Դիֆերենցիալ հաշվարկի կարևորագույն խնդիրներից է ֆունկցիաների վարքագծի ուսումնասիրության ընդհանուր օրինակների մշակումը։

Եթե ​​y \u003d f (x) ֆունկցիան շարունակական է միջակայքի վրա, և դրա ածանցյալը դրական է կամ հավասար է 0-ի (a, b) միջակայքում, ապա y \u003d f (x) մեծանում է (f "(x)-ով: 0): Եթե y \u003d f (x) ֆունկցիան հատվածի վրա շարունակական է, և դրա ածանցյալը բացասական է կամ հավասար է 0-ի (a,b) միջակայքում, ապա y=f(x) նվազում է (f"( x) 0)

Այն ինտերվալները, որոնցում ֆունկցիան չի նվազում կամ մեծանում, կոչվում են ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքեր։ Ֆունկցիայի միապաղաղության բնույթը կարող է փոխվել միայն նրա սահմանման տիրույթի այն կետերում, որտեղ փոխվում է առաջին ածանցյալի նշանը։ Այն կետերը, որտեղ ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը անհետանում կամ ընդհատվում է, կոչվում են կրիտիկական կետեր:

Թեորեմ 1 (1-ին բավարար պայման էքստրեմումի գոյության համար).

Թող y=f(x) ֆունկցիան սահմանվի x 0 կետում և թող լինի δ>0 այնպիսի հարևանություն, որ ֆունկցիան շարունակական լինի հատվածի վրա, տարբերվող (x 0 -δ, x 0)u( միջակայքում: x 0, x 0 + δ), և դրա ածանցյալը պահպանում է հաստատուն նշան այս միջակայքներից յուրաքանչյուրի վրա: Ապա եթե x 0 -δ, x 0) և (x 0, x 0 + δ) ածանցյալի նշանները տարբեր են, ապա x 0-ը ծայրահեղ կետ է, իսկ եթե դրանք համընկնում են, ապա x 0-ը ծայրահեղ կետ չէ: . Ավելին, եթե x0 կետով անցնելիս ածանցյալը փոխում է նշանը գումարածից մինուսի (x 0-ից ձախ, f "(x)> 0 է կատարվում, ապա x 0 առավելագույն կետն է, եթե ածանցյալը փոխում է նշանը. մինուսից գումարած (x 0-ի աջ կողմում կատարվում է f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են ֆունկցիայի ծայրահեղ կետեր, իսկ առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են նրա ծայրահեղ արժեքներ:

Թեորեմ 2 (տեղական էքստրեմումի համար անհրաժեշտ չափանիշ).

Եթե ​​y=f(x) ֆունկցիան ունի ծայրահեղություն x=x 0 հոսանքում, ապա կամ f'(x 0)=0 կամ f'(x 0) գոյություն չունի:
Տարբերվող ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերում նրա գրաֆիկի շոշափողը զուգահեռ է Ox առանցքին:

Ծայրահեղության ֆունկցիան ուսումնասիրելու ալգորիթմ.

1) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.
2) Գտեք կրիտիկական կետեր, այսինքն. կետեր, որտեղ ֆունկցիան շարունակական է, իսկ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի:
3) Հաշվի առեք կետերից յուրաքանչյուրի հարևանությունը և ուսումնասիրեք ածանցյալի նշանը այս կետից աջ և ձախ:
4) Որոշեք ծայրահեղ կետերի կոորդինատները, կրիտիկական կետերի այս արժեքի համար փոխարինեք այս ֆունկցիային: Օգտագործելով բավարար էքստրեմալ պայմաններ՝ համապատասխան եզրակացություններ արեք։

Օրինակ 18. Հետազոտեք y=x 3 -9x 2 +24x ֆունկցիան

Լուծում.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4):
2) Ածանցյալը հավասարեցնելով զրոյի՝ գտնում ենք x 1 =2, x 2 =4: Այս դեպքում ածանցյալը սահմանվում է ամենուր. հետևաբար, բացի երկու հայտնաբերված կետերից, այլ կրիտիկական կետեր չկան։
3) y "=3(x-2)(x-4) ածանցյալի նշանը փոխվում է կախված միջակայքից, ինչպես ցույց է տրված նկար 1-ում: x=2 կետով անցնելիս ածանցյալը նշանը գումարածից փոխում է մինուսի, իսկ x=4 կետով անցնելիս՝ մինուսից պլյուս։
4) x=2 կետում ֆունկցիան ունի առավելագույն y max =20, իսկ x=4 կետում՝ նվազագույն y min =16:

Թեորեմ 3. (2-րդ բավարար պայման էքստրեմումի գոյության համար).

Թող f "(x 0) և f "" (x 0) գոյություն ունեն x 0 կետում: Ապա եթե f "" (x 0)> 0, ապա x 0 նվազագույն կետն է, իսկ եթե f "" (x 0): )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Հատվածի վրա y \u003d f (x) ֆունկցիան կարող է հասնել ամենափոքր (առնվազն) կամ ամենամեծ (առավելագույնը) արժեքին կամ (a; b) միջակայքում գտնվող ֆունկցիայի կրիտիկական կետերում կամ ծայրերում: հատվածի։

Հատվածի վրա y=f(x) շարունակական ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու ալգորիթմը.

1) Գտեք f "(x):
2) Գտեք այն կետերը, որոնցում f "(x) = 0 կամ f" (x) - գոյություն չունի, և դրանցից ընտրեք հատվածի ներսում գտնվողները:
3) Հաշվեք y \u003d f (x) ֆունկցիայի արժեքը 2-րդ պարբերությունում ստացված կետերում, ինչպես նաև հատվածի ծայրերում և ընտրեք դրանցից ամենամեծն ու ամենափոքրը. դրանք, համապատասխանաբար, ամենամեծն են ( ամենամեծ) և ամենափոքր (ամենափոքր) ֆունկցիայի արժեքները միջակայքում:

Օրինակ 19. Գտե՛ք y=x 3 -3x 2 -45+225 շարունակական ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը հատվածի վրա։

1) Հատվածի վրա ունենք y "=3x 2 -6x-45
2) y" ածանցյալը գոյություն ունի բոլոր x-ի համար: Գտնենք այն կետերը, որտեղ y"=0; մենք ստանում ենք.
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Հաշվիր ֆունկցիայի արժեքը x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 կետերում.
Հատվածին է պատկանում միայն x=5 կետը։ Ֆունկցիայի հայտնաբերված արժեքներից ամենամեծը 225 է, իսկ ամենափոքրը 50 թիվն է: Այսպիսով, առավելագույնը = 225, առավելագույնը = 50:

