Характеристики на DSW и техните свойства. Математическо очакване, дисперсия, стандартно отклонение
Законът за разпределение напълно характеризира случайната променлива. Въпреки това, когато е невъзможно да се намери законът за разпределение или това не се изисква, човек може да се ограничи до намирането на стойности, наречени числени характеристики на случайна променлива. Тези стойности определят някаква средна стойност, около която се групират стойностите на случайна променлива, и степента на тяхната дисперсия около тази средна стойност.
математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и техните вероятности.
Математическото очакване съществува, ако редицата от дясната страна на равенството се сближава абсолютно.
По отношение на вероятността можем да кажем това очаквана стойностприблизително равна на средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива.
Пример. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е известен. Намерете математическото очакване.
| х | ||||
| стр | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение:
9.2 Свойства на очакванията
1. Математическо очакване постоянна стойностравен на най-постоянния.
2. Константен фактор може да бъде изваден от знака за очакване.
3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.
Това свойство е валидно за произволен брой случайни променливи.
4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.
Това свойство е вярно и за произволен брой случайни променливи.
Нека се извършат n независими опита, вероятността за настъпване на събитие А, в които е равна на p.
Теорема.Математическото очакване M(X) на броя на случванията на събитие А в n независими опити е равно на произведението от броя на опитите и вероятността за възникване на събитието във всеки опит.
Пример. Намерете математическото очакване на случайна променлива Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Решение:
9.3 Дисперсия на дискретна случайна променлива
Математическото очакване обаче не може напълно да характеризира случаен процес. В допълнение към математическото очакване трябва да въведете стойност, която характеризира отклонението на стойностите на случайна променлива от математическото очакване.
Това отклонение е равно на разликата между случайната променлива и нейното математическо очакване. В този случай математическото очакване на отклонението е нула. Това се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, други са отрицателни и в резултат на взаимното им премахване се получава нула.
Дисперсия (разпръскване)Дискретна случайна променлива се нарича математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване.
На практика този метод за изчисляване на дисперсията е неудобен, т.к води до тромави изчисления за голям брой стойности на случайна променлива.
Затова се използва друг метод.
Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване.
Доказателство. Като вземем предвид факта, че математическото очакване M (X) и квадратът на математическото очакване M 2 (X) са постоянни стойности, можем да запишем:
Пример. Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива, дадена от закона за разпределение.
| х | ||||
| X 2 | ||||
| Р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение: .
9.4 Дисперсионни свойства
1. Дисперсията на постоянна стойност е нула. .
2. Константен фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат. .
3. Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .
4. Дисперсията на разликата на две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .
Теорема. Дисперсията на броя на случванията на събитие А в n независими опита, при всяко от които вероятността p за възникване на събитието е постоянна, е равна на произведението на броя опити и вероятностите за възникване и невъзникване на събитието във всеки процес.
9.5 Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива
Стандартно отклонениеслучайната променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията.
Теорема. Средното квадратично отклонение на сумата от краен брой взаимно независими случайни променливи е корен квадратенот сумата на квадратите на стандартните отклонения на тези величини.
Енциклопедичен YouTube
1 / 5
✪ Математическо очакване и дисперсия - bezbotvy
✪ Теория на вероятностите 15: Математическо очакване
✪ Математическо очакване
✪ Математическо очакване и дисперсия. Теория
✪ Математическо очакване в търговията
субтитри
Определение
Нека е дадено вероятностно пространство (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))и произволната стойност, дефинирана върху него X (\displaystyle X). Това е, по дефиниция, X: Ω → R (\displaystyle X\колон \Omega \to \mathbb (R) )е измерима функция. Ако съществува интеграл на Лебег от X (\displaystyle X)по пространство Ω (\displaystyle \Omega ), тогава се нарича математическо очакване или средна (очаквана) стойност и се обозначава M [ X ] (\displaystyle M[X])или E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).
M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega).)Основни формули за математическо очакване
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).
Математическо очакване на дискретно разпределение
P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1 )^(\infty )p_(i)=1),тогава пряко следва от дефиницията на интеграла на Лебег, че
M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).Математическо очакване на цяло число
P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)тогава неговото математическо очакване може да бъде изразено по отношение на генериращата функция на последователността ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))
P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))като стойността на първата производна при единица: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). Ако математическото очакване X (\displaystyle X)безкрайно тогава lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty )и ще пишем P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty )
Сега нека вземем генериращата функция Q (s) (\displaystyle Q(s))последователности от "опашки" на разпределението ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))
q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)Тази генерираща функция е свързана с предварително дефинираната функция P (s) (\displaystyle P(s))Имот: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))при | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . От това, съгласно теоремата за средната стойност, следва, че математическото очакване е просто равно на стойността на тази функция при единица:
M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1))Математическото очакване на абсолютно непрекъснато разпределение
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f X (x) d x (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!xf_(X)(x)\,dx ).Математическо очакване на случаен вектор
Позволявам X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( R) ^(n))е случаен вектор. Тогава по дефиниция
M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\displaystyle M[X]=(M,\dots ,M)^(\top )),т.е. математическото очакване на вектор се определя компонент по компонент.
Математическо очакване на трансформацията на случайна величина
Позволявам g: R → R (\displaystyle g\колон \mathbb (R) \to \mathbb (R) )е функция на Борел, така че случайната променлива Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X))има ограничено математическо очакване. Тогава за него е валидна формулата:
M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_(i )),ако X (\displaystyle X)има дискретно разпределение;
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) d x (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x) f_(X)(x)\,dx),ако X (\displaystyle X)има абсолютно непрекъснато разпределение.
Ако разпределението P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X))случайна величина X (\displaystyle X)обща форма, тогава
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\, \mathbb (P) ^(X)(dx)).В специалния случай, когато g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), Очаквана стойност M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M\left=M)Наречен k (\displaystyle k)-ти момент на случайната променлива.
Най-простите свойства на математическото очакване
- Математическото очакване на едно число е самото число.
- Математическото очакване е линейно, т.е
1. Математическото очакване на константна стойност е равно на самата константа M(S)=S
.
2. Константен фактор може да бъде изваден от знака за очакване: M(CX)=CM(X)
3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Теорема. Математическото очакване M(x) на броя на случванията на събития A в n независими опити е равно на произведението на тези опити по вероятността за възникване на събития във всеки опит: M(x) = np.
Позволявам х е случайна променлива и M(X) е неговото математическо очакване. Разгледайте разликата като нова случайна променлива X - M(X).
Отклонението е разликата между случайна променлива и нейното математическо очакване.
Отклонението има следния закон на разпределение:
Решение: Намерете математическото очакване:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Нека напишем закона за разпределение на квадратното отклонение:
Решение: Намерете очакването M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Нека напишем закона за разпределение на случайната променлива X 2
| x2 | |||
| П | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Нека намерим математическото очакване M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Желаната дисперсия D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05
Дисперсионни свойства:
1. Дисперсия на постоянна стойност ОТ
е равно на нула: D(C)=0
2. Константен фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението от броя на опитите и вероятността за настъпване и ненастъпване на събитие в един опит D(X)=npq
За да се оцени дисперсията на възможните стойности на случайна променлива около нейната средна стойност, в допълнение към дисперсията, служат и някои други характеристики. Сред тях е стандартното отклонение.
