Sunt date enunțuri ale principalelor teoreme și proprietăți ale șirurilor numerice cu limite. Conține definiția unei secvențe și limita acesteia. Se consideră operații aritmetice cu secvențe, proprietăți legate de inegalități, criterii de convergență, proprietăți ale unor secvențe infinit de mici și infinit de mari.

Secvențe

Succesiunea numerică numită lege (regula), conform căreia fiecărui număr natural i se atribuie un număr.
Numărul este sunat al-lea membru sau un element al unei secvențe.
În cele ce urmează, vom presupune că elementele șirului sunt numere reale.

limitat, dacă există un număr M astfel încât pentru tot n real.

fata de sus secvențele sunt numite cel mai mic dintre numerele care delimitează șirul de sus. Adică acesta este un număr s pentru care pentru tot n și pentru orice , există un astfel de element al șirului care depășește s′ : .

fata de jos secvențele numesc cel mai mare dintre numerele care delimitează șirul de jos. Adică acesta este un număr i pentru care pentru tot n și pentru orice , există un astfel de element al șirului care este mai mic decât i : .

Marginea superioară se mai numește limita superioară exactă, și limita inferioară limită inferioară precisă. Conceptele de limite superioare și inferioare sunt valabile nu numai pentru secvențe, ci și pentru orice mulțime de numere reale.

Determinarea limitei unei secvențe

Numărul a se numește limita secvenței, dacă pentru orice număr pozitiv există un astfel de număr natural N , în funcție de , încât pentru toate numerele naturale inegalitatea
.
Limita unei secvențe se notează după cum urmează:
.
Sau la .

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei poate fi scrisă după cum urmează:
.

Interval deschis (a - ε, a + ε) se numește vecinătatea ε a punctului a.

Se numește o secvență care are o limită succesiune convergentă. Se mai spune că succesiunea converge la a. Se numește o secvență care nu are limită divergente.

punctul a nu este limita secvenței, dacă există astfel încât pentru orice n natural să existe un astfel de m natural >n, ce
.
.
Aceasta înseamnă că puteți alege o astfel de ε - vecinătate a punctului a , în afara căreia va exista un număr infinit de elemente ale șirului.

Proprietăţi ale limitelor finite ale secvenţelor

Proprietăți de bază

Un punct a este limita unei secvențe dacă și numai dacă în afara oricărei vecinătăți a acestui punct se află număr finit de elemente secvențe sau setul gol.

Dacă numărul a nu este limita secvenței, atunci există o astfel de vecinătate a punctului a, în afara căreia există număr infinit de elemente de secvență.

Teorema unicității limită succesiune de numere . Dacă o secvență are o limită, atunci este unică.

Dacă o secvență are o limită finită, atunci aceasta limitat.

Dacă fiecare element al secvenței este egal cu același număr C : , atunci această succesiune are o limită egală cu numărul C .

Dacă succesiunea adăugați, aruncați sau modificați primele m elemente, atunci acest lucru nu va afecta convergența acestuia.

Dovezi ale proprietăților de bază dat pe pagină
Proprietăţile de bază ale limitelor finite ale secvenţelor >>> .

Aritmetică cu limite

Să fie limite și secvențe finite și . Și fie C o constantă, adică număr dat. Apoi
;
;
;
, dacă .
În cazul coeficientului, se presupune că pentru tot n .

Daca atunci .

Demonstrații de proprietăți aritmetice dat pe pagină
Proprietăţi aritmetice ale limitelor finite ale secvenţelor >>> .

Proprietăți asociate cu inegalități

Dacă elementele șirului, pornind de la un număr, satisfac inegalitatea , atunci limita a a acestei secvențe satisface și inegalitatea .

Dacă elementele șirului, pornind de la un număr oarecare, aparțin unui interval (segment) închis, atunci și limita a aparține acestui interval: .

Dacă și și elementele șirurilor, pornind de la un număr, satisfac inegalitatea , atunci .

Dacă și, începând de la un număr, , atunci .
În special, dacă, pornind de la un anumit număr, , atunci
daca atunci ;
daca atunci .

Dacă și , atunci .

Lasă și . În cazul în care un < b , atunci există un număr natural N astfel încât pentru tot n > N inegalitatea este satisfăcută.

Dovezi de proprietăți legate de inegalități dat pe pagină
Proprietăţi ale limitelor secvenţei legate de >>> inegalităţi.

Secvențe infinitezimale și infinitezimale

Succesiunea infinitezimală

Urmare se numește șir infinitezimal dacă limita sa este zero:
.

Sumă și diferență numărul finit de secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.

Produsul unei secvențe mărginite la un infinitezimal este o succesiune infinitezimală.

Produsul unui număr finit secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.

