Luați în considerare acum ecuația pătratică
unde este o cantitate necunoscută, sunt parametrii (coeficienții) ecuației.
Valorile critice ale parametrului ar trebui să includă, în primul rând, valoarea La valoarea specificată a parametrului, ecuația (1) ia forma
prin urmare, ordinea ecuației se reduce cu unu. Ecuația (2) este o ecuație liniară și metoda soluției sale a fost luată în considerare mai devreme.
Pentru alte valori critice ale parametrilor sunt determinate de discriminantul ecuației. Se știe că la , ecuația (1) nu are rădăcini; pentru că are o singură rădăcină pentru ecuația (1) are două rădăcini diferite și
unu). Găsiți toate valorile parametrilor pentru care ecuația pătratică
a) are două rădăcini diferite;
b) nu are rădăcini;
c) are două rădăcini egale.
Soluţie. Această ecuație este pătratică prin condiție și, prin urmare, luați în considerare discriminantul acestei ecuații
Când ecuația are două rădăcini diferite, deoarece
Când ecuația nu are rădăcini, pentru că Această ecuație pătratică nu poate avea două rădăcini egale, deoarece căci şi aceasta contrazice condiţia problemei.
Răspuns: Când ecuația are două rădăcini diferite.
Când ecuația nu are rădăcini.
2) Rezolvați ecuația. Pentru fiecare valoare admisibilă a parametrului, rezolvați ecuația
Soluţie. Luați în considerare mai întâi cazul când
(în acest caz, ecuația inițială devine o ecuație liniară). Astfel, valoarea parametrului și sunt valorile sale critice. Este clar că pentru , rădăcina acestei ecuații este și pentru , rădăcina ei este
Dacă acelea. și atunci această ecuație este pătratică. Să-i găsim discriminantul:
Pentru toate valorile, discriminantul ia valori nenegative și dispare la (aceste valori ale parametrului sunt și valorile sale critice).
Prin urmare, dacă atunci această ecuație are o singură rădăcină
În acest caz, valoarea parametrului corespunde rădăcinii
iar valoarea corespunde rădăcinii
Dacă atunci ecuația are două rădăcini diferite. Să găsim aceste rădăcini.
Răspuns. Dacă atunci dacă atunci dacă atunci
daca atunci , .
3) Rezolvați ecuația. La ce valori ale parametrului A are ecuația o soluție unică?
Soluţie. Această ecuație este echivalentă cu sistemul
Prezența unei ecuații pătratice și condiția de unicitate a soluției vor duce în mod natural la căutarea rădăcinilor discriminantului. Cu toate acestea, condiția x ≠ -3 ar trebui să atragă atenția. Iar „punctul subtil” este că ecuația pătratică a sistemului poate avea două rădăcini! Dar numai unul dintre ele trebuie să fie egal cu -3. Avem
D= A 2 - 4, deci D = 0 dacă A= ±2; x \u003d -3 - rădăcina ecuației x 2 - A x +1 = 0 la
A= -10/3, iar cu această valoare A a doua rădăcină a ecuației pătratice este diferită
Răspuns. A= ±2 sau A = -10/3.
4) Rezolvați ecuația. La ce valori ale parametrului A ecuația
(A- 2)X 2 + (4 - 2A) X+3 = 0 are o soluție unică?
Soluţie. Este clar că este necesar să începem cu cazul A= 2. Dar la a = 2 Ecuația originală nu are deloc soluții. În cazul în care un a ≠ 2, atunci această ecuație este pătratică și, se pare, valorile dorite ale parametrului sunt rădăcinile discriminantului. Cu toate acestea, discriminantul dispare când a = 2 sau a = 5. De când am stabilit că a=2 nu se potriveste, atunci
Răspuns, a = 5.
9) Rezolvați ecuația. La ce valori ale parametrului A ecuația Oh 2 - 4X + A+ 3 = 0 are mai multe rădăcini?
