Всяка отделна стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване на практически проблеми е достатъчно да знаете няколко числови характеристики, което дава възможност да се представят основните характеристики случайна величинав кратка форма.
Тези количества са предимно очаквана стойности дисперсия .
Очаквана стойност- средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Означен като.
от най-много по прост начинматематическо очакване на случайна променлива X(w), се намират като интегралнаЛебегпо отношение на вероятностната мярка Р оригинален вероятностно пространство
Можете също да намерите математическото очакване на стойност като Интеграл на Лебегот хчрез разпределение на вероятностите R Xколичества х:
където е множеството от всички възможни стойности х.
Математическо очакване на функции от случайна величина хе чрез разпространение R X. Например, ако х- случайна променлива със стойности в и f(x)- недвусмислено Борелфункция х , тогава:
Ако F(x)- разпределителна функция х, тогава математическото очакване е представимо интегралнаLebeggue - Stieltjes (или Риман - Stieltjes):
докато интегрируемостта хв какъв смисъл ( * ) съответства на крайността на интеграла
В конкретни случаи, ако хТо има дискретно разпределениес вероятни стойности x k, k=1, 2, . , и вероятности , тогава
ако хима абсолютно непрекъснато разпределение с плътност на вероятността p(x), тогава
в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответния ред или интеграл.
Свойства на математическото очакване на случайна величина.
- Очаквана стойност постоянна стойносте равно на тази стойност:
° С- постоянен;
- M=C.M[X]
- Математическото очакване на сумата от произволно взетите стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:
- Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи = произведението на техните математически очаквания:
M=M[X]+M[Y]
ако хи Yнезависима.
ако серията се събира:
Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.
Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани естествени числа; приравнете всяка стойност с ненулева вероятност.
1. Умножете двойките на свой ред: x iна пи.
2. Добавете продукта на всяка двойка x i p i.
Например, за н = 4 :
Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, той нараства рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.
Пример:Намерете математическото очакване по формулата.
Математическото очакване (средна стойност) на случайна променлива X, дадена в дискретно вероятностно пространство, е числото m =M[X]=∑x i p i , ако редицата се сближава абсолютно.
Сервизно задание. С онлайн услуга изчисляват се математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение(вижте примера). Освен това се начертава графика на функцията на разпределение F(X).
Свойства на математическото очакване на случайна величина
- Математическото очакване на постоянна стойност е равно на себе си: M[C]=C , C е константа;
- M=C M[X]
- Математическото очакване на сумата от случайните променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: M=M[X]+M[Y]
- Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: M=M[X] M[Y], ако X и Y са независими.
Свойства на дисперсия
- Дисперсията на постоянна стойност е равна на нула: D(c)=0.
- Константният фактор може да бъде изваден от под знака на дисперсията, като го повдигнете на квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Ако случайните променливи X и Y са независими, тогава дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Ако случайните променливи X и Y са зависими: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- За дисперсията е валидна изчислителната формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример. Известни са математическите очаквания и дисперсиите на две независими случайни променливи X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Намерете математическото очакване и дисперсията на случайната променлива Z=9X-8Y+7.
Решение. Въз основа на свойствата на математическото очакване: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Въз основа на дисперсионните свойства: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване
Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; Присвоете на всяка стойност ненулева вероятност.- Умножете двойките една по една: x i по p i .
- Добавяме произведението на всяка двойка x i p i.
Например за n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| пи | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математическото очакване се намира по формулата m = ∑x i p i .
Математическо очакване M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Дисперсията се намира по формулата d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандартно отклонение σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Пример #2. Дискретна случайна променлива има следната серия на разпределение:
| х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| Р | а | 0,32 | 2а | 0,41 | 0,03 |
Решение. Стойността a се намира от връзката: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 или 0,24=3 a , откъдето a = 0,08
Пример #3. Определете закона за разпределение на дискретна случайна променлива, ако нейната дисперсия е известна и x 1
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Решение.
Тук трябва да направите формула за намиране на дисперсията d (x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
където очакване m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
За нашите данни
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Съответно е необходимо да се намерят корените на уравнението и ще има две от тях.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Избираме този, който отговаря на условието x 1
Закон за разпределение на дискретна случайна величина
х 1 =6; х2=9; x 3 \u003d 12; х4=15
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3
Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.