Стандартното отклонение на случайна променлива хнаречен корен квадратен от дисперсията:
σ(X) = √D(X) (4)
Пример. Случайната променлива X е дадена от закона за разпределение
| х | |||
| П | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Намерете стандартното отклонение σ(x)
Решение: Намерете математическото очакване X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Нека намерим математическото очакване на X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Намерете дисперсията: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Желано стандартно отклонение σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Теорема. Стандартното отклонение на сумата от краен брой взаимно независими случайни променливи е равно на корен квадратен от сумата на квадратните стандартни отклонения на тези променливи:
Пример. На рафт с 6 книги има 3 книги по математика и 3 по физика. На случаен принцип се избират три книги. Намерете закона за разпределение на броя на книгите по математика между избраните книги. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.
Математическото очакване е определението
Мат чака еедно от най-важните понятия в математическата статистика и теорията на вероятностите, характеризиращо разпределението на стойностите или вероятностислучайна величина. Обикновено се изразява като среднопретеглена стойност на всички възможни параметри на случайна променлива. Той се използва широко в техническия анализ, изследването на числови серии, изследването на непрекъснати и дългосрочни процеси. Той е важен при оценката на рисковете, прогнозирането на ценовите индикатори при търговия на финансови пазари и се използва при разработването на стратегии и методи на игрови тактики в теория на хазарта.
Чакане на мат- това есредна стойност на случайна величина, разпределение вероятностислучайната променлива се разглежда в теорията на вероятностите.
Мат чака емярка за средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Математическо очакване на случайна променлива хозначено M(x).
Математическо очакване (средно население) е
Мат чака е
Мат чака ев теорията на вероятностите, среднопретеглената стойност на всички възможни стойности, които тази случайна променлива може да приеме.
Мат чака есумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива от вероятностите на тези стойности.
Математическо очакване (средно население) е
Мат чака есредната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и голямото разстояние.
Мат чака ев теорията на хазарта, размерът на печалбите, които спекулантът може да спечели или загуби средно за всеки залог. На езика на хазарта спекулантитова понякога се нарича „предимство спекулант” (ако е положителен за спекуланта) или „предимство на къщата” (ако е отрицателен за спекуланта).
Математическо очакване (средно население) е
Мат чака епечалба на победа, умножена по средната печалба, минус загубата, умножена по средната загуба.
Математическо очакване на случайна променлива в математическата теория
Една от важните числени характеристики на случайна променлива е очакването. Нека въведем концепцията за система от случайни променливи. Помислете за набор от случайни променливи, които са резултатите от един и същ случаен експеримент. Ако е една от възможните стойности на системата, тогава събитието съответства на определена вероятност, която удовлетворява аксиомите на Колмогоров. Функция, дефинирана за всякакви възможни стойности на случайни променливи, се нарича съвместен закон за разпределение. Тази функция ви позволява да изчислявате вероятностите за всякакви събития от. По-специално съвместно законразпределение на случайни променливи и, които приемат стойности от множеството и, се дава от вероятности.
Терминът „мат. очакване” е въведено от Пиер Симон Маркиз дьо Лаплас (1795) и произхожда от концепцията за „очакваната стойност на изплащането”, която за първи път се появява през 17 век в теорията на хазарта в трудовете на Блез Паскал и Кристиан Хюйгенс. Въпреки това, първото цялостно теоретично разбиране и оценка на това понятие е дадено от Пафнутий Лвович Чебишев (средата на 19 век).
законразпределенията на случайни числови променливи (функция на разпределение и ред на разпределение или плътност на вероятността) напълно описват поведението на случайна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да знаете някои числени характеристики на изследваната величина (например нейната средна стойност и възможно отклонение от нея), за да отговорите на поставения въпрос. Основните числени характеристики на случайните променливи са очакване, дисперсия, мода и медиана.
Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на нейните възможни стойности и съответните им вероятности. Понякога мат. очакването се нарича среднопретеглена, тъй като е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива за голям брой експерименти. От дефиницията на подложката за очакване следва, че неговата стойност е не по-малка от най-малката възможна стойност на случайна променлива и не по-голяма от най-голямата. Математическото очакване на случайна променлива е неслучайна (постоянна) променлива.
Математическото очакване има просто физическо значение: ако единица маса е поставена на права линия, поставянето на някаква маса в някои точки (за дискретно разпределение), или го „намажете“ с определена плътност (за абсолютно непрекъснато разпределение), тогава точката, съответстваща на очакването, ще бъде координатата на „центъра на тежестта“ на правата линия.
Средната стойност на случайна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в груби приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удара е изместена спрямо целта с 2 m надясно“, ние обозначаваме с това определена числена характеристика на случайна променлива, която описва нейната местоположение на числовата ос, т.е. описание на позицията.
От характеристиките на ситуацията в теорията на вероятностите най-важна роля играе очакването на случайна променлива, която понякога се нарича просто средна стойност на случайна променлива.
Помислете за случайна променлива х, който има възможни стойности x1, x2, …, xnс вероятности p1, p2, …, pn. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на случайната променлива по оста x с като се вземат предвидче тези стойности имат различни вероятности. За целта е естествено да се използва т. нар. "среднопретеглена" на стойностите xi, и всяка стойност xi по време на осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло“, пропорционално на вероятността за тази стойност. Така ще изчислим средната стойност на случайната променлива х, което ще обозначим M|X|:
Това претеглено средно се нарича мат очакване на случайната променлива. Така ние въведохме в разглеждането едно от най-важните понятия на теорията на вероятностите - понятието мат. очаквания. Мат. Очакването на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.
Мат. очакване на случайна променлива хпоради особена зависимост от средноаритметичното на наблюдаваните стойности на случайна променлива с голям брой експерименти. Тази зависимост е от същия тип като зависимостта между честота и вероятност, а именно: при голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се приближава (конвергира по вероятност) към нейната мат. очакване. От наличието на връзка между честотата и вероятността може да се изведе като следствие съществуването на подобна връзка между средното аритметично и математическото очакване. Наистина, помислете за случайна променлива х, характеризиращ се с поредица от разпределения:
Нека се произвежда ннезависими експерименти, във всеки от които стойността хприема определена стойност. Да предположим, че стойността x1се появи m1пъти, стойност x2се появи м2пъти, общо значение xiсе появява ми пъти. Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на X, които, за разлика от очакванията, M|X|ще обозначим M*|X|:
С увеличаване на броя на експериментите нчестоти пище се доближи (сближи по вероятност) съответните вероятности. Следователно, средното аритметично на наблюдаваните стойности на случайната променлива M|X|с увеличаване на броя на експериментите, той ще се доближи (сближи по вероятност) до своето очакване. Формулираната по-горе връзка между средноаритметичната стойност и мат. очакването е съдържанието на една от формите на закона за големите числа.
Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че определени средни стойности са стабилни за голям брой експерименти. Тук говорим за стабилност на средноаритметичното от поредица от наблюдения на една и съща стойност. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на техните резултати е случайна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става "почти неслучаен" и, стабилизирайки се, се доближава до постоянна стойност - мат. очакване.
Свойството за стабилност на средните за голям брой експерименти е лесно да се провери експериментално. Например, претегляйки всяко тяло в лабораторията на точни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; за да намалим грешката на наблюдение, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средноаритметичната стойност реагира на това увеличение все по-малко и с достатъчно голям брой експерименти на практика престава да се променя.
Трябва да се отбележи, че най-важната характеристика на позицията на случайна променлива е мат. очакване – не съществува за всички случайни величини. Възможно е да се направят примери за такива случайни величини, за които мат. няма очакване, тъй като съответната сума или интеграл се разминават. За практиката обаче подобни случаи не представляват значителен интерес. Обикновено случайните променливи, с които имаме работа, имат ограничен диапазон от възможни стойности и, разбира се, имат матово очакване.
В допълнение към най-важната характеристика на позицията на случайна променлива - очакваната стойност - на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално модата и медианата на случайната променлива.
Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът „най-вероятна стойност“, строго погледнато, се прилага само за прекъснати количества; за непрекъснато количество режимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Фигурите показват режима съответно за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.
Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича "полимодално".
Понякога има разпределения, които имат по средата не максимум, а минимум. Такива разпределения се наричат "антимодални".
В общия случай модата и очакването на една случайна величина не съвпадат. В специалния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има режим) и има мат. очакване, то съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.
Често се използва и друга характеристика на позицията - т. нар. медиана на случайна величина. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде формално дефинирана и за прекъсната променлива. Геометрично, медианата е абсцисата на точката, в която областта, ограничена от кривата на разпределение, се разделя на две.
В случай на симетрично модално разпределение медианата съвпада с мат. очакване и мода.
Математическо очакване е средна стойност, случайна променлива - числена характеристика на вероятностното разпределение на случайна променлива. Най-общо, матовото очакване на случайна променлива X(w)се определя като интеграл на Лебег по отношение на вероятностната мярка Рв първоначалното вероятностно пространство:
Мат. очакването може също да се изчисли като интеграл на Лебег от хчрез разпределение на вероятностите pxколичества х:
По естествен начин може да се дефинира концепцията за случайна променлива с безкрайно очакване. Типичен пример са времената за репатриране при някои случайни разходки.
С помощта на мат. очакванията се определят от много числени и функционални характеристики на разпределението (като математическото очакване на съответните функции на случайна променлива), например генерираща функция, характеристична функция, моменти от всякакъв ред, по-специално дисперсия, ковариация.
Математическо очакване (средно население) е
Математическото очакване е характеристика на местоположението на стойностите на случайна променлива (средната стойност на нейното разпределение). В това си качество математическото очакване служи като някакъв "типичен" параметър на разпределението и неговата роля е подобна на ролята на статичния момент - координатата на центъра на тежестта на разпределението на масата - в механиката. От другите характеристики на местоположението, с помощта на които разпределението се описва в общи термини - медиани, моди, очакването се различава по по-голямата стойност, която то и съответната характеристика на разсейване - дисперсия - имат в граничните теореми на теорията на вероятностите. С най-голяма пълнота значението на очакванията се разкрива от закона за големите числа (неравенството на Чебишев) и засиления закон за големите числа.
Математическо очакване (средно население) е
Математическо очакване на дискретна случайна променлива
Нека има някаква случайна променлива, която може да приеме една от няколко числови стойности (например броят на точките при хвърляне на зара може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често на практика за такава стойност възниква въпросът: каква стойност приема "средно" при голям брой тестове? Каква ще бъде средната ни възвръщаемост (или загуба) от всяка от рисковите сделки?
Да кажем, че има някаква лотария. Искаме да разберем дали е изгодно или не да участваме в него (или дори да участваме многократно, редовно). Да кажем, че всеки четвърти билет печели, наградата ще бъде 300 рубли, а всеки билет - 100 рубли. При безкраен брой участия това се случва. В три четвърти от случаите ще загубим, всеки три загуби ще струват 300 рубли. Във всеки четвърти случай ще спечелим 200 рубли. (награда минус цена), тоест за четири участия губим средно 100 рубли, за едно - средно 25 рубли. Общо средната цена на нашата разруха ще бъде 25 рубли на билет.
Хвърляме зар. Ако не е чийтинг (без изместване на центъра на тежестта и т.н.), тогава колко точки ще имаме средно наведнъж? Тъй като всяка опция е еднакво вероятна, вземаме глупавата средна аритметична стойност и получаваме 3,5. Тъй като това е СРЕДНО, няма защо да се възмущавате, че нито едно конкретно хвърляне няма да даде 3,5 точки - е, това кубче няма лице с такова число!
Сега нека обобщим нашите примери:
Нека да разгледаме снимката точно по-горе. Вляво има таблица на разпределението на случайна променлива. Стойността на X може да приеме една от n възможни стойности (посочени в горния ред). Не може да има други ценности. Под всяка възможна стойност нейната вероятност е подписана по-долу. Вдясно има формула, където M(X) се нарича mat. очакване. Значението на тази стойност е, че при голям брой опити (с голяма извадка) средната стойност ще клони към точно това очакване.
Нека се върнем към същия игрален куб. Мат. очакваният брой точки при хвърляне е 3,5 (изчислете сами, като използвате формулата, ако не вярвате). Да кажем, че сте го хвърлили няколко пъти. Изпаднаха 4 и 6. Средно се оказа 5, тоест далеч от 3,5. Хвърлиха го отново, паднаха 3, тоест средно (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Някак си далеч от тепиха. очаквания. Сега направете луд експеримент - хвърлете кубчето 1000 пъти! И ако средното не е точно 3,5, тогава ще бъде близо до това.
Да броим мат. в очакване на гореописаната лотария. Таблицата ще изглежда така:
Тогава очакваният мат ще бъде, както установихме по-горе:
Друго нещо е, че също е "на пръсти", без формула, трудно би било, ако имаше повече опции. Е, да кажем, че имаше 75% губещи билети, 20% печеливши билети и 5% печеливши билети.
Сега някои свойства на очаквания mat.
Мат. чакането е линейно.Лесно е да се докаже:
Постоянният множител е разрешено да бъде изваден от знака за мат. очаквания, тоест:
Това е специален случай на свойството за линейност на очакваните подложки.
Друго следствие от линейността на мат. очаквания:
това е мат. очакването на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на случайните променливи.
