UDK 681.51.011

MATRIXOVÁ ANALÝZA V SYSTÉME RIADENIA PODNIKU

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belaševskij2

LLC "Samara - AviaGaz"

Štátna letecká univerzita v Samare

Článok analyzuje rôzne spôsoby využitia matíc v podnikovom manažmente. Vzťah (spojenie) medzi prvkami dvoch alebo viacerých množín možno znázorniť v maticovej forme. Zloženie vzťahov vám umožňuje zjednodušiť analýzu vzťahov medzi prvkami množín. Uvádza sa príklad použitia prioritných matíc v systéme riadenia podniku.

Matice ako analytický nástroj sa už dlho používajú v systéme riadenia podniku. Stačí vymenovať také nástroje kvality, ako sú maticové grafy, prioritné matice, maticová analýza v Quality Function Deployment.

1. Použitie matríc v manažmente je spôsobené tým, že takmer každý podnik sa vyznačuje veľkým súborom objektov (rôzne zariadenia, divízie, dodávatelia, odberatelia) a je ťažké opísať vzťahy medzi nimi so závislosťami ako y \u003d f (x) . Skutočné spojenia sú viacrozmerné a implicitné. Matrice na druhej strane umožňujú identifikovať takéto vzťahy v pomerne vizuálnej podobe a analyzovať ich. V úlohe formovania výrobnej štruktúry podniku možno použiť maticu vzťahov medzi skupinami častí B = ], kde ^ je počet jednotiek.

všeobecné zariadenie používané pri spracovaní 1. a] -tej časti, v marketingový výskum matica technickej úrovne sa používa u = \u^], kde

a y - technická úroveň 1. podniku na ] -tom trhu a cenová matica.

Z hľadiska matematiky možno priradenie matice interpretovať ako špecifikáciu vzťahu (spojenia) medzi objektmi dvoch množín. Maticový prvok môže v tomto prípade znamenať spojenie objektov (napríklad „áno“ alebo „nie“), ako aj silu spojenia vyjadrenú ako číslo. V prípade troch alebo viacerých množín je možné vytvoriť viacrozmerné vzťahy a podľa toho aj viacrozmerné matice. Tento prístup však stráca prehľadnosť a jednoduchosť interpretácie. Zložitosť analýzy viacrozmerných vzťahov

ióny možno prekonať pomocou zloženia vzťahov.

2. Predpokladajme, že spoločnosť má dodávateľov P1 P2, ... P5, ktorí dodávajú materiály (diely, zostavy, komponenty) Mі, M2, M3. Z týchto materiálov podnik vyrába výrobky Ib I2, ... I, pre zákazníkov (spotrebiteľov) Zi, Z2, ... Z5. Pre tieto množiny môžete zostaviť matice spojení. Nech sa vytvoria napríklad vzťahy medzi dodávateľmi a materiálmi, ktoré dodávajú (tabuľka 1), výrobkami a potrebné materiály(tabuľka 2), zákazníci a produkty (tabuľka 3). Znamienko „x“ označuje spojenie objektov dvoch množín.

Tabuľka 1. Matica dodávateľských vzťahov

a dodané materiály (PM)

PM Pі P2 Pz P4 P5

Tabuľka 2. Matica vzťahov medzi výrobkami a materiálmi (IM)

IM Mі M2 Mz

Tabuľka 3. Matica vzťahov medzi zákazníkmi a produktmi (PI)

ZI II I2 Od Od

Pomocou zloženia pomerov daných maticami PM, MI a ZI nie je ťažké zostaviť maticu pomeru PP. Matica PZ (tabuľka 4) zobrazuje väzby vytvorené podnikom medzi dodávateľmi P a zákazníkmi Z^ Takže napríklad interakcia zákazníka Z3 s podnikom prebieha na produkte I3, ktorý vyžaduje materiály M! a M3 dodávané Pn P3 a P5.

Tabuľka 4. Matica vzťahov medzi dodávateľom-

Detailné rozvrhnutie technologických procesov (produktových radov) pomocou vzťahových matíc zjednodušuje stanovenie pridanej hodnoty pre zákazníka, zisku podniku a jeho strát.

