Графічний метод одна із основних методів розв'язання квадратних нерівностей. У статті наведемо алгоритм застосування графічного методу, а потім розглянемо окремі випадки на прикладах.

Суть графічного методу

Метод застосовується для вирішення будь-яких нерівностей, не тільки квадратних. Суть його ось у чому: праву і ліву частини нерівності розглядають як дві окремі функції y = f (x) та y = g (x) , їх графіки будують у прямокутної системикоординат і дивляться, який із графіків розташовується вище іншого, і яких проміжках. Оцінюються проміжки так:

Визначення 1

• рішеннями нерівності f (x) > g (x) є інтервали, де графік функції f вище графіка функції g;
• рішеннями нерівності f (x) ≥ g (x) є інтервали, де графік функції f не нижче графіка функції g ;
• рішеннями нерівності f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• рішеннями нерівності f (x) ≤ g (x) є інтервали, де графік функції f не вище графіка функції g ;
• абсциси точок перетину графіків функцій f і g є рішеннями рівняння f(x) = g(x).

Розглянемо наведений вище алгоритм з прикладу. Для цього візьмемо квадратну нерівність a · x 2 + b · x + c< 0 (≤ , >, ≥) та виведемо з нього дві функції. Ліва частина нерівності відповідатиме y = a · x 2 + b · x + c (при цьому f (x) = a · x 2 + b · x + c), а права y = 0 (при цьому g (x) = 0).

Графіком першої функції є парабола, друга пряма лінія, яка збігається з віссю абсцис Ох. Проаналізуємо положення параболи щодо осі Ох. Для цього виконаємо схематичний рисунок.

Гілки параболи спрямовані нагору. Вона перетинає вісь Ох у точках x 1і x 2. Коефіцієнт а в даному випадку позитивний, оскільки саме він відповідає за напрямок гілок параболи. Дискримінант позитивний, що вказує на наявність двох коренів у квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c. Коріння тричлена ми позначили як x 1і x 2, причому прийняли, що x 1< x 2 , так як на осі Ох зобразили крапку з абсцисою x 1ліворуч крапки з абсцисою x 2.

Частини параболи, розташовані вище за осі Ох позначимо червоним, нижче – синім. Це дозволить нам зробити малюнок наочнішим.

Виділимо проміжки, які відповідають цим частинам та відзначимо їх на малюнку полями певного кольору.

Червоним ми відзначили проміжки (− ∞ , x 1) та (x 2 , + ∞) , на них парабола вище за осю О х. Вони є a x 2 + b x x c > 0 . Синім ми відзначили проміжок (x 1 , x 2) , який є рішенням нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Зробимо короткий запис рішення. При a > 0 та D = b 2 − 4 · a · c > 0 (або D " = D 4 > 0 при парному коефіцієнті b) ми отримуємо:

• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c > 0 є (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) або в іншому записі x< x 1 , x >x 2;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≥ 0 є (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) або в іншому записі x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≤ 0 є [ x 1 , x 2 ] або в іншому записі x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

де x 1 і x 2 – коріння квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c, причому x 1< x 2 .

На цьому малюнку парабола стосується осі O х тільки в одній точці, яка позначена як x 0 a > 0. D = 0, отже, квадратний тричленмає один корінь x 0.

Парабола розташована вище за осі O х повністю, за винятком точки торкання координатної осі. Позначимо кольором проміжки (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Запишемо результати. При a > 0і D = 0:

• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c > 0є (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) або в іншому записі x ≠ x 0;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≥ 0є (− ∞ , + ∞) або в іншому записі x ∈ R ;
• квадратна нерівність a · x 2 + b · x + c< 0 немає рішень (немає інтервалів, у яких парабола розташована нижче осі O x);
• квадратна нерівність a · x 2 + b · x + c ≤ 0має єдине рішення x = x 0(його дає точка дотику),

де x 0- корінь квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c.

Розглянемо третій випадок, коли гілки параболи спрямовані вгору і не торкаються осі O x. Гілки параболи спрямовані вгору, що означає, що a > 0. Квадратний тричлен не має дійсних коренів, оскільки D< 0 .

На графіку немає інтервалів, на яких парабола була б нижчою за осі абсцис. Це ми враховуватимемо при виборі кольору для нашого малюнка.

Виходить, що за a > 0і D< 0 розв'язанням квадратних нерівностей a · x 2 + b · x + c > 0і a · x 2 + b · x + c ≥ 0є безліч усіх дійсних чисел, а нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 і a · x 2 + b · x + c ≤ 0немає рішень.

Нам залишилося розглянути три варіанти, коли гілки параболи спрямовані вниз. На цих трьох варіантах можна не зупинятися докладно, тому що при множенні обох частин нерівності на − 1 отримуємо рівносильну нерівність з позитивним коефіцієнтом при х 2 .

