Възможните варианти са 4 от 10. Формули на комбинаториката. Пермутации. Преброяване на броя на пермутациите

Всички N елемента и нито един не се повтаря, тогава това е проблемът с броя на пермутациите. Решението може да се намери просто. Всеки от N елемента може да заеме първо място в редицата, следователно се получават N опции. На второ място - всяко, с изключение на това, което вече е използвано за първо място. Следователно, за всеки от N вече намерени избори има (N - 1) избори на второ място и обща сумакомбинации става N*(N - 1).
Същото може да се повтори и за останалите елементи от серията. За последното място остава само една опция - последният останал елемент. За предпоследния - два варианта и т.н.
Следователно, за серия от N неповтарящи се елемента, възможните пермутации са равни на произведението на всички цели числа от 1 до N. Това произведение се нарича факториел на N и се означава с N! (четете "en factorial").

В предишния случай броят на възможните елементи и броят на местата в серията съвпаднаха и техният брой беше равен на N. Но е възможна ситуация, когато има по-малко места в серията, отколкото има възможни елементи. С други думи, броят на елементите в извадката е равен на някакво число M и M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Първо, може да е необходимо да се преброи общият брой възможни начини, по които могат да бъдат подредени в ред M елемента от N. Такива начини се наричат разположения.
Второ, изследователят може да се интересува от броя на начините, по които M елементи могат да бъдат избрани от N. В този случай редът на елементите вече не е важен, но всеки два варианта трябва да се различават един от друг с поне един елемент . Такива методи се наричат комбинации.

За да се намери броят на разположенията по M елемента от N, може да се прибегне до същия начин на разсъждение, както в случая с пермутациите. На първо място все още може да има N елемента, на второ (N - 1) и т.н. Но за последното място, числото настроикине е 1, а (N - M + 1), защото когато разпределението приключи, все още ще има (N - M) неизползвани елементи.
По този начин броят на разположенията над M елемента от N е равен на произведението на всички цели числа от (N - M + 1) до N или, еквивалентно, частното N!/(N - M)!.

Очевидно броят на комбинациите от M елемента от N ще бъде по-малък от броя на разположенията. За всяка възможна комбинация има М! възможните разположения в зависимост от реда на елементите на тази комбинация. Следователно, за да намерите това число, трябва да разделите броя на разположенията върху M елемента от N на N!. С други думи, броят на комбинациите от M елемента от N е N!/(M!*(N - M)!).

Приятели! Тъй като вече имам този умрял тефтер, използвам го, за да ви задам една задача, с която вчера се бориха трима физици, двама икономисти, един от Политехниката и един от хуманитарните науки. Разбихме си целия мозък и постоянно получаваме различни резултати. Може би сред вас има програмисти и математически гении, освен това проблемът обикновено е училищен и много лесен, просто не извеждаме формула. Защото отпаднахме точни наукии вместо това по някаква причина пишем книги и рисуваме. съжалявам

И така, предистория.

Дадоха ми нова банкова карта и, както обикновено, без усилие познах нейния пин код. Но не подред. Искам да кажа, да кажем, че пин кодът беше 8794 и аз се обадих на 9748. Тоест аз триумфално позна всички числасъдържащи се в даденото четирицифрено число. Е да, не просто число, а просто неговите компоненти приЧудех се. Но всички числа са верни! ЗАБЕЛЕЖКА - Действах на случаен принцип, тоест не трябваше да подреждам вече познатите числа в правилния ред, просто действах в духа: тук има четири непознати за мен числа и вярвам, че сред тях може да има 9, 7, 4 и 8, като редът им не е важен.Веднага се запитахме Колко опции имах(вероятно за да разберете колко е готино, че го взех и го познах). Тоест от колко комбинации от четири числа трябваше да избирам? И тогава, разбира се, започна адът. Цяла вечер ни гръмнаха главите и накрая всички излязоха абсолютно различни вариантиотговор! Дори започнах да записвам всички тези комбинации в тетрадка подред, докато се увеличаваха, но на четиристотин разбрах, че има повече от четиристотин (във всеки случай това опроверга отговора на физика Треш, който увери че има четиристотин комбинации, но все още не е съвсем ясно) - и се отказа.