Математическото очакване и дисперсията са най-често използваните числени характеристики на случайна променлива. Те характеризират най-важните характеристики на разпределението: неговото положение и степен на дисперсия. Математическото очакване често се нарича просто средно. случайна величина. Дисперсия на случайна променлива - характеристика на дисперсия, дисперсия на случайна променлива около своето математическо очакване.
В много проблеми на практиката пълно, изчерпателно описание на случайна променлива - законът за разпределение - или не може да бъде получено, или изобщо не е необходимо. В тези случаи те са ограничени до приблизително описание на случайна променлива с помощта на числени характеристики.
Математическо очакване на дискретна случайна променлива
Нека да стигнем до понятието математическо очакване. Нека масата на някакво вещество е разпределена между точките на оста x х1 , х 2 , ..., хн. Освен това всяка материална точка има съответстваща й маса с вероятност от стр1 , стр 2 , ..., стрн. Необходимо е да се избере една точка на оста x, която характеризира позицията на цялата система от материални точки, като се вземат предвид техните маси. Естествено е да приемем за такава точка центъра на масата на системата от материални точки. Това е среднопретеглената стойност на случайната променлива х, в която абсцисата на всяка точка хазвлиза с "тежест", равна на съответната вероятност. Средната стойност на така получената случайна променлива хсе нарича неговото математическо очакване.
Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всичките й възможни стойности и вероятностите на тези стойности:
Пример 1Беше организирана печеливша лотария. Има 1000 печалби, 400 от които са по 10 рубли всяка. 300 - 20 рубли всяка 200-100 рубли всеки. и 100 - 200 рубли всяка. Каква е средната печалба за човек, закупил един билет?
Решение. Ще намерим средната печалба, ако общата сума на печалбите, която е равна на 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 рубли, се раздели на 1000 (общата сума на печалбите). Тогава получаваме 50000/1000 = 50 рубли. Но изразът за изчисляване на средната печалба може да бъде представен и в следната форма:
От друга страна, при тези условия размерът на печалбата е случайна променлива, която може да приеме стойности от 10, 20, 100 и 200 рубли. с вероятности, равни съответно на 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следователно очакваната средна печалба е равна на сумата от произведенията на размера на печалбите и вероятността да бъдат получени.
Пример 2Издателят реши да издаде нова книга. Той ще продаде книгата за 280 рубли, от които 200 ще бъдат дадени на него, 50 на книжарницата и 30 на автора. Таблицата дава информация за разходите за издаване на книга и вероятността за продажба на определен брой копия от книгата.
Намерете очакваната печалба на издателя.
Решение. Случайната величина "печалба" е равна на разликата между приходите от продажбата и себестойността на разходите. Например, ако се продадат 500 копия от книга, тогава приходите от продажбата са 200 * 500 = 100 000, а разходите за публикуване са 225 000 рубли. Така издателят е изправен пред загуба от 125 000 рубли. Следната таблица обобщава очакваните стойности на случайната променлива - печалба:
| Номер | печалба хаз | Вероятност страз | хаз страз |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Обща сума: | 1,00 | 25000 |
Така получаваме математическото очакване на печалбата на издателя:
.
Пример 3Шанс за попадение с един изстрел стр= 0,2. Определете консумацията на черупки, които осигуряват математическото очакване на броя на ударите, равен на 5.
Решение. От същата формула за очакване, която използвахме досега, изразяваме х- консумация на черупки:
.
Пример 4Определете математическото очакване на случайна променлива хброй попадения с три изстрела, ако вероятността за попадение с всеки изстрел стр = 0,4 .
Съвет: намерете вероятността от стойностите на случайна променлива по Формула на Бернули .
Свойства на очакванията
Разгледайте свойствата на математическото очакване.
Имот 1.Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази константа:
Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване:
Имот 3.Математическото очакване на сумата (разликата) на случайните променливи е равно на сумата (разликата) на техните математически очаквания:
Имот 4.Математическото очакване на произведението на случайните променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:
Имот 5.Ако всички стойности на случайната променлива хнамаляване (увеличаване) със същото число ОТ, тогава неговото математическо очакване ще намалее (увеличи) със същото число:
Когато не можете да се ограничите само до математическо очакване
В повечето случаи само математическото очакване не може да характеризира адекватно една случайна променлива.