Нека X, Y са независими случайни променливи, тогава:
Това също е лесно за доказване) XYсама по себе си е случайна променлива, докато ако първоначалните стойности могат да приемат ни мстойности, съответно тогава XYможе да приема nm стойности. всяка от стойностите се изчислява въз основа на факта, че вероятностите за независими събития се умножават. В резултат на това получаваме това:
Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива
Непрекъснатите случайни променливи имат такава характеристика като плътност на разпределение (плътност на вероятността). Това всъщност характеризира ситуацията, че случайна променлива приема някои стойности от набора от реални числа по-често, някои - по-рядко. Например, разгледайте тази диаграма:
Тук х- всъщност случайна променлива, f(x)- плътност на разпространение. Съдейки по тази графика, по време на експериментите стойността хчесто ще бъде число, близко до нула. шансове за надхвърляне 3 или да бъде по-малко -3 по-скоро чисто теоретично.
Ако плътността на разпределение е известна, тогава матът на очакванията се търси, както следва:
Нека, например, има равномерно разпределение:
Да намерим постелка. очакване:
Това е напълно съвместимо с интуитивното разбиране. Да кажем, че ако получим много произволни реални числа с равномерно разпределение, всеки от сегмента |0; 1| , тогава средноаритметичната стойност трябва да бъде около 0,5.
Свойствата на подложките за очаквания - линейност и др., приложими за дискретни случайни променливи, важат и тук.
Връзката на математическото очакване с други статистически показатели
AT статистическианализ, заедно с мат очакванията, има система от взаимозависими показатели, които отразяват еднаквостта на явленията и стабилността процеси. Често индикаторите за вариации нямат независимо значение и се използват за по-нататъшен анализ на данни. Изключение прави коефициентът на вариация, който характеризира хомогенността данникакво е ценно статистическиХарактеристика.
Степен на променливост или стабилност процесив статистическата наука може да се измери с помощта на няколко показателя.
Най-важният показател, характеризиращ променливостслучайна променлива, е дисперсия, което е най-тясно и пряко свързано с мат. очакване. Този параметър се използва активно в други видове статистически анализи (проверка на хипотези, анализ на причинно-следствените връзки и др.). Подобно на средното линейно отклонение, дисперсията също отразява мярката за разпространение данниоколо средното.
Полезно е езикът на знаците да се преведе на езика на думите. Оказва се, че дисперсията е средният квадрат на отклоненията. Тоест първо се изчислява средната стойност, след което се взема разликата между всяка първоначална и средна стойност, повдига се на квадрат, сумира се и след това се разделя на броя на стойностите в тази популация. Разликамежду една единствена стойност и средната отразява мярката за отклонение. Поставя се на квадрат, за да се гарантира, че всички отклонения стават изключително положителни числа и за да се избегне взаимното анулиране на положителните и отрицателните отклонения, когато се сумират. След това, като имаме квадратни отклонения, ние просто изчисляваме средната аритметична стойност. Средно - на квадрат - отклонения. Отклоненията се повдигат на квадрат и се взема предвид средната стойност. Отговорът на вълшебната дума "дисперсия" е само три думи.
Въпреки това, в чиста форма, като например средно аритметично или , дисперсията не се използва. Това е по-скоро спомагателен и междинен показател, който се използва за други видове статистически анализи. Тя дори няма нормална мерна единица. Съдейки по формулата, това е квадратът на оригиналната единица данни.
Математическо очакване (средно население) е
Нека измерим една случайна променлива нпъти, например, измерваме скоростта на вятъра десет пъти и искаме да намерим средната стойност. Как е свързана средната стойност с функцията на разпределение?
Или ще хвърлим заровете голям брой пъти. Броят на точките, които ще изпаднат на зара по време на всяко хвърляне, е произволна променлива и може да приеме всякакви естествени стойности от 1 до 6. нклони към много конкретно число - мат. очакване Mx. В този случай Mx = 3,5.
Как се появи тази стойност? Нека влезе низпитания n1след като падне 1 точка, n2пъти - 2 точки и т.н. Тогава броят на резултатите, при които е паднала една точка:
По същия начин за резултатите, когато се паднаха 2, 3, 4, 5 и 6 точки.
Нека сега приемем, че знаем разпределенията на случайната променлива x, тоест знаем, че случайната променлива x може да приема стойностите x1, x2,..., xk с вероятности p1, p2,... , пк.
Матовото очакване Mx на случайна променлива x е:
Математическото очакване не винаги е разумна оценка на някаква случайна променлива. Така че, за да се оцени средната заплата, е по-разумно да се използва концепцията за медианата, тоест такава стойност, че броят на хората, които получават по-малко от медианата заплатаи големи, мач.
Вероятността p1 случайната променлива x да е по-малка от x1/2 и вероятността p2 случайната променлива x да е по-голяма от x1/2 са еднакви и равни на 1/2. Медианата не е еднозначно определена за всички разпределения.
Стандартно или стандартно отклонениев статистиката се нарича степента на отклонение на данните от наблюденията или наборите от СРЕДНАТА стойност. Означава се с буквите s или s. Малко стандартно отклонение показва, че данните са групирани около средната стойност, а голямо стандартно отклонение показва, че първоначалните данни са далеч от нея. Стандартното отклонение е равно на корен квадратен от величина, наречена дисперсия. Това е средната стойност на сумата от квадратите на разликите на първоначалните данни, отклоняващи се от средната стойност. Стандартното отклонение на случайна променлива е корен квадратен от дисперсията:
Пример. При условия на изпитване, когато стреляте по мишена, изчислете дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива:
Вариация- колебание, променливост на стойността на признака в единици от съвкупността. Отделни числени стойности на характеристика, срещащи се в изследваната съвкупност, се наричат стойностни варианти. Недостатъчността на средната стойност за пълно характеризиране на популацията налага допълването на средните стойности с показатели, които позволяват да се оцени типичността на тези средни стойности чрез измерване на флуктуацията (вариацията) на изследваната черта. Коефициентът на вариация се изчислява по формулата:
Вариация на обхвата(R) е разликата между максималните и минималните стойности на признака в изследваната популация. Този показател дава най-обща представа за флуктуацията на изследваната черта, както показва разликасамо между граничните стойности на вариантите. Зависимостта от екстремните стойности на атрибута придава на диапазона на вариация нестабилен, случаен характер.
Средно линейно отклонениее средноаритметичното на абсолютните (по модул) отклонения на всички стойности на анализираната популация от тяхната средна стойност:
Математическо очакване в теорията на хазарта
Мат чака есредната сума пари, която хазартен спекулант може да спечели или загуби от даден залог. Това е много важна концепция за един спекулант, защото е фундаментална за оценката на повечето игрови ситуации. Очакването на Mate също е най-добрият инструмент за анализиране на основни оформления на карти и игрови ситуации.
Да речем, че играете монета с приятел, като правите равен залог от $1 всеки път, независимо какво се появи. Опашки - спечелихте, глави - загубихте. Шансовете да излезе опашки са едно към едно и вие залагате $1 към $1. По този начин вашето очакване за мат е нула, защото математически казано, не можете да знаете дали ще водите или ще загубите след две хвърляния или след 200.