Ուռուցիկության վրա ֆունկցիայի ուսումնասիրություն

Նկարում ներկայացված են երկու ֆունկցիաների գրաֆիկները: Դրանցից առաջինը շրջվում է ուռուցիկությամբ դեպի վեր, երկրորդը` ուռուցիկությամբ ներքև:

y=f(x) ֆունկցիան շարունակական է հատվածի վրա և տարբերվում է (a;b) միջակայքում, կոչվում է ուռուցիկ վերև (ներքև) այս հատվածի վրա, եթե axb-ի համար դրա գրաֆիկը բարձր չէ (ոչ ցածր) քան M 0 ցանկացած կետում գծված շոշափող (x 0 ;f(x 0)), որտեղ axb.

Թեորեմ 4. Թող y=f(x) ֆունկցիան ունենա երկրորդ ածանցյալ հատվածի x ներքին կետում և շարունակական լինի այս հատվածի ծայրերում: Այնուհետև, եթե f""(x)0 անհավասարությունը բավարարված է (a;b) միջակայքում, ապա ֆունկցիան դեպի ներքեւ ուռուցիկ է հատվածի վրա; եթե f""(x)0 անհավասարությունը բավարարված է (а;b) միջակայքում, ապա ֆունկցիան ուռուցիկ է դեպի վեր .

Թեորեմ 5. Եթե y \u003d f (x) ֆունկցիան ունի երկրորդ ածանցյալ (a; b) միջակայքի վրա և եթե այն փոխում է նշանը x 0 կետով անցնելիս, ապա M (x 0 ; f (x 0)) թեքության կետ է:

Շեղման կետերը գտնելու կանոն.

1) Գտեք կետեր, որտեղ f""(x) գոյություն չունի կամ անհետանում է:
2) Քննեք առաջին քայլում հայտնաբերված յուրաքանչյուր կետի ձախ և աջ կողմում գտնվող f""(x) նշանը:
3) Թեորեմ 4-ի հիման վրա եզրակացություն արեք.

Օրինակ 20. Գտե՛ք y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ֆունկցիայի գծապատկերի ծայրակետերը և թեքման կետերը:

Մենք ունենք f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Ակնհայտորեն, f"(x)=0 x 1 =0-ի համար, x 2 =1: Ածանցյալը x=0 կետով անցնելիս նշանը մինուսից փոխում է գումարածի, իսկ x=1 կետով անցնելիս նշանը չի փոխում։ Սա նշանակում է, որ x=0 նվազագույն կետն է (y min =12), իսկ x=1 կետում ծայրահեղություն չկա: Հաջորդը, մենք գտնում ենք . Երկրորդ ածանցյալը անհետանում է x 1 =1, x 2 =1/3 կետերում: Երկրորդ ածանցյալի նշանները փոխվում են հետևյալ կերպ՝ ճառագայթի վրա (-∞;) ունենք f""(x)>0, (;1) միջակայքում ունենք f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Հետևաբար, x=-ը ֆունկցիայի գրաֆիկի թեքման կետն է (ուռուցիկությունից ներքև ուռուցիկության վերև անցում), իսկ x=1-ը նույնպես թեքության կետ է (ուռուցիկությունից դեպի ուռուցիկ անցում դեպի ներքև): Եթե ​​x=, ապա y= ; եթե, ապա x=1, y=13:

Գրաֆիկի ասիմպտոտը գտնելու ալգորիթմ

I. Եթե y=f(x) որպես x → a , ապա x=a-ն ուղղահայաց ասիմպտոտ է:
II. Եթե ​​y=f(x) որպես x → ∞ կամ x → -∞, ապա y=A-ն հորիզոնական ասիմպտոտն է:
III. Թեք ասիմպտոտը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ ալգորիթմը.
1) Հաշվել. Եթե ​​սահմանը գոյություն ունի և հավասար է b-ին, ապա y=b-ը հորիզոնական ասիմպտոտն է. եթե , ապա անցեք երկրորդ քայլին:
2) Հաշվել. Եթե ​​այս սահմանը գոյություն չունի, ապա ասիմպտոտ չկա. եթե այն գոյություն ունի և հավասար է k-ի, ապա անցեք երրորդ քայլին։
3) Հաշվել. Եթե ​​այս սահմանը գոյություն չունի, ապա ասիմպտոտ չկա. եթե այն գոյություն ունի և հավասար է b-ի, ապա անցեք չորրորդ քայլին:
4) Գրի՛ր y=kx+b թեք ասիմպտոտի հավասարումը։

Օրինակ 21. Գտեք ֆունկցիայի ասիմպտոտ

1)
2)
3)
4) Թեք ասիմպտոտային հավասարումն ունի ձևը

Ֆունկցիայի ուսումնասիրության և դրա գրաֆիկի կառուցման սխեման

I. Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը:
II. Գտե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։
III. Գտեք ասիմպտոտներ:
IV. Գտեք հնարավոր ծայրահեղության կետերը:
V. Գտեք կրիտիկական կետեր:
VI. Օժանդակ գծագրի օգնությամբ ուսումնասիրեք առաջին և երկրորդ ածանցյալների նշանը: Որոշե՛ք ֆունկցիայի մեծացման և նվազման տարածքները, գտե՛ք գրաֆիկի ուռուցիկության ուղղությունը, ծայրամասային կետերը և թեքման կետերը։
VII. Կառուցեք գրաֆիկ՝ հաշվի առնելով 1-6-րդ պարբերություններում կատարված ուսումնասիրությունը:

Օրինակ 22. Գրեք ֆունկցիայի գրաֆիկ՝ համաձայն վերը նշված սխեմայի

Լուծում.
I. Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, բացառությամբ x=1-ի:
II. Քանի որ x 2 +1=0 հավասարումը իրական արմատներ չունի, ուրեմն ֆունկցիայի գրաֆիկը չունի Ox առանցքի հետ հատման կետեր, այլ հատում է Oy առանցքը (0; -1) կետում։
III. Պարզաբանենք ասիմպտոտների գոյության հարցը։ Հետազոտում ենք ֆունկցիայի վարքագիծը խզման կետի մոտ x=1: Քանի որ y → ∞ x → -∞-ի համար, y → +∞ x → 1+-ի համար, ապա x=1 տողը ֆունկցիայի գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտն է։
Եթե ​​x → +∞(x → -∞), ապա y → +∞(y → -∞); հետևաբար, գրաֆիկը չունի հորիզոնական ասիմպտոտ: Հետագայում՝ սահմանների առկայությունից