Pentru ca o secvență să aibă o limită a , este necesar și suficient ca , unde este o secvență infinitezimală.

Demonstrații de proprietăți ale secvențelor infinitezimale dat pe pagină
Secvențe infinit de mici - definiție și proprietăți >>> .

Secvență infinit de mare

Urmare se numește șir infinit, dacă pentru orice număr pozitiv există un astfel de număr natural N , în funcție de , încât pentru toate numerele naturale inegalitatea
.
În acest caz, scrieți
.
Sau la .
Se spune că tinde spre infinit.

Dacă , începând de la un număr N , atunci
.
Daca atunci
.

Dacă șirurile sunt infinit de mari, atunci pornind de la un număr N , se definește o secvență care este infinit de mică. Dacă sunt o secvență infinitezimală cu elemente diferite de zero, atunci șirul este infinit de mare.

Dacă șirul este infinit de mare și șirul este mărginit, atunci
.

Dacă valorile absolute ale elementelor unei secvențe sunt mărginite de jos număr pozitiv() și este infinit mic cu elemente diferite de zero, atunci
.

In detalii definirea unei secvențe infinit de mari cu exemple dat pe pagină
Definirea unei secvente infinit de mari >>> .
Demonstrații pentru proprietățile unor secvențe infinit de mari dat pe pagină
Proprietăţi ale unor secvenţe infinit de mari >>> .

Criterii de convergență a secvenței

Secvențe monotone

Secvența este numită strict crescând, dacă pentru toți n este valabilă următoarea inegalitate:
.
În consecință, pentru strict în scădere succesiune, este valabilă următoarea inegalitate:
.
Pentru nedescrescătoare:
.
Pentru necrescătoare:
.

Rezultă că o secvență strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O secvență strict descrescătoare este, de asemenea, necrescătoare.

Secvența este numită monoton dacă nu este în scădere sau în creştere.

O secvență monotonă este mărginită pe cel puțin o parte de . O succesiune nedescrescătoare este mărginită de jos: . O succesiune necrescătoare este mărginită de sus: .

Teorema Weierstrass. Pentru ca o secvență nedescrescătoare (necrescătoare) să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să fie mărginită de sus (de jos). Aici M este un număr.

Deoarece orice succesiune nedescrescătoare (necrescătoare) este mărginită de jos (de sus), teorema Weierstrass poate fi reformulată după cum urmează:

Pentru ca o secvență monotonă să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să fie mărginită: .

Secvență nemărginită monotonă are o limită infinită, egală pentru secvențele nedescrescătoare și necrescătoare.

Demonstrarea teoremei Weierstrass dat pe pagină
Teorema lui Weierstrass asupra limitei unei secvențe monotone >>> .

Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței

Starea Cauchy. O secvență satisface condiția Cauchy dacă pentru oricare există un număr natural astfel încât pentru toți numere naturale n și m satisface condiția , inegalitatea
.
Se mai numesc și secvențele care satisfac condiția Cauchy secvențe fundamentale.

Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței. Pentru ca o secvență să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să satisfacă condiția Cauchy.

Dovada criteriului de convergență Cauchy dat pe pagină
Criteriul de convergență al lui Cauchy pentru o secvență >>> .

Subsecvente

Teorema Bolzano-Weierstrass. Din orice șir mărginit, se poate distinge o subsecvență convergentă. Și din orice succesiune nelimitată - o subsecvență infinit de mare care converge către sau către .

Demonstrarea teoremei Bolzano-Weierstrass dat pe pagină
Teorema Bolzano–Weierstrass >>> .

Definițiile, teoremele și proprietățile subsecvențelor și limitelor parțiale sunt discutate pe pagina
Subsecvențe și limite parțiale ale secvențelor >>>.

Referinte:
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
V.A. Zorich. Analiza matematică. Partea 1. Moscova, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Pozniak. Fundamentele analizei matematice. Partea 1. Moscova, 2005.

Teoria limitelor- una dintre secțiunile analizei matematice, pe care o poate stăpâni, alții calculează cu greu limitele. Întrebarea găsirii limitelor este destul de generală, deoarece există zeci de trucuri solutii limita diferite feluri. Aceleași limite pot fi găsite atât prin regula lui L'Hopital, cât și fără ea. Se întâmplă ca programul într-o serie de funcții infinitezimale vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de trucuri și trucuri care vă permit să găsiți limita unei funcții de orice complexitate. În acest articol, vom încerca să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică. Nu vom da aici teoria și definiția limitei, există multe resurse pe internet unde aceasta se mestecă. Prin urmare, haideți să facem calcule practice, de aici începeți "Nu știu! Nu știu cum! Nu am fost învățați!"

