Графичният метод е един от основните методи за решаване на квадратни неравенства. В статията ще представим алгоритъм за прилагане на графичния метод и след това ще разгледаме специални случаи, като използваме примери.

Същността на графичния метод

Методът е приложим за решаване на всякакви неравенства, не само квадратни. Същността му е следната: дясната и лявата част на неравенството се разглеждат като две отделни функции y \u003d f (x) и y \u003d g (x), техните графики са вградени правоъгълна системакоординати и вижте коя от графиките е разположена над другата и на какви интервали. Интервалите се оценяват, както следва:

Определение 1

• решенията на неравенството f(x) > g(x) са интервалите, в които графиката на функцията f е по-висока от графиката на функцията g;
• решенията на неравенството f (x) ≥ g (x) са интервалите, в които графиката на функцията f не е по-ниска от графиката на функцията g;
• решения на неравенството f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• решенията на неравенството f (x) ≤ g (x) са интервалите, в които графиката на функцията f не е по-висока от графиката на функцията g;
• абсцисите на пресечните точки на графиките на функциите f и g са решения на уравнението f(x) = g(x) .

Разгледайте горния алгоритъм с пример. За да направите това, вземете квадратното неравенство a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) и извлича две функции от него. Лявата страна на неравенството ще съответства на y = a x 2 + b x + c (в този случай f (x) = a x 2 + b x + c), а дясната y = 0 (в този случай g (x) = 0 ).

Графиката на първата функция е парабола, втората е права линия, която съвпада с оста x. Нека анализираме позицията на параболата спрямо оста x. За да направите това, ще изпълним схематичен чертеж.

Клоните на параболата са насочени нагоре. Тя пресича оста x в точки х 1и x2. Коефициентът a в този случай е положителен, тъй като той е отговорен за посоката на клоните на параболата. Дискриминантът е положителен, което показва, че квадратният тричлен има два корена. a x 2 + b x + c. Означаваме корените на тричлена като х 1и x2, и беше прието, че х 1< x 2 , тъй като на оста O x са изобразили точка с абциса х 1вляво от точката с абсцисата x2.

Частите на параболата, разположени над оста O x, са означени с червено, отдолу - със синьо. Това ще ни позволи да направим рисунката по-визуална.

Нека изберем пропуските, които съответстват на тези части, и ги маркираме на фигурата с полета с определен цвят.

Маркирахме в червено интервалите (− ∞, x 1) и (x 2, + ∞), върху тях параболата е над оста O x. Те са a x 2 + b x + c > 0 . В синьо отбелязахме интервала (x 1 , x 2) , който е решението на неравенството a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Нека направим кратка бележка за решението. За a > 0 и D = b 2 − 4 a c > 0 (или D " = D 4 > 0 за четен коефициент b) получаваме:

• решението на квадратното неравенство a x 2 + b x + c > 0 е (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) или по друг начин x< x 1 , x >x2;
• решението на квадратното неравенство a · x 2 + b · x + c ≥ 0 е (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) или в друга нотация x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• решение на квадратното неравенство a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• решението на квадратното неравенство a x 2 + b x + c ≤ 0 е [ x 1, x 2 ] или в друга нотация x 1 ≤ x ≤ x 2,

където x 1 и x 2 са корените на квадратния трином a x 2 + b x + c и x 1< x 2 .

На тази фигура параболата докосва оста O x само в една точка, която е обозначена като x0 а > 0. D=0, следователно, квадратен тричленима един корен x0.

Параболата е разположена изцяло над оста O x, с изключение на точката на контакт на координатната ос. Оцветете празнините (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Нека запишем резултатите. При а > 0и D=0:

• решение на квадратното неравенство a x 2 + b x + c > 0е (− ∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) или в друга нотация x ≠ x0;
• решение на квадратното неравенство a x 2 + b x + c ≥ 0е (− ∞ , + ∞) или в друга нотация x ∈ R ;
• квадратно неравенство a x 2 + b x + c< 0 няма решения (няма интервали, на които параболата да е разположена под оста O x);
• квадратно неравенство a x 2 + b x + c ≤ 0има единственото решение x = x0(дава се от точката за контакт),

където x0- корен на квадратен тричлен a x 2 + b x + c.

Разгледайте третия случай, когато клоните на параболата са насочени нагоре и не докосват оста O x. Клоните на параболата сочат нагоре, което означава, че а > 0. Квадратният тричлен няма реални корени, защото д< 0 .

На графиката няма интервали, при които параболата да е под оста x. Ще вземем това предвид, когато избираме цвят за нашата рисунка.

