Теорема про межі монотонної функції. Наводиться доказ теореми, використовуючи два методи. Також дано визначення строго зростаючої, неубутньої, строго спадної та незростаючої функцій. Визначення монотонної функції.
Визначення
Визначення зростаючої та спадної функцій
Нехай функція f (x)визначена на деякій множині дійсних чисел X .
Функція називається строго зростаючою (строго спадаючою)якщо для всіх x′, x′′ ∈ Xтаких що x′< x′′
выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′)
(f (x′) > f(x′′) )
.
Функція називається невтратною (незростаючою)якщо для всіх x′, x′′ ∈ Xтаких що x′< x′′
выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) )
.
Звідси випливає, що функція, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна функція також є незростаючою.
Визначення монотонної функції
Функція називається монотонної, якщо вона незнижена або незростаюча.
Для дослідження монотонності функції на деякій множині X, потрібно знайти різницю її значень у двох довільних точках, що належать цій множині. Якщо , то функція строго зростає; якщо , то функція не зменшується; якщо , то суворо зменшується; якщо , то не збільшується.
Якщо деякому безлічі функція позитивна: , то визначення монотонності, можна досліджувати приватне від розподілу її значень у двох довільних точках цієї множини. Якщо , то функція строго зростає; якщо , то функція не зменшується; якщо , то суворо зменшується; якщо , то не збільшується.
Теорема
Нехай функція f (x)не убуває на інтервалі (a, b)де .
Якщо вона обмежена зверху числом M : , існує кінцевий лівий межа в точці b : . Якщо f (x)не обмежена зверху, то .
Якщо f (x)обмежена знизу числом m : , існує кінцевий праву межу в точці a : . Якщо f (x)не обмежена знизу, то .
Якщо точки a і b є нескінченно віддаленими, то виразах під знаками меж мається на увазі, що .
Цю теорему можна сформулювати компактніше.
Нехай функція f (x)не убуває на інтервалі (a, b)де . Тоді існують односторонні межі в точках a і b:
;
.
Аналогічна теорема для функції, що не зростає.
Нехай функція не зростає на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі:
;
.
Слідство
Нехай функція є монотонною на інтервалі. Тоді в будь-якій точці цього інтервалу, існують односторонні кінцеві межі функції :
та .
Доказ теореми
Функція не зменшується
b - кінцеве число
Функція обмежена зверху
1.1.1. Нехай функція обмежена зверху числом M: при.
.
;
.
Оскільки функція не зменшується, то при . Тоді
при .
Перетворимо останню нерівність:
;
;
.
Оскільки, то. Тоді
при .
при .
"Визначення односторонніх меж функції в кінцевій точці").
Функція не обмежена зверху
1. Нехай функція не зменшується на інтервалі.
1.1. Нехай число b кінцеве: .
1.1.2. Нехай функція не обмежена згори.
Доведемо, що у цьому випадку існує межа .
.
при .
Позначимо. Тоді для будь-кого існує, так що
при .
Це означає, що межа ліворуч у точці b дорівнює (див. «Визначення односторонніх нескінченних меж функції у кінцевій точці»).
b рано плюс нескінченності
Функція обмежена зверху
1. Нехай функція не зменшується на інтервалі.
1.2.1. Нехай функція обмежена зверху числом M: при.
Доведемо, що у цьому випадку існує межа .
Оскільки функція обмежена зверху, існує кінцева верхня грань
.
Відповідно до визначення точної верхньої грані, виконуються такі умови:
;
для будь-якого позитивного існує такий аргумент, для якого
.
Оскільки функція не зменшується, то при . Тоді за . Або
при .
Отже, ми виявили, що для будь-якого існує число , так що
при .
"Визначення односторонніх меж на нескінченності").
Функція не обмежена зверху
1. Нехай функція не зменшується на інтервалі.
1.2. Нехай число b дорівнює плюс нескінченності: .
1.2.2. Нехай функція не обмежена згори.
Доведемо, що у цьому випадку існує межа .
Оскільки функція не обмежена зверху, то для будь-якого числа M існує такий аргумент, для якого
.
Оскільки функція не зменшується, то при . Тоді за .
Отже, для будь-якого існує число, так що
при .
Це означає, що межа при дорівнює (див. «Визначення односторонніх нескінченних меж на нескінченності»).
Функція не зростає
Тепер розглянемо випадок, коли функція не збільшується. Можна, як і вище, розглянути кожен варіант окремо. Але ми охопимо їх одразу. Для цього використовуємо. Доведемо, що у цьому випадку існує межа .
Розглянемо кінцеву нижню грань безлічі значень функції:
.
Тут B може бути як кінцевим числом, так і віддаленою точкою . Відповідно до визначення точної нижньої грані, виконуються такі умови:
;
для будь-якої околиці точки B існує такий аргумент, для якого
.
За умовою теореми, . Тому.
Оскільки функція не зростає, то за . Оскільки , то
при .
Або
при .
Далі помічаємо, що нерівність визначає ліву проколоту околицю точки b .
Отже, ми знайшли, що для будь-якої околиці точки існує така проколота ліва околиця точки b , що
при .
Це означає, що межа зліва в точці b дорівнює :
(Див. Універсальне визначення межі функції по Коші).
Межа в точці a
Тепер покажемо, що є межа в точці a і знайдемо його значення.
Розглянемо функцію. За умовою теореми, функція є монотонною при . Замінимо змінну x на - x (або зробимо підстановку, а потім замінимо змінну t на x). Тоді функція є монотонною при . Помножуючи нерівності на -1 і змінюючи їхній порядок приходимо до висновку, що функція є монотонною при .
Аналогічним способом легко показати, що якщо не зменшується, то не зростає. Тоді згідно з доведеним вище, існує межа
.
Якщо не зростає, то не зменшується. У цьому випадку існує межа
.
Тепер залишилося показати, що й існує межа функції при , існує межа функції при , і ці межі рівні:
.
Введемо позначення:
(1)
.
Виразимо f через g:
.