Soluţie. La A= 0 ecuația are o singură rădăcină, care nu satisface condiția. La A≠ 0 ecuația inițială, fiind pătrată, are două rădăcini dacă discriminantul ei este 16 – 4 A 2 – 12A pozitiv. De aici obținem -4<A<1.
Cu toate acestea, intervalul rezultat (-4; 1) include numărul 0. Răspuns. -4<A<0 или 0<A<1.
zece). La ce valori ale parametrului A ecuația A(A+3)X 2 + (2A+6)X– 3A– 9 = 0 are mai multe rădăcini?
Soluţie. Pas standard - începeți cu cazurile A= 0 și A= -3. La A= 0 ecuația are o soluție unică. Este curios că la A= -3 soluția ecuației este orice număr real. La A≠ -3 și A≠ 0, împărțind ambele părți ale acestei ecuații la a + 3, obținem ecuația pătratică Oh 2 + 2X- 3 = 0, al cărui discriminant este 4 (1 + Z A) este pozitivă pentru a > ⅓. Experiența exemplelor anterioare sugerează că din interval
(-⅓ ;∞) trebuie să excludeți punctul A= 0 și nu uitați să includeți A = -3.
Răspuns. A= -3 sau - ⅓< а < 0, или а > 0.
11).Rezolvați ecuația :
Soluţie.În primul rând, rețineți că pentru această ecuație este echivalentă cu o ecuație care nu are soluții. Dacă
Tip ecuație f(X; A) = 0 se numește ecuație variabilă Xși parametru A.
Rezolvați o ecuație cu un parametru A Aceasta înseamnă că pentru fiecare valoare A găsi valori X satisfacerea acestei ecuatii.
Exemplul 1 Oh= 0
Exemplul 2 Oh = A
Exemplul 3
x + 2 = ax
x - ah \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
Daca 1 - A= 0, adică A= 1, atunci X 0 = -2 fără rădăcini
Daca 1 - A 0, adică A 1, atunci X =
Exemplul 4
(A 2 – 1) X = 2A 2 + A – 3
(A – 1)(A + 1)X = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)X = (1A – 3)(A – 1)
În cazul în care un A= 1, apoi 0 X = 0
X- orice număr real
În cazul în care un A= -1, apoi 0 X = -2
fara radacini
În cazul în care un A 1, A-1 atunci X= (singura soluție).
Aceasta înseamnă că pentru fiecare valoare validă A se potrivește cu o singură valoare X.
De exemplu:
dacă A= 5, atunci X = = ;
dacă A= 0, atunci X= 3 etc.
Material didactic
1. Oh = X + 3
2. 4 + Oh = 3X – 1
3. A = +
la A= 1 nu există rădăcini.
la A= 3 fără rădăcini.
la A = 1 X orice număr real, cu excepția X = 1
la A = -1, A= 0 nu există soluții.
la A = 0, A= 2 fără soluții.
la A = -3, A = 0, 5, A= -2 fără soluții
la A = -Cu, Cu= 0 nu există soluții.
Ecuații cuadratice cu un parametru
Exemplul 1 rezolva ecuatia
(A – 1)X 2 = 2(2A + 1)X + 4A + 3 = 0
La A = 1 6X + 7 = 0
Când A 1 selectați acele valori ale parametrului pentru care D merge la zero.
D = (2(2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2 + 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2 + 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16
20A + 16 = 0
20A = -16
În cazul în care un A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
În cazul în care un A> -4/5 și A 1, atunci D > 0,
X = 
În cazul în care un A= 4/5, atunci D = 0,
Exemplul 2 La ce valori ale parametrului a ecuația
x 2 + 2( A + 1)X + 9A– 5 = 0 are 2 rădăcini negative diferite?