Оказва се, че когато а > 0и д< 0 решение на квадратни неравенства a x 2 + b x + c > 0и a x 2 + b x + c ≥ 0е множеството от всички реални числа и неравенствата a x 2 + b x + c< 0 и a x 2 + b x + c ≤ 0нямат решения.

Остава да разгледаме три варианта, когато клоните на параболата са насочени надолу. Не е необходимо да се спираме на тези три варианта, тъй като при умножаване на двете части на неравенството по - 1, получаваме еквивалентно неравенство с положителен коефициент при x 2.

Разглеждането на предишния раздел на статията ни подготви за възприемането на алгоритъма за решаване на неравенства с помощта на графичен метод. За да извършваме изчисления, ще трябва да използваме чертеж всеки път, който ще показва координатната линия O x и парабола, която съответства на квадратична функция y = a x 2 + b x + c. В повечето случаи няма да изобразяваме оста O y, тъй като тя не е необходима за изчисления и само ще претовари чертежа.

За да конструираме парабола, ще трябва да знаем две неща:

Определение 2

• посоката на клоните, която се определя от стойността на коефициента a ;
• наличието на пресечни точки на параболата и абсцисната ос, които се определят от стойността на дискриминанта на квадратния трином a · x 2 + b · x + c.

Ще обозначим точките на пресичане и допиране по обичайния начин при решаване на нестроги неравенства и празни при решаване на строги.

Наличието на готов чертеж ви позволява да преминете към следващата стъпка от решението. Това включва определяне на интервалите, на които параболата е разположена над или под оста O x. Пропуските и пресечните точки са решението на квадратното неравенство. Ако няма пресечни или допирни точки и интервали, тогава се счита, че даденото в условията на задачата неравенство няма решения.

Сега нека решим някои квадратни неравенства, използвайки горния алгоритъм.

Пример 1

Необходимо е да се реши неравенството 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 графично.

Решение

Нека начертаем графика на квадратната функция y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Коефициент при x2положително, защото 2 . Това означава, че клоните на параболата ще бъдат насочени нагоре.

Изчисляваме дискриминанта на квадратния трином 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2, за да разберем дали параболата има общи точки с оста x. Получаваме:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) \u003d 400 9

Както можете да видите, D е по-голямо от нула, следователно имаме две пресечни точки: x 1 \u003d - 5 1 3 - 400 9 2 2 и x 2 \u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2, т.е. x 1 = − 3и x 2 = 1 3.

Решаваме нестрого неравенство, затова поставяме обикновени точки на графиката. Начертаваме парабола. Както можете да видите, чертежът има същия вид като в първия шаблон, който прегледахме.

Нашето неравенство има знак ≤ . Следователно трябва да изберем празнините на графиката, където параболата е разположена под оста O x и да добавим пресечни точки към тях.

Интервалът, от който се нуждаем, е − 3 , 1 3 . Добавяйки пресечни точки към него, получаваме числова линия− 3 , 1 3 . Това е решението на нашия проблем. Отговорът може да се запише като двойно неравенство: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Отговор:− 3 , 1 3 или − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Пример 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 графичен метод.

Решение

Квадратът на променливата има отрицателен числов коефициент, така че клоновете на параболата ще сочат надолу. Изчислете четвъртата част от дискриминанта D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. Този резултат ни казва, че ще има две точки на пресичане.

Нека изчислим корените на квадратния трином: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 и x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 и х2 = 9.

Оказва се, че параболата пресича оста x в точки 7 и 9 . Маркираме тези точки на графиката като празни, тъй като работим със строго неравенство. След това начертаваме парабола, която пресича оста O x в маркираните точки.

Ще се интересуваме от интервалите, на които параболата е разположена под оста O x. Маркирайте тези интервали в синьо.

Получаваме отговора: решението на неравенството са интервалите (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Отговор:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) или в друга нотация x< 7 , x > 9 .

В случаите, когато дискриминантът на квадратен трином е нула, трябва да се внимава дали да се включи абсцисата на допирателната точка в отговора. За да вземете правилното решение, е необходимо да вземете предвид знака за неравенство. При строгите неравенства точката на допир на абсцисната ос не е решение на неравенството, при нестрогите е.

Пример 3

Решете квадратното неравенство 10 x 2 − 14 x + 4 , 9 ≤ 0графичен метод.

Решение

Клоните на параболата в този случай ще бъдат насочени нагоре. Той ще докосне оста O x в точка 0, 7, тъй като

Нека начертаем функцията y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Клоните му са насочени нагоре, тъй като коефициентът при x2положителен и докосва оста x в точката с оста x 0 , 7 , защото D" = (− 7) 2 − 10 4 , 9 = 0, откъдето x 0 = 7 10 или 0 , 7 .