Візьмемо довільне позитивне число. Нехай є епсілон околиця точки A . Епсилон околиця визначається як кінцевих, так нескінченних значень A (див. «Околиця точки»). Оскільки існує межа (1), то, згідно з визначенням межі, для будь-якого існує таке, що
при .
Нехай a – кінцеве число. Виразимо ліву проколоту околицю точки -a , використовуючи нерівності:
при .
Замінимо x на -x і врахуємо, що :
при .
Останні дві нерівності визначають проколоту праву околицю точки a . Тоді
при .
Нехай a – нескінченне число, . Повторюємо міркування.
при;
при;
при;
при .
Отже, ми знайшли, що для будь-кого існує таке, що
при .
Це означає, що
.
Теорему доведено.
Будемо називати функцію y=f(x) ОБМЕЖЕНОЇ НАВЕРХУ (ЗНИЗУ) на множині А з області визначення D(f), якщо існує таке число M , що для будь-яких x з цієї множини виконується умова
За допомогою логічних символів визначення може бути записане у вигляді:
f(x) – обмежена зверху на безлічі
(f(x) – обмежена знизу на безлічі
Вводяться до розгляду та функції, обмежені за модулем або просто обмежені.
Будемо називати функцію ОБМЕЖЕНОЮ на множині А з області визначення , якщо існує позитивне число M, що
Мовою логічних символів
f(x) – обмежена на безлічі
Функція, яка не є обмеженою, називається необмеженою. Ми знаємо, що визначення, дані через заперечення малозмістовні. Щоб сформулювати це твердження як визначення, скористаємось властивостями кванторних операцій (3.6) та (3.7). Тоді заперечення обмеженості функції мовою логічних символів дасть:
f(x) – обмежена на безлічі
Отриманий результат дозволяє сформулювати таке визначення.
Функція називається НЕОБМЕЖЕНОЮ на множині А, що належить області визначення функції, якщо на цій множині для будь-якого позитивного числа М знайдеться таке значення аргументу х , що значення однаково перевершить величину М, тобто .
Як приклад розглянемо функцію
Вона визначена на всій дійсній осі. Якщо взяти відрізок [–2;1] (множина А), то вона буде обмежена і зверху, і знизу.
Справді, щоб показати її обмеженість згори, треба розглянути предикат
і показати, що знайдеться (існує) таке М, що всім x, взятих на відрізку [–2;1], буде справедливо
Знайти таке М не важко. Можна вважати М = 7, квантор існування передбачає віднайдення хоча б одного значення М. Наявність такого М і підтверджує той факт, що функція на відрізку [-2; 1] обмежена зверху.
Щоб довести її обмеженість знизу, треба розглянути предикат
Значенням М, що забезпечує істинність даного предикату, є, наприклад, М = -100.
Можна довести, що функція буде обмежена і по модулю: для всіх x з відрізка [-2; 1] значення функції збігаються зі значеннями , тому як М можна взяти, наприклад, колишнє значення М = 7.
Покажемо, що та сама функція, але на проміжку , буде необмеженою, тобто
Щоб показати, що такі існують, розглянемо твердження
Знаходячи шукані значення x серед позитивних значень аргументу, отримаємо
Це означає, що хоч би яке позитивне Мми не брали, значення x, що забезпечують виконання нерівності
виходять із співвідношення.
Розглядаючи функцію по всій дійсної осі, можна показати, що вона необмежена по модулю.
Справді, з нерівності
Тобто яким би великим не було позитивне M або забезпечать виконання нерівності .
ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ.
Функція має у точці з локальний максимум (мінімум), якщо існує така околиця цієї точки, що для x¹ з з цієї околиці виконується нерівність
особливо, що точка екстремуму може бути лише внутрішньою точкою проміжку і f(x) у ній має бути обов'язково визначено. Можливі випадки відсутності екстремуму зображено на рис. 8.8.
Якщо функція зростає (зменшується) на деякому проміжку і зменшується (зростає) на деякому проміжку , то точка з є точкою локального максимуму (мінімуму).
Відсутність максимуму функції f(x) у точці з можна сформулювати так:
_______________________
f(x) має максимум у точці c
Це означає, що якщо точка c не є точка локального максимуму, то якою б не була околиця, що включає в себе точку як внутрішню, в ній знайдеться хоча б одне значення x не рівне c, при якому . Таким чином, якщо в точці c немає максимуму, то в цій точці екстремуму може не бути взагалі або це точка мінімуму (рис. 8.9).
Поняття екстремуму дає порівняльну оцінку значення функції у будь-якій точці стосовно близьким. Подібне порівняння значень функцій можна провести і для всіх точок певного проміжку.
Найбільшим (найменшим) значенням функції на множині будемо називати її значення в точці з цієї множини таке, що при . Найбільше значення функції досягається у внутрішній точці відрізка, а найменше – на його лівому кінці.
Щоб визначити найбільше (найменше) значення функції, заданої на відрізку, треба серед усіх значень її максимумів (мінімумів), а також значень, що приймаються на кінцях проміжку, вибрати найбільше (найменше) число. Воно і буде максимальним (найменшим) значенням функції. Це правило буде уточнено надалі.
Проблема відшукання найбільшого та найменшого значень функції на відкритому проміжкуякий завжди вирішується досить легко. Наприклад, функція
в інтервалі (рис. 8.11) їх немає.
Переконаємось, наприклад, що ця функція не має найбільшого значення. Насправді, враховуючи монотонність функції , можна стверджувати, що як би близько ми не задавали зліва від одиниці значення х, знайдуться інші х, в яких значення функції будуть більшими за її значення у взятих фіксованих точках, але все ж менше одиниці.
Урок та презентація на тему: "Властивості функції. Зростання та зменшення функції"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Інтерактивний навчальний посібник для 9 класу "Правила та вправи з геометрії"
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів
Діти, ми продовжуємо вивчати числові функції. Сьогодні ми зупинимося на такій темі як властивості функції. Функції мають багато властивостей. Згадайте, які властивості ми з вами нещодавно вивчили. Правильно, область визначення та область значень, є одними з ключових властивостей. Ніколи не забувайте про них і пам'ятайте, що функція завжди має ці властивості.