Լուծելով x 2 -2x-1=0 հավասարումը, ստանում ենք հնարավոր ծայրահեղության երկու միավոր.
x 1 =1-√2 և x 2 =1+√2

V. Կրիտիկական կետերը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք երկրորդ ածանցյալը.

Քանի որ f""(x)-ը չի անհետանում, կրիտիկական կետեր չկան:
VI. Մենք ուսումնասիրում ենք առաջին և երկրորդ ածանցյալների նշանը: Հնարավոր ծայրահեղ կետերը, որոնք պետք է դիտարկել՝ x 1 =1-√2 և x 2 =1+√2, ֆունկցիայի գոյության տարածքը բաժանեք միջակայքերի (-∞;1-√2), (1-√2): ;1+√2) և (1+√2;+∞):

Այս ընդմիջումներից յուրաքանչյուրում ածանցյալը պահպանում է իր նշանը՝ առաջինում՝ գումարած, երկրորդում՝ մինուս, երրորդում՝ պլյուս։ Առաջին ածանցյալի նշանների հաջորդականությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝ +, -, +:
Մենք ստանում ենք, որ ֆունկցիան (-∞;1-√2)-ում մեծանում է, (1-√2;1+√2)-ում նվազում է, իսկ (1+√2;+∞) կրկին մեծանում է: Ծայրահեղ կետերը՝ առավելագույնը x=1-√2-ում, ընդ որում՝ f(1-√2)=2-2√2 նվազագույնը՝ x=1+√2-ում, ընդ որում՝ f(1+√2)=2+2√2: (-∞;1)-ի վրա գրաֆիկը ուռուցիկ է դեպի վեր, իսկ (1;+∞)՝ դեպի ներքև:
VII Կազմենք ստացված արժեքների աղյուսակ

VIII Ստացված տվյալների հիման վրա կառուցում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկի ուրվագիծը

Կատարեք ամբողջական ուսումնասիրություն և գծեք ֆունկցիայի գրաֆիկ

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Գործառույթի շրջանակը. Քանի որ ֆունկցիան կոտորակ է, պետք է գտնել հայտարարի զրոները։

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1։

Ֆունկցիայի սահմանման տարածքից բացառում ենք x=1x=1 միակ կետը և ստանում.

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞):

2) Եկեք ուսումնասիրենք ֆունկցիայի վարքագիծը անջատման կետի մոտակայքում։ Գտեք միակողմանի սահմաններ.

Քանի որ սահմանները հավասար են անսահմանության, x=1x=1 կետը երկրորդ տեսակի ընդհատում է, x=1x=1 ուղիղը ուղղահայաց ասիմպտոտ է։

3) Որոշենք ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։

Գտնենք OyOy օրդինատների առանցքի հետ հատման կետերը, որոնց համար հավասարում ենք x=0x=0:

Այսպիսով, OyOy առանցքի հետ հատման կետն ունի կոորդինատներ (0;8)(0;8):

Գտնենք OxOx աբսցիսային առանցքի հետ հատման կետերը, որոնց համար սահմանել ենք y=0y=0:

Հավասարումը չունի արմատներ, ուստի OxOx առանցքի հետ հատման կետեր չկան:

Նկատի ունեցեք, որ x2+8>0x2+8>0 ցանկացած xx-ի համար: Հետևաբար, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) համար y>0y>0 ֆունկցիան (ընդունում է դրական արժեքներ, գրաֆիկը գտնվում է x առանցքի վերևում), x∈(1;+∞) համար։ )x∈(1; +∞) y ֆունկցիա<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ, քանի որ.

5) Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիան պարբերականության համար: Ֆունկցիան պարբերական չէ, քանի որ այն կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա է։

6) Մենք ուսումնասիրում ենք ծայրահեղությունների և միապաղաղության ֆունկցիան: Դա անելու համար մենք գտնում ենք ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը.

Առաջին ածանցյալը հավասարեցնենք զրոյի և գտնենք անշարժ կետերը (որտեղ y′=0y′=0).

Ստացանք երեք կրիտիկական կետ՝ x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4: Մենք ֆունկցիայի ողջ տիրույթը բաժանում ենք ինտերվալների ըստ տրված կետերի և որոշում ենք ածանցյալի նշանները յուրաքանչյուր միջակայքում.

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) y′ ածանցյալի համար<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) y′>0y′>0 ածանցյալի համար ֆունկցիան մեծանում է այս ընդմիջումներով:

Այս դեպքում x=−2x=−2-ը լոկալ նվազագույն կետ է (ֆունկցիան նվազում է, հետո մեծանում), x=4x=4-ը տեղական առավելագույն կետ է (ֆունկցիան մեծանում է, հետո նվազում)։

Եկեք գտնենք ֆունկցիայի արժեքները այս կետերում.

Այսպիսով, նվազագույն կետը (−2;4)(−2;4) է, առավելագույնը՝ (4;−8)(4;−8):

7) Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիան թեքությունների և ուռուցիկության համար: Գտնենք ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը.

Երկրորդ ածանցյալը հավասարեցնել զրոյի.

Ստացված հավասարումը արմատներ չունի, ուստի թեքման կետեր չկան: Ավելին, երբ x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 բավարարված է, այսինքն՝ ֆունկցիան գոգավոր է, երբ x∈(1;+∞)x∈(1): ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Մենք ուսումնասիրում ենք ֆունկցիայի վարքագիծը անսահմանության վրա, այսինքն՝ ժամը .

Քանի որ սահմաններն անսահման են, հորիզոնական ասիմպտոտներ չկան:

Փորձենք որոշել y=kx+by=kx+b ձևի թեք ասիմպտոտները։ Մենք հաշվարկում ենք k,bk,b արժեքները ըստ հայտնի բանաձևերի.