Нека поставим точка и начертаем парабола.

Решаваме нестрого неравенство със знак ≤ . Следователно. Ще се интересуваме от интервалите, на които параболата се намира под оста x и точката на контакт. Във фигурата няма интервали, които да удовлетворяват нашите условия. Има само точка на докосване 0, 7. Това е търсеното решение.

Отговор:Неравенството има само едно решение 0 , 7 .

Пример 4

Решете квадратното неравенство – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Решение

Клоните на параболата сочат надолу. Дискриминантът е нула. Пресечна точка x0 = 4.

Маркираме точката на контакт на оста x и начертаваме парабола.

Имаме работа със строго неравенство. Следователно се интересуваме от интервалите, на които параболата е разположена под оста O x. Нека ги маркираме в синьо.

Точката с абциса 4 не е решение, тъй като параболата не е разположена под оста O x при нея. Следователно получаваме два интервала (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Отговор: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) или в друга нотация x ≠ 4 .

Не винаги с отрицателна стойност на дискриминанта, неравенството няма да има решения. Има случаи, когато решението ще бъде множеството от всички реални числа.

Пример 5

Решете графично квадратното неравенство 3 · x 2 + 1 > 0.

Решение

Коефициентът a е положителен. Дискриминантът е отрицателен. Клоните на параболата ще бъдат насочени нагоре. Няма точки на пресичане на параболата с оста O x. Нека се обърнем към чертежа.

Работим със строго неравенство, което има знак >. Това означава, че се интересуваме от интервалите, на които параболата е разположена над оста x. Точно такъв е случаят, когато отговорът е множеството от всички реални числа.

Отговор:(− ∞ , + ∞) или така x ∈ R .

Пример 6

Необходимо е да се намери решение на неравенството − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0графичен начин.

Решение

Клоните на параболата сочат надолу. Дискриминантът е отрицателен, така че общи точкиняма парабола и ос х. Нека се обърнем към чертежа.

Работим с нестрого неравенство със знак ≥ , следователно ни интересуват интервалите, на които параболата е разположена над оста x. Съдейки по графика, няма такива пропуски. Това означава, че даденото в условието на задачата неравенство няма решения.

Отговор:Решения няма.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Един от най-удобните методи за решаване на квадратни неравенства е графичният метод. В тази статия ще анализираме как квадратните неравенства се решават графично. Първо, нека обсъдим каква е същността на този метод. След това даваме алгоритъма и разглеждаме примери за решаване на квадратни неравенства графично.

Навигация в страницата.

Същността на графичния метод

В общи линии графичен начин за решаване на неравенствас една променлива се използва не само за решаване на квадратни неравенства, но и на неравенства от други видове. Същността на графичния метод за решаване на неравенстваследващ: разгледайте функциите y=f(x) и y=g(x), които съответстват на ляво и десни частинеравенства, изградете техните графики в една правоъгълна координатна система и разберете на какви интервали графиката на едно от тях е разположена под или над другото. Тези интервали, където

• графиката на функцията f над графиката на функцията g са решения на неравенството f(x)>g(x) ;
• графиката на функцията f не по-ниска от графиката на функцията g са решения на неравенството f(x)≥g(x) ;
• графиката на функцията f под графиката на функцията g са решения на неравенството f(x)
• графиката на функцията f не над графиката на функцията g са решения на неравенството f(x)≤g(x) .

Да кажем също, че абсцисите на пресечните точки на графиките на функции f и g са решения на уравнението f(x)=g(x) .

Нека прехвърлим тези резултати към нашия случай – да решим квадратното неравенство a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Въвеждаме две функции: първата y=a x 2 +b x+c (в този случай f(x)=a x 2 +b x+c) съответства на лявата страна на квадратното неравенство, втората y=0 (в този случай g (x)=0 ) съответства на дясната страна на неравенството. график квадратична функция f е парабола и графиката постоянна функция g е права, съвпадаща с абсцисната ос Ox.

Освен това, според графичния метод за решаване на неравенства, е необходимо да се анализира на какви интервали графиката на една функция е разположена над или под другата, което ще ни позволи да напишем желаното решение на квадратното неравенство. В нашия случай трябва да анализираме позицията на параболата спрямо оста Ox.

В зависимост от стойностите на коефициентите a, b и c са възможни следните шест опции (схематично представяне е достатъчно за нашите нужди и е възможно да не изобразяваме оста Oy, тъй като нейната позиция не влияе на решението на неравенството):

На този чертеж виждаме парабола, чиито клонове са насочени нагоре и която пресича оста Ox в две точки, чиито абциси са x 1 и x 2 . Този чертеж съответства на варианта, когато коефициентът a е положителен (той отговаря за посоката нагоре на клоните на параболата) и когато стойността е положителна дискриминант на квадратен тричлен a x 2 +b x + c (в този случай тричленът има два корена, които означихме като x 1 и x 2, и приехме, че x 1 0 , D=b 2 −4 a c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

За по-голяма яснота, нека начертаем в червено частите на параболата, разположени над абсцисната ос, и в синьо - разположени под абсцисната ос.


