इस लेख में, हम देखेंगे बीजगणितीय अंशों के साथ बुनियादी संचालन:

• अंश में कमी
• भिन्नों का गुणन
• भिन्नों का विभाजन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं कटौती बीजीय भिन्न .

ऐसा लगेगा कि, कलन विधिज़ाहिर।

प्रति बीजीय भिन्नों को कम करें, जरुरत

1. भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड कीजिए।

2. समान गुणकों को कम करें।

हालांकि, स्कूली बच्चे अक्सर कारकों को नहीं, बल्कि शर्तों को "कम" करने की गलती करते हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे शौकिया हैं जो अंशों में "कम" करते हैं और परिणामस्वरूप प्राप्त करते हैं, जो निश्चित रूप से सच नहीं है।

उदाहरणों पर विचार करें:

1. अंश कम करें:

1. हम योग के वर्ग के सूत्र के अनुसार अंश और वर्गों के अंतर के सूत्र के अनुसार हर का गुणनखंड करते हैं

2. अंश और हर को से विभाजित करें

2. अंश कम करें:

1. अंश का गुणनखंड कीजिए। चूँकि अंश में चार पद होते हैं, इसलिए हम समूहीकरण लागू करते हैं।

2. हर का गुणनखंड करें। यही बात ग्रुपिंग पर भी लागू होती है।

3. आइए हम प्राप्त भिन्न को लिख लें और समान गुणनखंडों को घटा दें:

बीजीय भिन्नों का गुणन।

बीजीय भिन्नों को गुणा करते समय, हम अंश को अंश से गुणा करते हैं, और हम हर को हर से गुणा करते हैं।

महत्वपूर्ण!भिन्न के अंश और हर में गुणा करने के लिए जल्दबाजी करने की आवश्यकता नहीं है। अंश में भिन्नों के अंशों का गुणनफल और हर में हर के गुणनफल को लिखने के बाद, हमें प्रत्येक गुणनखंड को गुणनखंड करने और भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरणों पर विचार करें:

3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1. आइए भिन्नों का गुणनफल लिखें: अंश में अंशों का गुणनफल, और हर में हर का गुणनफल:

2. हम प्रत्येक ब्रैकेट को फैक्टर करते हैं:

अब हमें समान गुणकों को कम करने की आवश्यकता है। ध्यान दें कि भाव और केवल संकेत में भिन्न हैं: और पहली अभिव्यक्ति को दूसरे से विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हमें -1 मिलता है।

इसलिए,

हम निम्नलिखित नियम के अनुसार बीजीय भिन्नों का विभाजन करते हैं:

वह है एक भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको "उल्टे" से गुणा करना होगा।

हम देखते हैं कि भिन्नों का विभाजन गुणन में कम हो जाता है, और गुणन अंततः भिन्नों की कमी के लिए उबलता है।

एक उदाहरण पर विचार करें:

4. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

भिन्नों को कम करने के तरीके को समझने के लिए, आइए पहले एक उदाहरण देखें।

भिन्न को कम करने का अर्थ है अंश और हर को समान से भाग देना। 360 और 420 दोनों एक संख्या में समाप्त होते हैं, इसलिए हम इस भिन्न को 2 से कम कर सकते हैं। नई भिन्न में, 180 और 210 दोनों भी 2 से विभाज्य हैं, हम इस भिन्न को 2 से घटाते हैं। 90 और 105 की संख्या में, का योग अंक 3 से विभाज्य हैं, इसलिए ये दोनों संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं, हम भिन्न को 3 से कम करते हैं। नए अंश में, 30 और 35 के अंत में 0 और 5 होते हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं, इसलिए हम घटाते हैं 5 से भिन्न। परिणामी भिन्न, छह सातवां भाग, इरेड्यूसेबल है। यह अंतिम उत्तर है।

हम एक ही उत्तर पर दूसरे तरीके से पहुंच सकते हैं।

360 और 420 दोनों शून्य में समाप्त होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे 10 से विभाज्य हैं। हम भिन्न को 10 से कम करते हैं। नए अंश में, अंश 36 और हर 42 दोनों को 2 से विभाजित किया जाता है। हम भिन्न को 2 से कम करते हैं। अगला अंश, अंश 18 और हर 21 दोनों को 3 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि हम भिन्न को 3 से कम करते हैं। हम परिणाम पर आए - छह सातवें।