D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2 – 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6)
4(A – 1)(A – 6) > 0
după t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(A + 1)
X 1 X 2 = 9A – 5
După condiție X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0
| În cele din urmă | 4(A – 1)(A – 6) > 0 - 2(A + 1) < 0 9A – 5 > 0 |
A < 1: а > 6 A > - 1 A > 5/9 |
 (Orez. unu) < A < 1, либо A > 6 |
Exemplul 3 Găsiți valori A pentru care această ecuație are o soluție.
x 2 - 2( A – 1)X + 2A + 1 = 0
D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2 – 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A
4A 2 – 16 0
4A(A – 4) 0
A( A – 4)) 0
A( A – 4) = 0
a = 0 sau A – 4 = 0
A = 4
(Orez. 2)
Răspuns: A 0 și A 4
Material didactic
1. La ce valoare A ecuația Oh 2 – (A + 1) X + 2A– 1 = 0 are o rădăcină?
2. La ce valoare A ecuația ( A + 2) X 2 + 2(A + 2)X+ 2 = 0 are o rădăcină?
3. Pentru ce valori ale lui a este ecuația ( A 2 – 6A + 8) X 2 + (A 2 – 4) X + (10 – 3A – A 2) = 0 are mai mult de două rădăcini?
4. Pentru ce valori ale unei ecuații 2 X 2 + X – A= 0 are cel puțin o rădăcină comună cu ecuația 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Pentru ce valori ale a fac ecuațiile X 2 +Oh+ 1 = 0 și X 2 + X + A= 0 au cel puțin o rădăcină comună?
1. Când A = - 1/7, A = 0, A = 1
2. Când A = 0
3. Când A = 2
4. Când A = 10
5. Când A = - 2
Ecuații exponențiale cu un parametru
Exemplul 1.Găsiți toate valorile A, pentru care ecuația
9 x - ( A+ 2) * 3 x-1 / x +2 A*3 -2/x = 0 (1) are exact două rădăcini.
Soluţie. Înmulțind ambele părți ale ecuației (1) cu 3 2/x, obținem o ecuație echivalentă
3 2(x+1/x) – ( A+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 A = 0 (2)
Fie 3 x+1/x = la, atunci ecuația (2) ia forma la 2 – (A + 2)la + 2A= 0 sau
(la – 2)(la – A) = 0, de unde la 1 =2, la 2 = A.
În cazul în care un la= 2, adică 3 x + 1/x = 2 atunci X + 1/X= log 3 2 , sau X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Această ecuație nu are rădăcini reale pentru că D= log 2 3 2 – 4< 0.
În cazul în care un la = A, adică 3 x+1/x = A apoi X + 1/X= jurnalul 3 A, sau X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
Ecuația (3) are exact două rădăcini dacă și numai dacă
D = log 2 3 2 – 4 > 0, sau |log 3 a| > 2.
Dacă log 3 a > 2, atunci A> 9, iar dacă log 3 a< -2, то 0 < A < 1/9.
Raspuns: 0< A < 1/9, A > 9.
Exemplul 2. La ce valori ale unei ecuații 2 2x - ( A - 3) 2 x - 3 A= 0 are soluții?
La ecuația dată are soluții, este necesar și suficient ca ecuația t 2 – (A - 3) t – 3A= 0 are cel puțin o rădăcină pozitivă. Să găsim rădăcinile folosind teorema lui Vieta: X 1 = -3, X 2 = A = >
a este un număr pozitiv.
Răspuns: când A > 0
Material didactic
1. Găsiți toate valorile lui a pentru care ecuația
25 x - (2 A+ 5) * 5 x-1 / x + 10 A* 5 -2/x = 0 are exact 2 soluții.
2. Pentru ce valori ale a face ecuația
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 are o singură rădăcină?
3. Pentru ce valori ale parametrului a ecuația
4 x - (5 A-3) 2 x +4 A 2 – 3A= 0 are o soluție unică?
Ecuații logaritmice cu un parametru
Exemplul 1 Găsiți toate valorile A, pentru care ecuația
log4x(1+ Oh) = 1/2 (1)
are o soluție unică.
Soluţie. Ecuația (1) este echivalentă cu ecuația
1 + Oh = 2X la X > 0, X 1/4 (3)
X = la
au 2 - la + 1 = 0 (4)
Condiția (2) de la (3) nu este îndeplinită.