Розгляд попереднього розділу статті підготував нас до сприйняття алгоритму розв'язання нерівностей із використанням графічного способу. Для проведення обчислень нам необхідно буде щоразу використовувати креслення, на якому буде зображено координатну пряму O х і параболу, яка відповідає квадратичній функції y = a · x 2 + b · x + c. Ось O у ми в більшості випадків зображати не будемо, тому що для обчислень вона не потрібна і лише перевантажуватиме креслення.

Для побудови параболи нам необхідно знати дві речі:

Визначення 2

• напрям гілок, що визначається значенням коефіцієнта a;
• наявність точок перетину параболи та осі абсцис, які визначаються значенням дискримінанта квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c.

Точки перетину та торкання ми будемо позначати звичайним способом при розв'язанні нестрогих нерівностей та порожніми при розв'язанні суворих.

Наявність готового креслення дозволяє перейти до наступного кроку рішення. Він передбачає визначення проміжків, на яких парабола розташовується вище або нижче за осі O х. Проміжки та точки перетину є рішенням квадратної нерівності. Якщо точок перетину чи торкання немає і немає інтервалів, то вважається, що задана в умовах завдання нерівність не має розв'язків.

Тепер розв'яжемо кілька квадратних нерівностей, використовуючи наведений вище алгоритм.

Приклад 1

Необхідно вирішити нерівність 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 графічним способом.

Рішення

Намалюємо графік квадратичної функції y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2. Коефіцієнт при x 2позитивний, оскільки дорівнює 2 . Це означає, що гілки параболи будуть спрямовані нагору.

Обчислимо дискримінант квадратного тричлена 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 для того, щоб з'ясувати, чи парабола з віссю абсцис має загальні точки. Отримуємо:

D = 5 1 3 2 - 4 · 2 · (- 2) = 400 9

Як бачимо, D більше за нуль, отже, у нас є дві точки перетину: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 · 2 і x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 · 2 , тобто, x 1 = − 3і x 2 = 13.

Ми вирішуємо несувору нерівність, отже проставляємо на графіку звичайні точки. Малюємо параболу. Як бачите, малюнок має такий самий вигляд як і в першому розглянутому нами шаблоні.

Наша нерівність має знак ≤. Отже, нам потрібно виділити проміжки на графіку, на яких парабола розташована нижче за осі O x і додати до них точки перетину.

Потрібний інтервал − 3 , 1 3 . Додаємо до нього точки перетину та отримуємо числовий відрізок− 3 , 1 3 . Це і є вирішення нашого завдання. Записати відповідь можна у вигляді подвійної нерівності: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Відповідь:− 3 , 1 3 або − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Приклад 2

− x 2 + 16 · x − 63< 0 графічним методом.

Рішення

Квадрат змінної має негативний числовий коефіцієнт, тому гілки параболи будуть спрямовані вниз. Обчислимо четверту частину дискримінанта D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Такий результат підказує нам, що точок перетину буде дві.

Обчислимо коріння квадратного тричлена: x 1 = - 8 + 1 - 1 і x 2 = - 8 - 1 - 1 , x 1 = 7 x 2 = 9.

Виходить, що парабола перетинає вісь абсцис у точках. 7 і 9 . Зазначимо ці точки на графіку порожніми, оскільки ми працюємо із суворою нерівністю. Після цього намалюємо параболу, яка перетинає вісь O х у зазначених точках.

Нас цікавитимуть проміжки, на яких парабола розташовується нижче за осю O х. Зазначимо ці інтервали синім кольором.

Отримуємо відповідь: розв'язанням нерівності є проміжки (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Відповідь:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) або в іншому записі x< 7 , x > 9 .

У тих випадках, коли дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, необхідно уважно підходити до питання про те, чи варто включати у відповідь абсцис точки торкання. Щоб прийняти правильне рішення, необхідно враховувати знак нерівності. У строгих нерівностях точка торкання осі абсцис не є розв'язком нерівності, у нестрогих є.

Приклад 3

Розв'яжіть квадратну нерівність 10 · x 2 − 14 · x + 4, 9 ≤ 0графічним методом.

Рішення

Гілки параболи в даному випадку будуть спрямовані нагору. Вона стосуватиметься осі O х у точці 0 , 7 , оскільки

Побудуємо графік функції y = 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9. Її гілки спрямовані вгору, оскільки коефіцієнт при x 2позитивний, і вона стосується осі абсцис у точці з абсцисою 0 , 7 , так як D " = (-7) 2 - 10 · 4, 9 = 0звідки x 0 = 7 10 або 0 , 7 .

Поставимо крапку та намалюємо параболу.

Ми вирішуємо сувору нерівність зі знаком ≤. Отже. Нас цікавитимуть проміжки, на яких парабола розташовується нижче за осі абсцис і точку торкання. На малюнку немає інтервалів, які б задовольняли нашим умовам. Є лише точка торкання 0,7. Це і є потрібне рішення.

