 y + 11 = 0 susikirs taške M 0 (2 , - 3) ?

Sprendimas

Norint išspręsti problemą, visose lygtyse reikia pakeisti taško koordinates. Mes tai gauname

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Antroji lygybė nėra teisinga, o tai reiškia, kad duotasis taškas nepriklauso tiesei 7 x - 2 y + 11 = 0 . Taigi turime, kad taškas M 0 nėra tiesių susikirtimo taškas.

Brėžinyje aiškiai matyti, kad M 0 nėra linijų susikirtimo taškas. Jie turi bendrą tašką su koordinatėmis (- 1 , 2) .

Atsakymas: taškas su koordinatėmis (2, - 3) nėra duotųjų tiesių susikirtimo taškas.

Mes kreipiamės į dviejų tiesių susikirtimo taškų koordinates, naudodami pateiktas lygtis plokštumoje.

Dvi susikertančios tiesės a ir b pateiktos A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 formos lygtimis, esančiomis O x y. Nurodydami susikirtimo tašką M 0, gauname, kad koordinačių paiešką turėtume tęsti pagal lygtis A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Iš apibrėžimo akivaizdu, kad M 0 yra bendras tiesių susikirtimo taškas. Šiuo atveju jo koordinatės turi tenkinti lygtis A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Kitaip tariant, tai yra gautos sistemos A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sprendimas.

Tai reiškia, kad norint rasti susikirtimo taško koordinates, reikia visas lygtis sudėti į sistemą ir ją išspręsti.

3 pavyzdys

Duotos dvi tiesės x - 9 y + 14 = 0 ir 5 x - 2 y - 16 = 0 plokštumoje. reikia rasti jų sankirtą.

Sprendimas

Duomenys apie lygties sąlygą turi būti renkami į sistemą, po kurios gauname x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Norėdami tai išspręsti, pirmoji lygtis išsprendžiama x, išraiška pakeičiama antrąja:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Gauti skaičiai yra koordinatės, kurias reikėjo rasti.

Atsakymas: M 0 (4, 2) yra tiesių x - 9 y + 14 = 0 ir 5 x - 2 y - 16 = 0 susikirtimo taškas.

Koordinačių paieška sumažinama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo. Jei pagal sąlygą pateikiama kita lygties forma, ji turėtų būti sumažinta iki normalios formos.

4 pavyzdys

Nustatykite tiesių x - 5 = y - 4 - 3 ir x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R susikirtimo taškų koordinates.

Sprendimas

Pirmiausia reikia pateikti lygtis į bendrą formą. Tada gauname, kad x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R transformuojamas taip:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x – 9 y + 14 = 0

Tada paimame kanoninės formos x - 5 = y - 4 - 3 lygtį ir transformuojame. Mes tai gauname

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Taigi turime, kad koordinatės yra susikirtimo taškas

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Koordinatėms rasti pritaikykime Cramerio metodą:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 212

Atsakymas: M 0 (- 5, 1) .

Yra dar vienas būdas rasti plokštumoje esančių linijų susikirtimo taško koordinates. Jis taikomas, kai viena iš eilučių pateikiama parametrinėmis lygtimis, kurių forma yra x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Tada x = x 1 + a x λ ir y = y 1 + a y λ pakeičiami x, kur gauname λ = λ 0, atitinkantį susikirtimo tašką, kurio koordinatės yra x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

5 pavyzdys

Nustatykite tiesės x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R ir x - 5 = y - 4 - 3 susikirtimo taško koordinates.

Sprendimas

Būtina atlikti x - 5 \u003d y - 4 - 3 pakeitimą pagal išraišką x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, tada gauname:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Spręsdami gauname, kad λ = - 1 . Tai reiškia, kad yra susikirtimo taškas tarp tiesių x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R ir x - 5 = y - 4 - 3 . Norint apskaičiuoti koordinates, parametrinėje lygtyje reikia pakeisti išraišką λ = - 1. Tada gauname, kad x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Atsakymas: M 0 (- 5, 1) .

Norėdami visiškai suprasti temą, turite žinoti kai kuriuos niuansus.

Pirmiausia turite suprasti linijų vietą. Kai jie susikirs, rasime koordinates, kitais atvejais sprendimo nebus. Norėdami išvengti šio patikrinimo, galime sudaryti sistemą, kurios forma yra A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 + C 2 \u003d 0 Jei yra sprendimas, darome išvadą, kad linijos susikerta . Jei sprendimo nėra, jie yra lygiagretūs. Kai sistema turi begalinį sprendinių skaičių, tada sakoma, kad jie yra vienodi.

