Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
Графік лінійної функції є пряма.

1. Щоб побудувати графік функції,нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити в рівняння функції, і з них обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0;2) та В(3;3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y=x+2:

2. У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому чим більше значення k, тим більше кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі OX.

У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)

Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k меньше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)

Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)

Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
Якщо k 0

Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцису x=a.

Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
Увага!Рівняння x=a перестав бути функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значення функції, що відповідає визначенню функції.

4. Умова паралельності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2

5. Умова перепендикулярності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2

6. Точки перетину графіка функції y=kx+b із осями координат.

З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):

Лінійна функція y = kx + m, коли m = 0 набуває вигляду y = kx. У такому разі можна помітити, що:

1. Якщо x = 0, і y = 0. Отже, графік лінійної функції y = kx проходить через початок координат незалежно від значення k .
2. Якщо x = 1, то y = k.

Розглянемо різні значення k , як від цього змінюється y .

Якщо k позитивно (k > 0), то пряма (графік функції), проходячи через початок координат, лежатиме в I та III координатних чвертях. Адже при позитивному k , коли x позитивний, то y також буде позитивним. А коли x негативний, y також буде негативним. Наприклад, для функції y = 2x якщо x = 0.5, то y = 1; якщо x = –0.5, то y = –1.

Тепер за умови позитивного k розглянемо три різні лінійні рівняння. Нехай це будуть: y = 0.5x та y = 2x та y = 3x . Як змінюється значення y при тому самому x ? Вочевидь воно зростає разом із k : що більше k , тим більше y . А це означає, що пряма (графік функції) при більшому значенні k матиме більший кут між віссю x (віссю абсцис) і графіком функції. Таким чином, від k залежить, під яким кутом перетинає пряма вісь x , і звідси про k говорять як про кутовому коефіцієнті лінійної функції.

Тепер вивчимо ситуацію, коли k x позитивний, то y буде негативним; і навпаки: якщо x y > 0. Таким чином графік функції y = kx при k

Припустимо, є лінійні рівняння y = -0.5x, y = -2x, y = -3x. За x = 1 отримаємо y = –0.5, y = –2, y = –3. При x = 2 отримаємо y = -1, y = -2, y = -6. Таким чином, чим більше k, тим більше y якщо x позитивно.

Однак якщо x = -1, то y = 0.5, y = 2, y = 3. При x = -2 отримаємо y = 1, y = 4, y = 6. Тут із зменшенням значення k зростає y при x

Графік функції при k

Графіки функцій типу y = kx + m відрізняються від графіків y = km лише паралельним усуненням.

Лінійна функція – це функція виду

x-аргумент (незалежна змінна),

y- функція (залежна змінна),

k і b- деякі постійні числа

Графік лінійної функції є пряма.

Для побудови графіка достатньо двохточок, т.к. через дві точки можна провести пряму і лише одну.

Якщо k0, то графік розташований в 1-й і 3-й координатних чвертях. Якщо k˂0, то графік розташований у 2-й та 4-й координатних чвертях.

Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої графіка функції y(x)=kx+b. Якщо k 0, то кут нахилу прямий y (x) = kx + b до позитивного напрямку Ох - гострий; якщо k˂0, то цей кут-тупий.

Коефіцієнт b показує точку перетину графіка з віссю ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- окремий випадок типової функції носить назву пряма пропорційність. Графіком є ​​пряма, яка проходить через початок координат, для побудови цього графіка досить однієї точки.

Графік лінійної функції

Де коефіцієнт k = 3, отже

Графік функції зростатиме і матиме гострий кут з віссю Ох т.к. Коефіцієнт k має знак плюс.

ООФ лінійної функції

ОЗФ лінійної функції

Окрім випадку, де

Також лінійна функція виду

Є функцією загального вигляду.

б) Якщо k = 0; b≠0,

У цьому випадку графіком є ​​пряма паралельна осі Ох і проходить через точку (0; b).

В) Якщо k≠0; b≠0, то лінійна функція має вигляд y(x)=k∙x+b.

Приклад 1 . Побудувати графік функції y(x)=-2x+5

Приклад 2 . Знайдемо нулі функції у = 3х + 1, у = 0;

- Нулі функції.

Відповідь: або (;0)

Приклад 3 . Визначити значення функції y=-x+3 для x=1 та x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Відповідь: y_1 = 2; y_2 = 4.

Приклад 4 . Визначити координати їхньої точки перетину або довести, що графіки не перетинаються. Нехай дані функції y 1 =10 x-8 і y 2 = -3 x +5.

