Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то кажуть, що задана послідовність

x1, х2, …, хn = (xn)

Загальний елемент послідовності є функцією n.

Таким чином, послідовність може розглядатися як функція.

Задати послідовність можна у різний спосіб - головне, щоб був зазначений спосіб отримання будь-якого члена послідовності.

приклад. (xn) = ((-1)n) або (xn) = -1; 1; -1; 1; …

(xn) = (sinn/2) або (xn) = 1; 0; 1; 0; …

Для послідовностей можна визначити такі операції:

Розмноження послідовності на число m: m(xn) = (mxn), тобто. mx1, mx2, …

Додавання (віднімання) послідовностей: (xn) (yn) = (xn yn).

Добуток послідовностей: (xn)(yn) = (xnyn).

Частка послідовностей: при (yn) 0.

Обмежені та необмежені послідовності.

Визначення. Послідовність (xn) називається обмеженою, якщо існує таке число М>0, що для будь-якого n правильна нерівність:

тобто. усі члени послідовності належать проміжку (-М; M).

Визначення. Послідовність (xn) називається обмеженою зверху, якщо для будь-якого n існує таке число М, що xn M.

Визначення. Послідовність (xn) називається обмеженою знизу, якщо для будь-якого n існує таке число М, що xn M

приклад. (xn) = n - обмежена знизу (1, 2, 3, …).

Визначення. Число а називається межею послідовності (xn), якщо для будь-якого позитивного >0 існує такий номер N, що всім n > N виконується умова: Це записується: lim xn = a.

У цьому випадку кажуть, що послідовність (xn) сходить до а при n.

Властивість: Якщо відкинути якесь число членів послідовності, то виходять нові послідовності, причому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.

приклад. Довести, що межа послідовності lim .

Нехай за n > N правильно, тобто. . Це вірно при, таким чином, якщо за N взяти цілу частину, то твердження, наведене вище, виконується.

приклад. Показати, що за n послідовність 3, має межею число 2.

Разом: (xn) = 2 + 1/n; 1/n = xn - 2

Вочевидь, що таке число n, що, тобто. lim(xn) = 2.

Теорема. Послідовність не може мати більше однієї межі.

Доведення. Припустимо, що послідовність (xn) має дві межі a і b, не рівні один одному.

xn a; xn b; a b.

Тоді за визначенням існує таке число >0, що

Якщо функція визначена на множині натуральних чисел N, то така функція називається нескінченною числовою послідовністю. Зазвичай числові послідовність позначають як (Xn), де n належить множині натуральних чисел N.

Числова послідовність може бути задана формулою. Наприклад, Xn=1/(2*n). Таким чином, ми ставимо у відповідність кожному натуральному числу n деякий певний елемент послідовності (Xn).

Якщо тепер послідовно брати n рівними 1,2,3, …, ми отримаємо послідовність (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Види послідовності

Послідовність може бути обмеженою або необмеженою, зростаючою або спадною.

Послідовність (Xn) називає обмеженою,якщо існують два числа m і M такі, що для будь-якого n, що належить множині натуральних чисел, виконуватиметься рівність m<=Xn

Послідовність (Xn), яка не є обмеженою,називається необмеженою послідовністю.

зростаючою,якщо всім натуральних n виконується така рівність X(n+1) > Xn. Іншими словами, кожен член послідовності, починаючи з другого, повинен бути більшим за попередній член.

Послідовність (Xn) називається спадаючою,якщо всім натуральних n виконується така рівність X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Приклад послідовності

Перевіримо, чи є послідовності 1/n та (n-1)/n спадними.

Якщо послідовність спадна, то X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn = n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Значить послідовність (n-1)/n зростаюча.

3. Межа числової послідовності

3.1. Поняття числової послідовності та функції натурального аргументу

Визначення 3.1.Числовою послідовністю (надалі просто послідовністю) називається впорядкована лічильна множина чисел

{x1, x2, x3, ... }.

Зверніть увагу на два моменти.

1. У послідовності нескінченно багато чисел. Якщо чисел кінцеве число – це послідовність!