Сега нека разберем какви пропуски съответстват на тези части. Следният чертеж ще ви помогне да ги определите (в бъдеще ще направим психически такива селекции под формата на правоъгълници):


Така че на абсцисната ос два интервала (−∞, x 1) и (x 2, +∞) бяха маркирани в червено, върху тях параболата е по-висока от оста Ox, те представляват решението на квадратното неравенство a x 2 + b x+c>0 , а интервалът (x 1 , x 2) е маркиран в синьо, на него параболата е под оста Ox , тя е решение на неравенството a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А сега накратко: за a>0 и D=b 2 −4 a c>0 (или D"=D/4>0 за четен коефициент b)

• решението на квадратното неравенство a x 2 +b x+c>0 е (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) или, по друг начин, x x2;
• решението на квадратното неравенство a x 2 +b x+c≥0 е (−∞, x 1 ]∪ или в друга нотация x 1 ≤x≤x 2,

където x 1 и x 2 са корените на квадратния трином a x 2 + b x + c и x 1


Тук виждаме парабола, чиито клонове са насочени нагоре и която докосва абсцисната ос, тоест има една обща точка с нея, нека обозначим абсцисата на тази точка като x 0. Представеният случай съответства на a>0 (клоните са насочени нагоре) и D=0 (квадратният трином има един корен x 0 ). Например, можем да вземем квадратичната функция y=x 2 −4 x+4 , тук a=1>0 , D=(−4) 2 −4 1 4=0 и x 0 =2 .

Чертежът ясно показва, че параболата е разположена над оста Ox навсякъде, с изключение на точката на контакт, тоест в интервалите (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . За по-голяма яснота избираме области в чертежа по аналогия с предишния параграф.


Правим изводи: за a>0 и D=0

• решението на квадратното неравенство a x 2 +b x+c>0 е (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) или в друга нотация x≠x 0 ;
• решението на квадратното неравенство a x 2 +b x+c≥0 е (−∞, +∞) или, в друга нотация, x∈R ;
• квадратно неравенство a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратното неравенство a x 2 +b x+c≤0 има единствено решение x=x 0 (дадено е от допирателната точка),

където x 0 е коренът на квадратния трином a x 2 + b x + c.


В този случай клоните на параболата са насочени нагоре и тя няма общи точки с абсцисната ос. Тук имаме условията a>0 (клоните са насочени нагоре) и D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4 2 1=−8<0 .

Очевидно параболата е разположена над оста Ox по цялата си дължина (няма интервали, където е под оста Ox, няма точка на контакт).


Така за a>0 и D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 и a x 2 +b x+c≥0 е множеството от всички реални числа и неравенствата a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

И има три варианта за местоположението на параболата с клони, насочени надолу, а не нагоре, спрямо оста Ox. По принцип те може да не се вземат предвид, тъй като умножаването на двете части на неравенството по −1 ни позволява да преминем към еквивалентно неравенство с положителен коефициент при x 2 . Въпреки това не пречи да добиете представа за тези случаи. Разсъжденията тук са подобни, така че записваме само основните резултати.

Алгоритъм за решение

Резултатът от всички предишни изчисления е алгоритъм за графично решаване на квадратни неравенства:

На координатната равнина се прави схематичен чертеж, който изобразява оста Ox (не е необходимо да се изобразява оста Oy) и скица на парабола, съответстваща на квадратична функция y=a x 2 +b x + c. За да изградите скица на парабола, достатъчно е да разберете две точки:

• Първо, по стойността на коефициента a се установява накъде са насочени неговите клонове (при a>0 - нагоре, при a<0 – вниз).
• И второ, по стойността на дискриминанта на квадратния трином a x 2 + b x + c се оказва дали параболата пресича оста x в две точки (за D> 0), докосва я в една точка (за D= 0), или няма общи точки с оста Ox (за D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Когато чертежът е готов, върху него на втората стъпка от алгоритъма

  • при решаване на квадратното неравенство a·x 2 +b·x+c>0 се определят интервалите, на които параболата е разположена над абсцисната ос;
  • при решаване на неравенството a x 2 +b x+c≥0 се определят интервалите, при които параболата е разположена над абсцисната ос и към тях се добавят абсцисите на пресечните точки (или абсцисата на допирателната точка);
  • при решаване на неравенството a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • накрая, при решаване на квадратно неравенство под формата a x 2 +b x+c≤0, има интервали, където параболата е под оста Ox и абсцисите на пресечните точки (или абсцисата на точката на допиране) се добавят към тях;

  те представляват желаното решение на квадратното неравенство и ако няма такива интервали и допирни точки, тогава първоначалното квадратно неравенство няма решения.