Calculul limitelor prin metoda substituției

Exemplul 1 Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rezolvare: În teorie, exemplele de acest fel sunt calculate prin substituția obișnuită

Limita este 18/11.
Nu este nimic complicat și înțelept în astfel de limite - au înlocuit valoarea, au calculat, au notat limita ca răspuns. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite, toată lumea este învățată că, în primul rând, trebuie să înlocuiți o valoare în funcție. În plus, limitele complică, introduc conceptul de infinit, incertitudine și altele asemenea.

Limită cu incertitudine de tip infinit împărțit la infinit. Metode de dezvăluire a incertitudinii

Exemplul 2 Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinit).
Rezolvare: este dată o limită a formei polinom împărțită la un polinom, iar variabila tinde spre infinit

O simplă înlocuire a valorii la care variabila ar trebui să găsească limitele nu va ajuta, obținem o incertitudine de forma infinit împărțită la infinit.
Teoria limitelor pot Algoritmul de calcul al limitei este de a găsi cel mai mare grad de „x” în numărător sau numitor. În continuare, numărătorul și numitorul sunt simplificați pe acesta și se găsește limita funcției

Deoarece valoarea tinde spre zero atunci când variabila ajunge la infinit, acestea sunt neglijate sau sunt scrise în expresia finală ca zerouri

Imediat din practică, puteți obține două concluzii care sunt un indiciu în calcule. Dacă variabila tinde spre infinit și gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita este egală cu infinitul. În caz contrar, dacă polinomul din numitor este de ordin mai mare decât în ​​numărător, limita este zero.
Formula limită poate fi scrisă ca

Dacă avem o funcție de forma unui log obișnuit fără fracții, atunci limita sa este egală cu infinitul

Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.

Exemplul 3 Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluție: Aici nu este necesar să scoateți multiplicatorul principal al polinomului. Exact invers, este necesar să găsiți cea mai mică putere a numărătorului și numitorului și să calculați limita

valoarea x^2; x tinde spre zero atunci când variabila tinde spre zero Prin urmare, ele sunt neglijate, astfel obținem

că limita este 2,5.

Acum știi cum să găsiți limita unei funcții un fel de polinom împărțit la un polinom dacă variabila tinde spre infinit sau 0. Dar aceasta este doar o parte mică și ușoară a exemplelor. Din următorul material veți învăța cum să descoperiți incertitudinile limitelor unei funcții.

Limită cu incertitudine de tip 0/0 și metode de calcul a acesteia

Imediat toată lumea își amintește regula conform căreia nu poți împărți la zero. Totuși, teoria limitelor în acest context înseamnă funcții infinitezimale.
Să ne uităm la câteva exemple pentru a ilustra.

Exemplul 4 Găsiți limita unei funcții
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rezolvare: La înlocuirea valorii variabilei x = -1 în numitor, obținem zero, obținem același lucru la numărător. Deci avem incertitudinea formei 0/0.
Este ușor să faci față unei astfel de incertitudini: trebuie să factorizezi polinomul sau, mai degrabă, să selectezi un factor care transformă funcția în zero.

După descompunere, limita funcției poate fi scrisă ca

Aceasta este întreaga tehnică de calcul a limitei unei funcții. Facem același lucru dacă există o limită a formei unui polinom împărțit la un polinom.

Exemplul 5 Găsiți limita unei funcții
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluție: Substituirea directă arată
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ce avem incertitudine de tip 0/0.
Împărțiți polinoamele la factorul care introduce singularitatea


Sunt profesori care învață că polinoamele de ordinul 2, adică tipul de „ecuații pătratice” ar trebui rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că este mai lung și mai complicat, așa că scăpați de caracteristicile în limitele conform algoritmului specificat. Astfel, scriem funcția sub forma factori primiși numără până la limită

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în calcularea unor astfel de limite. Știi să împarți polinoamele în momentul studierii limitelor, cel puțin conform programului, ar trebui să treci deja.
Printre sarcinile pentru incertitudine de tip 0/0 sunt acelea in care este necesar sa se aplice formulele de inmultire prescurtata. Dar dacă nu le cunoașteți, atunci împărțind polinomul la monom, puteți obține formula dorită.

Exemplul 6 Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rezolvare: Avem o incertitudine de tip 0/0 . La numărător, folosim formula pentru înmulțirea prescurtată

și calculați limita dorită

Metoda dezvăluirii incertitudinii prin multiplicare cu conjugat

Metoda se aplică la limitele în care este generată incertitudinea funcții iraționale. Numătorul sau numitorul se transformă în zero în punctul de calcul și nu se știe cum să se găsească granița.