Відповідь:Нерівність має лише одне рішення 0,7.

Приклад 4

Розв'яжіть квадратну нерівність – x 2 + 8 · x − 16< 0 .

Рішення

Гілки параболи спрямовані вниз. Дискримінант дорівнює нулю. Точка перетину x 0 = 4.

Відзначаємо точку торкання осі абсцис і малюємо параболу.

Ми маємо справу зі суворою нерівністю. Отже, нас цікавлять інтервали, на яких парабола розташована нижче за осю O х. Зазначимо їх синім.

Точка з абсцисою 4 не є рішенням, так як парабола не розташована нижче осі O x . Отже, ми отримуємо два інтервали (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Відповідь: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) або в іншому записі x ≠ 4 .

Не завжди при негативному значенні дискримінанта нерівність не матиме рішень. Є випадки, коли рішенням буде безліч всіх дійсних чисел.

Приклад 5

Розв'яжіть квадратну нерівність 3 · x 2 + 1 > 0 графічним способом.

Рішення

Коефіцієнт а позитивний. Дискримінант негативний. Гілки параболи будуть спрямовані нагору. Точка перетину параболи з віссю O х немає. Звернемося до малюнка.

Ми працюємо із суворою нерівністю, яка має знак > . Це означає, що нас цікавлять проміжки, на яких парабола розташовується вище за осі абсцис. Це саме той випадок, коли відповіддю є безліч усіх дійсних чисел.

Відповідь:(− ∞ , + ∞) або так x ∈ R .

Приклад 6

Необхідно знайти розв'язання нерівності − 2 · x 2 − 7 · x − 12 ≥ 0графічним способом.

Рішення

Гілки параболи спрямовані вниз. Дискримінант негативний, отже, загальних точокпараболи та осі абсцис немає. Звернемося до малюнка.

Ми працюємо з несуворою нерівністю зі знаком ≥ , отже, інтерес для нас представляють проміжки, на яких парабола розташовується вище за осі абсцис. Зважаючи на графік, таких проміжків немає. Це означає, що ця умова завдання нерівність немає рішень.

Відповідь:Нема рішень.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Один із найзручніших методів розв'язання квадратних нерівностей – це графічний метод. У цій статті ми розберемо, як вирішуються квадратні нерівності у графічний спосіб. Спочатку обговоримо, у чому суть цього способу. А далі наведемо алгоритм та розглянемо приклади розв'язання квадратних нерівностей графічним способом.

Навігація на сторінці.

Суть графічного методу

Взагалі графічний спосіб розв'язання нерівностейз однією змінною застосовується як вирішення квадратних нерівностей, а й нерівностей інших видів. Суть графічного способу розв'язання нерівностейнаступна: розглядають функції y=f(x) та y=g(x) , які відповідають лівій та правою частинаминерівності, будують їх графіки в одній прямокутній системі координат і з'ясовують, на яких проміжках графік однієї з них розташовується нижче або вище за інше. Ті проміжки, на яких

• графік функції f вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)>g(x);
• графік функції f не нижче графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)≥g(x);
• графік функції f нижче графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)
• графік функції f не вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)≤g(x) .

Також скажемо, що абсциси точок перетину графіків функцій f і g є рішеннями рівняння f(x) = g(x).

Перенесемо ці результати на наш випадок – для розв'язання квадратної нерівності a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥).

Вводимо дві функції: перша y = a x 2 + b x + c (при цьому f (x) = a x 2 + b x + c) відповідає лівій частині квадратної нерівності, друга y = 0 (при цьому g (x) = 0) відповідає правій частині нерівності. Графіком квадратичні функції f є парабола, а графіком постійної функції g - пряма, що збігається з віссю абсцис Ox.

Далі згідно з графічним способом розв'язання нерівностей треба проаналізувати, на яких проміжках графік однієї функції розташований вище або нижче за інший, що дозволить записати шукане розв'язання квадратної нерівності. У нашому випадку потрібно проаналізувати положення параболи щодо осі Ox.

Залежно від значень коефіцієнтів a, b і c можливі наступні шість варіантів (для наших потреб досить схематичного зображення, і можна не зображати вісь Oy, оскільки її положення не впливає на розв'язання нерівності):

На цьому кресленні ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані вгору, та яка перетинає вісь Ox у двох точках, абсциси яких є x 1 та x 2 . Цей креслення відповідає варіанту, коли коефіцієнт a - позитивний (він відповідає за спрямованість вгору гілок параболи), і коли позитивно значення дискримінанта квадратного тричлена a x 2 + b x x c (при цьому тричлен має два корені, які ми позначили як x 1 і x 2 , причому прийняли, що x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 = -2 x 2 = 3 .