6 pavyzdys

Duotos tiesės x 3 + y - 4 = 1 ir y = 4 3 x - 4 . Nustatykite, ar jie turi bendrą tašką.

Sprendimas

Supaprastinus pateiktas lygtis, gauname 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 ir 4 3 x - y - 4 = 0 .

Vėlesniam sprendimui reikia surinkti lygtis į sistemą:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Tai rodo, kad lygtys išreiškiamos viena per kitą, tada gauname begalinį sprendinių skaičių. Tada lygtys x 3 + y - 4 = 1 ir y = 4 3 x - 4 apibrėžia tą pačią tiesę. Todėl susikirtimo taškų nėra.

Atsakymas: pateiktos lygtys apibrėžia tą pačią tiesę.

7 pavyzdys

Raskite susikertančių tiesių 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 ir 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 taško koordinates.

Sprendimas

Pagal sąlygą gali būti, kad linijos nesusikirs. Parašykite lygčių sistemą ir išspręskite. Sprendimui būtina naudoti Gauso metodą, nes jo pagalba galima patikrinti lygties suderinamumą. Gauname tokios formos sistemą:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Gavome neteisingą lygybę, todėl sistema neturi sprendimų. Darome išvadą, kad linijos yra lygiagrečios. Sankirtos taškų nėra.

Antrasis sprendimas.

Pirmiausia turite nustatyti linijų sankirtos buvimą.

n 1 → = (2 , 2 - 3) yra tiesės 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 normalusis vektorius, tada vektorius n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - normalus vektorius tiesei 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Būtina patikrinti vektorių n 1 → = (2, 2 - 3) ir n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) kolineariškumą. Gauname lygybę formos 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Tai teisinga, nes 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Iš to išplaukia, kad vektoriai yra kolineariniai. Tai reiškia, kad linijos yra lygiagrečios ir neturi susikirtimo taškų.

Atsakymas: sankirtos taškų nėra, tiesės lygiagrečios.

8 pavyzdys

Raskite duotųjų tiesių 2 x - 1 = 0 ir y = 5 4 x - 2 susikirtimo koordinates.

Sprendimas

Norėdami išspręsti, sudarome lygčių sistemą. Mes gauname

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Raskite pagrindinės matricos determinantą. Tam 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Kadangi jo nėra nulis, sistema turi 1 sprendimą. Iš to išplaukia, kad linijos susikerta. Išspręskime sankirtos taškų koordinačių nustatymo sistemą:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Gavome, kad duotųjų tiesių susikirtimo taškas turi koordinates M 0 (1 2 , - 11 8) .

Atsakymas: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Dviejų tiesių erdvėje susikirtimo taško koordinačių radimas

Lygiai taip pat randami erdvės linijų susikirtimo taškai.

Kai eilutės a ir b pateiktos koordinačių plokštuma Apie x y z susikertančių plokštumų lygtimis, tada yra tiesė a, kurią galima nustatyti naudojant pateiktą sistemą A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 \u003d 0 ir tiesi linija b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 \u003d 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 \u003d 0.

Kai taškas M 0 yra tiesių susikirtimo taškas, tai jo koordinatės turi būti abiejų lygčių sprendiniai. Sistemoje gauname tiesines lygtis:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Panagrinėkime tokias užduotis su pavyzdžiais.

9 pavyzdys

Raskite duotųjų tiesių x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ir 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 susikirtimo taško koordinates

Sprendimas

Sudarome sistemą x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ir ją išsprendžiame. Norint rasti koordinates, reikia išspręsti per matricą. Tada gauname pagrindinę matricą formos A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 ir išplėstinę matricą T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Matricos rangą nustatome pagal Gausą.

Mes tai gauname

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Iš to išplaukia, kad padidintos matricos rangas yra 3. Tada lygčių sistema x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 duoda tik vieną sprendimą.

Bazinis minoras turi determinantą 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , tada paskutinė lygtis netelpa. Gauname, kad x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Sistemos sprendimas x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Taigi turime, kad susikirtimo taškas x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ir 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 turi koordinates (1 , - 3 , 0) .

Atsakymas: (1 , - 3 , 0) .