Нека случайни променливи хи Yсе дават от следните закони на разпределение:
| Значение х | Вероятност |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значение Y | Вероятност |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математическите очаквания на тези величини са еднакви – равни на нула:
Разпределението им обаче е различно. Случайна стойност хможе да приема само стойности, които са малко по-различни от математическото очакване и случайната променлива Yможе да приема стойности, които се отклоняват значително от математическото очакване. Подобен пример: средната работна заплата не позволява да се прецени съотношението на високо- и нископлатените работници. С други думи, по математическото очакване не може да се прецени какви отклонения от него, поне средно, са възможни. За да направите това, трябва да намерите дисперсията на случайна променлива.
Дисперсия на дискретна случайна променлива
дисперсиядискретна случайна променлива хсе нарича математическо очакване на квадрата на неговото отклонение от математическото очакване:
Стандартното отклонение на случайна променлива хе аритметичната стойност на корен квадратен от неговата дисперсия:
.
Пример 5Изчисляване на дисперсии и стандартни отклонения на случайни променливи хи Y, чиито закони на разпределение са дадени в таблиците по-горе.
Решение. Математически очаквания на случайни променливи хи Y, както е намерено по-горе, са равни на нула. Според дисперсионната формула за д(х)=д(г)=0 получаваме:
След това стандартните отклонения на случайни променливи хи Yпредставляват
.
По този начин, със същите математически очаквания, дисперсията на случайната променлива хмного малък и случаен Y- значителен. Това е следствие от разликата в разпределението им.
Пример 6Инвеститорът има 4 алтернативни инвестиционни проекта. Таблицата обобщава данните за очакваната печалба в тези проекти със съответната вероятност.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, П=1 | 1000, П=0,5 | 500, П=0,5 | 500, П=0,5 |
| 0, П=0,5 | 1000, П=0,25 | 10500, П=0,25 | |
| 0, П=0,25 | 9500, П=0,25 |
Намерете за всяка алтернатива математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение.
Решение. Нека покажем как се изчисляват тези количества за 3-тата алтернатива:
Таблицата обобщава намерените стойности за всички алтернативи.
Всички алтернативи имат едно и също математическо очакване. Това означава, че в дългосрочен план всички имат еднакъв доход. Стандартното отклонение може да се тълкува като мярка за риск – колкото по-голямо е то, толкова по-голям е рискът на инвестицията. Инвеститор, който не иска много риск, ще избере проект 1, защото има най-малкото стандартно отклонение (0). Ако инвеститорът предпочита риск и висока доходност за кратък период, тогава той ще избере проекта с най-голямо стандартно отклонение - проект 4.
Свойства на дисперсия
Нека представим свойствата на дисперсията.
Имот 1.Дисперсията на постоянна стойност е нула:
Имот 2.Константният коефициент може да бъде изваден от дисперсионния знак чрез повдигане на квадрат:
.
Имот 3.Дисперсията на случайна променлива е равна на математическото очакване на квадрата на тази стойност, от което се изважда квадратът на математическото очакване на самата стойност:
,
където 
.
Имот 4.Дисперсията на сумата (разликата) на случайните променливи е равна на сумата (разликата) на техните дисперсии:
Пример 7Известно е, че дискретна случайна променлива хприема само две стойности: −3 и 7. Освен това е известно математическото очакване: д(х) = 4 . Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива.
Решение. Означаваме с стрвероятността, с която една случайна променлива приема стойност х1 = −3 . Тогава вероятността на стойността х2 = 7 ще бъде 1 − стр. Нека изведем уравнението за математическото очакване:
д(х) = х 1 стр + х 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,
където получаваме вероятностите: стр= 0,3 и 1 − стр = 0,7 .
Законът за разпределение на случайна променлива:
| х | −3 | 7 |
| стр | 0,3 | 0,7 |
Изчисляваме дисперсията на тази случайна променлива, използвайки формулата от свойство 3 на дисперсията:
д(х) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Намерете сами математическото очакване на случайна променлива и след това вижте решението
Пример 8Дискретна случайна променлива хприема само две стойности. Приема по-голямата стойност от 3 с вероятност 0,4. Освен това е известна дисперсията на случайната променлива д(х) = 6 . Намерете математическото очакване на случайна променлива.
Пример 9Една урна съдържа 6 бели и 4 черни топки. От урната се вземат 3 топки. Броят на белите топки сред изтеглените топки е дискретна случайна променлива х. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.
