Začnime s vlastnosti logaritmu jednoty. Jeho formulácia je nasledovná: logaritmus jednoty sa rovná nule, tj. log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1. Dôkaz je jednoduchý: keďže a 0 = 1 pre akékoľvek a, ktoré spĺňa vyššie uvedené podmienky a>0 a a≠1 , potom z definície logaritmu okamžite vyplýva dokázaná rovnosť log a 1=0.
Uveďme príklady aplikácie uvažovanej vlastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 a .
Prejdime k ďalšej vlastnosti: logaritmus čísla rovného základu sa rovná jednej, teda log a a=1 pre a>0, a≠1. V skutočnosti, keďže a 1 =a pre ľubovoľné a , potom podľa definície logaritmu log a a=1 .
Príklady použitia tejto vlastnosti logaritmov sú log 5 5 = 1 , log 5,6 5,6 a lne = 1 .
Napríklad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a 
.
Logaritmus súčinu dvoch kladných čísel x a y sa rovná produktu logaritmy týchto čísel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Dokážme vlastnosť logaritmu súčinu. Vzhľadom na vlastnosti stupňa a log a x+log a y =a log a x a log a y a keďže podľa hlavnej logaritmickej identity log a x =x a log a y = y , potom log a x a log a y =x y . Teda log a x + log a y = x y , z čoho vyplýva požadovaná rovnosť podľa definície logaritmu.
Ukážme si príklady použitia vlastnosti logaritmu súčinu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a 
.
Vlastnosť logaritmu súčinu možno zovšeobecniť na súčin konečného počtu n kladných čísel x 1 , x 2 , …, x n ako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Táto rovnosť sa dá ľahko dokázať.
Napríklad prirodzený logaritmus súčinu možno nahradiť súčtom troch prirodzených logaritmov čísel 4 , e a .
Logaritmus podielu dvoch kladných čísel x a y sa rovná rozdielu medzi logaritmami týchto čísel. Vlastnosť logaritmu podielu zodpovedá vzorcu v tvare , kde a>0 , a≠1 , x a y sú nejaké kladné čísla. Platnosť tohto vzorca je dokázaná ako vzorec pre logaritmus súčinu: od 
, potom podľa definície logaritmu .
Tu je príklad použitia tejto vlastnosti logaritmu: 
.
Prejdime k vlastnosť logaritmu stupňa. Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu modulu bázy tohto stupňa. Túto vlastnosť logaritmu stupňa zapíšeme vo forme vzorca: log a b p =p log a |b|, kde a>0 , a≠1, b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0 .
Najprv dokážeme túto vlastnosť pre kladné b . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom b p = (a log a b) p a výsledný výraz sa vďaka vlastnosti mocniny rovná a p log a b . Dostaneme sa teda k rovnosti b p =a p log a b , z ktorej podľa definície logaritmu usúdime, že log a b p = p log a b .
Zostáva dokázať túto vlastnosť pre záporné b . Tu si všimneme, že výraz log a b p pre záporné b má zmysel len pre párne exponenty p (keďže hodnota stupňa b p musí byť väčšia ako nula, inak logaritmus nebude dávať zmysel) a v tomto prípade b p =|b| p . Potom b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odkiaľ log a b p =p log a |b| .
Napríklad, 
a ln(-3)4=4ln|-3|=4ln3.
Vyplýva to z predchádzajúcej vlastnosti vlastnosť logaritmu od koreňa: logaritmus odmocniny n-tého stupňa sa rovná súčinu zlomku 1/n a logaritmu koreňového výrazu, tj. 
, kde a>0 , a≠1 , n – prirodzené číslo, väčšie ako jedna, b>0 .
Dôkaz je založený na rovnosti (pozri ), ktorá platí pre každé kladné b , a na vlastnosti logaritmu stupňa: 
.
Tu je príklad použitia tejto vlastnosti: 
.
Teraz dokážme prevodný vzorec na nový základ logaritmu milý 
. Na to stačí dokázať platnosť log c b = log a b log c a . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom log c b = log c a log a b . Zostáva použiť vlastnosť logaritmu stupňa: log c a log a b = log a b log c a. Tým je dokázaná rovnosť log c b=log a b log c a, čo znamená, že je dokázaný aj vzorec pre prechod na nový základ logaritmu.
Ukážme si niekoľko príkladov použitia tejto vlastnosti logaritmov: a 
.