Давайте для наочності зобразимо червоним кольором частини параболи, розташовані вище за осі абсцис, а синім кольором – розташовані нижче за осі абсцис.


Наразі з'ясуємо, які проміжки цим частинам відповідають. Визначити їх допоможе наступне креслення (надалі подібні виділення у формі прямокутників будемо проводити подумки):


Так на осі абсцис виявилися підсвічені червоним кольором два проміжки (−∞, x 1) і (x 2 , +∞) , на них парабола вище за осі Ox , вони становлять розв'язання квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 , а синім кольором підсвічений проміжок (x 1 , x 2) , на ньому парабола нижче осі Ox , він є рішенням нерівності a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А тепер коротко: при a>0 і D=b 2 −4·a·c>0 (або D"=D/4>0 при парному коефіцієнті b)

• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) або в іншому записі x x 2;
• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, x 1 ]∪ або в іншому записі x 1 ≤x≤x 2 ,

де x 1 і x 2 – коріння квадратного тричлена a x 2 + b x + c , причому x 1


Тут ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані вгору, і яка стосується осі абсцис, тобто має з нею одну загальну точку, позначимо абсцис цієї точки як x0. Представленому випадку відповідає a>0 (гілки спрямовані вгору) і D=0 (квадратний тричлен має один корінь x 0). Наприклад можна взяти квадратичну функцію y=x 2 −4·x+4 , тут a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 і x 0 =2 .

По кресленню чітко видно, що парабола розташована вище за осі Ox всюди, крім точки дотику, тобто, на проміжках (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Для наочності виділимо на кресленні області за аналогією з попереднім пунктом.


Робимо висновки: при a>0 та D=0

• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) або в іншому записі x≠x 0 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, +∞) або в іншому записі x∈R ;
• квадратна нерівність a x 2 + b x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратна нерівність a·x 2 +b·x+c≤0 має єдине рішення x=x 0 (його дає точка дотику),

де x 0 - корінь квадратного тричлена a x 2 + b x + c .


У цьому випадку гілки параболи спрямовані вгору, і вона не має спільних точок з віссю абсцис. Тут ми маємо умови a>0 (гілки спрямовані вгору) та D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно, парабола розташована вище осі Ox на всьому її протязі (немає інтервалів, на яких вона нижча від осі Ox, немає точки дотику).


Таким чином, при a>0 та D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 і a·x 2 +b·x+c≥0 є безліч усіх дійсних чисел, а нерівності a·x 2 +b·x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

І залишаються три варіанти розташування параболи з спрямованими вниз, а не вгору, гілками щодо осі Ox. У принципі їх можна і не розглядати, оскільки множення обох частин нерівності на −1 дозволяє перейти до рівносильної нерівності з позитивним коефіцієнтом при х 2 . Але все ж таки не завадить отримати уявлення і про ці випадки. Міркування тут аналогічні, тому запишемо лише головні результати.

Алгоритм рішення

Підсумком усіх попередніх викладок виступає алгоритм розв'язання квадратних нерівностей графічним способом:

На координатній площині виконується схематичний креслення, на якому зображується вісь Ox (вісь Oy зображати не обов'язково) і ескіз параболи, що відповідає квадратичній функції y = a x 2 + b x + c . Для побудови ескізу параболи достатньо з'ясувати два моменти:

• По-перше, за значенням коефіцієнта a з'ясовується, куди спрямовані її гілки (при a>0 – вгору, при a<0 – вниз).
• А по-друге, за значенням дискримінанта квадратного тричлена a x 2 + b x + c з'ясовується, чи перетинає парабола вісь абсцис у двох точках (при D>0 ), стосується її в одній точці (при D=0 ), або не має спільних точок з віссю Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Коли креслення готове, по ньому на другому кроці алгоритму

  • при розв'язанні квадратної нерівності a x 2 + b x + c> 0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис;
  • при розв'язанні нерівності a x 2 +b x + c≥0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцису точки дотику);
  • при розв'язанні нерівності a x 2 + b x + c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • нарешті, при розв'язанні квадратної нерівності виду a x 2 + b x + c≤0 знаходяться проміжки, на яких парабола нижче осі Ox і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцису точки дотику);

  вони і становлять шукане розв'язання квадратної нерівності, а якщо таких проміжків немає і немає точок торкання, то вихідна квадратна нерівність не має розв'язків.

Залишається лише вирішити кілька квадратних нерівностей із застосуванням цього алгоритму.

Приклади із рішеннями

приклад.

Розв'яжіть нерівність .

Рішення.

Нам потрібно вирішити квадратну нерівність, скористаємося алгоритмом із попереднього пункту. На першому кроці нам потрібно зобразити ескіз графіка квадратичної функції . Коефіцієнт при x 2 дорівнює 2 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. З'ясуємо ще, чи парабола з віссю абсцис має спільні точки, для цього обчислимо дискримінант квадратного тричлена. . Маємо . Дискримінант виявився більшим за нуль, отже, тричлен має два дійсні корені: і тобто x 1 =−3 і x 2 =1/3 .