У цьому розділі ми визначимо деякі властивості функцій. Порядок, в якому ми будемо їх визначати, рекомендую дотримуватись і при вирішенні завдань.
Зростання та зменшення функції
Перша властивість, яку ми визначимо, це зростання та зменшення функції.
Функція називається зростаючою на множині Х⊂D(f), якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.Функція називається спадною на множині Х⊂D(f), якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Поняття "зростання" та "зменшення" функції дуже легко зрозуміти, якщо уважно подивитися на графіки функції. Для зростаючої функції: ми ніби піднімаємося в гірку, для спадної відповідно - спускаємося. Загальний виглядзростаючих і спадних функції представлений на графіках нижче.
Зростання та зменшення функції в загальному випадку називається монотонністю.Тобто, наше завдання - це знайти проміжки спадання та зростання функції. Загалом це формулюється так: знайти проміжки монотонності чи досліджувати функцію на монотонність.
Дослідити на монотонність функцію $y=3x+2$.
Рішення: Перевіримо функцію для будь-яких х1 та х2 та нехай х1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Оскільки, х1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Обмеженість функції
Функцію $y=f(x)$ називають обмеженою знизу на множині Х⊂D(f), якщо є така кількість а, що з будь-яких хϵХ виконується нерівність f(x)< a.
Функцію $y=f(x)$ називають обмеженою зверху на множині Х⊂D(f), якщо існує таке число а, що для будь-яких хХХ виконується нерівність f(x)< a.
Якщо проміжок Х не вказується, то вважають, що функція обмежена по всій області визначення. Функція обмежена і згори, і знизу називається обмеженою.
Обмеженість функції легко читається за графіком. Можна провести деяку пряму
$у=а$, і якщо функція вища за цю пряму, то обмеженість знизу. Якщо нижче, відповідно зверху. Нижче наведено графік обмеженої знизу функції. Графік обмеженої функції, хлопці, спробуйте малювати самі.
Дослідити на обмеженість функцію $y=\sqrt(16-x^2)$.
Рішення: Корінь квадратний з деякого числа більше або дорівнює нулю. Очевидно, що наша функція, також більша або дорівнює нулю, тобто обмежена знизу.
Корінь квадратний ми можемо витягувати тільки з негативного числа, тоді $16-x^2≥0$.
Розв'язанням нашої нерівності буде проміжок [-4; 4]. На цьому відрізку $16-x^2≤16$ або $\sqrt(16-x^2)≤4$, але це означає обмеженість зверху.
Відповідь: наша функція обмежена двома прямими $у=0$ і $у=4$.
Найбільше та найменше значення
Найменшим значення функції y= f(x) на множині Х⊂D(f) називається деяке число m, таке, що:
б) Для будь-якого ХХХ, виконується $f(x)≥f(x0)$.
Найбільшим значення функції y=f(x) на множині Х⊂D(f) називається деяке число m, таке що:
a) Існує деяке x0, що $f(x0)=m$.
б) Для будь-якого ХХХ, виконується $f(x)≤f(x0)$.
Найбільше та найменше значення прийнято позначати y наиб. та y найм. .
Поняття обмеженості та найбільшого з найменшим значенням функції тісно пов'язані. Виконуються такі твердження:
а) Якщо є найменше значення у функції, вона обмежена знизу.
б) Якщо є найбільше значення у функції, вона обмежена зверху.
в) Якщо функція не обмежена зверху, найбільшого значення не існує.
г) Якщо функція не обмежена знизу, найменшого значення не існує.
Знайти найбільше та найменше значення функції $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Рішення: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
При $х=4$ $f(4)=5$, за всіх інших значеннях функція приймає менші значення чи немає, тобто це найбільше значення функції.
За визначенням: $9-4x^2+16x≥0$. Знайдемо коріння квадратного тричлена$(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ і $х=4,5$ функція звертається в нуль, у всіх інших точках вона більша за нуль. Тоді, за визначенням, найменше значення функції дорівнює нулю.
Відповідь: y наиб. =5 і y найм. =0.
Діти ми з вами ще вивчали поняття опуклості функції. При вирішенні деяких завдань нам ця властивість може знадобитися. Ця властивість також легко визначається за допомогою графіків.
Функція опукла вниз, якщо будь-які дві точки графіка вихідної функції з'єднати, і графік функції виявиться нижче лінії з'єднання точок.
Функція опукла вгору, якщо будь-які дві точки графіка вихідної функції з'єднати, і графік функції виявиться вище лінії з'єднання точок.
Функція безперервна, якщо графік нашої функції немає розривів, наприклад, як графік функції вище.
Якщо потрібно знайти властивості функції, то послідовність пошуку властивостей така:
а) Область визначення.
б) монотонність.
в) Обмеженість.
г) Найбільше та найменше значення.
д) Безперервність.
е) Область значень.
Знайти властивості функції $y=-2x+5$.
Рішення.
а) Область визначення D(y)=(-∞;+∞).
б) монотонність. Перевіримо для будь-яких значень х1 та х2 та нехай х1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Оскільки х1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Обмеженість. Очевидно, що функція не обмежена.
г) Найбільше та найменше значення. Оскільки функція не обмежена, то найбільшого та найменшого значень не існує.
д) Безперервність. Графік нашої функції немає розривів, тоді функція безперервна.
е) Область значень. Е(у)=(-∞;+∞).
Завдання на властивості функції для самостійного вирішення
Знайти властивості функції:а) $ y = 2x + 7 $,
б) $ y = 3x ^ 2 $,
в) $ y = \ frac (4) (x) $.
Концепція функції. Обмежені функції.
Визначення функції: Якщо кожному х із множини чисел D поставлено у відповідність однину у, то кажуть, що на множині D задана функція f і пишуть y= f(x), де х - називається незалежною змінною або аргументом цієї функції, а безліч D – область визначення цієї функції.
Обмежена та необмежена функції.Функція називається обмеженоюякщо існує таке позитивне число M, що | f(x) | Mдля всіх значень x.Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.
Приміри.
Функції парні, непарні, монотонні.