3. Vybudovanie podnikového systému manažérstva kvality je spojené s alokáciou siete procesov. Rozdelenie procesov medzi obchodné jednotky, implementácia požiadaviek normy, napríklad ISO 9001-2000, sa môže uskutočniť pomocou matíc. Povedzme, že procesy sú zvýraznené: kontraktácia, riadenie dokumentácie QMS, interný audit, obstarávanie, výroba, sledovanie spokojnosti zákazníkov a spoločnosť má divízie: marketingové oddelenie, nákupné oddelenie, oddelenie hlavného dizajnéra, oddelenie hlavného technológa, výroba, oddelenie záručnej podpory. Na základe výsledkov diskusie so zástupcami rezortov je možné zostaviť maticu PP (tab. 5). Na druhej strane, špecializované procesy by mali pokrývať požiadavky normy, ako je ISO 9001-2000. Výsledkom prepojenia procesov s ISO 9001-2000 je matica TP (tabuľka 6).

Pomocou zloženia vzťahov získame ISO maticu (tabuľka 7).

my a zákazníci (PP)

ПЗ Зі 32 Зз 34 35

Tabuľka 5. Matica väzieb medzi procesmi a oddeleniami (SP)

Matica PP Oddelenie marketingu Oddelenie obstarávania Oddelenie hlavného dizajnéra Oddelenie hlavného technológa Oddelenie záručnej podpory výroby

Zmluva X X

Interný audit X

Obstarávanie X

Výroba X

Tabuľka 6. Vzťah procesov k ISO 9001-2000

Matica TP Systémy manažérstva kvality Zodpovednosť manažmentu Manažment zdrojov Procesy životného cyklu produktu Meranie, analýza a zlepšovanie

Zmluva X

Správa dokumentácie QMS X X

Vnútorný audit X X

Obstarávanie X

Výroba X X X

Monitorovanie spokojnosti zákazníkov X

Oddelenie ISO Matrix Marketing Oddelenie nákupu Kap. dizajnérsky odbor kap. technológ Oddelenie záručnej podpory výroby

Systémy manažérstva kvality X X

Zodpovednosť vedenia X X X

Riadenie zdrojov X

Procesy životného cyklu produktu X X X

Meranie, analýza a zlepšovanie X X

Je zrejmé, že pri takomto rozložení požiadaviek ISO možno očakávať nezrovnalosti v článku 5 „Zodpovednosť manažmentu“, keďže za politiku kvality je zodpovedný vrcholový manažment.

4. Rozšírenie každého prvku matice vzťahov, napríklad "Zodpovednosť manažmentu - marketingové oddelenie", môže byť pomocou matice priorít, ktorá je základom metódy hierarchickej analýzy. Požiadavky série ISO 9000-2000 stanovujú rozsah a hĺbku regulačnej a technickej dokumentácie potrebnej pre fungovanie podnikového QMS. Jedným zo záväzných dokumentov QMS podniku je politika a ciele v oblasti kvality. Ciele podniku sú formulované v rôznych oblastiach: financie, trh, konkurencia

(benchmarking), spokojnosť zákazníkov, zlepšenie výkonnosti produktov a procesov. Ciele celej organizácie by sa mali premietnuť (rozmiestniť, rozložiť) do jej divízií, aby si pracovníci boli vedomí svojej angažovanosti a zodpovednosti za dosiahnutie konkrétneho cieľa celej organizácie.

Plánovanie, výber cieľov, optimalizácia správania v konkurenčnom prostredí si vždy vyžaduje rozhodnutie v určitej fáze. Prakticky sa ukázalo, že sociálne procesy, najmä procesy riadenia, sú v rámci klasického modelu zle formalizované.

témy. V tomto prípade môže byť metóda analýzy hierarchií celkom efektívna.