Vzorec na prechod na novú základňu vám umožňuje prejsť na prácu s logaritmami, ktoré majú „pohodlnú“ základňu. Napríklad sa dá použiť na prechod na prirodzené alebo desiatkové logaritmy, aby ste mohli vypočítať hodnotu logaritmu z tabuľky logaritmov. Vzorec na prechod na nový základ logaritmu tiež umožňuje v niektorých prípadoch nájsť hodnotu daného logaritmu, keď sú známe hodnoty niektorých logaritmov s inými základmi.
Často sa používa špeciálny prípad vzorca na prechod na nový základ logaritmu pre c=b tvaru 
. To ukazuje, že log a b a log b a – . Napríklad, 
.
Často sa používa aj vzorec 
, čo je užitočné pri hľadaní logaritmických hodnôt. Aby sme potvrdili naše slová, ukážeme, ako sa pomocou neho vypočíta hodnota logaritmu formulára. Máme 
. Na dôkaz vzorca 
stačí použiť prechodový vzorec na nový základ logaritmu a: 
.
Zostáva dokázať porovnávacie vlastnosti logaritmov.
Dokážme, že pre akékoľvek kladné čísla b 1 a b 2 platí b 1 log a b 2 a pre a> 1 nerovnosť log a b 1 Nakoniec zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností logaritmov. Obmedzíme sa na dokázanie jeho prvej časti, teda dokážeme, že ak a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 je pravda log a 1 b>log a 2 b . Ostatné tvrdenia tejto vlastnosti logaritmov sú dokázané podobným princípom. Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že pre 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je pravda. Pomocou vlastností logaritmov možno tieto nerovnosti prepísať ako 
a 
v uvedenom poradí a z nich vyplýva, že log b a 1 ≤ log b a 2 a log b a 1 ≥ log b a 2, v tomto poradí. Potom, pomocou vlastností mocnín s rovnakými základmi, musia byť splnené rovnosti b log b a 1 ≥ b log b a 2 a b log b a 1 ≥ b log b a 2, teda a 1 ≥a 2 . Dospeli sme teda k rozporu s podmienkou a 1
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).
základné vlastnosti.
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
rovnaké dôvody
log6 4 + log6 9.
Teraz si úlohu trochu skomplikujeme.
Príklady riešenia logaritmov
Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:
Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaný logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Prechod na nový základ
Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Pozri tiež:
Základné vlastnosti logaritmu
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobok roku narodenia Leva Tolstého.
Základné vlastnosti logaritmov
Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.
Príklady pre logaritmy
Vezmite logaritmus výrazov
Príklad 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).
Podľa vlastností 3,5 vypočítame
2.
3.
Príklad 2 Nájdite x ak
Príklad 3. Nech je uvedená hodnota logaritmov
Vypočítajte log(x), ak
Základné vlastnosti logaritmov
Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.
Tieto pravidlá musia byť známe - bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.
Sčítanie a odčítanie logaritmov
Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčovým bodom je tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!
Tieto vzorce pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:
Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.
Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.
Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).
Odstránenie exponentu z logaritmu
Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.
Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.
Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:
Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom.
Vzorce logaritmov. Logaritmy sú príklady riešení.
Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.
Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.
Prechod na nový základ
Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?
Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:
Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:
Konkrétne, ak dáme c = x, dostaneme:
Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.
Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.
Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.
Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Teraz otočme druhý logaritmus:
Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.
Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:
Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:
Základná logaritmická identita
V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:
V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.
Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Volá sa to takto:
Čo sa stane, ak sa číslo b zvýši do takej miery, že číslo b v tomto stupni dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.
Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:
Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky 🙂
Logaritmická jednotka a logaritmická nula
Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.
- logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a z tejto samotnej základne sa rovná jednej.
- loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.
To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.
Pozri tiež:
Logaritmus čísla b so základom a označuje výraz. Vypočítať logaritmus znamená nájsť takú mocninu x (), pri ktorej platí rovnosť
Základné vlastnosti logaritmu
Vyššie uvedené vlastnosti je potrebné poznať, pretože na ich základe sa takmer všetky problémy a príklady riešia na základe logaritmov. Zostávajúce exotické vlastnosti možno odvodiť matematickými manipuláciami s týmito vzorcami
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Pri výpočte vzorcov pre súčet a rozdiel logaritmov (3.4) sa stretávame pomerne často. Ostatné sú trochu zložité, ale v mnohých úlohách sú nevyhnutné na zjednodušenie zložitých výrazov a výpočet ich hodnôt.