और एक और उपाय।

अगली बार हम भिन्नों के अपचयन के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

यह लेख बीजीय अंशों के परिवर्तन के विषय को जारी रखता है: इस तरह की क्रिया को बीजीय अंशों में कमी के रूप में देखें। आइए स्वयं शब्द को परिभाषित करें, संक्षिप्त नाम नियम तैयार करें और व्यावहारिक उदाहरणों का विश्लेषण करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

बीजीय भिन्न का अर्थ

साधारण अंश पर सामग्री में, हमने इसकी कमी पर विचार किया। हमने एक उभयनिष्ठ भिन्न की कमी को उसके अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया है।

बीजगणितीय अंश को कम करना एक समान ऑपरेशन है।

परिभाषा 1

बीजीय अंश में कमीएक सामान्य कारक द्वारा इसके अंश और हर का विभाजन है। इस मामले में, एक साधारण अंश (केवल एक संख्या एक सामान्य हर हो सकती है) की कमी के विपरीत, एक बहुपद, विशेष रूप से, एक मोनोमियल या संख्या, बीजीय अंश के अंश और हर के लिए एक सामान्य कारक के रूप में कार्य कर सकता है।

उदाहरण के लिए, बीजगणितीय भिन्न 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 को संख्या 3 से घटाया जा सकता है, परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. हम उसी भिन्न को चर x से घटा सकते हैं, और इससे हमें व्यंजक 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 प्राप्त होगा। किसी दिए गए भिन्न को एकपदी से घटाना भी संभव है 3 एक्सया कोई भी बहुपद एक्स + 2 वाई, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y या 3 एक्स 2 + 6 एक्स वाई।

बीजीय अंश को कम करने का अंतिम लक्ष्य एक सरल रूप का एक अंश है, सबसे अच्छा एक अपरिवर्तनीय अंश है।

क्या सभी बीजीय भिन्नों में कमी की जा सकती है?

फिर से, साधारण भिन्नों की सामग्री से, हम जानते हैं कि रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस हैं। इरेड्यूसिबल - ये वे भिन्न हैं जिनमें 1 के अलावा अंश और हर के सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

बीजीय भिन्नों के साथ, सब कुछ समान है: उनके अंश और हर के सामान्य गुणनखंड हो भी सकते हैं और नहीं भी। सामान्य कारकों की उपस्थिति आपको कमी के माध्यम से मूल अंश को सरल बनाने की अनुमति देती है। जब कोई सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो कमी विधि द्वारा दिए गए अंश को अनुकूलित करना असंभव है।

सामान्य मामलों में, किसी दिए गए प्रकार के भिन्न के लिए, यह समझना काफी कठिन है कि क्या यह कमी के अधीन है। बेशक, कुछ मामलों में अंश और हर के एक सामान्य कारक की उपस्थिति स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, बीजीय भिन्न 3 · x 2 3 · y में यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य गुणनखंड संख्या 3 है।

एक भिन्न में - x · y 5 · x · y · z 3 हम यह भी तुरंत समझ जाते हैं कि इसे x, या y, या x · y से घटाना संभव है। और फिर भी, बीजीय अंशों के उदाहरण बहुत अधिक सामान्य हैं, जब अंश और हर का सामान्य कारक देखना इतना आसान नहीं है, और इससे भी अधिक बार - यह बस अनुपस्थित है।

उदाहरण के लिए, हम भिन्न x 3 - 1 x 2 - 1 को x - 1 से कम कर सकते हैं, जबकि निर्दिष्ट सामान्य कारक रिकॉर्ड में नहीं है। लेकिन भिन्न x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 को कम नहीं किया जा सकता, क्योंकि अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड नहीं होता है।

इस प्रकार, बीजगणितीय अंश की सिकुड़न का पता लगाने का प्रश्न इतना सरल नहीं है, और यह पता लगाने की कोशिश करने की तुलना में कि क्या यह संविदात्मक है, किसी दिए गए रूप के अंश के साथ काम करना अक्सर आसान होता है। इस मामले में, ऐसे परिवर्तन होते हैं जो विशेष मामलों में हमें अंश और हर के सामान्य कारक को निर्धारित करने या यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि भिन्न अपरिवर्तनीय है। हम लेख के अगले पैराग्राफ में इस मुद्दे का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