Formos A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 sistema = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 turi tik vieną sprendinį. Taigi linijos a ir b susikerta.

Kitais atvejais lygtis neturi sprendinio, tai yra, nėra ir bendrų taškų. Tai yra, neįmanoma rasti taško su koordinatėmis, nes jo nėra.

Todėl A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z sistema + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 sprendžiama Gauso metodu. Dėl jo nesuderinamumo linijos nesikerta. Jei sprendinių yra be galo daug, tai jie sutampa.

Galite priimti sprendimą apskaičiuodami pagrindinį ir išplėstinį matricos rangą, tada pritaikykite Kronecker-Capelli teoremą. Mes gauname vieną, daug sprendimų arba jų visai nėra.

10 pavyzdys

Pateikiamos tiesių x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 ir x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 lygtys. Raskite susikirtimo tašką.

Sprendimas

Pirmiausia sukurkime lygčių sistemą. Gauname, kad x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Išsprendžiame Gauso metodu:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Akivaizdu, kad sistema neturi sprendimų, o tai reiškia, kad linijos nesikerta. Sankryžos taško nėra.

Atsakymas: sankirtos taško nėra.

Jei tiesės pateiktos naudojant kūgines arba parametrines lygtis, jas reikia perkelti į susikertančių plokštumų lygčių formą ir tada rasti koordinates.

11 pavyzdys

Duotos dvi eilutės x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R ir x 2 = y - 3 0 = z 5 O x y z . Raskite susikirtimo tašką.

Sprendimas

Dviejų susikertančių plokštumų lygtimis nustatome tiesias linijas. Mes tai gauname

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Randame koordinates 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , tam apskaičiuojame matricos eiles. Matricos rangas yra 3, o pagrindinis minoras yra 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, o tai reiškia, kad paskutinė lygtis turi būti pašalinta iš sistemos. Mes tai gauname

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Išspręskime sistemą Cramerio metodu. Gauname, kad x = - 2 y = 3 z = - 5 . Iš čia gauname, kad duotųjų tiesių sankirta duoda tašką su koordinatėmis (- 2 , 3 , - 5) .

Atsakymas: (- 2 , 3 , - 5) .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Statmena linija

Ši užduotis turbūt viena populiariausių ir paklausiausių mokykliniuose vadovėliuose. Šia tema pagrįstos užduotys yra įvairios. Tai yra dviejų tiesių susikirtimo taško apibrėžimas, tai yra tiesės, einančios per pradinės linijos tašką tam tikru kampu, lygties apibrėžimas.

Šią temą apžvelgsime naudodami duomenis, gautus naudojant skaičiavimus

Būtent ten buvo svarstomas bendrosios tiesės lygties transformavimas į lygtį su nuolydžiu ir atvirkščiai bei likusių tiesės parametrų nustatymas pagal pateiktas sąlygas.

Ko mums trūksta, kad išspręstume problemas, kurioms skirtas šis puslapis?

1. Vieno iš kampų tarp dviejų susikertančių tiesių apskaičiavimo formulės.

Jei turime dvi tieses, kurias pateikia lygtys:

tada vienas iš kampų apskaičiuojamas taip:

2. Tiesės, kurios nuolydis eina per tam tikrą tašką, lygtis

Iš 1 formulės matome dvi pasienio būsenas

a) kai tada ir todėl šios dvi nurodytos tiesės yra lygiagrečios (arba sutampa)

b) kai , Tada , Ir todėl šios linijos yra statmenos, tai yra, jos susikerta stačiu kampu.

Kokie gali būti pradiniai duomenys sprendžiant tokias problemas, išskyrus nurodytą tiesę?

Tiesės taškas ir kampas, kuriuo antroji tiesė jį kerta

Antroji tiesės lygtis

Kokias užduotis gali išspręsti robotas?

1. Pateikiamos dvi tiesės (tiesiogiai arba netiesiogiai, pavyzdžiui, dviem taškais). Apskaičiuokite susikirtimo tašką ir kampus, kuriais jie susikerta.