Lăsa A 0, atunci au 2 – 2la+ 1 = 0 are rădăcini reale dacă și numai dacă D = 4 – 4A 0, adică la A 1. Pentru a rezolva inegalitatea (3), construim grafice ale functiilor Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studiu aprofundat al cursului de algebră și analiză matematică. - M.: Iluminismul, 1990
1. Sarcină.
La ce valori ale parametrului A ecuația ( A - 1)X 2 + 2X + A- 1 = 0 are exact o rădăcină?
1. Decizie.
La A= 1 ecuație are forma 2 X= 0 și, evident, are o singură rădăcină X= 0. Dacă A Nr. 1, atunci această ecuație este pătratică și are o singură rădăcină pentru acele valori ale parametrului pentru care discriminantul trinom pătrat zero. Echivalând discriminantul cu zero, obținem o ecuație pentru parametru A
4A 2 - 8A= 0, de unde A= 0 sau A = 2.
1. Răspuns: ecuația are o singură rădăcină la A O(0; 1; 2).
2. Sarcină.
Găsiți toate valorile parametrilor A, pentru care ecuația are două rădăcini diferite X 2 +4topor+8A+3 = 0.
2. Decizie.
Ecuația X 2 +4topor+8A+3 = 0 are două rădăcini distincte dacă și numai dacă D =
16A 2 -4(8A+3) > 0. Se obține (după reducerea cu un factor comun de 4) 4 A 2 -8A-3 > 0, de unde
2. Răspuns:
| A O (-Ґ ; 1 - | C 7 2 |
) ȘI (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. Sarcină.
Se știe că
f 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Reprezentați grafic funcția f 1 (X) la A = 1.
b) La ce valoare A grafice de funcții f 1 (X) și f 2 (X) au un singur punct comun?
3. Soluție.
3.a. Să ne transformăm f 1 (X) în felul următor
Graficul acestei funcții A= 1 este prezentat în figura din dreapta.
3.b. Observăm imediat că funcția prezintă grafice y =
kx+bși y = topor 2 +bx+c
(A Nr. 0) se intersectează într-un singur punct dacă și numai dacă ecuația pătratică kx+b =
topor 2 +bx+c are o singură rădăcină. Folosind View f 1 din 3.a, echivalăm discriminantul ecuației A = 6X-X 2 -6 până la zero. Din ecuația 36-24-4 A= 0 obținem A= 3. Procedând la fel cu ecuația 2 X-A = 6X-X 2 -6 găsi A= 2. Este ușor să verificați dacă aceste valori ale parametrilor satisfac condițiile problemei. Răspuns: A= 2 sau A = 3.
4. Sarcină.
Găsiți toate valorile A, sub care multimea solutiilor inegalitatii X 2 -2topor-3A i 0 conţine segmentul .
4. Soluție.
Prima coordonată a vârfului parabolei f(X) =
X 2 -2topor-3A este egal cu X 0 =
A. Din proprietățile unei funcții pătratice, condiția f(X) i 0 pe interval este echivalent cu totalitatea a trei sisteme
are exact doua solutii?
5. Decizie.
Să rescriem această ecuație sub forma X 2 + (2A-2)X - 3A+7 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică, are exact două soluții dacă discriminantul său este strict mai mare decât zero. Calculând discriminantul, obținem că condiția pentru a avea exact două rădăcini este îndeplinirea inegalității A 2 +A-6 > 0. Rezolvând inegalitatea, găsim A < -3 или A> 2. Prima dintre inegalități este evident soluțiile în numere naturale nu are, iar cea mai mică soluție naturală a celei de-a doua este numărul 3.
5. Răspuns: 3.
6. Sarcină (10 celule)
Găsiți toate valorile A, pentru care graficul funcției sau, după transformări evidente, A-2 = |
2-A| . Ultima ecuație este echivalentă cu inegalitatea A eu 2.
6. Răspuns: A O)