Остава само да се решат няколко квадратни неравенства с помощта на този алгоритъм.

Примери с решения

Пример.

Решете неравенството .

Решение.

Трябва да решим квадратно неравенство, ще използваме алгоритъма от предходния параграф. В първата стъпка трябва да начертаем скица на графиката на квадратичната функция . Коефициентът при x 2 е 2, той е положителен, следователно клоновете на параболата са насочени нагоре. Нека разберем също дали параболата с абсцисната ос има общи точки, за това изчисляваме дискриминанта на квадратния трином . Ние имаме . Дискриминантът се оказа по-голям от нула, следователно триномът има два реални корена: и , тоест x 1 =−3 и x 2 =1/3.

От това става ясно, че параболата пресича оста Ox в две точки с абсциси −3 и 1/3. Ще изобразим тези точки на чертежа като обикновени точки, тъй като решаваме нестрого неравенство. Според изяснените данни получаваме следния чертеж (съответства на първия шаблон от първия параграф на статията):

Преминаваме към втората стъпка от алгоритъма. Тъй като решаваме нестрого квадратно неравенство със знак ≤, трябва да определим интервалите, на които параболата е разположена под абсцисната ос и да добавим към тях абсцисите на пресечните точки.

От чертежа се вижда, че параболата е под абсцисата в интервала (−3, 1/3) и към нея добавяме абсцисите на пресечните точки, тоест числата −3 и 1/3. В резултат на това стигаме до числовия сегмент [−3, 1/3] . Това е търсеното решение. Може да се запише като двойно неравенство −3≤x≤1/3 .

Отговор:

[−3, 1/3] или −3≤x≤1/3.

Пример.

Намерете решение на квадратното неравенство −x 2 +16 x−63<0 .

Решение.

Както обикновено, започваме с рисунка. Численият коефициент за квадрата на променливата е отрицателен, −1, следователно клоновете на параболата са насочени надолу. Нека изчислим дискриминанта или по-добре четвъртата му част: D"=8 2 −(−1)(−63)=64−63=1. Стойността му е положителна, изчисляваме корените на квадратния трином: и , x 1 =7 и x 2 =9. Така че параболата пресича оста Ox в две точки с абсцисите 7 и 9 (първоначалното неравенство е строго, така че ще изобразим тези точки с празен център). Сега можем да направим схематичен чертеж:

Тъй като решаваме строго квадратно неравенство със знак<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Чертежът показва, че решенията на първоначалното квадратно неравенство са два интервала (−∞, 7) , (9, +∞) .

Отговор:

(−∞, 7)∪(9, +∞) или в друга нотация x<7 , x>9 .

При решаване на квадратни неравенства, когато дискриминантът на квадратен тричлен от лявата му страна е равен на нула, трябва да внимавате с включването или изключването на абсцисата на допирателната точка от отговора. Зависи от знака на неравенството: ако неравенството е строго, то не е решение на неравенството, а ако не е строго, то е.

Пример.

Квадратното неравенство 10 x 2 −14 x+4,9≤0 има ли поне едно решение?

Решение.

Нека начертаем функцията y=10 x 2 −14 x+4,9 . Неговите клонове са насочени нагоре, тъй като коефициентът при x 2 е положителен и докосва абсцисата в точката с абсцисата 0,7, тъй като D "=(−7) 2 −10 4,9=0, откъдето или 0,7 като десетичен знак. Схематично това изглежда така:

Тъй като решаваме квадратно неравенство със знак ≤, то неговото решение ще бъдат интервалите, на които параболата е под оста Ox, както и абсцисата на допирателната точка. От чертежа може да се види, че няма нито една празнина, където параболата да е под оста Ox, следователно нейното решение ще бъде само абсцисата на точката на контакт, тоест 0,7.

Отговор:

това неравенство има единствено решение 0.7 .

Пример.

Решете квадратното неравенство –x 2 +8 x−16<0 .

Решение.