Парна та непарна функції.Якщо для будь-якого xв галузі визначення функції має місце: f(- x) = f (x), то функція називається парної; якщо має місце: f(- x) = - f (x), то функція називається непарний. Графік парної функції симетричний щодо осі Y(рис.5), a графік непарної функції симетричний щодо початку координат(Рис.6).
Монотонна функція.Якщо для будь-яких двох значень аргументу x 1 та x 2 з умови x 2 >x 1 слід f(x 2 ) >f(x 1), то функція f(x) називається зростаючою; якщо для будь-яких x 1 та x 2 з умови x 2 >x 1 слід f(x 2 ) <f(x 1 ),то функція f(x) називається спадаючою. Функція, яка тільки зростає або лише зменшується, називається монотонної.
3. Числові послідовності. Визначення та приклади.
Говоритимемо, що змінна xє упорядкована змінна величина якщо відома область її зміни, і про кожні з двох будь-яких її значень можна сказати, яке з них попереднє і яке наступне. Приватним випадком упорядкованої змінної величини є змінна величина, значення якої утворюють числову послідовність x 1 x 2 ... x n ...Для таких величин при i< j, i, j Î N , значення x iвважається попереднім, а x j– наступним незалежно від цього, яке з цих значень більше. Таким чином, числова послідовність - це змінна величина, послідовні значення якої можуть бути перенумеровані. Числову послідовність будемо позначати. Окремі числа послідовності називають її елементами.
Наприклад, числову послідовність утворюють такі величини:
3. , де а, d- Постійні числа.
Межа числової послідовності.
Число aназивається межеюпослідовності x = {x n), якщо для довільного заздалегідь заданого скільки завгодно малого позитивного числа ε знайдеться таке натуральне число N, що за всіх n>Nвиконується нерівність | x n - a |< ε.
Якщо число aє межа послідовності x = {x n), то кажуть, що x nпрагнути до aі пишуть.
Щоб сформулювати це визначення геометричних термінах введемо таке поняття. Околиці точки x 0називається довільний інтервал ( a, b), що містить цю точку всередині себе. Часто розглядається околиця точки x 0, для якої x 0є серединою, тоді x 0називається центромоколиці, а величина ( b–a)/2 – радіусомоколиці.
Отже, з'ясуємо, що означає геометрично поняття межі числової послідовності. Для цього запишемо останню нерівність із визначення у вигляді Ця нерівність означає, що всі елементи послідовності з номерами n>Nповинні лежати в інтервалі (a – ε; a + ε).
Отже, постійне число aє межа числової послідовності ( x n), якщо для будь-якої малої околиці з центром у точці aрадіусу ε (ε – околиці точки a) знайдеться такий елемент послідовності з номером N, що всі наступні елементи з номерами n>Nбудуть знаходитися всередині цієї околиці.
приклади.
1. Нехай змінна величина xпослідовно набуває значень
Доведемо, що межа цієї числової послідовності дорівнює 1. Візьмемо довільне позитивне число? Нам потрібно знайти таке натуральне число N, що за всіх n>Nвиконується нерівність | x n - 1| < ε. Действительно, т.к.
то виконання співвідношення |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве Nбудь-яке натуральне число, що задовольняє нерівності, отримаємо що потрібно. Так якщо взяти, наприклад, , то, поклавши N= 6, для всіх n>6 матимемо .
2. Використовуючи визначення межі числової послідовності, довести що .
Візьмемо довільне ε > 0. Розглянемо тоді, якщо або, тобто. . Тому виберемо будь-яке натуральне число, що задовольняє нерівність.
приклади.
3. Розглянемо. При x→1чисельник дробу прагне 1, а знаменник прагне 0. Але оскільки , тобто. є нескінченно мала функція при x→ 1, то
Теорема 4.Нехай дані три функції f(x), u(x)і v(x), що задовольняють нерівностям u (x)≤f(x)≤ v(x). Якщо функції u(x)і v(x)мають одну і ту ж межу при x→a(або x→∞), то й функція f(x)прагне ще межі, тобто. якщо
Теорема 5.Якщо при x→a(або x→∞) функція y=f(x)набуває невід'ємних значень y≥0і при цьому прагне до межі b, то ця межа не може бути негативною: b≥0.
Доведення. Доказ проведемо шляхом протилежного. Припустимо, що b<0 тоді |y - b|≥|b|і, отже, модуль різниці не прагне до нуля при x→a. Але тоді yне прагне до межі bпри x→aщо суперечить умові теореми.
Теорема 6.Якщо дві функції f(x)і g(x)при всіх значеннях аргументу xзадовольняють нерівності f(x)≥ g(x)і мають межі, то має місце нерівність b≥c.
Доведення.За умовою теореми f(x)-g(x) ≥0, Отже, по теоремі 5 або .
6. Розкриття невизначеностей (0/0), ∞ -∞
I.Невизначеність.
При розкладанні чисельника на множники скористалися правилом поділу багаточлена на багаточлен «кутом». Оскільки число x=1 є коренем многочлена x 3 – 6x 2 + 11x- 6, то при розподілі отримаємо
7. Межа послідовності . Поняття про натуральний логарифм.
ДРУГИЙ ПРИМІТНИЙ МЕЖ
Приклади:
Логарифм на підставі e (e- трансцендентне число, що приблизно дорівнює 2,718281828...) називається натуральним логарифмом. Натуральний логарифм числа xпозначається ln x. Натуральні логарифми широко використовуються у математиці, фізиці та інженерних розрахунках.
Широко використовуються логарифми по
основи, звані натуральними. Натуральні логарифми позначаються символом
Концепція межі функції.
Поняття безперервності функції безпосередньо з поняттям межі функції.
Число A називається межею функції f у точці a, граничної для множини E, якщо для будь-якої околиці V(A) точки A існує така проколота околиця точки a, що її образ при відображенні f є підмножиною заданої околиці V(A) точки A.
Межа функції f у точці a, граничної для множини E, позначається так: або якщо можна опустити згадку множини E.