Metóda analýzy hierarchií je založená na takzvanej prioritnej matici. Predpokladajme, že úlohou je porovnať faktory ovplyvňujúce vybraný objekt. Počet ovplyvňujúcich faktorov je spravidla dosť veľký, presné závislosti nie sú známe a je takmer nemožné vykonať matematickú formalizáciu problému. Odborník má ťažkosti aj pri posudzovaní vplyvu faktorov na objekt. Prekvapivo sa problém rieši jednoduchšie, ak sa vykoná párové porovnanie vplyvu faktorov na objekt. (Základom je, že je ťažké odpovedať na otázku, koľko A váži, je oveľa jednoduchšie rozhodnúť, čo je ťažšie: A alebo B)

Pre analytické plánovanie rozvoja podniku je potrebné popísať počiatočný stav (pozícia „ako je“), cieľový stav (ciele) a prostriedky na prepojenie týchto stavov. Nižšie je uvedený príklad aplikácie metódy analýzy hierarchií, ako objekt je vybraný cieľ z politiky kvality „Udržateľný rast ziskov podniku“ a zvýraznené niektoré faktory ovplyvňujúce cieľ (tabuľka 8).

Špecialisti - experti podniku zostavili matice priorít podľa zvolených kritérií (príklad je uvedený v tabuľke 9).

Riadiaca logistika

plánovanie, obstarávanie,

Investície, dodávateľské vzťahy,

Reklama, vstupná kontrola,

Predajné ceny, kontrola zdrojov.

Marketingová stratégia. Personál a rozvoj

výrobná kvalifikácia,

Dodržiavanie termínov, školenia zamestnancov,

Technológia, motivácia zamestnancov,

Kvalita, kreativita,

Organizácia výroby, kontrola nákladov. plánovanie nového vývoja

Tabuľka 9. Príklad matice "Výroba"

Výroba Dodržiavanie dodacích podmienok produktov Technológia Kvalita Organizácia výroby Kontrola nákladov

Dodržiavanie termínov dodania produktov 1 5 1 3 3

Technológia 1/5 1 3 1 3

Kvalita 1 1/3 1 3 1

Organizácia výroby 1/3 1 1/3 1 1

Kontrola nákladov 1/3 1/3 1 1 1

Mierka vzťahov a vypĺňanie tabuliek 1 - ekvivalencia faktorov, 3 - dominancia jedného faktora nad iným faktorom,

5 - silná dominancia jedného faktora nad iným faktorom, 2,4 - možné stredné hodnoty.

Matematické spracovanie matíc spočívalo v nájdení prioritného vektora ako vlastného vektora zodpovedajúceho maximálnej vlastnej hodnote. Ako príklad sú nižšie uvedené výsledky spracovania odhadov experta N (tabuľka 10). Stĺpce označujú zložky prioritného vektora podľa rôznych faktorov, napríklad podľa kritéria "Manažment"

Prednosť má investícia.

Na obr. 1. Uvádzajú sa výsledky výpočtu priorít expertov podľa vyššie uvedených kritérií. Dosiahnutie cieľa je spojené s investíciou, kvalitou,

plánovanie nového vývoja a kontrola zdrojov.

Tabuľka 10. Výsledky spracovania odhadov experta N

Cieľ - Udržateľný rast zisku spoločnosti

Manažment Výroba Mat - technické zásobovanie Personál a voj

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

Zvládanie

Výroba

S&I^TO alebo i_CO

Personál a rozvoj

Ryža. 1. Výsledky výpočtu priorít expertov

Poznanie rozdelenia priorít podľa zvolených kritérií umožňuje vrcholovému manažmentu podniku uplatňovať rozumnú politiku na dosiahnutie cieľa.