Exemplul 7 Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluţie: Să reprezentăm variabila în formula limită

Când înlocuim, obținem o incertitudine de tip 0/0.
Conform teoriei limitelor, schema de ocolire a acestei singularități constă în înmulțirea unei expresii iraționale cu conjugatul ei. Pentru a păstra expresia neschimbată, numitorul trebuie împărțit la aceeași valoare

Prin regula diferenței pătratelor, simplificăm numărătorul și calculăm limita funcției

Simplificam termenii care creeaza o singularitate in limita si efectuam substitutia

Exemplul 8 Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rezolvare: Substituția directă arată că limita are o singularitate de forma 0/0.

Pentru a extinde, înmulțiți și împărțiți cu conjugatul la numărător

Notează diferența de pătrate

Simplificam termenii care introduc o singularitate si gasim limita functiei

Exemplul 9 Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluție: Înlocuiți doi doi în formulă

obține incertitudine 0/0.
Numitorul trebuie înmulțit cu expresia conjugată, iar la numărător rezolvați ecuație pătratică sau factorizați, ținând cont de singularitate. Deoarece se știe că 2 este o rădăcină, atunci a doua rădăcină este găsită de teorema Vieta

Astfel, scriem numeratorul sub forma

si pus in limita

După ce am redus diferența de pătrate, scăpăm de caracteristicile numărătorului și numitorului

În felul de mai sus, puteți scăpa de singularitate în multe exemple, iar aplicația ar trebui observată peste tot unde diferența dată a rădăcinilor se transformă în zero la înlocuire. Alte tipuri de limite se referă la funcții exponențiale, funcții infinitezimale, logaritmi, limite singulare și alte tehnici. Dar puteți citi despre acest lucru în articolele de mai jos despre limite.

Soluţie limitele funcției online. Găsiți valoarea limită a unei funcții sau a secvenței funcționale într-un punct, calculați limitare valoarea funcției la infinit. determina convergenta serie de numereși multe altele se pot face datorită serviciului nostru online -. Vă permitem să găsiți limitele funcțiilor online rapid și precis. Intri tu insuti variabila functie si limita la care aspira, serviciul nostru face toate calculele pentru tine, oferind un raspuns precis si simplu. Si pentru găsirea limitei online puteţi introduce atât serii numerice cât şi funcții analitice, care conține constante într-o expresie literală. În acest caz, limita funcției găsite va conține aceste constante ca argumente constante în expresie. Serviciul nostru rezolvă orice probleme complexe de găsire limite online, este suficient să specificați funcția și punctul în care este necesar să se calculeze limita functiei. Tehnica de calcul limite online, puteți folosi diverse metode și reguli pentru rezolvarea acestora, comparând în același timp rezultatul cu soluție limită online pe www.site, ceea ce va duce la finalizarea cu succes a sarcinii - veți evita propriile greșeli și greșeli de scriere. Sau puteți avea încredere completă în noi și folosiți rezultatul nostru în munca dvs., fără a cheltui efort și timp suplimentar pentru calcule independente ale limitei funcției. Permitem introducerea de valori limită, cum ar fi infinitul. Trebuie să introduceți un termen comun al secvenței numerice și www.site va calcula valoarea limita online la plus sau minus infinit.

Unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice este limita functieiși limită de secvență la un punct și la infinit, este important să poți rezolva corect limite. Cu serviciul nostru nu va fi dificil. Se ia o decizie limite onlineîn câteva secunde, răspunsul este corect și complet. Studiul calculului începe cu trecere la limită, limite sunt folosite în aproape toate secțiunile de matematică superioară, așa că este util să aveți un server la îndemână pentru soluții limită online care este site-ul.

Pentru cei care doresc să învețe cum să găsească limitele în acest articol vom vorbi despre asta. Nu vom aprofunda în teorie, aceasta este de obicei dată în prelegeri de către profesori. Deci „teoria plictisitoare” ar trebui conturată în caietele tale. Dacă nu, atunci puteți citi manuale luate din bibliotecă instituție educațională sau alte resurse online.

Deci, conceptul de limită este destul de important în studiul cursului de matematică superioară, mai ales când dai peste calculul integral și înțelegi relația dintre limită și integrală. În materialul actual va fi luat în considerare exemple simple, precum și modalități de a le rezolva.

Exemple de soluții

Exemplul 1

Calculați a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Soluţie

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ De multe ori ni se trimit aceste limite cerând ajutor pentru a le rezolva. Am decis să le evidențiem ca exemplu separat și să explicăm că aceste limite trebuie pur și simplu reținute, de regulă. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Noi vom oferi solutie detaliata. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util!