Оскільки кожної околиці може бути зіставлена своя правильна (симетрична) околиця, то визначення межі можна сформулювати мовою - у тому вигляді, як це прийнято в математичному аналізі:
Межа функції у точці f у точці a, граничної для множини E, безпосередньо пов'язана з межею послідовності.
Розглянемо всілякі послідовності точок множини E, що мають своєю межею точку a, і відповідні їм послідовності значень функції в точках послідовності. Якщо межа функції функції f у точці a існує, то ця межа буде межею кожної послідовності .
Правильне і зворотне: якщо всі послідовності сходяться до одного й тому самому значенню, то функція має межу, рівну даному значенню.
ПЕРШИЙ ПРИМІТНИЙ МЕЖ
Функція не визначена при x=0, оскільки чисельник і знаменник дробу перетворюються на нуль. Графік функції зображено малюнку.
Однак, можна знайти межу цієї функції при х→0.
Наведемо доказ записаної формули. Розглянемо коло радіуса 1 і припустимо, що кут α, виражений у радіанах, укладений у межах 0< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) З малюнка видно, що
S ΔOAC .
Оскільки зазначені площі відповідно дорівнюють
S Δ OAC=0,5∙OC∙OA∙sin α= 0,5sinα, S сект. OAC = 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S Δ OBC=0,5∙OC∙BC= 0,5 tgα.
Отже,
sin α< α < tg α.
Розділимо всі члени нерівності на sin α > 0: .
Але. Тому на підставі теореми 4 про межу укладаємо, що Виведена формула називається першою чудовою межею.
Таким чином, перша чудова межа служить для розкриття невизначеності. Зауважимо, що отриману формулу не слід плутати з межами приклади.
11.Межа та пов'язані з ним межі.
ДРУГИЙ ПРИМІТНИЙ МЕЖ
Друга чудова межа служить для розкриття невизначеності 1 ∞ і виглядає так
Звернімо увагу на те, що у формулі для другої чудової межі в показнику ступеня має стояти вираз, зворотний тому, який додається до одиниці в підставі (оскільки в цьому випадку можна ввести заміну змінних і звести шукану межу до другої чудової межі)
приклади.
1. Функція f(x)=(x-1) 2 є нескінченно малою при x→1, оскільки (див. рис.).
2. Функція f(x)= tg x- нескінченно мала при x→0.
3. f(x)= ln (1+ x) - нескінченно мала при x→0.
4. f(x) = 1/x- нескінченно мала при x→∞.
Встановимо наступне важливе співвідношення:
Теорема.Якщо функція y=f(x)представима при x→aу вигляді суми постійного числа bта нескінченно малої величини α(x): f(x)=b+ α(x)те.
Назад, якщо , то f(x)=b+α(x), де a(x)- нескінченно мала при x→a.
Доведення.
1. Доведемо першу частину затвердження. З рівності f(x)=b+α(x)слід | f (x) - b | = | α|. Але так як a(x)– нескінченно мала, то при довільному ε знайдеться δ – околиця точки a,при всіх xз якої значення a(x)задовольняють співвідношення |α(x)|< ε. Тоді |f(x) – b|< ε. А це означає, що .
2. Якщо , то за будь-якого ε >0 для всіх хз деякої δ – околиця точки aбуде |f(x) – b|< ε. Але якщо позначимо f(x) - b = α, то |α(x)|< ε, а це означає, що a– нескінченно мала.
Розглянемо основні властивості нескінченно малих функцій.
Теорема 1.Алгебраїчна сума двох, трьох і взагалі будь-якого кінцевого числа нескінченно малих є функція нескінченно мала.
Доведення. Наведемо доказ для двох доданків. Нехай f(x)=α(x)+β(x), де і . Нам потрібно довести, що при довільному як завгодно малому? > 0 знайдеться δ> 0, таке, що для x, що задовольняють нерівності |x – a|<δ , виконується |f(x)|< ε.
Отже, зафіксуємо довільне число ε > 0. Оскільки за умовою теореми α(x)- нескінченно мала функція, то знайдеться таке? > 0, що за | x – a |< δ 1 маємо |α(x)|< ε / 2. Аналогічно, оскільки β(x)- нескінченно мала, то знайдеться таке δ 2 > 0, що за | x – a |< δ 2 маємо | β(x)|< ε / 2.
Візьмемо δ=min(δ 1 , δ 2 } . Тоді на околиці точки aрадіусу δ виконуватиметься кожна з нерівностей |α(x)|< ε / 2 та | β(x)|< ε / 2. Отже, в цій околиці буде
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,
тобто. |f(x)|< ε, що потрібно було довести.
Теорема 2.Добуток нескінченно малої функції a(x)на обмежену функцію f(x)при x→a(або при x→∞) є нескінченно мала функція.
Доведення. Оскільки функція f(x)обмежена, то існує кількість Мтаке, що за всіх значень xз деякої околиці точки a|f(x)|≤M.Крім того, оскільки a(x)- нескінченно мала функція при x→a, то для довільного ε > 0 знайдеться околиця точки a, в якій виконуватиметься нерівність |α(x)|< ε /M. Тоді в меншому з цих околиць маємо | αf|< ε /M= ε. А це означає, що af– нескінченно мала. Для випадку x→∞Доказ проводиться аналогічно.
З доведеної теореми випливають:
Наслідок 1.Якщо і , то
Наслідок 2.Якщо і c= const, то .
Теорема 3.Відношення нескінченно малої функції α(x)на функцію f(x), межа якої відмінна від нуля, є нескінченно мала функція.
Доведення. Нехай. Тоді 1 /f(x)є обмежена функція. Тому дріб є твір нескінченно малої функції на обмежену функцію, тобто. функція нескінченно мала.
приклади.
1. Ясно, що за x→+∞функція y=x 2 + 1 є нескінченно великий. Але тоді відповідно до сформульованої вище теореми функція – нескінченно мала при x→+∞, тобто. .
Можна довести і зворотну теорему.
Теорема 2.Якщо функція f(x)- нескінченно мала при x→a(або x→∞)і не звертається в нуль, то y= 1/f(x)є нескінченно великою функцією.
Доказ теореми проведіть самостійно.