Bibliografia

1. Gludkin O.P., Gorbunov NM., Gurov A.I., Zorin Yu.V. Úplný manažment kvality. - M.: Rádio a komunikácia, 1999.

2. Kuzin B., Yuriev V., Shakhdinarov G. Metódy a modely riadenia firmy. - Petrohrad: Peter, 2001.

3. Faure R., Kofman A., Denis-Papin M. Moderná matematika. - M.: Mir, 1966.

4. Saati T. Rozhodovanie. Metóda hierarchickej analýzy. / za. z angličtiny. - M.: Rádio a komunikácia, 1993.

MATRIXOVÁ ANALÝZA V PODNIKOVOM VÝKONNOM SYSTÉME

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belachewskij2

\cSamara – Aviagas»

Štátna letecká univerzita v Samare

V práci sú analyzované rôzne spôsoby aplikácie matíc v obchodnej prevádzke. Vzťah (spojenie) medzi prvkami dvoch a viacerých množín je možné zadať v maticovom formulári. Zloženie vzťahov umožňuje zjednodušiť analýzu väzieb medzi prvkami množín. Výsledkom je príklad použitia matíc priorít v kontrolnom systéme podniku.

Maticová analýza alebo maticová metóda sa rozšírila pri porovnávacom hodnotení rôznych ekonomických systémov (podnikov, jednotlivých divízií podnikov a pod.). Maticová metóda vám umožňuje určiť integrálne hodnotenie každého podniku pre niekoľko ukazovateľov. Toto hodnotenie sa nazýva rating podniku. Zvážte aplikáciu maticovej metódy v etapách na konkrétnom príklade.

1. Výber hodnotiacich ukazovateľov a tvorba matice počiatočných údajov a ij, teda tabuľky, kde sú počty systémov (podnikov) vyjadrené v riadkoch a počty ukazovateľov (i = 1,2 ... .n) - systémov sú vyjadrené v stĺpcoch; (j=1,2…..n) - ukazovatele. Vybrané ukazovatele by mali mať rovnaké zameranie (čím viac, tým lepšie).

2. Zostavenie matice štandardizovaných koeficientov. V každom stĺpci sa určí maximálny prvok a potom sa všetky prvky tohto stĺpca vydelia maximálnym prvkom. Na základe výsledkov výpočtu sa vytvorí matica štandardizovaných koeficientov.

V každom stĺpci vyberieme maximálny prvok.

metóda vedecký výskum vlastnosti objektov založené na použití pravidiel teórie matíc, ktoré určujú hodnotu prvkov modelu, odrážajúcich vzťah ekonomických objektov. Používa sa v prípadoch, keď je hlavným predmetom štúdia bilančný pomer nákladov a výsledkov výrobnej a hospodárskej činnosti a normy nákladov a výkonov.

• - pseudomost, matricový most

  Molekulárna biológia a genetika. Slovník

• - Angličtina. maticová analýza; nemecký Matrixanalýza. V sociológii - metóda štúdia vlastností soc. objekty založené na použití pravidiel teórie matíc...

  Encyklopédia sociológie

• - v polygrafickom priemysle - lis na razenie stereotypných matríc alebo nekovových. stereotypy sú zvyčajne hydraulické...

  Veľký encyklopedický polytechnický slovník

• - Zariadenie používané na lisovanie kartónových alebo vinylových plastových matríc, ako aj plastových stereotypov ...

  Stručný výkladový slovník polygrafie

• - Pozri: ihličková tlačiareň...

  Slovník obchodných podmienok

• - metóda vedeckého štúdia vlastností objektov založená na použití pravidiel teórie matíc, ktoré určujú hodnotu prvkov modelu, odrážajúce vzťah ekonomických objektov ...

  Veľký ekonomický slovník

• - v ekonómii metóda vedeckého štúdia vlastností objektov založená na použití pravidiel teórie matíc, ktoré určujú hodnotu prvkov modelu, odrážajúce vzťah ekonomických objektov ...

  Veľká sovietska encyklopédia

• - metóda na skúmanie vzťahu medzi hospodárske objekty s ich maticovým modelovaním...

  Veľký encyklopedický slovník

• - ...

  Pravopisný slovník ruského jazyka

• - MATRI-A, -s, f. ...

  Vysvetľujúci slovník Ozhegov

• - MATRIX, matrix, matrix. adj. do matrice. Matrix kartón...

