मध्य और उच्च विद्यालय के पाठ्यक्रम में, छात्रों ने "अंश" विषय का अध्ययन किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई तुलना में बहुत व्यापक है। आज, एक भिन्न की अवधारणा का अक्सर सामना किया जाता है, और हर कोई किसी भी व्यंजक की गणना नहीं कर सकता है, उदाहरण के लिए, भिन्नों को गुणा करना।

एक अंश क्या है?

ऐतिहासिक रूप से ऐसा हुआ कि मापने की आवश्यकता के कारण भिन्नात्मक संख्याएँ दिखाई दीं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, एक खंड की लंबाई, एक आयताकार आयत का आयतन निर्धारित करने के लिए अक्सर उदाहरण होते हैं।

प्रारंभ में, छात्रों को एक शेयर के रूप में इस तरह की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक को एक तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ के इस एक भाग को अंश कहते हैं।

किसी भी मूल्य के ½ के बराबर हिस्से को आधा कहा जाता है; - तीसरा; - एक चौथाई। 5/8, 4/5, 2/4 जैसी प्रविष्टियां कहलाती हैं साधारण अंश. एक साधारण अंश को अंश और हर में विभाजित किया जाता है। उनके बीच भिन्नात्मक रेखा या भिन्नात्मक रेखा होती है। एक भिन्नात्मक दंड को क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींचा जा सकता है। इस मामले में, यह विभाजन चिह्न के लिए खड़ा है।

भाजक यह दर्शाता है कि मूल्य, वस्तु को कितने समान भागों में बांटा गया है; और अंश यह है कि कितने बराबर शेयर लिए गए हैं। अंश को भिन्नात्मक दंड के ऊपर लिखा जाता है, उसके नीचे हर।

निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक होता है। यदि आप एक खंड को 4 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, प्रत्येक भाग को लैटिन अक्षर से नामित करते हैं, तो परिणामस्वरूप आप एक उत्कृष्ट दृश्य सहायता प्राप्त कर सकते हैं। तो, बिंदु A संपूर्ण इकाई खंड के 1/4 के बराबर हिस्सा दिखाता है, और बिंदु B इस खंड का 2/8 भाग दिखाता है।

भिन्नों की किस्में

भिन्न सामान्य, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हैं। इसके अलावा, भिन्नों को उचित और अनुचित में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण साधारण भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।

नीचे उचित अंशएक ऐसी संख्या को समझें जिसका अंश हर से कम हो। तदनुसार, एक अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश हर से बड़ा होता है। दूसरे प्रकार को आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस तरह के व्यंजक में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, 1½। 1 - पूर्णांक भाग, ½ - भिन्नात्मक। हालाँकि, यदि आपको व्यंजक के साथ कुछ जोड़तोड़ करने की आवश्यकता है (विभाजन या गुणा करना, उन्हें कम करना या परिवर्तित करना), तो मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश में बदल दिया जाता है।

एक सही भिन्नात्मक व्यंजक हमेशा एक से छोटा होता है, और एक गलत व्यंजक हमेशा 1 से बड़ा या उसके बराबर होता है।

इस अभिव्यक्ति के लिए, वे एक रिकॉर्ड को समझते हैं जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसके भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न सही है, तो पूरा भाग दशमलव अंकनशून्य के बराबर होगा।

दशमलव लिखने के लिए, आपको पहले पूर्णांक भाग लिखना होगा, इसे अल्पविराम से भिन्न से अलग करना होगा, और फिर भिन्नात्मक व्यंजक लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि अल्पविराम के बाद अंश में उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि हर में शून्य होते हैं।

उदाहरण. दशमलव अंकन में भिन्न 7 21/1000 का प्रतिनिधित्व करें।

एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए एल्गोरिदम और इसके विपरीत

प्रश्न के उत्तर में अनुचित भिन्न लिखना गलत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना चाहिए:

• अंश को मौजूदा हर से विभाजित करें;
• एक विशिष्ट उदाहरण में, एक अपूर्ण भागफल एक पूर्णांक होता है;
• और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, जिसमें हर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47/5 .

समाधान. 47: 5. अपूर्ण भागफल 9 है, शेषफल = 2 है। अतः, 47/5 = 9 2/5.

कभी-कभी आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता होती है। फिर आपको निम्न एल्गोरिथम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

• पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक व्यंजक के हर से गुणा किया जाता है;
• परिणामी उत्पाद अंश में जोड़ा जाता है;
• परिणाम अंश में लिखा जाता है, भाजक अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण. संख्या को मिश्रित रूप में एक अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करें: 9 8 / 10।

समाधान. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 अंश है।

उत्तर: 98 / 10.

