Инструкция

Ако модулът е представен като непрекъсната функция, тогава стойността на неговия аргумент може да бъде положителна или отрицателна: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Лесно е да се види, че събирането и изваждането на комплексни числа следват същото правило като събирането и .

Произведението на две комплексни числа е:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Тъй като i^2 = -1, крайният резултат е:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Операциите за повишаване на степен и извличане на корен за комплексни числа се дефинират по същия начин, както за реални числа. В комплексната област обаче за всяко число има точно n числа b, така че b^n = a, тоест n корена от n-та степен.

По-специално това означава, че всяко алгебрично уравнение от n-та степен в една променлива има точно n комплексни корена, някои от които могат да бъдат и .

Подобни видеа

източници:

• Лекция "Комплексни числа" 2019г

Коренът е икона, която обозначава математическата операция за намиране на такова число, чието издигане до степента, посочена преди знака за корен, трябва да даде числото, посочено под същия знак. Често за решаване на задачи, в които има корени, не е достатъчно само да се изчисли стойността. Трябва да извършим допълнителни операции, една от които е въвеждането на число, променлива или израз под знака на корена.

Инструкция

Определете показателя на корена. Индикаторът е цяло число, показващо степента, на която трябва да се повдигне резултатът от изчисляването на корена, за да се получи коренният израз (числото, от което се извлича този корен). Показател на корена, определен като горен индекс преди иконата на корена. Ако това не е посочено, то е Корен квадратен, чиято степен е две. Например коренният показател √3 е две, показателят ³√3 е три, коренният показател ⁴√3 е четири и т.н.

Увеличете числото, което искате да добавите под знака за корен, до степен, равна на показателя на този корен, който определихте в предишната стъпка. Например, ако трябва да въведете числото 5 под знака на корена ⁴√3, тогава показателят на корена е четири и се нуждаете от резултата от повишаване на 5 на четвърта степен 5⁴=625. Можете да направите това по всеки удобен за вас начин - наум, с помощта на калкулатор или съответните публикувани услуги.

Въведете стойността, получена в предишната стъпка, под знака за корен като множител на радикалния израз. За примера, използван в предишната стъпка с добавяне под корена ⁴√3 5 (5*⁴√3), това действие може да се извърши по следния начин: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Опростете получения радикален израз, ако е възможно. За примера от предишните стъпки това е, че просто трябва да умножите числата под знака за корен: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Това завършва операцията по добавяне на число под корена.

Ако в задачата има неизвестни променливи, описаните по-горе стъпки могат да бъдат извършени в общ изглед. Например, ако искате да въведете неизвестна променлива x под корен от четвърта степен и коренният израз е 5/x³, тогава цялата последователност от действия може да бъде написана по следния начин: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x4*5/x³)= ⁴√(x*5).

източници:

• как се нарича знакът за корен

Реалните числа не са достатъчни за решаване на всяко квадратно уравнение. Най-простото от квадратните уравнения, които нямат корен сред реални числа, е x^2+1=0. При решаването му се оказва, че x=±sqrt(-1) и според законите на елементарната алгебра извадете корена на четна степен от отрицателна числазабранено е.

Терминът (модул) в буквален превод от латински означава "мярка". Това понятие е въведено в математиката от английския учен Р. Котс. И немският математик К. Вайерщрас въведе знака на модула - символ, с който това понятие се обозначава при писане.

За първи път това понятие се изучава в математиката по програмата за 6. клас. гимназия. Според едно определение модулът е абсолютната стойност на реално число. С други думи, за да разберете модула на реално число, трябва да изхвърлите неговия знак.

Графично абсолютна стойност аозначен като |а|.

Основен отличителна чертана тази концепция се крие във факта, че тя винаги е неотрицателна величина.

Числата, които се различават едно от друго само по знак, се наричат ​​противоположни числа. Ако стойността е положителна, тогава нейната противоположност е отрицателна, а нулата е нейната собствена противоположност.