2. Duota viena tiesė, tiesės taškas ir vienas kampas. Nustatykite tiesės, kuri kerta duotąją tam tikru kampu, lygtį

Pavyzdžiai

Dvi tiesės pateikiamos lygtimis. Raskite šių tiesių susikirtimo tašką ir kampus, kuriais jos susikerta

eilutė_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Gauname tokį rezultatą

Pirmosios eilutės lygtis

y = 2,2 x + (1,2)

Antrosios eilutės lygtis

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Dviejų linijų susikirtimo kampas (laipsniais)

-42.357454705937

Dviejų linijų susikirtimo taškas

x=-3,5

y=-6,5

Nepamirškite, kad dviejų eilučių parametrai yra atskirti kableliu, o kiekvienos eilutės parametrai – kabliataškiu.

Linija eina per du taškus (1:-4) ir (5:2) . Raskite tiesės, einančios per tašką (-2:-8) ir kertančios pradinę tiesę 30 laipsnių kampu, lygtį.

Viena tiesė mums žinoma, nes žinomi du taškai, per kuriuos ji eina.

Belieka nustatyti antrosios tiesės lygtį. Vienas taškas mums žinomas, o vietoj antrojo nurodomas kampas, kuriuo pirmoji tiesė kerta antrąją.

Atrodo, kad viskas žinoma, bet čia svarbiausia nesuklysti. Kalbame apie kampą (30 laipsnių) ne tarp x ašies ir linijos, o tarp pirmos ir antros eilučių.

Dėl to mes skelbiame taip. Nustatykime pirmosios eilutės parametrus ir išsiaiškinkime, kokiu kampu ji kerta x ašį.

eilutė xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Bendroji lygtis Ax+By+C = 0

Koeficientas A = -6

B faktorius = 4

Koeficientas C = 22

Koeficientas a= 3,666666666667

Koeficientas b = -5,5

Koeficientas k = 1,5

Pasvirimo kampas į ašį (laipsniais) f = 56,309932474019

Koeficientas p = 3,0508510792386

Koeficientas q = 2,5535900500422

Atstumas tarp taškų = 7,211102550928

Matome, kad pirmoji linija kerta ašį kampu 56,309932474019 laipsnių.

Šaltinio duomenys tiksliai nepasako, kaip antroji eilutė susikerta su pirmąja. Juk galima nubrėžti dvi sąlygas tenkinančias linijas, pirmoji pasukta 30 laipsnių pagal laikrodžio rodyklę, antroji – 30 laipsnių prieš laikrodžio rodyklę.

Suskaičiuokime juos

Jei antroji eilutė bus pasukta 30 laipsnių PRIEŠ LAIKRODŽODŽIO DALIS, tada antroji eilutė turės susikirtimo su x ašimi laipsnį 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 laipsnių

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Tiesios linijos parametrai pagal duotus parametrus

Bendroji lygtis Ax+By+C = 0

Koeficientas A = 23,011106998916

B faktorius = -1,4840558255286

Koeficientas C = 34,149767393603

Tiesės lygtis atkarpose x/a+y/b = 1

Koeficientas a= -1,4840558255286

Koeficientas b = 23,011106998916

Tiesės lygtis su kampiniu koeficientu y = kx + b

Koeficientas k = 15,505553499458

Pasvirimo kampas į ašį (laipsniais) f = 86,309932474019

Normalioji tiesės x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 lygtis

Koeficientas p = -1,4809790664999

Koeficientas q = 3,0771888256405

Atstumas tarp taškų=23,058912962428

Atstumas nuo taško iki linijos li =

tai yra, mūsų antrosios eilutės lygtis yra y= 15.505553499458x+ 23.011106998916

Dvimatėje erdvėje dvi tiesės susikerta tik viename taške, pateiktoje koordinatėmis (x, y). Kadangi abi tiesės eina per jų susikirtimo tašką, koordinatės (x, y) turi atitikti abi šias tieses apibūdinančias lygtis. Turėdami tam tikrų pažangių įgūdžių, galite rasti parabolių ir kitų kvadratinių kreivių susikirtimo taškus.

Žingsniai

Dviejų linijų susikirtimo taškas

Užrašykite kiekvienos eilutės lygtį, išskirdami kintamąjį "y" kairėje lygties pusėje. Kiti lygties nariai turėtų būti dedami dešinėje lygties pusėje. Galbūt vietoj „y“ jums pateiktoje lygtyje bus kintamasis f (x) arba g (x); šiuo atveju išskirkite tokį kintamąjį. Norėdami išskirti kintamąjį, atlikite atitinkamas matematines operacijas abiejose lygties pusėse.