Всъщност, същността на въпроса.Каква е вероятността да познаете (в произволен ред) четирите числа, съдържащи се в четирицифрено число?

Или не, нека преформулираме (аз съм хуманист, съжалявам, въпреки че винаги съм имал огромна слабост към математиката), за да стане по-ясно и по-ясно. как не се повтарякомбинации от числа, съдържащи се в поредица от поредни числа от 0 до 9999? ( моля, не бъркайте това с въпроса „колко комбинации не се повтарячисла"!!! числата могат да се повтарят! Имам предвид, че 2233 и 3322 са включени този случайсъщата комбинация!).

Или по-конкретно. Трябва да позная едно число от десет четири пъти. Но не подред.

Е, или нещо друго. Като цяло трябва да разберете колко опции за цифровата комбинация имах, която формира пин кода на картата. Помощ, добри хора! Само моля, помагайте, не започвайте веднага да пишете, че има 9999 опции за тях(вчера това първо се сети на всички), защото това са глупости - все пак в перспективата, която ни тревожи, са числото 1234, числото 3421, числото 4312 и т.н. едно и също! Ами да, номерата могат да се повтарят, защото има пин код 1111 или там например 0007. Можете да си представите номер на кола вместо пин код. Да предположим, каква е вероятността да познаете всички единични цифри, съставляващи номера на колата? Или, за да премахна напълно теорията на вероятностите - от колко числови комбинации трябваше да избера една?

Моля, подкрепете отговорите и разсъжденията си с някакви точни формули, защото вчера едва не си загубихме ума. Много благодаря предварително на всички!

P.S. един умен мъж, програмист, художник и изобретател, просто много правилно предложи правилното решение на проблема, давайки ми няколко минути страхотно настроение: " решението на проблема е следното: тя има обсесивно-компулсивно разстройство, лечението е следното: ожени се и пусни домати. Ако бях на нейно място, щях да се занимавам повече не с въпроса „каква е вероятността“, а с въпроса „обръщам ли внимание на всички тези числа, по дяволите“?Общо взето няма какво да добавя :)

Калкулаторът по-долу е предназначен да генерира всички комбинации от n на m елемента.
Броят на тези комбинации може да се изчисли с помощта на калкулатора Elements of Combinatorics. Пермутации, разположения, комбинации.

Описание на алгоритъма за генериране под калкулатора.

Алгоритъм

Комбинациите се генерират в лексикографски ред. Алгоритъмът работи с порядковите индекси на елементите на множеството.
Нека разгледаме алгоритъма с пример.
За по-лесно представяне разгледайте набор от пет елемента, чиито индекси започват с 1, а именно 1 2 3 4 5.
Необходимо е да се генерират всички комбинации с размер m = 3.
Първо се инициализира първата комбинация от зададения размер m - индекси във възходящ ред
1 2 3
След това се проверява последният елемент, т.е. i = 3. Ако стойността му е по-малка от n - m + i, тогава тя се увеличава с 1.
1 2 4
Последният елемент се проверява отново и отново се увеличава.
1 2 5
Сега стойността на елемента е равна на максималната възможна: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, предишният елемент с i = 2 се проверява.
Ако стойността му е по-малка от n - m + i, тогава тя се увеличава с 1 и за всички елементи след нея стойността е равна на стойността на предходния елемент плюс 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
След това отново проверяваме за i = 3.
1 3 5
След това - проверете за i = 2.
1 4 5
След това идва ред i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
И по-нататък,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - последната комбинация, тъй като всички нейни елементи са равни на n - m + i.

Въпреки важната роля на ПИН кодовете в световната инфраструктура, все още не са провеждани академични изследвания за това как хората всъщност избират ПИН кодове.

Изследователите от университета в Кеймбридж Сьорен Прайбуш и Рос Андерсън поправиха ситуацията, като публикуваха първия в света количествен анализ на трудността при отгатване на 4-цифрен банков ПИН.