Вашата почасова печалба е нула. Почасово изплащане е сумата пари, която очаквате да спечелите за един час. Можете да хвърлите монета 500 пъти в рамките на един час, но няма да спечелите или загубите, защото вашите шансове не са нито положителни, нито отрицателни. Ако погледнете, от гледна точка на сериозен спекулант, такава система от тарифи не е лоша. Но това е само загуба на време.
Но да предположим, че някой иска да заложи $2 срещу вашия $1 в същата игра. След това веднага имате положително очакване от 50 цента от всеки залог. Защо 50 цента? Средно печелите един залог и губите втория. Заложете първото и загубете $1, заложете второто и спечелете $2. Вие сте заложили $1 два пъти и сте напред с $1. Така че всеки от вашите залози от един долар ви даде 50 цента.
Ако монетата падне 500 пъти за един час, вашата почасова печалба вече ще бъде $250, защото. средно сте загубили един долар 250 пъти и спечели два долар 250 пъти. $500 минус $250 се равнява на $250, което е общата печалба. Имайте предвид, че очакваната стойност, която е сумата, която печелите средно от един залог, е 50 цента. Спечелихте $250, като заложихте долар 500 пъти, което се равнява на 50 цента от вашия залог.
Математическо очакване (средно население) е
Мат. очакванията нямат нищо общо с краткосрочните резултати. Вашият опонент, който е решил да заложи $2 срещу вас, може да ви победи при първите десет последователни хвърляния, но вие, с предимство при залагания 2 към 1, при равни други условия, правите 50 цента на всеки $1 залог при който и да е обстоятелства. Няма значение дали печелите или губите един залог или няколко залога, но само при условие, че имате достатъчно пари, за да компенсирате лесно разходите. Ако продължите да залагате по същия начин, тогава за дълъг период от време вашите печалби ще се доближат до сумата от очакваните стойности в отделните хвърляния.
Всеки път, когато направите най-добър залог (залог, който може да бъде печеливш в дългосрочен план), когато шансовете са във ваша полза, вие сте длъжни да спечелите нещо от него, независимо дали го губите или не в дадена ръка. Обратно, ако сте направили по-лош залог (залог, който е неизгоден в дългосрочен план), когато шансовете не са във ваша полза, вие губите нещо, независимо дали печелите или губите ръката.
Математическо очакване (средно население) е
Вие залагате с най-добър резултат, ако очакванията ви са положителни, а той е положителен, ако шансовете са във ваша полза. Като залагате с най-лош резултат, вие имате отрицателно очакване, което се случва, когато шансовете са срещу вас. Сериозните спекуланти залагат само при най-добрия изход, при най-лошия - фолдват. Какво означава шансовете във ваша полза? В крайна сметка може да спечелите повече от действителните коефициенти. Реалните шансове за удряне на опашки са 1 към 1, но вие получавате 2 към 1 поради съотношението на залагане. В този случай шансовете са във ваша полза. Определено получавате най-добрия резултат с положително очакване от 50 цента на залог.
Ето един по-сложен пример. очаквания. Приятелят записва числата от едно до пет и залага $5 срещу вашия $1, че няма да изберете числото. Съгласни ли сте на такъв залог? Какво е очакването тук?
Средно ще сгрешите четири пъти. Въз основа на това, шансовете срещу вас да познаете числото ще бъдат 4 към 1. Шансовете са, че ще загубите долар с един опит. Вие обаче печелите 5 към 1, с възможност да загубите 4 към 1. Следователно коефициентите са във ваша полза, можете да приемете залога и да се надявате на най-добрия изход. Ако направите този залог пет пъти, средно ще загубите четири пъти по $1 и ще спечелите $5 веднъж. Въз основа на това, за всичките пет опита ще спечелите $1 с положително математическо очакване от 20 цента на залог.
Спекулант, който ще спечели повече, отколкото е заложил, както в примера по-горе, хваща шансовете. Обратно, той проваля шансовете, когато очаква да спечели по-малко, отколкото залага. Спекулантът със залагане може да има положително или отрицателно очакване в зависимост от това дали хваща или разваля коефициентите.
Ако заложите $50, за да спечелите $10 с шанс 4 към 1 за печалба, ще получите отрицателно очакване от $2, т.к. средно ще спечелите четири пъти по $10 и ще загубите $50 веднъж, което показва, че загубата на залог ще бъде $10. Но ако заложите $30, за да спечелите $10, със същите шансове за победа 4 към 1, тогава в този случай имате положително очакване от $2, т.к. отново печелите четири пъти по $10 и губите $30 веднъж, което е печалбана $10. Тези примери показват, че първият залог е лош, а вторият е добър.
Мат. очакването е в центъра на всяка игрова ситуация. Когато букмейкър насърчава футболните фенове да залагат $11, за да спечелят $10, те имат положително очакване от 50 цента за всеки $10. Ако казиното изплаща дори пари от Craps pass линията, тогава положителното очакване на къщата е приблизително $1,40 за всеки $100; тази игра е структурирана така, че всеки, който залага на тази линия, губи средно 50,7% и печели в 49,3% от времето. Несъмнено това привидно минимално положително очакване носи огромни печалби на собствениците на казина по света. Както отбеляза собственикът на казино Vegas World Боб Ступак, „Една хилядна процентаотрицателна вероятност на достатъчно голямо разстояние ще фалира най-богатият човек в света.
Математическо очакване при игра на покер
Играта на покер е най-показателният и нагледен пример по отношение на използването на теорията и свойствата на чакащата постелка.
Мат. Очаквана стойност в покера - средната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и голямото разстояние. Успешният покер означава винаги да се приемат ходове с положително математическо очакване.
Математическо очакване (средно население) е
Математически смисъл. очакванията при игра на покер се крият във факта, че често срещаме случайни променливи, когато вземаме решение (не знаем кои карти има опонентът в ръката си, кои карти ще дойдат в следващите рундове търговия). Трябва да разгледаме всяко от решенията от гледна точка на теорията на големите числа, която казва, че при достатъчно голяма извадка средната стойност на случайна променлива ще клони към средната си стойност.
Сред конкретните формули за изчисляване на очакванията, следната е най-приложима в покера:
Когато играете на покер мат. очакванията могат да бъдат изчислени както за залози, така и за обаждания. В първия случай трябва да се вземе предвид фолд еквилитът, а във втория - собствените шансове на пота. При оценка на мат. очакване на това или онова движение, трябва да се помни, че фолдът винаги има нулево очакване. По този начин изхвърлянето на карти винаги ще бъде по-изгодно решение от всяко отрицателно движение.
Математическо очакване (средно население) е
Очакванията ви казват какво можете да очаквате (или да загубите) за всеки риск, който поемате. Казината печелят паризащото очакването на мат от всички игри, които се практикуват в тях, е в полза на казиното. При достатъчно дълга поредица от игри може да се очаква, че клиентът ще загуби своята паризащото "вероятността" е в полза на казиното. Професионалните казино спекуланти обаче ограничават игрите си до кратки периоди от време, като по този начин увеличават коефициентите в своя полза. Същото важи и за инвестирането. Ако очакванията ви са положителни, можете да спечелите повече пари, като направите много сделки за кратък период от време. месечен цикълвреме. Очакването е вашият процент печалба на печалба, умножен по средната ви печалба минус вероятността от загуба, умножена по средната ви загуба.