Jei linijų lygtys jums nepateiktos, remiantis jums žinoma informacija.
Pavyzdys. Duotos tiesės, aprašytos lygtimis ir y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12 = -2x). Norėdami išskirti "y" antroje lygtyje, pridėkite skaičių 12 prie abiejų lygties pusių:

Ieškote abiejų tiesių susikirtimo taško, ty taško, kurio (x,y) koordinatės tenkina abi lygtis. Kadangi kintamasis "y" yra kiekvienos lygties kairėje pusėje, kiekvienos lygties dešinėje esančias išraiškas galima sulyginti. Užrašykite naują lygtį.
- Pavyzdys. Nes y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) ir y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x), tada galime parašyti tokią lygybę: .
Raskite kintamojo "x" reikšmę. Naujoje lygtyje yra tik vienas kintamasis "x". Norėdami rasti „x“, išskirkite šį kintamąjį kairėje lygties pusėje, atlikdami atitinkamą matematiką abiejose lygties pusėse. Turėtumėte gauti tokią lygtį kaip x = __ (jei to negalite padaryti, žr. šį skyrių).
- Pavyzdys. x + 3 = 12 - 2 x (\displaystyle x+3 = 12-2x)
- Papildyti 2x (\displaystyle 2x)į kiekvieną lygties pusę:
- 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3 = 12)
- Iš kiekvienos lygties pusės atimkite 3:
- 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
- Padalinkite kiekvieną lygties pusę iš 3:
- x = 3 (\displaystyle x=3).
Norėdami apskaičiuoti kintamojo "y" reikšmę, naudokite rastą kintamojo "x" reikšmę. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastą reikšmę "x" lygtyje (bet kuri) tiesia linija.
- Pavyzdys. x = 3 (\displaystyle x=3) ir y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
- y = 3 + 3 (\displaystyle y = 3 + 3)
- y=6 (\displaystyle y=6)
Patikrinkite atsakymą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite „x“ reikšmę kita tiesės lygtimi ir raskite „y“ reikšmę. Jei gaunate skirtingas „y“ reikšmes, patikrinkite, ar jūsų skaičiavimai yra teisingi.
- Pavyzdys: x = 3 (\displaystyle x=3) ir y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x)
- y = 12–2 (3) (\displaystyle y=12-2 (3))
- y = 12–6 (\displaystyle y=12-6)
- y=6 (\displaystyle y=6)
- Gavote tą pačią „y“ reikšmę, todėl jūsų skaičiavimuose nėra klaidų.
Užsirašykite koordinates (x, y). Apskaičiuodami "x" ir "y" reikšmes, radote dviejų linijų susikirtimo taško koordinates. Užrašykite susikirtimo taško koordinates forma (x, y).
- Pavyzdys. x = 3 (\displaystyle x=3) ir y=6 (\displaystyle y=6)
- Taigi dvi tiesės susikerta taške su koordinatėmis (3,6).
Skaičiavimai ypatingais atvejais. Kai kuriais atvejais kintamojo "x" reikšmės nepavyksta rasti. Bet tai nereiškia, kad padarėte klaidą. Ypatingas atvejis atsiranda, kai įvykdoma viena iš šių sąlygų:
- Jei dvi tiesės lygiagrečios, jos nesikerta. Tokiu atveju kintamasis "x" bus tiesiog sumažintas, o jūsų lygtis pavirs beprasme lygybe (pvz., 0 = 1 (\displaystyle 0 = 1)). Tokiu atveju savo atsakyme užrašykite, kad linijos nesikerta arba nėra sprendimo.
- Jei abi lygtys apibūdina vieną tiesę, susikirtimo taškų bus be galo daug. Tokiu atveju kintamasis "x" bus tiesiog sumažintas, o jūsų lygtis pavirs griežta lygybe (pvz., 3 = 3 (\displaystyle 3 = 3)). Tokiu atveju savo atsakyme užrašykite, kad šios dvi eilutės sutampa.
Kvadratinių funkcijų problemos
1. Kvadratinės funkcijos apibrėžimas. Kvadratinės funkcijos atveju vienas ar keli kintamieji turi antrąjį laipsnį (bet ne aukštesnį), pavyzdžiui, x 2 (\displaystyle x^(2)) arba y 2 (\displaystyle y^(2)). Kvadratinių funkcijų grafikai yra kreivės, kurios negali susikirsti arba susikirsti viename ar dviejuose taškuose. Šiame skyriuje mes jums pasakysime, kaip rasti kvadratinių kreivių susikirtimo tašką ar taškus.
2. Perrašykite kiekvieną lygtį, išskirdami kintamąjį "y" kairėje lygties pusėje. Kiti lygties nariai turėtų būti dedami dešinėje lygties pusėje.