приклади.
3. , оскільки функції і - нескінченно малі при x→+∞, Як сума нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала. Функція є сумою постійного числа і нескінченно малої функції. Отже, теорема 1 для нескінченно малих функцій отримуємо потрібну рівність.
Таким чином, найпростіші властивості нескінченно малих та нескінченно великих функцій можна записати за допомогою наступних умовних співвідношень: A≠ 0
13.Безкінечно малі функції одного порядку, еквівалентні нескінченно малі.
Нескінченно малі функції і називаються нескінченно малими одного порядку малості, якщо , позначають . І, нарешті, якщо немає, то нескінченно малі функції й незрівнянні.
ПРИКЛАД 2. Порівняння нескінченно малих функцій
Еквівалентні нескінченно малі функції.
Якщо , то нескінченно малі функції і називаються еквівалентними, позначають ~.
Локально еквівалентні функції:
Якщо
Деякі еквівалентності(при ):
Односторонні межі.
Досі ми розглядали визначення межі функції, коли x→aдовільним чином, тобто. межа функції не залежала від того, як розташовувалося xпо відношенню до a, ліворуч або праворуч a. Однак, досить часто можна зустріти функції, які не мають межі за цієї умови, але вони мають межу, якщо x→a, залишаючись з одного боку від а, ліворуч або праворуч (див. рис.). Тому запроваджують поняття односторонніх меж.
Якщо f(x)прагне до межі bпри xщо прагне до деякого числа aтак що xприймає лише значення, менші a, то пишуть і називають bмежою функції f(x) у точці a зліва.
Таким чином, число bназивається межею функції y=f(x)при x→aліворуч, якщо яке б не було позитивне число ε, знайдеться таке число δ (менше a
Аналогічно, якщо x→aі приймає значення великі a, то пишуть і називають bмежею функції у точці аправоруч. Тобто. число bназивається межею функції y=f(x) при x→a праворучякщо яке б не було позитивне число ε, знайдеться таке число δ (більше а), що всім виконується нерівність .
Зауважимо, що якщо межі ліворуч і праворуч у точці aдля функції f(x)не збігаються, то функція не має межі (двостороннього) у точці а.
приклади.
1. Розглянемо функцію y=f(x), визначену на відрізку таким чином
Знайдемо межі функції f(x)при x→ 3. Очевидно,
Іншими словами, для будь-якого скільки завгодно малого числа эпсилон, існує таке число дельта, що залежить від эпсилон, що з того, що для будь-яких іксів задовольняють нерівності слід, що відмінності значень функції в даних точках буде скільки завгодно мало.
Критерій безперервності функції у точці:
Функціябуде безперервнав точці A тоді і тільки тоді, коли вона буде безперервна в точці A і праворуч і зліва, тобто щоб у точці A існували дві односторонні межі, вони були рівними між собою і дорівнювали значення функції в точці A.
Визначення 2: Функція безперервнана множині, якщо вона безперервна у всіх точках цієї множини.
Похідна функції у точці
Нехай дана визначена на околиці. Розглянемо
Якщо ця межа існує, то вона називається похідної функції f у точці.
Похідна функції- Межа відношень збільшення функції до збільшення аргументу, при збільшенні аргументу .
Операція обчислення чи знаходження похідної у точці називається диференціюванням .
Правила диференціювання.
Похіднийфункції f(x)у точці х = х 0називається відношення збільшення функції в цій точці до збільшення аргументу, при прагненні останнього до нуля. Знаходження похідної називається диференціюванням. Обчислення похідної функції провадиться за загальним правилом диференціювання: Позначимо f(x) = u, g(x) = v- функції, що диференціюються в точці х. Основні правила диференціювання 1) (похідна суми дорівнює сумі похідних) 2) (звідси, зокрема, випливає, що похідна твори функції та константи дорівнює твору похідної цієї функції на константу) 3) Похідна приватного: якщо g 0 4) Похідна складної функції: 5) Якщо функція задана параметрично: ,
приклади.
1. y = x a – статечна функціяіз довільним показником.
Неявно задана функція
Якщо функція задана рівнянням у = ƒ (х), дозволеним щодо у, то функція задана у явному вигляді (явна функція).
Під неявним завданнямфункції розуміють завдання функції як рівняння F(x;y)=0, не дозволеного щодо у.
Будь-яку явно задану функцію у = ƒ (х) можна записати як неявно задану рівняннямƒ(х)-у=0, але не навпаки.
Не завжди легко, а іноді і неможливо розв'язати рівняння щодо у (наприклад, у+2х+cosy-1=0 або 2 у -х+у=0).
Якщо неявна функція задана рівнянням F(x; у)=0, то для знаходження похідної від у по х немає необхідності вирішувати рівняння щодо у: досить продиференціювати це рівняння по x, розглядаючи при цьому як функцію х,і отримане потім рівняння дозволити щодо ".
Похідна неявної функції виражається через аргумент х і функцію у.
Приклад:
Знайти похідну функції у, задану рівнянням х 3 + 3 -3ху = 0.
Рішення: Функція задана неявно. Диференціюємо по х рівність х 3 + у 3 -3ху = 0. З отриманого співвідношення
3х 2 +3у 2 · у "-3 (1 · у + х · у") = 0
слід, що у 2 у "-ху" = у-х 2, тобто у "= (у-х 2) / (у 2 -х).
Похідні вищих порядків
Зрозуміло, що похідна
функції y = f(x)є також функція від x:
y" =f "(x)
Якщо функція f "(x)диференційована, її похідна позначається символом y"" =f "" (x) xдва рази.
Похідна другий похідний, тобто. функції y""=f""(x), називається третьої похідної функції y=f(x)або похідної функції f(x) третього порядкута позначається символами
Взагалі n-я похідна чи похідна n-го порядку функції y=f(x)позначається символами
Ф-ла Лейбніца:
Припустимо, що функції та диференційовані разом зі своїми похідними до n-го порядку включно. Застосовуючи правило диференціювання добутку двох функцій, отримаємо
Зіставимо ці вирази зі ступенями бінома:
Впадає у вічі правило відповідності: щоб отримати формулу для похідної 1-го, 2-го або 3-го порядків від виконання функцій і , потрібно замінити ступеня і у виразі для (де n= 1,2,3) похідними відповідних порядків. Крім того, нульові ступені величин і слід замінити похідними нульового порядку, маючи на увазі під ними функції та :
Узагальнюючи це правило у разі похідної довільного порядку n, отримаємо формулу Лейбниця,
де - Біноміальні коефіцієнти:
Теорема Роля.