  Vysvetľujúci slovník Ushakova

• - matica I adj. rel. s podstatným menom. matica I s ňou spojená II adj. 1. pomer s podstatným menom. matrica II, s ňou spojená 2. Zabezpečuje tlač pomocou matrice. III adj. pomer...

  Výkladový slovník Efremovej

• - m "...

  ruský pravopisný slovník

• - ...

  Slovné formy

• - adj., počet synoným: 1 matica-vektor ...

  Slovník synonym

• - príd., počet synoným: 1 štyri ...

  Slovník synonym

"ANALÝZA MATRIX" v knihách

T. N. Pančenko. Strawson a Wittgenstein. Analýza ako odhaľovanie formálnej štruktúry neformálneho jazyka a analýza ako terapia

Z knihy Filozofické myšlienky od Ludwiga Wittgensteina autora Gryaznov Alexander Feodosievič

T. N. Pančenko. Strawson a Wittgenstein. Analýza ako odhaľovanie formálnej štruktúry neformálneho jazyka a analýza ako terapia *** Ludwig Wittgenstein a Peter Strawson určitým spôsobom definujú hranice filozofie analýzy, jej začiatok a koniec. Jeden z nich patrí

§ 34. Základný vývoj fenomenologickej metódy. Transcendentálna analýza ako eidetická analýza

Z knihy Kartézske úvahy autora Husserl Edmund

§ 34. Základný vývoj fenomenologickej metódy. Transcendentálna analýza ako eidetická analýza dôležitý bod problémy fenomenologickej genézy a teda

2.6. Biosyntéza proteínov a nukleových kyselín. Maticový charakter biosyntetických reakcií. Genetická informácia v bunke. Gény, genetický kód a jeho vlastnosti

Z knihy Biológia [ Kompletná referencia pripraviť sa na skúšku] autora Lerner Georgij Isaakovič

2.6. biosyntéza bielkovín a nukleových kyselín. Maticový charakter biosyntetických reakcií. Genetická informácia v bunke. Gény, genetický kód a jeho vlastnosti Termíny a pojmy testované v testovacej práci: antikodón, biosyntéza, gén, genetická informácia,

Maticová analýza

Z knihy Veľká sovietska encyklopédia (MA) autora TSB

2.4. ANALÝZA POŽIADAVIEK NA SYSTÉM (SYSTÉMOVÁ ANALÝZA) A FORMULÁCIA CIEĽOV

Z knihy Programovacie technológie autor Kamaev V A

2.4. ANALÝZA POŽIADAVIEK NA SYSTÉM (ANALÝZA SYSTÉMU) A FORMULÁCIA CIEĽOV Úlohou optimalizácie vývoja programov je dosiahnuť ciele s čo najmenším vynaložením zdrojov.

Maticové meranie

Z knihy Digitálna fotografia od A po Z autora Gazarov Artur Jurijevič

Maticové meranie Maticové meranie (Pattern Evaluative, E) sa nazýva aj viaczónové, viaczónové, viacsegmentové, vyhodnocovacie. V automatickom režime fotoaparát nastavuje štandardné maticové meranie, ktoré sa používa častejšie ako iné. Toto je najinteligentnejšie meranie

Otázka 47 Vecný a právny základ. Analýza dôkazov.

Z knihy Autorova právnická skúška

Otázka 47 Vecný a právny základ. Analýza dôkazov. Čestné, rozumné a svedomité poskytovanie právnej pomoci v akejkoľvek forme, či už ide o poradenstvo, vypracovanie rôznych dokumentov, zastupovanie záujmov alebo obhajobu

9. Veda v službách toxikológie. Spektrálna analýza. Kryštály a teploty topenia. Štrukturálna analýza pomocou röntgenového žiarenia. Chromatografia

Z knihy Sto rokov kriminalistiky autor Thorvald Jürgen

9. Veda v službách toxikológie. Spektrálna analýza. Kryštály a teploty topenia. Štrukturálna analýza pomocou röntgenového žiarenia. Chromatografia Medzitým sa udalosti, ktoré sa odohrali v procese proti Buchananovi, stali známymi po celom svete. Pri všetkej neúcte k americkej vede tých rokov, tieto