Използвайки данни за изтичане на пароли от небанкови източници и онлайн проучвания, изследователите установиха, че потребителите приемат избора на ПИН кодове много по-сериозно, отколкото избора на пароли за уебсайтове: повечето кодове съдържат почти произволен набор от числа. Въпреки това сред първоначалните данни има както прости комбинации, така и рождени дни - тоест, с малко късмет, нападателят може просто да отгатне желания код.

Отправната точка на изследването беше набор от последователности от 4-цифрени пароли от базата данни RockYou (1,7 милиона) и база данни от 200 хиляди ПИН кодове от програмата за заключване на екрана на iPhone (базата данни беше предоставена от разработчика на приложението Daniel Amitay) . В графиките, изградени върху тези данни, се появяват интересни модели - дати, години, повтарящи се числа и дори ПИН кодове, завършващи на 69. Въз основа на тези наблюдения учените изградиха линейна регресионен модел, който оценява популярността на всеки ПИН въз основа на 25 фактора, като например дали кодът е DDMM дата, дали е възходяща последователност и т.н. На тези общи условия отговарят 79% и 93% от ПИН кодовете във всеки от комплектите.

И така, потребителите избират 4-цифрени кодове въз основа само на няколко прости фактора. Ако банковите PIN кодове бяха избрани по този начин, 8-9% от тях биха могли да бъдат познати само с три опита! Но, разбира се, хората са много по-внимателни към банковите кодове. При липсата на голям набор от реални банкови данни, изследователите интервюираха повече от 1300 души, за да преценят как истинските ПИН кодове се различават от вече разгледаните. Предвид спецификата на изследването, респондентите не бяха питани за самите кодове, а само за съответствието им с някой от горните фактори (увеличение, формат DDMM и др.).

Оказа се, че хората наистина са много по-внимателни при избора на банкови ПИН кодове. Приблизително една четвърт от респондентите използват произволен ПИН код, генериран от банка. Повече от една трета избират своя ПИН, използвайки стария си телефонен номер, номер студентска карта, или някакъв друг набор от числа, който изглежда случаен. Според резултатите 64% от картодържателите използват псевдослучаен ПИН код, което е много повече от 23-27% в предишни експерименти с небанкови кодове. Други 5% използват цифрова схема (напр. 4545) и 9% предпочитат клавиатурна схема (напр. 2684). Като цяло, нападател с шест опита (три с банкомат и три с платежен терминал) има по-малко от 2% шанс да познае ПИН кода на картата на някой друг.

Фактор	Пример	разклащам те	iPhone	Интервю
*Дати*
DDMM	2311	5.26	1.38	3.07
DMYY	3876	9.26	6.46	5.54
MMDD	1123	10.00	9.35	3.66
mmyy	0683	0.67	0.20	0.94
ГГГГ	1984	33.39	7.12	4.95
Обща сума		58.57	24.51	22.76
*Модел на клавиатурата*
свързани	6351	1.52	4.99	-
квадрат	1425	0.01	0.58	-
ъгли	9713	0.19	1.06	-
кръст	8246	0.17	0.88	-
диагонална линия	1590	0.10	1.36	-
хоризонтална линия	5987	0.34	1.42	-
дума	5683	0.70	8.39	-
вертикална линия	8520	0.06	4.28	-
Обща сума		3.09	22.97	8.96
*цифров модел*
завършва на 69	6869	0.35	0.57	-
само числа 0-3	2000	3.49	2.72	-
само числа 0-6	5155	4.66	5.96	-
повтарящи се двойки	2525	2.31	4.11	-
същите цифри	6666	0.40	6.67	-
низходяща последователност	3210	0.13	0.29	-
възходяща последователност	4567	3.83	4.52	-
Обща сума		15.16	24.85	4.60
*Произволен набор от числа*		23.17	27.67	63.68

Всичко би било наред, но за съжаление значителна част от респондентите (23%) избират ПИН код под формата на дата - и почти една трета от тях използват датата си на раждане. Това прави съществена разлика, тъй като почти всички (99%) от анкетираните са отговорили, че държат различни идентификационни карти в портфейла си с банкови карти, на които е отпечатана тази дата. Ако нападателят знае рождения ден на притежателя на картата, тогава с компетентен подход вероятността да познаете ПИН-кода нараства до 9%.