Звідси зрозуміло, що парабола перетинає вісь Ox двох точках з абсцисами −3 і 1/3 . Ці точки зобразимо на кресленні звичайними точками, оскільки розв'язуємо сувору нерівність. За з'ясованими даними отримуємо наступне креслення (він підходить під перший шаблон з першого пункту статті):

Переходимо до другого кроку алгоритму. Так як ми вирішуємо нестрогу квадратну нерівність зі знаком ≤, то нам потрібно визначити проміжки, на яких парабола розташована нижче за осі абсцис і додати до них абсциси точок перетину.

З креслення видно, що парабола нижче осі абсцис на інтервалі (-3, 1/3) і до нього додаємо абсциси точок перетину, тобто числа -3 і 1/3. В результаті приходимо до числового відрізка [−3, 1/3]. Це і є потрібне рішення. Його можна записати у вигляді подвійної нерівності −3≤x≤1/3.

Відповідь:

[−3, 1/3] або −3≤x≤1/3 .

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності −x 2 +16·x−63<0 .

Рішення.

Зазвичай починаємо з креслення. Числовий коефіцієнт при змінній квадраті негативний, −1 , тому, гілки параболи спрямовані вниз. Обчислимо дискримінант, а краще його четверту частину: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Його значення позитивно, обчислимо коріння квадратного тричлена: і , x 1 = 7 та x 2 = 9 . Так парабола перетинає вісь Ox у двох точках з абсцисами 7 і 9 (вихідна нерівність сувора, тому ці точки зображуватимемо з порожнім центром). Тепер можна зробити схематичний малюнок:

Тому що ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

За кресленням видно, що рішеннями вихідної квадратної нерівності є два проміжки (−∞, 7) , (9, +∞) .

Відповідь:

(−∞, 7)∪(9, +∞) або в іншому записі x<7 , x>9 .

При розв'язанні квадратних нерівностей, коли дискримінант квадратного тричлена в його лівій частині дорівнює нулю, потрібно бути уважним із включенням або винятком з відповіді абсцис точки дотику. Це залежить від знаку нерівності: якщо нерівність сувора, то вона не є розв'язком нерівності, а якщо несувора – то є.

приклад.

Чи має квадратну нерівність 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хоча б одне рішення?

Рішення.

Побудуємо графік функції y = 10 x 2 -14 x +4,9. Її гілки спрямовані вгору, так як коефіцієнт при x 2 позитивний, і вона стосується осі абсцис у точці з абсцисою 0,7 так як D"=(-7) 2 −10·4,9=0 , звідки або 0,7 у вигляді десяткового дробу Схематично це виглядає так:

Так як ми вирішуємо квадратну нерівність зі знаком ≤, то її розв'язанням будуть проміжки, на яких парабола нижче за осі Ox , а також абсцис точки дотику. З креслення видно, що немає жодного проміжку, де парабола була нижче осі Ox , тому його рішенням буде лише абсцис точки дотику, тобто, 0,7 .

Відповідь:

дана нерівність має єдине рішення 0,7.

приклад.

Розв'яжіть квадратну нерівність –x 2 +8·x−16<0 .

Рішення.

Діємо за алгоритмом розв'язання квадратних нерівностей та починаємо з побудови графіка. Гілки параболи спрямовані вниз, оскільки коефіцієнт при x 2 негативний -1. Знайдемо дискримінант квадратного тричлена –x 2 +8·x−16 , маємо D'=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0і далі x 0 = -4 / (-1), x 0 = 4. Отже, парабола стосується осі Ox у точці з абсцисою 4 . Виконаємо креслення:

Дивимося на знак вихідної нерівності, він є<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

У нашому випадку це відкриті промені (−∞, 4), (4, +∞). Окремо зауважимо, що 4 - абсцис точки дотику - не є рішенням, так як у точці дотику парабола не нижче осі Ox.

Відповідь:

(−∞, 4)∪(4, +∞) або в іншому записі x≠4 .

Зверніть особливу увагу на випадки, коли дискримінант квадратного тричлена, що знаходиться в лівій частині квадратної нерівності, менший за нуль. Тут не треба поспішати і говорити, що нерівність рішень не має (ми ж звикли робити такий висновок для квадратних рівнянь із негативним дискримінантом). Справа в тому, що квадратна нерівність при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності 3·x 2 +1>0 .

Рішення.

Як завжди починаємо з креслення. Коефіцієнт a дорівнює 3 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. Обчислюємо дискримінант: D=0 2 −4·3·1=−12 . Оскільки дискримінант негативний, парабола немає з віссю Ox загальних точок. Отриманих відомостей достатньо схематичного графіка:

Ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком >. Його рішенням будуть всі проміжки, на яких парабола знаходиться вище за осі Ox . У нашому випадку парабола вище за осю абсцис на всьому її протязі, тому шуканим рішенням буде безліч усіх дійсних чисел.