Покерът може да се разглежда и от гледна точка на мат. Можете да приемете, че определен ход е печеливш, но в някои случаи може да не е най-добрият, защото друг ход е по-печеливш. Да приемем, че сте ударили фул хаус в покер с пет карти. Вашият опонент залага. Знаеш, че ако вдигнеш анте, той ще плати. Така че рейзът изглежда най-добрата тактика. Но ако повишите залога, останалите двама спекуланти със сигурност ще фолднат. Но ако платите залога, ще сте напълно сигурни, че другите двама спекуланти след вас ще направят същото. Когато увеличите залога, получавате една единица, а просто като платите - две. Така колването ви дава по-висока положителна очаквана стойност и е най-добрата тактика.
Мат. чакането също може да даде представа кои покер тактики са по-малко печеливши и кои са по-печеливши. Например, ако играете определена ръка и смятате, че средната ви загуба е 75 цента, включително антетата, тогава трябва да играете тази ръка, защото това е по-добре от фолдване, когато антето е $1.
Друга важна причина за разбирането на същността на мат. очакванията са, че ви дава усещане за спокойствие, независимо дали сте спечелили залога или не: ако сте направили добър залог или сте фолднали навреме, ще знаете, че сте направили или спестили определена сума пари, която по-слабият спекулант би могъл не спаси. Много по-трудно е да фолднете, ако сте разочаровани, че опонентът ви има по-добра ръка при дроу. С всичко това, това, което спестявате, като не играете, вместо да залагате, се добавя към вашите печалби на вечер или на месец.
Само не забравяйте, че ако си смените ръцете, опонентът ви ще плати и както ще видите в статията за фундаменталната теорема на покера, това е само едно от вашите предимства. Трябва да се радвате, когато това се случи. Можете дори да се научите да се наслаждавате на загубена ръка, защото знаете, че други спекуланти на ваше място биха загубили много повече.
Както бе споменато в примера с играта с монети в началото, коефициентът на почасова печалба е свързан с очакванията за мат и тази концепция е особено важна за професионалните спекуланти. Когато ще играете покер, трябва да прецените наум колко можете да спечелите за един час игра. В повечето случаи ще трябва да разчитате на интуицията и опита си, но можете да използвате и някои математически изчисления. Например, ако играете дроу лоубол и видите трима играчи да залагат $10 и след това да теглят две карти, което е много лоша тактика, можете сами да изчислите, че всеки път, когато залагат $10, губят около $2. Всеки от тях прави това осем пъти на час, което означава, че и тримата губят около $48 на час. Вие сте един от останалите четирима спекуланти, които са приблизително равни, така че тези четирима спекуланти (и вие сред тях) трябва да си поделят $48 и всеки ще реализира печалба от $12 на час. Вашата почасова ставка в този случай е просто вашият дял от сумата пари, загубена от трима лоши спекуланти за един час.
Математическо очакване (средно население) е
За дълъг период от време общата печалба на спекуланта е сумата от неговите математически очаквания в отделни разпределения. Колкото повече играете с положително очакване, толкова повече печелите и обратно, колкото повече ръце играете с отрицателно очакване, толкова повече губите. В резултат на това трябва да дадете приоритет на игра, която може да увеличи максимално вашите положителни очаквания или да отхвърли отрицателните ви, така че да можете да увеличите максимално почасовата си печалба.
Положително математическо очакване в стратегията на играта
Ако знаете как да броите карти, може да имате предимство пред казиното, ако не забележат и ви изгонят. Казината обичат пияните спекуланти и мразят броячите на карти. Предимството ще ви позволи да печелите повече пъти, отколкото губите с течение на времето. Доброто управление на парите чрез изчисления на мат може да ви помогне да извлечете повече от предимството си и да намалите загубите си. Без предимство е по-добре да дадете парите за благотворителност. В играта на фондовата борса предимство дава системата на играта, която създава повече печалби отколкото загуби, разликата цении комисионни. нито един Управление на капиталаняма да спаси лоша система за игри.
Положителното очакване се определя от стойност, по-голяма от нула. Колкото по-голямо е това число, толкова по-силно е статистическото очакване. Ако стойността е по-малка от нула, тогава очакването също ще бъде отрицателно. Колкото по-голям е модулът на отрицателна стойност, толкова по-лоша е ситуацията. Ако резултатът е нула, тогава очакването е безуспешно. Можете да спечелите само когато имате положително математическо очакване, разумна система на игра. Играта с интуицията води до катастрофа.
Математическо очакване и
Математическото очакване е доста широко търсен и популярен статистически индикатор при осъществяването на борсова търговия на финансовите пазари. пазари. На първо място, този параметър се използва за анализ на успеха търговия. Не е трудно да се досетите, че колкото по-голяма е тази стойност, толкова по-голяма е причината да се смята, че търговията, която се изучава, е успешна. Разбира се, анализ работатърговец не може да се направи само с помощта на този параметър. Въпреки това, изчислената стойност във връзка с други методи за оценка на качеството работа, може значително да подобри точността на анализа.
Мат очакванията често се изчисляват в услугите за наблюдение на сметки за търговия, което ви позволява бързо да оцените извършената работа по депозита. Като изключения можем да цитираме стратегии, които използват „престой“ на губещи сделки. Търговецкъсметът може да го придружава известно време и следователно може да няма никакви загуби в работата му. В този случай няма да е възможно да се ориентирате само според очакванията, тъй като рисковете, използвани в работата, няма да бъдат взети под внимание.
При търговия на пазарматовото очакване се използва най-често, когато се прогнозира доходността на стратегия за търговия или когато се прогнозира доход търговецвъз основа на статистиката на предишния му наддаване.
Математическо очакване (средно население) е
Във връзка с управлението на парите е много важно да разберете, че когато правите сделки с отрицателно очакване, няма схема управлениепари, което определено може да донесе високи печалби. Ако продължите да играете стокова борсапри тези условия, независимо от метода управлениепари, ще загубите цялата си сметка, независимо колко голяма е била в началото.
Тази аксиома е вярна не само за игри или сделки с отрицателни очаквания, но и за игри с равни шансове. Следователно единственият случай, в който имате шанс да се възползвате в дългосрочен план, е когато сключвате сделки с положително математическо очакване.
Разликата между негативните очаквания и позитивните очаквания е разликата между живота и смъртта. Няма значение колко положително или колко отрицателно е очакването; важното е дали е положителен или отрицателен. Ето защо, преди да разгледате проблемите на управлението капиталтрябва да намерите игра с положително очакване.