  - Pavyzdys. Raskite grafikų susikirtimo tašką (-us). x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) ir
  - Išskirkite kintamąjį "y" kairėje lygties pusėje:
  - ir y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
  - Šiame pavyzdyje jums duota viena kvadratinė funkcija ir viena tiesinė funkcija. Atminkite, kad jei jums duotos dvi kvadratinės funkcijos, skaičiavimai bus tokie patys, kaip ir toliau nurodyti veiksmai.
3. Sulyginkite kiekvienos lygties dešinėje pusėje esančias išraiškas. Kadangi kintamasis "y" yra kiekvienos lygties kairėje pusėje, kiekvienos lygties dešinėje esančias išraiškas galima sulyginti.
  - Pavyzdys. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) ir y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)
4. Visus gautos lygties narius perkelkite į ją kairė pusė, o dešinėje pusėje parašykite 0. Norėdami tai padaryti, atlikite pagrindines matematines operacijas. Tai leis jums išspręsti gautą lygtį.
  - Pavyzdys. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
  - Atimkite "x" iš abiejų lygties pusių:
  - x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
  - Iš abiejų lygties pusių atimkite 7:
5. Išspręskite kvadratinę lygtį. Perkeldami visus lygties narius į kairę pusę, gausite kvadratinę lygtį. Jį galima išspręsti trimis būdais: naudojant specialią formulę ir.
  - Pavyzdys. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
  - Skaičiuojant lygtį, gaunami du dvinariai, kuriuos padauginus gaunama pradinė lygtis. Mūsų pavyzdyje pirmasis narys x 2 (\displaystyle x^(2)) gali būti suskaidytas į x*x. Įveskite šį įrašą: (x) (x) = 0
  - Mūsų pavyzdyje pertrauką -6 galima apskaičiuoti taip: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
  - Mūsų pavyzdyje antrasis narys yra x (arba 1x). Pridėkite kiekvieną perėmimo koeficientų porą (mūsų pavyzdyje -6), kol gausite 1. Mūsų pavyzdyje teisinga perėmimo koeficientų pora yra -2 ir 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), nes − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
  - Rasta skaičių pora užpildykite tarpus: .
6. Nepamirškite apie antrąjį dviejų grafikų susikirtimo tašką. Jei problemą išspręsite greitai ir ne itin kruopščiai, antrąjį susikirtimo tašką galite pamiršti. Štai kaip rasti dviejų susikirtimo taškų „x“ koordinates:
  - Pavyzdys (faktoringas). Jei lygtyje (x – 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2) (x+3) = 0) viena iš išraiškų skliausteliuose bus lygi 0, tada visa lygtis bus lygi 0. Todėl galime parašyti taip: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2 = 0) → x = 2 (\displaystyle x=2) ir x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = – 3 (\displaystyle x=-3) (tai yra, jūs radote dvi lygties šaknis).
  - Pavyzdys (formulės naudojimas arba papildymas pilna aikštė) . Naudojant vieną iš šių metodų, sprendimo procese atsiras kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui, mūsų pavyzdžio lygtis bus tokia x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Atminkite, kad paėmę kvadratinę šaknį gausite du sprendimus. Mūsų atveju: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25)) = 5*5), ir 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25)) = (-5)*(-5)). Taigi užrašykite dvi lygtis ir raskite dvi x reikšmes.
7. Grafikai susikerta viename taške arba nesikerta. Tokios situacijos atsiranda, kai įvykdomos šios sąlygos:
  - Jei grafikai susikerta viename taške, kvadratinė lygtis išskaidoma į lygius koeficientus, pavyzdžiui, (x-1) (x-1) = 0, o kvadratinė šaknis iš 0 atsiranda formulėje ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Šiuo atveju lygtis turi tik vieną sprendinį.
  - Jei grafikai visai nesikerta, tada lygtis nesiskiria faktoriams, o kvadratinė šaknis neigiamas skaičius(pavyzdžiui, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Tokiu atveju atsakyme parašykite, kad sprendimo nėra.