Bežné prípady logaritmov
Niektoré z bežných logaritmov sú tie, v ktorých je základ dokonca desať, exponenciálny alebo dvojkový.
Logaritmus základnej desiatky sa zvyčajne nazýva logaritmus základnej desiatky a jednoducho sa označuje lg(x).
Zo záznamu je vidieť, že základy nie sú v zázname zapísané. Napríklad
Prirodzený logaritmus je logaritmus, ktorého základom je exponent (označený ln(x)).
Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobok roku narodenia Leva Tolstého. Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.
A ďalší dôležitý logaritmus základne dva je
Derivácia logaritmu funkcie sa rovná jednej delenej premennou
Integrálny alebo primitívny logaritmus je určený závislosťou
Vyššie uvedený materiál je dostatočný na to, aby ste vyriešili širokú triedu problémov súvisiacich s logaritmami a logaritmami. Pre asimiláciu materiálu uvediem len niekoľko bežných príkladov zo školských osnov a univerzít.
Príklady pre logaritmy
Vezmite logaritmus výrazov
Príklad 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).
Podľa vlastností 3,5 vypočítame
2.
Podľa rozdielovej vlastnosti logaritmov máme
3.
Pomocou vlastností 3.5 nájdeme
Zdanlivo zložitý výraz využívajúci sériu pravidiel je zjednodušený na formulár
Nájdenie hodnôt logaritmu
Príklad 2 Nájdite x ak
Riešenie. Pre výpočet používame vlastnosti 5 a 13 až do posledného termínu
Náhradník v zázname a smútiť
Keďže základy sú rovnaké, dávame rovnítko medzi výrazy
Logaritmy. Prvá úroveň.
Nech je uvedená hodnota logaritmov
Vypočítajte log(x), ak
Riešenie: Zoberte logaritmus premennej na zápis logaritmu cez súčet členov
Toto je len začiatok oboznámenia sa s logaritmami a ich vlastnosťami. Precvičte si výpočty, obohaťte svoje praktické zručnosti – nadobudnuté vedomosti budete čoskoro potrebovať na riešenie logaritmických rovníc. Po preštudovaní základných metód riešenia takýchto rovníc rozšírime vaše vedomosti o ďalšiu rovnako dôležitú tému - logaritmické nerovnosti ...
Základné vlastnosti logaritmov
Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.
Tieto pravidlá musia byť známe - bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.
Sčítanie a odčítanie logaritmov
Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:
- logax + logay = log(x y);
- logax − logay = log(x: y).
Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčovým bodom je tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!
Tieto vzorce pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.
Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.
Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.
Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).
Odstránenie exponentu z logaritmu
Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:
Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.
Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu.
Ako riešiť logaritmy
To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.
Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:
Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.
Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.
Prechod na nový základ
Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?
Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:
Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:
Konkrétne, ak dáme c = x, dostaneme:
Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.
Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.
Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.
Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Teraz otočme druhý logaritmus:
Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.
Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:
Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:
Základná logaritmická identita
V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:
V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.
Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Volá sa to takto:
Čo sa stane, ak sa číslo b zvýši do takej miery, že číslo b v tomto stupni dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.
Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:
Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky 🙂
Logaritmická jednotka a logaritmická nula
Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.
- logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a z tejto samotnej základne sa rovná jednej.
- loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.
To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.
odvodené z jeho definície. A teda logaritmus čísla b podľa rozumu a definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).
Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice ax=b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b podľa rozumu a rovná sa s. Je tiež zrejmé, že téma logaritmu úzko súvisí s témou sily čísla.
S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete vykonávať operácie sčítania, odčítania a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú celkom bežné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, tzv. základné vlastnosti.
Sčítanie a odčítanie logaritmov.
Vezmite dva logaritmy s rovnakým základom: log x a prihlásiť sa y. Potom je možné vykonať operácie sčítania a odčítania:
log a x+ log a y= log a (x y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.
Od kvocientové logaritmické vety možno získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je dobre známe, že log a 1 = 0, teda
log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.
Existuje teda rovnosť:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritmy dvoch vzájomne recipročných čísel na rovnakom základe sa budú od seba líšiť iba znakom. Takže:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.
Prijateľný rozsah (ODZ) logaritmu
Teraz hovorme o obmedzeniach (ODZ - oblasť prípustných hodnôt premenných).