Действаме според алгоритъма за решаване на квадратни неравенства и започваме с начертаване. Клоните на параболата са насочени надолу, тъй като коефициентът при x 2 е отрицателен, −1. Намерете дискриминанта на квадратния трином –x 2 +8 x−16 , който имаме D'=4 2 −(−1)(−16)=16−16=0и по-нататък x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . И така, параболата докосва оста Ox в точката с абсцисата 4 . Да направим чертеж:

Гледаме знака на първоначалното неравенство, той е<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

В нашия случай това са отворени лъчи (−∞, 4) , (4, +∞) . Отделно отбелязваме, че 4 - абсцисата на допирателната точка - не е решение, тъй като в допирателната точка параболата не е по-ниска от оста Ox.

Отговор:

(−∞, 4)∪(4, +∞) или в друга нотация x≠4 .

Обърнете специално внимание на случаите, когато дискриминантът на квадратния тричлен от лявата страна на квадратното неравенство е по-малък от нула. Тук няма нужда да бързаме и да казваме, че неравенството няма решения (свикнали сме да правим такова заключение за квадратни уравнения с отрицателен дискриминант). Въпросът е, че квадратното неравенство за D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Пример.

Намерете решението на квадратното неравенство 3 x 2 +1>0 .

Решение.

Както обикновено, започваме с рисунка. Коефициентът a е 3, той е положителен, следователно клоните на параболата са насочени нагоре. Изчислете дискриминанта: D=0 2 −4 3 1=−12 . Тъй като дискриминантът е отрицателен, параболата няма общи точки с оста x. Получената информация е достатъчна за схематична диаграма:

Решаваме строго квадратно неравенство със знак >. Неговото решение ще бъдат всички интервали, където параболата е над оста Ox. В нашия случай параболата е над оста x по цялата си дължина, така че желаното решение ще бъде множеството от всички реални числа.

Ox , а също така трябва да добавите абсцисата на пресечните точки или абсцисата на допирната точка към тях. Но чертежът ясно показва, че няма такива пропуски (тъй като параболата е навсякъде под абсцисната ос), както и няма пресечни точки, както няма и допирни точки. Следователно първоначалното квадратно неравенство няма решения.

Отговор:

няма решения или в друга нотация ∅.

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебна тетрадка образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., Sr. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Ученик от 10 клас Юрий Котовчихин

Учениците започват да изучават уравнения с модули още от 6-ти клас, те изучават стандартния метод за решаване с помощта на разширяването на модулите на интервали на постоянство на подмодулни изрази. Избрах точно тази тема, защото смятам, че изисква по-задълбочено и задълбочено изучаване, задачите от модула създават големи затруднения на учениците. В училищната програма има задачи, съдържащи модул, като задачи с повишена сложност и на изпити, затова трябва да сме подготвени да се срещнем с такава задача.

Изтегли:

Преглед:

Общинско учебно заведение

Средно училище №5

Изследователска работа по темата:

« Алгебрични и графични решения на уравнения и неравенства, съдържащи модул»

Свърших работата:

ученик от 10 клас

Котовчихин Юрий

Ръководител:

Учител по математика

Шанта Н.П.

Урюпинск

1. Въведение…………………………………………………………….3

2. Понятия и дефиниции………………………………………….5

3. Доказателство на теореми………………………………………………..6

4. Методи за решаване на уравнения, съдържащи модул……………7

12

4.2 Използване на геометричната интерпретация на модула за решаване на уравнения……………………………………………………………..14

4.3 Графики на най-простите функции, съдържащи знака на абсолютната стойност.

………………………………………………………………………15

4.4 Решение на нестандартни уравнения, съдържащи модула .... 16

5. Заключение………………………………………………………….17

6. Списък на използваната литература………………………………………………………………………………………………………18

Целта на работата: учениците започват да изучават уравнения с модули още от 6-ти клас, изучават стандартния метод за решаване, като използват разширяването на модулите на интервали на постоянство на подмодулни изрази. Избрах точно тази тема, защото смятам, че изисква по-задълбочено и задълбочено изучаване, задачите от модула създават големи затруднения на учениците. В училищната програма има задачи, съдържащи модул, като задачи с повишена сложност и на изпити, затова трябва да сме подготвени да се срещнем с такава задача.

1. Въведение:

Думата "модул" идва от латинската дума "modulus", което означава "мярка". Това е многозначна дума (омоним), която има много значения и се използва не само в математиката, но и в архитектурата, физиката, инженерството, програмирането и други точни науки.

В архитектурата това е първоначалната мерна единица, установена за дадена архитектурна структура и използвана за изразяване на множество съотношения на нейните съставни елементи.

В инженерството това е термин, използван в различни области на техниката, който няма универсално значение и служи за обозначаване на различни коефициенти и величини, например модул на зацепване, модул на еластичност и др.

Обемният модул (във физиката) е съотношението на нормалното напрежение в материала към удължението.

2. Понятия и определения

Модулът - абсолютната стойност - на реално число A се означава с |A|.

