Як у евклідовій геометрії точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігуропуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, витікають поняття прямокутника, квадрата, ромба та інших геометричних величин.
Вконтакте
Визначення паралелограма
Випуклий чотирикутник,що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий у геометрії як паралелограм.
Як виглядає класичний паралелограм, зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються основами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону - висотою (BE і BF), лінії AC і BD - діагоналями.
Увага!Квадрат, ромб і прямокутник - це окремі випадки паралелограма.
Сторони та кути: особливості співвідношення
Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням, їх доводить теорема Ці показники такі:
- Сторони, які є протилежними - попарно однакові.
- Кути, розташовані протилежно один до одного - попарно рівні.
Доказ: розглянемо ∆ABC та ∆ADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямий AC. ∠BCA=∠CAD та ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD та AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).
Відрізки AB і BC в ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.
Характеристики діагоналей фігури
Основна ознакацих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.
Доказ: нехай т. е. - Це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірні трикутники - ∆ABE і ∆CDE.
AB=CD, оскільки вони протилежні. Відповідно до прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.
За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ABE і CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони пропорційні частини AC і BD. Властивість доведено.
Особливості суміжних кутів
У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180 °оскільки вони лежать по один бік паралельних лінійта січній. Для чотирикутника ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Властивості бісектриси:
- опущені на один бік, є перпендикулярними;
- протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
- трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.
Визначення характерних рис паралелограма з теореми
Ознаки цієї постаті випливають із її основної теореми, яка свідчить наступне: чотирикутник вважається паралелограмому тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх на рівні відрізки.
Доказ: нехай у т. е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD та BC. Отже, за визначенням паралельності - AD || BC. Аналогічна властивість ліній BC та CD виводиться також. Теорему доведено.
Обчислення площі фігури
Площа цієї фігури знаходиться декількома методами,одним із найпростіших: множення висоти та підстави, до якої вона проведена.
Доказ: проведемо перпендикуляри BE та CF з вершин B та C. ∆ABE та ∆DCF - рівні, оскільки AB = CD та BE = CF. ABCD - рівновеликий з прямокутником EBCF, оскільки вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD , а також S DCF і S EBCD . З цього випливає, що площа цієї геометричної фігуризнаходиться так само як і прямокутника:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Для визначення загальної формулиплощі паралелограма позначимо висоту як hb, а бік - b. Відповідно:
Інші способи знаходження площі
Обчислення площі через сторони паралелограма та кут, Який вони утворюють, - другий відомий метод.
,
Sпр-ма – площа;
a та b - його сторони
α - кут між відрізками a та b.
Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого знаходяться тригонометричними тотожностями, тобто . Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором та отримуємо доказ справедливості цієї формули.
Через діагоналі паралелограма та кут,який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.
Доказ: AC і BD перетинаючи, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE та AED. Їхня сума дорівнює площі цього чотирикутника.
Площу кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто . Оскільки AE+CE=AC= d 1 і BE+DE=BD= d 2 формула площі зводиться до:
.
Застосування у векторній алгебрі
Особливості складників цього чотирикутника знайшли застосування у векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані векториінеколінеарні, то їх сума дорівнюватиме діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.
Доказ: із довільно обраного початку – т. о. - Будуємо вектори та . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA та OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі чи сумі .
Формули для обчислення параметрів паралелограма
Тотожності наведені за таких умов:
- a і b, α - сторони та кут між ними;
- d 1 і d 2 , - діагоналі і в точці їх перетину;
- h a та h b - висоти, опущені на сторони a та b;
| Параметр | Формула |
| Знаходження сторін | |
| по діагоналях і косинус кута між ними | 
|
| по діагоналях та стороні | 
|
| через висоту та протилежну вершину | |
| Знаходження довжини діагоналей | |
| по сторонах та величині вершини між ними | |
| з боків та однієї з діагоналей | 
ВисновокПаралелограм як одна з ключових фігур геометрії знаходить застосування у житті, наприклад, у будівництві при підрахунку площі ділянки або інших вимірів. Тому знання про відмітні ознаки та способи обчислення різних його параметрів можуть стати в нагоді в будь-який момент життя. |
При вирішенні завдань на цю тему крім основних властивостей паралелограмата відповідних формул можна запам'ятати та застосовувати наступне:
- Бісектриса внутрішнього кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник
- Бісектриси внутрішніх кутів прилеглі до однієї із сторін паралелограма взаємно перпендикулярні
- Бісектриси, що виходять із протилежних внутрішніх кутів паралелограма, паралельні між собою або лежать на одній прямій
- Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін
- Площа паралелограма дорівнює половині твору діагоналей на синус кута між ними.
Розглянемо завдання, під час вирішення яких використовуються дані властивості.
Завдання 1.
Бісектриса кута С паралелограма АВСD перетинає сторону АD у точці М та продовження сторони АВ за точку А у точці Е. Знайдіть периметр паралелограма, якщо АЕ = 4, DМ = 3.
Рішення.