Pamätáme si, že napríklad druhú odmocninu nemožno brať zo záporných čísel; alebo ak máme zlomok, potom sa menovateľ nemôže rovnať nule. Pre logaritmy existujú podobné obmedzenia:
To znamená, že argument aj základ musia byť väčšie ako nula a základ sa nemôže rovnať.
prečo je to tak?
Začnime jednoducho: povedzme si to. Potom napríklad číslo neexistuje, keďže bez ohľadu na to, o aký stupeň stúpneme, vždy to dopadne. Navyše pre žiadne neexistuje. Ale zároveň sa môže rovnať čomukoľvek (z rovnakého dôvodu – rovná sa akýmkoľvek stupňom). Preto objekt nie je zaujímavý a jednoducho ho vyhodili z matematiky.
Máme podobný problém v prípade: v akomkoľvek pozitívnom stupni - toto, ale vôbec to nemožno zvýšiť na zápornú mocninu, pretože výsledkom bude delenie nulou (to vám pripomínam).
Keď stojíme pred problémom vztýčenia v zlomkový stupeň(ktorý je reprezentovaný ako koreň: . Napríklad (to je), ale neexistuje.
Negatívne dôvody je preto jednoduchšie zahodiť, ako sa s nimi baviť.
No a keďže základ a je pre nás len kladný, tak bez ohľadu na to, o aký stupeň ho navýšíme, vždy dostaneme striktne kladné číslo. Takže argument musí byť kladný. Napríklad neexistuje, pretože v žiadnom prípade nebude záporné číslo(a dokonca nula, takže ani to neexistuje).
Pri problémoch s logaritmami je prvým krokom zapísanie ODZ. Uvediem príklad:
Poďme vyriešiť rovnicu.
Pripomeňme si definíciu: logaritmus je moc, na ktorú sa musí zvýšiť základ, aby sa získal argument. A podľa podmienky sa tento stupeň rovná: .
Dostávame obvyklé kvadratická rovnica: . Riešime to pomocou Vietovej vety: súčet koreňov je rovnaký a súčin. Jednoduché vyzdvihnutie, to sú čísla a.
Ak ale hneď zoberiete a zapíšete obe tieto čísla do odpovede, môžete za úlohu získať 0 bodov. prečo? Zamyslime sa nad tým, čo sa stane, ak tieto korene dosadíme do počiatočnej rovnice?
To je jednoznačne nepravda, pretože základ nemôže byť záporný, to znamená, že koreň je „tretej strany“.
Aby ste sa vyhli takýmto nepríjemným trikom, musíte si ODZ zapísať ešte predtým, ako začnete riešiť rovnicu:
Potom, keď dostaneme korene a, koreň okamžite zahodíme a napíšeme správnu odpoveď.
Príklad 1(skús to vyriešiť sám) :
Nájdite koreň rovnice. Ak existuje niekoľko koreňov, uveďte v odpovedi ten menší.
Riešenie:
Najprv si napíšme ODZ:
Teraz si pamätáme, čo je logaritmus: na akú silu potrebujete zvýšiť základňu, aby ste dostali argument? V druhom. To je:
Zdalo by sa, že menší koreň sa rovná. Ale nie je to tak: podľa ODZ je koreňom tretej strany, to znamená, že to vôbec nie je koreň tejto rovnice. Rovnica má teda iba jeden koreň: .
odpoveď: .
Základná logaritmická identita
Pripomeňme si definíciu logaritmu všeobecne:
Dosaďte v druhej rovnosti namiesto logaritmu:
Táto rovnosť sa nazýva základná logaritmická identita. Aj keď v podstate je táto rovnosť napísaná inak definícia logaritmu:
Toto je sila, ktorú musíte zvýšiť, aby ste sa dostali.
Napríklad:
Vyriešte nasledujúce príklady:
Príklad 2
Nájdite hodnotu výrazu.
Riešenie:
Pripomeňme si pravidlo z časti: to znamená, že pri zvýšení stupňa na moc sa ukazovatele násobia. Aplikujme to:
Príklad 3
Dokáž to.
Riešenie:
Vlastnosti logaritmov
Bohužiaľ, úlohy nie sú vždy také jednoduché - často musíte najprv zjednodušiť výraz, uviesť ho do obvyklej podoby a až potom bude možné vypočítať hodnotu. Najjednoduchšie je to urobiť s vedomím vlastnosti logaritmov. Poďme sa teda naučiť základné vlastnosti logaritmov. Dokážu každé z nich, pretože každé pravidlo je ľahšie zapamätateľné, ak viete, odkiaľ pochádza.