Якщо графіки функцій перетинаються, значення функцій у цій точці рівні

Підставимо х=1, y 1 (1)=10∙1-8=2.

Зауваження. Підставити отримане значення аргументу можна й у функцію y 2 =-3∙x+5, тоді отримаємо той самий відповідь y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2-ордината точки перетину.

(1; 2) - точка перетину графіків функцій у = 10х-8 і у = -3х +5.

Відповідь: (1;2)

Приклад 5 .

Побудувати графіки функцій y1(x)=x+3 та y2(x)=x-1.

Можна помітити, що коефіцієнт k=1 обох функций.

З вище сказаного слід, що й коефіцієнти лінійної функції рівні, їх графіки у системі координат розташовані паралельно.

Приклад 6 .

Побудуємо два графіки функції.

Перший графік має формулу

Другий графік має формулу

У разі перед нами графік двох прямих, пересекающихся у точці (0;4). Це означає, що коефіцієнт b, відповідальний висоту підйому графіка над віссю Ох, якщо х=0. Отже ми можемо вважати, що коефіцієнт bу обох графіків дорівнює 4.

Редактори: Агєєва Любов Олександрівна, Гаврилина Ганна Вікторівна

Клас: 8

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Тип уроку:урок відкриття нового знання.

Головні цілі:

• сформувати уявлення про функцію у = кх 2, її властивості та графіку;
• повторити та закріпити: відомості про функцію у = х 2 , властивості функції, відомі за курсом 7 класу.

Демонстраційний матеріал:

1) алгоритм побудови графіка функції:

2) Правило визначення розташування графіка залежно від коефіцієнта до:

3) самостійна робота: На рис. зображено графіки функцій у = кх 2 .

Для кожного графіка вкажіть відповідне значення коефіцієнта до.

4) зразок для самоперевірки самостійної роботи.

Роздатковий матеріал:

1) картка:

1, 2 група:

Побудуйте графіки функцій у = 2х 2 , у = 4х

3, 4 група:

Побудуйте графіки функцій у =– 2х 2 , у = - 4х 2 та визначте, у яких координатних чвертях розташовані графіки даних функцій. Зробіть висновок щодо коефіцієнта до.

2) картка для рефлексії:

ХІД УРОКУ

1. Мотивація до навчальної діяльності

Цілі:

• організувати актуалізацію вимог до учня із боку навчальної діяльності;
• організувати діяльність учнів із встановлення тематичних рамок: продовжуємо працювати з функціями;
• створити умови для виникнення у учня внутрішньої потреби включення до навчальної діяльності.

Організація навчального процесу на етапі 1:

- Доброго дня! Що цікавого ви дізналися на попередніх уроках? (Ми вивчали функцію у = | х |, графік цієї функції та її властивості.)
– Сьогодні ви продовжите знайомитися з новими функціями.
– З яким настроєм ви працюватимете сьогодні? (З гарним настроєм).
- Успіхів вам!

2. Актуалізація знань та фіксація утруднення в індивідуальній діяльності

Цілі:

• актуалізувати навчальний зміст, необхідне та достатнє для сприйняття нового матеріалу.
• зафіксувати актуалізовані способи дій у мові та знаках;
• організувати узагальнення актуалізованих способів;
• мотивувати виконання індивідуального завдання;
• організувати самостійне виконання індивідуального завдання нове знання;
• організувати фіксацію індивідуальних труднощів у виконанні учнями індивідуального завдання чи його обгрунтуванні.

Організація навчального процесу на етапі 2:

Проаналізуйте кілька слайдів 2-5 і дайте відповідь на запитання:

– З яким графіком ви працюватимете сьогодні? (З параболою).

– Виберіть, графіком якої функції є парабола у = х + 2, у = 2/х, у = х 2 ?(у = х 2 . Цю функцію ми вивчали у 7-му класі).

– Назвіть числовий коефіцієнт функції у = х 2 . (Він дорівнює 1)

– У яких координатних чвертях лежить графік функції у = х 2 , яка область визначення та область значень цієї функції, проміжки зростання та спадання? (Графік функції у = х 2 лежить у 1 і 2 координатних чвертях або у верхній напівплощині, область визначення – вся числова пряма, область значень – функція у = х 2 набуває невід'ємних значень; зростає при х > 0, зменшується при х < 0.)

– Обговоримо, що відбувається за інших значень коефіцієнта.

– Сформулюйте тему уроку. (Функція у = кх 2 , її властивості та графік).