За да проучите тази тема в дълбочина, трябва да се запознаете с най-простите определения, които ще ми трябват:

Уравнението е равенство, съдържащо променливи.

Уравнение с модул е ​​уравнение, съдържащо променлива под знака на абсолютната стойност (под знака на модула).

Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или доказване, че няма корени.

3. Доказателство на теореми

Теорема 1. Абсолютната стойност на реално число е равна на по-голямото от двете числа a или -a.

Доказателство

1. Ако числото a е положително, тогава -a е отрицателно, т.е

Например числото 5 е положително, след това -5 е отрицателно и -5

В този случай |a| = a, т.е. |a| съвпада с по-голямото от двете числа a и - a.

2. Ако a е отрицателно, тогава -a е положително и a

Последица. От теоремата следва, че |-a| = |a|.

Наистина и двете и са равни на по-голямото от числата -a и a и следователно са равни едно на друго.

Теорема 2. Абсолютната стойност на всяко реално число a е равна на аритметичния корен квадратен от A 2 .

Наистина, ако тогава, по дефиниция на модула на число, ще имаме lAl>0 От друга страна, за A>0, тогава |a| = √A 2

Ако 2

Тази теорема прави възможно заместването на |a| на

Геометрично |a| означава разстоянието на координатната линия от точката, представляваща числото a, до началото.

Ако тогава на координатната права има две точки a и -a, равноотдалечени от нулата, чиито модули са равни.

Ако a = 0, то на координатната права |a| представена от точка 0

4. Методи за решаване на уравнения, съдържащи модул.

За решаване на уравнения, съдържащи знака на абсолютната стойност, ще се основаваме на дефиницията на модула на числото и свойствата на абсолютната стойност на числото. Ще решим няколко примера по различни начини и ще видим кой начин е по-лесен за решаване на уравненията, съдържащи модула.

Пример 1. Решаваме аналитично и графично уравнението |x + 2| = 1.

Решение

Аналитично решение

1-ви начин

Ще разсъждаваме въз основа на определението за модул. Ако изразът под модула е неотрицателен, т.е. x + 2 ≥0 , тогава той ще „напусне“ знака за модул със знака плюс и уравнението ще приеме формата: x + 2 = 1. Ако стойностите на израза под знака за модул са отрицателни, тогава по дефиниция ще бъде равно на: или x + 2=-1

Така получаваме или x + 2 = 1, или x + 2 = -1. Решавайки получените уравнения, намираме: X + 2 \u003d 1 или X + 2 + -1

X=-1 X=3

Отговор: -3; -1.

Сега можем да заключим: ако модулът на някакъв израз е равен на реално положително число a, тогава изразът под модула е или a, или -a.

Графично решение

Един от начините за решаване на уравнения, съдържащи модул, е графичен метод. Същността на този метод е да се изградят графики на тези функции. Ако графиките се пресичат, пресечните точки на тези графики ще бъдат корените на нашето уравнение. Ако графиките не се пресичат, можем да заключим, че уравнението няма корени. Този метод вероятно се използва по-рядко от други за решаване на уравнения, съдържащи модул, тъй като, първо, отнема много време и не винаги е рационален, и, второ, резултатите, получени при начертаване на графики, не винаги са точни.

Друг начин за решаване на уравнения, съдържащи модул, е да разделите числовата линия на интервали. В този случай трябва да разделим числовата линия, така че по дефиницията на модула знакът на абсолютната стойност на тези интервали да може да бъде премахнат. След това за всяка от празнините ще трябва да решим това уравнение и да направим заключение относно получените корени (независимо дали те удовлетворяват нашата празнина или не). Корените, отговарящи на пропуските, ще дадат окончателния отговор.

2-ри начин

Нека установим при какви стойности на x модулът е равен на нула: |X+2|=0 , X=2

Получаваме два интервала, на всеки от които решаваме уравнението:

Получаваме две смесени системи:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Нека решим всяка система:

X=-3 X=-1

Отговор: -3; -1.

Графично решение

y= |X+2|, y= 1.

Графично решение

За графично решаване на уравнението е необходимо да се начертаят функциите и

За да начертаем графика на функция, ще начертаем графика на функция - това е функция, която пресича оста OX и оста OY в точки.

Абсцисите на пресечните точки на графиките на функцията ще дадат решения на уравнението.

Пряката графика на функцията y=1 се пресича с графиката на функцията y=|x + 2| в точки с координати (-3; 1) и (-1; 1), следователно решенията на уравнението ще бъдат абсцисите на точките:

x=-3, x=-1

Отговор: -3;-1

Пример 2. Решете аналитично и графично уравнението 1 + |x| = 0,5.