Մենք գտանք, որ ֆունկցիան ունի մեկ թեք ասիմպտոտ y=−x−1y=−x−1։

9) Լրացուցիչ միավորներ. Եկեք հաշվարկենք ֆունկցիայի արժեքը որոշ այլ կետերում, որպեսզի ավելի ճշգրիտ կառուցենք գրաֆիկ:

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Ստացված տվյալների հիման վրա կկառուցենք գրաֆիկ, այն կլրացնենք x=1x=1 (կապույտ), y=−x−1y=−x−1 (կանաչ) ասիմպտոտներով և կնշենք բնորոշ կետերը (y-ի հետ հատումը. - առանցքը մանուշակագույն է, ծայրերը՝ նարնջագույն, լրացուցիչ կետերը՝ սև):

Առաջադրանք 4. Երկրաչափական, տնտեսական խնդիրներ (ես պատկերացում չունեմ, թե ինչ, ահա խնդիրների մոտավոր ընտրություն՝ լուծումներով և բանաձևերով)

Օրինակ 3.23. ա

Լուծում. xև y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2: Քանի որ x = a/4-ը միակ կրիտիկական կետն է, եկեք ստուգենք, թե արդյոք ածանցյալի նշանը փոխվում է այս կետով անցնելիս։ xa/4 S «> 0, իսկ x >a/4 S»-ի համար< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет ամենաբարձր արժեքըգործառույթները։ Այսպիսով, կայքի առավել բարենպաստ հարաբերակցությունը խնդրի տվյալ պայմաններում y = 2x է:

Օրինակ 3.24.

Լուծում.
R = 2, H = 16/4 = 4:

Օրինակ 3.22.Գտե՛ք f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ֆունկցիայի ծայրահեղությունը։

Լուծում.Քանի որ f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), ապա ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը x 1 \u003d 2 և x 2 \u003d 3. Ծայրահեղ կետերը կարող են լինել միայն այս կետերում: Այսպիսով, քանի որ x 1 \u003d 2 կետով անցնելիս ածանցյալը փոխում է նշանը գումարածից մինուսի, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի առավելագույնը: Երբ անցնում է x 2 \u003d 3 կետով, ածանցյալը փոխում է նշանը մինուսից պլյուս, հետևաբար, x 2 \u003d 3 կետում ֆունկցիան ունի նվազագույնը: Ֆունկցիայի արժեքների հաշվարկը կետերով
x 1 = 2 և x 2 = 3, մենք գտնում ենք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը՝ առավելագույնը f(2) = 14 և նվազագույնը f(3) = 13:

Օրինակ 3.23.Քարե պարսպի մոտ պետք է ուղղանկյուն տարածք կառուցել, որպեսզի այն երեք կողմից պարսպապատված լինի մետաղական ցանցով, իսկ չորրորդ կողմից կից պատին։ Դրա համար կա ացանցի գծային մետրեր: Ինչ հարաբերակցությամբ կունենա հարթակը ամենամեծ տարածքը?

Լուծում.Նշեք կայքի կողմերը միջով xև y. Կայքի տարածքը S = xy է: Թող yպատին հարող կողմի երկարությունն է։ Այնուհետև, ըստ պայմանի, պետք է պահպանվի 2x + y = a հավասարությունը: Հետևաբար y = a - 2x և S = x(a - 2x), որտեղ
0 ≤ x ≤ a/2 (տարածքի երկարությունը և լայնությունը չեն կարող բացասական լինել): S "= a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4-ի համար, որտեղից
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2: Քանի որ x = a/4-ը միակ կրիտիկական կետն է, եկեք ստուգենք, թե արդյոք ածանցյալի նշանը փոխվում է այս կետով անցնելիս։ xa/4 S «> 0, իսկ x >a/4 S»-ի համար< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Օրինակ 3.24.Պահանջվում է V=16p ≈ 50 մ 3 տարողությամբ փակ գլանաձեւ բաք։ Ինչպիսի՞ն պետք է լինի տանկի չափերը (շառավիղ R և բարձրություն H), որպեսզի դրա արտադրության համար օգտագործվի նվազագույն քանակությամբ նյութ:

Լուծում.Մխոցի ընդհանուր մակերեսը S = 2pR (R + H): Մենք գիտենք մխոցի ծավալը V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2: Այսպիսով, S(R) = 2p(R 2 +16/R): Մենք գտնում ենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8-ի համար, հետևաբար,
R = 2, H = 16/4 = 4:

Նմանատիպ տեղեկատվություն.

Հրահանգ

Գտեք ֆունկցիայի շրջանակը: Օրինակ, sin(x) ֆունկցիան սահմանվում է -∞-ից մինչև +∞ ամբողջ միջակայքում, իսկ 1/x ֆունկցիան սահմանվում է -∞-ից մինչև +∞, բացառությամբ x = 0 կետի:

Սահմանեք շարունակականության ոլորտները և ընդմիջման կետերը: Սովորաբար ֆունկցիան շարունակական է նույն տիրույթում, որտեղ այն սահմանված է: Անընդհատությունները հայտնաբերելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել, թե երբ է արգումենտը մոտենում սահմանման տիրույթի ներսում գտնվող մեկուսացված կետերին: Օրինակ՝ 1/x ֆունկցիան x→0+-ի դեպքում հակված է դեպի անսահմանություն, x→0-ի դեպքում՝ մինուս անսահմանության: Սա նշանակում է, որ x = 0 կետում այն ​​ունի երկրորդ տեսակի ընդհատում:
Եթե ​​ընդհատման կետում սահմանները վերջավոր են, բայց ոչ հավասար, ապա սա առաջին տեսակի ընդհատում է: Եթե ​​դրանք հավասար են, ապա ֆունկցիան համարվում է շարունակական, չնայած այն սահմանված չէ մեկուսացված կետում։

Գտեք ուղղահայաց ասիմպտոտները, եթե այդպիսիք կան: Նախորդ քայլի հաշվարկները կօգնեն ձեզ այստեղ, քանի որ ուղղահայաց ասիմպտոտը գրեթե միշտ գտնվում է երկրորդ տեսակի անդադար կետում: Այնուամենայնիվ, երբեմն որոշման տիրույթից բացառվում են ոչ թե առանձին կետեր, այլ կետերի ամբողջ միջակայքերը, իսկ հետո ուղղահայաց ասիմպտոտները կարող են տեղակայվել այդ միջակայքերի եզրերին:

Ստուգեք, արդյոք ֆունկցիան ունի հատուկ հատկություններ՝ զույգ, կենտ և պարբերական:
Ֆունկցիան կլինի նույնիսկ, եթե f(x) = f(-x) տիրույթում ցանկացած x-ի համար: Օրինակ՝ cos(x) և x^2 զույգ ֆունկցիաներ են։

