Ինտեգրալի կիրառումը կիրառական խնդիրների լուծման համար

Տարածքի հաշվարկ

F(x) շարունակական ոչ բացասական ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը թվայինորեն հավասար էկորագիծ տրապիզոիդի տարածքը, որը սահմանափակված է y \u003d f (x), O x առանցքով և ուղիղ գծերով x \u003d a և x \u003d b. Ըստ այդմ, տարածքի բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ.

Դիտարկենք հարթ թվերի մակերեսները հաշվարկելու մի քանի օրինակ:

Առաջադրանք թիվ 1. Հաշվեք y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 տողերով սահմանափակված տարածքը:

Լուծում.Եկեք կառուցենք մի թիվ, որի մակերեսը պետք է հաշվարկենք։

y \u003d x 2 + 1 պարաբոլա է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, իսկ պարաբոլան շարժվում է դեպի վեր մեկ միավորով O y առանցքի նկատմամբ (Նկար 1):

Նկար 1. y = x 2 + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը

Առաջադրանք թիվ 2. Հաշվեք y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 տողերով սահմանափակված տարածքը 0-ից 1 միջակայքում:

Լուծում.Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ճյուղի պարաբոլան է, որն ուղղված է դեպի վեր, իսկ պարաբոլան O y առանցքի նկատմամբ մեկ միավորով ցած է տեղափոխվում (Նկար 2):

Նկար 2. y \u003d x 2 - 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը

Առաջադրանք թիվ 3. Կատարեք գծանկար և հաշվարկեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

y = 8 + 2x - x 2 և y = 2x - 4:

Լուծում.Այս երկու ուղիղներից առաջինը պարաբոլա է՝ ներքև ուղղված ճյուղերով, քանի որ x 2 գործակիցը բացասական է, իսկ երկրորդը ուղիղ գիծ է, որը հատում է երկու կոորդինատային առանցքները։

Պարաբոլա կառուցելու համար գտնենք նրա գագաթի կոորդինատները՝ y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vertex abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 նրա օրդինատն է, N(1;9) գագաթը:

Այժմ մենք գտնում ենք պարաբոլայի և ուղիղի հատման կետերը՝ լուծելով հավասարումների համակարգը.

Հավասարեցնել հավասարման աջ կողմերը, որի ձախ կողմերը հավասար են:

Մենք ստանում ենք 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 կամ x 2 - 12 \u003d 0, որտեղից .

Այսպիսով, կետերը պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերն են (Նկար 1):

Նկար 3 y = 8 + 2x – x 2 և y = 2x – 4 ֆունկցիաների գրաֆիկները.

Կառուցենք ուղիղ y = 2x - 4. Այն անցնում է կոորդինատային առանցքների (0;-4), (2; 0) կետերով։

Պարաբոլա կառուցելու համար կարող եք նաև ունենալ դրա հատման կետերը 0x առանցքի հետ, այսինքն՝ 8 + 2x - x 2 = 0 հավասարման արմատները կամ x 2 - 2x - 8 = 0: Վիետայի թեորեմով այն հեշտ է գտնել դրա արմատները՝ x 1 = 2, x 2 = չորս:

Նկար 3-ում պատկերված է այս գծերով սահմանափակված պատկեր (պարաբոլիկ հատված M 1 N M 2):

Խնդիրի երկրորդ մասը այս գործչի տարածքը գտնելն է: Դրա տարածքը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ՝ օգտագործելով բանաձևը .

Ինչ վերաբերում է այս պայմանին, մենք ստանում ենք ինտեգրալը.

2 Հեղափոխության մարմնի ծավալի հաշվարկ

O x առանցքի շուրջ y \u003d f (x) կորի պտույտից ստացված մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևով.

O y առանցքի շուրջը պտտվելիս բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Առաջադրանք թիվ 4. Որոշեք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է կորագիծ տրապիզոիդի պտույտից, որը սահմանափակված է ուղիղ գծերով x \u003d 0 x \u003d 3 և O x առանցքի շուրջ y \u003d կորով:

Լուծում.Եկեք կառուցենք գծանկար (Նկար 4):

Նկար 4. y = ֆունկցիայի գրաֆիկ

Ցանկալի ծավալը հավասար է

Առաջադրանք թիվ 5. Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է O y առանցքի շուրջ y = x 2 կորով և y = 0 և y = 4 կորով սահմանափակված կորագիծ տրապիզոնի պտույտից։

Լուծում.Մենք ունենք:

Վերանայեք հարցերը

Դիտարկենք կորագիծ trapezoid, որը սահմանափակված է Ox առանցքով, կորի y \u003d f (x) և երկու ուղիղ գծերով. x \u003d a և x \u003d b (Նկար 85): Վերցրեք x-ի կամայական արժեքը (միայն ոչ a և ոչ b): Եկեք դրան տանենք հավելում h = dx և դիտարկենք մի շերտ, որը սահմանափակված է AB և CD ուղիղ գծերով, Ox առանցքով և դիտարկվող կորին պատկանող BD աղեղով: Այս շերտը կկոչվի տարրական շերտ: Տարրական շերտի մակերեսը ACQB ուղղանկյան տարածքից տարբերվում է կորագիծ BQD եռանկյունով, իսկ վերջինիս մակերեսը փոքր է BQDM ուղղանկյան մակերեսից BQ = =h= կողմերով: dx) QD=Ay և մակերեսը հավասար է hAy = Ay dx: Քանի որ h կողմը նվազում է, Du կողմը նույնպես նվազում է և h-ի հետ միաժամանակ ձգտում է զրոյի: Հետևաբար, BQDM-ի տարածքը երկրորդ կարգի անսահման փոքր է: Տարրական շերտի մակերեսը տարածքի աճն է, իսկ ACQB ուղղանկյան մակերեսը, որը հավասար է AB-AC==/(x) dx>-ին, տարածքի դիֆերենցիալն է: Հետևաբար, մենք գտնում ենք տարածքն ինքնին` ինտեգրելով դրա դիֆերենցիալը: Քննարկվող պատկերի սահմաններում անկախ փոփոխական l: փոխվում է a-ից b, ​​ուստի պահանջվող տարածքը 5 հավասար կլինի 5= \f (x) dx-ի: (I) Օրինակ 1. Հաշվե՛ք պարաբոլով սահմանափակված տարածքը y - 1 -x *, X \u003d - Fj-, x \u003d 1 ուղիղ գծերով և O * առանցքով (նկ. 86): ժամը Նկ. 87. Նկ. 86. 1 Այստեղ f(x) = 1 - l?, ինտեգրման սահմանները a = - և t = 1, հետևաբար 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Օրինակ 2. Հաշվե՛ք սինուսոիդով սահմանափակված տարածքը. y = sinXy, Ox առանցքը և ուղիղ գիծը (նկ. 87): Կիրառելով բանաձևը (I), մենք ստանում ենք L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf Օրինակ 3. Հաշվեք ^y \ սինուսոիդի աղեղով սահմանափակված տարածքը u003d sin jc, որը պարփակված է Ox առանցքով երկու հարևան հատման կետերի միջև (օրինակ՝ սկզբնաղբյուրի և abscissa i կետի միջև): Նկատի ունեցեք, որ երկրաչափական նկատառումներից պարզ է դառնում, որ այս տարածքը կրկնակի կլինի նախորդ օրինակի տարածքից: Այնուամենայնիվ, կատարենք հաշվարկները՝ i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Իրոք, մեր ենթադրությունը պարզվեց արդարացի: Օրինակ 4. Հաշվե՛ք սինուսոիդով և Ox առանցքով սահմանափակված տարածքը մեկ կետում (նկ. 88): Նախնական ras-ֆիգուրային դատողությունները ցույց են տալիս, որ տարածքը կստացվի չորս անգամ ավելի մեծ, քան pr. 2-ում: ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0: Այս արդյունքը պահանջում է պարզաբանում: Հարցի էությունը պարզաբանելու համար մենք նաև հաշվարկում ենք նույն սինուսոիդով y \u003d sin l-ով սահմանափակված տարածքը և Ox առանցքը տատանվում է l-ից մինչև 2n: Կիրառելով բանաձևը (I), մենք ստանում ենք Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ այս ոլորտը բացասական է ստացվել։ Համեմատելով այն օրինակ 3-ում հաշվարկված տարածքի հետ՝ մենք գտնում ենք, որ դրանց բացարձակ արժեքները նույնն են, բայց նշանները՝ տարբեր։ Եթե ​​կիրառենք V հատկությունը (տե՛ս Գլ. XI, § 4), ապա պատահաբար ստանում ենք։ Միշտ x-առանցքից ներքև գտնվող տարածքը, պայմանով, որ անկախ փոփոխականը ձախից աջ փոխվի, ստացվում է բացասական ինտեգրալների միջոցով հաշվելով: Այս դասընթացում մենք միշտ հաշվի ենք առնելու չստորագրված տարածքները: Հետևաբար, նոր վերլուծված օրինակում պատասխանը կլինի հետևյալը՝ պահանջվող մակերեսը հավասար է 2 + |-2| = 4. Օրինակ 5. Եկեք հաշվարկենք Նկ.-ում ներկայացված BAB-ի տարածքը: 89. Այս տարածքը սահմանափակված է Ox առանցքով, y = - xr պարաբոլով և y - = -x + \ ուղիղ գծով: Կորագիծ trapezoid-ի տարածքը Փնտրվող OAB տարածքը բաղկացած է երկու մասից՝ OAM և MAB: Քանի որ A կետը պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետն է, մենք կգտնենք դրա կոորդինատները՝ լուծելով 3 2 Y \u003d mx հավասարումների համակարգը: (մեզ անհրաժեշտ է միայն գտնել Ա կետի աբսցիսա): Համակարգը լուծելով՝ մենք գտնում ենք l; =~. Հետևաբար, տարածքը պետք է հաշվարկվի մասերով, առաջին pl. OAM, իսկ հետո pl. MAV՝ .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2: QAM-^x = [փոխարինում:

] =

Այսպիսով, ոչ պատշաճ ինտեգրալը համընկնում է և դրա արժեքը հավասար է .