1) На дошці підготовлено таблицю. Знайдіть відповідні значення функцій:

у = 2х 2
у = 4х 2
у =– 2х 2
у =– 4х 2

- Заповніть таблицю. До дошки викликаються послідовно 4 учні.

2) Графік функції у = кх 2 проходить через точку А (2; 8). Визначте значення коефіцієнта. Запишіть опцію. (К = 2, у = 2х 2 ).

3) За яким планом ви зазвичай будуєте графіки функцій? Слайд 7.

(Необхідно –
1. Заповнити таблицю значень
2. Побудувати точки на координатній площині
3. Поєднати побудовані точки плавною лінією
4. Підписати назву функції.)

– Що ви повторили?

– А тепер, використовуючи все, що ви щойно повторили та дізналися, пропоную вам виконати таке завдання:
Побудуйте графіки функцій у = 2х 2 , у = - 4х 2 та визначте, у яких координатних чвертях розташовані графіки даних функцій. Зробіть висновок як розташований графік залежно від коефіцієнта.

Учні працюють на міліметровому папері.

- У кого немає результату?
- Що ви не змогли зробити? (Я не зміг__________________)
– Покажіть результати, хто виконав побудову.
- Як ви можете довести, що правильно виконали завдання? (Я повинен___________)
– Що ви використовуватимете для доказу? (____________.)
- Що ви не змогли зробити?
- Яким правилом ви користувалися при побудові?
- Що ви не можете зробити?

3. Виявлення причин утруднення

Цілі:

• організувати співвідношення своїх дій із використовуваними еталонами (алгоритмом, поняттям тощо);
• на цій основі організувати виявлення та фіксацію у зовнішній промові причини утруднення – тих конкретних знань та умінь, яких бракує для вирішення вихідного завдання.

Організація навчального процесу на етапі 3:

– Яке завдання ви мали виконати?
– Що ви використовували під час виконання завдання?
– Де виникла труднощі?
– У чому причина скрути? (У нас немає способу визначення як розташований графік функції у = кх2 залежно від коефіцієнта к.)

4. Проблемне пояснення нового знання

Цілі:

• організувати постановку мети уроку;
• організувати уточнення та узгодження теми уроку;
• організувати підвідний чи спонукаючий діалог з проблемного запровадження нового знання;
• організувати використання предметних дій з моделями, схемами, властивостями тощо;
• організувати фіксацію нового способу дії у мові;
• організувати фіксацію нового способу дії знаках;
• співвідношення нового знання з правилом у підручнику, довіднику, словнику тощо.
• організувати фіксацію подолання скрути.

Організація навчального процесу на етапі 4:

– Сформулюйте мету своєї діяльності. (Знайти спосіб визначення як розташований графік функції у = кх 2 залежно від коефіцієнта к.)

– Уточніть тему уроку. (Функція у = кх 2 ,її властивості та графік).Слайд 6.

– А зараз ви працюватимете у групах: Слайд 8.

1, 2 група:

Побудуйте графіки функцій у = 2х 2 , у = 4х 2 та визначте, у яких координатних чвертях розташовані графіки даних функцій. Зробіть висновок щодо коефіцієнта до.

3, 4 група:

Побудуйте графіки функцій у = - 2х 2 ,у = - 4х 2 та визначте, у яких координатних чвертях розташовані графіки даних функцій. Зробіть висновок щодо коефіцієнта до.

Кожній групі подається картка. (У разі труднощів учні можуть скористатися підручником чи довідником.)

– Уявіть свій варіант алгоритму.

Кожна із груп представляє свій варіант, інші доповнюють, уточнюють. Після погодження на дошку вивішується правило:

Вчитель додає:

– Кожну з збудованих вами ліній називають параболою. При цьому точку (0; 0) називають вершиною параболи, а вісь у- віссю симетрії параболи.
Від величини коефіцієнта залежить «швидкість устремління» гілок параболи вгору (вниз), «ступінь крутості» параболи.
- Що ви зараз відкрили?
– Що тепер ви маєте зробити?

5. Первинне закріплення у зовнішній мові

Ціль:організувати засвоєння дітьми нового способу дій зі своїми проговорюванням у зовнішній промови.

Організація навчального процесу на етапі 5:

– У яких координатних чвертях розташовані графіки функцій у = 1/5х 2 , у = х 2 /2, у = – х 2 /2, у = 3х 2 ?

Завдання виконується у парах, одна пара працює біля дошки.

6. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком

Цілі:

• організувати самостійне виконання учнями типових завдань новий спосіб дії;
• за результатами виконання самостійної роботи організувати виявлення та виправлення допущених помилок;
• за наслідками виконання самостійної роботи створити ситуацію успіху.