1. Трикутник СМD рівнобедрений. (Властивість 1). Отже, CD = МD = 3 см.
2. Трикутник ЕАМ рівнобедрений.
Отже, АЕ = АМ = 4 див.
3. АD = АМ + МD = 7 див.
4. Периметр АВСD = 20 див.
Відповідь. 20 див.
Завдання 2.
У опуклому чотирикутнику АВСD проведено діагоналі. Відомо, що площі трикутників АВD, АСD, ВСD дорівнюють. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом.
Рішення.
1. Нехай ВЕ – висота трикутника АВD, СF – висота трикутника АCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу АD, то висоти цих трикутників рівні. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярні до АD. Точки В і С розташовані по одну сторону щодо прямої АD. ВЕ = СF. Отже, пряма ЗС || AD. (*)
3. Нехай АL – висота трикутника АСD, BK – висота трикутника BCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу СD, то висоти цих трикутників рівні. АL = BK.
4. АL та BK перпендикулярні СD. Точки В і А розташовані по одну сторону щодо прямої CD. АL = BK. Отже, пряма АВ|| СD (**)
5. З умов (*), (**) випливає – АВСD паралелограм.
Відповідь. Доведено. АВСD – паралелограм.
Завдання 3.
На сторонах ВС і CD паралелограма АВСD відзначені точки М і Н відповідно так, що відрізки ВМ і НD перетинаються в точці О;<ВМD = 95 о,
Рішення.
1. У трикутнику DОМ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. У прямокутному трикутнику DНС Тоді<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Але CD = АВ. Тоді АВ: НD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Відповідь: АВ: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Завдання 4. Одна з діагоналей паралелограма довжиною 4√6 становить з основою кут 60 про, а друга діагональ становить з тією ж основою кут 45 о. Знайти другу діагональ. Рішення.
1. АТ = 2√6. 2. До трикутника АОD застосуємо теорему синусів. АТ/sin D = OD/sin А. 2√6/sin 45 про = OD/sin 60 про. ОD = (2√6sin 60 про) / sin 45 про = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Відповідь: 12.
Завдання 5. У паралелограма зі сторонами 5√2 та 7√2 менший кут між діагоналями дорівнює меншому куту паралелограма. Знайдіть суму довжин діагоналей. Рішення.
Нехай d 1 , d 2 – діагоналі паралелограма, а кут між діагоналями та менший кут паралелограма дорівнює ф. 1. Порахуємо двома різними S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Отримаємо рівність 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф або 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Використовуючи співвідношення між сторонами та діагоналями паралелограма запишемо рівність (АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Складемо систему: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Помножимо друге рівняння системи на 2 та складемо з першим. Отримаємо (d 1 + d 2) 2 = 576. Звідси Id 1 + d 2 I = 24. Так як d 1 , d 2 - Довжини діагоналей паралелограма, то d 1 + d 2 = 24. Відповідь: 24.
Завдання 6. Сторони паралелограма 4 та 6. Гострий кут між діагоналями дорівнює 45 о. Знайдіть площу паралелограма. Рішення.
1. З трикутника АОВ, використовуючи теорему косінусів, запишемо співвідношення між стороною паралелограма та діагоналями. АВ 2 = АТ 2 + ВО 2 2 · АТ · ВО · cos АОВ. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 · (d 1 / 2) · (d 2 / 2) cos 45 про; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Аналогічно запишемо співвідношення трикутника АОD. Врахуємо, що<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Отримаємо рівняння d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Маємо систему Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо 2d 1 · d 2 √2 = 80 або d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. Примітка:У цьому й попередньому завданні немає потреби, вирішувати повністю систему, передбачаючи те, що у цій задачі для обчислення площі нам необхідний твір діагоналей. Відповідь: 10. Завдання 7. Площа паралелограма дорівнює 96, а його сторони дорівнюють 8 і 15. Знайдіть квадрат меншої діагоналі. Рішення.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Зробимо підстановку у формулу. Отримаємо 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Звідси sin ВAD = 4/5. 2. Знайдемо cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1. (4/5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 . За умовою завдання ми знаходимо довжину меншої діагоналі. Діагональ ВD буде меншою, якщо кут ВАD гострий. Тоді cos ВАD = 3/5. 3. З трикутника АВD за теоремою косінусів знайдемо квадрат діагоналі ВD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 - 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145. Відповідь: 145.