Răspuns

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Ce să faci cu incertitudinea formei: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Exemplul 3

Rezolvați $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

Ca întotdeauna, începem prin a înlocui valoarea lui $ x $ în expresia de sub semnul limită. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Ce urmeaza? Care ar trebui să fie rezultatul? Deoarece aceasta este o incertitudine, acesta nu este încă un răspuns și continuăm calculul. Deoarece avem un polinom în numărători, îl descompunem în factori folosind formula familiară $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Amintit? Excelent! Acum continuă și aplică-l cu melodia :) Obținem că numărătorul $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuăm să rezolvăm având în vedere transformarea de mai sus: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Să luăm limita din ultimele două exemple la infinit și să luăm în considerare incertitudinea: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Exemplul 5

Calculați $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ce să fac? Cum să fii? Nu intrați în panică, pentru că imposibilul este posibil. Este necesar să scoateți parantezele atât la numărător, cât și la numitorul X, apoi reduceți-l. După aceea, încercați să calculați limita. Incercand... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Folosind definiția din exemplul 2 și înlocuind infinitul cu x, obținem: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritm pentru calculul limitelor

Deci, să rezumăm pe scurt exemplele analizate și să facem un algoritm pentru rezolvarea limitelor:

1. Înlocuiți punctul x în expresia după semnul limită. Dacă se obține un anumit număr, sau infinit, atunci limita este complet rezolvată. În caz contrar, avem incertitudine: „zero împărțit la zero” sau „infinit împărțit la infinit” și trecem la următoarele paragrafe ale instrucțiunii.
2. Pentru a elimina incertitudinea „diviziunea zero la zero”, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Reduceți similar. Înlocuiți punctul x în expresia de sub semnul limită.
3. Dacă incertitudinea este „infinitul împărțit la infinit”, atunci scoatem atât în ​​numărător, cât și în numitorul x de cel mai mare grad. Scurtăm x-urile. Înlocuim valorile x de sub limită în expresia rămasă.

În acest articol, v-ați familiarizat cu elementele de bază ale rezolvării limitelor, adesea folosite în cursul de calcul. Desigur, acestea nu sunt toate tipurile de probleme oferite de examinatori, ci doar limitele cele mai simple. Vom vorbi despre alte tipuri de sarcini în articolele viitoare, dar mai întâi trebuie să înveți această lecție pentru a merge mai departe. Vom discuta ce să facem dacă există rădăcini, grade, vom studia funcții echivalente infinitezimale, limite minunate, regula lui L'Hopital.

Dacă nu vă puteți da seama singuri de limite, nu intrați în panică. Suntem mereu bucuroși să vă ajutăm!

Matematica este știința care construiește lumea. Atât omul de știință, cât și omul de rând - nimeni nu se poate lipsi de el. În primul rând, copiii mici sunt învățați să numere, apoi să adună, să scadă, să înmulțească și să împartă la liceu intră în joc denumiri de litere, iar în cea mai veche nu te mai poți lipsi de ele.

Dar astăzi vom vorbi despre ce se bazează toată matematica cunoscută. Despre comunitatea de numere numită „limite de secvență”.

Ce sunt secvențele și unde este limita lor?

Sensul cuvântului „secvență” nu este greu de interpretat. Aceasta este o astfel de construcție a lucrurilor, în care cineva sau ceva se află într-o anumită ordine sau coadă. De exemplu, coada pentru bilete la grădina zoologică este o secvență. Și poate fi doar unul! Dacă, de exemplu, te uiți la coada către magazin, aceasta este o secvență. Și dacă o persoană părăsește brusc această coadă, atunci aceasta este o altă coadă, o altă ordine.

Cuvântul „limită” este, de asemenea, ușor de interpretat - acesta este sfârșitul a ceva. Cu toate acestea, în matematică, limitele secvențelor sunt acele valori de pe linia numerică la care tinde o secvență de numere. De ce se străduiește și nu se termină? Este simplu, linia numerică nu are sfârșit, iar cele mai multe secvențe, ca razele, au doar un început și arată astfel:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Prin urmare, definiția unei secvențe este o funcție a argumentului natural. Mai mult în cuvinte simple este o serie de membri ai unui set.

Cum se construiește o secvență de numere?

Cel mai simplu exemplu de succesiune de numere ar putea arăta astfel: 1, 2, 3, 4, … n…

În cele mai multe cazuri, în scopuri practice, secvențele sunt construite din numere, iar fiecare membru următor al seriei, să-l notăm cu X, are propriul nume. De exemplu:

x 1 - primul membru al secvenței;

x 2 - al doilea membru al secvenței;

x 3 - al treilea membru;

x n este al n-lea membru.

LA metode practice este dată succesiunea formula generala, care conține o variabilă. De exemplu:

X n \u003d 3n, atunci seria de numere în sine va arăta astfel:

Merită să ne amintim că, în notația generală a secvențelor, puteți folosi orice litere latine și nu doar X. De exemplu: y, z, k etc.

Progresie aritmetică ca parte a secvențelor

Înainte de a căuta limitele secvențelor, este indicat să aprofundăm însuși conceptul unei astfel de serii de numere, pe care toată lumea le-a întâlnit când era în clasa de mijloc. O progresie aritmetică este o serie de numere în care diferența dintre termenii adiacenți este constantă.