12.9. Metóda vývoja maticového riešenia

Z knihy Systematické riešenie problémov autora Lapygin Jurij Nikolajevič

12.9. Maticová metóda rozvíjania rozhodnutí Rozhodovanie na základe maticovej metódy sa redukuje na výber s prihliadnutím na záujmy všetkých zainteresovaných strán. Schematicky, rozhodovací proces v tomto prípade vyzerá tak, ako je znázornený na obr. 12.7. Ako vidíme, existuje

4. Prieskum a analýza trhu (analýza podnikateľského prostredia organizácie)

Z knihy Business Planning: Lecture Notes autorka Beketová Oľga

4. Prieskum a analýza trhu (analýza podnikateľského prostredia organizácie) Prieskum a analýza odbytového trhu je jednou z najdôležitejších etáp pri príprave podnikateľských plánov, ktoré by mali zodpovedať otázky kto, prečo a v čom množstvo nakupuje alebo bude kupovať produkty

5.1. Analýza vonkajšieho a vnútorného prostredia organizácie, SWOT analýza

autora Lapygin Jurij Nikolajevič

5.1. Analýza vonkajších a vnútorné prostredie organizácie, SWOT analýza Vonkajšie prostredie a adaptácia systému Organizácie, ako každý systém, sú izolované od vonkajšieho prostredia a zároveň sú s vonkajším prostredím prepojené tak, že z vonkajšieho prostredia získavajú potrebné zdroje a

8.11. Maticová metóda RUR

Z knihy Rozhodnutia manažmentu autora Lapygin Jurij Nikolajevič

8.11. Maticová metóda RSD Rozhodovanie založené na maticovej metóde sa redukuje na výber, berúc do úvahy záujmy všetkých zainteresovaných strán. Schematicky proces RUR v tomto prípade vyzerá tak, ako je znázornený na obr. 8.13. Ryža. 8.13. RUR model maticovou metódou

4. Analýza silných a slabých stránok projektu, jeho perspektív a hrozieb (SWOT analýza)

autora Filonenko Igor

4. Analýza silných a slabých stránok projektu, jeho perspektív a hrozieb (SWOT-analýza) Pri posudzovaní uskutočniteľnosti spustenia nového projektu hrá úlohu kombinácia faktorov a nie vždy je prvoradý finančný výsledok. Napríklad pre výstavnú spoločnosť

5. Politická, ekonomická, sociálna a technologická analýza (PEST-analýza)

Z knihy Exhibition Management: Management Strategies and Marketing Communications autora Filonenko Igor

5. Politická, ekonomická, sociálna a technologická analýza (PEST analýza)

11.3. Metóda rozvoja maticovej stratégie

Z knihy Strategický manažment: tutoriál autora Lapygin Jurij Nikolajevič

11.3. Maticová metóda pre rozvoj stratégií Vývoj vízie organizácie Rôzne stavy vonkajšieho a vnútorného prostredia organizácií vysvetľujú rôznorodosť organizácií samotných a ich skutočný stav.Multifaktoriálny charakter parametrov, ktoré určujú pozíciu každého

Kurz prednášok o disciplíne

"Matricová analýza"

pre študentov 2. ročníka

Špecializácia Matematická fakulta

"Ekonomická kybernetika"

(lektor Dmitruk Maria Alexandrovna)

Kapitola 3. Maticové funkcie.

1. Definícia funkcie.

Df. Nech je funkcia skalárny argument. Je potrebné definovať, čo znamená f(A), t.j. potrebujeme rozšíriť funkciu f(x) na maticovú hodnotu argumentu.

Riešenie tohto problému je známe, keď f(x) je polynóm: , potom.

Definícia f(A) vo všeobecnom prípade.

Nech m(x) je minimálny polynóm A a má taký kanonický rozklad, že vlastné hodnoty A. Nech polynómy g(x) a h(x) nadobúdajú rovnaké hodnoty.