Ця теорема дозволяє знайти критичні точки, та був з допомогою достатніх умов досліджувати ф-ю на екстремуми.
Нехай 1) ф-я f(x) визначена і безперервна на деякому замкнутому проміжку; 2) існує кінцева похідна, принаймні, у відкритому проміжку (a; b); 3) на кінцях проміжок ф-янабуває рівних значень f(a) = f(b). Тоді між точками a і b знайдеться така точка, що похідна в цій точці буде = 0.
По теоремі про властивості ф-ий, безперервних на відрізку, ф-я f(x) приймає цьому відрізку своє max і min значення.
f(x 1) = M - max f (x 2) = m - min ; x 1; x 2 Î
1) Нехай M = m, тобто. m £ f(x) £ M
Þ ф-я f(x) прийматиме на інтервалі від a до b постійні значення, а Þ її похідна дорівнюватиме нулю. f'(x)=0
2) Нехай M>m
Т.к. за умовами теореми f(a) = f(b) Þ своє найменше чи найбільше значення ф-яприйматиме не на кінцях відрізка, а ? прийматиме M або m у внутрішній точці цього відрізка. Тоді теорема Ферма f'(c)=0.
Теорема Лагранжа.
Формула кінцевих прирощеньабо теорема Лагранжа про середнє значеннястверджує, що якщо функція fбезперервна на відрізку [ a;b] та диференційована в інтервалі ( a;b), то знайдеться така точка, що
Теорема Коші.
Якщо функції f(x) і g(x) безперервні на відрізку і диференційовані на інтервалі (a, b) і g¢(x) ¹ 0 на інтервалі (a, b), існує принаймні одна точка e, a< e < b, такая, что
Тобто. відношення прирощень функцій цьому відрізку дорівнює відношенню похідних у точці e. Приклади розв'язання задач курс лекцій Обчислення об'єму тіла за відомим площамйого паралельних перерізівІнтегральне числення
Приклади виконання курсової роботиЕлектротехніка
Для доказу цієї теореми, на перший погляд, дуже зручно скористатися теоремою Лагранжа. Записати формулу кінцевих різниць кожної функції, а потім розділити їх друг на друга. Проте, це уявлення помилкове, т.к. точка e кожної з функції у випадку різна. Звичайно, в деяких окремих випадках ця точка інтервалу може виявитися однаковою для обох функцій, але це дуже рідкісний збіг, а не правило, тому не може бути використано для доказу теореми.
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію
При x→x 0 величина також прагне до х 0 ; перейдемо у попередній рівності до межі:
Так як , то.
Тому
(межа відношення двох нескінченно малих дорівнює межі відношення їх похідних, якщо останній існує)
Правило Лопіталя, при ∞/∞.
Зверніть увагу: у всіх визначеннях фігурує число X, що є частиною області визначення функції: X з D(f). Насправді найчастіше трапляються випадки, коли X - числовий проміжок (відрізок, інтервал, промінь тощо.).
Визначення 1.
Функцію у = f(х) називають зростаючою на множині X з D(f), якщо для будь-яких двох точок х 1 і х 2 множини X, таких, що х 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).
Визначення 2.
Функцію у = f(х) називають спадною на множині X з D(f), якщо для будь-яких монотонність двох точок х 1 і х 2 множини X, таких, що х 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x 2).
На практиці зручніше скористатися такими формулюваннями: функція зростає, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції; функція зменшується, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
У 7-му та 8-му класах ми використовували наступне геометричне тлумачення понять зростання або спадання функції: рухаючись за графіком зростаючої функції зліва направо, ми ніби піднімаємося в гірку (рис. 55); рухаючись за графіком спадної функції зліва направо, як би спускаємося з гірки (рис. 56).
Зазвичай терміни «зростаюча функція», «зменшується» об'єднують загальною назвою монотонна функція, а дослідження функції на зростання або спадання називають дослідженням функції на монотонність.
Зазначимо ще одна обставина: якщо функція зростає (або зменшується) у своїй природній області визначення, то зазвичай кажуть, що функція зростаюча (або спадна) - без вказівки числової множини X.
приклад 1.
Дослідити на монотонність функцію:
а)у = х 3 + 2; б) у = 5 – 2х.
Рішення:
а) Візьмемо довільні значення аргументу х 1 і х 2 і хай х 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:
Остання нерівність означає, що f(х 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).
Отже, з х 1< х 2 следует f(х 1) >f(х 2), а це означає, що задана функція зменшується (на всій числовій прямій).
Визначення 3.
Функцію у - f(х) називають обмеженою знизу на множині X з D (f), якщо всі значення функції на множині X більші за деяке число (іншими словами, якщо існує число m таке, що для будь-якого значення х є X виконується нерівність f( х) >m).
Визначення 4.
Функцію у = f(х) називають обмеженою зверху на множині X з D(f), якщо всі значення функції менші за деяке число (іншими словами, якщо існує число М таке, що для будь-якого значення х є X виконується нерівність f(х)< М).
Якщо безліч X не вказано, мається на увазі, що йдеться про обмеженість функції знизу або зверху у всій області визначення.
Якщо функція обмежена і знизу, і зверху, її називають обмеженою.
Обмеженість функції легко прочитується за її графіком: якщо функція обмежена знизу, то її графік цілком розташований вище за деяку горизонтальну пряму у = т (рис. 57); якщо функція обмежена зверху, її графік цілком розташований нижче деякої горизонтальної прямої у = М (рис. 58).