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язати геометричне завдання? сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове. Паралелограм - геометрична фігура, що часто зустрічається в задачах курсу геометрії (розділ планіметрії). Ключовими ознаками даного чотирикутника є рівність кутів протилежних і наявність двох пар паралельних протилежних сторін. Окремі випадки паралелограма – ромб, прямокутник, квадрат. Розрахунок площі даного виду багатокутника може бути здійснений декількома способами. Розглянемо кожен із них. Для обчислення площі паралелограма можна скористатися значеннями сторони, а також довжини висоти, опущеної на неї. При цьому отримані дані будуть достовірними як для випадку відомої сторони – підстави фігури, так і якщо у вашому розпорядженні бічна сторона фігури. У такому разі шукана величина буде отримана за формулою: S = a * h (a) = b * h (b), Приклад: значення основи паралелограма – 7 см, довжина перпендикуляра, опущеного на нього з протилежної вершини – 3 см. Рішення: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21. Розглянемо випадок, коли ви знаєте величини двох сторін фігури, а також градусний захід кута, який вони між собою утворюють. Наданими даними також можна скористатися для знаходження площі паралелограма. У цьому випадку вираз-формула матиме такий вигляд: S = a * c * sinα = a * c * sinβ, Приклад: основа паралелограма – 10 см, його бічна сторона на 4 см менша. Тупий кут фігури становить 135 °. Рішення: визначаємо значення другої сторони: 10 - 4 = 6 см. S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135 ° = 60 * sin (90 ° + 45 °) = 60 * cos45 ° = 60 * √2 /2 = 30√2. Наявність відомих значень діагоналей даного багатокутника, а також кута, який вони утворюють в результаті перетину, дозволяє визначити величину площі фігури. S = (d1 * d2) / 2 * sinγ, S – площа, яку слід визначити, Перш ніж дізнатися, як знайти площу паралелограма, нам необхідно згадати, що таке паралелограм і що називається його висотою. Паралелограм – чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні (лежать на паралельних прямих). Перпендикуляр, проведений з довільної точки протилежної сторони до прямої, що містить цю сторону, називається висотою паралелограма. Квадрат, прямокутник і ромб – це окремі випадки паралелограма. Площа паралелограма позначається як (S). S = a * h , де а - це основа, h - це висота, яка проведена до основи. S=a*b*sinα , де a та b – це основи, а α - кут між основами а та b. S = p * r, де р - це напівпериметр, r - це радіус кола, яке вписано в паралелограм. Площа паралелограма, який утворений векторами a та b дорівнює модулю добутку заданих векторів, а саме: Розглянемо приклад №1: Даний паралелограм, сторона якого дорівнює 7 см, а висота 3 см. Як знайти площу паралелограма, формула для вирішення нам необхідна. Таким чином, S = 7x3. S=21. Відповідь: 21 см 2 . Розглянемо приклад №2: Дано основи 6 і 7 см, а також дано кут між основами 60 градусів. Як знайти площу паралелограма? Формула, яка використовується для вирішення: Отже, спочатку знайдемо синус кута. Синус 60 = 0,5, відповідно S = 6 * 7 * 0,5 = 21 Відповідь: 21 см 2 . Сподіваюся, що ці приклади Вам допоможуть під час вирішення завдань. І пам'ятайте, головне – це знання формул та уважність Паралелограм- Це чотирикутник, у якого сторони попарно паралельні. У цій фігурі протилежні сторони та кути рівні між собою. Діагоналі паралелограма перетинаються в одній точці та діляться їй навпіл. Формули площі паралелограма дозволяють знайти значення через сторони, висоту та діагоналі. Паралелограм також може бути представлений у окремих випадках. Ними вважаються прямокутник, квадрат та ромб. Цей випадок вважається класичним і вимагає додаткового розгляду. Краще розглянемо формулу обчислення площі через дві сторони та кут між ними. Той самий спосіб застосовується у розрахунку . Якщо дано сторони та кут між ними, то площа розраховується так: Припустимо, дано паралелограм зі сторонами a = 4 см, b = 6 см. Кут між ними α = 30 °. Знайдемо площу: Розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма через діагоналі. Нехай дано паралелограм із діагоналями D = 7 см, d = 5 см. Кут, що лежить між ними α =30°. Підставимо дані у формулу: Знаючи формулу площі паралелограма через діагональ, можна вирішувати безліч цікавих завдань. Давайте розглянемо одну з них.
(
(Оскільки в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута в 30 о, дорівнює половині гіпотенузи).
способами його площу.
(d 1 + d 2 = 140).
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144).
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
Знайти площу паралелограма, якщо відомі сторона та висота
Знайти площу паралелограма, якщо відомі 2 сторони та кут між ними
Знайти площу паралелограма, якщо відомі діагоналі та кут між ними
S = (d1 * d2) / 2 * sinφ,
d1, d2 – відомі (або отримані шляхом обчислень) діагоналі,
γ, φ – кути між діагоналями d1 та d2.Формули знаходження площі паралелограма
Для початку розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма за висотою та стороною, до якої вона опущена.
Площа паралелограма через діагоналі
Формула площі паралелограма через діагоналі дозволяє швидко знайти значення.
Для обчислень знадобиться величина кута, розташованого між діагоналями.
Приклад розрахунку площі паралелограма через діагональ дав чудовий результат – 8,75.
Завдання:Дано паралелограм із площею 92 кв. див. Точка F розташована на середині його боку ПС. Давайте знайдемо площу трапеції ADFB, яка лежатиме в нашому паралелограмі. Спочатку намалюємо все, що отримали за умовами.
Приступаємо до вирішення: 
За нашими умовами ah = 92, а відповідно, площа нашої трапеції дорівнюватиме 