Sarcină: „Fiți un 1 \u003d 15 și pasul de progresie a seriei de numere d \u003d 4. Construiți primii 4 membri ai acestui rând"

Rezolvare: a 1 = 15 (după condiție) este primul membru al progresiei (seria de numere).

iar 2 = 15+4=19 este al doilea membru al progresiei.

iar 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 este al treilea termen.

iar 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 este al patrulea termen.

Cu toate acestea, cu această metodă este dificil să se ajungă la valori mari, de exemplu, până la un 125. . În special pentru astfel de cazuri, a fost derivată o formulă convenabilă pentru practică: a n \u003d a 1 + d (n-1). LA acest cazși 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Tipuri de secvențe

Majoritatea secvențelor sunt nesfârșite, merită amintit toată viața. Există două tipuri interesante de serii de numere. Primul este dat de formula a n =(-1) n . Matematicienii se referă adesea la aceste secvențe intermitente. De ce? Să-i verificăm numerele.

1, 1, -1, 1, -1, 1 etc. Cu acest exemplu, devine clar că numerele din secvențe pot fi ușor repetate.

succesiune factorială. Este ușor de ghicit că există un factorial în formulă care definește secvența. De exemplu: și n = (n+1)!

Apoi secvența va arăta astfel:

și 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

și 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 etc.

Secvența dată progresie aritmetică, se numește infinit descrescătoare dacă inegalitatea -1

și 3 \u003d - 1/8 etc.

Există chiar și o secvență formată din același număr. Deci, și n \u003d 6 este format dintr-un număr infinit de șase.

Determinarea limitei unei secvențe

Limitele secvenței au existat de mult în matematică. Desigur, merită propriul lor design competent. Deci, este timpul să învățați definiția limitelor secvenței. Mai întâi, luați în considerare limita pentru o funcție liniară în detaliu:

1. Toate limitele sunt abreviate ca lim.
2. Intrarea limită constă din abrevierea lim, o variabilă care tinde către un anumit număr, zero sau infinit, precum și funcția în sine.

Este ușor de înțeles că definiția limitei unei secvențe poate fi formulată astfel: este un anumit număr, de care se apropie la infinit toți membrii șirului. Exemplu simplu: și x = 4x+1. Apoi secvența în sine va arăta astfel.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Astfel, această secvență va crește la infinit, ceea ce înseamnă că limita sa este egală cu infinitul ca x→∞, iar aceasta ar trebui scrisă după cum urmează:

Dacă luăm o secvență similară, dar x tinde spre 1, obținem:

Și seria de numere va fi așa: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 etc. De fiecare dată trebuie să înlocuiți numărul din ce în ce mai aproape de unul (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Din această serie se poate observa că limita funcției este cinci.

Din această parte, merită să ne amintim care este limita unei secvențe numerice, definiția și metoda de rezolvare a sarcinilor simple.

Notație generală pentru limita de secvențe

După ce am analizat limita șirului numeric, definiția și exemplele acesteia, putem trece la un subiect mai complex. Absolut toate limitele secvențelor pot fi formulate printr-o singură formulă, care este de obicei analizată în primul semestru.

Deci, ce înseamnă acest set de litere, module și semne de inegalitate?

∀ este un cuantificator universal, înlocuind expresiile „pentru toți”, „pentru tot”, etc.

∃ este un cuantificator de existență, în acest caz înseamnă că există o valoare N care aparține mulțimii numerelor naturale.

Un stick vertical lung după N înseamnă că setul dat N este „astfel încât”. În practică, poate însemna „astfel care”, „astfel care”, etc.

Pentru a consolida materialul, citiți formula cu voce tare.

Incertitudinea și certitudinea limitei

Metoda de găsire a limitei secvențelor, care a fost discutată mai sus, deși simplă de utilizat, nu este atât de rațională în practică. Încercați să găsiți limita pentru această funcție:

Dacă înlocuim diferite valori x (crescând de fiecare dată: 10, 100, 1000 etc.), atunci obținem ∞ la numărător, dar și ∞ la numitor. Se dovedește o fracție destul de ciudată:

Dar este chiar așa? Calcularea limitei succesiunii numerice în acest caz pare destul de ușoară. Ar fi posibil să lăsați totul așa cum este, pentru că răspunsul este gata și a fost primit în condiții rezonabile, dar există o altă cale specială pentru astfel de cazuri.

Mai întâi, să găsim cel mai înalt grad în numărătorul fracției - acesta este 1, deoarece x poate fi reprezentat ca x 1.

Acum să găsim cel mai înalt grad în numitor. De asemenea 1.