Топ 100 на най-популярните PIN кодове

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S.На практика, разбира се, за нападателя е много по-лесно да шпионира вашия ПИН, отколкото да го познае. Но можете също да се предпазите от надникване - дори, изглежда, в безнадеждна ситуация:

Комбинаториката е дял от математиката, който изучава въпросите за това колко различни комбинации, при определени условия, могат да бъдат направени от дадени обекти. Основите на комбинаториката са много важни за оценката на вероятностите от случайни събития, т.к. именно те позволяват да се изчисли принципно възможният брой различни сценарии за развитие на събитията.

Основна комбинаторна формула

Нека има k групи от елементи и i-та групасе състои от n i елемента. Нека изберем по един елемент от всяка група. Тогава общ брой N начина, по които може да бъде направен такъв избор, се определя от връзката N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Пример 1Нека обясним това правило с прост пример. Нека има две групи елементи, като първата група се състои от n 1 елемента, а втората - от n 2 елемента. Колко различни двойки елементи могат да бъдат направени от тези две групи, така че двойката да съдържа по един елемент от всяка група? Да предположим, че сме взели първия елемент от първата група и без да го променяме, сме преминали през всички възможни двойки, променяйки само елементите от втората група. Има n 2 такива двойки за този елемент. След това вземаме втория елемент от първата група и също правим всички възможни двойки за него. Ще има и n 2 такива двойки. Тъй като в първата група има само n 1 елемента, ще има n 1 *n 2 възможни опции.

Пример 2Колко трицифрени четни числа могат да се съставят от цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ако цифрите могат да се повтарят?
Решение: n 1 \u003d 6 (тъй като можете да вземете всяка цифра от 1, 2, 3, 4, 5, 6 като първа цифра), n 2 \u003d 7 (тъй като можете да вземете всяка цифра от 0 като втора цифра, 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (тъй като можете да вземете всяка цифра от 0, 2, 4, 6 като трета цифра).
И така, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В случай, че всички групи се състоят от еднакъв брой елементи, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можем да предположим, че всеки избор е направен от една и съща група и елементът се връща в групата след избора. Тогава броят на всички начини за избор е равен на n k . Този начин на избор в комбинаториката се нарича върнати проби.

Пример 3Колко четирицифрени числа могат да се съставят от числата 1, 5, 6, 7, 8?
Решение.Има пет възможности за всяка цифра от четирицифрено число, така че N=5*5*5*5=5 4 =625.

Да разгледаме набор, състоящ се от n елемента. Това множество в комбинаториката се нарича общо население.

Брой разположения от n елемента по m

Определение 1.Настаняване от нелементи от мв комбинаториката се нарича произволен поръчан комплектот мразлични елементи, избрани от общата популация в нелементи.

Пример 4Различни подредби на три елемента (1, 2, 3) два по два ще бъдат комплекти (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Разположенията могат да се различават едно от друго както по елементи, така и по реда им.

Броят на поставянията в комбинаториката се означава с A n m и се изчислява по формулата:

коментар: n!=1*2*3*...*n (чете се: "en factorial"), освен това се приема, че 0!=1.

Пример 5. Колко двуцифрени числа има, в които цифрата на десетиците и цифрата на единиците са различни и нечетни?
Решение:защото има пет нечетни цифри, а именно 1, 3, 5, 7, 9, тогава този проблем се свежда до избора и поставянето на две от петте различни цифри на две различни позиции, т.е. дадените числа ще бъдат:

Определение 2. Комбинацияот нелементи от мв комбинаториката се нарича произволен неподреден комплектот м различни елементиизбрани от общата популация в нелементи.

Пример 6. За комплекта (1, 2, 3) комбинациите са (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Брой комбинации от n елемента по m

Броят на комбинациите се означава с C n m и се изчислява по формулата:

Пример 7По колко начина читателят може да избере две книги от шест налични?

Решение:Броят на начините е равен на броя на комбинациите от шест книги по две, т.е. се равнява:

Пермутации на n елемента

Определение 3. Пермутацияот нелементи се нарича произволен поръчан комплекттези елементи.