बीजीय भिन्न में कमी का नियम

बीजीय भिन्न में कमी का नियमलगातार दो चरणों के होते हैं:

• अंश और हर के सामान्य गुणनखंड ज्ञात करना;
• ऐसा खोजने के मामले में, अंश को कम करने की सीधी कार्रवाई का कार्यान्वयन।

उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने का सबसे सुविधाजनक तरीका किसी दिए गए बीजीय भिन्न के अंश और हर में मौजूद बहुपदों का गुणनखंड करना है। यह आपको सामान्य कारकों की उपस्थिति या अनुपस्थिति को तुरंत देखने की अनुमति देता है।

एक बीजीय अंश को कम करने की क्रिया एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति पर आधारित होती है, जिसे समानता अपरिभाषित द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां ए, बी, सी कुछ बहुपद हैं, और बी और सी गैर-शून्य हैं। पहला कदम भिन्न को a c b c के रूप में कम करना है, जिसमें हम तुरंत सामान्य कारक c को नोटिस करते हैं। दूसरा चरण कमी करना है, अर्थात। फॉर्म a b के एक अंश में संक्रमण।

विशिष्ट उदाहरण

कुछ स्पष्टता के बावजूद, आइए विशेष मामले के बारे में स्पष्ट करें जब एक बीजीय अंश के अंश और हर बराबर होते हैं। समान भिन्न इस भिन्न के चरों के संपूर्ण ODZ पर समान रूप से 1 के बराबर होते हैं:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; एक्स एक्स = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

क्यों कि सामान्य भिन्नबीजगणितीय भिन्नों का एक विशेष मामला है, आइए याद करें कि उनकी कमी कैसे की जाती है। अंश और हर में लिखी गई प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर सार्व गुणनखंड कम हो जाते हैं (यदि कोई हो)।

उदाहरण के लिए, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

साधारण समान कारकों के उत्पाद को डिग्री के रूप में लिखा जा सकता है, और अंश में कमी की प्रक्रिया में, समान आधारों के साथ अंशों को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग करें। तो उपरोक्त समाधान होगा:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित किया जाता है 2 2 3) या, स्पष्टता के लिए, गुणा और भाग के गुणों के आधार पर, हम समाधान को निम्नलिखित रूप देंगे:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

सादृश्य द्वारा, बीजीय अंशों को घटाया जाता है, जिसमें अंश और हर में पूर्णांक गुणांक वाले एकपदी होते हैं।

उदाहरण 1

एक बीजीय भिन्न दिया गया है - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z । इसे कम करने की जरूरत है।

समाधान

किसी दिए गए भिन्न के अंश और हर को गुणनफल के रूप में लिखना संभव है प्रधान कारणऔर चर, और फिर कम करें:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

हालांकि, समाधान को शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के रूप में लिखने का एक और तर्कसंगत तरीका होगा:

27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 ए 5 बी 2 सी जेड 2 3 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 2 3 ए 5 ए 2 बी 2 बी 2 सी सी 7 जेड जेड = = - 3 3 - 1 2 ए 5 - 2 1 1 1 सी 7 - 1 1 = - 3 2 ए 3 2 सी 6 = - 9 ए 3 2 सी 6।

उत्तर:- 27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 9 ए 3 2 सी 6

जब किसी बीजीय भिन्न के अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक होते हैं, तो आगे की क्रियाओं के दो संभावित तरीके होते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग-अलग विभाजित करें, या पहले अंश और हर को कुछ से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। प्राकृतिक संख्या. अंतिम परिवर्तन एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति के कारण किया जाता है (आप इसके बारे में "एक नए भाजक के लिए एक बीजीय अंश को कम करना" लेख में पढ़ सकते हैं)।

उदाहरण 2

भिन्न 2 5 x 0 , 3 x 3 दिया गया है। इसे कम करने की जरूरत है।

समाधान

इस तरह से अंश को कम करना संभव है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

आइए पहले भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के बाद समस्या को अलग तरीके से हल करने का प्रयास करें - हम इन गुणांकों के हर के कम से कम सामान्य गुणक द्वारा अंश और हर को गुणा करते हैं, अर्थात। प्रति एलसीएम(5, 10) = 10. तब हमें मिलता है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2।

