Funcțiile unei variabile complexe.
Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Acest articol deschide o serie de lecții în care voi lua în considerare probleme tipice legate de teoria funcțiilor unei variabile complexe. Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre numere complexe. Pentru a consolida și repeta materialul, este suficient să vizitați pagina. Veți avea nevoie și de abilități de găsit derivate parțiale de ordinul doi. Iată-le, aceste derivate parțiale... chiar și acum am fost puțin surprins cât de des apar...

Tema pe care începem să o analizăm nu este deosebit de dificilă, iar în funcțiile unei variabile complexe, în principiu, totul este clar și accesibil. Principalul lucru este să adere la regula de bază, care este derivată de mine empiric. Citește mai departe!

Conceptul de funcție a unei variabile complexe

Mai întâi, să ne reîmprospătăm cunoștințele despre funcția școlară a unei variabile:

Funcția unei variabile este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente (din domeniul definiției) îi corespunde una și o singură valoare a funcției . Desigur, „x” și „y” sunt numere reale.

În cazul complex, dependența funcțională este dată în mod similar:

Funcția cu o singură valoare a unei variabile complexe este regula ca toata lumea cuprinzător valoarea variabilei independente (din domeniu) corespunde uneia si numai una cuprinzător valoarea functiei. În teorie, sunt luate în considerare și funcții multivalorice și alte tipuri de funcții, dar pentru simplitate, mă voi concentra pe o singură definiție.

Care este funcția unei variabile complexe?

Principala diferență este că numerele sunt complexe. Nu sunt ironic. Din astfel de întrebări cad adesea într-o stupoare, la sfârșitul articolului voi spune o poveste mișto. La lecție Numere complexe pentru manechini am considerat un număr complex sub forma . De acum litera „Z” a devenit variabil, atunci o vom nota astfel: , în timp ce „x” și „y” pot lua diferite valabil valorile. În linii mari, funcția unei variabile complexe depinde de variabilele și , care iau valori „obișnuite”. Următorul punct decurge logic din acest fapt:

Funcția unei variabile complexe poate fi scrisă astfel:
, unde și sunt două funcții ale lui doi valabil variabile.

Funcția este numită parte reală funcții .
Funcția este numită parte imaginară funcții .

Adică, funcția unei variabile complexe depinde de două funcții reale și . Pentru a clarifica în sfârșit totul, să ne uităm la exemple practice:

Exemplul 1

Soluţie: Variabila independentă „z”, după cum vă amintiți, este scrisă ca , prin urmare:

(1) Înlocuit în funcția originală.

(2) Pentru primul termen s-a folosit formula de multiplicare redusă. În termen, parantezele au fost deschise.

(3) Pătrat cu grijă, fără a uita că

(4) Rearanjarea termenilor: prima rescrie a termenilor , în care nu există o unitate imaginară(primul grup), apoi termenii, unde există (al doilea grup). De remarcat că nu este necesară amestecarea termenilor, iar acest pas poate fi sărit (de fapt, executându-l pe cale orală).

(5) Al doilea grup este scos din paranteze.

Ca urmare, funcția noastră s-a dovedit a fi reprezentată în formă

Răspuns:
este partea reală a funcției.
este partea imaginară a funcției.

Care sunt aceste funcții? Cele mai obișnuite funcții a două variabile, din care se pot găsi atât de populare derivate parțiale. Fără milă - vom găsi. Dar puțin mai târziu.

Pe scurt, algoritmul problemei rezolvate poate fi scris astfel: înlocuim în funcția originală, efectuăm simplificări și împărțim toți termenii în două grupuri - fără o unitate imaginară (partea reală) și cu o unitate imaginară (partea imaginară).

Exemplul 2

Găsiți partea reală și imaginară a unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Înainte de a te arunca în luptă în avionul complex cu piesele goale, permiteți-mi să vă dau cel mai important sfat pe această temă:

ATENȚIE! Trebuie să fii atent, desigur, peste tot, dar în numere complexe ar trebui să fii atent mai mult ca oricând! Amintiți-vă că, extindeți cu atenție parantezele, nu pierdeți nimic. Conform observațiilor mele, cea mai frecventă greșeală este pierderea semnului. Nu te grabi!

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Acum cub. Folosind formula de înmulțire prescurtată, obținem:
.