Nech g(A)=h(A) (1), potom polynóm d(x)=g(x)-h(x) je anihilačný polynóm pre A, keďže d(A)=0, teda d(x ) je deliteľné lineárnym polynómom, t.j. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Potom, t.j. (3), .

Dohodnime sa, že budeme volať m čísel pre f(x) takých hodnôt funkcie f(x) na spektre matice A a množinu týchto hodnôt označíme.

Ak je pre f(x) definovaná množina f(Sp A), potom je funkcia definovaná na spektre matice A.

Z (3) vyplýva, že polynómy h(x) a g(x) majú v spektre matice A rovnaké hodnoty.

Naša úvaha je reverzibilná, t.j. z (3) (3) (1). Ak je teda daná matica A, potom je hodnota polynómu f(x) úplne určená hodnotami tohto polynómu na spektre matice A, t.j. všetky polynómy gi(x), ktoré majú rovnaké hodnoty v spektre matice, majú rovnaké hodnoty matice gi(A). Požadujeme, aby definícia hodnoty f(A) vo všeobecnom prípade dodržiavala rovnaký princíp.

Hodnoty funkcie f(x) na spektre matice A musia plne určovať f(A), t.j. funkcie s rovnakými hodnotami v spektre musia mať rovnakú maticovú hodnotu f(A). Je zrejmé, že na určenie f(A) vo všeobecnom prípade stačí nájsť polynóm g(x), ktorý by mal v spektre A rovnaké hodnoty ako funkcia f(A)=g(A).

Df. Ak je f(x) definované na spektre matice A, potom f(A)=g(A), kde g(A) je polynóm, ktorý má v spektre rovnaké hodnoty ako f(A),

Df. Hodnota funkcie z matice A hodnotu polynómu v tejto matici nazývame at.

Medzi polynómy z С[x], ktoré majú rovnaké hodnoty na spektre matice A, ako f(x), stupňa nie vyššieho ako (m-1), pričom rovnaké hodnoty majú na spektre A , keďže f(x) je zvyšok delenia ľubovoľného polynómu g(x), ktorý má v spektre matice A rovnaké hodnoty ako f(x), minimálnym polynómom m(x)=g(x) = m(x)*g(x)+r(x).

Tento polynóm r(x) sa nazýva Lagrangeov-Sylvesterov interpolačný polynóm pre funkciu f(x) na spektre matice A.

Komentujte. Ak minimálny polynóm m(x) matice A nemá viacnásobné korene, t.j. , potom hodnotu funkcie na spektre.

Príklad:

Nájdite r(x) pre ľubovoľné f(x), ak je matica

. Zostrojme f(H1 ). Nájdite minimálny polynóm H1 posledný invariantný faktor:

, dn-1=x2 ; dn-1=1;

mX=fn(x) = dn(x)/dn-1(x) = xn 0 nviacnásobný koreň m(x), t.j. n-násobné vlastné hodnoty H1 .

r(0)=f(0), r(0) = f(0),…,r(n-1)(0) = f(n-1)(0) .

1. Vlastnosti funkcií z matíc.

Nehnuteľnosť #1. Ak má matica vlastné hodnoty (môžu byť medzi nimi násobky), a, potom vlastné hodnoty matice f(A) sú vlastné hodnoty polynómu f(x): .

dôkaz:

Nech má charakteristický polynóm matice A tvar:

Poďme počítať. Prejdime od rovnosti k determinantom:

Urobme zmenu v rovnosti:

Rovnosť (*) platí pre akúkoľvek množinu f(x), takže nahradíme polynóm f(x) za, dostaneme:

Vľavo sme získali charakteristický polynóm pre maticu f(A), rozšírený vpravo do lineárne faktory, z čoho vyplýva, že vlastné hodnoty matice f(A).

CHTD.

Nehnuteľnosť #2. Nech je matica a vlastné hodnoty matice A, f(x) ľubovoľná funkcia definovaná na spektre matice A, potom sú vlastné hodnoty matice f(A) rovnaké.

dôkaz:

Pretože funkcia f(x) je definovaná na spektre matice A, potom existuje interpolačný polynóm matice r(x) taký, že a potom f(A)=r(A) a matica r(A) má vlastné hodnoty podľa vlastnosti č. 1, ktoré sú v tomto poradí rovnaké.