Պարբերականությունը հատկություն է, որն ասում է, որ կա որոշակի T թիվ, որը կոչվում է ժամանակաշրջան, որը ցանկացած x-ի համար f(x) = f(x + T): Օրինակ, բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ(սինուս, կոսինուս, շոշափող) - պարբերական:

Գտեք միավորներ: Դա անելու համար հաշվարկեք ածանցյալը տրված գործառույթըև գտեք այդ x արժեքները, որտեղ այն անհետանում է: Օրինակ, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ֆունկցիան ունի g(x) = 3x^2 + 18x ածանցյալ, որը անհետանում է x = 0 և x = -6:

Որոշելու համար, թե որ ծայրամասային կետերն են առավելագույնը և որոնք են նվազագույնը, հետևեք ածանցյալի նշանների փոփոխությունը գտնված զրոներում: g(x)-ը փոխում է նշանը գումարածից x = -6-ում և մինուսից պլյուս x = 0-ի դեպքում: Հետևաբար, f(x) ֆունկցիան առաջին կետում ունի նվազագույն, իսկ երկրորդում՝ նվազագույն:

Այսպիսով, դուք գտել եք նաև միապաղաղության տարածքներ. f(x)-ը միապաղաղ մեծանում է -∞;-6 միջակայքում, միապաղաղ նվազում է -6;0-ի վրա և կրկին մեծանում 0;+∞-ի վրա:

Գտե՛ք երկրորդ ածանցյալը: Դրա արմատները ցույց կտան, թե տվյալ ֆունկցիայի գրաֆիկը որտեղ կլինի ուռուցիկ, իսկ որտեղ՝ գոգավոր։ Օրինակ, f(x) ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը կլինի h(x) = 6x + 18: Այն անհետանում է x = -3-ում՝ փոխելով իր նշանը մինուսից պլյուսի: Հետևաբար, այս կետից առաջ f (x) գրաֆիկը կլինի ուռուցիկ, դրանից հետո՝ գոգավոր, իսկ այս կետն ինքնին կլինի թեքման կետ։

Ֆունկցիան կարող է ունենալ այլ ասիմպտոտներ, բացառությամբ ուղղահայացների, բայց միայն այն դեպքում, եթե դրա սահմանման տիրույթը ներառում է . Դրանք գտնելու համար հաշվարկեք f(x)-ի սահմանը, երբ x→∞ կամ x→-∞: Եթե ​​այն վերջավոր է, ապա դուք գտել եք հորիզոնական ասիմպտոտը:

Թեք ասիմպտոտը kx + b ձևի ուղիղ գիծ է։ K-ն գտնելու համար f(x)/x-ի սահմանը հաշվարկեք x→∞: Նույն x→∞-ով գտնել b - սահմանը (f(x) – kx):

Գրեք ֆունկցիան հաշվարկված տվյալների վրա: Նշեք ասիմպտոտները, եթե այդպիսիք կան: Նշեք ծայրահեղ կետերը և դրանցում ֆունկցիայի արժեքները: Գրաֆիկի ավելի մեծ ճշգրտության համար հաշվարկեք ֆունկցիայի արժեքները ևս մի քանի միջանկյալ կետերում: Հետազոտությունն ավարտված է:

Ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրության և դրա գրաֆիկը գծելու համար խորհուրդ է տրվում օգտագործել հետևյալ սխեման.

1) գտնել գործառույթի շրջանակը.

2) գտնել ֆունկցիայի և ուղղահայաց ասիմպտոտների անջատման կետերը (եթե դրանք կան).

3) ուսումնասիրել ֆունկցիայի վարքը անվերջության մեջ, գտնել հորիզոնական և թեք ասիմպտոտները.

4) ուսումնասիրել ֆունկցիան հավասարության (տարօրինակության) և պարբերականության համար (եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար).

5) գտնել ֆունկցիայի միապաղաղության ծայրահեղությունները և միջակայքերը.

6) որոշում է ուռուցիկության և թեքման կետերի միջակայքերը.

7) հնարավորության դեպքում գտնել կոորդինատների առանցքների հատման կետերը և որոշ լրացուցիչ կետեր, որոնք ճշգրտում են գրաֆիկը:

Ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը կատարվում է դրա գրաֆիկի կառուցման հետ միաժամանակ։

Օրինակ 9Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և կառուցեք գրաֆիկ:

1. Սահմանման տիրույթ.

2. Ֆունկցիան ընդմիջվում է կետերում
,
;

Մենք ուսումնասիրում ենք ուղղահայաց ասիմպտոտների առկայության գործառույթը:

;
,
─ ուղղահայաց ասիմպտոտ:

;
,
─ ուղղահայաց ասիմպտոտ:

3. Հետազոտում ենք թեք և հորիզոնական ասիմպտոտների առկայության ֆունկցիան:

Ուղիղ
─ թեք ասիմպտոտ, եթե
,
.

,
.

Ուղիղ
─ հորիզոնական ասիմպտոտ:

4. Ֆունկցիան նույնիսկ քանի որ
. Ֆունկցիայի հավասարությունը ցույց է տալիս գրաֆիկի համաչափությունը y առանցքի նկատմամբ։

5. Գտի՛ր ֆունկցիայի միապաղաղության և ծայրահեղությունների միջակայքերը:

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը, այսինքն. կետեր, որտեղ ածանցյալը 0 է կամ գոյություն չունի.
;
. Մենք երեք միավոր ունենք
;

. Այս կետերը ամբողջ իրական առանցքը բաժանում են չորս ընդմիջումների: Եկեք սահմանենք նշանները նրանցից յուրաքանչյուրի վրա:

(-∞; -1) և (-1; 0) ինտերվալներում ֆունկցիան մեծանում է, (0; 1) և (1; +∞) ընդմիջումներում նվազում է: Կետով անցնելիս
ածանցյալը փոխում է նշանը գումարածից մինուս, հետևաբար, այս պահին ֆունկցիան ունի առավելագույնը
.

6. Գտնենք ուռուցիկության միջակայքերը, թեքության կետերը:

Գտնենք այն կետերը, որտեղ 0 է, կամ գոյություն չունի:

իրական արմատներ չունի:
,
,

միավորներ
և
իրական առանցքը բաժանեք երեք միջակայքի. Եկեք սահմանենք նշանը ամեն ընդմիջումով:

Այսպիսով, կորը միջակայքերի վրա
և
ուռուցիկ դեպի ներքև, (-1;1) միջակայքի վրա ուռուցիկ դեպի վեր; թեքման կետեր չկան, քանի որ գործառույթը կետերում է
և
որոշված ​​չէ.

