Інструкція

Якщо модуль представлений як безперервної функції, то значення її аргументу то, можливо як позитивним, і негативним: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Легко помітити, що додавання та віднімання комплексних чисел підпорядковується тому ж правилу, що додавання і .

Добуток двох комплексних чисел дорівнює:

z1*z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.

Оскільки i^2 = -1, то кінцевий результат дорівнює:

(x1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).

Операції зведення у ступінь та вилучення кореня для комплексних чисел визначаються так само, як і для дійсних. Однак у комплексній області будь-якого числа існує рівно n таких чисел b, що b^n = a, тобто n коренів n-ого ступеня.

Зокрема, це означає, що будь-яке рівняння алгебри n-ого ступеня з однією змінною має рівно n комплексних коренів, деякі з яких можуть бути і .

Відео на тему

Джерела:

• Лекція "Комплексні числа" у 2019

Коренем називають значок, що означає математичну операцію знаходження такого числа, зведення якого в зазначений перед знаком кореня ступінь має дати число, вказане під цим знаком. Часто на вирішення завдань, у яких є коріння, недостатньо лише розрахувати значення. Доводиться здійснювати і додаткові операції, однією з яких є внесення числа, змінної чи виразу під знак кореня.

Інструкція

Визначте показник ступеня кореня. Показником називають ціле число, що вказує ступінь, у який треба звести результат обчислення кореня, щоб отримати підкорене вираз (то число, з якого витягується цей корінь). Показник ступеня кореня як верхнього індексу перед значком кореня. Якщо це не вказано, це квадратний корінь, Ступінь якого дорівнює двійці. Наприклад, показник кореня √3 двом, показник ³√3 дорівнює трьом, показник кореня ⁴√3 дорівнює чотирьом і т.д.

Зведіть число, яке потрібно внести під знак кореня, до рівня, що дорівнює показнику цього кореня, визначеного вами на попередньому кроці. Наприклад, якщо потрібно внести число 5 під знак кореня ⁴√3, то показником ступеня кореня є четвірка і вам треба результат зведення 5 четвертий ступінь 5⁴=625. Зробити це можна будь-яким зручним вам способом - в розумі, за допомогою калькулятора або відповідних сервісів, розміщених.

Внесіть отримане на попередньому кроці значення під знак кореня як множник підкореного виразу. Для використаного в попередньому кроці прикладу з внесенням під корінь ⁴√3 5 (5*⁴√3), цю дію можна зробити так: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Спростіть отриманий підкорений вираз, якщо це можливо. Наприклад з попередніх кроків це , що треба просто перемножити числа, що стоять під знаком кореня: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. На цьому операцію внесення числа під корінь буде завершено.

Якщо в задачі присутні невідомі змінні, то описані вище кроки можна зробити в загальному вигляді. Наприклад, якщо потрібно внести під корінь четвертого ступеня невідому змінну x, а підкорене вираз дорівнює 5/x³, то вся послідовність дій може бути записана так: x*⁴√(5/x³)=⁴√(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Джерела:

• як називається знак кореня

Дійсних чисел недостатньо для того, щоб вирішити будь-яке квадратне рівняння. Найпростіше з квадратних рівнянь, що не мають коріння серед дійсних чисел, - це x^2+1=0. При його вирішенні виходить, що x=±sqrt(-1), а згідно із законами елементарної алгебри, витягти корінь парного ступеня з негативного числане можна.

Термін (module) у буквальному перекладі з латинської означає «захід». Це було введено в математику англійським ученим Р. Котесом. А німецький математик К. Вейєрштрас ввів в обіг знак модуля - символ, яким це поняття позначається при написанні.

Вперше це поняття вивчається в математиці за програмою 6 класу середньої школи. Згідно з одним із визначень, модуль - це абсолютне значення дійсного числа. Іншими словами, щоб дізнатись модуль дійсного числа, необхідно відкинути його знак.

Графічно абсолютне значення апозначається як |a|.

Основна характерна рисацього поняття у тому, що він є неотрицательной величиною.

Числа, які відрізняються один від одного лише знаком, називаються протилежними. Якщо значення позитивне, протилежне йому буде негативним, а нуль є протилежним самому собі.