उत्तर: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

जब हम बीजीय भिन्नों को घटाते हैं सामान्य दृष्टि से, जिसमें अंश और हर एकपदी और बहुपद दोनों हो सकते हैं, एक समस्या संभव है जब सामान्य कारक हमेशा तुरंत दिखाई नहीं देता है। या इससे भी अधिक, यह बस मौजूद नहीं है। फिर, सामान्य कारक निर्धारित करने या इसकी अनुपस्थिति के तथ्य को ठीक करने के लिए, बीजीय अंश के अंश और हर को गुणनखंडित किया जाता है।

उदाहरण 3

एक परिमेय भिन्न 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 दिया गया है। इसे छोटा करने की जरूरत है।

समाधान

आइए हम अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करें। आइए कोष्ठक करते हैं:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49)

हम देखते हैं कि कोष्ठक में व्यंजक को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:

2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7)

यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक सामान्य कारक द्वारा भिन्न को कम करना संभव है बी 2 (ए + 7). आइए एक कमी करें:

2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

हम समानता की श्रृंखला के रूप में स्पष्टीकरण के बिना एक संक्षिप्त समाधान लिखते हैं:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

उत्तर: 2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी।

ऐसा होता है कि सामान्य कारक संख्यात्मक गुणांक द्वारा छिपे होते हैं। फिर, अंशों को कम करते समय, अंश और हर की उच्च शक्तियों पर संख्यात्मक कारकों को निकालना इष्टतम होता है।

उदाहरण 4

एक बीजीय भिन्न 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 दिया गया है। हो सके तो इसे कम करना चाहिए।

समाधान

पहली नज़र में, अंश और हर में एक समान भाजक नहीं होता है। हालांकि, आइए दिए गए भिन्न को बदलने का प्रयास करें। आइए अंश में से गुणनखंड x निकालें:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

अब आप x 2 y के कारण कोष्ठक में दिए गए व्यंजक और हर के व्यंजक में कुछ समानता देख सकते हैं . आइए हम इन बहुपदों की उच्च घातों पर संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = - 2 7 x - 7 10 + एक्स 2 वाई 5 एक्स 2 वाई - 7 10

अब उभयनिष्ठ गुणक दिखाई देता है, हम कटौती करते हैं:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

उत्तर: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x।

आइए हम इस बात पर जोर दें कि परिमेय भिन्नों को कम करने का कौशल बहुपदों को गुणनखंड करने की क्षमता पर निर्भर करता है।

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पिछली बार हमने एक योजना बनाई थी, जिसके बाद आप सीख सकते हैं कि भिन्नों को जल्दी से कैसे कम किया जाए। अब भिन्न में कमी के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

हम जाँचते हैं कि क्या बड़ी संख्या छोटी संख्या से विभाज्य है (अंश से हर या हर से अंश)? हाँ, इन तीनों उदाहरणों में, बड़ी संख्या छोटी संख्या से विभाज्य होती है। इस प्रकार, हम प्रत्येक भिन्न को छोटी संख्याओं (अंश या हर द्वारा) से घटाते हैं। हमारे पास है:

जांचें कि क्या बड़ी संख्या छोटी संख्या से विभाज्य है? नहीं, यह साझा नहीं करता है।

फिर हम अगले बिंदु की जाँच करने के लिए आगे बढ़ते हैं: क्या अंश और हर दोनों का रिकॉर्ड एक, दो या अधिक शून्य पर समाप्त होता है? पहले उदाहरण में, अंश और हर शून्य के साथ समाप्त होते हैं, दूसरे में - दो शून्य के साथ, तीसरे में - तीन शून्य के साथ। इसलिए, हम पहली भिन्न को 10 से, दूसरे को 100 से और तीसरे को 1000 से घटाते हैं:

अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त करें।

एक बड़ी संख्या छोटी संख्या से विभाज्य नहीं होती है, संख्याओं का रिकॉर्ड शून्य पर समाप्त नहीं होता है।

अब हम जाँचते हैं कि क्या गुणन सारणी में अंश और हर एक ही कॉलम में हैं? 36 और 81 दोनों 9, 28 और 63 - 7 से और 32 और 40 - 8 से विभाज्य हैं (वे भी 4 से विभाज्य हैं, लेकिन अगर कोई विकल्प है, तो हम हमेशा अधिक से कम करेंगे)। इस प्रकार, हम उत्तरों पर पहुँचते हैं:

सभी परिणामी संख्याएँ इरेड्यूसबल भिन्न हैं।

बड़ी संख्या छोटी संख्या से विभाज्य नहीं होती है। लेकिन अंश और हर दोनों का रिकॉर्ड शून्य में समाप्त होता है। इसलिए, हम भिन्न को 10 से घटाते हैं:

यह अंश अभी भी कम किया जा सकता है। हम गुणन तालिका के अनुसार जाँच करते हैं: 48 और 72 दोनों को 8 से विभाजित किया जाता है। हम भिन्न को 8 से कम करते हैं:

हम परिणामी भिन्न को 3 से भी कम कर सकते हैं:

यह अंश अपूरणीय है।

बड़ी संख्या छोटी संख्या से विभाज्य नहीं होती है। अंश और हर का रिकॉर्ड शून्य में समाप्त होता है इसलिए, हम भिन्न को 10 से कम करते हैं।

हम अंश और हर में और के लिए प्राप्त संख्याओं की जाँच करते हैं। चूंकि 27 और 531 दोनों के अंकों का योग 3 और 9 से विभाज्य है, इसलिए इस भिन्न को 3 और 9 दोनों से घटाया जा सकता है। हम बड़े वाले को चुनते हैं और 9 से घटाते हैं। परिणाम एक अघुलनशील भिन्न है।

पहली नज़र में, बीजीय भिन्न बहुत जटिल लगते हैं, और एक अप्रस्तुत छात्र सोच सकता है कि उनके साथ कुछ भी करना असंभव है। चरों, संख्याओं और यहां तक ​​कि शक्तियों का जमा होना भय को प्रेरित करता है। हालांकि, भिन्नों (जैसे 15/25) और बीजीय भिन्नों को कम करने के लिए समान नियमों का उपयोग किया जाता है।

कदम

अंश में कमी

के लिए चरणों की जाँच करें साधारण भिन्न. साधारण और बीजीय भिन्नों के साथ संक्रियाएँ समान होती हैं। उदाहरण के लिए, अंश 15/35 लें। इस भिन्न को सरल बनाने के लिए, पाना सामान्य भाजक . दोनों संख्याएँ पाँच से विभाज्य हैं, इसलिए हम अंश और हर में 5 निकाल सकते हैं:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

अब आप कर सकते हैं सामान्य कारकों को कम करेंयानी अंश और हर में 5 को काट दें। नतीजतन, हमें एक सरलीकृत अंश मिलता है 3/7 . बीजीय व्यंजकों में, सामान्य गुणनखंडों को उसी तरह पहचाना जाता है जैसे सामान्य गुणनखंडों में। पिछले उदाहरण में, हम आसानी से 15 में से 5 निकालने में सक्षम थे - यही सिद्धांत 15x - 5 जैसे अधिक जटिल अभिव्यक्तियों पर लागू होता है। आइए सामान्य कारक खोजें। पर ये मामलायह 5 होगा, क्योंकि दोनों पद (15x और -5) 5 से विभाज्य हैं। पहले की तरह, हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं बांई ओर.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

यह जाँचने के लिए कि क्या सब कुछ सही है, कोष्ठक में अभिव्यक्ति को 5 से गुणा करना पर्याप्त है - परिणाम वही संख्याएँ होंगी जो पहले थीं। यौगिक सदस्यसाधारण लोगों की तरह ही पहचाना जा सकता है। बीजीय भिन्नों के लिए, सामान्य भिन्नों के समान ही सिद्धांत लागू होते हैं। अंश को कम करने का यह सबसे आसान तरीका है। निम्नलिखित अंश पर विचार करें:

(एक्स+2)(एक्स-3)(एक्स+2)(एक्स+10)

ध्यान दें कि अंश (ऊपर) और हर (नीचे) दोनों में एक पद (x+2) है, इसलिए इसे उसी तरह से घटाया जा सकता है जैसे 15/35 में सामान्य कारक 5:

(एक्स+2) (एक्स-3) → (एक्स-3)(एक्स+2) (एक्स+10) → (एक्स+10)

परिणामस्वरूप, हमें एक सरलीकृत व्यंजक मिलता है: (x-3)/(x+10)