7. Գտի՛ր առանցքների հետ հատման կետերը:

առանցքով
ֆունկցիայի գրաֆիկը հատվում է (0; -1) կետում և առանցքի հետ
գրաֆիկը չի հատվում, քանի որ այս ֆունկցիայի համարիչը իրական արմատներ չունի:

Տվյալ ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 1-ում:

Նկար 1 ─ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Ածանցյալ հասկացության կիրառումը տնտեսագիտության մեջ. Գործառույթի առաձգականություն

Ուսումնասիրել տնտեսական գործընթացները և լուծել այլ կիրառական առաջադրանքներՀաճախ օգտագործվում է ֆունկցիայի առաձգականության հասկացությունը։

Սահմանում.Գործառույթի առաձգականություն
կոչվում է ֆունկցիայի հարաբերական աճի հարաբերակցության սահման փոփոխականի հարաբերական աճին ժամը
, . (VII)

Ֆունկցիայի առաձգականությունը ցույց է տալիս մոտավորապես քանի տոկոսով կփոխվի ֆունկցիան
անկախ փոփոխականը փոխելիս 1%-ով։

Ֆունկցիայի առաձգականությունը օգտագործվում է պահանջարկի և սպառման վերլուծության մեջ: Եթե ​​պահանջարկի առաձգականությունը (բացարձակ արժեքով)
, ապա պահանջարկը համարվում է առաձգական, եթե
─ չեզոք, եթե
─ ոչ առաձգական գնի (կամ եկամտի) նկատմամբ:

Օրինակ 10Հաշվիր ֆունկցիայի առաձգականությունը
և գտնել առաձգականության ինդեքսի արժեքը = 3.

Լուծում. ըստ (VII) բանաձևի ֆունկցիայի առաձգականությունը.

Թող x=3 ուրեմն
Սա նշանակում է, որ եթե անկախ փոփոխականը մեծանա 1%-ով, ապա կախյալ փոփոխականի արժեքը կաճի 1,42%-ով։

Օրինակ 11Թող պահանջարկը գործի գնի հետ կապված ունի ձևը
, որտեղ ─ հաստատուն գործակից: Գտե՛ք պահանջարկի ֆունկցիայի առաձգականության ինդեքսի արժեքը x = 3 դեն գնով։ միավորներ

Լուծում․ հաշվարկեք պահանջարկի ֆունկցիայի առաձգականությունը՝ օգտագործելով (VII) բանաձևը։

Ենթադրելով
դրամական միավորներ, մենք ստանում ենք
. Սա նշանակում է, որ գնով
դրամական միավոր 1%-ով թանկացումը կհանգեցնի պահանջարկի 6%-ով նվազմանը, այսինքն. պահանջարկը առաձգական է.

Այսօր մենք ձեզ հրավիրում ենք մեզ հետ ուսումնասիրել և գծել ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այս հոդվածը մանրակրկիտ ուսումնասիրելուց հետո դուք ստիպված չեք լինի երկար ժամանակ քրտնել այս կարգի առաջադրանքը կատարելու համար: Հեշտ չէ ուսումնասիրել և կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկ, աշխատանքը ծավալուն է, պահանջում է առավելագույն ուշադրություն և հաշվարկների ճշգրտություն։ Նյութի ընկալումը հեշտացնելու համար մենք աստիճանաբար կուսումնասիրենք նույն գործառույթը, կբացատրենք մեր բոլոր գործողություններն ու հաշվարկները։ Բարի գալուստ զարմանալի և հետաքրքրաշարժ աշխարհՄաթեմատիկա! Գնա՛

Դոմեն

Ֆունկցիան ուսումնասիրելու և գծագրելու համար դուք պետք է իմանաք մի քանի սահմանումներ: Ֆունկցիան մաթեմատիկայի հիմնական (հիմնական) հասկացություններից մեկն է։ Այն արտացոլում է մի քանի փոփոխականների (երկու, երեք կամ ավելի) կախվածությունը փոփոխություններով: Ֆունկցիան ցույց է տալիս նաև բազմությունների կախվածությունը։

Պատկերացրեք, որ մենք ունենք երկու փոփոխական, որոնք ունեն որոշակի փոփոխությունների միջակայք: Այսպիսով, y-ը x-ի ֆունկցիան է, պայմանով, որ երկրորդ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է երկրորդի մեկ արժեքին: Այս դեպքում y փոփոխականը կախված է, և այն կոչվում է ֆունկցիա։ Ընդունված է ասել, որ x և y փոփոխականները գտնվում են այս կախվածության ավելի հստակության համար կառուցվում է ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Ի՞նչ է ֆունկցիայի գրաֆիկը: Սա միավորների հավաքածու է կոորդինատային հարթությունորտեղ x-ի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է y-ի մեկ արժեքին: Գրաֆիկները կարող են տարբեր լինել՝ ուղիղ գիծ, ​​հիպերբոլա, պարաբոլա, սինուսոիդ և այլն։

Ֆունկցիայի գրաֆիկը չի կարող գծվել առանց հետազոտության: Այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես կատարել հետազոտություն և գծել ֆունկցիայի գրաֆիկ: Ուսումնառության ընթացքում շատ կարևոր է գրառումներ կատարելը։ Այսպիսով, առաջադրանքը հաղթահարելը շատ ավելի հեշտ կլինի: Առավել հարմար ուսումնական պլան.

1. Դոմեն.
2. Շարունակականություն.
3. Զույգ կամ կենտ.
4. Պարբերականություն.
5. Ասիմպտոտներ.
6. Զրոներ.
7. Մշտականություն.
8. Բարձրանալը և իջնելը.
9. Ծայրահեղություններ.
10. Ուռուցիկություն և գոգավորություն.