Formulele sunt foarte convenabile de utilizat în practică, deoarece accelerează foarte mult procesul de soluție.

Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Am două vești: bune și rele. Voi începe cu unul bun. Pentru o funcție a unei variabile complexe sunt valabile regulile de diferențiere și tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Astfel, derivata este luată exact în același mod ca și în cazul unei funcții a unei variabile reale.

Vestea proastă este că pentru multe funcții ale unei variabile complexe, nu există nicio derivată și trebuie să vă dați seama este diferențiabilă o funcție sau alta. Și „a-ți da seama” cum se simte inima ta este asociată cu probleme suplimentare.

Considerăm o funcție a unei variabile complexe. Pentru ca această funcție să fie diferențiabilă, este necesar și suficient ca:

1) Pentru a exista derivate parțiale de ordinul întâi. Uitați imediat de aceste notații, deoarece în teoria funcției unei variabile complexe, se folosește în mod tradițional o altă versiune a notației: .

2) Pentru a efectua așa-numitul Condiții Cauchy-Riemann:

Numai în acest caz derivatul va exista!

Exemplul 3

Soluţie descompuse în trei etape succesive:

1) Găsiți părțile reale și imaginare ale funcției. Această sarcină a fost analizată în exemplele anterioare, așa că o voi scrie fără comentarii:

De atunci:

În acest fel:

este partea imaginară a funcției.

Mă voi opri asupra unui alt punct tehnic: în ce ordine scrieți termeni în părți reale și imaginare? Da, practic nu contează. De exemplu, partea reală poate fi scrisă astfel: , și imaginar - așa: .

2) Să verificăm îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann. Sunt doi dintre ei.

Să începem prin a verifica starea. Găsim derivate parțiale:

Astfel, condiția este îndeplinită.

Fără îndoială, vestea bună este că derivatele parțiale sunt aproape întotdeauna foarte simple.

Verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții:

A ieșit același lucru, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare, funcția este diferențiabilă.

3) Aflați derivata funcției. Derivatul este, de asemenea, foarte simplu și se găsește conform regulilor obișnuite:

Unitatea imaginară în diferențiere este considerată o constantă.

Răspuns: - parte reală este partea imaginară.
Sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, .

Mai există două moduri de a găsi derivatul, ele sunt bineînțeles folosite mai rar, dar informațiile vor fi utile pentru înțelegerea celei de-a doua lecție - Cum se află funcția unei variabile complexe?

Derivatul poate fi găsit folosind formula:

În acest caz:

În acest fel

Este necesar să rezolvați problema inversă - în expresia rezultată, trebuie să izolați . Pentru a face acest lucru, este necesar în termeni și pentru a scoate din paranteze:

Acțiunea inversă, după cum mulți au observat, este ceva mai dificil de efectuat; pentru verificare, este întotdeauna mai bine să luați expresia și pe ciornă sau să deschideți verbal parantezele înapoi, asigurându-vă că iese exact.

Formula oglindă pentru găsirea derivatei:

În acest caz: , de aceea:

Exemplul 4

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, găsiți derivata funcției.

O scurtă soluție și o probă aproximativă de finisare la sfârșitul lecției.

Sunt întotdeauna îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann? Teoretic, de cele mai multe ori nu sunt îndeplinite decât sunt. Dar în exemple practice, nu-mi amintesc un caz în care nu au fost executate =) Astfel, dacă derivatele tale parțiale „nu au convergit”, atunci cu o probabilitate foarte mare putem spune că ai greșit undeva.

Să ne complicăm funcțiile:

Exemplul 5

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. calculati

Soluţie: Algoritmul de soluție este complet păstrat, dar la sfârșit se adaugă un nou mod: găsirea derivatei într-un punct. Pentru cub, formula necesară a fost deja derivată:

Să definim părțile reale și imaginare ale acestei funcții:

Atentie si iar atentie!

De atunci:

În acest fel:
este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Verificarea celei de-a doua condiții:

A ieșit același lucru, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare, funcția este diferențiabilă:

Calculați valoarea derivatei în punctul necesar:

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann,

Funcțiile cu cuburi sunt comune, deci un exemplu de consolidat:

Exemplul 6

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Calculati .