Ox , а також до них потрібно додати абсцис точок перетину або абсцис точки торкання. Але по кресленню добре видно, що таких проміжків немає (оскільки парабола всюди нижче осі абсцис), як немає і точок перетину, як немає і точки дотику. Отже, вихідна квадратна нерівність немає рішень.

Відповідь:

немає рішень або в іншому записі ∅.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.

учень 10 класу Котовчихін Юрій

Рівняння з модулями учні починають вивчати вже з 6-го класу, вони вивчають стандартний метод розв'язання за допомогою розкриття модулів на проміжках знакопостійності підмодульних виразів. Я вибрав саме цю тему, тому що вважаю, що вона потребує глибшого та досконалішого дослідження, завдання з модулем викликають великі труднощі у учнів. У шкільній програмі зустрічаються завдання, що містять модуль як завдання підвищеної складності та на іспитах, отже, ми маємо бути готові до зустрічі з таким завданням.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Муніципальна освітня установа

Середня загальноосвітня школа №5

Дослідницька робота на тему:

« Алгебраїчне та графічне вирішення рівнянь та нерівностей, що містять модуль»

Роботу виконав:

учень 10 класу

Котовчихін Юрій

Керівник:

Викладач математики

Шанта Н.П.

Урюпинськ

1.Введение………………………………………………………….3

2.Поняття та визначення………………………………………….5

3.Доказ теорем…………………………………………..6

4.Способи розв'язання рівнянь, що містять модуль…………...7

4.1.Рішення з допомогою залежностей між числами a і b, їх модулями і квадратами…………………………………………………………12

4.2.Використання геометричної інтерпретації модуля для вирішення рівнянь…………………………………………………………..14

4.3.Графіки найпростіших функцій, містять знак абсолютної величини.

………………………………………………………………………15

4.4.Рішення нестандартних рівняння, що містять модуль….16

5.Висновок……………………………………………………….17

6.Список використаної литературы……………………………18

Мета роботи: рівняння з модулями учні починають вивчати вже з 6-го класу, вони вивчають стандартний метод розв'язання за допомогою розкриття модулів на проміжках знаковості підмодульних виразів. Я вибрав саме цю тему, тому що вважаю, що вона потребує глибшого та досконалішого дослідження, завдання з модулем викликають великі труднощі у учнів. У шкільній програмі зустрічаються завдання, що містять модуль як завдання підвищеної складності та на іспитах, отже, ми маємо бути готові до зустрічі з таким завданням.

1. Введення:

Слово " модуль " походить від латинського слова " modulus " , що у перекладі означає " міра " . Це багатозначне слово (омонім), яке має безліч значень і застосовується не тільки в математиці, а й в архітектурі, фізиці, техніці, програмуванні та інших точних науках.

В архітектурі -це вихідна одиниця виміру, що встановлюється для даної архітектурної споруди і служить для вираження кратних співвідношень його складових елементів.

У техніці це термін, що застосовується в різних областях техніки, що не має універсального значення і службовець для позначення різних коефіцієнтів і величин, наприклад модуль зачеплення, модуль пружності і.т.п.

Модуль об'ємного стиснення (у фізиці)-відношення нормальної напруги у матеріалі до відносного подовження.

2. Поняття та визначення

Модуль - абсолютне значення - дійсного числа А позначається | A |.

Щоб глибоко вивчати цю тему, необхідно познайомитися з найпростішими визначеннями, які будуть мені необхідні:

Рівняння-це рівність, що містить змінні.

Рівняння з модулем це рівняння, що містять змінну під знаком абсолютної величини (під знаком модуля).

Вирішити рівняння-це означає знайти все його коріння, або довести, що коріння немає.

3. Доказ теорем

Теорема 1. Абсолютна величина дійсного числа дорівнює більшому із двох чисел a або -a.

Доведення

1. Якщо число a позитивне, то -a негативне, тобто -a

Наприклад, число 5 позитивно, тоді -5 - негативно та -5

І тут |a| = a, т. е. |a| збігається з більшим із двох чисел a і - a.

2. Якщо a негативно, тоді -a позитивно та a

Слідство. З теореми випливає, що |-a| = | a |.

Справді, як, і рівні більшому з чисел -a і a, отже рівні між собою.

Теорема 2. Абсолютна величина будь-якого дійсного числа a дорівнює арифметичному квадратному кореню А 2 .

Справді, якщо те, за визначенням модуля числа, матимемо lАl>0 З іншого боку, при А>0 означає |a| = √A 2

Якщо a 2

Ця теорема дає можливість у вирішенні деяких завдань замінювати |a| на

Геометрично | означає відстань на координатній прямій від точки, що зображує число a до початку відліку.