CHTD.

Nehnuteľnosť č. 3. Ak sú A a B podobné matice, t.j. a f(x) je ľubovoľná funkcia definovaná na spektre matice A, teda

dôkaz:

Pretože A a B sú podobné, potom sú ich charakteristické polynómy rovnaké a ich vlastné hodnoty, takže hodnota f(x) na spektre matice A sa zhoduje s hodnotou funkcie f(x) na spektre matice B a existuje interpolačný polynóm r(x) taký, že f(A)=r(A), .

CHTD.

Číslo nehnuteľnosti 4. Ak A je bloková diagonálna matica, potom

Dôsledok: Ak teda kde f(x) je funkcia definovaná na spektre matice A.

1. Lagrangeov-Sylvesterov interpolačný polynóm.

Prípad číslo 1.

Nech je to dané. Uvažujme o prvom prípade: charakteristický polynóm má práve n koreňov, medzi ktorými nie sú žiadne násobky, t.j. všetky vlastné hodnoty matice A sú rôzne, t.j. , Sp A je jednoduchý. V tomto prípade zostrojíme základné polynómy lk(x):

Nech f(x) je funkcia definovaná na spektre matice A a nech sú hodnoty tejto funkcie na spektre. Musíme stavať.

Poďme stavať:

Všimnime si to.

Príklad: Zostrojte Lagrangeov-Sylvesterov interpolačný polynóm pre maticu.

Zostavme základné polynómy:

Potom pre funkciu f(x) definovanú na spektre matice A dostaneme:

Vezmime, potom interpolačný polynóm

Prípad číslo 2.

Charakteristický polynóm matice A má viac koreňov, ale minimálny polynóm tejto matice je deliteľom charakteristického polynómu a má len jednoduché korene, t.j. . V tomto prípade sa interpolačný polynóm zostrojí rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom prípade.

Prípad číslo 3.

Zoberme si všeobecný prípad. Nech má minimálny polynóm tvar:

kde m1+m2+…+ms=m, stupeň r(x)

Zostavíme zlomkovo-racionálnu funkciu:

a rozložiť ho na jednoduché zlomky.

Označme: . Vynásobte (*) a získajte

kde je nejaká funkcia, ktorá nejde do nekonečna.

Ak vložíme (**), dostaneme:

Ak chcete nájsť ak3, musíte (**) rozlišovať dvakrát atď. Koeficient aki je teda jednoznačne určený.

Po zistení všetkých koeficientov sa vrátime k (*), vynásobíme m(x) a dostaneme interpolačný polynóm r(x), t.j.

Príklad: Nájdite f(A), ak, kde tnejaký parameter,

Skontrolujeme, či je funkcia definovaná na spektre matice A

Vynásobte (*) x (x-3)

pri x=3

Vynásobte (*) x (x-5)

Touto cestou,je interpolačný polynóm.

Príklad 2

Ak, tak to dokáž

Nájdite minimálny polynóm matice A:

je charakteristický polynóm.

d2 (x)=1, potom minimálny polynóm

Uvažujme f(x)=sin x na maticovom spektre:

funkcia je definovaná na spektre.

Vynásobte (*) číslom

.

Vynásobte (*) číslom:

Vypočítajte pomocou derivátu (**):

. Za predpokladu,

, t.j..

takže,,

Príklad 3

Nech je f(x) definovaná na spektre matice, ktorej minimálny polynóm má tvar. Nájdite interpolačný polynóm r(x) pre funkciu f(x).

Riešenie: Podmienkou f(x) je definovaná na spektre matice A f(1), f(1), f (2), f(2), f(2) definované.

Používame metódu neurčitých koeficientov:

Ak f(x)=log x

f(1)=0f(1)=1

f(2)=log 2f(2)=0.5 f(2)=-0.25

4. Jednoduché matice.

Nech matica, keďže C je algebraicky uzavreté pole, potom x