Decizie și eșantion de finisare la sfârșitul lecției.

În teoria analizei complexe sunt definite și alte funcții ale unui argument complex: exponențial, sinus, cosinus etc. Aceste funcții au proprietăți neobișnuite și chiar bizare - și este cu adevărat interesant! Chiar vreau să vă spun, dar aici, tocmai s-a întâmplat, nu o carte de referință sau un manual, ci o soluție, așa că voi lua în considerare aceeași sarcină cu câteva funcții comune.

În primul rând despre așa-numitul Formule Euler:

Pentru oricine valabil numere, sunt valabile următoarele formule:

De asemenea, îl puteți copia în caiet ca referință.

Strict vorbind, există o singură formulă, dar de obicei, pentru comoditate, ei scriu și un caz special cu un minus în indicator. Parametrul nu trebuie să fie o singură literă, poate fi o expresie complexă, o funcție, important este doar să ia numai valabil valorile. De fapt, o vom vedea chiar acum:

Exemplul 7

Găsiți derivată.

Soluţie: Linia generală a partidului rămâne de neclintit - este necesar să se evidențieze părțile reale și imaginare ale funcției. Voi oferi o soluție detaliată și voi comenta fiecare pas de mai jos:

De atunci:

(1) Înlocuiește „z”.

(2) După înlocuire, este necesară separarea părților reale și imaginare primul ca exponent expozanti. Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele.

(3) Grupăm partea imaginară a indicatorului, scoțând unitatea imaginară dintre paranteze.

(4) Folosiți acțiunea școlară cu puteri.

(5) Pentru multiplicator, folosim formula Euler , în timp ce .

(6) Deschidem parantezele, ca rezultat:

este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Alte acțiuni sunt standard, să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Exemplul 9

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Așa să fie, nu vom găsi derivata.

Soluţie: Algoritmul de soluție este foarte asemănător cu cele două exemple anterioare, dar există puncte foarte importante, așa că voi comenta din nou etapa inițială pas cu pas:

De atunci:

1) Înlocuim în loc de „z”.

(2) În primul rând, selectați părțile reale și imaginare în interiorul sinusului. În acest scop, deschideți parantezele.

(3) Folosim formula , în timp ce .

(4) Utilizare paritatea cosinusului hiperbolic: și ciudăţenie hiperbolice: . Hiperbolice, deși nu din această lume, dar în multe privințe seamănă cu funcții trigonometrice similare.

În cele din urmă:
este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Atenţie! Semnul minus se referă la partea imaginară și în niciun caz nu trebuie să o pierdem! Pentru o ilustrare vizuală, rezultatul obținut mai sus poate fi rescris după cum urmează:

Să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite.

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann.

Cu cosinus, doamnelor și domnilor, înțelegem singuri:

Exemplul 10

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Am luat în mod deliberat exemple mai complicate, pentru că toată lumea se poate descurca cu ceva de genul alunelor decojite. În același timp, antrenează-ți atenția! Spărgătorul de nuci la sfârșitul lecției.

Ei bine, în concluzie, voi lua în considerare un alt exemplu interesant când argumentul complex este la numitor. Ne-am întâlnit de câteva ori în practică, să analizăm ceva simplu. Oh, îmbătrânesc...

Exemplul 11

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Soluţie: Din nou, este necesar să se separe părțile reale și imaginare ale funcției.
Daca atunci

Apare întrebarea, ce să faci când „Z” este la numitor?

Totul este simplu - standardul va ajuta metodă de înmulțire a numărătorului și numitorului cu expresia conjugată, a fost deja folosit în exemplele lecției Numere complexe pentru manechini. Să ne amintim formula școlii. La numitor avem deja , deci expresia conjugată va fi . Astfel, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu:

Conceptul de funcție a unei variabile complexe

Mai întâi, să ne reîmprospătăm cunoștințele despre funcția școlară a unei variabile:

O funcție a unei variabile este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente (din domeniul definiției) îi corespunde una și o singură valoare a funcției. Desigur, „x” și „y” sunt numere reale.

În cazul complex, dependența funcțională este dată în mod similar:

O funcție lipsită de ambiguitate a unei variabile complexe este o regulă conform căreia fiecărei valori complexe a variabilei independente (din domeniul definiției) îi corespunde una și doar una singură valoare complexă a funcției. În teorie, sunt luate în considerare și funcții multivalorice și alte tipuri de funcții, dar pentru simplitate, mă voi concentra pe o singură definiție.