геометрична стойност

Ако разгледаме концепцията на модула от гледна точка на геометрията, тогава той ще означава разстоянието, което се измерва в единични сегменти от началото до дадена точка. Това определение напълно разкрива геометричен смисълтерминът, който се изучава.

Графично това може да се изрази по следния начин: |a| = O.A.

Свойства с абсолютна стойност

По-долу ще разгледаме всички математически свойства на тази концепция и начини за писане под формата на буквални изрази:

Характеристики на решаване на уравнения с модул

Ако говорим за решаване на математически уравнения и неравенства, които съдържат модул, тогава трябва да запомните, че за да ги решите, ще трябва да отворите този знак.

Например, ако знакът на абсолютната стойност съдържа някакъв математически израз, тогава преди отваряне на модула е необходимо да се вземат предвид текущите математически определения.

|A + 5| = A + 5ако А е по-голямо или равно на нула.

5-Аако А е по-малко от нула.

В някои случаи знакът може да бъде недвусмислено разширен за всяка стойност на променливата.

Нека разгледаме още един пример. Нека построим координатна линия, върху която отбелязваме всички числени стойности, чиято абсолютна стойност ще бъде 5.

Първо трябва да начертаете координатна линия, да посочите началото на координатите върху нея и да зададете размера на един сегмент. Освен това линията трябва да има посока. Сега на тази права линия е необходимо да приложите маркировки, които ще бъдат равни на стойността на един сегмент.

По този начин можем да видим, че на тази координатна линия ще има две точки от интерес за нас със стойности 5 и -5.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас относно уникални оферти, промоции и други събития и Предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

В тази статия ще анализираме подробно абсолютната стойност на число. Ние ще дадем различни определениямодул на число, въвеждаме означения и даваме графични илюстрации. При това помислете различни примеринамиране на модула на число по дефиниция. След това изброяваме и обосноваваме основните свойства на модула. В края на статията ще говорим за това как се определя и намира модулът на комплексно число.

Навигация в страницата.

Модул на числото - определение, запис и примери

Първо представяме обозначение на модула. Модулът на числото a ще бъде записан като , тоест отляво и отдясно на числото ще поставим вертикални линии, които образуват знака на модула. Нека дадем няколко примера. Например модул -7 може да бъде записан като ; модул 4,125 е написан като , а модулът е написан като .

Следващата дефиниция на модула се отнася до, и следователно, до, и до цели числа, и до рационални и ирационални числа, като съставни части на набора от реални числа. Ще говорим за модула на комплексно число в.

Определение.

Модул на aе или самото число a, ако a е положително число, или числото −a, обратното на числото a, ако a е отрицателно число, или 0, ако a=0 .

Озвучената дефиниция на модула на числото често се записва в следната форма , тази нотация означава, че ако a>0 , ако a=0 и ако a<0 .

Записът може да бъде представен в по-компактна форма . Тази нотация означава, че ако (a е по-голямо или равно на 0), и ако a<0 .

Има и запис . Тук случаят, когато a=0, трябва да бъде обяснен отделно. В този случай имаме , но −0=0 , тъй като нулата се счита за число, което е противоположно на себе си.

Да донесем примери за намиране на модула на числос дадено определение. Например, нека намерим модули на числата 15 и . Да започнем с намирането. Тъй като числото 15 е положително, неговият модул по дефиниция е равен на самото това число, т.е. Какъв е модулът на числото? Тъй като е отрицателно число, тогава неговият модул е ​​равен на числото, противоположно на числото, тоест числото . По този начин, .

В заключение на този параграф даваме едно заключение, което е много удобно за прилагане на практика при намиране на модула на число. От дефиницията на модула на числото следва, че модулът на числото е равен на числото под знака на модула, независимо от неговия знак, и от примерите, разгледани по-горе, това се вижда много ясно. Изразеното твърдение обяснява защо се нарича и модулът на числото абсолютната стойност на числото. Така че модулът на числото и абсолютната стойност на числото са едно и също.

Модул на число като разстояние

Геометрично, модулът на числото може да се тълкува като разстояние. Да донесем определяне на модула на число по отношение на разстоянието.