Решение:

Аналитично решение

Нека трансформираме уравнението: 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Ясно е, че в този случай уравнението няма решения, тъй като по дефиниция модулът винаги е неотрицателен.

Отговор: Няма решения.

Графично решение

Нека трансформираме уравнението: : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Графиката на функцията са лъчите - ъглополовящи на 1-ви и 2-ри координатни ъгли. Графиката на функцията е права линия, успоредна на оста OX и минаваща през точката -0,5 на оста OY.

Графиките не се пресичат, така че уравнението няма решения.

Отговор: няма решения.

Пример 3. Решете аналитично и графично уравнението |-x + 2| = 2x + 1.

Решение:

Аналитично решение

1-ви начин

Първо трябва да зададете диапазона от валидни стойности за променливата. Възниква естествен въпрос защо в предишните примери не е имало нужда да се прави това, но сега е възникнало.

Факт е, че в този пример, от лявата страна на уравнението, модулът на някакъв израз, а от дясната страна не е число, а израз с променлива - това е важното обстоятелство, което отличава този пример от предишни.

Тъй като от лявата страна има модул, а от дясната страна, израз, съдържащ променлива, е необходимо да се изисква този израз да бъде неотрицателен, т.е. по този начин обхватът на валидните

модулни стойности

Сега можем да разсъждаваме по същия начин, както в пример 1, когато имаше положително число от дясната страна на равенството. Получаваме две смесени системи:

(1) -X+2≥0 и (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Нека решим всяка система:

(1) влиза в интервала и е коренът на уравнението.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 не е включено в интервала и не е коренът на уравнението.

Отговор: ⅓.

4.1.Решение с помощта на зависимости между числата a и b, техните модули и квадрати на тези числа.

В допълнение към методите, които дадох по-горе, има известна еквивалентност между числа и модули на дадени числа, както и между квадрати и модули на дадени числа:

|a|=|b| a=b или a=-b

A2=b2 a=b или a=-b

От това на свой ред получаваме това

|a|=|b| a 2 = b 2

Пример 4. Нека решим уравнението |x + 1|=|2x - 5| по два различни начина.

1. Разглеждайки връзката (1), получаваме:

X + 1=2x - 5 или x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

х=6 х=11/3

Коренът на първото уравнение е x=6, коренът на второто уравнение е x=11/3

Така корените на първоначалното уравнение x 1=6, х2=11/3

2. По силата на съотношението (2) получаваме

(x + 1)2=(2x - 5)2, или x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==> уравнението има 2 различни корена.

x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3

x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

Както показва решението, корените на това уравнение също са числата 11/3 и 6

Отговор: x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

Пример 5. Решете уравнението (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

Като вземем предвид съотношението (2), получаваме, че |2x + 3|=|x - 1|, откъдето според модела на предишния пример (и според съотношението (1)):

2x + 3=x - 1 или 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Така корените на уравнението са x1=-4 и x2=-0,(6)

Отговор: x1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)

Пример 6. Да решим уравнението |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Използвайки съотношението, получаваме:

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 или x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.c.

==> няма корени.

X 1 \u003d (4- 2) / 2 \u003d 1

X 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3

Проверка: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(И)

Отговор: x 1 =1; х2=3

4.2 Използване на геометричната интерпретация на модула за решаване на уравнения.

Геометричният смисъл на модула на магнитудната разлика е разстоянието между тях. Например, геометричен смисълизрази |x - a | - дължината на отсечката от координатната ос, свързваща точките с абсцисите a и x. Преводът на алгебричен проблем на геометричен език често прави възможно избягването на тромави решения.

Пример7. Нека решим уравнението |x - 1| + |x - 2|=1, използвайки геометричната интерпретация на модула.

Ще аргументираме следното: въз основа на геометричната интерпретация на модула, лявата страна на уравнението е сумата от разстоянията от някаква точка на абсцисите x до две фиксирани точки с абсцисите 1 и 2. Тогава е очевидно, че всички точките с абсциси от отсечката имат търсеното свойство, а точките, разположени извън тази отсечка - не. Оттук и отговорът: множеството от решения на уравнението е отсечката.

Отговор:

Пример8. Нека решим уравнението |x - 1| - |x - 2|=1 1 с помощта на геометричната интерпретация на модула.

Ще аргументираме подобно на предишния пример, докато получаваме, че разликата в разстоянията до точки с абсцисите 1 и 2 е равна на единица само за точки, разположени на координатната ос вдясно от номера 2. Следователно решението на това уравнение няма да бъде отсечка, затворена между точки 1 и 2, а лъч, излизащ от точка 2 и насочен в положителната посока на оста OX.

Отговор: )