Пример 7а.Всички възможни пермутации на набор, състоящ се от три елемента (1, 2, 3), са: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Броят на различните пермутации на n елемента се означава с P n и се изчислява по формулата P n =n!.

Пример 8По колко начина могат да се подредят седем книги от различни автори на един рафт?

Решение:този проблем е за броя на пермутациите на седем различни книги. Има P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 начина за подреждане на книгите.

Дискусия.Виждаме, че броят на възможните комбинации може да бъде изчислен според различни правила (пермутации, комбинации, разположения) и резултатът ще бъде различен, т.к. принципът на броене и самите формули са различни. Разглеждайки внимателно дефинициите, можете да видите, че резултатът зависи от няколко фактора едновременно.

Първо, от колко елемента можем да комбинираме техните набори (колко голяма е общата съвкупност от елементи).

Второ, резултатът зависи от това какъв размер на наборите от елементи са ни необходими.

И накрая, важно е да знаем дали редът на елементите в комплекта е важен за нас. Нека обясним последния фактор със следния пример.

Пример 9На родителската среща присъстват 20 души. Колко различни варианта за състава на родителския комитет има, ако той трябва да включва 5 души?
Решение:В този пример не се интересуваме от реда на имената в списъка на комисиите. Ако в резултат на това в състава му се появят същите хора, тогава по отношение на значението за нас това е една и съща опция. Следователно можем да използваме формулата за изчисляване на числото комбинацииот 20 елемента, 5.

Нещата ще бъдат различни, ако всеки член на комисията първоначално отговаря за определена област на работа. Тогава при същата ведомост на комисията са възможни 5 вътре в нея! настроики пермутациитова значение. Броят на различните (както по отношение на състава, така и по отношение на зоната на отговорност) опции се определя в този случай от броя разположенияот 20 елемента, 5.

Задачи за самопроверка
1. Колко трицифрени четни числа могат да се съставят от числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ако числата могат да се повтарят?
защото четно число на трето място може да бъде 0, 2, 4, 6, т.е. четири цифри. Второто място може да бъде всяка от седемте цифри. Първото място може да бъде всяка от седемте цифри с изключение на нула, т.е. 6 възможности. Резултат =4*7*6=168.
2. Колко петцифрени числа има, които се четат еднакво отляво надясно и отдясно наляво?
Първото място може да бъде всяко число освен 0, т.е. 9 възможности. Второто място може да бъде произволно число, т.е. 10 възможности. Третото място също може да бъде произволно число от, т.е. 10 възможности. Четвъртата и петата цифра са предварително определени, те съвпадат с първата и втората, следователно броят на тези числа е 9*10*10=900.
3. Има десет предмета в класа и пет урока на ден. По колко начина можете да направите график за един ден?

4. По колко начина могат да бъдат избрани 4 делегата за конференцията, ако в групата има 20 души?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. По колко начина могат да се поставят осем различни писма в осем различни плика, ако във всеки плик има само едно писмо?
В първия плик можете да поставите 1 от осемте писма, във втория - от седемте останали писма, в третия - от шестте и т.н. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. От трима математици и десет икономисти е необходимо да се направи комисия, състояща се от двама математици и шестима икономисти. По колко начина може да стане това?

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаториката е дял от математиката, който изучава проблемите на избора и подреждането на елементи от някакво основно множество в съответствие с дадени правила. Формулите и принципите на комбинаториката се използват в теорията на вероятностите за изчисляване на вероятността случайни събитияи съответно получаване на закони за разпределение случайни променливи. Това от своя страна дава възможност да се изучават законите на масовите случайни явления, което е много важно за правилното разбиране на статистическите закони, които се проявяват в природата и техниката.

Правила за събиране и умножение в комбинаториката

Правило за сумата. Ако две действия A и B са взаимно изключващи се и действие A може да бъде извършено по m начина, а B по n начина, тогава всяко едно от тези действия (или A, или B) може да бъде извършено по n + m начина.

Пример 1

В класа има 16 момчета и 10 момичета. По колко начина може да бъде назначен един придружител?