Геометричне значення

Якщо розглядати поняття модуля з позицій геометрії, то він позначатиме відстань, яка вимірюється в одиничних відрізках від початку координат до заданої точки. Це визначення повністю розкриває геометричний змістдосліджуваного терміна.

Графічно можна висловити так: |a| = OA.

Властивості абсолютної величини

Нижче будуть розглянуті всі математичні властивості цього поняття та способи запису у вигляді буквених виразів:

Особливості вирішення рівнянь із модулем

Якщо говорити про розв'язання математичних рівнянь і нерівностей, у яких міститься module, необхідно пам'ятати, що їх вирішення потрібно відкрити цей знак.

Наприклад, якщо знак абсолютної величини містить у собі деяке математичне вираз, перед тим як розкрити модуль, необхідно враховувати діючі математичні визначення.

|А + 5| = А + 5якщо, А більше або дорівнює нулю.

5-Аякщо А значення менше нуля.

У деяких випадках знак може розкриватися однозначно за будь-яких значень змінної.

Розглянемо ще один приклад. Побудуємо координатну пряму, де відзначимо всі числові значення абсолютної величиною яких буде 5.

Для початку необхідно накреслити координатну пряму, позначити на ній початок координат і встановити розмір одиничного відрізка. Крім того, пряма повинна мати напрямок. Тепер на цій прямій необхідно нанести розмітки, які дорівнюють величині одиничного відрізка.

Таким чином, ми можемо побачити, що на цій координатній прямій будуть дві точки, що цікавлять нас, зі значеннями 5 і -5.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збірна нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

У цій статті ми детально розберемо модуль числа. Ми дамо різні визначеннямодуля числа, введемо позначення та наведемо графічні ілюстрації. При цьому розглянемо різні прикладизнаходження модуля числа за визначенням. Після цього ми перерахуємо та обґрунтуємо основні властивості модуля. Наприкінці статті поговоримо про те, як і знаходиться модуль комплексного числа.

Навігація на сторінці.

Модуль числа – визначення, позначення та приклади

Спочатку введемо позначення модуля числа. Модуль числа a будемо записувати як , тобто, ліворуч і праворуч від числа ставитимемо вертикальні рисочки, що утворюють знак модуля. Наведемо кілька прикладів. Наприклад, модуль −7 можна записати як ; модуль 4,125 записується як, а модуль має запис виду.

Наступне визначення модуля відноситься до , а отже, і до , і до цілих, і до раціональних, і до ірраціональних чисел, як до частин множини дійсних чисел. Про модуль комплексного числа ми поговоримо у .

Визначення.

Модуль числа a– це або саме число a якщо а – позитивне число, або число −a , протилежне числу a якщо а – від'ємне число, чи 0 , якщо a=0 .

Озвучене визначення модуля числа часто записують у такому вигляді , цей запис означає, що , якщо a>0 , якщо a=0 , і , якщо a<0 .

Запис можна представити у більш компактній формі . Цей запис означає, що , якщо (a більше або дорівнює 0 ), і якщо a<0 .

Також має місце та запис . Тут окремо слід пояснити випадок, коли a = 0. І тут маємо , але −0=0 , оскільки нуль вважають числом, яке протилежне себе.

Наведемо приклади знаходження модуля числаза допомогою озвученого визначення. Наприклад знайдемо модулі чисел 15 і . Почнемо з перебування. Оскільки число 15 – позитивне, його модуль за визначенням дорівнює самому цьому числу, тобто, . А чому дорівнює модуль числа? Оскільки - негативне число, його модуль дорівнює числу, протилежному числу , тобто, числу . Таким чином, .

На закінчення цього пункту наведемо один висновок, який дуже зручно застосовувати практично при знаходженні модуля числа. З визначення модуля числа випливає, що модуль числа дорівнює числу під знаком модуля без урахування його знака, та якщо з розглянутих вище прикладів це дуже чітко видно. Озвучене твердження пояснює, чому модуль числа ще називають абсолютною величиною числа. Так модуль числа та абсолютна величина числа – це те саме.

Модуль числа як відстань

Геометрично модуль числа можна інтерпретувати як відстань. Наведемо визначення модуля числа через відстань.

Визначення.

Модуль числа a– це відстань від початку відліку на координатній прямій до точки, що відповідає числу a.

Дане визначення узгоджується з визначенням модуля числа, даного у першому пункті. Пояснимо цей момент. Відстань від початку відліку до точки, якій відповідає позитивне число, дорівнює цьому числу. Нулю відповідає початок відліку, тому відстань від початку відліку до точки з координатою 0 дорівнює нулю (не потрібно відкладати жодного одиничного відрізка і жодного відрізка, що становить якусь частку одиничного відрізка, щоб від точки O потрапити до точки з координатою 0). Відстань від початку відліку до точки з негативною координатою дорівнює числу, протилежному координаті даної точки, оскільки дорівнює відстані від початку координат до точки, координатою якої є протилежне число.

Наприклад, модуль числа 9 дорівнює 9 так як відстань від початку відліку до точки з координатою 9 дорівнює дев'яти. Наведемо приклад. Точка з координатою −3,25 знаходиться від точки O на відстані 3,25 , тому .

Озвучене визначення модуля числа є окремим випадком визначення модуля різниці двох чисел.

Визначення.

Модуль різниці двох чисел a і b дорівнює відстані між точками координатної прямої з координатами a і b.

Тобто, якщо дані точки на координатній прямій A(a) і B(b) , то відстань від точки A до точки B дорівнює модулю різниці чисел a і b. Якщо в якості точки взяти точку O (початок відліку), то ми отримаємо визначення модуля числа, наведене на початку цього пункту.

Визначення модуля числа через арифметичний квадратний корінь

Іноді зустрічається визначення модуля через арифметичний квадратний корінь.

Наприклад обчислимо модулі чисел −30 і підставі даного визначення. Маємо. Аналогічно обчислюємо модуль двох третіх: .

Визначення модуля числа через арифметичний квадратний корінь також узгоджується з визначенням у першому пункті цієї статті. Покажемо це. Нехай a – позитивне число, у своїй число −a – негативне. Тоді і якщо ж a = 0, то .

Властивості модуля

Модулю притаманний ряд характерних результатів - властивості модуля. Зараз ми наведемо основні і найчастіше використовувані їх. При обґрунтуванні цих властивостей ми спиратимемося на визначення модуля числа через відстань.

Почнемо з самої очевидної якості модуля – модуль числа не може бути негативним числом. У літерному вигляді ця властивість має запис виду для будь-якого числа a. Цю властивість дуже легко довести: модуль числа є відстань, а відстань не може виражатися негативним числом.

Переходимо до наступної властивості модуля. Модуль числа дорівнює нулю і тоді, коли це число є нуль. Модуль нуля є нуль за визначенням. Нулю відповідає початок відліку, ніяка інша точка на координатній прямій нулю не відповідає, тому що кожному дійсному числу поставлена ​​у відповідність єдина точка на координатній прямій. З цієї причини будь-якому числу, відмінному від нуля, відповідає точка, відмінна від початку отсчета. А відстань від початку відліку до будь-якої точки, відмінної від точки O , не дорівнює нулю, тому що відстань між двома точками дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці точки збігаються. Наведені міркування доводять, що нулю дорівнює лише модуль нуля.

Йдемо далі. Протилежні числа мають рівні модулі, тобто для будь-якого числа a . Дійсно, дві точки на координатній прямій, координатами яких є протилежні числа, знаходяться на однаковій відстані від початку відліку, отже, модулі протилежних чисел рівні.

Наступна властивість модуля така: модуль добутку двох чисел дорівнює добутку модулів цих чисел, тобто, . За визначенням модуль добутку чисел a і b дорівнює або a b, якщо , або −(a b) , якщо . З правил множення дійсних чисел випливає, що добуток модулів чисел a і b дорівнює або a·b , або -(a·b) , якщо , що доводить розглянуту властивість.

Модуль приватного від розподілу a на b дорівнює частці від розподілу модуля числа a на модуль числа b, тобто, . Обгрунтуємо цю властивість модуля. Так як приватне дорівнює добутку, то. В силу попередньої властивості маємо . Залишилося лише скористатися рівністю , яка справедлива через визначення модуля числа.

Наступна властивість модуля записується у вигляді нерівності: , a, b і c – довільні дійсні числа. Записана нерівність є ні що інше як нерівність трикутника. Щоб це стало зрозуміло, візьмемо точки A(a), B(b), C(c) на координатній прямій і розглянемо вироджений трикутник АВС, у якого вершини лежать на одній прямій. За визначенням модуля різниці дорівнює довжині відрізка АВ, - Довжині відрізка АС, а - Довжині відрізка СВ. Так як довжина будь-якої сторони трикутника не перевищує суму довжин двох інших сторін, то справедлива нерівність Отже, справедливо і нерівність.

Щойно доведена нерівність набагато частіше зустрічається у вигляді . Записану нерівність зазвичай розглядають як окрему властивість модуля з формулюванням: « Модуль суми двох чисел вбирається у суму модулів цих чисел». Але нерівність безпосередньо випливає з нерівності , якщо в ньому замість b покласти −b і прийняти c = 0 .

Модуль комплексного числа

Дамо визначення модуля комплексного числа. Нехай нам дано комплексне число, Записане в формі алгебри , де x і y - деякі дійсні числа, що представляють собою відповідно дійсну і уявну частини даного комплексного числа z , а - уявна одиниця.

Модуль – це абсолютна величина виразу. Щоб хоч якось позначити модуль, прийнято використовувати прямі дужки. Те значення, яке укладено в рівних дужках, є тим значенням, яке взято по модулю. Процес вирішення будь-якого модуля полягає в розкритті тих самих прямих дужок, які математичною мовою називаються модульними дужками. Їхнє розкриття відбувається за певним рядом правил. Також, у порядку розв'язання модулів, знаходяться й безлічі значень тих виразів, які перебували у модульних дужках. У більшості випадків, модуль розкривається таким способом, що вираз, який був підмодульним, отримує і позитивні, і негативні значення, серед яких також значення нуль. Якщо відштовхуватися від встановлених властивостей модуля, то в процесі складаються різні рівняння або нерівності від вихідного виразу, які потім необхідно вирішити. Розберемося з тим, як вирішувати модулі.

Процес вирішення

Рішення модуля починається із запису вихідного рівняння з модулем. Щоб відповісти на питання про те, як розв'язувати рівняння з модулем, потрібно розкрити його повністю. Для вирішення такого рівняння модуль розкривається. Усі модульні вирази мають бути розглянуті. Слід визначити при яких значеннях невідомих величин, що входять до його складу, модульний вираз у дужках перетворюється на нуль. Для того щоб це зробити, достатньо прирівняти вираз у модульних дужках до нуля, а потім вирахувати рішення рівняння, що утворилося. Знайдені значення слід зафіксувати. У такий же спосіб потрібно визначити ще й значення всіх невідомих змінних для всіх модулів у цьому рівнянні. Далі необхідно зайнятися визначенням та розглядом усіх випадків існування змінних у виразах, коли вони відмінні від значення нуль. Для цього потрібно записати деяку систему з нерівностей відповідно до всіх модулів у вихідній нерівності. Нерівності повинні бути складені так, щоб вони охоплювали всі існуючі та можливі значення для змінної, які знаходять на числовій прямій. Потім потрібно накреслити для візуалізації цю числову пряму, на якій надалі відкласти всі отримані значення.

Майже все зараз можна зробити в інтернеті. Не є винятком із правил і модуль. Вирішити онлайн можна на одному з численних сучасних ресурсів. Всі значення змінної, які знаходяться в нульовому модулі, будуть особливим обмеженням, яке буде використано в процесі рішення модульного рівняння. У вихідному рівнянні потрібно розкрити всі наявні модульні дужки, при цьому, змінюючи знак виразу, таким чином, щоб значення змінної змінної збігалися з тими значеннями, які видно на числовій прямій. Отримане рівняння необхідно розв'язати. Те значення змінної, яке буде отримано в ході розв'язання рівняння, потрібно перевіряти на обмеження, яке задано самим модулем. Якщо значення змінної повністю задовольняє умова, воно є правильним. Усі коріння, які будуть отримані в ході рішення рівняння, але не підходитимуть за обмеженнями, повинні бути відкинуті.