Ако нямате тази игра, тогава никакво управление на парите в света няма да ви спаси. От друга страна, ако имате положително очакване, тогава е възможно чрез правилно управление на парите да го превърнете във функция на експоненциален растеж. Няма значение колко малко е положителното очакване! С други думи, няма значение колко печеливша е системата за търговия, базирана на един договор. Ако имате система, която печели $10 на договор за една сделка (след комисионни и пропускане), могат да се използват техники за управление капиталпо начин, който да я направи по-печеливша от система, която показва средна печалба от $1000 на сделка (след такси и пропускане).
Важното е не колко печеливша е била системата, а колко сигурно може да се каже, че системата ще покаже поне минимална печалба в бъдеще. Следователно най-важната подготовка, която може да се направи, е да се гарантира, че системата показва положителна очаквана стойност в бъдеще.
За да имате положителна очаквана стойност в бъдеще, е много важно да не ограничавате степените на свобода на вашата система. Това се постига не само чрез елиминиране или намаляване на броя на параметрите, които трябва да се оптимизират, но и чрез намаляване на възможно най-много системни правила. Всеки параметър, който добавяте, всяко правило, което правите, всяка малка промяна, която правите в системата, намалява броя на степените на свобода. В идеалния случай искате да изградите доста примитивна и проста система, която постоянно ще носи малка печалба на почти всеки пазар. Отново, важно е да разберете, че няма значение колко печеливша е една система, стига да е печеливша. които печелите в търговията, ще бъдат спечелени чрез ефективно управление на парите.
Математическо очакване (средно население) е
Системата за търговия е просто инструмент, който ви дава положително математическо очакване, така че да може да се използва управлението на парите. Системи, които работят (показват поне минимална печалба) само на един или няколко пазара, или имат различни правила или параметри за различните пазари, най-вероятно няма да работят в реално време за дълго. Проблемът с повечето технически търговци е, че те отделят твърде много време и усилия за оптимизиране на различните правила и параметри на търговската система. Това дава напълно противоположни резултати. Вместо да губите енергия и компютърно време за увеличаване на печалбите на системата за търговия, насочете енергията си към повишаване на нивото на надеждност за получаване на минимална печалба.
Знаейки това Управление на капитала- това е просто игра с числа, която изисква използването на положителни очаквания, търговецът може да спре да търси "свещения граал" на търговията на борсата. Вместо това той може да започне да тества своя метод на търговия, да разбере колко логичен е този метод, дали дава положителни очаквания. Правилните методи за управление на парите, приложени към всякакви, дори много посредствени методи за търговия, ще свършат останалата работа.
За да успее всеки търговец в работата си, той трябва да реши трите най-важни задачи: Да се гарантира, че броят на успешните транзакции надвишава неизбежните грешки и грешни изчисления; Настройте вашата търговска система така, че възможността да печелите пари да е възможно най-често; Постигнете стабилен положителен резултат от дейността си.
И тук за нас, работещите търговци, матът може да бъде добра помощ. очакване. Този термин в теорията на вероятностите е един от ключовите. С него можете да дадете средна оценка на някаква произволна стойност. Математическото очакване на случайна променлива е подобно на центъра на тежестта, ако си представим всички възможни вероятности като точки с различни маси.
Във връзка със стратегията за търговия, за да се оцени нейната ефективност, най-често се използва очакването на печалба (или загуба). Този параметър се определя като сумата от продуктите на дадени нива на печалба и загуба и вероятността за тяхното възникване. Например, разработената стратегия за търговия предполага, че 37% от всички операции ще донесат печалба, а останалите - 63% - ще бъдат нерентабилни. В същото време средната доходиот успешна транзакция ще бъде 7 долара, а средната загуба ще бъде равна на 1,4 долара. Нека изчислим мат. очакване за търговия на такава система:
Какво означава това число? Там се казва, че следвайки правилата на тази система, средно ще получим 1,708 долара от всяка затворена транзакция. Тъй като получената оценка за ефективност е по-голяма от нула, такава система може да се използва за реална работа. Ако в резултат на изчисляването на мат очакването се окаже отрицателно, тогава това вече означава средна загуба и това ще доведе до разруха.
Размерът на печалбата на сделка може също да бъде изразен като относителна стойност под формата на %. Например:
Процент доход от 1 сделка - 5%;
Процент на успешни търговски операции - 62%;
Процент на загуба на 1 сделка - 3%;
Процент на неуспешни сделки - 38%;
В случая мат. очакванията ще бъдат:
Тоест средната сделка ще донесе 1,96%.
Възможно е да се разработи система, която въпреки преобладаването на губещите сделки ще даде положителен резултат, тъй като нейният MO>0.
Самото чакане обаче не е достатъчно. Трудно е да се правят пари, ако системата дава много малко сигнали за търговия. В този случай тя ще бъде съпоставима с банковата лихва. Нека всяка операция носи средно само 0,5 долара, но какво ще стане, ако системата предполага 1000 транзакции на година? Това ще бъде много сериозна сума за относително кратко време. От това логично следва, че друг отличителен белег на добрата система за търговия може да се счита за кратък период на държане.
Източници и връзки
dic.academic.ru - академичен онлайн речник
mathematics.ru - образователен сайт по математика
nsu.ru - образователен уебсайт на Новосибирския държавен университет
webmath.ru - образователен портал за студенти, кандидати и ученици.
exponenta.ru образователен математически сайт
ru.tradimo.com - безплатно училище за онлайн търговия
crypto.hut2.ru - мултидисциплинарен информационен ресурс
poker-wiki.ru - безплатна енциклопедия на покера
sernam.ru - Научна библиотека с избрани природонаучни издания
reshim.su - уебсайт
unfx.ru - Форекс в UNFX: обучение, сигнали за търговия, доверително управление
- - математическо очакване Една от числените характеристики на случайна променлива, често наричана нейна теоретична средна стойност. За дискретна случайна променлива X, математически ... ... Наръчник за технически преводачОЧАКВАНА СТОЙНОСТ- (очаквана стойност) Средната стойност на разпределението на икономическата променлива, която може да приеме. Ако pt е цената на стоката в момент t, нейното математическо очакване се означава с Ept. За да посочите момента във времето, до който ... ... Икономически речник
Очаквана стойност- средната стойност на случайна величина. Математическото очакване е детерминирана величина. Средно аритметичното на реализациите на случайна променлива е оценка на математическото очакване. Средно аритметично… … Официалната терминология е (средна стойност) на случайна променлива числена характеристика на случайна променлива. Ако една случайна променлива е дадена на вероятностно пространство (виж Теория на вероятностите), тогава нейната M. o. MX (или EX) се определя като интеграл на Лебег: където... Физическа енциклопедия
ОЧАКВАНА СТОЙНОСТ- случайна величина е нейната числена характеристика. Ако една случайна променлива X има функция на разпределение F(x), тогава нейната M. o. ще бъде: . Ако разпределението на X е дискретно, то М.о.: , където x1, x2, ... са възможните стойности на дискретната случайна величина X; p1 ... Геологическа енциклопедия
ОЧАКВАНА СТОЙНОСТ- Английски. очаквана стойност; Немски Erwartung mathematische. Стохастична средна стойност или център на дисперсия на случайна променлива. Антинази. Енциклопедия по социология, 2009 ... Енциклопедия по социология
Очаквана стойност- Вижте също: Условно очакване Математическото очакване е средната стойност на случайна променлива, вероятностното разпределение на случайна променлива, се разглежда в теорията на вероятностите. В английската литература и в математическата ... ... Wikipedia
Очаквана стойност- 1.14 Математическо очакване E (X), където xi стойности на дискретна случайна променлива; p = P (X = xi); f(x) е плътността на непрекъсната случайна променлива * Ако този израз съществува в смисъл на абсолютна конвергенция Източник ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация
Книги
Ние използваме бисквитки за най-доброто представяне на нашия сайт. Продължавайки да използвате този сайт, вие се съгласявате с това. Добре
Концепцията за математическото очакване може да се разгледа с помощта на примера за хвърляне на зарове. При всяко хвърляне се записват изпуснатите точки. За изразяването им се използват естествени стойности в диапазона 1 - 6.