Якщо на координатній прямий існує дві точки a і -a, рівновіддаленої від нуля, модулі яких рівні.

Якщо a = 0, то координатної прямої |a| зображується точкою 0

4.Способи розв'язання рівнянь, що містять модуль.

Для вирішення рівнянь, що містять знак абсолютної величини, ми ґрунтуватимемося на визначенні модуля числа та властивостях абсолютної величини числа. Ми розв'яжемо кілька прикладів у різний спосіб і подивимося, який із способів виявиться простіше на вирішення рівнянь, містять модуль.

Приклад 1. Вирішимо аналітично та графічно рівняння | x + 2 | = 1.

Рішення

Аналітичне рішення

1-й спосіб

Розмірковуватимемо, виходячи з визначення модуля. Якщо вираз, що під модулем неотрицательно, т. е. x + 2 ≥0 , тоді він " вийде " з під знака модуля зі знаком " плюс " і рівняння набуде вигляду: x + 2 = 1. Якщо значення виразу під знаком модуля негативно тоді, за визначенням, воно дорівнюватиме: або x + 2=-1

Таким чином, отримуємо або x + 2 = 1, або x + 2 = -1. Вирішуючи отримані рівняння, знаходимо: Х+2=1 або Х+2+-1

Х = -1 Х = 3

Відповідь: -3;-1.

Тепер можна дійти невтішного висновку: якщо модуль деякого висловлювання дорівнює дійсному позитивному числу a, тоді вираз під модулем одно або a, або -а.

Графічне рішення

Одним із способів розв'язання рівнянь, що містять модуль є графічний спосіб. Суть цього способу полягає в тому, щоби побудувати графіки даних функцій. У разі, якщо графіки перетнуться, точки перетинів даних графіків будуть корінням нашого рівняння. Якщо графіки не перетнуться, ми зможемо зробити висновок, що рівняння коренів не має. Цей спосіб, ймовірно, рідше за інших застосовують для вирішення рівнянь, що містять модуль, так як, по-перше, він займає досить багато часу і не завжди раціональний, а по-друге, результати, отримані при побудові графіків, не завжди є точними.

Інший спосіб розв'язання рівнянь, що містять модуль-це спосіб розбиття числової прямої на проміжки. В цьому випадку нам потрібно розбити числову пряму так, що за визначенням модуля знак абсолютної величини на даних проміжках можна буде зняти. Потім, для кожного з проміжків ми повинні будемо вирішити дане рівняння і зробити висновок, щодо коріння, що вийшло (задовольняють вони нашому проміжку чи ні). Коріння, що задовольняє проміжки і дасть остаточну відповідь.

2-й спосіб

Встановимо, при яких значеннях x модуль дорівнює нулю: | Х + 2 | = 0, Х = 2

Отримаємо два проміжки, на кожному з яких розв'яжемо рівняння:

Отримаємо дві змішані системи:

(1) Х+2 0

Х-2 = 1 Х +2 = 1

Вирішимо кожну систему:

X=-3 X=-1

Відповідь: -3;-1.

Графічне рішення

y = | X +2 |, y = 1.

Графічне рішення

Для вирішення рівняння графічним способом, треба побудувати графіки функцій та

Для побудови графіка функції побудуємо графік функції - це функція, що перетинає вісь OX і вісь OY в точках.

Абсциси точок перетину графіків функцій дадуть рішення рівняння.

Пряма графіка функції y = 1 перетнулася з графіком функції y = | x + 2 | у точках з координатами (-3; 1) та (-1; 1), отже рішеннями рівняння будуть абсциси точок:

x=-3, x=-1

Відповідь: -3;-1

Приклад 2. Розв'язати аналітично та графічно рівняння 1 + |x| = 0.5.

Рішення:

Аналітичне рішення

Перетворимо рівняння: 1 + | = 0.5

|х| =0.5-1

|x|=-0.5

Зрозуміло, що в цьому випадку рівняння не має рішень, тому що, за визначенням, модуль завжди негативний.

Відповідь: рішень немає.

Графічне рішення

Перетворимо рівняння: : 1 + | = 0.5

|х| =0.5-1

|x|=-0.5

Графіком функції є промені - бісектриси 1-го та 2-го координатних кутів. Графіком функції є пряма, паралельна осі OX, що проходить через точку -0,5 на осі OY.

Графіки не перетинаються, отже рівняння немає рішень.

Відповідь: немає рішень.

Приклад 3. Розв'яжіть аналітично та графічно рівняння |-x + 2| = 2x + 1.

Рішення:

Аналітичне рішення

1-й спосіб

Насамперед слід встановити область допустимих значень змінної. Виникає природне питання, чому в попередніх прикладах не було потреби робити цього, а зараз вона виникла.