Împărțiți atât numărătorul cât și numitorul la variabilă la cel mai înalt grad. În acest caz, împărțim fracția la x 1.

În continuare, să aflăm la ce valoare tinde fiecare termen care conține variabila. În acest caz, sunt luate în considerare fracțiile. Ca x→∞, valoarea fiecăreia dintre fracții tinde spre zero. Când faceți o lucrare în scris, merită să faceți următoarele note de subsol:

Se obtine urmatoarea expresie:

Desigur, fracțiile care conțin x nu au devenit zero! Dar valoarea lor este atât de mică încât este destul de permis să nu o luăm în considerare în calcule. De fapt, x nu va fi niciodată egal cu 0 în acest caz, deoarece nu puteți împărți la zero.

Ce este un cartier?

Să presupunem că profesorul are la dispoziție o succesiune complexă, dată, evident, de o formulă nu mai puțin complexă. Profesorul a găsit răspunsul, dar se potrivește? La urma urmei, toți oamenii fac greșeli.

Auguste Cauchy a venit cu o modalitate grozavă de a demonstra limitele secvențelor. Metoda lui se numea operațiune de cartier.

Să presupunem că există un punct a, vecinătatea lui în ambele direcții pe linia reală este egală cu ε ("epsilon"). Deoarece ultima variabilă este distanța, valoarea ei este întotdeauna pozitivă.

Acum să stabilim o secvență x n și să presupunem că al zecelea membru al secvenței (x 10) este inclus în vecinătatea lui a. Cum se scrie acest fapt în limbaj matematic?

Să presupunem că x 10 este la dreapta punctului a, apoi distanța x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Acum este timpul să explicăm în practică formula menționată mai sus. Este corect să numim un anumit număr punctul final al unei secvențe dacă inegalitatea ε>0 este valabilă pentru oricare dintre limitele sale și întreaga vecinătate are propriul său număr natural N, astfel încât toți membrii șirului cu numere mai mari vor fi în interiorul șirului |x n - a|< ε.

Cu astfel de cunoștințe, este ușor să rezolvi limitele unei secvențe, să dovedești sau să infirmi un răspuns gata.

Teoreme

Teoremele privind limitele secvențelor sunt o componentă importantă a teoriei, fără de care practica este imposibilă. Există doar patru teoreme principale, amintindu-ne pe care, le puteți facilita în mod semnificativ procesul de rezolvare sau demonstrare:

1. Unicitatea limitei unei secvențe. Orice secvență poate avea o singură limită sau deloc. Același exemplu cu o coadă care poate avea doar un capăt.
2. Dacă o serie de numere are o limită, atunci succesiunea acestor numere este limitată.
3. Limita sumei (diferența, produsul) secvențelor este egală cu suma (diferența, produsul) limitelor acestora.
4. Limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor dacă și numai dacă numitorul nu dispare.

Dovada secvenței

Uneori se cere rezolvarea unei probleme inverse, demonstrarea unei limite date a unei secvente numerice. Să ne uităm la un exemplu.

Demonstrați că limita șirului dată de formulă este egală cu zero.

Conform regulii de mai sus, pentru orice succesiune inegalitatea |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Să exprimăm n în termeni de „epsilon” pentru a arăta existența unui anumit număr și a demonstra existența unei limite de succesiune.

În această etapă, este important să ne amintim că „epsilon” și „en” sunt numere pozitive și nu sunt egale cu zero. Acum puteți continua transformările ulterioare folosind cunoștințele despre inegalități dobândite în liceu.

De unde rezultă că n > -3 + 1/ε. Deoarece merită să ne amintim că vorbim despre numere naturale, rezultatul poate fi rotunjit punându-l între paranteze drepte. Astfel, s-a demonstrat că pentru orice valoare a vecinătății „epsilon” a punctului a = 0 s-a găsit o valoare astfel încât inegalitatea inițială să fie satisfăcută. Din aceasta putem afirma cu siguranță că numărul a este limita secvenței date. Q.E.D.

Cu o metodă atât de convenabilă, puteți demonstra limita unei secvențe numerice, oricât de complicată ar părea la prima vedere. Principalul lucru este să nu intrați în panică la vederea sarcinii.

Sau poate nu exista?

Existența unei limite de secvență nu este necesară în practică. Este ușor să găsești astfel de serii de numere care într-adevăr nu au sfârșit. De exemplu, același intermitent x n = (-1) n . este evident că o succesiune formată din doar două cifre care se repetă ciclic nu poate avea o limită.

Aceeași poveste se repetă cu secvențe formate dintr-un singur număr, fracțional, având în cursul calculelor o incertitudine de orice ordin (0/0, ∞/∞, ∞/0 etc.). Cu toate acestea, trebuie amintit că are loc și un calcul incorect. Uneori, reverificarea propriei soluții vă va ajuta să găsiți limita succesiunilor.

secvență monotonă

Mai sus, am luat în considerare câteva exemple de secvențe, metode de rezolvare a acestora, iar acum să încercăm să luăm un caz mai specific și să-l numim „secvență monotonă”.