Определение.

Модул на aе разстоянието от началото на координатната права до точката, съответстваща на числото a.

Това определение е в съответствие с определението за модула на число, дадено в първия параграф. Нека обясним тази точка. Разстоянието от началото до точката, съответстваща на положително число, е равно на това число. Нулата съответства на началото, така че разстоянието от началото до точката с координата 0 е нула (нито един сегмент и нито един сегмент, който съставлява каквато и да е част от единичния сегмент, не трябва да се отлага, за да се стигне от точка O до точката с координата 0). Разстоянието от началото до точка с отрицателна координата е равно на числото, противоположно на координатата на дадената точка, тъй като е равно на разстоянието от началото до точката, чиято координата е противоположното число.

Например, модулът на числото 9 е 9, тъй като разстоянието от началото до точката с координата 9 е девет. Да вземем друг пример. Точката с координата −3.25 е на разстояние 3.25 от точка O, така че .

Озвучената дефиниция на модула на числото е частен случай на определяне на модула на разликата на две числа.

Определение.

Модул на разликата на две числа a и b е равно на разстоянието между точките на координатната права с координати a и b .

Тоест, ако са дадени точки на координатната права A(a) и B(b), тогава разстоянието от точка A до точка B е равно на модула на разликата между числата a и b. Ако вземем точка O (референтна точка) като точка B, тогава ще получим дефиницията на модула на числото, дадено в началото на този параграф.

Определяне на модула на число чрез аритметичен квадратен корен

Понякога се среща определяне на модула чрез аритметичен квадратен корен.

Например, нека изчислим модулите на числата −30 и въз основа на това определение. Ние имаме . По същия начин изчисляваме модула на две трети: .

Дефиницията на модула на число от гледна точка на аритметичен квадратен корен също е в съответствие с дефиницията, дадена в първия параграф на тази статия. Нека го покажем. Нека a е положително число и нека −a е отрицателно. Тогава и , ако a=0 , тогава .

Свойства на модула

Модулът има редица характерни резултати - свойства на модула. Сега ще дадем основните и най-често използвани от тях. Когато обосноваваме тези свойства, ще разчитаме на дефиницията на модула на числото по отношение на разстоянието.

Нека започнем с най-очевидното свойство на модула − модул на число не може да бъде отрицателно число. В буквална форма това свойство има формата за всяко число a . Това свойство е много лесно за обосноваване: модулът на числото е разстоянието и разстоянието не може да бъде изразено като отрицателно число.

Да преминем към следващото свойство на модула. Модулът на числото е равен на нула тогава и само ако това число е нула. Модулът на нула е нула по дефиниция. Нулата съответства на началото, никоя друга точка от координатната линия не съответства на нула, тъй като всяко реално число е свързано с една точка от координатната линия. По същата причина всяко число, различно от нула, съответства на точка, различна от началото. И разстоянието от началото до всяка точка, различна от точката O, не е равно на нула, тъй като разстоянието между две точки е равно на нула тогава и само ако тези точки съвпадат. Горното разсъждение доказва, че само модулът на нула е равен на нула.

Продължа напред. Противоположните числа имат равни модули, т.е. за всяко число a . Действително две точки от координатната права, чиито координати са противоположни числа, са на едно и също разстояние от началото, което означава, че модулите на противоположни числа са равни.

Следващото свойство на модула е: модулът на произведението на две числа е равен на произведението на модулите на тези числа, това е, . По дефиниция модулът на произведението на числата a и b е или a b, ако , или −(a b), ако . От правилата за умножение на реални числа следва, че произведението на модулите на числата a и b е равно на a b , , или −(a b) , ако , което доказва разглежданото свойство.

Модулът на частното при деление на a на b е равен на частното на делене на модула на a на модула на b, това е, . Нека обосновем това свойство на модула. Тъй като частното е равно на произведението, тогава . По силата на предишното свойство имаме . Остава само да използваме равенството , което е валидно поради определението на модула на числото.