Справа в тому, що в цьому прикладі в лівій частині рівняння модуль деякого виразу, а в правій частині не число, а вираз зі змінною, - ця важлива обставина відрізняє даний приклад від попередніх.

Оскільки в лівій частині - модуль, а в правій частині, вираз, що містить змінну, необхідно вимагати, щоб цей вираз був невід'ємним, тобто таким чином область допустимих

значень модуля

Тепер можна міркувати так само, як і в прикладі 1, коли в правій частині рівності знаходилося позитивне число. Отримаємо дві змішані системи:

(1) -X+2≥0 та (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Вирішимо кожну систему:

(1) входить у проміжок і є коренем рівняння.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 не входить у проміжок і не є коренем рівняння.

Відповідь: ⅓.

4.1.Рішення за допомогою залежностей між числами a і b, їх модулями та квадратами цих чисел.

Крім наведених мною вище способів існує певна рівносильність між числами і модулями даних чисел, а також між квадратами і модулями даних чисел:

|a|=|b| a=b або a=-b

A2=b2 a=b або a=-b

Звідси у свою чергу отримаємо, що

|a|=|b| a 2 = b 2

Приклад 4. Розв'яжемо рівняння | x + 1 | = | 2x - 5 | двома різними способами.

1. Враховуючи співвідношення (1), отримаємо:

X + 1 = 2x - 5 або x + 1 = -2x + 5

x - 2x = -5 - 1 x + 2x = 5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X = 6 x = 11/3

Корінь першого рівняння x=6, корінь другого рівняння x=11/3

Таким чином коріння вихідного рівняння x 1 = 6, х 2 = 11/3

2. В силу співвідношення (2) отримаємо

(x + 1) 2 = (2x - 5) 2, або x2 + 2x + 1 = 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24 = 0 | (:-1)

3x2 - 22x + 24 = 0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>рівняння має 2 різних кореня.

x 1 = (11 - 7) / 3 = 11/3

x 2 = (11 + 7) / 3 = 6

Як показує рішення, корінням даного рівняння також є числа 11/3 та 6

Відповідь: x 1 = 6, x 2 = 11/3

Приклад 5. Розв'яжемо рівняння (2x + 3) 2 = (x - 1) 2 .

Враховуючи співвідношення (2), отримаємо, що |2x + 3|=|x - 1|, звідки за зразком попереднього прикладу(і за співвідношенням (1)):

2х + 3=х - 1 або 2х + 3=-х + 1

2х - х = -1 - 3 2х + х = 1 - 3

Х=-4 х=-0,(6)

Таким чином, корінням рівняння є х1=-4, і х2=-0,(6)

Відповідь: х1 = -4, х 2 = 0, (6)

Приклад 6. Розв'яжемо рівняння | x - 6 | = | x2 - 5x + 9 |

Користуючись співвідношенням, отримаємо:

х - 6 = х2 - 5х + 9 або х - 6 = - (х2 - 5х + 9)

Х2 + 5х + х - 6 - 9 = 0 | (-1) x - 6 = -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 = 0 x2 - 4x + 3 = 0

D = 36 - 4 15 = 36 - 60 = -24 D = 16 - 4 3 = 4> 0 ==> 2 р.к.

==> Коріння немає.

X 1 = (4-2) / 2 = 1

X 2 = (4 + 2) / 2 = 3

Перевірка: | 1 - 6 | = | 12 - 5 1 + 9 | |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5 (І) 3 = | 9 - 15 + 9 |

3 = 3(І)

Відповідь: x 1 = 1; x 2 =3

4.2.Використання геометричної інтерпретації модуля на вирішення рівнянь.

Геометричний зміст модуля різниці величин-це відстань між ними. Наприклад, геометричний зміствирази | x - a | -Довжина відрізка координатної осі, що з'єднує точки з абсцисами а і х. Переклад завдання алгебри на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких рішень.

Приклад7. Розв'яжемо рівняння | x - 1 | + |x - 2|=1 з допомогою геометричної інтерпретації модуля.

Розмірковуватимемо наступним чином: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої точки абсцис х до двох фіксованих точок з абсцисами 1 і 2. Тоді очевидно, що всі точки з абсцисами з відрізка мають необхідну властивість, а точки, розташовані поза цим відрізком-ні. Звідси відповідь: безліччю розв'язків рівняння є відрізок .

Відповідь:

Приклад8. Розв'яжемо рівняння | x - 1 | - |x - 2|=1 1 з допомогою геометричної інтерпретації модуля.

Розмірковуватимемо аналогічно попередньому прикладу, при цьому отримаємо, що різниця відстаней до точок з абсцисами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для точок, розташованих на координатній осі правіше від числа 2. Отже рішенням цього рівняння буде не відрізок, укладений між точками 1 і 2, а промінь, що виходить з точки 2, і спрямований у позитивному напрямку осі ОХ.

Відповідь: )