Решение. Случайна стойност хможе да приеме стойностите 0, 1, 2, 3. Съответните вероятности могат да бъдат изчислени от правило за умножение на вероятностите. Законът за разпределение на случайна променлива:
| х | 0 | 1 | 2 | 3 |
| стр | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Оттук и математическото очакване на тази случайна променлива:
М(х) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсията на дадена случайна променлива е:
д(х) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Математическо очакване и дисперсия на непрекъсната случайна променлива
За непрекъсната случайна променлива механичната интерпретация на математическото очакване ще запази същото значение: центърът на масата за единица маса, разпределен непрекъснато по оста x с плътност f(х). За разлика от дискретна случайна променлива, за която аргументът на функцията хазпроменя рязко, за непрекъсната случайна променлива, аргументът се променя непрекъснато. Но математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е свързано с нейната средна стойност.
За да намерите математическото очакване и дисперсията на непрекъсната случайна променлива, трябва да намерите определени интеграли . Ако е дадена функция на плътност на непрекъсната случайна променлива, тогава тя влиза директно в интегранта. Ако е дадена функция на разпределение на вероятностите, тогава като я диференцирате, трябва да намерите функцията на плътност.
Средната аритметична стойност на всички възможни стойности на непрекъсната случайна променлива се нарича негова математическо очакване, означено с или .
Както вече е известно, законът за разпределение напълно характеризира случайна променлива. Законът за разпределение обаче често е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа, които описват сумарно произволна променлива; такива номера се наричат числени характеристики на случайна променлива.
Математическото очакване е една от важните числови характеристики.
Математическото очакване е приблизително равно на средната стойност на случайна величина.
Математическо очакване на дискретна случайна променливае сумата от продуктите на всички негови възможни стойности и техните вероятности.
Ако една случайна променлива се характеризира с краен ред на разпределение:
| х | х 1 | х 2 | х 3 | … | x n |
| Р | стр. 1 | стр. 2 | стр. 3 | … | r p |
след това математическото очакване M(X)се определя по формулата:
Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива се определя от равенството:
където е плътността на вероятността на случайната променлива х.
Пример 4.7.Намерете математическото очакване на броя точки, които се падат при хвърляне на зара.
Решение:
Случайна стойност хприема стойностите 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нека направим закона за неговото разпределение:
| х | ||||||
| Р |
Тогава математическото очакване е:
Свойства на математическото очакване:
1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа:
M(S)=S.
2. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване:
M(CX) = CM(X).
3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:
M(XY) = M(X)M(Y).
Пример 4.8. Независими случайни променливи хи Yсе дават от следните закони на разпределение:
| х | Y | ||||||
| Р | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Р | 0,8 | 0,2 |
Намерете математическото очакване на случайна променлива XY.
Решение.
Нека намерим математическите очаквания на всяко от тези количества:
случайни променливи хи Yнезависими, така че желаното математическо очакване:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Последица.Математическото очакване на произведението на няколко взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.
4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата на математическите очаквания на членовете:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Последица.Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.
Пример 4.9.Произвеждат се 3 изстрела с вероятност за попадение в целта, равна на стр. 1 = 0,4; p2= 0,3 и стр. 3= 0,6. Намерете математическото очакване на общия брой попадения.
Решение.
Броят на попаденията при първия изстрел е случайна променлива X 1, което може да приема само две стойности: 1 (попадение) с вероятност стр. 1= 0,4 и 0 (пропускане) с вероятност р 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Математическото очакване за броя на попаденията при първия изстрел е равно на вероятността за попадение:
По същия начин намираме математическите очаквания за броя на попаденията във втория и третия изстрел:
M(X 2)= 0,3 и M (X 3) \u003d 0,6.
Общият брой попадения също е произволна променлива, състояща се от сбора на попаденията във всеки от трите изстрела:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
Желаното математическо очакване хние намираме чрез теоремата на математиката, очакването на сумата.
- броят на момчетата на 10 новородени.
Съвсем ясно е, че това число не е предварително известно и в следващите десет родени деца може да има:
Или момчета - един и единственот изброените опции.
И за да поддържате форма, малко физическо възпитание:
- разстояние за скок на дължина (в някои единици).
Дори майсторът на спорта не може да го предвиди :)
Какви са обаче вашите хипотези?
2) Непрекъсната случайна променлива - взема всичкочислени стойности от някакъв краен или безкраен диапазон.
Забележка : съкращенията DSV и NSV са популярни в учебната литература
Първо, нека анализираме дискретна случайна променлива, след това - непрекъснато.
Закон за разпределение на дискретна случайна величина
- това е съответствиемежду възможните стойности на това количество и техните вероятности. Най-често законът е написан в таблица: 
Терминът е доста често срещан ред
разпространение, но в някои ситуации звучи двусмислено и затова ще се придържам към "закона".