След определен брой хвърляния, като използвате прости изчисления, можете да намерите средноаритметичната стойност на падналите точки.
Освен че отпада някоя от стойностите на диапазона, тази стойност ще бъде произволна.
И ако увеличите броя на хвърлянията няколко пъти? При голям брой хвърляния средноаритметичната стойност на точките ще се доближи до определено число, което в теорията на вероятностите се нарича математическо очакване.
И така, математическото очакване се разбира като средната стойност на случайна променлива. Този показател може да бъде представен и като претеглена сума от вероятни стойности.
Тази концепция има няколко синонима:
- означава;
- средна стойност;
- централен тренд индикатор;
- първи момент.
С други думи, това не е нищо повече от число, около което се разпределят стойностите на случайна променлива.
В различни сфери на човешката дейност подходите за разбиране на математическото очакване ще бъдат малко по-различни.
Може да се разглежда като:
- средната полза, получена от вземането на решение, в случай че такова решение се разглежда от гледна точка на теорията на големите числа;
- възможната сума на печалба или загуба (теория на хазарта), изчислена средно за всеки от залозите. На жаргон те звучат като „предимство на играча“ (положително за играча) или „предимство на казиното“ (отрицателно за играча);
- процент от печалбата, получена от печалби.
Математическото очакване не е задължително за абсолютно всички случайни величини. Липсва при тези, които имат несъответствие в съответния сбор или интеграл.
Свойства на очакванията
Като всеки статистически параметър, математическото очакване има следните свойства:
Основни формули за математическо очакване
Изчисляването на математическото очакване може да се извърши както за случайни променливи, характеризиращи се както с непрекъснатост (формула A), така и с дискретност (формула B):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, където xi са стойностите на случайната променлива, pi са вероятностите:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, където f(x) е дадена плътност на вероятността.
Примери за изчисляване на математическото очакване
Пример А.
Възможно ли е да разберете средната височина на гномите в приказката за Снежанка. Известно е, че всеки от 7-те гнома е имал определена височина: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81м.
Алгоритъмът за изчисление е доста прост:
- намерете сумата от всички стойности на индикатора за растеж (случайна променлива):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Получената сума се разделя на броя на гномите:
6,31:7=0,90.
Така средният ръст на гномите в една приказка е 90 см. С други думи, това е математическото очакване на растежа на гномите.
Работна формула - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6
Практическа реализация на математическото очакване
Към изчисляването на статистическия показател на математическото очакване се прибягва в различни области на практическата дейност. На първо място, говорим за търговската сфера. Всъщност въвеждането на този показател от Хюйгенс е свързано с определянето на шансовете, които могат да бъдат благоприятни или, напротив, неблагоприятни за дадено събитие.
Този параметър се използва широко за оценка на риска, особено когато става въпрос за финансови инвестиции.
Така че в бизнеса изчисляването на математическото очакване действа като метод за оценка на риска при изчисляване на цените.
Също така този показател може да се използва при изчисляване на ефективността на определени мерки, например за защита на труда. Благодарение на него можете да изчислите вероятността за настъпване на събитие.
Друга област на приложение на този параметър е управлението. Може да се изчисли и по време на контрола на качеството на продукта. Например, с помощта на мат. очаквания, можете да изчислите възможния брой производствени дефектни части.
Математическото очакване е незаменимо и при статистическата обработка на резултатите, получени в хода на научните изследвания. Той също така ви позволява да изчислите вероятността за желан или нежелан резултат от експеримент или изследване в зависимост от нивото на постигане на целта. В крайна сметка постигането му може да се свърже с печалба и печалба, а непостигането му - като загуба или загуба.
Използване на математическото очакване във Форекс
Практическото приложение на този статистически параметър е възможно при извършване на транзакции на валутния пазар. Може да се използва за анализ на успеха на търговските транзакции. Освен това повишаването на стойността на очакванията показва увеличаване на техния успех.
Също така е важно да запомните, че математическото очакване не трябва да се разглежда като единственият статистически параметър, използван за анализ на представянето на търговеца. Използването на няколко статистически параметъра заедно със средната стойност повишава точността на анализа в пъти.
Този параметър се е доказал добре при наблюдението на търговските сметки. Благодарение на него се извършва бърза оценка на извършената работа по депозитната сметка. В случаите, когато дейността на търговеца е успешна и той избягва загуби, не се препоръчва да се използва само изчислението на математическото очакване. В тези случаи рисковете не се вземат предвид, което намалява ефективността на анализа.
Проведените проучвания на тактиките на търговците показват, че:
- най-ефективни са тактиките, базирани на случаен вход;
- най-малко ефективни са тактиките, базирани на структурирани входове.
За постигане на положителни резултати е също толкова важно:
- тактики за управление на парите;
- стратегии за изход.
Използвайки такъв показател като математическото очакване, можем да предположим каква ще бъде печалбата или загубата при инвестиране на 1 долар. Известно е, че този показател, изчислен за всички игри, практикувани в казиното, е в полза на институцията. Това е, което ви позволява да правите пари. В случай на дълга поредица от игри, вероятността клиентът да загуби пари се увеличава значително.
Игрите на професионалните играчи са ограничени до малки периоди от време, което увеличава шанса за печалба и намалява риска от загуба. Същата закономерност се наблюдава и при извършването на инвестиционни операции.
Инвеститорът може да спечели значителна сума с положително очакване и голям брой транзакции за кратък период от време.
Очакваната продължителност може да се разглежда като разликата между процента печалба (PW) по средната печалба (AW) и вероятността от загуба (PL) по средната загуба (AL).
Като пример, разгледайте следното: позиция - 12,5 хиляди долара, портфейл - 100 хиляди долара, риск на депозит - 1%. Доходността на транзакциите е 40% от случаите със средна печалба от 20%. В случай на загуба средната загуба е 5%. Изчисляването на математическото очакване за сделка дава стойност от $625.