приклад 2.Дослідити на обмеженість функції
Рішення.З одного боку, цілком очевидна нерівність (за визначенням квадратного кореняЦе означає, що функція обмежена знизу. З іншого боку, маємо тому
Це означає, що функція обмежена згори. А тепер подивіться графік заданої функції (рис. 52 з попереднього параграфа). Обмеженість функції і згори, і знизу прочитується за графіком досить просто.
Визначення 5.
Число m називають найменшим значенням функції у = f(х) на множині X С D(f), якщо:
1) у Х існує така точка х0, що f(х0) = m;
2) всім x з X виконується нерівність m>f(х 0).
Визначення 6.
Число М називають найбільшим значенням функції у = f(x) на множині X С D(f), якщо:
1) у Х існує така точка х0, що f(x0) = М;
2) для всіх x з X виконується нерівність
Найменше значення функції ми позначали й у 7-му, й у 8-му класах символом у, а найбільше - символом у.
Якщо безліч X не зазначено, то мається на увазі, що йдеться про віднайдення найменшого чи найбільшого значення функції у всій області визначення.
Досить очевидні такі корисні твердження:
1) Якщо у функції існує Y, вона обмежена знизу.
2) Якщо у функції існує Y, вона обмежена зверху.
3) Якщо функція не обмежена знизу, Y не існує.
4) Якщо функція не обмежена зверху, Y не існує.
приклад 3.
Знайти найменше та найбільше значенняфункції
Рішення.
Досить очевидно, особливо якщо вдатися до допомоги графіка функції (рис. 52), що = 0 (це значення функція досягає в точках х = -3 і х = 3), а = 3 (цього значення функція досягає в точці х = 0).
У 7-му та 8-му класах ми згадували ще дві властивості функцій. Перше назвали властивістю опуклості функції. Вважається, що функція випукла вниз на проміжку X, якщо, з'єднавши будь-які дві точки її графіка (з абсцисами з X) відрізком прямої, ми виявимо, що відповідна частина графіка лежить нижче за проведений відрізок (рис. 59). безперервність Функція опукла вгору на проміжку X, якщо функції з'єднавши будь-які дві точки її графіка (з абсцисами з X) відрізком прямої, ми виявимо, що відповідна частина графіка лежить вище проведеного відрізка (рис. 60).
Друге властивість - безперервність функції проміжку X - означає, що графік функції проміжку X - суцільний, тобто. не має проколів та стрибків.
Зауваження.
Насправді в математиці все, як кажуть, «з точністю до навпаки»: графік функції зображується у вигляді суцільної лінії (без проколів та стрибків) лише тоді, коли доведено безперервність функції. Але формальне визначення безперервності функції, досить складне і тонке, нам поки що не під силу. Те саме можна сказати і про опуклість функції. Обговорюючи зазначені дві властивості функцій, як і раніше, спиратимемося на наочно-інтуїтивні уявлення.
А тепер проведемо огляд наших знань. Згадавши про ті функції, які ми з вами вивчали в 7-му та 8-му класах, уточнимо, як виглядають їх графіки, і перерахуємо властивості функції, дотримуючись певного порядку, наприклад: область визначення; монотонність; обмеженість; , ; безперервність; область значень; опуклість.
Згодом з'являться нові властивості функцій, відповідно змінюватиметься і перелік властивостей.
1. Постійна функція у = З
Графік функції у = З зображено на рис. 61 - пряма, паралельна осі х. Це настільки нецікава функція, що немає сенсу перераховувати її властивості.
Графіком функції у = кх + m є пряма (рис. 62, 63).
Властивості функції у = кх + m:
1) 
2) зростає, якщо до > 0 (рис. 62), зменшується, якщо до< 0 (рис. 63);
4) немає ні найбільшого, ні найменшого значень;
5) функція безперервна;
6) 
7) про опуклість говорити немає сенсу.
Графіком функції у = кх 2 є парабола з вершиною на початку координат і з гілками, спрямованими нагору, якщо до > О (рис. 64), і вниз, якщо до< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.
Властивості функції у - кх 2:
Для випадку до> 0 (рис. 64):
1) D(f) = (-оо,+оо);
4) = немає;
5) безперервна;
6) Е(f) = функція зменшується, але в проміжку , зменшується на промені ;
7) випукла вгору.
Графік функції у = f(х) будується за точками; що більше точок виду (х; f(х)) ми візьмемо, то більш точне уявлення про графік отримаємо. Якщо цих точок узяти досить багато, то й уявлення про графік складеться повніше. Саме в цьому випадку інтуїція і підказує нам, що графік треба зобразити як суцільну лінію (в даному випадку у вигляді параболи). А вже потім, читаючи графік, ми робимо висновки про безперервність функції, її опуклість вниз або вгору, про область значень функції. Ви повинні розуміти, що з перерахованих семи властивостей «законними» є лише властивості 1), 2), 3), 4) – «законними» у тому сенсі, що ми можемо обґрунтувати їх, посилаючись на точні визначення. Про решту властивостей у нас є лише наочно-інтуїтивні уявлення. До речі, у цьому немає нічого поганого. З розвитку математики відомо, що людство часто й довго користувалося різними властивостями тих чи інших об'єктів, не знаючи точних визначень. Потім, коли такі визначення вдавалося сформулювати, все ставало свої місця. 
Графіком функції є гіпербола, осі координат є асимптотами гіперболи (рис. 66, 67).
1) D(f) = (-00,0)1U (0,+оо);
2) якщо до > 0, то функція зменшується на відкритому промені (-оо, 0) і на відкритому промені (0, +оо) (рис. 66); якщо до< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) не обмежена ні знизу, ні згори;
4) немає ні найменшого, ні найбільшого значень;
5) функція безперервна на відкритому промені (-оо, 0) та на відкритому промені (0, +оо);
6) Е(f) = (-оо,0) U (0,+оо);
7) якщо до > 0, то функція опукла вгору при х< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, тобто. на відкритому промені (0, +оо) (рис. 66). Якщо до< 0, то функция выпукла вверх при х >О та випукла вниз при х< О (рис. 67).
Графіком функції є гілка параболи (рис. 68). Властивості функції:
1) D(f) = , зростає на промені)