Організація навчального процесу на етапі 6:

Для самостійної роботи пропонується завдання на картці. Слайд 9.

На рис. зображено графіки функцій у = кх 2 .

Для кожного графіка вкажіть відповідне значення коефіцієнта до.

Після виконання роботи учні перевіряють її на зразок: Слайд 10.

– Які правила ви використовували під час виконання завдання?
– У кого виникла скрута – як визначити знак коефіцієнта до?
– У кого виникла скрута при визначенні значення коефіцієнта до?
– Хто завдання виконав правильно?

7. Включення в систему знань та повторення

Цілі:

• тренувати навички використання нового змісту разом із раніше вивченим матеріалом;
• повторити навчальний зміст, який знадобиться на наступних уроках:

Організація навчального процесу на етапі 7:

Завдання із ГІА-9 виконується біля дошки. Слайди 11-16.

- Визначте термін, який повторювався багато разів сьогодні на уроці.

1. Графіком якої з цих функцій є парабола, розташована в нижній напівплощині?

3. Знайти область значень функції у = - 5х2

а) у = –15х 2 б) у = – 9х 2 в) у = – х 2 г) у = – 5х 2

ц е ф ж

5. Вкажіть проміжки зростання функції у = – 5х2

а) за х > 0 б) за х < 0 у При х< 0 г) за х > 0

год про і т

6. Вкажіть найменше значення функції у = – 5х2

а) 0 б) не існує в 5 г) 5

ы до д в.

Завдання з фізики:Слайд 17.

Шлях, пройдений тілом за перші t секунд вільного падіння, обчислюється за такою формулою: H = gt 2/2, де g= 9,8 м/с2. Знайдіть за графіком залежності H від t:

А) відстань, яку пролетить камінь, що падає, за перші 6 секунд;
Б) час, протягом якого камінь пролетить перші 250 м?

8. Рефлексія діяльності на уроці

Цілі:

• організувати фіксацію нового змісту, вивченого під час уроку;
• організувати фіксацію ступеня відповідності поставленої мети та результатів діяльності;
• організувати вербальну фіксацію кроків для досягнення мети;
• за результатами аналізу роботи на уроці організувати фіксацію напрямів майбутньої діяльності;
• організувати проведення самооцінки учнями роботи на уроці;
• організувати обговорення та запис домашнього завдання.

Організація навчального процесу на етапі 8:

– Чого ви сьогодні навчалися?
- Що нового ви дізналися на уроці?
– Які цілі ставили собі?
- Ви досягли поставленої мети?
– Що вам допомагало впоратися із труднощами?
– Проаналізуйте свою роботу на уроці.

Учні працюють із картками рефлексії (Р).

Домашнє завдання:Слайд 18.

• п. П.17 підручника читати
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

Список літератури:

1. А.Г.Мордкович. Алгебра, 8 клас. У двох частинах. Підручник для учнів загальноосвітніх установ. М.: Мнемозіна.2011.
2. Інтернет-ресурси.

2). Потім будуємо графік лінійної функції y = -3x + 6 у х y = -3x + 6

Функції, графіки яких паралельні осі абсцис 2-й випадок: K = 0 У цьому випадку функція набуває вигляду = b y Y = 2 Y = -3 Y = 0 x

Якщо k більше за нуль, то прямі розташовані в першій і третій чвертях. Чим більший коефіцієнт, тим ближче пряма притискається до осі Оу, а чим менший коефіцієнт, тим пряміша ближче до осі Ох. Тобто чим більше кутовий коефіцієнт, тим більше кут між прямою і віссю абсцис.

5 У = 2х +6 У = 2х - 5 х у Дві прямі паралельні, якщо вони мають однаковий кут нахилу, а він залежить від кутового коефіцієнта k 0 Дві прямі паралельні, якщо у них однаковий кутовий коефіцієнт.
Висновки 1. Функція виду у = kх + b, де k і b деякі числа називається лінійною функцією. Графік лінійної є пряма. 2. Функцію виду y = kx називають прямою пропорційністю, і її графік проходить через початок координат. 3.Графік функції у = b паралельний осі абсцис і проходить через точку з координатами (0; b). 4. Коефіцієнт k називається кутовим коефіцієнтом. Від нього залежить кут нахилу прямої до осі Ох. 5.Якщо у двох різних прямих дорівнюють кутові коефіцієнти, то графіки цих функцій будуть паралельні, якщо їх кутові коефіцієнти не рівні, то графіки будуть перетинатися.