Решение

Можете да назначите дежурно или момче, или момиче, т.е. всяко от 16-те момчета или всяко от 10-те момичета може да бъде дежурно.

Според правилото за сумата получаваме, че един дежурен служител може да бъде назначен по 16+10=26 начина.

Продуктово правило. Нека се изисква да се извършат последователно k действия. Ако първото действие може да бъде извършено по n 1 начина, второто действие по n 2 начина, третото по n 3 начина и така нататък до k-тото действие, което може да бъде извършено по n k начина, тогава всички k действия заедно могат да бъдат изпълнено:

начини.

Пример 2

В класа има 16 момчета и 10 момичета. По колко начина могат да бъдат назначени двама придружители?

Решение

Първият дежурен може да бъде както момче, така и момиче. защото в класа има 16 момчета и 10 момичета, тогава можете да назначите първи дежурен по 16 + 10 = 26 начина.

След като сме избрали първия дежурен, можем да изберем втория от останалите 25 човека, т.е. 25 начина.

По теоремата за умножение двама помощници могат да бъдат избрани по 26*25=650 начина.

Комбинации без повторение. Комбинации с повторения

Класическият проблем на комбинаториката е проблемът за броя на комбинациите без повторения, чието съдържание може да бъде изразено чрез въпроса: колко начини мога избирам м от н различни предмети ?

Пример 3

Трябва да изберете 4 от 10-те различни книги, налични като подарък. По колко начина може да стане това?

Решение

Трябва да изберем 4 от 10 книги, като редът на избор няма значение. По този начин трябва да намерите броя на комбинациите от 10 елемента по 4:

Разгледайте проблема с броя на комбинациите с повторения: има r идентични обекта на всеки от n различни видове; колко начини мога избирам m() от тези (n*r) елементи?

Пример 4

В сладкарницата се продават 4 вида торти: наполеони, еклери, сладкиши и бутер. По колко начина могат да се купят 7 торти?

Решение

защото сред 7 торти може да има торти от един и същи сорт, тогава броят на начините, по които могат да бъдат закупени 7 торти, се определя от броя на комбинациите с повторения от 7 до 4.

Разположения без повторение. Поставяния с повторения

Класическият проблем на комбинаториката е проблемът за броя на поставянията без повторения, чието съдържание може да бъде изразено чрез въпроса: колко начини мога избирам и място На m различен места м от n различни елементи?

Пример 5

Някой вестник има 12 страници. На страниците на този вестник е необходимо да поставите четири снимки. По колко начина може да стане това, ако нито една страница от вестника не трябва да съдържа повече от една снимка?

Решение.

В този проблем ние не просто избираме снимки, а ги поставяме на определени страници от вестника, като всяка страница от вестника трябва да съдържа не повече от една снимка. По този начин проблемът се свежда до класическия проблем за определяне на броя на поставянията без повторения от 12 елемента по 4 елемента:

Така 4 снимки на 12 страници могат да бъдат подредени по 11880 начина.

Също класически проблемкомбинаториката е проблемът за броя на поставянията с повторения, чието съдържание може да се изрази с въпроса: колко начини мога тиbармия и място На m различен места м от n артикуласред който има същото?

Пример 6

Момчето беше тръгнало от снимачната площадка за настолна играпечати с цифрите 1, 3 и 7. Той решава да използва тези печати, за да постави петцифрени номера на всички книги - да състави каталог. Колко различни петцифрени числа може да направи момчето?

Пермутации без повторение. Пермутации с повторения

Класическият проблем на комбинаториката е проблемът за броя на пермутациите без повторение, чието съдържание може да бъде изразено чрез въпроса: колко начини мога място н различни елементи на n различни места?

Пример 7

Колко четирибуквени „думи“ могат да се направят от буквите на думата „брак“?

Решение

Общият набор е 4 букви от думата "брак" (b, p, a, k). Броят на "думите" се определя от пермутациите на тези 4 букви, т.е.

За случая, когато сред избраните n елемента има еднакви (селекция с връщане), проблемът за броя на пермутациите с повторения може да бъде изразен чрез въпроса: По колко начина могат да бъдат пренаредени n обекта на n различни места, ако сред n обекта има k различни типа (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.