Следното свойство на модула се записва като неравенство: , a , b и c са произволни реални числа. Написаното неравенство не е нищо повече от неравенство на триъгълник. За да стане ясно това, нека вземем точките A(a) , B(b) , C(c) на координатната права и разгледаме изродения триъгълник ABC, чиито върхове лежат на една и съща права. По дефиниция модулът на разликата е равен на дължината на отсечката AB, - дължината на отсечката AC и - дължината на отсечката CB. Тъй като дължината на никоя страна на триъгълник не надвишава сумата от дължините на другите две страни, неравенството , следователно неравенството също е в сила.

Току-що доказаното неравенство е много по-често срещано във формата . Написаното неравенство обикновено се разглежда като отделно свойство на модула с формулировката: „ Модулът на сбора на две числа не превишава сбора на модулите на тези числа". Но неравенството директно следва от неравенството , ако поставим −b вместо b в него и вземем c=0 .

Модул на комплексно число

Да дадем определяне на модула на комплексно число. Нека ни се даде комплексно число, записано в алгебрична форма , където x и y са някои реални числа, представляващи съответно реалната и имагинерната част на дадено комплексно число z, и е имагинерна единица.

Модулът е абсолютната стойност на израза. За да обозначите поне по някакъв начин модул, обичайно е да използвате прави скоби. Стойността, оградена в четни скоби, е стойността, която се взема по модул. Процесът на решаване на всеки модул се състои в отваряне на същите тези директни скоби, които се наричат ​​модулни скоби на математически език. Тяхното разкриване става съгласно определен брой правила. Също така, в реда на решаване на модули, има и набори от стойности на тези изрази, които са били в модулни скоби. В повечето случаи модулът се разширява по такъв начин, че изразът, който е бил подмодул, получава както положителни, така и отрицателни стойности, включително стойността нула. Ако изхождаме от установените свойства на модула, тогава в процеса се компилират различни уравнения или неравенства от оригиналния израз, които след това трябва да бъдат решени. Нека да разберем как да решаваме модули.

Процес на решение

Решението на модула започва с написването на оригиналното уравнение с модула. За да отговорите на въпроса как да решавате уравнения с модул, трябва да го отворите напълно. За да се реши такова уравнение, модулът се разширява. Трябва да се вземат предвид всички модулни изрази. Необходимо е да се определи при какви стойности на неизвестните количества, включени в неговия състав, модулният израз в скоби изчезва. За да направите това, достатъчно е да приравните израза в модулни скоби към нула и след това да изчислите решението на полученото уравнение. Намерените стойности трябва да бъдат записани. По същия начин вие също трябва да определите стойността на всички неизвестни променливи за всички модули в това уравнение. След това е необходимо да се занимаваме с дефинирането и разглеждането на всички случаи на съществуване на променливи в изрази, когато те са различни от стойността нула. За да направите това, трябва да запишете някаква система от неравенства, съответстваща на всички модули в първоначалното неравенство. Неравенствата трябва да бъдат съставени така, че да покриват всички налични и възможни стойности за променливата, които се намират на числовата линия. След това трябва да нарисувате за визуализация тази същата числова линия, на която да поставите всички получени стойности в бъдеще.

Вече почти всичко може да се направи онлайн. Модулът не прави изключение от правилата. Можете да го решите онлайн на един от многото съвременни ресурси. Всички онези стойности на променливата, които са в нулевия модул, ще бъдат специално ограничение, което ще се използва в процеса на решаване на модулното уравнение. В оригиналното уравнение се изисква да се разширят всички налични модулни скоби, като се промени знакът на израза, така че стойностите на желаната променлива да съвпадат с онези стойности, които се виждат на числовата линия. Полученото уравнение трябва да бъде решено. Стойността на променливата, която ще бъде получена в хода на решаването на уравнението, трябва да бъде проверена спрямо ограничението, което е зададено от самия модул. Ако стойността на променливата напълно удовлетворява условието, тогава тя е правилна. Всички корени, които ще бъдат получени в хода на решаването на уравнението, но няма да отговарят на ограниченията, трябва да бъдат изхвърлени.