साधारण भिन्नों का गुणन

आप साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजीय संक्रियाएँ कर सकते हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, भिन्नों का गुणन विभिन्न भाजकसमान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं के गुणनफल से भिन्न नहीं होता है।

ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद, आपको अंश को कम करने की आवश्यकता होती है। पर जरूरपरिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाया जाना चाहिए। बेशक, यह नहीं कहा जा सकता है कि उत्तर में एक अनुचित अंश एक गलती है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी मुश्किल है।

उदाहरण. दो साधारण भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, उत्पाद खोजने के बाद, एक कम करने योग्य भिन्नात्मक अंकन प्राप्त होता है। इस मामले में अंश और हर दोनों 4 से विभाज्य हैं, और परिणाम 5/9 का उत्तर है।

दशमलव अंशों को गुणा करना

दशमलव भिन्नों का गुणनफल अपने सिद्धांत में साधारण भिन्नों के गुणनफल से काफी भिन्न होता है। तो, भिन्नों का गुणा इस प्रकार है:

• दो दशमलव अंशों को एक दूसरे के नीचे लिखा जाना चाहिए ताकि सबसे दाहिने अंक एक दूसरे के नीचे हों;
• आपको अल्पविराम के बावजूद, अर्थात् प्राकृतिक संख्याओं के रूप में, लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
• प्रत्येक संख्या में अल्पविराम के बाद अंकों की संख्या गिनें;
• गुणन के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों में योग में जितने डिजिटल वर्ण शामिल हैं, उतने दायीं ओर गिनने की आवश्यकता है, और एक अलग चिह्न लगाना है;
• यदि गुणन में कम अंक हैं, तो इस संख्या को कवर करने के लिए उनके सामने इतने शून्य लिखे जाने चाहिए, अल्पविराम लगाएं और शून्य के बराबर एक पूर्णांक भाग निर्दिष्ट करें।

उदाहरण. दो दशमलवों के गुणनफल की गणना करें: 2.25 और 3.6।

समाधान.

मिश्रित भिन्नों का गुणन

दो मिश्रित भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करना होगा:

• मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें;
• अंशों का गुणनफल ज्ञात कीजिए;
• हर के उत्पाद का पता लगाएं;
• परिणाम लिखो;
• अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं।

उदाहरण. 4½ और 6 2/5 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना (संख्या से भिन्न)

दो भिन्नों, मिश्रित संख्याओं के गुणनफल को खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जहाँ आपको भिन्न से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

तो, काम खोजने के लिए दशमलव अंशऔर एक प्राकृतिक संख्या, आपको चाहिए:

• भिन्न के नीचे की संख्या इस प्रकार लिखिए कि सबसे दाहिने अंक एक के ऊपर एक हों;
• अल्पविराम के बावजूद काम खोजें;
• प्राप्त परिणाम में, अल्पविराम का उपयोग करके पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करें, दाईं ओर उन वर्णों की संख्या गिनें जो भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद हैं।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक गुणनखंड का गुणनफल ज्ञात करना चाहिए। अगर उत्तर एक कम करने योग्य अंश है, तो इसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।

उदाहरण. 5/8 और 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

उत्तर: 7 1 / 2.

जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को कम करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना आवश्यक था।

साथ ही, भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप में किसी संख्या के गुणनफल और एक प्राकृतिक कारक को खोजने पर भी लागू होता है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित गुणनखंड के पूर्णांक भाग को संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो आपको परिणाम को यथासंभव सरल बनाने की आवश्यकता है।

उदाहरण. 9 5/6 और 9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2।

उत्तर: 88 1 / 2.

गुणनखंड 10, 100, 1000 या 0.1 से गुणा; 0.01; 0.001

निम्नलिखित नियम पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, 10000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविराम को दायीं ओर उतने अंकों वाले वर्णों से ले जाना होगा जितने गुणक में एक के बाद एक शून्य होते हैं।

उदाहरण 1. 0.065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 0.065 x 1000 = 0065 = 65।

उत्तर: 65.

उदाहरण 2. 3.9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900।

उत्तर: 3900.

अगर आपको गुणा करना है प्राकृतिक संख्याऔर 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बाईं ओर ले जाना चाहिए, जितने अंकों के वर्ण हैं क्योंकि एक से पहले शून्य हैं। यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्या के सामने पर्याप्त संख्या में शून्य लिखे जाते हैं।

उदाहरण 1. 56 और 0.01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

उत्तर: 0,56.

उदाहरण 2. 4 और 0.001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004।

उत्तर: 0,004.