Všetky tieto vlastnosti je potrebné mať na pamäti, bez nich nemožno vyriešiť väčšinu problémov s logaritmami.
A teraz podrobnejšie o všetkých vlastnostiach logaritmov.
Vlastnosť 1:
dôkaz:
Nechaj teda.
Máme: , h.t.d.
Vlastnosť 2: Súčet logaritmov
Súčet logaritmov s rovnakým základom sa rovná logaritmu súčinu: .
dôkaz:
Nechaj teda. Nechaj teda.
Príklad: Nájdite hodnotu výrazu: .
Riešenie: .
Vzorec, ktorý ste sa práve naučili, pomáha zjednodušiť súčet logaritmov, nie rozdiel, takže tieto logaritmy nemožno hneď kombinovať. Môžete to však urobiť aj opačne – „rozbiť“ prvý logaritmus na dva: A tu je sľúbené zjednodušenie:
.
Prečo je to potrebné? No napríklad: čo na tom záleží?
Teraz je to už zrejmé.
Teraz uľahčite si to:
Úlohy:
Odpovede:
Vlastnosť 3: Rozdiel v logaritmoch:
dôkaz:
Všetko je úplne rovnaké ako v odseku 2:
Nechaj teda.
Nechaj teda. Máme:
Príklad z posledného bodu je teraz ešte jednoduchší:
Zložitejší príklad: . Hádajte sami, ako sa rozhodnúť?
Tu je potrebné poznamenať, že nemáme jediný vzorec o logaritmoch na druhú. Je to niečo podobné výrazu – nedá sa to hneď zjednodušiť.
Odbočme preto od vzorcov o logaritmoch a zamyslime sa nad tým, aké vzorce vo všeobecnosti používame v matematike najčastejšie? Už od siedmej triedy!
To - . Treba si zvyknúť na to, že sú všade! A nachádzajú sa v exponenciálnych, trigonometrických a iracionálnych problémoch. Preto si ich treba pamätať.
Ak sa pozorne pozriete na prvé dva pojmy, je jasné, že je to tak rozdiel štvorcov:
Odpoveď na kontrolu:
Zjednodušte sa.
Príklady
Odpovede.
Vlastnosť 4: Odvodenie exponentu z argumentu logaritmu:
dôkaz: A tu tiež používame definíciu logaritmu: nech teda. Máme: , h.t.d.
Toto pravidlo môžete pochopiť takto:
To znamená, že stupeň argumentu sa prevezme pred logaritmus ako koeficient.
Príklad: Nájdite hodnotu výrazu.
Riešenie: .
Rozhodnite sa sami:
Príklady:
Odpovede:
Vlastnosť 5: Odvodenie exponentu od základne logaritmu:
dôkaz: Nechaj teda.
Máme: , h.t.d.
Pamätajte: od dôvodov stupeň sa vykresľuje ako obrátenečíslo, na rozdiel od predchádzajúceho prípadu!
Vlastnosť 6: Odvodenie exponentu od základu a argumentu logaritmu:
Alebo ak sú stupne rovnaké: .
Vlastnosť 7: Prechod na novú základňu:
dôkaz: Nechaj teda.
Máme: , h.t.d.
Vlastnosť 8: Zámena bázy a argumentu logaritmu:
dôkaz: Ide o špeciálny prípad vzorca 7: ak dosadíme, dostaneme: , p.t.d.
Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.
Príklad 4
Nájdite hodnotu výrazu.
Využijeme vlastnosť logaritmov č. 2 - súčet logaritmov s rovnakým základom sa rovná logaritmu súčinu:
Príklad 5
Nájdite hodnotu výrazu.
Riešenie:
Používame vlastnosť logaritmov č. 3 a č. 4:
Príklad 6
Nájdite hodnotu výrazu.
Riešenie:
Pomocou čísla nehnuteľnosti 7 - prejdite na základ 2:
Príklad 7
Nájdite hodnotu výrazu.
Riešenie:
Ako sa vám páči článok?
Ak čítate tieto riadky, tak ste si prečítali celý článok.
A je to v pohode!
Teraz nám povedzte, ako sa vám článok páči?
Naučili ste sa riešiť logaritmy? Ak nie, v čom je problém?
Napíšte nám do komentárov nižšie.
A áno, veľa šťastia pri skúškach.
Na Jednotnej štátnej skúške a OGE a všeobecne v živote