Սկսենք առաջին կետից. Եկեք գտնենք սահմանման տիրույթը, այսինքն՝ ինչ ընդմիջումներով է մեր ֆունկցիան գոյություն ունենում՝ y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36): Մեր դեպքում ֆունկցիան գոյություն ունի x-ի ցանկացած արժեքի համար, այսինքն՝ սահմանման տիրույթը R է: Սա կարելի է գրել xՕR տեսքով:

Շարունակականություն

Այժմ մենք պատրաստվում ենք ուսումնասիրել անջատման ֆունկցիան: Մաթեմատիկայի մեջ «շարունակություն» տերմինը առաջացել է շարժման օրենքների ուսումնասիրության արդյունքում։ Ի՞նչ է անսահման: Տարածություն, ժամանակ, որոշ կախվածություններ (օրինակ՝ S և t փոփոխականների կախվածությունը շարժման խնդիրներում), տաքացվող օբյեկտի ջերմաստիճանը (ջուր, տապակ, ջերմաչափ և այլն), շարունակական գիծ (այսինքն՝ մեկ. որը կարելի է նկարել առանց թերթիկի մատիտից հանելու):

Գրաֆիկը համարվում է շարունակական, եթե այն ինչ-որ պահի չի կոտրվում: Նման գրաֆիկի առավել ակնհայտ օրինակներից մեկը սինուսային ալիքն է, որը կարող եք տեսնել այս հատվածի նկարում։ Ֆունկցիան շարունակական է x0 կետում, եթե բավարարված են մի շարք պայմաններ.

• ֆունկցիան սահմանվում է տվյալ կետում.
• աջ և ձախ սահմանները մի կետում հավասար են.
• սահմանը հավասար է x0 կետի ֆունկցիայի արժեքին։

Եթե ​​առնվազն մեկ պայման չկատարվի, ապա ասում են, որ ֆունկցիան խախտում է: Իսկ այն կետերը, որտեղ ֆունկցիան ընդհատվում է, կոչվում են ընդմիջման կետեր: Գործառույթի օրինակ, որը «կկոտրվի», երբ գրաֆիկորեն ցուցադրվի, հետևյալն է. y=(x+4)/(x-3): Ընդ որում, y x = 3 կետում գոյություն չունի (քանի որ անհնար է բաժանել զրոյի):

Գործառույթում, որը մենք ուսումնասիրում ենք (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) ամեն ինչ պարզվեց, քանի որ գրաֆիկը շարունակական է լինելու:

Զույգ, կենտ

Այժմ ուսումնասիրեք գործառույթը հավասարության համար: Սկսենք մի փոքր տեսությունից: Զույգ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որը բավարարում է f (-x) = f (x) պայմանը x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար (արժեքների միջակայքից): Օրինակներն են.

• մոդուլ x (գրաֆիկը նման է նժույգի, գրաֆիկի առաջին և երկրորդ քառորդների կիսադիր);
• x քառակուսի (պարաբոլա);
• կոսինուս x (կոսինուսային ալիք):

Նկատի ունեցեք, որ այս բոլոր գրաֆիկները սիմետրիկ են, երբ դիտարկվում են y առանցքի նկատմամբ:

Այդ դեպքում ո՞րն է կոչվում կենտ ֆունկցիա: Սրանք այն գործառույթներն են, որոնք բավարարում են պայմանը՝ f (-x) \u003d - f (x) x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար: Օրինակներ.

• հիպերբոլա;
• խորանարդ պարաբոլա;
• սինուսոիդ;
• շոշափող և այլն:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս ֆունկցիաները սիմետրիկ են կետի նկատմամբ (0:0), այսինքն՝ սկզբնաղբյուրը: Հոդվածի այս հատվածում ասվածի հիման վրա հավասար և տարօրինակ գործառույթպետք է ունենա հատկություն՝ x-ը պատկանում է սահմանման բազմությանը և -x-ը նույնպես:

Եկեք քննենք ֆունկցիան հավասարության համար: Մենք տեսնում ենք, որ նա չի համապատասխանում նկարագրություններից ոչ մեկին: Ուստի մեր ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

Ասիմպտոտներ

Սկսենք սահմանումից. Ասիմպտոտը կոր է, որը հնարավորինս մոտ է գրաֆիկին, այսինքն՝ ինչ-որ կետից հեռավորությունը ձգտում է զրոյի։ Ասիմպտոտների երեք տեսակ կա.

• ուղղահայաց, այսինքն, y առանցքին զուգահեռ;
• հորիզոնական, այսինքն x-առանցքին զուգահեռ;
• թեք.

Ինչ վերաբերում է առաջին տեսակին, ապա այս տողերը պետք է փնտրել որոշ կետերում.

• բացը;
• տիրույթի ծայրերը.

Մեր դեպքում ֆունկցիան շարունակական է, իսկ սահմանման տիրույթը R է։ Հետևաբար, ուղղահայաց ասիմպտոտներ չկան։

Ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հորիզոնական ասիմպտոտ, որը բավարարում է հետևյալ պահանջը՝ եթե x-ը հակված է անվերջության կամ մինուս անսահմանության, իսկ սահմանը հավասար է որոշակի թվի (օրինակ՝ a): Այս դեպքում y=a-ն հորիզոնական ասիմպտոտն է: Մեր ուսումնասիրած ֆունկցիայում հորիզոնական ասիմպտոտներ չկան։

Շեղ ասիմպտոտը գոյություն ունի միայն այն դեպքում, եթե բավարարված են երկու պայման.

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Այնուհետև այն կարելի է գտնել y=kx+b բանաձևով։ Կրկին, մեր դեպքում չկան թեք ասիմպտոտներ:

Գործառույթների զրոներ

Հաջորդ քայլը ֆունկցիայի գրաֆիկը զրոների համար ուսումնասիրելն է։ Շատ կարևոր է նաև նշել, որ ֆունկցիայի զրոները գտնելու հետ կապված առաջադրանքը տեղի է ունենում ոչ միայն ֆունկցիայի գրաֆիկի ուսումնասիրության և գծագրման ժամանակ, այլ նաև որպես անկախ առաջադրանք և որպես անհավասարությունների լուծման միջոց: Ձեզանից կարող է պահանջվել գտնել ֆունկցիայի զրոները գրաֆիկի վրա կամ օգտագործել մաթեմատիկական նշում:

Այս արժեքները գտնելը կօգնի ձեզ ավելի ճշգրիտ գծագրել գործառույթը: Պարզ բառերով, ֆունկցիայի զրոն x փոփոխականի արժեքն է, որի դեպքում y \u003d 0: Եթե ​​դուք փնտրում եք գրաֆիկի վրա ֆունկցիայի զրոները, ապա պետք է ուշադրություն դարձնել այն կետերին, որտեղ գրաֆիկը հատվում է x առանցքի հետ։

Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել հետևյալ հավասարումը y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0։ Անհրաժեշտ հաշվարկները կատարելուց հետո ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

նշան հաստատունություն

Ֆունկցիայի (գրաֆիկայի) ուսումնասիրության և կառուցման հաջորդ փուլը նշանի կայունության միջակայքների հայտնաբերումն է: Սա նշանակում է, որ մենք պետք է որոշենք, թե որ ինտերվալներում է ֆունկցիան ընդունում դրական արժեք, իսկ որ ընդմիջումներում՝ բացասական։ Նախորդ բաժնում հայտնաբերված գործառույթների զրոները մեզ կօգնեն դա անել: Այսպիսով, մենք պետք է ուղիղ գիծ կառուցենք (գրաֆիկից առանձին) և ֆունկցիայի զրոները բաշխենք դրա երկայնքով ճիշտ հերթականությամբ՝ ամենափոքրից մինչև ամենամեծը։ Այժմ դուք պետք է որոշեք, թե ստացված միջակայքներից որն է «+» նշանը, և որը «-»:

Մեր դեպքում ֆունկցիան դրական արժեք է ընդունում միջակայքերի վրա.

• 1-ից 4;
• 9-ից մինչև անսահմանություն:

Բացասական նշանակություն.

• մինուս անսահմանությունից մինչև 1;
• 4-ից 9-ը:

Սա բավականին հեշտ է որոշել: Ինտերվալից ցանկացած թիվ փոխարինիր ֆունկցիայի մեջ և տես, թե ինչ նշան է պատասխանը (մինուս կամ գումարած):

Աճող և նվազող ֆունկցիա

Ֆունկցիան ուսումնասիրելու և կառուցելու համար մենք պետք է պարզենք, թե որտեղ է մեծանալու գրաֆիկը (բարձրանալ Oy-ով), և որտեղ այն ընկնելու (սողալ y առանցքի երկայնքով):

Ֆունկցիան մեծանում է միայն այն դեպքում, եթե x փոփոխականի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է y-ի մեծ արժեքին: Այսինքն, x2-ը մեծ է x1-ից, իսկ f(x2)-ը մեծ է f(x1-ից): Իսկ նվազող ֆունկցիայի մեջ մենք լրիվ հակառակ երեւույթ ենք դիտում (որքան շատ x, այնքան քիչ y): Աճման և նվազման միջակայքերը որոշելու համար անհրաժեշտ է գտնել հետևյալը.

• շրջանակը (մենք արդեն ունենք);
• ածանցյալ (մեր դեպքում՝ 1/3 (3x^2-28x+49);
• լուծել 1/3(3x^2-28x+49)=0 հավասարումը.

Հաշվարկներից հետո մենք ստանում ենք արդյունքը.

Մենք ստանում ենք. ֆունկցիան մեծանում է մինուս անվերջությունից մինչև 7/3 և 7-ից մինչև անվերջություն միջակայքում, իսկ 7/3-ից մինչև 7 միջակայքում նվազում է:

Ծայրահեղություններ

Հետազոտված y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ֆունկցիան շարունակական է և գոյություն ունի x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար: Ծայրահեղ կետը ցույց է տալիս այս ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը: Մեր դեպքում չկան, ինչը մեծապես հեշտացնում է շինարարական խնդիրը։ Հակառակ դեպքում դրանք հայտնաբերվում են նաև ածանցյալ ֆունկցիայի միջոցով։ Գտնելուց հետո մի մոռացեք դրանք նշել գծապատկերում:

Ուռուցիկություն և գոգավորություն

Շարունակում ենք ուսումնասիրել y(x) ֆունկցիան։ Այժմ մենք պետք է ստուգենք այն ուռուցիկության և գոգավորության համար: Այս հասկացությունների սահմանումները բավականին դժվար է ընկալել, ավելի լավ է ամեն ինչ վերլուծել օրինակներով։ Թեստի համար ֆունկցիան ուռուցիկ է, եթե այն չնվազող ֆունկցիա է: Համաձայնեք, սա անհասկանալի է։

Մենք պետք է գտնենք երկրորդ կարգի ֆունկցիայի ածանցյալը։ Ստանում ենք՝ y=1/3(6x-28): Հիմա հավասարեցրու աջ կողմզրոյացնել և լուծել հավասարումը: Պատասխան՝ x=14/3: Մենք գտել ենք թեքության կետը, այսինքն՝ այն վայրը, որտեղ գրաֆիկը ուռուցիկից դառնում է գոգավոր կամ հակառակը։ Մինուս անվերջությունից մինչև 14/3 միջակայքում ֆունկցիան ուռուցիկ է, իսկ 14/3-ից մինչև գումարած անվերջություն՝ գոգավոր։ Շատ կարևոր է նաև նշել, որ գծապատկերի թեքման կետը պետք է լինի հարթ և փափուկ, ոչ սուր անկյուններչպետք է ներկա լինի:

Լրացուցիչ կետերի սահմանում

Մեր խնդիրն է ուսումնասիրել և գծել ֆունկցիայի գրաֆիկը: Մենք ավարտել ենք ուսումնասիրությունը, հիմա ֆունկցիան գծագրելը դժվար չի լինի։ Կոորդինատային հարթության վրա կորի կամ ուղիղ գծի ավելի ճշգրիտ և մանրամասն վերարտադրման համար կարող եք գտնել մի քանի օժանդակ կետեր: Դրանք հաշվարկելը բավականին հեշտ է: Օրինակ՝ վերցնում ենք x=3, լուծում ենք ստացված հավասարումը և գտնում y=4։ Կամ x=5 և y=-5 և այլն: Դուք կարող եք վերցնել այնքան լրացուցիչ միավորներ, որքան անհրաժեշտ է կառուցելու համար: Նրանցից առնվազն 3-5-ը հայտնաբերված են:

Դավադրություն

Մենք պետք է ուսումնասիրեինք ֆունկցիան (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y: Հաշվարկների ընթացքում բոլոր անհրաժեշտ նշանները կատարվել են կոորդինատային հարթության վրա։ Մնում է միայն գրաֆիկ կառուցել, այսինքն՝ միացնել բոլոր կետերը միմյանց հետ։ Կետերը միացնելը հարթ և ճշգրիտ է, սա հմտության հարց է. մի փոքր պրակտիկա և ձեր ժամանակացույցը կատարյալ կլինի: