Ինչ-որ մեկը զգուշությամբ է վերաբերվում «առաջընթաց» բառին, որպես բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժիններից շատ բարդ տերմին: Մինչդեռ ամենապարզը թվաբանական առաջընթաց- տաքսիների վաճառասեղանի աշխատանքը (որտեղ նրանք դեռ մնում են): Իսկ թվաբանական հաջորդականության էությունը (իսկ մաթեմատիկայի մեջ ավելի կարևոր բան չկա, քան «էությունը հասկանալը») հասկանալն այնքան էլ դժվար չէ՝ վերլուծելով մի քանի տարրական հասկացություններ։
Մաթեմատիկական թվերի հաջորդականություն
Ընդունված է թվային հաջորդականություն անվանել թվերի շարք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր համարը։
իսկ 1-ը հաջորդականության առաջին անդամն է.
իսկ 2-ը հաջորդականության երկրորդ անդամն է.
իսկ 7-ը հաջորդականության յոթերորդ անդամն է.
իսկ n-ը հաջորդականության n-րդ անդամն է.
Այնուամենայնիվ, ոչ մի կամայական թվեր և թվեր մեզ չեն հետաքրքրում։ Մենք մեր ուշադրությունը կկենտրոնացնենք թվային հաջորդականության վրա, որտեղ n-րդ անդամի արժեքը կապված է նրա հերթական թվի հետ կախվածության միջոցով, որը կարող է հստակ ձևակերպվել մաթեմատիկորեն: Այլ կերպ ասած՝ n-րդ թվի թվային արժեքը n-ի որոշ ֆունկցիա է:
a - թվային հաջորդականության անդամի արժեքը.
n-ը նրա սերիական համարն է.
f(n) ֆունկցիան է, որտեղ n թվային հաջորդականության հերթականությունը արգումենտն է:
Սահմանում
Թվաբանական առաջընթացը սովորաբար կոչվում է թվային հաջորդականություն, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը նույն թվով մեծ է (պակաս) նախորդից։ Թվաբանական հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է.
a n - թվաբանական առաջընթացի ընթացիկ անդամի արժեքը.
a n+1 - հաջորդ թվի բանաձևը.
դ - տարբերություն (որոշակի թիվ):
Հեշտ է որոշել, որ եթե տարբերությունը դրական է (d>0), ապա դիտարկվող շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ կլինի, քան նախորդը, և նման թվաբանական առաջընթացը կաճի։
Ստորև բերված գրաֆիկում հեշտ է հասկանալ, թե ինչու թվային հաջորդականությունկոչվում է «աճող»:
Այն դեպքերում, երբ տարբերությունը բացասական է (դ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Նշված անդամի արժեքը
Երբեմն անհրաժեշտ է որոշել թվաբանական պրոգրեսիայի որոշ կամայական a n անդամի արժեքը: Դուք կարող եք դա անել՝ հաջորդաբար հաշվարկելով թվաբանական առաջընթացի բոլոր անդամների արժեքները՝ առաջինից մինչև ցանկալիը: Սակայն այս ճանապարհը միշտ չէ, որ ընդունելի է, եթե, օրինակ, անհրաժեշտ է գտնել հինգ հազարերորդ կամ ութ միլիոներորդ անդամի արժեքը։ Ավանդական հաշվարկը երկար ժամանակ կպահանջի։ Այնուամենայնիվ, որոշակի թվաբանական առաջընթացը կարող է ուսումնասիրվել որոշակի բանաձևերի միջոցով: Գոյություն ունի նաև n-րդ անդամի բանաձև՝ թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի արժեքը կարող է որոշվել որպես առաջընթացի առաջին անդամի գումար՝ առաջընթացի տարբերությամբ՝ բազմապատկելով ցանկալի անդամի թվով, հանած մեկ։ .
Բանաձևը ունիվերսալ է առաջընթացի ավելացման և նվազման համար:
Տվյալ անդամի արժեքը հաշվարկելու օրինակ
Լուծենք թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի արժեքը գտնելու հետևյալ խնդիրը.
Պայման՝ առկա է թվաբանական առաջընթաց՝ պարամետրերով.
Հերթականության առաջին անդամը 3-ն է;
Թվերի շարքի տարբերությունը 1,2 է։
Առաջադրանք՝ անհրաժեշտ է գտնել 214 տերմինների արժեքը
Լուծում. տվյալ անդամի արժեքը որոշելու համար օգտագործում ենք բանաձևը.
a(n) = a1 + d(n-1)
Խնդրի դրույթի տվյալները փոխարինելով արտահայտության մեջ՝ ունենք.
a (214) = a1 + d (n-1)
ա(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Պատասխան՝ հաջորդականության 214-րդ անդամը հավասար է 258,6-ի։
Այս հաշվարկման մեթոդի առավելություններն ակնհայտ են. ամբողջ լուծումը տևում է ոչ ավելի, քան 2 տող:
Տրված թվով տերմինների գումարը
Շատ հաճախ, տվյալ թվաբանական շարքում պահանջվում է որոշել դրա որոշ հատվածների արժեքների գումարը: Նաև կարիք չկա հաշվարկել յուրաքանչյուր տերմինի արժեքները և այնուհետև ամփոփել դրանք: Այս մեթոդը կիրառելի է, եթե այն տերմինների թիվը, որոնց գումարը պետք է գտնել, փոքր է: Այլ դեպքերում ավելի հարմար է օգտագործել հետեւյալ բանաձեւը.
1-ից n թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը հավասար է առաջին և n-րդ անդամների գումարին՝ բազմապատկված n անդամի վրա և բաժանված երկուսի։ Եթե բանաձևում n-րդ անդամի արժեքը փոխարինվում է հոդվածի նախորդ պարբերության արտահայտությամբ, ապա ստանում ենք.
Հաշվարկի օրինակ
Օրինակ՝ լուծենք խնդիր հետևյալ պայմաններով.
Հերթականության առաջին անդամը զրո է.
Տարբերությունը 0,5 է։
Խնդրում պահանջվում է որոշել շարքի տերմինների գումարը 56-ից մինչև 101։
Լուծում. Առաջընթացի գումարը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը.
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Նախ՝ մենք որոշում ենք պրոգրեսիայի 101 անդամների արժեքների գումարը՝ մեր խնդրի տվյալ պայմանները փոխարինելով բանաձևով.
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Ակնհայտ է, որ 56-րդից 101-րդ առաջընթացի պայմանների գումարը պարզելու համար անհրաժեշտ է S 101-ից հանել S 55-ը։
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Այսպիսով, այս օրինակի համար թվաբանական առաջընթացի գումարը հետևյալն է.
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782.5
Թվաբանական առաջընթացի գործնական կիրառման օրինակ
Հոդվածի վերջում վերադառնանք առաջին պարբերությունում տրված թվաբանական հաջորդականության օրինակին՝ տաքսիմետր (տաքսի մեքենայի հաշվիչ)։ Դիտարկենք նման օրինակ.
Տաքսի նստելը (որը ներառում է 3 կմ) արժե 50 ռուբլի։ Յուրաքանչյուր հաջորդ կիլոմետրը վճարվում է 22 ռուբլի / կմ փոխարժեքով: Ճանապարհորդության հեռավորությունը 30 կմ: Հաշվեք ուղևորության արժեքը.
1. Առաջին 3 կմ-ը դեն ենք նետում, որի գինը ներառված է վայրէջքի արժեքի մեջ։
30 - 3 = 27 կմ.
2. Հետագա հաշվարկը ոչ այլ ինչ է, քան թվաբանական թվերի շարքի վերլուծություն:
Անդամի համարը անցած կիլոմետրերի թիվն է (բացի առաջին երեքը):
Անդամի արժեքը գումարն է:
Այս խնդրի առաջին տերմինը հավասար կլինի 1 = 50 ռուբլի:
Առաջընթացի տարբերություն d = 22 p.
մեզ հետաքրքրող թիվը - թվաբանական առաջընթացի (27 + 1) անդամի արժեքը - 27-րդ կիլոմետրի վերջում մետրի ցուցանիշը - 27,999 ... = 28 կմ:
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Օրացույցային տվյալների հաշվարկները կամայականորեն երկար ժամանակահատվածի համար հիմնված են որոշակի թվային հաջորդականություններ նկարագրող բանաձևերի վրա: Աստղագիտության մեջ ուղեծրի երկարությունը երկրաչափորեն կախված է երկնային մարմնի և լուսատուի հեռավորությունից։ Բացի այդ, տարբեր թվային շարքեր հաջողությամբ օգտագործվում են վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ կիրառական ճյուղերում։
Թվերի հաջորդականության մեկ այլ տեսակ երկրաչափական է
Երկրաչափական պրոգրեսիան բնութագրվում է փոփոխությունների մեծ արագությամբ, համեմատած թվաբանականի հետ: Պատահական չէ, որ քաղաքականության, սոցիոլոգիայի, բժշկության մեջ հաճախ, որպեսզի ցույց տան կոնկրետ երեւույթի տարածման մեծ արագությունը, օրինակ՝ հիվանդության համաճարակի ժամանակ, ասում են, որ այդ գործընթացը զարգանում է երկրաչափական տեմպերով։
Երկրաչափական թվերի շարքի N-րդ անդամը տարբերվում է նախորդից նրանով, որ այն բազմապատկվում է ինչ-որ հաստատուն թվով` հայտարարով, օրինակ, առաջին անդամը 1 է, հայտարարը համապատասխանաբար 2 է, ապա.
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4՝ 8 ∙ 2 = 16
n=5՝ 16 ∙ 2 = 32,
b n - երկրաչափական պրոգրեսիայի ընթացիկ անդամի արժեքը.
b n+1 - երկրաչափական պրոգրեսիայի հաջորդ անդամի բանաձեւը.
q-ն երկրաչափական պրոգրեսիայի (հաստատուն թվի) հայտարարն է։
Եթե թվաբանական առաջընթացի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, ապա երկրաչափականը մի փոքր այլ պատկեր է գծում.
Ինչպես թվաբանության դեպքում, երկրաչափական պրոգրեսիան ունի կամայական անդամի արժեքի բանաձև։ Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած n-րդ անդամ հավասար է առաջին անդամի արտադրյալին և n-ի հզորության առաջընթացի հայտարարին՝ կրճատված մեկով.
Օրինակ. Մենք ունենք երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը հավասար է 3-ի, իսկ առաջընթացի հայտարարը հավասար է 1,5-ի: Գտե՛ք առաջընթացի 5-րդ անդամը
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
Տվյալ թվի անդամների գումարը նույնպես հաշվարկվում է հատուկ բանաձևով. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը հավասար է պրոգրեսիայի n-րդ անդամի և նրա հայտարարի արտադրյալի և պրոգրեսիայի առաջին անդամի արտադրյալի տարբերությանը, որը բաժանվում է մեկով կրճատված հայտարարի վրա.
Եթե b n-ը փոխարինվի վերը քննարկված բանաձևով, ապա դիտարկվող թվային շարքի առաջին n անդամների գումարի արժեքը կստանա հետևյալ ձևը.
Օրինակ. Երկրաչափական պրոգրեսիան սկսվում է առաջին անդամից, որը հավասար է 1-ի: Հայտարարը հավասար է 3-ի: Գտնենք առաջին ութ անդամների գումարը:
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Ո՞րն է բանաձևի էությունը:
Այս բանաձեւը թույլ է տալիս գտնել ցանկացած ԻՐ ՀԱՄԱՐՈՎ» n" .
Իհարկե, դուք պետք է իմանաք առաջին տերմինը ա 1և առաջընթացի տարբերությունը դԴե, առանց այս պարամետրերի, դուք չեք կարող գրել որոշակի առաջընթաց:
Բավական չէ անգիր անել (կամ խաբել) այս բանաձևը։ Պետք է յուրացնել դրա էությունը եւ բանաձեւը կիրառել տարբեր խնդիրների մեջ. Այո, և մի մոռացեք ճիշտ ժամանակին, այո ...) Ինչպես չմոռանալ- Ես չգիտեմ. Բայց ինչպես հիշելԱնհրաժեշտության դեպքում ես ձեզ հուշում կտամ: Նրանց համար, ովքեր տիրապետում են դասին մինչև վերջ։)
Այսպիսով, անդրադառնանք թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևին։
Ի՞նչ է ընդհանուր բանաձևը - մենք պատկերացնում ենք:) Ինչ է թվաբանական առաջընթացը, անդամի թիվը, առաջընթացի տարբերությունը - հստակ ասված է նախորդ դասում: Նայեք, եթե չեք կարդացել: Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. Մնում է պարզել, թե ինչ n-րդ անդամ.
Ընդհանուր առմամբ առաջընթացը կարելի է գրել որպես թվերի շարք.
ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5, .....
ա 1- նշանակում է թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը, ա 3- երրորդ անդամ ա 4- չորրորդ և այլն: Եթե մեզ հետաքրքրում է հինգերորդ ժամկետը, ասենք՝ աշխատում ենք ա 5, եթե հարյուր քսաներորդ - ից ա 120.
Ինչպես սահմանել ընդհանրապես ցանկացածթվաբանական պրոգրեսիայի անդամ, ս ցանկացածթիվ? Շատ պարզ! Սրա նման:
a n
Ահա թե ինչ է դա Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամը: n տառի տակ թաքնված են անդամների բոլոր թվերը՝ 1, 2, 3, 4 և այլն։
Իսկ ի՞նչ է տալիս մեզ նման գրառումը։ Պարզապես մտածեք, թվի փոխարեն նրանք նամակ են գրել ...
Այս նշումը մեզ հզոր գործիք է տալիս թվաբանական առաջընթացների հետ աշխատելու համար: Օգտագործելով նշումը a n, մենք կարող ենք արագ գտնել ցանկացածանդամ ցանկացածթվաբանական առաջընթաց. Եվ առաջընթացով լուծելու մի շարք առաջադրանքներ: Դուք կտեսնեք հետագա:
Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևում.
| a n = a 1 + (n-1)d |
ա 1- թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը.
n- անդամի համարը.
Բանաձևը կապում է ցանկացած առաջընթացի հիմնական պարամետրերը. a n ; ա 1; դև n. Այս պարամետրերի շուրջ բոլոր հանելուկները պտտվում են առաջընթացով:
n-րդ տերմինի բանաձևը կարող է օգտագործվել նաև որոշակի առաջընթաց գրելու համար: Օրինակ, խնդրի մեջ կարելի է ասել, որ առաջընթացը տրվում է պայմանով.
a n = 5 + (n-1) 2.
Նման խնդիրը կարող է նույնիսկ շփոթել ... Չկա ոչ մի շարք, ոչ մի տարբերություն ... Բայց, համեմատելով պայմանը բանաձևի հետ, հեշտ է պարզել, որ այս առաջընթացում. a 1 \u003d 5 և d \u003d 2.
Եվ դա կարող է ավելի զայրանալ:) Եթե վերցնենք նույն պայմանը. a n = 5 + (n-1) 2,այո փակագծերը բացեք ու տե՞ք նմանները։ Մենք ստանում ենք նոր բանաձև.
an = 3 + 2n.
այն Միայն ոչ թե ընդհանուր, այլ կոնկրետ առաջընթացի համար։ Ահա թե որտեղ է որոգայթը: Ոմանք կարծում են, որ առաջին ժամկետը եռյակ է: Չնայած իրականում առաջին անդամը հինգն է... Մի փոքր ավելի ցածր մենք կաշխատենք նման փոփոխված բանաձեւով։
Առաջընթացի առաջադրանքներում կա ևս մեկ նշում. a n+1. Սա, դուք կռահեցիք, առաջընթացի «n գումարած առաջին» տերմինն է: Դրա իմաստը պարզ է և անվնաս։) Սա պրոգրեսիայի անդամ է, որի թիվը մեկով մեծ է n թվից։ Օրինակ, եթե ինչ-որ խնդրի դեպքում մենք ընդունում ենք a nհինգերորդ ժամկետը, ուրեմն a n+1կլինի վեցերորդ անդամը։ և այլն:
Ամենից հաճախ նշանակումը a n+1տեղի է ունենում ռեկուրսիվ բանաձևերում: Մի վախեցեք այս սարսափելի բառից։) Սա ընդամենը թվաբանական առաջընթացի տերմինն արտահայտելու միջոց է։ նախորդի միջոցով:Ենթադրենք, որ մեզ տրված է թվաբանական առաջընթաց այս ձևով՝ օգտագործելով կրկնվող բանաձևը.
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Չորրորդը՝ երրորդի միջով, հինգերորդը՝ չորրորդով և այլն: Եվ ինչպես անմիջապես հաշվել, ասենք քսաներորդ ժամկետը, ա 20? Բայց ոչ մի կերպ) Թեև 19-րդ ժամկետը հայտնի չէ, 20-ը չի կարելի հաշվել։ Սա ռեկուրսիվ բանաձեւի եւ n-րդ անդամի բանաձեւի հիմնարար տարբերությունն է։ Ռեկուրսիվն աշխատում է միայն միջոցով նախորդտերմին, իսկ n-րդ անդամի բանաձեւը՝ միջով առաջինըև թույլ է տալիս անմիջապեսԳտեք որևէ անդամ իր համարով: Չհաշվելով թվերի ամբողջ շարքը հերթականությամբ։
Թվաբանական առաջընթացի դեպքում ռեկուրսիվ բանաձևը հեշտությամբ կարող է վերածվել սովորական բանաձևի: Հաշվի՛ր մի զույգ հաջորդական անդամ, հաշվի՛ր տարբերությունը դ,անհրաժեշտության դեպքում գտնել առաջին տերմինը ա 1, բանաձևը գրիր սովորական ձևով և աշխատիր դրա հետ։ GIA-ում նման առաջադրանքներ հաճախ են հանդիպում.
Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի կիրառում.
Նախ, եկեք նայենք բանաձևի ուղղակի կիրառմանը: Նախորդ դասի վերջում խնդիր կար.
Տրվում է թվաբանական առաջընթաց (a n): Գտե՛ք 121 թիվը, եթե a 1 =3 և d=1/6:
Այս խնդիրը կարելի է լուծել առանց որևէ բանաձևի, պարզապես թվաբանական առաջընթացի իմաստի հիման վրա։ Ավելացնել, այո ավելացնել ... Մեկ կամ երկու ժամ:)
Իսկ բանաձեւի համաձայն լուծումը կտեւի մեկ րոպեից էլ քիչ։ Կարող եք ժամանակավորել։) Մենք որոշում ենք։
Պայմանները ապահովում են բանաձևի օգտագործման բոլոր տվյալները. a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6:Մնում է տեսնել, թե ինչ n.Ոչ մի խնդիր! Մենք պետք է գտնենք ա 121. Այստեղ մենք գրում ենք.
Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք. Ցուցանիշի փոխարեն nհայտնվեց կոնկրետ թիվ՝ 121։ Ինչը միանգամայն տրամաբանական է։) Մեզ հետաքրքրում է թվաբանական պրոգրեսիայի անդամը։ թիվ հարյուր քսանմեկ.Սա կլինի մերը n.Սա է իմաստը n= 121 մենք կփոխարինենք բանաձևի մեջ՝ փակագծերում: Փոխարինեք բանաձևի բոլոր թվերը և հաշվարկեք.
ա 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Դա այն ամենն է, ինչ կա դրա համար: Նույնքան արագ կարելի էր գտնել հինգ հարյուր տասներորդ անդամը, իսկ հազար երրորդը՝ ցանկացած: Մենք դրա փոխարեն դրեցինք nցանկալի թիվը տառի ինդեքսում » ա"և փակագծերում, և մենք համարում ենք.
Հիշեցնեմ էությունը՝ այս բանաձեւը թույլ է տալիս գտնել ցանկացածթվաբանական առաջընթացի ժամկետ ԻՐ ՀԱՄԱՐՈՎ» n" .
Եկեք ավելի խելացի լուծենք խնդիրը։ Ենթադրենք, մենք ունենք հետևյալ խնդիրը.
Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը (a n), եթե a 17 =-2; դ=-0,5.
Եթե որևէ դժվարություն ունեք, ես կառաջարկեմ առաջին քայլը։ Գրի՛ր թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը։Այո այո. Գրեք ձեռքով, հենց ձեր նոթատետրում.
| a n = a 1 + (n-1)d |
Եվ հիմա, նայելով բանաձևի տառերին, հասկանում ենք, թե ինչ տվյալներ ունենք և ի՞նչն է պակասում։ Հասանելի է d=-0.5,կա տասնյոթերորդ անդամ ... Ամեն ինչ? Եթե կարծում եք, որ այսքանն է, ապա դուք չեք կարող լուծել խնդիրը, այո ...
Մենք էլ ունենք թիվ n! Վիճակում ա 17 =-2թաքնված երկու տարբերակ.Սա և՛ տասնյոթերորդ անդամի (-2) արժեքն է, և՛ նրա համարը (17): Նրանք. n=17.Այս «փոքրը» հաճախ սահում է գլխի կողքով, և առանց դրա (առանց «փոքրիկի», ոչ թե գլխի) խնդիրը հնարավոր չէ լուծել։ Չնայած ... և առանց գլխի էլ։)
Այժմ մենք կարող ենք պարզապես հիմարաբար փոխարինել մեր տվյալները բանաձևով.
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Օ՜, այո, ա 17մենք գիտենք, որ դա -2 է: Լավ, եկեք տեղադրենք այն.
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Դա, ըստ էության, բոլորն է։ Մնում է բանաձևից արտահայտել թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը և հաշվարկել։ Դուք ստանում եք պատասխանը. ա 1 = 6.
Նման տեխնիկան՝ բանաձև գրելը և պարզապես հայտնի տվյալները փոխարինելը, շատ է օգնում պարզ առաջադրանքներում: Դե, դուք, իհարկե, պետք է կարողանաք արտահայտել փոփոխական բանաձևից, բայց ի՞նչ անել: Առանց այս հմտության, մաթեմատիկան ընդհանրապես չի կարող ուսումնասիրվել ...
Մեկ այլ հանրաճանաչ խնդիր.
Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը (a n), եթե a 1 =2; ա 15 = 12.
Ինչ ենք մենք անում? Դուք կզարմանաք, մենք գրում ենք բանաձեւը!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Մտածեք այն, ինչ մենք գիտենք. ա 1 = 2; ա 15 = 12; և (հատուկ կարևորություն!) n=15. Ազատորեն փոխարինեք բանաձևով.
12=2 + (15-1)դ
Եկեք կատարենք թվաբանությունը:)
12=2 + 14դ
դ=10/14 = 5/7
Սա ճիշտ պատասխանն է։
Այսպիսով, առաջադրանքներ a n, a 1և դորոշեց. Մնում է սովորել, թե ինչպես գտնել համարը.
99 թիվը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է (a n), որտեղ a 1 =12; d=3. Գտեք այս անդամի համարը:
Հայտնի մեծությունները փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևով.
a n = 12 + (n-1) 3
Առաջին հայացքից այստեղ երկու անհայտ քանակություն կա. a n և n.Բայց a nթվով առաջընթացի ինչ-որ անդամ է n... Եվ առաջընթացի այս անդամը մենք գիտենք: 99-ն է։ Մենք չգիտենք նրա համարը։ n,ուստի այս թիվը նույնպես պետք է գտնել: Փոխարինեք առաջընթացի տերմինը 99 բանաձևով.
99 = 12 + (n-1) 3
Մենք արտահայտում ենք բանաձևից n, մենք կարծում ենք. Մենք ստանում ենք պատասխանը. n=30.
Եվ հիմա խնդիր նույն թեմայով, բայց ավելի կրեատիվ):
Որոշեք, թե արդյոք 117 թիվը կլինի թվաբանական առաջընթացի անդամ (a n).
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Եկեք նորից գրենք բանաձեւը. Ինչ է, պարամետրեր չկա՞ն։ Հմ... Աչքերն ինչի՞ն են պետք։) Տեսնու՞մ ենք պրոգրեսիայի առաջին անդամին։ Մենք տեսնում ենք. Սա -3,6 է: Դուք կարող եք ապահով գրել. a 1 \u003d -3.6.Տարբերություն դկարելի՞ է որոշել շարքից։ Հեշտ է, եթե գիտեք, թե որն է թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը.
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Այո, մենք արեցինք ամենապարզ բանը. Մնում է զբաղվել անհայտ թվով nիսկ անհասկանալի թիվ 117. Նախորդ խնդրի մեջ գոնե հայտնի էր, որ տրված էր պրոգրեսիայի ժամկետը։ Բայց այստեղ մենք նույնիսկ չգիտենք, որ ... Ինչպե՞ս լինել: Դե, ինչպես լինել, ինչպես լինել ... Միացրեք ձեր ստեղծագործական ունակությունները):
Մենք ենթադրենքոր 117-ը, ի վերջո, մեր պրոգրեսիայի անդամ է։ Անհայտ համարով n. Եվ, ինչպես նախորդ խնդրի դեպքում, փորձենք գտնել այս թիվը։ Նրանք. մենք գրում ենք բանաձևը (այո-այո!)) և փոխարինում ենք մեր թվերը.
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
Նորից արտահայտում ենք բանաձևիցn, հաշվում ենք և ստանում.
Վա՜յ Թիվը պարզվեց կոտորակային!Հարյուրմեկ ու կես։ Եվ կոտորակային թվերը առաջընթացներում չի կարող պատահել.Ի՞նչ եզրակացություն ենք անում։ Այո՛ Թիվ 117 չէմեր առաջընթացի անդամ։ Այն գտնվում է 101-րդ և 102-րդ անդամների միջև: Եթե թիվը պարզվեց, որ բնական է, այսինքն. դրական ամբողջ թիվ, ապա թիվը կլինի գտնված թվով առաջընթացի անդամ: Իսկ մեր դեպքում խնդրի պատասխանը կլինի. ոչ
Առաջադրանք, որը հիմնված է GIA-ի իրական տարբերակի վրա.
Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով.
a n \u003d -4 + 6.8n
Գտե՛ք առաջընթացի առաջին և տասներորդ անդամները:
Այստեղ առաջընթացը դրված է անսովոր ձևով։ Ինչ-որ բանաձև ... Դա տեղի է ունենում:) Այնուամենայնիվ, այս բանաձևը (ինչպես ես գրել եմ վերևում) - նաև թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը։Նա նաև թույլ է տալիս գտեք առաջընթացի որևէ անդամ իր թվով:
Մենք փնտրում ենք առաջին անդամին։ Նա, ով մտածում է. որ առաջին անդամը մինուս չորս է, դա չարաչար սխալվում է։) Որովհետև խնդրի բանաձևը փոփոխված է։ Դրանում թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամը թաքնված.Ոչինչ, մենք հիմա կգտնենք:)
Ինչպես նախորդ առաջադրանքներում, մենք փոխարինում ենք n=1այս բանաձևի մեջ.
ա 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
Այստեղ! Առաջին անդամը 2.8 է, ոչ թե -4:
Նմանապես, մենք փնտրում ենք տասներորդ տերմինը.
ա 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
Դա այն ամենն է, ինչ կա դրա համար:
Եվ հիմա, նրանց համար, ովքեր կարդացել են մինչև այս տողերը, խոստացված բոնուսը:)
Ենթադրենք, GIA-ի կամ միասնական պետական քննության մարտական դժվարին իրավիճակում դուք մոռացել եք թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամի օգտակար բանաձեւը։ Ինչ-որ բան գալիս է մտքում, բայց ինչ-որ կերպ անորոշ ... Արդյոք nայնտեղ, կամ n+1 կամ n-1...Ինչպես լինել!?
Հանգիստ. Այս բանաձևը հեշտ է ստանալ. Ոչ շատ խիստ, բայց հաստատ բավական է վստահության և ճիշտ որոշման համար։) Եզրակացության համար բավական է հիշել թվաբանական առաջընթացի տարրական իմաստը և մի երկու րոպե ժամանակ ունենալ։ Պարզապես պետք է նկարել: Պարզության համար.
Թվային առանցք ենք գծում և վրան նշում ենք առաջինը։ երկրորդ, երրորդ և այլն: անդամներ։ Եվ նշեք տարբերությունը դանդամների միջև։ Սրա նման:
Մենք նայում ենք նկարին և մտածում՝ ինչի՞ն է հավասար երկրորդ անդամը։ Երկրորդ մեկ դ:
ա 2 =a 1 + 1 դ
Ո՞րն է երրորդ ժամկետը: Երրորդժամկետը հավասար է առաջին կիսամյակի գումարածին երկու դ.
ա 3 =a 1 + 2 դ
Դուք հասկանու՞մ եք: Որոշ բառեր իզուր չեմ դնում թավերով: Լավ, ևս մեկ քայլ։)
Ո՞րն է չորրորդ ժամկետը: Չորրորդժամկետը հավասար է առաջին կիսամյակի գումարածին երեք դ.
ա 4 =a 1 + 3 դ
Ժամանակն է գիտակցել, որ բացթողումների քանակը, այսինքն. դ, միշտ մեկով պակաս ձեր փնտրած անդամի թվից n. Այսինքն՝ մինչև թիվը n, բացերի քանակըկլինի n-1.Այսպիսով, բանաձևը կլինի (տարբերակներ չկան):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ընդհանուր առմամբ, տեսողական նկարները շատ օգտակար են մաթեմատիկայի բազմաթիվ խնդիրների լուծման համար: Մի անտեսեք նկարները. Բայց եթե դժվար է նկարել, ապա ... միայն բանաձև։) Բացի այդ, n-րդ տերմինի բանաձևը թույլ է տալիս մաթեմատիկայի ողջ հզոր զինանոցը միացնել լուծմանը՝ հավասարումներ, անհավասարություններ, համակարգեր և այլն։ Չի կարելի նկարը դնել հավասարման մեջ...
Անկախ որոշման առաջադրանքներ.
Տաքացման համար.
1. Թվաբանական առաջընթացում (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Գտեք 3.
Հուշում՝ ըստ նկարի, խնդիրը լուծվում է 20 վայրկյանում... Ըստ բանաձևի՝ ավելի բարդ է ստացվում։ Բայց բանաձևը յուրացնելու համար այն ավելի օգտակար է։) 555 բաժնում այս խնդիրը լուծվում է և՛ նկարով, և՛ բանաձևով։ Զգացեք տարբերությունը!)
Եվ սա այլևս տաքացում չէ։)
2. Թվաբանական առաջընթացում (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Գտեք 3-ը:
Ի՞նչ, նկար նկարելու դժկամությո՞ւն։ Բանաձեւում ավելի լավ է, այո...
3. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով.ա 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0.5. Գտե՛ք այս առաջընթացի հարյուր քսանհինգերորդ անդամը:
Այս առաջադրանքում առաջընթացը տրվում է կրկնվող եղանակով: Բայց հաշվելով մինչև հարյուր քսանհինգերորդ ժամկետը... Ոչ բոլորը կարող են նման սխրագործություն անել։) Բայց n-րդ անդամի բանաձևը բոլորի ուժերի սահմաններում է։
4. Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Գտե՛ք առաջընթացի ամենափոքր դրական անդամի թիվը:
5. Ըստ 4-րդ առաջադրանքի պայմանի, գտի՛ր պրոգրեսիայի ամենափոքր դրական և ամենամեծ բացասական անդամների գումարը։
6. Աճող թվաբանական պրոգրեսիայի հինգերորդ և տասներկուերորդ անդամների արտադրյալը -2,5 է, իսկ երրորդ և տասնմեկերորդ անդամների գումարը՝ զրո։ Գտեք 14-ը:
Ամենահեշտ առաջադրանքը չէ, այո...) Այստեղ «մատների վրա» մեթոդը չի աշխատի։ Պետք է բանաձևեր գրել և հավասարումներ լուծել։
Պատասխաններ (խառնաշփոթ).
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Տեղի է ունեցել? Հաճելի է!)
Ամեն ինչ չի ստացվում? Պատահում է. Ի դեպ, վերջին առաջադրանքում կա մեկ նուրբ կետ. Խնդիրը կարդալիս ուշադրություն կպահանջվի։ Եվ տրամաբանություն.
Այս բոլոր խնդիրների լուծումը մանրամասնորեն քննարկվում է 555-րդ բաժնում: Եվ չորրորդի համար ֆանտազիայի տարրը, վեցերորդի համար նուրբ պահը և n-րդ տերմինի բանաձևի համար ցանկացած խնդիր լուծելու ընդհանուր մոտեցումներ. ամեն ինչ նկարված է: խորհուրդ եմ տալիս.
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)
կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Այսպիսով, եկեք նստենք և սկսենք գրել որոշ թվեր: Օրինակ:
Կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք (մեր դեպքում դրանք): Ինչքան էլ թվեր գրենք, միշտ կարող ենք ասել, թե դրանցից որն է առաջինը, որը երկրորդը, և այսպես մինչև վերջինը, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է.
Թվային հաջորդականություն
Օրինակ, մեր հաջորդականության համար.
Նշանակված համարը հատուկ է միայն մեկ հաջորդական համարին: Այսինքն՝ հաջորդականության մեջ չկան երեք երկրորդ թվեր։ Երկրորդ թիվը (ինչպես --րդ թիվը) միշտ նույնն է։
Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության --րդ անդամ։
Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ՝ նույն տառը՝ այս անդամի թվին հավասար ինդեքսով.
Մեր դեպքում. 
Ենթադրենք, մենք ունենք թվային հաջորդականություն, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:
Օրինակ: 
և այլն:
Նման թվային հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։
«Պրոգրեսիա» տերմինը ներմուծվել է հռոմեացի հեղինակ Բոեթիուսի կողմից դեռ 6-րդ դարում և ավելի լայն իմաստով հասկացվել է որպես անվերջ թվային հաջորդականություն։ «Թվաբանություն» անվանումը փոխանցվել է շարունակական համամասնությունների տեսությունից, որով զբաղվում էին հին հույները։
Սա թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նախորդին՝ ավելացված նույն թվով։ Այս թիվը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերություն և նշվում։
Փորձեք որոշել, թե որ թվային հաջորդականություններն են թվաբանական առաջընթաց, որոնք՝ ոչ.
ա)
բ)
գ)
դ)
Հասկացա? Համեմատեք մեր պատասխանները.
Էթվաբանական պրոգրեսիա - բ, գ.
Չէթվաբանական պրոգրեսիա - ա, դ.
Վերադառնանք տրված առաջընթացին () և փորձենք գտնել դրա րդ անդամի արժեքը։ Գոյություն ունի երկուայն գտնելու միջոց:
1. Մեթոդ
Մենք կարող ենք ավելացնել առաջընթացի համարի նախորդ արժեքին, մինչև հասնենք պրոգրեսիայի երրորդ անդամին: Լավ է, որ մենք շատ բան չունենք ամփոփելու՝ ընդամենը երեք արժեք.
Այսպիսով, նկարագրված թվաբանական առաջընթացի --րդ անդամը հավասար է.
2. Մեթոդ
Ի՞նչ կլիներ, եթե մեզ անհրաժեշտ լիներ գտնել առաջընթացի եռամսյակի արժեքը: Գումարը մեզ մեկ ժամից ավելի կխներ, և փաստ չէ, որ թվերը գումարելիս սխալներ թույլ չէինք տա։
Իհարկե, մաթեմատիկոսները գտել են մի ձև, որով պետք չէ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացնել նախորդ արժեքին։ Ուշադիր նայեք գծված նկարին... Անշուշտ, դուք արդեն նկատել եք որոշակի օրինաչափություն, այն է՝
Օրինակ՝ տեսնենք, թե ինչն է կազմում այս թվաբանական առաջընթացի -րդ անդամի արժեքը. 
Այլ կերպ ասած:
Փորձեք ինքնուրույն գտնել այս կերպ թվաբանական առաջընթացի անդամի արժեքը:
Հաշվարկվե՞լ է: Համեմատեք ձեր գրառումները պատասխանի հետ.
Ուշադրություն դարձրեք, որ դուք ստացել եք ճիշտ նույն թիվը, ինչ նախորդ մեթոդում, երբ մենք հաջորդաբար ավելացնում էինք թվաբանական առաջընթացի անդամները նախորդ արժեքին:
Փորձենք «ապանձնավորել» այս բանաձևը՝ այն բերում ենք ընդհանուր ձևի և ստանում.
|
Թվաբանական առաջընթացի հավասարում. |
Թվաբանական առաջընթացները կա՛մ ավելանում են, կա՛մ նվազում:
Աճող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքն ավելի մեծ է, քան նախորդը:
Օրինակ:
Նվազող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը նախորդից փոքր է:
Օրինակ:
Ստացված բանաձևը օգտագործվում է թվաբանական պրոգրեսիայի ինչպես աճող, այնպես էլ նվազող տերմինների հաշվարկման ժամանակ:
Եկեք ստուգենք այն գործնականում:
Մեզ տրվում է թվաբանական առաջընթաց, որը բաղկացած է հետևյալ թվերից.
Այդ ժամանակվանից:
Այսպիսով, մենք համոզվեցինք, որ բանաձևը գործում է ինչպես նվազման, այնպես էլ թվաբանական առաջընթացի մեծացման մեջ։
Փորձեք ինքնուրույն գտնել այս թվաբանական առաջընթացի -րդ և -րդ անդամները:
Եկեք համեմատենք արդյունքները.
Թվաբանական առաջընթացի հատկություն
Եկեք բարդացնենք առաջադրանքը. մենք ստանում ենք թվաբանական առաջընթացի հատկությունը:
Ենթադրենք մեզ տրված է հետևյալ պայմանը.
- թվաբանական առաջընթաց, գտեք արժեքը:
Հեշտ է, ասում ես, և սկսիր հաշվել արդեն իմացած բանաձևով.
Թող, a, ապա.
Բացարձակապես ճիշտ. Ստացվում է, որ մենք նախ գտնում ենք, հետո ավելացնում ենք առաջին թվին ու ստանում այն, ինչ փնտրում ենք։ Եթե պրոգրեսիան ներկայացված է փոքր արժեքներով, ապա դրանում բարդ բան չկա, բայց ի՞նչ, եթե պայմանում մեզ թվեր տրվեն: Համաձայնեք՝ հաշվարկներում սխալվելու հավանականություն կա։
Հիմա մտածեք՝ հնարավո՞ր է այս խնդիրը մեկ քայլով լուծել՝ օգտագործելով որևէ բանաձև։ Իհարկե, այո, և մենք կփորձենք դա դուրս բերել հիմա։
Նշենք թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկալի տերմինը, քանի որ մենք գիտենք այն գտնելու բանաձևը. սա նույն բանաձևն է, որը մենք սկզբում ստացանք.
, ապա՝
- Առաջընթացի նախորդ անդամն է.
- Առաջընթացի հաջորդ ժամկետն է.
Ամփոփենք առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամները.
Ստացվում է, որ առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների գումարը երկու անգամ մեծ է նրանց միջև գտնվող պրոգրեսիայի անդամի արժեքից։ Այլ կերպ ասած՝ հայտնի նախորդ և հաջորդական արժեքներով պրոգրեսիոն անդամի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել։
Ճիշտ է, մենք ստացել ենք նույն թիվը: Եկեք շտկենք նյութը: Ինքներդ հաշվարկեք առաջընթացի արժեքը, քանի որ դա ամենևին էլ դժվար չէ։
Լավ արեցիր։ Դուք գիտեք գրեթե ամեն ինչ առաջընթացի մասին: Մնում է պարզել միայն մեկ բանաձև, որը, ըստ լեգենդի, բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ «մաթեմատիկոսների արքան»՝ Կառլ Գաուսը, հեշտությամբ եզրակացրեց իր համար…
Երբ Կարլ Գաուսը 9 տարեկան էր, ուսուցիչը, զբաղված լինելով այլ դասարանների աշակերտների աշխատանքը ստուգելով, դասին տվեց հետևյալ առաջադրանքը. «Հաշվե՛ք բոլոր բնական թվերի գումարը մինչև (ըստ այլ աղբյուրների մինչև) ներառյալ: « Ո՞րն էր ուսուցչի զարմանքը, երբ իր աշակերտներից մեկը (դա Կառլ Գաուսն էր) մեկ րոպե անց առաջադրանքին տվեց ճիշտ պատասխանը, մինչդեռ համարձակի դասընկերներից շատերը երկար հաշվարկներից հետո սխալ արդյունք ստացան ...
Երիտասարդ Կարլ Գաուսը նկատեց մի օրինաչափություն, որը դուք հեշտությամբ կարող եք նկատել:
Ենթադրենք, ունենք թվաբանական պրոգրեսիա՝ բաղկացած -ti անդամներից. Պետք է գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի տրված անդամների գումարը։ Իհարկե, մենք կարող ենք ձեռքով գումարել բոլոր արժեքները, բայց ի՞նչ, եթե մեզ անհրաժեշտ լինի գտնել առաջադրանքի մեջ դրա տերմինների գումարը, ինչպես փնտրում էր Գաուսը:
Եկեք պատկերենք մեզ տրված առաջընթացը։ Ուշադիր նայեք ընդգծված թվերին և փորձեք դրանցով կատարել տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ: 
Փորձե՞լ եք: Ի՞նչ նկատեցիք։ Ճիշտ! Նրանց գումարները հավասար են
Հիմա պատասխանեք՝ մեզ տրված պրոգրեսիայում քանի՞ այդպիսի զույգ կլինի։ Իհարկե, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն.
Ելնելով այն փաստից, որ թվաբանական պրոգրեսիայի երկու անդամների գումարը հավասար է, և նմանատիպ հավասար զույգերը, մենք ստանում ենք, որ ընդհանուր գումարը հավասար է.
.
Այսպիսով, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի բանաձևը կլինի.
Որոշ խնդիրների դեպքում մենք չգիտենք երրորդ տերմինը, բայց գիտենք առաջընթացի տարբերությունը: Փորձեք գումարի բանաձևում փոխարինել րդ անդամի բանաձևը:
Ի՞նչ ստացաք:
Լավ արեցիր։ Հիմա վերադառնանք Կարլ Գաուսին տրված խնդրին. ինքներդ հաշվարկեք, թե ինչ է -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը, իսկ -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը։
Որքա՞ն եք ստացել:
Գաուսը պարզեց, որ տերմինների գումարը հավասար է, և անդամների գումարը։ Այդպե՞ս եք որոշել։
Փաստորեն, թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը ապացուցվել է հին հույն գիտնական Դիոֆանտոսի կողմից դեռևս 3-րդ դարում, և այս ընթացքում սրամիտ մարդիկ օգտագործել են թվաբանական առաջընթացի հատկությունները հզոր և հիմնական:
Օրինակ, պատկերացրեք Հին Եգիպտոսը և այն ժամանակվա ամենամեծ շինհրապարակը` բուրգի կառուցումը... Նկարը ցույց է տալիս դրա մի կողմը: 
Որտեղ է այստեղ առաջընթացը, դուք ասում եք: Ուշադիր նայեք և բուրգի պատի յուրաքանչյուր շարքում ավազի բլոկների քանակով օրինակ գտեք: 
Ինչու՞ ոչ թվաբանական առաջընթաց: Հաշվեք, թե քանի բլոկ է անհրաժեշտ մեկ պատի կառուցման համար, եթե հիմքում տեղադրված են բլոկային աղյուսներ: Հուսով եմ, որ մատը մոնիտորի վրայով շարժելով չեք հաշվի, հիշու՞մ եք վերջին բանաձևը և այն ամենը, ինչ մենք ասացինք թվաբանական առաջընթացի մասին:
Այս դեպքում առաջընթացը հետևյալն է.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Թվաբանական առաջընթացի անդամների թիվը:
Եկեք փոխարինենք մեր տվյալները վերջին բանաձևերով (մենք հաշվում ենք բլոկների քանակը 2 եղանակով):
Մեթոդ 1.
Մեթոդ 2.
Եվ հիմա կարող եք նաև հաշվարկել մոնիտորի վրա՝ համեմատեք ստացված արժեքները մեր բուրգում գտնվող բլոկների քանակի հետ։ Համաձայնվե՞լ է։ Լավ արեցիք, դուք յուրացրել եք թվաբանական առաջընթացի րդ անդամների գումարը:
Իհարկե, դուք չեք կարող բուրգ կառուցել հիմքի բլոկներից, բայց դրանից: Փորձեք հաշվել, թե քանի ավազի աղյուս է անհրաժեշտ այս պայմանով պատ կառուցելու համար։
Դուք հասցրե՞լ եք:
Ճիշտ պատասխանը բլոկներն են.
Մշակել
Առաջադրանքներ.
- Մաշան ամառային մարզավիճակ է ձեռք բերում։ Ամեն օր նա ավելացնում է squats-ի քանակը: Քանի՞ անգամ է Մաշան կնճռոտվելու շաբաթների ընթացքում, եթե նա առաջին մարզման ժամանակ նվնվացներ:
- Որքա՞ն է պարունակվող բոլոր կենտ թվերի գումարը:
- Գերանները պահելու ժամանակ փայտահատները դրանք դնում են այնպես, որ յուրաքանչյուր վերին շերտը պարունակում է մեկ գերան պակաս, քան նախորդը: Քանի գերան կա մեկ որմնադրությանը, եթե որմնադրության հիմքը գերաններ են։
Պատասխանները:
- Սահմանենք թվաբանական առաջընթացի պարամետրերը։ Այս դեպքում
(շաբաթներ = օրեր):Պատասխան.Երկու շաբաթվա ընթացքում Մաշան պետք է օրական մեկ անգամ կծկվի:
- Առաջին կենտ թիվը, վերջին թիվը.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Կենտ թվերի թիվը կիսով չափ, այնուամենայնիվ, ստուգեք այս փաստը՝ օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի -րդ անդամը գտնելու բանաձևը.Թվերը պարունակում են կենտ թվեր:
Մենք հասանելի տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.Պատասխան.Ներառված բոլոր կենտ թվերի գումարը հավասար է.
- Հիշեք բուրգերի խնդիրը: Մեր դեպքում, a, քանի որ յուրաքանչյուր վերին շերտը կրճատվում է մեկ գերանով, կան միայն մի փունջ շերտեր, այսինքն.
Տվյալները փոխարինեք բանաձևով.Պատասխան.Որմնադրությանը մեջ կան գերաններ։
Ամփոփելով
- - թվային հաջորդականություն, որում հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը: Աճում ու նվազում է։
- Բանաձևի որոնումԹվաբանական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը գրվում է բանաձևով, որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:
- Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը- - որտեղ - առաջընթացի թվերի թիվը:
- Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարըկարելի է գտնել երկու եղանակով.
, որտեղ է արժեքների թիվը:
ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ
Թվային հաջորդականություն
Եկեք նստենք և սկսենք թվեր գրել։ Օրինակ:
Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք: Բայց դուք միշտ կարող եք ասել, թե դրանցից որն է առաջինը, որը երկրորդը և այլն, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է։
Թվային հաջորդականությունթվերի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրին կարելի է եզակի համար հատկացնել։
Այլ կերպ ասած, յուրաքանչյուր թիվ կարող է կապված լինել որոշակի բնական թվի հետ, այն էլ միայն մեկի հետ։ Եվ մենք այս համարը չենք վերագրի այս հավաքածուից որևէ այլ համարի:
Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության --րդ անդամ։
Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ՝ նույն տառը՝ այս անդամի թվին հավասար ինդեքսով.
Շատ հարմար է, եթե հաջորդականության --րդ անդամը կարելի է տալ ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, բանաձեւը
սահմանում է հաջորդականությունը.
Իսկ բանաձևը հետևյալ հաջորդականությունն է.
Օրինակ՝ թվաբանական առաջընթացը հաջորդականություն է (այստեղ առաջին անդամը հավասար է, իսկ տարբերությունը)։ Կամ (, տարբերություն):
n-րդ տերմինի բանաձևը
Մենք կոչում ենք կրկնվող բանաձև, որի դեպքում --րդ տերմինը պարզելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նախորդ կամ մի քանի նախորդները.
Նման բանաձևով, օրինակ, առաջընթացի տերմինը գտնելու համար պետք է հաշվենք նախորդ ինը: Օրինակ, թող. Ապա.
Դե, հիմա պարզ է, թե որն է բանաձեւը:
Յուրաքանչյուր տողում մենք ավելացնում ենք՝ բազմապատկելով ինչ-որ թվով: Ինչի համար? Շատ պարզ. սա ներկա անդամի թիվն է՝ հանած.
Հիմա շատ ավելի հարմարավետ, չէ՞: Մենք ստուգում ենք.
Ինքներդ որոշեք.
Թվաբանական առաջընթացում գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և գտե՛ք հարյուրերորդ անդամը:
Լուծում:
Առաջին անդամը հավասար է: Իսկ ո՞րն է տարբերությունը։ Եվ ահա թե ինչ.
(ի վերջո, դա կոչվում է տարբերություն, քանի որ այն հավասար է պրոգրեսիայի հաջորդական անդամների տարբերությանը):
Այսպիսով, բանաձևը հետևյալն է.
Այնուհետև հարյուրերորդ անդամը հետևյալն է.
Որքա՞ն է բոլոր բնական թվերի գումարը սկսած մինչև:
Ըստ լեգենդի՝ մեծ մաթեմատիկոս Կարլ Գաուսը, լինելով 9-ամյա տղա, մի քանի րոպեում հաշվարկել է այս գումարը։ Նա նկատեց, որ առաջին և վերջին թվերի գումարը հավասար է, երկրորդի և նախավերջինի գումարը նույնն է, երրորդի և վերջից 3-րդի գումարը նույնն է և այլն։ Քանի՞ այդպիսի զույգ կա: Ճիշտ է, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն. Այսպիսով,
Ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի ընդհանուր բանաձևը կլինի.
Օրինակ:
Գտե՛ք բոլոր երկնիշ բազմապատիկների գումարը:
Լուծում:
Առաջին նման թիվը սա է. Յուրաքանչյուր հաջորդը ստացվում է նախորդին մի թիվ ավելացնելով: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց առաջին անդամի և տարբերության հետ:
Այս առաջընթացի տերմինի բանաձևը հետևյալն է.
Քանի՞ անդամ կա առաջընթացում, եթե դրանք բոլորը պետք է լինեն երկնիշ:
Շատ հեշտ: .
Առաջընթացի վերջին ժամկետը հավասար կլինի։ Այնուհետև գումարը.
Պատասխան.
Հիմա որոշեք ինքներդ.
- Ամեն օր մարզիկը վազում է 1 մ-ով ավելի, քան նախորդ օրը։ Քանի՞ կիլոմետր նա կվազի շաբաթների ընթացքում, եթե առաջին օրը վազի կմ մ:
- Հեծանվորդն ամեն օր ավելի շատ մղոն է քշում, քան նախորդը: Առաջին օրը նա անցել է կմ. Քանի՞ օր պետք է նա քշի մեկ կիլոմետր անցնելու համար: Քանի՞ կիլոմետր կանցնի նա ճանապարհորդության վերջին օրը:
- Խանութում սառնարանի գինը ամեն տարի նույն չափով նվազում է։ Որոշեք, թե ամեն տարի որքանով է նվազել սառնարանի գինը, եթե ռուբլով վաճառքի հանվել, վեց տարի անց այն վաճառվել է ռուբլով։
Պատասխանները:
- Այստեղ ամենակարևորը թվաբանական պրոգրեսիան ճանաչելն ու դրա պարամետրերը որոշելն է։ Այս դեպքում (շաբաթներ = օրեր): Դուք պետք է որոշեք այս առաջընթացի առաջին անդամների գումարը.
.
Պատասխան. - Այստեղ տրված է., անհրաժեշտ է գտնել.
Ակնհայտ է, որ դուք պետք է օգտագործեք նույն գումարի բանաձևը, ինչպես նախորդ խնդիրում.
.
Փոխարինեք արժեքները.Արմատն ակնհայտորեն չի տեղավորվում, ուստի պատասխանը.
Հաշվարկենք վերջին օրվա ընթացքում անցած տարածությունը՝ օգտագործելով -րդ անդամի բանաձևը.
(կմ):
Պատասխան. - Տրված է. Գտեք.
Ավելի հեշտ չի դառնում.
(ռուբ.):
Պատասխան.
ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ
Սա թվային հաջորդականություն է, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:
Թվաբանական առաջընթացը աճում է () և նվազում ():
Օրինակ:
Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամը գտնելու բանաձևը
գրվում է որպես բանաձև, որտեղ գտնվում է առաջընթացի թվերի թիվը:
Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը
Այն հեշտացնում է առաջընթացի անդամ գտնելը, եթե հայտնի են նրա հարևան անդամները. որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:
Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը
Գումարը գտնելու երկու եղանակ կա.
Որտեղ է արժեքների թիվը:
Որտեղ է արժեքների թիվը:
ՄՆԱՑՎԱԾ 2/3 ՀՈԴՎԱԾՆԵՐԸ ՀԱՍԱՆԵԼԻ ԵՆ ՄԻԱՅՆ ՁԵԶ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻՆ:
Դարձեք YouClever-ի ուսանող,
Պատրաստվեք OGE-ին կամ մաթեմատիկայի օգտագործմանը «ամսական մեկ բաժակ սուրճի» գնով:
Եվ նաև ստացեք անսահմանափակ մուտք դեպի «YouClever» դասագիրք, «100gia» ուսումնական ծրագիր (լուծումների գիրք), անսահմանափակ փորձնական USE և OGE, 6000 առաջադրանքներ լուծումների վերլուծությամբ և այլ YouClever և 100gia ծառայություններ:
Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»:
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)
Թվաբանական առաջընթացը թվերի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ նույնքանով մեծ է (կամ փոքր) քան նախորդը։
Այս թեման հաճախ դժվար է ու անհասկանալի։ Տառերի ինդեքսները, առաջընթացի n-րդ անդամը, առաջընթացի տարբերությունը - այս ամենը ինչ-որ կերպ շփոթեցնող է, այո ... Եկեք պարզենք թվաբանական առաջընթացի իմաստը և ամեն ինչ անմիջապես կստացվի:)
Թվաբանական առաջընթացի հայեցակարգը.
Թվաբանական առաջընթացը շատ պարզ և հստակ հասկացություն է։ Կասկածե՞ր։ Իզուր։) Ինքներդ տես։
Ես կգրեմ թվերի անավարտ շարք.
1, 2, 3, 4, 5, ...
Կարո՞ղ եք երկարացնել այս գիծը: Ո՞ր թվերն են հաջորդում՝ հինգից հետո: Բոլորը ... հը ..., մի խոսքով, բոլորը կհասկանան, որ 6, 7, 8, 9 և այլն թվերը ավելի հեռուն կգնան:
Եկեք բարդացնենք խնդիրը. Ես տալիս եմ թվերի անավարտ շարք.
2, 5, 8, 11, 14, ...
Դուք կարող եք բռնել օրինակը, երկարացնել շարքը և անվանել յոթերորդշարքի համարը?
Եթե դուք հասկացաք, որ այս թիվը 20 է, շնորհավորում եմ ձեզ: Դուք ոչ միայն զգացիք թվաբանական առաջընթացի հիմնական կետերը,այլ նաև հաջողությամբ օգտագործել դրանք բիզնեսում: Եթե չեք հասկանում, կարդացեք:
Հիմա եկեք հիմնական կետերը սենսացիաներից թարգմանենք մաթեմատիկայի։)
Առաջին առանցքային կետը.
Թվաբանական առաջընթացը վերաբերում է թվերի շարքին:Սա սկզբում շփոթեցնող է: Մենք սովոր ենք հավասարումներ լուծել, գրաֆիկներ կառուցել և այդ ամենը… Եվ հետո երկարացնել շարքը, գտնել շարքի համարը…
Ամեն ինչ կարգին է. Պարզապես պրոգրեսիաները մաթեմատիկայի նոր ճյուղի հետ առաջին ծանոթությունն են։ Բաժինը կոչվում է «Սերիա» և աշխատում է թվերի և արտահայտությունների շարքով։ Ընտելացեք դրան։)
Երկրորդ առանցքային կետը.
Թվաբանական առաջընթացում ցանկացած թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։
Առաջին օրինակում այս տարբերությունը մեկն է. Ինչ թիվ էլ վերցնես, նախորդից մեկով ավելի է։ Երկրորդում `երեք: Ցանկացած թիվ երեք անգամ մեծ է նախորդից: Իրականում հենց այս պահն է, որ մեզ հնարավորություն է տալիս բռնել օրինաչափությունը և հաշվարկել հաջորդ թվերը։
Երրորդ առանցքային կետը.
Այս պահը տպավորիչ չէ, այո... Բայց շատ, շատ կարևոր: Ահա նա. առաջընթացի յուրաքանչյուր թիվ իր տեղում է:Կա առաջին թիվը, կա յոթերորդը, կա քառասունհինգերորդը և այլն: Եթե դրանք պատահաբար շփոթեք, ապա օրինաչափությունը կվերանա: Թվաբանական առաջընթացը նույնպես կվերանա։ Դա ընդամենը թվերի շարք է:
Ամբողջ իմաստը դա է:
Իհարկե, նոր թեմայում հայտնվում են նոր տերմիններ և նշումներ։ Նրանք պետք է իմանան. Հակառակ դեպքում, դուք չեք հասկանա առաջադրանքը: Օրինակ, դուք պետք է որոշեք նման բան.
Գրեք թվաբանական առաջընթացի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:
Ոգեշնչու՞մ է) Նամակներ, որոշ ցուցանիշներ... Իսկ առաջադրանքն, ի դեպ, ավելի հեշտ չէր կարող լինել։ Պարզապես պետք է հասկանալ տերմինների և նշումների իմաստը: Այժմ մենք կյուրացնենք այս գործը և կվերադառնանք առաջադրանքին։
Պայմաններ և նշանակումներ.
Թվաբանական առաջընթացթվերի շարք է, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ տարբերվում է նախորդից նույն չափով։
Այս արժեքը կոչվում է . Եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք այս հայեցակարգին:
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունայն գումարն է, որով ցանկացած առաջընթացի թիվ ավելիննախորդը.
Մի կարևոր կետ. Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք բառին «ավելին».Մաթեմատիկորեն դա նշանակում է, որ ստացվում է յուրաքանչյուր պրոգրեսիայի համար ավելացնելովթվաբանական առաջընթացի տարբերությունը նախորդ թվին:
Հաշվարկելու համար ասենք երկրորդշարքի համարները, անհրաժեշտ է առաջինթիվ ավելացնելթվաբանական պրոգրեսիայի հենց այս տարբերությունը: Հաշվարկի համար հինգերորդ- տարբերությունն անհրաժեշտ է ավելացնելդեպի չորրորդլավ և այլն:
Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունՄիգուցե դրականայդ դեպքում շարքի յուրաքանչյուր համար իրական կդառնա ավելի շատ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է աճող։Օրինակ:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Ահա յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելովդրական թիվ՝ +5 նախորդին։
Տարբերությունը կարող է լինել բացասականապա շարքի յուրաքանչյուր թիվ կլինի ավելի քիչ, քան նախորդը:Այս առաջընթացը կոչվում է (չեք հավատա!) նվազում է։
Օրինակ:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Այստեղ նույնպես ստացվում է յուրաքանչյուր թիվ ավելացնելովնախորդ, բայց արդեն բացասական թվին, -5։
Ի դեպ, պրոգրեսիայի հետ աշխատելիս շատ օգտակար է անմիջապես որոշել դրա բնույթը՝ այն աճում է, թե նվազում։ Դա շատ է օգնում որոշման մեջ ձեր կողմնորոշումը գտնելու, ձեր սխալները բացահայտելու և դրանք շտկելու համար, քանի դեռ ուշ չէ:
Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունսովորաբար նշվում է տառով դ.
Ինչպես գտնել դ? Շատ պարզ. Շարքի ցանկացած թվից պետք է հանել նախորդթիվ. հանել. Ի դեպ, հանման արդյունքը կոչվում է «տարբերություն»):
Սահմանենք, օրինակ. դաճող թվաբանական առաջընթացի համար.
2, 5, 8, 11, 14, ...
Վերցնում ենք մեր ուզած տողի ցանկացած թիվ, օրինակ՝ 11. Դրանից հանում ենք նախորդ համարըդրանք. ութ:
Սա ճիշտ պատասխանն է։ Այս թվաբանական առաջընթացի համար տարբերությունը երեք է:
Դուք կարող եք պարզապես վերցնել ցանկացած քանակի առաջընթաց,որովհետեւ կոնկրետ առաջընթացի համար դ-միշտ նույնը.Գոնե ինչ-որ տեղ շարքի սկզբում, թեկուզ մեջտեղում, թեկուզ ցանկացած տեղ։ Դուք չեք կարող վերցնել միայն առաջին համարը: Միայն այն պատճառով, որ հենց առաջին համարը ոչ նախորդ.)
Ի դեպ, դա իմանալով d=3, այս առաջընթացի յոթերորդ թիվը գտնելը շատ պարզ է: Հինգերորդ թվին ավելացնում ենք 3 - ստանում ենք վեցերորդը, կլինի 17։ Վեցերորդ թվին գումարում ենք երեք, ստանում ենք յոթերորդ թիվը՝ քսան։
Եկեք սահմանենք դնվազող թվաբանական առաջընթացի համար.
8; 3; -2; -7; -12; .....
Հիշեցնում եմ, որ, անկախ նշաններից, որոշել դանհրաժեշտ է ցանկացած համարից խլել նախորդը.Մենք ընտրում ենք ցանկացած քանակի պրոգրեսիա, օրինակ -7: Նրա նախորդ թիվը -2 է։ Ապա.
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը կարող է լինել ցանկացած թիվ՝ ամբողջ, կոտորակային, իռացիոնալ, ցանկացած։
Այլ տերմիններ և նշանակումներ:
Շարքի յուրաքանչյուր թիվ կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ։
Առաջընթացի յուրաքանչյուր անդամ ունի իր համարը.Թվերը խիստ կարգավորված են՝ առանց որևէ հնարքների։ Առաջին, երկրորդ, երրորդ, չորրորդ և այլն: Օրինակ՝ 2, 5, 8, 11, 14, ... երկուսը առաջին անդամն է, հինգը՝ երկրորդը, տասնմեկը՝ չորրորդը, լավ, հասկանում եք...) Խնդրում եմ հստակ հասկացեք. թվերն իրենք ենկարող է լինել բացարձակապես ցանկացած, ամբողջ, կոտորակային, բացասական, ինչ էլ որ լինի, բայց համարակալում- խիստ կարգով:
Ինչպե՞ս գրել առաջընթաց ընդհանուր ձևով: Ոչ մի խնդիր! Շարքի յուրաքանչյուր թիվ գրված է որպես տառ: Թվաբանական առաջընթացը նշելու համար, որպես կանոն, օգտագործվում է տառը ա. Անդամի համարը նշվում է ներքևի աջ մասում գտնվող ինդեքսով: Անդամները գրվում են՝ բաժանված ստորակետերով (կամ ստորակետերով), այսպես.
ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5, .....
ա 1առաջին համարն է ա 3- երրորդ և այլն: Ոչ մի բարդ բան. Այս շարքը կարող եք հակիրճ գրել այսպես. (a n).
Կան առաջընթացներ վերջավոր և անսահման.
վերջնականառաջընթացն ունի սահմանափակ թվով անդամներ: Հինգ, երեսունութ, ինչ էլ որ լինի: Բայց դա վերջավոր թիվ է:
Անվերջառաջընթաց - ունի անսահման թվով անդամներ, ինչպես կարող եք կռահել:)
Դուք կարող եք գրել վերջնական առաջընթաց այս շարքի միջոցով, բոլոր անդամները և վերջում մի կետ.
ա 1, ա 2, ա 3, ա 4, ա 5:
Կամ այսպես, եթե անդամները շատ են.
ա 1, ա 2, ... ա 14, ա 15:
Կարճ գրառումում դուք պետք է լրացուցիչ նշեք անդամների թիվը: Օրինակ (քսան անդամների համար), այսպես.
(a n), n = 20
Անսահման առաջընթացը կարելի է ճանաչել տողի վերջում գտնվող էլիպսիսով, ինչպես այս դասի օրինակներում:
Այժմ դուք արդեն կարող եք լուծել առաջադրանքները: Առաջադրանքները պարզ են՝ զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար։
Թվաբանական առաջընթացի առաջադրանքների օրինակներ.
Եկեք ավելի մանրամասն նայենք վերը նշված առաջադրանքին.
1. Գրի՛ր թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները (a n), եթե a 2 = 5, d = -2,5:
Մենք առաջադրանքը թարգմանում ենք հասկանալի լեզվով: Տրվում է անսահման թվաբանական պրոգրեսիա: Այս առաջընթացի երկրորդ թիվը հայտնի է. ա 2 = 5.Հայտնի առաջընթացի տարբերություն. դ = -2,5:Մենք պետք է գտնենք այս առաջընթացի առաջին, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ և վեցերորդ անդամներին:
Պարզության համար գրեմ մի շարք՝ ըստ խնդրի պայմանի։ Առաջին վեց անդամները, որտեղ երկրորդ անդամը հինգն է.
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,...
ա 3 = ա 2 + դ
Արտահայտության մեջ փոխարինում ենք ա 2 = 5և d=-2,5. Մի մոռացեք մինուսը:
ա 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Երրորդ տերմինը երկրորդից քիչ է։ Ամեն ինչ տրամաբանական է. Եթե թիվը մեծ է նախորդից բացասականարժեքը, ուստի թիվն ինքնին պակաս կլինի նախորդից: Առաջընթացը նվազում է. Լավ, եկեք հաշվի առնենք:) Մենք համարում ենք մեր շարքի չորրորդ անդամը.
ա 4 = ա 3 + դ
ա 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
ա 5 = ա 4 + դ
ա 5=0+(-2,5)= - 2,5
ա 6 = ա 5 + դ
ա 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Այսպիսով, երրորդից վեցերորդ ժամկետները հաշվարկված են։ Սա հանգեցրեց մի շարքի.
ա 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Մնում է գտնել առաջին տերմինը ա 1ըստ հայտնի երկրորդի. Սա մի քայլ է մյուս ուղղությամբ՝ դեպի ձախ։) Այստեղից՝ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը դչպետք է ավելացվի ա 2, ա վերցրու:
ա 1 = ա 2 - դ
ա 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Դա այն ամենն է, ինչ կա դրա համար: Առաջադրանքի պատասխան.
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Ընդ որում, ես նշում եմ, որ մենք լուծել ենք այս խնդիրը կրկնվողճանապարհ. Այս սարսափելի բառը նշանակում է միայն պրոգրեսիայի անդամի որոնում նախորդ (կից) թվով.Առաջընթացի հետ աշխատելու այլ ուղիներ կքննարկվեն ավելի ուշ:
Այս պարզ առաջադրանքից կարելի է մեկ կարևոր եզրակացություն անել.
Հիշեք.
Եթե մենք գիտենք առնվազն մեկ անդամ և թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը, կարող ենք գտնել այս պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ:
Հիշո՞ւմ ես։ Այս պարզ եզրակացությունը թույլ է տալիս լուծել այս թեմայով դպրոցական դասընթացի խնդիրների մեծ մասը։ Բոլոր առաջադրանքները պտտվում են երեք հիմնական պարամետրերի շուրջ. թվաբանական առաջընթացի անդամ, առաջընթացի տարբերություն, պրոգրեսիայի անդամի թիվ։Ամեն ինչ.
Իհարկե, բոլոր նախորդ հանրահաշիվները չեղյալ չեն հայտարարվում:) Անհավասարությունները, հավասարումները և այլ բաներ կցվում են առաջընթացին: Բայց ըստ առաջընթացի- ամեն ինչ պտտվում է երեք պարամետրի շուրջ.
Օրինակ, հաշվի առեք այս թեմայի վերաբերյալ որոշ հայտնի առաջադրանքներ:
2. Վերջնական թվաբանական առաջընթացը գրի՛ր շարքով, եթե n=5, d=0.4, իսկ a 1=3.6։
Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Ամեն ինչ արդեն տրված է։ Պետք է հիշել, թե ինչպես են հաշվարկվում թվաբանական առաջընթացի անդամները, հաշվում և գրում: Խորհուրդ է տրվում առաջադրանքի պայմանում չբացակայել բառերը՝ «վերջնական» և « n=5«Որպեսզի չհաշվես, քանի դեռ դեմքդ ամբողջովին կապտած ես:) Այս պրոգրեսում ընդամենը 5 (հինգ) անդամ կա.
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
ա 4 = ա 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
ա 5 = ա 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Մնում է գրել պատասխանը.
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Մեկ այլ խնդիր.
3. Որոշեք, թե արդյոք 7 թիվը կլինի թվաբանական առաջընթացի անդամ (a n), եթե a 1 \u003d 4.1; d = 1.2:
Հմմ... Ո՞վ գիտի: Ինչպե՞ս սահմանել ինչ-որ բան:
Ինչպես-ինչպես ... Այո, գրեք առաջընթացը շարքի տեսքով և տեսեք, թե արդյոք կլինի յոթ, թե ոչ: Մենք հավատում ենք:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
ա 4 = ա 3 + դ = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Հիմա պարզ երեւում է, որ մենք ընդամենը յոթն ենք սայթաքել է 6.5-ի և 7.7-ի միջև: Յոթը չի մտել մեր թվերի շարքի մեջ, և, հետևաբար, յոթն էլ տվյալ առաջընթացի անդամ չի լինի։
Պատասխան՝ ոչ։
Եվ ահա GIA-ի իրական տարբերակի վրա հիմնված առաջադրանք.
4. Թվաբանական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.
...; տասնհինգ; X; 9; 6; ...
Ահա մի շարք առանց վերջի և սկզբի. Անդամների թվեր չկան, տարբերություն չկա դ. Ամեն ինչ կարգին է. Խնդիրը լուծելու համար բավական է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի իմաստը։ Տեսնենք և տեսնենք, թե ինչ կարող ենք իմանալայս տողից? Որո՞նք են երեք հիմնական պարամետրերը:
Անդամների համարներ? Այստեղ ոչ մի թիվ չկա։
Բայց կան երեք թվեր և ուշադրություն. - բառ «անընդմեջ»վիճակում։ Սա նշանակում է, որ թվերը խիստ կարգավորված են, առանց բացերի։ Այս շարքում երկուսը կա՞ն: հարեւանհայտնի թվեր? Այո այնտեղ է! Սրանք 9 և 6 են: Այսպիսով, մենք կարող ենք հաշվարկել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը: Վեցից հանում ենք նախորդհամարը, այսինքն. ինը:
Մնացել են դատարկ տեղեր։ Ո՞ր թիվը կլինի x-ի նախորդը: Տասնհինգ. Այսպիսով, x-ը կարելի է հեշտությամբ գտնել պարզ գումարման միջոցով: 15-ին ավելացրեք թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը.
Այսքանը: Պատասխան. x=12
Մենք ինքներս ենք լուծում հետևյալ խնդիրները. Նշում. այս հանելուկները բանաձևերի համար չեն: Զուտ թվաբանական առաջընթացի իմաստը հասկանալու համար։) Պարզապես գրում ենք մի շարք թվեր-տառեր, նայում ու մտածում։
5. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին դրական անդամը, եթե a 5 = -3; d = 1.1.
6. Հայտնի է, որ 5.5 թիվը թվաբանական պրոգրեսիայի անդամ է (a n), որտեղ a 1 = 1.6; d = 1.3. Որոշի՛ր այս անդամի n թիվը։
7. Հայտնի է, որ թվաբանական առաջընթացում a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Գտեք 3.
8. Թվաբանական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ դուրս են գրվում.
...; 15.6; X; 3.4; ...
Գտե՛ք պրոգրեսիայի տերմինը, որը նշվում է x տառով:
9. Գնացքը սկսեց շարժվել կայարանից՝ աստիճանաբար ավելացնելով արագությունը րոպեում 30 մետրով։ Որքա՞ն կլինի գնացքի արագությունը հինգ րոպեում: Պատասխանեք կմ/ժ-ով:
10. Հայտնի է, որ թվաբանական պրոգրեսիայում a 2 = 5; ա 6 = -5. Գտեք 1-ը.
Պատասխաններ (խառնաշփոթ)՝ 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; չորս.
Ամեն ինչ ստացվեց? Հրաշալի՜ Հետևյալ դասերում կարող եք տիրապետել թվաբանական առաջընթացին ավելի բարձր մակարդակով։
Ամեն ինչ չստացվեց? Ոչ մի խնդիր. Հատուկ 555 բաժնում այս բոլոր խնդիրները բաժանված են մասերի:) Եվ, իհարկե, նկարագրված է պարզ գործնական տեխնիկա, որն անմիջապես ընդգծում է նման առաջադրանքների լուծումը հստակ, հստակ, ինչպես ձեր ձեռքի ափի մեջ:
Ի դեպ, գնացքի մասին փազլում երկու խնդիր կա, որոնց վրա մարդիկ հաճախ են սայթաքում. Մեկը զուտ առաջընթացի մեջ է, իսկ երկրորդը սովորական է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի ցանկացած առաջադրանքի համար: Սա չափերի թարգմանությունն է մեկից մյուսը: Դա ցույց է տալիս, թե ինչպես պետք է լուծվեն այդ խնդիրները։
Այս դասում մենք ուսումնասիրեցինք թվաբանական առաջընթացի տարրական նշանակությունը և դրա հիմնական պարամետրերը: Սա բավական է այս թեմայի շուրջ գրեթե բոլոր խնդիրները լուծելու համար։ Ավելացնել դթվերին, շարք գրեք, ամեն ինչ կորոշվի։
«մատների վրա» լուծումը լավ է աշխատում շարքի շատ կարճ հատվածների համար, ինչպես այս դասի օրինակներում: Եթե շարքն ավելի երկար է, ապա հաշվարկներն ավելի են բարդանում։ Օրինակ, եթե հարցի 9-րդ խնդիրում փոխարինեք "հինգ րոպե"վրա «երեսունհինգ րոպե»խնդիրը շատ ավելի կվատանա։)
Եվ կան նաև առաջադրանքներ, որոնք ըստ էության պարզ են, բայց բոլորովին անհեթեթ են հաշվարկների առումով, օրինակ.
Տրվում է թվաբանական առաջընթաց (a n): Գտե՛ք 121 թիվը, եթե a 1 =3 և d=1/6:
Իսկ ի՞նչ, 1/6-ը կավելացնենք շատ ու շատ անգամ։ Հնարավո՞ր է ինքդ քեզ սպանել։
Դուք կարող եք:) Եթե չգիտեք մի պարզ բանաձև, որով կարող եք լուծել նման առաջադրանքները մեկ րոպեում: Այս բանաձևը կլինի հաջորդ դասին։ Եվ այդ խնդիրը լուծված է այնտեղ։ Մի րոպեում։)
Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...
Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)
Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)
կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։
Մաթեմատիկան իր գեղեցկությունն ունի, ինչպես նկարչությունն ու պոեզիան:
Ռուս գիտնական, մեխանիկ Ն.Ե. Ժուկովսկին
Մաթեմատիկայի ընդունելության թեստերում շատ տարածված առաջադրանքները թվաբանական պրոգրեսիա հասկացության հետ կապված առաջադրանքներ են: Նման խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար անհրաժեշտ է լավ իմանալ թվաբանական պրոգրեսիայի հատկությունները և ունենալ դրանց կիրառման որոշակի հմտություններ։
Նախ հիշենք թվաբանական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունները և ներկայացնենք ամենակարևոր բանաձևերը, կապված այս հայեցակարգի հետ:
Սահմանում. Թվային հաջորդականություն, որոնցում յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը նույն թվով տարբերվում է նախորդից, կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։ Միաժամանակ համարըկոչվում է առաջընթացի տարբերություն:
Թվաբանական առաջընթացի համար բանաձևերը վավեր են
, (1)
որտեղ . Բանաձև (1) կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի ընդհանուր անդամի բանաձև, իսկ (2) բանաձևը թվաբանական առաջընթացի հիմնական հատկությունն է՝ պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ համընկնում է իր հարևան անդամների թվաբանական միջինին և .
Նշենք, որ հենց այս հատկության պատճառով է, որ դիտարկվող առաջընթացը կոչվում է «թվաբանություն»:
Վերոնշյալ (1) և (2) բանաձևերը ամփոփված են հետևյալ կերպ.
(3)
Գումարը հաշվարկելու համարառաջին թվաբանական առաջընթացի անդամներբանաձևը սովորաբար օգտագործվում է
(5) որտեղ և .
Եթե հաշվի առնենք բանաձևը (1), ապա բանաձևը (5) ենթադրում է
Եթե նշանակենք
որտեղ . Քանի որ , ապա (7) և (8) բանաձևերը համապատասխան (5) և (6) բանաձևերի ընդհանրացումն են։
Մասնավորապես , բանաձևից (5) հետևում է, ինչ
Ուսանողների մեծամասնության համար քիչ հայտնիներից է թվաբանական պրոգրեսիայի հատկությունը, որը ձևակերպված է հետևյալ թեորեմի միջոցով.
Թեորեմ.Եթե, ապա
Ապացույց.Եթե, ապա
Թեորեմն ապացուցված է.
Օրինակ , օգտագործելով թեորեմը, կարելի է ցույց տալ, որ
Անցնենք «Թվաբանական առաջընթաց» թեմայով խնդիրների լուծման բնորոշ օրինակների դիտարկմանը։
Օրինակ 1Թող և. Գտնել.
Լուծում.Կիրառելով բանաձևը (6), մենք ստանում ենք. Քանի որ և , ապա կամ .
Օրինակ 2Թող երեք անգամ ավել, և երբ բաժանվում է 2-ի քանորդի, մնացորդը կլինի 8։ Սահմանել և.
Լուծում.Հավասարումների համակարգը բխում է օրինակի պայմանից
Քանի որ , , և , ապա հավասարումների համակարգից (10) ստանում ենք
Այս հավասարումների համակարգի լուծումներն են և .
Օրինակ 3Գտեք եթե և.
Լուծում.Համաձայն (5) բանաձևի, մենք ունենք կամ. Այնուամենայնիվ, օգտագործելով հատկությունը (9), մենք ստանում ենք.
Քանի որ և , ապա հավասարությունից հետևում է հավասարումըկամ .
Օրինակ 4Գտեք, եթե.
Լուծում.Բանաձևով (5) ունենք
Այնուամենայնիվ, օգտագործելով թեորեմը, կարելի է գրել
Այստեղից և (11) բանաձևից մենք ստանում ենք.
Օրինակ 5. Տրված է. Գտնել.
Լուծում.Այդ ժամանակվանից . Այնուամենայնիվ , հետեւաբար .
Օրինակ 6Թող , և. Գտնել.
Լուծում.Օգտագործելով բանաձևը (9), մենք ստանում ենք. Հետևաբար, եթե , ապա կամ .
Քանի որ և ապա այստեղ մենք ունենք հավասարումների համակարգ
Լուծելով որը, մենք ստանում ենք և .
Հավասարման բնական արմատըէ .
Օրինակ 7Գտեք եթե և.
Լուծում.Քանի որ համաձայն (3) բանաձևի մենք ունենք դա, ուրեմն խնդրի վիճակից բխում է հավասարումների համակարգը
Եթե փոխարինենք արտահայտությունըհամակարգի երկրորդ հավասարման մեջ, ապա մենք ստանում ենք կամ .
Քառակուսային հավասարման արմատներն ենեւ .
Դիտարկենք երկու դեպք.
1. Թող , ապա . ի վեր և այնուհետև.
Այս դեպքում, համաձայն (6) բանաձևի, ունենք
2. Եթե , ապա , և
Պատասխան. և.
Օրինակ 8Հայտնի է, որ և Գտնել.
Լուծում.Հաշվի առնելով (5) բանաձևը և օրինակի պայմանը՝ գրում ենք և.
Սա ենթադրում է հավասարումների համակարգը
Եթե համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկենք 2-ով, ապա այն գումարենք երկրորդ հավասարմանը, կստանանք.
Ըստ բանաձևի (9) ունենք. Այս կապակցությամբ (12)-ից հետևում էկամ .
ի վեր և այնուհետև.
Պատասխան.
Օրինակ 9Գտեք եթե և.
Լուծում.Քանի որ , և պայմանով , ապա կամ .
Բանաձևից (5) հայտնի է, ինչ . Այդ ժամանակվանից .
հետևաբար, այստեղ մենք ունենք գծային հավասարումների համակարգ
Այստեղից մենք ստանում ենք և. Հաշվի առնելով (8) բանաձևը, գրում ենք.
Օրինակ 10Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում.Տրված հավասարումից հետևում է, որ . Ենթադրենք, որ , և . Այս դեպքում .
Համաձայն (1) բանաձևի՝ մենք կարող ենք գրել կամ.
Քանի որ , հավասարումը (13) ունի եզակի հարմար արմատ:
Օրինակ 11.Գտե՛ք առավելագույն արժեքը՝ պայմանով, որ և .
Լուծում.Քանի որ , ապա դիտարկվող թվաբանական առաջընթացը նվազում է։ Այս առումով արտահայտությունը ստանում է առավելագույն արժեք, երբ այն առաջընթացի նվազագույն դրական անդամի թիվն է:
Մենք օգտագործում ենք բանաձևը (1) և փաստը, որը և. Հետո մենք ստանում ենք, որ կամ.
Որովհետև, ապա կամ . Այնուամենայնիվ, այս անհավասարության մեջամենամեծ բնական թիվը, Ահա թե ինչու .
Եթե արժեքները և փոխարինվեն բանաձևով (6), ապա մենք ստանում ենք.
Պատասխան.
Օրինակ 12.Գտե՛ք բոլոր երկնիշ բնական թվերի գումարը, որոնք 6-ի բաժանելիս ունենում են 5 մնացորդ:
Լուծում.Նշեք բոլոր երկարժեք բնական թվերի բազմությամբ, այսինքն. . Այնուհետև մենք կառուցում ենք ենթաբազմություն, որը բաղկացած է բազմության այն տարրերից (թվերից), որոնք, երբ բաժանվում են 6 թվի վրա, ստանում են 5 մնացորդ:
Հեշտ է տեղադրել, ինչ . Ակնհայտորեն , որ բազմության տարրերըկազմել թվաբանական առաջընթաց, որում և.
Բազմության կարդինալությունը (տարրերի քանակը) որոշելու համար ենթադրում ենք, որ . Քանի որ և , ապա (1) բանաձևը ենթադրում է կամ . Հաշվի առնելով (5) բանաձևը, մենք ստանում ենք.
Խնդիրների լուծման վերը նշված օրինակները ոչ մի կերպ չեն կարող հավակնել սպառիչ լինել: Այս հոդվածը գրված է տվյալ թեմայի վերաբերյալ բնորոշ խնդիրների լուծման ժամանակակից մեթոդների վերլուծության հիման վրա: Թվաբանական առաջընթացի հետ կապված խնդիրների լուծման մեթոդների ավելի խորը ուսումնասիրության համար խորհուրդ է տրվում դիմել առաջարկվող գրականության ցանկին:
1. Մաթեմատիկայի առաջադրանքների ժողովածու տեխնիկական բուհերի դիմորդների համար / Ed. Մ.Ի. Սկանավի. - Մ.: Աշխարհ և կրթություն, 2013. - 608 էջ.
2. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. դպրոցական ծրագրի լրացուցիչ բաժիններ. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 էջ.
3. Մեդինսկի Մ.Մ. Տարրական մաթեմատիկայի ամբողջական դասընթաց առաջադրանքներում և վարժություններում: Գիրք 2. Թվերի հաջորդականություններ և առաջընթացներ. - Մ.: Էդիտուս, 2015. - 208 էջ.
Հարցեր ունե՞ք։
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:
