1) якісне поняття, що використовується в економічній науці в сенсі "рівність доходів", "майнова рівність", "рівність можливостей", щоб підкреслити наявність рівності та нерівності у становищі окремих соціальних груп; 2) математичне тотожність, рівняння.

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

РІВНІСТЬ

один із принципів права. Поняття Р. – певна абстракція, тобто. результат свідомого (розумного) абстрагування від тих відмінностей, які властиві об'єктам, що зрівнюються. Правове Р. менш абстрактно. Підставою (і критерієм) правового рівняння різних людейє свобода індивідів у суспільних відносинах, що визнана та затверджується у формі їх правоздатності та правосуб'єктності. У цьому вся специфіка правового Р. і права взагалі. Р. має раціональний зміст, логічно і практично можливо в соціальному світі саме і лише правове (формально-правове, формальне) Р. Історія права - це історія прогресуючої еволюції змісту, обсягу, масштабу та міри формального (правового) Р. за збереження самого цього принципу як принципу будь-якої системи права, права взагалі. Таким чином, принцип формального Р. являє собою постійно властивий праву принцип з змістом, що історично змінюється. У цілому нині історична еволюція змісту, обсягу, сфери дії принципу формального Р. не спростовує, а, навпаки, підкріплює значення цього принципу як відмінної рисиправа у його співвідношенні з іншими видами соціального регулювання (моральної, релігійної тощо). Вихідні фактичні різницю між людьми, розглянуті і врегульовані з погляду правового принципу Р. (рівної міри), постають у результаті як нерівності у вже набутих правах (з їхньої структурі, змісту та обсягу прав різних суб'єктів права). Право як форма відносин за принципом Р. не знищує (і не може знищити) вихідних відмінностей між різними суб'єктами права, воно лише формалізує та впорядковує ці відмінності за єдиною підставою, трансформує невизначені фактичні відмінності у формально-визначені права вільних, незалежних один від одного, рівних особистостей. У цьому, по суті, полягає специфіка, зміст та цінність правової форми опосередкування, регулювання та впорядкування суспільних відносин. Правова Р. та правова нерівність однопорядкові правові визначення. Принцип правового Р. різних суб'єктів передбачає, що реальні суб'єктивні права, що набувають ними, будуть нерівні. Завдяки праву хаос відмінностей перетворюється на правовий порядок рівностей і нерівностей, узгоджених за єдиною підставою та загальною нормою. Визнання різних індивідів формально рівними означає визнання їх рівної правоздатності, можливості набути ті чи інші права відповідні блага, конкретні об'єкти тощо. Формальне право - це лише здатність, абстрактна можливість набути, у згоді із загальним масштабом і рівною мірою правового регулювання, своє, індивідуально-визначене право на даний об'єкт. Відмінність у набутих правах у різних осіб є необхідним результатом саме дотримання, а не порушення принципу формального (правового) Р. цих осіб, не порушує та не скасовує принципу формального (правового) Р. Для всіх, чиї відносини опосередковуються правовою формою, право постає як загальна форма, як загальнозначущий і рівний всім цих осіб (різних за своїм фактичному, фізичному, розумовому, майновому становищу тощо.) однаковий масштаб і міра. Саме Р. у тому, що поведінка і становище суб'єктів даного загального кола відносин і явищ підпадають під дію єдиного всім закону, єдиної (загальної, рівної) меры. Нерсесянц В.С. Право та закон. З правових навчань. М, 1983; Його ж. Право – математика свободи. М, 1996; Його ж. Цінність права як триєдності свободи, рівності та справедливості // Проблеми ціннісного підходу у праві: традиції та оновлення. М., 1996. В.С. Нерсесянц

«Рівність» - це тема, яку учні проходять ще в початковій школі. Супроводжує їй також «Нерівності». Ці два поняття тісно взаємопов'язані. З іншого боку, з ними пов'язують такі терміни, як рівняння, тотожності. Отже, що таке рівність?

Поняття рівності

Під цим терміном розуміють висловлювання, у яких є знак «=». Рівності поділяються на вірні та невірні. Якщо в записі замість = стоїть<, >, Тоді йдеться про нерівності. До речі, перша ознака рівності говорить про те, що обидві частини виразу ідентичні за своїм результатом чи записом.

Крім поняття рівності, у школі вивчають також тему «Числова рівність». Під цим висловлюванням розуміють два числові вирази, які стоять по обидва боки від знака =. Наприклад, 2*5+7=17. Обидві частини запису рівні між собою.

У числових виразах такого типу можуть використовуватися дужки, що впливають порядок дій. Отже, існує чотири правила, які слід врахувати при обчисленні результатів числових виразів.

1. Якщо запису немає дужок, тоді дії виконуються з вищого ступеня: III→II→I. Якщо є кілька дій однієї категорії, вони виконуються зліва направо.
2. Якщо в записі є дужки, тоді дія виконується у дужках, а потім з урахуванням щаблів. Можливо, у дужках буде кілька дій.
3. Якщо вираз представлено у вигляді дробу, тоді потрібно обчислювати спочатку чисельник, потім знаменник, потім чисельник ділиться на знаменник.
4. Якщо записи є вкладені дужки, тоді обчислюється спочатку вираз у внутрішніх дужках.

Отже, тепер зрозуміло, що така рівність. Надалі будуть розглянуті поняття рівняння, тотожності та способи їх обчислення.

Властивості числових рівностей

Що таке рівність? Вивчення цього поняття потребує знання властивостей числових тотожностей. Наведені нижче текстові формули дозволяють краще вивчити цю тему. Звичайно, ці властивості більше підходять для вивчення математики у старших класах.

1. Числова рівність не буде порушена, якщо в обох її частинах додати те саме число до існуючого виразу.

А = В↔ А + 5 = В + 5

2. Не буде порушено рівняння, якщо обидві його частини помножити або розділити на те саме число або вираз, які відмінні від нуля.

Р = О↔ Р ∙ 5 = О ∙ 5

Р = О↔ Р: 5 = В: 5

3. Додавши до обох частин тотожності однакову функцію, яка має сенс за будь-яких допустимих значень змінної, ми отримаємо нову рівність, рівносильну початковому.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X) =Ψ (X) + R(X)

4. Будь-яке доданок чи вираз можна перенести з іншого боку знака рівності, у своїй треба поміняти знаки на протилежні.

Х + 5 = У - 20 ↔ Х = У - 20 - 5 ↔ Х = У - 25

5. Помноживши або розділивши обидві частини рівняння на ту саму функцію, відмінну від нуля і що має сенс для кожного значення Х з ОДЗ, ми отримаємо нове рівняння, рівносильне початковому.

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) ∙R(X) = Ψ(X) ∙R(X)

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X) : G(X)

Наведені правила явно вказують на принцип рівності, який існує за певних умов.

Поняття пропорції

У математиці існує таке поняття, як рівність стосунків. І тут мається на увазі визначення пропорції. Якщо розділити А на В, то результатом буде відношення числа А до В. Пропорцією називають рівність двох відносин:

Іноді пропорція записується так: A:B =C:D.Звідси випливає основна властивість пропорції: A *D =D *C, де A і D - крайні члени пропорції, а і С - середні.

Тотожності

Тотожністю називають рівність, яка буде правильно при всіх допустимих значеннях тих змінних, які входять у завдання. Тотожності можуть бути представлені як буквені або числові рівності.

Тотожно рівними називаються вирази, що містять в обох частинах рівності невідому змінну, яка здатна прирівняти дві частини одного цілого.

Якщо проводити заміни одного виразу іншим, що дорівнюватиме йому, тоді йдеться про тотожне перетворення. І тут можна скористатися формулами скороченого множення, законами арифметики та інші тотожностями.

Щоб скоротити дріб, потрібно провести тотожні перетворення. Наприклад, дано дріб. Щоб отримати результат, слід скористатися формулами скороченого множення, розкладанням на множники, спрощенням виразів та скороченням дробів.

При цьому варто врахувати, що даний вираз буде тотожним тоді, коли знаменник не дорівнюватиме 3.

5 способів довести тотожність

Щоб довести рівність тотожну, потрібно провести перетворення виразів.

I спосіб

Необхідно провести рівносильні перетворення у лівій частині. В результаті виходить права частина, і можна говорити про те, що тотожність доведена.

II спосіб

Усі дії з перетворення вираження відбуваються у правій частині. Підсумком виконаних маніпуляцій є ліва частина. Якщо обидві частини ідентичні, то тотожність доведена.

III спосіб

"Трансформації" відбуваються в обох частинах висловлювання. Якщо в результаті вийдуть дві ідентичні частини, тотожність доведена.

IV спосіб

З лівої частини віднімається права. В результаті рівносильних перетворень має вийти нуль. Тоді можна говорити про тотожність вираження.

V спосіб

З правої частини віднімається ліва. Усі рівносильні перетворення зводяться до того що, щоб у відповіді стояв нуль. Тільки в такому випадку можна говорити про тотожність рівності.

Основні властивості тотожностей

У математиці найчастіше використовують властивості рівностей, щоб прискорити процес обчислення. Завдяки основним тожествам алгебри процес обчислення деяких виразів займе лічені хвилини замість довгих годин.

• Х + У = У + Х
• Х + (У + С) = (Х + У) + С
• Х + 0 = Х
• Х + (-Х) = 0
• Х ∙ (У + С) = Х∙У + Х∙С
• Х ∙ (У – С) = Х∙У – Х∙С
• (Х + У) ∙ (С + Е) = Х∙С + Х∙Е + У∙С + У∙Е
• Х + (У + С) = Х + У + С
• Х + (У – С) = Х + У – С
• Х - (У + С) = Х - У - С
• Х - (У - С) = Х - У + С
• Х ∙ У = У ∙ Х
• Х ∙ (У ∙ С) = (Х ∙ У) ∙ С
• Х ∙ 1 = Х
• Х ∙ 1/Х = 1, де Х ≠ 0

Формули скороченого множення

По суті формули скороченого множення є рівностями. Вони допомагають вирішити безліч завдань у математиці завдяки своїй простоті та легкості у користуванні.

• (А + В) 2 = А 2 + 2 · А · В + В 2 - квадрат суми пари чисел;

• (А - В) 2 = А 2 - 2 · А · В + В 2 - квадрат різниці пари чисел;

• (З + В) ∙ (С - В) = З 2 - В 2 - різницю квадратів;

• (А + В) 3 = А 3 + 3 · А 2 · В + 3 · А · В 2 + В 3 - куб суми;

• (А - В) 3 = А 3 - 3 · А 2 · В + 3 · А · В 2 - В 3 - куб різниці;

• (Р + В) ∙ (Р 2 - Р ∙ В + В 2) = Р 3 + В 3 - сума кубів;

• (Р - В) ∙ (Р 2 + Р ∙ В + В 2) = Р 3 - В 3 - різниця кубів.

Формули скороченого множення найчастіше застосовуються, якщо необхідно привести багаточлен до звичного вигляду, спростивши його всіма можливими способами. Подані формули доводяться просто: достатньо розкрити дужки та навести подібні доданки.

Рівняння

Після вивчення питання, що така рівність, можна приступати до наступного пункту: Під рівнянням розуміється рівність, де присутні невідомі величини. Рішенням рівняння називають знаходження всіх значень змінної, у яких обидві частини всього виразу дорівнюватимуть. Також зустрічаються завдання, у яких знаходження рішень рівняння неможливе. У такому разі кажуть, що коріння немає.

Як правило, рівності з невідомими як рішення видають цілі числа. Однак можливі випадки, коли коренем є вектор, функція та інші об'єкти.

Рівняння одна із найважливіших понять у математиці. Більшість наукових і практичних завдань неможливо виміряти чи обчислити якусь величину. Тому необхідно складати співвідношення, яке задовольнить усі умови поставленого завдання. У процесі складання такого співвідношення утворюється рівняння чи система рівнянь.

Зазвичай рішення рівності з невідомим зводиться до перетворення складного рівняння та зведення його до простим формам. Необхідно пам'ятати, що перетворення потрібно проводити щодо обох частин, інакше на виході вийде неправильний результат.

4 способи вирішити рівняння

Під рішенням рівняння розуміють заміну заданої рівності іншим, яка рівносильна першому. Подібна підміна відома як тотожне перетворення. Щоб вирішити рівняння, необхідно скористатися одним із способів.

1. Один вираз замінюється іншим, яке в обов'язковому порядкубуде тотожно першому. Приклад: (3∙х+3) 2 =15∙х+10. Це вираз можна перетворити на 9∙х 2 +18∙х+9=15∙х+10.

2. Перенесення членів рівності з невідомим з одного боку до іншого. У такому разі необхідно правильно міняти знаки. Найменша помилка згубить всю виконану роботу. Як приклад візьмемо попередній «зразок».

9∙х 2 + 12∙х + 4 = 15∙х + 10

9∙х 2 + 12∙х + 4 - 15∙х - 10 = 0

3. Перемноження обох частин рівності на рівне число або вираз, які не дорівнюють 0. Однак варто нагадати, що якщо нове рівняння не буде рівносильним рівності до перетворень, тоді кількість коренів може суттєво змінитись.

4. Зведення у квадрат обох частин рівняння. Цей спосіб просто чудовий, особливо коли в рівності є ірраціональні вирази, тобто вираз під ним. Тут є один нюанс: якщо звести рівняння у парний ступінь, тоді може з'явитися стороннє коріння, яке спотворить суть завдання. І якщо неправильно витягти корінь, тоді сенс питання в задачі буде незрозумілий. Приклад: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 і 2) - 7∙х = 35 → рівняння буде вирішено правильно.

Отже, у цій статті згадуються такі терміни, як то рівняння та тотожності. Усі вони походять від поняття «рівність». Завдяки різного роду рівносильним виразам вирішення деяких завдань значною мірою полегшено.

Матеріал статті дозволить ознайомитися з математичним трактуванням поняття рівності. Поміркуємо про сутність рівності; розглянемо його види та способи його запису; запишемо властивості рівності та проілюструємо теорію прикладами.

Саме поняття рівності тісно переплетено з поняттям порівняння, коли ми зіставляємо властивості та ознаки, щоб виявити схожі риси. Процес порівняння вимагає наявності двох об'єктів, які порівнюються між собою. Дані міркування наводять на думку, що поняття рівності не може мати місце, коли немає хоч двох об'єктів, щоб було що порівнювати. При цьому, звичайно, може бути взята більша кількість об'єктів: три і більше, проте, зрештою, ми так чи інакше прийдемо до порівняння пар, зібраних із заданих об'єктів.

Сенс поняття «рівність» в узагальненому тлумаченні добре визначається словом «однакові». Про два однакові об'єкти можна говорити – «рівні». Наприклад, квадрати та . А ось об'єкти, які хоч за якоюсь ознакою відрізняються один від одного, назвемо нерівними.

Говорячи про рівність, ми можемо мати на увазі як об'єкти в цілому, так і окремі властивості або ознаки. Об'єкти є рівними загалом, коли однакові за всіма характеристиками. Наприклад, коли ми навели приклад рівності квадратів, мали на увазі їх рівність за всіма властивими їм властивостями: формою, розміром, кольором. Також об'єкти можуть і не бути рівними в цілому, але мати однакові окремі ознаки. Наприклад: і . Зазначені об'єкти рівні за формою (обидва – кола), але різні (нерівні) за кольором та розміром.

Таким чином, необхідно заздалегідь розуміти, рівність якогось роду ми маємо на увазі.

Запис рівностей, знак одно

Щоб зробити запис рівності, використовують знак рівно (або знак рівності), що позначається як =. Таке позначення є загальноприйнятим.

Складаючи рівність, рівні об'єкти розміщують поруч, записуючи з-поміж них знак одно. Наприклад, рівність чисел 5 і п'ять запишемо як 5 = 5 . Або, припустимо, нам необхідно записати рівність периметра трикутника АВС 6 метрам: P АВС = 6 м.

Визначення 1

Рівність- Запис, в якому використаний знак одно, що розділяє два математичних об'єкта (або числа, або вирази і т.п.).

Коли виникає потреба письмово позначити нерівність об'єктів, використовують знак не так, що позначається як ≠ , тобто. по суті закреслений знак одно.

Вірні та невірні рівності

Складені рівності можуть відповідати суті поняття рівності, а можуть і суперечити йому. За цією ознакою всі рівність класифікують на вірні рівності та неправильні рівності. Наведемо приклади.

Складемо рівність 7 = 7. Числа 7 і 7, звичайно, є рівними, а тому 7 = 7 – правильна рівність. Рівність 7 = 2 у свою чергу є невірною, оскільки числа 7 і 2 не рівні.

Властивості рівностей

Запишемо три основні властивості рівностей:

Визначення 2

• властивість рефлексивності, що свідчить, що об'єкт дорівнює самому собі;
• властивість симетричності: якщо перший об'єкт дорівнює другому, другий дорівнює першому;
• властивість транзитивності: коли об'єкт дорівнює другому, а другий – третьому, тоді перший дорівнює третьому.

Буквенно сформульовані властивості запишемо так:

• a = a;
• якщо a = b, то b = a;
• якщо a = bі b = c, то a = c.

Зазначимо особливу користь другої та третьої властивостей рівностей – властивостей симетричності та транзитивності – вони дають можливість утверджувати рівність трьох і більше об'єктів через їхню попарну рівність.

Подвійні, потрійні та ін. рівності

Спільно зі стандартним записом рівності, приклад якого ми наводили вище, також часто складаються звані подвійні рівності, потрійні рівності тощо. Подібні записи є хіба що ланцюжок рівностей. Наприклад, запис 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 - подвійна рівність, а | A B | = | B C | = | C D | = | D E | = | E F |- Приклад четвертої рівності.

За допомогою таких ланцюжків рівностей оптимально складати рівність трьох та більше об'єктів. Такі записи за своїм змістом є позначенням рівності будь-яких двох об'єктів, що становлять вихідний ланцюжок рівностей.

Наприклад, записана вище подвійна рівність 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 означає рівності: 2 + 2 + 2 = 4 + 2 , і 4 + 2 = 6 , і 2 + 2 + 2 = 6 , а з властивості симетричності рівностей і 4 + 2 = 2 + 2 + 2 , і 6 = 4 + 2 , і 6 = 2 + 2 + 2 .

Складаючи подібні ланцюжки, зручно записувати послідовність розв'язання прикладів і завдань: таке рішення стає наочним і відбиває всі проміжні етапи обчислень.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Після отримання загальних відомостейпро рівність у математиці переходимо до вужчих тем. Матеріал цієї статті дасть уявлення про властивості числових рівностей.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що таке числова рівність

Перший раз ми стикаємося з числовими рівностями ще у початковій школі, коли відбувається знайомство з числами та поняттям «стільки ж». Тобто. найпримітивніші числові рівності це: 2 = 2, 5 = 5 і т.д. І на тому рівні вивчення ми називали їх просто рівностями, без уточнення «числові», і закладали в них кількісний чи порядковий зміст (який несуть натуральні числа). Наприклад, рівність 2 = 2 відповідатиме зображенню, на якому – дві квітки і на кожній сидить по два джмелі. Або, приміром, дві черги, де другими по порядку стоять Вася та Ваня.

У міру появи знань про арифметичні дії числові рівності стають складнішими: 5 + 7 = 12; 6 - 1 = 5; 2 · 1 = 2; 21: 7 = 3 тощо. Потім починають зустрічатися рівності, записи яких беруть участь числові висловлювання різного роду. Наприклад, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2); 4 · (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 · 1 + 3 − 1 тощо. Далі ми знайомимося з іншими видами чисел, і числові рівності набувають все більш цікавого і різноманітного вигляду.

Визначення 1

Числова рівність– це рівність, обидві частини якої складаються з чисел та/або числових виразів.

Властивості числових рівностей

Важко переоцінити значимість властивостей числових рівностей у математиці: вони є опорою багато чому, визначають принцип роботи з числовими рівностями, методи рішень, правила роботи з формулами та багато іншого. Очевидно, що є необхідність детального вивчення властивостей числових рівностей.

Властивості числових рівностей абсолютно узгоджені з тим, як визначаються дії з числами, а також визначення рівних чисел через різницю: число aдорівнює числу bтільки в тих випадках, коли різниця a − bє нуль. Далі в описі кожної властивості ми простежимо цей зв'язок.

Основні властивості числових рівностей

Вивчати властивості числових рівностей почнемо з трьох базових властивостей, які притаманні всім рівностям. Перерахуємо основні властивості числових рівностей:

• властивість рефлексивності: a = a;
• властивість симетричності: якщо a = b, то b = a;
• властивість транзитивності: якщо a = bі b = c, то a = c,де a , b і c- Довільні числа.

Визначення 2

Властивість рефлексивності позначає факт рівності числа самому собі: наприклад, 6 = 6 − 3 = − 3 , 4 3 7 = 4 3 7 тощо.

Доказ 1

Неважко продемонструвати справедливість рівності a − a = 0для будь-якого числа a:різниця a − aможна записати як суму a + (− a)а властивість складання чисел дає нам можливість стверджувати, що будь-якому числу aвідповідає єдине протилежне число − a, і їх сума є нуль.

Визначення 3

Відповідно до властивості симетричності числових рівностей: якщо число aдорівнює числу b,
то число bдорівнює числу a. Наприклад, 4 3 = 64 тоді 64 = 4 3 .

Доказ 2

Обґрунтувати дана властивістьможна через різницю чисел. умови a = bвідповідає рівність a − b = 0. Доведемо, що b − a = 0.

Запишемо різницю b − aу вигляді − (a − b)спираючись на правило розкриття дужок, перед якими стоїть знак мінус. Новий запис виразу дорівнює - 0, а число, протилежне нулю, це нуль. Таким чином, b − a = 0, отже: b = a.

Визначення 4

Властивість транзитивності числових рівностей свідчить, що два числа рівні один одному у разі одночасної рівності третьому числу. Наприклад, якщо 81 = 9 і 9 = 3 2 , то 81 = 3 2 .

Властивості транзитивності також відповідає визначення рівних чисел через різницю та властивості дій з числами. Рівностям a = bі b = cвідповідають рівності a − b = 0і b − c = 0.

Доказ 3

Доведемо справедливість рівності a − c = 0, з чого настане рівність чисел aі c. Оскільки додавання числа з нулем не змінює саме число, то a − cзапишемо у вигляді a + 0 − c. Замість нуля підставимо суму протилежних чисел − bі b, Тоді крайній вираз стане таким: a + (− b + b) − c. Виконаємо угруповання доданків: (a − b) + (b − c). Різниці в дужках дорівнюють нулю, тоді і сума (a − b) + (b − c)є нуль. Це доводить, що коли a − b = 0і b − c = 0, вірна рівність a − c = 0, звідки a = c.

Інші важливі властивості числових рівностей

Основні характеристики числових рівностей, розглянуті вище, є базисом низки додаткових якостей, досить цінних у межах практики. Перерахуємо їх:

Визначення 5

Додавши до (або зменшивши від) обом частинам числової рівності, що є вірним, одне і те ж число, отримаємо правильну числову рівність. Запишемо буквально: якщо a = b, де aі b- Деякі числа, то a + c = b + cза будь-якого c.

Доказ 4

Як обґрунтування запишемо різницю (a + c) − (b + c).
Цей вираз легко перетворюється на вигляд (a − b) + (c − c).
З a = bза умовою випливає, що a − b = 0і c − c = 0тоді (a − b) + (c − c) = 0 + 0 = 0. Це доводить, що (a + c) − (b + c) = 0, отже, a + c = b + c;

Визначення 6

Якщо обидві частини правильної числової рівності перемножити з будь-яким числом або розділити на число, не рівне нулю, Тоді отримаємо правильну числову рівність.
Запишемо буквально: коли a = b, то a · c = b · cза будь-якого числа c.Якщо c ≠ 0 тоді і a: c = b: c.

Доказ 5

Рівність вірна: a · c − b · c = (a − b) · c = 0 · c = 0, і з нього випливає рівність творів a · cі b · c. А розподіл на відмінне від нуля число c можна записати як множення на зворотне число 1 c;

Визначення 7

При aі b,відмінних від нуля і рівних між собою, зворотні числа також рівні.
Запишемо: коли a ≠ 0 , b ≠ 0 та a = b, то 1 a = 1 b. Крайню рівність неважко довести: з цією метою розділимо обидві частини рівності a = bна число, що дорівнює добутку a · bі не дорівнює нулю.

Вкажемо ще на пару властивостей, які дозволяють здійснювати додавання та множення відповідних частин вірних числових рівностей:

Визначення 8

При почленном складання вірних числових рівностей виходить правильну рівність. Запис цієї властивості такий: якщо a = bі c = d, то a + c = b + dдля будь-яких чисел a, b, c і d.

Доказ 6

Обґрунтувати це корисна властивістьможливо, спираючись на зазначені властивості. Ми знаємо, що до обох частин правильної рівності можна додати будь-яке число.
До рівності a = bдодамо число c, а до рівності c = d- Число b, Результатом стануть правильні числові рівності: a + c = b + cі c + b = d + b. Крайнє запишемо у вигляді: b + c = b + d. З рівностей a + c = b + cі b + c = b + dзгідно з властивістю транзитивності слід рівність a + c = b + d.Що треба було довести.

Необхідно уточнити, що почленно можна скласти як дві вірних числових рівності, а й три, і більше;

Визначення 7

Нарешті опишемо таку властивість: почленное перемноження двох вірних числових рівностей дає правильну рівність. Запишемо за допомогою літер: якщо a = bі c = d, то a · c = b · d.

Доказ 7

Доказ цієї властивості подібний до доказу попереднього. Помножимо обидві частини рівності на будь-яке число, помножимо a = bна c, а c = dна b, отримаємо вірні числові рівності a · c = b · cі c · b = d · b. Крайнє запишемо як b · c = b · d. Властивість транзитивності дає можливість з рівності a · c = b · cі b · c = b · dвивести рівність a · c = b · d, яке нам потрібно було довести.

І знову уточнимо, що дана властивість застосовується для двох, трьох і більше числових рівностей.
Так, можна записати: якщо a = b, то a n = b nдля будь-яких чисел aі b, і будь-якого натурального числа n.

Завершимо цю статтю, зібравши для наочності всі розглянуті характеристики:

Якщо a = b, то b = a.

Якщо a = b і b = c, то a = c.

Якщо a = b, то a + c = b + c.

Якщо a = b, то a · c = b · c.

Якщо a = b і з ≠ 0, a: c = b: c .

Якщо a = b , a = b , a ≠ 0 та b ≠ 0 , то 1 a = 1 b .

Якщо a = b і c = d, то a · c = b · d.

Якщо a = b, то a n = b n.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

РІВНОСТІ З КІЛЬКОСТЯМИ.

Після того, як дитина познайомиться з картками від 1 до 20, Ви можете додати до першого етапу навчання другий етап - рівності з кількостями.

Що таке рівність? Це арифметична дія та її результат.

Ви починаєте цей етап навчання з теми «Складання».

Додавання.

До показу двох наборів карток-кількостей Ви додаєте рівності до додавання.

Навчити цю операцію дуже легко. Фактично Ваша дитина вже кілька тижнів готова до цього. Адже щоразу, коли Ви показуєте йому нову картку, він бачить, що у ній з'явилася одна додаткова точка.

Маля ще не знає, як це називається, але вже має уявлення про те, що це таке і як воно діє.

Матеріал для прикладів додавання у Вас вже є на звороті кожної картки.

Технологія показу рівностей виглядає приблизно так: Ви хочете дати дитині рівність: 1+2=3. Як її можна показати?

Перед початком уроку покладіть собі на коліна лицьовою стороною донизу, одна на одну, три картки. Піднімаючи верхню картку з однією спицею-кісткою, говоріть "один",потім відкладаєте її, говоріть «плюс»,показуєте картку з двома кісточками, вимовляйте "два",відкладаєте її і після слова «буде»,показуєте картку з трьома кісточками, вимовляючи "три".

В день Ви проводите три заняття з рівностями і на кожному занятті показуєте три різні рівністі. У день малюк бачить дев'ять різних рівностей.

Дитина без жодних пояснень розуміє, що означає слово «плюс»,його значення він сам виводить із контексту. Виконуючи дії, Ви тим самим швидше за будь-які пояснення демонструєте справжній зміст додавання. Розповідаючи про рівність, завжди дотримуйтесь однієї й тієї ж манери викладу, вживаючи одні й самі терміни. Сказавши «Один плюс два буде три»,не говоріть потім «До одного додати два буде три».Коли Ви вчите дитині фактам, вона сама робить висновки і осягає правила. Якщо Ви змінюєте терміни, то дитина має всі підстави думати, що правила теж змінилися.

Заздалегідь готуйте всі картки, необхідних тієї чи іншої рівності. Не думайте, що Ваша дитина буде спокійно сидіти і дивитися, як Ви копатиметеся в стопці карток, підбираючи потрібні. Він просто втече і матиме рацію, оскільки його час коштує не менше Вашого.

Намагайтеся не складати рівності, які мали щось спільне і дозволяли б дитині передбачати їх заздалегідь (такі рівності можна використовувати пізніше). Ось приклад таких рівностей:

Набагато краще використовувати такі:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

Дитина має побачити математичну суть, у неї виробляються математичні навички та уявлення. Приблизно за два тижні малюк робить відкриття, що таке додавання: адже за цей час Ви показали йому 126 різних рівностей на додавання.

Перевірка.

Перевірка на даному етапіє рішення прикладів.

Чим відрізняється приклад від рівності?
Рівність - це дія з наведеним дитині результатом.

Приклад – це дія, яку треба виконати. У нашому випадку Ви показуєте дитині дві відповіді, а вона вибирає правильну, тобто. вирішує приклад.

Приклад Ви можете викласти після звичайного заняття із трьома рівностями на додавання. Приклад Ви показуєте так само, як раніше демонстрували рівність. Тобто перекладаєте картки до рук, промовляючи кожну вголос. Наприклад, «двадцять плюс десять буде тридцять чи сорок п'ять?» і показуєте дитині дві картки, одна з яких з правильною відповіддю.

Картки з відповідями потрібно тримати на однаковій відстані від очей малюка і не допускати жодних дій, що підказують.

При правильному виборі дитини Ви бурхливо виражаєте своє захоплення, цілуєте та хвалите його.

При помилковому виборі відповіді, не висловлюючи прикрості, Ви підсуваєте до малюка картку з правильною відповіддю і запитуєте: «Буде тридцять, чи не так?». На подібне запитання дитина зазвичай відповідає ствердно. Обов'язково похваліть дитину за цю правильну відповідь.

Ну а якщо з десяти прикладів Ваше маля правильно вирішує хоча б шість, значить, Вам точно час переходити до рівностей на віднімання!

Якщо Ви не вважаєте за потрібне перевіряти дитину (і правильно!), то через 10-14 днів все одно переходьте до рівностей на віднімання!

Розглянемо -Віднімання.

Ви перестаєте займатися складанням і повністю переключаєтеся на віднімання. Проводьте по три щоденні уроки з трьома різними рівностями у кожному.

Озвучуєте рівності на віднімання так: «Дванадцять мінус сім буде п'ять».

При цьому Ви одночасно продовжуєте показувати картки-кількості (два набори, по п'ять карток у кожному) теж тричі на день. У вас буде дев'ять щоденних дуже коротких уроків. Так Ви працюєте не більше двох тижнів.

Перевірка

Перевірка так само, як і у випадку додавання, може бути рішенням прикладів з вибором однієї відповіді з двох.

Розглянемо-множення.

Множення - це не що інше, як багаторазове додавання, тому ця дія не стане великим відкриттям для Вашої дитини. Оскільки Ви продовжуєте вивчення карток-кількостей (два набори по п'ять карток у кожному), Ви маєте можливість складання рівностей на множення.

Озвучуєте рівності на множення так: "Два помножити на три буде шість".

Дитина зрозуміє слово «помножити»так само швидко, як він зрозумів до цього слова «плюс»і "мінус".

Ви, як і раніше, проводите в день по три уроки, у кожному з яких - по три різні рівні на множення. Така робота триває трохи більше двох тижнів.

Продовжуйте уникати передбачуваних рівностей. Наприклад таких, як:

Необхідно постійно тримати свою дитину в стані подиву та очікування чогось нового. Головним для нього має стати питання: "Що далі?"-і на кожному занятті він повинен отримувати на нього нову відповідь.

Перевірка

Рішення прикладів Ви проводите так само, як у темі «Складання» та «Віднімання». Якщо малюку сподобалися ігри-перевіря-лички з картками-кількістю, Ви можете продовжувати грати в них, повторюючи таким чином нові, великі кількості.

Дотримуючись запропонованої нами схеми, Ви вже можете завершити перший етап навчання математики - вивчіть кількості в межах 100. Тепер настав час познайомитися з карткою, яка найбільше подобається дітям.

Розглянемо-поняття нуля.

Говорять, що математики вже п'ятсот років вивчають ідею нуля. Правда це чи ні, але діти, щойно пізнавши ідею кількості, тут же розуміють і зміст його повної відсутності. Вони просто обожнюють нуль, і Ваша подорож у світ чисел буде неповною, якщо Ви не покажете малюку картку, на якій взагалі не буде жодних точок (тобто це абсолютно порожня картка).

Щоб знайомство малюка з нулем пройшло весело та цікаво, можна супроводжувати показ картки загадкою:

Вдома – семеро білченят, На тарілці – сім опеньків. Усі грибочки з'їли білки. Що лишилося на тарілці?

Вимовляючи останню фразу, показуємо картку "нуль".

Ви використовуватимете її практично щодня. Вона стане Вам у нагоді для операцій складання, віднімання та множення.

Працювати з карткою "нуль" Ви можете один тиждень. Цю тему дитина освоює швидко. Як і раніше, протягом дня Ви проводите три заняття. На кожному занятті Ви показуєте малюку по три різні рівністі на додавання, віднімання та множення з нулем. Усього вийде дев'ять рівностей на день.

Перевірка

Рішення прикладів з нулем відбувається за знайомою Вам схемою.

Розглянемо -Поділ.

Коли Ви пройшли всі картки від 0 до 100, у Вас є весь необхідний матеріал для прикладів на поділ з кількостями.

Технологія показу рівностей цієї теми колишня. Щодня Ви проводите три заняття. На кожному занятті Ви показуєте дитині по три різні рівністі. Добре, якщо проходження цього матеріалу не перевищуватиме двох тижнів.

Перевірка

Перевірка є рішенням прикладів з вибором однієї відповіді з двох.

Коли Ви пройшли всі кількості та знайомі з чотирма правилами арифметики, то можете всіляко урізноманітнити та ускладнити свої заняття. Для початку покажіть рівності, де використовується одна арифметична дія: лише додавання, віднімання, множення або поділ.

Потім - рівності, де поєднуються додавання і віднімання або множення та поділ:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

Щоб не заплутатись у картках, Ви можете змінити спосіб проведення занять. Тепер не обов'язково показувати кожну картку спиць-кістяшок, можна показувати лише відповідь, а самі дії лише промовляти. В результаті Ваші заняття стануть коротшими. Ви просто кажете дитині: "Двадцять два розділити на одинадцять, розділити на два буде один",- і показуєте йому картку "один".

У цій темі можна використовувати рівність, між якими є якась закономірність.

Наприклад:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

При поєднанні рівності чотирьох арифметичних дій, пам'ятайте, що множення і поділ мають бути винесені на початок рівності:

Не бійтеся демонструвати рівності, яких більше ста, наприклад,

проміжний результат у

42 * 3 - 36 = 90,

де проміжний результат дорівнює 126 (42 * 3 = 126)

Ваш малюк чудово з ними впорається!

Перевірка є рішенням прикладів з вибором однієї відповіді з двох. Ви можете продемонструвати приклад, показавши всі картки рівності та дві картки для вибору відповіді або просто проговорити всю рівність, показавши малюкові лише дві картки для відповіді.

Пам'ятайте! Чим довше Ви займаєтесь, тим швидше потрібно вводити нові теми. Як тільки Ви помітили перші ознаки неуважності дитини чи нудьги – переходьте до нової теми. Через деякий час Ви можете повернутися до попередньої теми (але для знайомства з ще не показаними рівностями).

Послідовності

Послідовності - це самі рівністі. Досвід роботи батьків із цією темою показав, що послідовності дітям дуже цікаві.

Послідовності плюс - це зростаючі послідовності. Послідовності на мінус – спадні.

Чим різноманітнішими будуть послідовності, тим вони цікавіші малюкові.

Наведемо кілька прикладів послідовностей:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

Технологіяпоказу послідовностей може бути такою. Ви підготували три послідовності плюс.

Оголошуєте малюку тему уроку, на підлозі викладаєте одну за одною картки першої послідовності, озвучуючи їх.

Переміщаєтеся з дитиною в інший кут кімнати і так само викладаєте другу послідовність.

У третьому кутку кімнати Ви викладаєте третю послідовність, озвучуючи її.

Викладати послідовності можна один під одним, залишаючи між ними проміжки.

Намагайтеся завжди йти вперед, рухаючись від простого до складного. Варіювати заняття: іноді вимовляючи вголос те, що ви показуєте, а іноді показуйте картки мовчки. У будь-якому випадку дитина бачить розгорнуту перед нею послідовність.

Для кожної послідовності потрібно використовувати не менше шести карток, іноді більше, щоб дитині легше було визначити сам принцип послідовності.

Як тільки Ви побачили блиск в очах дитини, спробуйте додати до трьох послідовностей приклад (тобто перевірте його знання).

Приклад показуєте так: спочатку викладаєте всю послідовність, як Ви зазвичай це робите, а в кінці піднімаєте дві картки (одна картка - та, яка йде наступною в послідовності, а інша - випадкова) і запитуєте дитину: "Яка наступна?"

Спочатку картки в послідовностях викладайте один за одним, потім форми викладання можна змінювати: кладіть картки по колу, по периметру кімнати і т.д.

Коли виходитиме все краще і краще, не бійтеся використовувати в послідовностях множення та поділ.

Приклади послідовностей:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - у цій послідовності кожне наступне число збільшується на 2;

2; 4; 7; 14; 17; 34 - в даній послідовності чергується множення та додавання (х 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 - у цій послідовності кожне наступне число збільшується в 2 рази;

22; 18; 14; 10; 6; 2 - у цій послідовності кожне наступне число зменшується на 4;

84; 42; 40; 20; 18; 9 - в даній послідовності чергується розподіл та віднімання (: 2; - 2);

Знаки «більше», «менше»

Ці картки знаходяться у складі 110 карток цифр та знаків (друга складова методики АНАСТА).

Уроки знайомства малюка з поняттями «більше-менше» будуть дуже короткими. Все, що Вам потрібно, це показати три картки.

Технологія показу

Сідайте на підлогу і викладаєте кожну картку перед дитиною так, щоб вона могла бачити відразу всі три картки. Кожну картку називаєте.

Озвучити можна так: «шість більше трьох»або "шість більше, ніж три".

На кожному занятті Ви показуєте дитині по три різних варіантівнерівностей з

картками «більше» – «менше». нерівностей на день.

Таким чином, Ви демонструєте дев'ять різних

Як і раніше, Ви показуєте кожну нерівність лише один раз.

За кілька днів до трьох показів можна додати приклад. Це вже перевірка,і проводиться вона так:

Покладіть на підлогу заздалегідь приготовлені картки, наприклад, картку з кількістю «68» і картку зі знаком «більше». Запитайте малюка: «Шістдесят вісім більше якого числа?»або «Шістдесят вісім більше п'ятдесяти чи дев'яносто п'ять?». Запропонуйте дитині вибрати із двох карток потрібну. Правильно вказану малюком картку, Ви (або він сам) кладете після знака «більше».

Можна покласти перед дитиною дві картки з кількостями та дати їй можливість вибрати знак, який підходить, тобто > або<.

Рівності та нерівності

Навчити рівності і нерівності так само просто, як і поняття «більше» і «менше».

Вам знадобляться шість карток із арифметичними знаками. Їх Ви також знайдете у складі 110 карток цифр та знаків (друга складова методики АНАСТА).

Технологія показу

Ви вирішили показати дитині такі дві нерівності та одну рівність:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

Ви викладаєте їх на підлозі послідовно так, щоб дитина могла бачити відразу кожне з них. При цьому Ви все промовляєте, наприклад: "Вісім мінус шість не дорівнює десять мінус сім".

Так само Ви промовляєте під час викладання рівність і нерівність, що залишилися.

На початковому етапі навчання цій темі викладаються всі картки.

Потім можна буде показувати лише картки «рівно» та «не рівно».

Одного дня Ви даєте можливість малюкові показати свої знання. Викладаєте картки з кількостями, а йому пропонуєте вибрати, картку з яким знаком треба покласти: "рівно" або "не рівно".

Перш, ніж почати вивчати алгебру з малюком, треба познайомити його з поняттям змінної величини, представленої буквою.

Зазвичай у математиці використовується буква x, але оскільки її легко сплутати зі знаком множення, рекомендується використовувати y.

Ви кладете спочатку картку з п'ятьма намистинками — кісточок, потім знак +плюс (+), після нього зі знаком y, потім знак рівності і, нарешті, картку з сімома намистинками-кісточками. Потім ви ставите питання: «Що означає тут?»

І самі відповідаєте на нього: "У цьому рівнянні означає два"

Перевірка:

Приблизно через один - півтора тижні занять на даному етапі, Ви можете дати можливість малюкові обрати відповідь.

ЧЕТВЕРТИЙ ЕТАП РІВНОСТІ З ЦИФРАМИ І КІЛЬКОСТЯМИ

Коли Ви пройшли цифри від 1 до 20, настав час для «наведення мостів» між цифрами та кількостями. Для цього є багато способів. Одним із найпростіших є використання рівностей та нерівностей, відносин «більше» і «менше», що демонструються за допомогою карток з цифрами та кісточками.

Технологія показу.

Візьміть картку з цифрою 12, покладіть її на підлогу, потім покладіть поруч із нею знак «більше», а потім картку-кількість 10, промовляючи при цьому: «Дванадцять більше десяти».

Нерівності (рівності) можуть виглядати так:

Кожен (рівностей) день складається з трьох занять, а кожне заняття - з трьох нерівностей кількостями та цифрами. Загальна кількість щоденних рівностей дорівнюватиме дев'яти. При цьому Ви одночасно продовжуєте вивчати цифри за допомогою двох наборів по п'ять карток у кожному, теж тричі на день.

Перевірка.

Можна надавати дитині можливість вибору карток «більше», «менше», «рівно» або складати приклад таким чином, щоб малюк сам міг його закінчити. Наприклад, кладемо картку-кількість 7, потім знак «більше» і надаємо дитині можливість закінчити приклад, тобто вибрати картку-кількість, наприклад, 9 або картку-цифру, наприклад, 5.

Після того, як малюк зрозумів зв'язок між кількостями та цифрами, можна приступати до вирішення рівностей, використовуючи картки як із цифрами, так і з кількостями.

Рівності з цифрами та кількостями.

Використовуючи картки з цифрами та кількостями, Ви проходите вже знайомі теми: додавання, віднімання, множення, поділ, послідовності, рівності та нерівності, дроби, рівняння, рівності у дві та більше дій.

Якщо Ви уважно подивіться зразкову схему навчання математики, (стор. 20) то побачите, що кінця занять немає. Вигадуйте свої приклади для розвитку усного рахунку дитини, співвідносите кількості з реальними предметами (горіхи, ложки для гостей, шматочки порізаного банана, хліба тощо) - словом, дерзайте, робіть, вигадуйте, спробуйте! І у Вас все вийде!