2. Усі числа впорядковані, тобто розташовані у порядку.

Надалі для послідовності часто використовуватимемо скорочене позначення ( xn}.

Над послідовностями можна виконувати певні операції. Розглянемо деякі з них.

1. Збільшення послідовності на число.

Послідовність c×{ xn) – це послідовність з елементами ( c× xn), тобто

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, c× x2, c× x3, ... }.

2. Додавання та віднімання послідовностей.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

або, докладніше,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Примноження послідовностей.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Розподіл послідовностей.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Звичайно, передбачається, що в цьому випадку все yn¹ 0.

Визначення 3.2.Послідовність ( xn) називається обмеженою зверху, якщо https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height= "Послідовність (xn) називається обмеженою, якщо вона одночасно обмежена і зверху, і знизу.

3.2. Межа послідовності. Нескінченно велика послідовність

Визначення 3.3.Число aназивається межею послідовності ( xn) при nтим, хто прагне нескінченності, якщо

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33">, якщо .

Говорять, що , якщо .

Визначення 3.4.Послідовність ( xn) називається нескінченно великий, якщо (тобто якщо ).

3.3. Нескінченно мала послідовність.

Визначення 3.5.Послідовність (xn) називається нескінченно малою, якщо , тобто якщо .

Нескінченно малі послідовності мають такі властивості.

1. Сума та різниця нескінченно малих послідовностей є також нескінченно мала послідовність.

2. Нескінченно мала послідовність обмежена.

3. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно мала послідовність.

4. Якщо ( xn) – нескінченно велика послідовність, то, починаючи з деякого N, визначена послідовність (1/ xn), і вона є нескінченно мала послідовність. Навпаки, якщо ( xn) - нескінченно мала послідовність і все xnвідмінні від нуля, то (1/ xn) є нескінченно велика послідовність.

3.4. Сходові послідовності.

Визначення 3.6.Якщо існує кінцева межа width="149".

5. Якщо , то .

3.5. Граничний перехід у нерівності.

Теорема 3.1.Якщо, починаючи з деякого N, всі xn ³ b, то.

Слідство.Якщо, починаючи з деякого N, всі xn ³ yn, то .

Зауваження. Зауважте, що якщо, починаючи з деякого N, всі xn > b, тобто при граничному переході сувора нерівність може перейти в не суворе.

Теорема 3.2.(«Теорема про двох міліціонерів») Якщо, починаючи з деякого N, виконані такі властивості

1..gif" width="163" height="33 src=">,

то існує.

3.6. Межа монотонної послідовності.

Визначення 3.7.Послідовність ( xn) називається монотонно зростаючою, якщо для будь-якого n xn+1 ³ xn.

Послідовність ( xn) називається строго монотонно зростаючою, якщо для будь-якого n xn+1> xn.

xn­.

Визначення 3.8.Послідовність ( xn) називається монотонно спадаючою, якщо для будь-якого n xn+1 £ xn.

Послідовність ( xn) називається строго монотонно спадаючою, якщо для будь-якого n xn+1< xn.

Обидва ці випадки об'єднують символом xn¯.

Теорема існування межі монотонної послідовності.

1. Якщо послідовність ( xn) монотонно зростає (зменшується) і обмежена зверху (знизу), то у неї існує кінцева межа, рівна sup( xn) (inf( xn}).

2 Якщо послідовність ( xn) монотонно зростає (зменшується), але зверху (знизу) не обмежена, то у неї існує межа, що дорівнює + ¥ (- ¥).

На підставі цієї теореми доводиться, що існує так звана чудова межа

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Вона називається підпослідовністю послідовності ( xn}.

Теорема 3.3.Якщо послідовність ( xn) сходиться і її межа дорівнює a, то будь-яка її підпослідовність також сходиться і має ту саму межу.

Якщо ( xn) – нескінченно велика послідовність, то будь-яка її підпослідовність є також нескінченно більшою.

Лемма Больцано – Вейєрштрасса.