इसलिए, परिणाम की गणना को छोड़कर, विभिन्न भिन्नों के गुणनफल को खोजने में कठिनाई नहीं होनी चाहिए; इस मामले में, आप बस कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते।

) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।

भिन्न गुणन सूत्र:

उदाहरण के लिए:

अंशों और हरों के गुणन के साथ आगे बढ़ने से पहले, भिन्न में कमी की संभावना की जांच करना आवश्यक है। यदि आप भिन्न को कम करने का प्रबंधन करते हैं, तो आपके लिए गणना करना जारी रखना आसान होगा।

साधारण भिन्न का भिन्न से भाग।

एक प्राकृत संख्या वाले भिन्नों का विभाजन।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि जोड़ के मामले में, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्णांक को भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों का गुणन।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

• मिश्रित भिन्नों को अनुचित में बदलना;
• भिन्नों के अंशों और हरों को गुणा करें;
• हम अंश को कम करते हैं;
• यदि हमें अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

टिप्पणी!मिश्रित भिन्न को किसी अन्य मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

टिप्पणी!किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना आवश्यक है, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि यह विकल्प उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है जब एक अंश के हर को एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाजित किया जाता है।

बहुस्तरीय अंश।

हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग किया जाता है:

टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

टिप्पणी, उदाहरण के लिए:

एक को किसी भिन्न से भाग देने पर, परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उल्टा:

भिन्नों को गुणा और भाग करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएं सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। अपने दिमाग में गणनाओं में भ्रमित होने की तुलना में मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियों को लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले कार्यों में - साधारण भिन्नों के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक घटाते हैं जब तक कि इसे कम करना संभव न हो।

4. हम 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए बहु-स्तरीय भिन्नात्मक व्यंजकों को साधारण व्यंजकों में लाते हैं।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

साधारण भिन्नात्मक संख्याएँ पहले 5 वीं कक्षा में स्कूली बच्चों से मिलती हैं और जीवन भर उनका साथ देती हैं, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में अक्सर किसी वस्तु पर पूरी तरह से नहीं, बल्कि अलग-अलग टुकड़ों पर विचार करना या उसका उपयोग करना आवश्यक होता है। इस विषय के अध्ययन की शुरुआत - साझा करें। शेयर बराबर हिस्से होते हैंजिसमें कोई वस्तु विभक्त हो। आखिरकार, यह व्यक्त करना हमेशा संभव नहीं होता है, उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद की लंबाई या कीमत को पूर्णांक के रूप में; किसी भी माप के हिस्से या शेयरों को ध्यान में रखना चाहिए। "क्रश करने के लिए" क्रिया से बना - भागों में विभाजित करने के लिए, और अरबी जड़ें होने के कारण, आठवीं शताब्दी में "अंश" शब्द ही रूसी में दिखाई दिया।

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को लंबे समय से गणित का सबसे कठिन खंड माना जाता है। 17वीं शताब्दी में, जब गणित की पहली पाठ्यपुस्तकें सामने आईं, तो उन्हें "टूटी हुई संख्या" कहा गया, जिसे लोगों की समझ में प्रदर्शित करना बहुत मुश्किल था।

साधारण भिन्नात्मक अवशेषों का आधुनिक रूप, जिसके कुछ हिस्सों को एक क्षैतिज रेखा द्वारा ठीक से अलग किया जाता है, को सबसे पहले फिबोनाची - पीसा के लियोनार्डो द्वारा बढ़ावा दिया गया था। उनका लेखन दिनांक 1202 का है। लेकिन इस लेख का उद्देश्य पाठक को सरल और स्पष्ट रूप से समझाना है कि विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्नों का गुणन कैसे होता है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को गुणा करना

प्रारंभ में, यह निर्धारित करना आवश्यक है भिन्नों की किस्में:

• सही;
• गलत;
• मिला हुआ।

इसके बाद, आपको यह याद रखना होगा कि समान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है। इस प्रक्रिया का नियम स्वतंत्र रूप से तैयार करना आसान है: एक ही भाजक के साथ सरल अंशों को गुणा करने का परिणाम एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है, जिसका अंश अंशों का उत्पाद है, और हर इन अंशों के हर का उत्पाद है . यही है, वास्तव में, नया हर शुरू में मौजूदा लोगों में से एक का वर्ग है।

गुणा करते समय विभिन्न भाजक के साथ सरल अंशदो या अधिक कारकों के लिए, नियम नहीं बदलता है:

एक/बी * सी/डी = एसी / बी * डी।

अंतर केवल इतना है कि भिन्नात्मक दंड के नीचे बनी संख्या विभिन्न संख्याओं का गुणनफल होगी और स्वाभाविक रूप से, इसे एक संख्यात्मक व्यंजक का वर्ग नहीं कहा जा सकता है।