И сега много важен момент: тъй като случайната променлива непременноще приеме една от ценностите, тогава се формират съответните събития пълна групаи сумата от вероятностите за тяхното възникване е равна на единица:
или, ако е написано сгънато:
Така например законът за разпределението на вероятностите за точки върху зара има следната форма: 
Без коментар.
Може да останете с впечатлението, че дискретна случайна променлива може да приема само „добри“ цели числа. Нека разсеем илюзията - те могат да бъдат всякакви:
Пример 1
Някои игри имат следния закон за разпределение на печалбите: 
…сигурно отдавна си мечтаете за такива задачи :) Да ви издам една тайна – аз също. Особено след приключване на работата по теория на полето.
Решение: тъй като една случайна променлива може да приеме само една от трите стойности, се формират съответните събития пълна група, което означава, че сумата от техните вероятности е равна на единица: 
Разобличаваме "партизанина": 
– по този начин вероятността да спечелите конвенционални единици е 0,4.
Контрол: какво трябва да сте сигурни.
Отговор:
Не е необичайно, когато законът за разпределение трябва да бъде съставен независимо. За тази употреба класическо определение на вероятността, теореми за умножение/събиране за вероятности за събитияи други чипове тервера:
Пример 2
В кутията има 50 лотарийни билета, 12 от които са печеливши, като 2 от тях печелят по 1000 рубли, а останалите - по 100 рубли. Съставете закон за разпределение на случайна променлива - размера на печалбата, ако един билет е изтеглен на случаен принцип от кутията.
Решение: както забелязахте, обичайно е да се поставят стойностите на случайна променлива възходящ ред. Затова започваме с най-малките печалби, а именно рубли.
Общо има 50 - 12 = 38 такива билета и съгл класическа дефиниция:
е вероятността произволно изтеглен билет да не спечели.
Останалите случаи са прости. Вероятността да спечелите рубли е:
Проверка: - и това е особено приятен момент от такива задачи!
Отговор: изискваният закон за разпределение на изплащането: 
Следната задача за самостоятелно решение:
Пример 3
Вероятността стрелецът да уцели целта е . Направете закон за разпределение на случайна променлива - брой попадения след 2 изстрела.
... знаех си, че ти липсва :) Помним теореми за умножение и събиране. Решение и отговор в края на урока.
Законът за разпределение напълно описва случайна променлива, но на практика е полезно (а понякога и по-полезно) да знаете само част от нея. числови характеристики .
Математическо очакване на дискретна случайна променлива
С прости думи, това средна очаквана стойностс многократно тестване. Нека случайна променлива приема стойности с вероятности 
съответно. Тогава математическото очакване на тази случайна променлива е равно на сбор от продуктитевсички негови стойности по съответните вероятности:
или в сгънат вид: 
Нека изчислим, например, математическото очакване на случайна променлива - броя точки, паднали на зара:
Сега нека си припомним нашата хипотетична игра: 
Възниква въпросът: изгодно ли е да играете тази игра? ...кой има впечатления? Така че не можете да кажете „на ръка“! Но на този въпрос може лесно да се отговори чрез изчисляване на математическото очакване, по същество - среднопретеглена стойноствероятности за печалба:
По този начин, математическото очакване на тази игра губещ.
Не вярвайте на впечатления - вярвайте на цифри!
Да, тук можете да спечелите 10 или дори 20-30 пъти подред, но в дългосрочен план неизбежно ще бъдем съсипани. И не бих ви посъветвал да играете такива игри :) Е, може би само за забавление.
От всичко казано по-горе следва, че математическото очакване НЕ Е СЛУЧАЙНА стойност.
Творческа задача за самостоятелно изследване:
Пример 4
Г-н X играе европейска рулетка по следната система: той постоянно залага 100 рубли на червено. Съставете закона за разпределение на случайна величина - нейната печалба. Изчислете математическото очакване на печалбите и го закръглете до копейки. как средно аритметичногуби ли играчът за всеки сто заложени?
справка : Европейската рулетка съдържа 18 червени, 18 черни и 1 зелен сектор ("нула"). В случай на падане на „червено“, на играча се плаща двоен залог, в противен случай той отива в дохода на казиното
Има много други системи за рулетка, за които можете да създадете свои собствени вероятностни таблици. Но това е случаят, когато не се нуждаем от закони и таблици за разпределение, защото е установено със сигурност, че математическото очакване на играча ще бъде абсолютно същото. Променя се само от система на система