1. З будь-якої обмеженої послідовності можна витягти таку підпослідовність, яка сходить до кінцевої межі.

2. З будь-якої необмеженої послідовності можна отримати нескінченно більшу підпослідовність.

На підставі цієї леми доводиться один із основних результатів теорії меж – Ознака збіжності Больцано-Коші.

Для того, щоб у послідовності ( xn) існувала кінцева межа, необхідно і достатньо, щоб

Послідовність, що задовольняє цій властивості, називається фундаментальною послідовністю, або послідовністю, що сходить у собі.

Вступ………………………………………………………………………………3

1.Теоретична частина……………………………………………………………….4

Основні поняття та терміни…………………………………………………....4

1.1 Види послідовностей…………………………………………………...6

1.1.1.Обмежені та необмежені числові послідовності…..6

1.1.2.Монотонність послідовностей…………………………………6

1.1.3.Безкінечно великі і нескінченно малі послідовності…….7

1.1.4.Властивості нескінченно малих послідовностей…………………8

1.1.5.Сходящиеся і розбіжні послідовності та його свойства..…9

1.2 Межа послідовності………………………………………………….11

1.2.1.Теореми про межі послідовностей……………………………15

1.3.Арифметична прогресія…………………………………………………17

1.3.1. Властивості арифметичної прогресії…………………………………..17

1.4 Геометрична прогресія…………………………………………………..19

1.4.1. Властивості геометричної прогресії…………………………………….19

1.5. Числа Фібоначчі……………………………………………………………..21

1.5.1 Зв'язок чисел Фібоначчі з іншими галузями знань…………………….22

1.5.2. Використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи…………………………………………………………………………….23

2. Власні дослідження…………………………………………………….28

Заключение……………………………………………………………………….30

Список використаної литературы…………………………………………....31

Вступ.

Числові послідовності це дуже цікава та пізнавальна тема. Ця тема зустрічається у завданнях підвищеної складності, які пропонують учням автори дидактичних матеріалів, у завданнях математичних олімпіад, вступних іспитіву Вищі Навчальні закладита на ЄДІ. Мені цікаво дізнатися зв'язок математичних послідовностей з іншими галузями знань.

Ціль дослідницької роботи: Розширити знання про числову послідовність

1. Розглянути послідовність;

2. Розглянути її властивості;

3. Розглянути аналітичне завдання послідовності;

4. Продемонструвати її роль розвитку інших галузей знань.

5. Продемонструвати використання ряду чисел Фібоначчі для опису живої та неживої природи.

1. Теоретична частина.

Основні поняття та терміни.

Визначення. Числова послідовність – функція виду y = f(x), x N, де N – безліч натуральних чисел (або функція натурального аргументу), позначається y = f(n) або y1, y2,…, yn,…. Значення y1, y2, y3, називають відповідно першим, другим, третім, ... членами послідовності.

Число a називається межею послідовності x = (x n ), якщо для довільного заздалегідь заданого скільки завгодно малого позитивного числаε знайдеться таке натуральне число N, що з усіх n>N виконується нерівність |x n - a|< ε.

Якщо число a є межа послідовності x = (x n ), то кажуть, що x n прагне a і пишуть

.

Послідовність (yn) називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Послідовність (yn) називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.

Послідовність називається періодичною, якщо існує таке натуральне число T, що, починаючи з деякого n, виконується рівність yn = yn+T . Число T називається довжиною періоду.

Арифметична прогресія- це послідовність (an), кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює суміпопереднього члена і однієї й тієї ж числа d, називають арифметичної прогресією, а число d – різницею арифметичної прогресії.

Таким чином, арифметична прогресія– це числова послідовність (an), задана рекурентно співвідношеннями

a1 = a, an = an-1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометрична прогресія- це послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне і те число q.

Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність (bn), задана рекурентно співвідношеннями

b1 = b, bn = bn-1q (n = 2, 3, 4 ...).

1.1 Види послідовностей.

1.1.1 Обмежені та необмежені послідовності.

Послідовність (bn) називають обмеженою зверху, якщо є таке число М, що з будь-якого номера n виконується нерівність bn≤ M;

Послідовність (bn) називають обмеженою знизу, якщо існує таке число М, що для будь-якого номера n виконується нерівність bn≥ М;

Наприклад:

1.1.2 Монотонність послідовностей.

Послідовність (bn) називають незростаючою (неубутньою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Послідовність (bn) називають спадною (зростаючою), якщо для будь-якого номера n справедлива нерівність bn> bn+1 (bn

Убутні і зростаючі послідовності називають строго монотонними, незростаючі-монотонними у сенсі.

Послідовності, обмежені одночасно зверху та знизу, називаються обмеженими.

Послідовність всіх цих типів носять загальну назву-монотонні.

1.1.3 Нескінченно великі та малі послідовності.

Нескінченно мала послідовність - це числова функція або послідовність, яка прагне нуля.

Послідовність an називається нескінченно малою, якщо

Функція називається нескінченно малою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)=0.

Функція називається нескінченно малою на нескінченності, якщо ℓimx→.+∞ f(x)=0 або ℓimx→-∞ f(x)=0

Також нескінченно малою є функція, що є різницею функції та її межі, тобто якщо ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a) = 0.

Нескінченно велика послідовність-числова функція чи послідовність, яка прагне нескінченності.

Послідовність an називається нескінченно великою, якщо

ℓimn→0 an=∞.

Функція називається нескінченно великою в околиці точки x0, якщо ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Функція називається нескінченно великою на нескінченності, якщо

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ або ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Властивості нескінченно малих послідовностей.

Сума двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Різниця двох нескінченно малих послідовностей сама також є нескінченно малою послідовністю.

Алгебраїчна сума будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей сама є нескінченно малою послідовністю.

Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Добуток будь-якого кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Будь-яка нескінченно мала послідовність обмежена.

Якщо стаціонарна послідовність є нескінченно малою, всі її елементи, починаючи з деякого, рівні нулю.

Якщо вся нескінченно мала послідовність складається з однакових елементів, ці елементи - нулі.

Якщо (xn) - нескінченно велика послідовність, що не містить нульових членів, існує послідовність (1/xn) , яка є нескінченно малою. Якщо ж все ж таки (xn) містить нульові елементи, то послідовність (1/xn) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно малою.

Якщо (an) - нескінченно мала послідовність, яка містить нульових членів, існує послідовність (1/an), яка є нескінченно великий. Якщо ж все ж таки (an) містить нульові елементи, то послідовність (1/an) все одно може бути визначена, починаючи з деякого номера n, і все одно буде нескінченно великий.

1.1.5 Схожі та розбіжні послідовності та їх властивості.

Сходящаяся послідовність- це послідовність елементів множини Х, що має межу в цьому множині.

Розбіжна послідовність- це послідовність, яка не є схожою.

Будь-яка нескінченно мала послідовність є схожою. Її межа дорівнює нулю.

Видалення будь-якого кінцевого числа елементів із нескінченної послідовності не впливає ні на збіжність, ні на межу цієї послідовності.

Будь-яка послідовність обмежена. Однак не будь-яка обмежена послідовність сходиться.

Якщо послідовність (xn) сходиться, але не є дуже малою, то, починаючи з деякого номера, визначена послідовність (1/xn), яка є обмеженою.

Сума послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Різниця послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходиться.

Твор послідовностей, що сходяться, також є послідовністю, що сходить.

Приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, починаючи з деякого елемента, якщо тільки друга послідовність не є нескінченно малою. Якщо приватне двох послідовностей, що сходяться визначено, то воно являє собою послідовність, що сходиться.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена знизу, то жодна з її нижніх граней не перевищує її межі.

Якщо послідовність, що сходить, обмежена зверху, то її межа не перевищує жодної з її верхніх граней.

Якщо для будь-якого номера члени однієї послідовності, що сходить, не перевищують членів іншої послідовності, що сходить, то і межа першої послідовності також не перевищує межі другої.