उदाहरणों का उपयोग करते हुए विभिन्न हरों के साथ भिन्नों के गुणन पर विचार करना उचित है:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

उदाहरण भिन्नात्मक व्यंजकों को कम करने के तरीकों का उपयोग करते हैं। आप हर की संख्या के साथ केवल अंश की संख्या को कम कर सकते हैं; भिन्नात्मक बार के ऊपर या नीचे आसन्न कारकों को कम नहीं किया जा सकता है।

सरल के साथ भिन्नात्मक संख्यामिश्रित भिन्नों की अवधारणा है। एक मिश्रित संख्या में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, अर्थात यह इन संख्याओं का योग होता है:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

गुणा कैसे काम करता है?

विचार के लिए कई उदाहरण दिए गए हैं।

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

उदाहरण एक संख्या के गुणन का उपयोग करता है साधारण भिन्नात्मक भाग, आप इस क्रिया के लिए नियम को सूत्र द्वारा लिख ​​सकते हैं:

एक * बी/सी = ए * बी /सी।

वास्तव में, ऐसा उत्पाद समान भिन्नात्मक शेषफलों का योग होता है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या को इंगित करती है। विशेष मामला:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

किसी संख्या के गुणन को भिन्नात्मक शेषफल से हल करने का एक और विकल्प है। आपको बस हर को इस संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है:

डी* इ/एफ = इ/च: घ.

इस तकनीक का उपयोग तब करना उपयोगी होता है जब हर को एक प्राकृतिक संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है या, जैसा कि वे कहते हैं, पूरी तरह से।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें और पहले वर्णित तरीके से गुणनफल प्राप्त करें:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

इस उदाहरण में मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करने का एक तरीका शामिल है, इसे इस प्रकार भी दर्शाया जा सकता है सामान्य सूत्र:

एक बीसी = ए*बी+ c/c, जहां हर के साथ पूर्णांक भाग को गुणा करके और मूल भिन्नात्मक शेष के अंश में जोड़कर नए अंश का हर बनता है, और हर समान रहता है।

यह प्रक्रिया उल्टा भी काम करती है। पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक शेष का चयन करने के लिए, आपको एक अनुचित अंश के अंश को उसके हर द्वारा "कोने" से विभाजित करना होगा।

अनुचित भिन्नों का गुणनसामान्य तरीके से उत्पादित। जब प्रविष्टि एक भिन्नात्मक रेखा के नीचे जाती है, तो आवश्यक के रूप में, आपको इस पद्धति का उपयोग करके संख्याओं को कम करने के लिए अंशों को कम करने की आवश्यकता होती है और परिणाम की गणना करना आसान होता है।

जटिल समस्याओं को भी हल करने के लिए इंटरनेट पर कई सहायक हैं। गणित की समस्यायेविभिन्न कार्यक्रमों में। ऐसी सेवाओं की पर्याप्त संख्या हर में अलग-अलग संख्याओं के साथ अंशों के गुणन की गणना करने में उनकी मदद करती है - अंशों की गणना के लिए तथाकथित ऑनलाइन कैलकुलेटर। वे न केवल गुणा करने में सक्षम हैं, बल्कि साधारण अंशों के साथ अन्य सभी सरल अंकगणितीय संचालन करने में भी सक्षम हैं मिश्रित संख्या. इसके साथ काम करना मुश्किल नहीं है, साइट पेज पर संबंधित फ़ील्ड भरे हुए हैं, गणितीय क्रिया का संकेत चुना गया है और "गणना" दबाया गया है। कार्यक्रम स्वचालित रूप से गिना जाता है।

मध्यम और वरिष्ठ स्कूली बच्चों की शिक्षा के दौरान भिन्नात्मक संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं का विषय प्रासंगिक है। हाई स्कूल में, वे अब सबसे सरल प्रजातियों पर विचार नहीं कर रहे हैं, लेकिन पूर्णांक भिन्नात्मक व्यंजक, लेकिन पहले प्राप्त परिवर्तन और गणना के नियमों का ज्ञान अपने मूल रूप में लागू होता है। अच्छी तरह से सीखा हुआ बुनियादी ज्ञान सबसे जटिल कार्यों के सफल समाधान में पूर्ण विश्वास देता है।

अंत में, लियो टॉल्स्टॉय के शब्दों का हवाला देना समझ में आता है, जिन्होंने लिखा: "मनुष्य एक अंश है। अपने अंश - अपने गुणों को बढ़ाना मनुष्य की शक्ति में नहीं है, लेकिन कोई भी अपने हर - अपने बारे में राय को कम कर सकता है, और इस कमी से उसकी पूर्णता के करीब आ जाता है।