Definiție: este corect să numim orice succesiune monoton crescătoare dacă satisface inegalitatea strictă x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Alături de aceste două condiții, există și inegalități similare nestrictive. În consecință, x n ≤ x n +1 (secvență nedescrescătoare) și x n ≥ x n +1 (secvență necrescătoare).

Dar este mai ușor de înțeles acest lucru cu exemple.

Secvența dată de formula x n \u003d 2 + n formează următoarea serie de numere: 4, 5, 6 etc. Aceasta este o succesiune crescătoare monoton.

Și dacă luăm x n \u003d 1 / n, atunci obținem o serie: 1/3, ¼, 1/5 etc. Aceasta este o succesiune monotonă descrescătoare.

Limita secvenței convergente și mărginite

O secvență mărginită este o secvență care are o limită. O secvență convergentă este o serie de numere care are o limită infinitezimală.

Astfel, limita unei secvențe mărginite este orice număr real sau complex. Amintiți-vă că poate exista o singură limită.

Limita unei secvențe convergente este o mărime infinitezimală (reala sau complexă). Dacă desenați o diagramă de secvență, atunci, la un anumit punct, aceasta va converge, tinde să se transforme într-o anumită valoare. De aici și numele - succesiune convergentă.

Limită de secvență monotonă

O astfel de secvență poate avea sau nu o limită. În primul rând, este util să înțelegeți când este, de aici puteți începe când dovediți absența unei limite.

Dintre secvențele monotone se disting convergente și divergente. Convergent - aceasta este o secvență care este formată din mulțimea x și are o limită reală sau complexă în această mulțime. Divergent - o secvență care nu are limită în mulțimea sa (nici reală, nici complexă).

Mai mult, secvența converge dacă limitele sale superioare și inferioare converg într-o reprezentare geometrică.

Limita unei secvențe convergente poate fi în multe cazuri egală cu zero, deoarece orice succesiune infinitezimală are o limită cunoscută (zero).

Indiferent de secvența convergentă pe care o luați, toate sunt mărginite, dar departe de a converge toate secvențele mărginite.

Suma, diferența, produsul a două secvențe convergente este, de asemenea, o secvență convergentă. Totuși, coeficientul poate converge și dacă este definit!

Diverse acțiuni cu limite

Limitele secvențelor au aceeași valoare semnificativă (în majoritatea cazurilor) ca și numerele și numerele: 1, 2, 15, 24, 362, etc. Se dovedește că unele operații pot fi efectuate cu limite.

În primul rând, la fel ca cifrele și numerele, limitele oricărei secvențe pot fi adăugate și scăzute. Pe baza celei de-a treia teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita sumei șirurilor este egală cu suma limitelor lor.

În al doilea rând, pe baza celei de-a patra teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita produsului celui de-al n-lea număr de secvențe este egală cu produsul limitelor acestora. Același lucru este valabil și pentru împărțire: limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor lor, cu condiția ca limita să nu fie egală cu zero. La urma urmei, dacă limita secvențelor este egală cu zero, atunci se va dovedi împărțirea cu zero, ceea ce este imposibil.

Proprietățile valorii secvenței

S-ar părea că limita succesiunii numerice a fost deja analizată în detaliu, dar expresii precum numere „infinit de mici” și „infinit de mari” sunt menționate de mai multe ori. Evident, dacă există o secvență 1/x, unde x→∞, atunci o astfel de fracție este infinit de mică, iar dacă aceeași secvență, dar limita tinde spre zero (x→0), atunci fracția devine o valoare infinit de mare . Și astfel de valori au propriile lor caracteristici. Proprietățile limitei unei secvențe având valori arbitrare mici sau mari sunt următoarele:

1. Suma oricărui număr de cantități arbitrar mici va fi, de asemenea, o cantitate mică.
2. Suma oricărui număr de valori mari va fi o valoare infinit de mare.
3. Produsul unor cantități arbitrar mici este infinit de mic.
4. Produsul unor numere arbitrar mari este o cantitate infinit de mare.
5. Dacă secvența originală tinde către un număr infinit, atunci reciproca acesteia va fi infinitezimală și tinde spre zero.

De fapt, calcularea limitei unei secvențe nu este o sarcină atât de dificilă dacă cunoașteți un algoritm simplu. Dar limitele secvențelor sunt un subiect care necesită atenție și perseverență maximă. Desigur, este suficient să înțelegem pur și simplu esența soluției unor astfel de expresii. Începând de la mic, cu timpul, poți ajunge la înălțimi mari.