बीजीय भिन्नों की कमी

अंश के शीर्ष पर, अंश में सामान्य कारक खोजें। बीजगणितीय अंश को कम करते समय, पहला कदम इसके दोनों भागों को सरल बनाना है। अंश से शुरू करें और इसे यथासंभव अधिक से अधिक में विघटित करने का प्रयास करें अधिकगुणक। इस खंड में निम्नलिखित भिन्न पर विचार करें:

9x-3 15x+6

आइए अंश से शुरू करें: 9x - 3. 9x और -3 के लिए, सामान्य कारक संख्या 3 है। आइए 3 कोष्ठकों में से लें, जैसा कि हम साधारण संख्याओं के साथ करते हैं: 3 * (3x-1)। इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित अंश प्राप्त होंगे:

3(3x-1) 15x+6

अंश में उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए। आइए उपरोक्त उदाहरण का निष्पादन जारी रखें और हर को लिखें: 15x+6। पहले की तरह, हम पाते हैं कि दोनों भाग किस संख्या से विभाज्य हैं। और इस स्थिति में उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है, इसलिए हम लिख सकते हैं: 3 * (5x +2)। आइए भिन्न को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें:

3(3x-1) 3(5x+2)

समान शर्तों को कम करें। इस चरण में, आप भिन्न को सरल बना सकते हैं। अंश और हर में समान पदों को रद्द करें। हमारे उदाहरण में, यह संख्या 3 है।

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

निर्धारित करें कि भिन्न का सबसे सरल रूप है। एक अंश पूरी तरह से सरल हो जाता है जब अंश और हर में कोई सामान्य कारक नहीं रहता है। ध्यान दें कि आप उन शब्दों को संक्षिप्त नहीं कर सकते जो कोष्ठक के अंदर हैं - उपरोक्त उदाहरण में, 3x और 5x से x निकालने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि (3x -1) और (5x + 2) पूर्ण सदस्य हैं। इस प्रकार, भिन्न अधिक सरलीकरण के लिए उत्तरदायी नहीं है, और अंतिम उत्तर इस प्रकार है:

(3x-1)(5x+2)

भिन्नों को स्वयं कम करने का अभ्यास करें। सबसे अच्छा तरीकाविधि सीखें समस्याओं को स्वतंत्र रूप से हल करना है। उदाहरणों के नीचे सही उत्तर दिए गए हैं।

4(x+2)(x-13)(4x+8)

उत्तर:(एक्स = 13)

2x 2-x 5x

उत्तर:(2x-1)/5

विशेष चालें

भिन्न में से ऋणात्मक चिह्न को हटा दें। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित भिन्न दिया गया है:

3(x-4) 5(4x)

ध्यान दें कि (x-4) और (4-x) "लगभग" समान हैं, लेकिन उन्हें एकमुश्त रद्द नहीं किया जा सकता क्योंकि वे "फ़्लिप" हैं। हालाँकि, (x - 4) को -1 * (4 - x) के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे (4 + 2x) को 2 * (2 + x) के रूप में लिखा जा सकता है। इसे "साइन रिवर्सल" कहा जाता है।

-1*3(4-x) 5(4x)

अब आप समान पदों को कम कर सकते हैं (4-x):

-1 * 3 (4-एक्स) 5 (4x)

तो यहाँ अंतिम उत्तर है: -3/5 . वर्गों के अंतर को पहचानना सीखें। वर्गों का अंतर तब होता है जब एक संख्या का वर्ग दूसरी संख्या के वर्ग से घटाया जाता है, जैसा कि व्यंजक (a 2 - b 2) में है। अंतर पूर्ण वर्गहमेशा दो भागों में विघटित किया जा सकता है - संगत का योग और अंतर वर्गमूल. तब अभिव्यक्ति निम्नलिखित रूप लेगी:

ए 2 - बी 2 = (ए + बी) (ए-बी)

बीजीय भिन्नों में सामान्य शब्दों की खोज करते समय यह ट्रिक बहुत उपयोगी है।

• जाँच करें कि क्या आपने इस या उस व्यंजक का सही-सही गुणनखण्ड किया है। ऐसा करने के लिए, कारकों को गुणा करें - परिणाम समान अभिव्यक्ति होना चाहिए।
• किसी भिन्न को पूरी तरह से सरल बनाने के लिए, हमेशा सबसे बड़े गुणनखंडों का चयन करें।