Care este funcția unei variabile complexe?

Principala diferență este că numerele sunt complexe. Nu sunt ironic. Din astfel de întrebări cad adesea într-o stupoare, la sfârșitul articolului voi spune o poveste mișto. La lecție Numere complexe pentru manechini am considerat un număr complex sub forma . Deoarece acum litera „z” a devenit o variabilă, o vom nota astfel: , în timp ce „x” și „y” pot lua diferite valori reale. În linii mari, funcția unei variabile complexe depinde de variabilele și , care iau valori „obișnuite”. Următorul punct decurge logic din acest fapt:

Parte reală și imaginară a unei funcții a unei variabile complexe

Funcția unei variabile complexe poate fi scrisă astfel:
, unde și sunt două funcții a două variabile reale.

Funcția se numește partea reală a funcției.
Funcția se numește partea imaginară a funcției.

Adică, funcția unei variabile complexe depinde de două funcții reale și . Pentru a clarifica în sfârșit totul, să ne uităm la exemple practice:

Soluție: Variabila independentă „z”, după cum vă amintiți, este scrisă ca , prin urmare:

(1) Înlocuit în funcția originală.

(2) Pentru primul termen s-a folosit formula de multiplicare redusă. În termen, parantezele au fost deschise.

(3) Pătrat cu grijă, fără a uita că

(4) Rearanjarea termenilor: mai întâi, rescriem termenii unde nu există o unitate imaginară (primul grup), apoi termenii unde există (al doilea grup). De remarcat că nu este necesară amestecarea termenilor, iar acest pas poate fi sărit (de fapt, executându-l pe cale orală).

(5) Al doilea grup este scos din paranteze.

Ca urmare, funcția noastră s-a dovedit a fi reprezentată în formă

Răspuns:
este partea reală a funcției.
este partea imaginară a funcției.

Care sunt aceste funcții? Cele mai obișnuite funcții a două variabile, din care se pot găsi atât de populare derivate parțiale. Fără milă - vom găsi. Dar puțin mai târziu.

Găsiți partea reală și imaginară a unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Înainte de a te arunca în luptă în avionul complex cu piesele goale, permiteți-mi să vă dau cel mai important sfat pe această temă:

ATENȚIE! Trebuie să fii atent, desigur, peste tot, dar în numere complexe ar trebui să fii atent mai mult ca oricând! Amintiți-vă că, extindeți cu atenție parantezele, nu pierdeți nimic. Conform observațiilor mele, cea mai frecventă greșeală este pierderea semnului. Nu te grabi!

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Acum cub. Folosind formula de înmulțire prescurtată, obținem:
.

Formulele sunt foarte convenabile de utilizat în practică, deoarece accelerează foarte mult procesul de soluție.

Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.
Condiții Cauchy-Riemann

Vestea proastă este că pentru multe funcții ale unei variabile complexe, nu există deloc o derivată și trebuie să aflăm dacă una sau alta funcție este diferențiabilă. Și „a-ți da seama” cum se simte inima ta este asociată cu probleme suplimentare.

Considerăm o funcție a unei variabile complexe. Pentru ca această funcție să fie diferențiabilă, este necesar și suficient ca:

1) Pentru a exista derivate parțiale de ordinul întâi. Uitați imediat de aceste notații, deoarece în teoria funcției unei variabile complexe se folosește în mod tradițional o altă versiune a notației: .

2) Pentru a îndeplini așa-numitele condiții Cauchy-Riemann:

Numai în acest caz derivatul va exista!

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, găsiți derivata funcției.

Soluția este descompusă în trei etape succesive:

1) Găsiți părțile reale și imaginare ale funcției. Această sarcină a fost analizată în exemplele anterioare, așa că o voi scrie fără comentarii:

De atunci:

În acest fel:
este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Mă voi opri asupra unui alt punct tehnic: în ce ordine ar trebui să se scrie termenii în părțile reale și imaginare? Da, practic nu contează. De exemplu, partea reală poate fi scrisă astfel: , iar partea imaginară astfel: .

3) Să verificăm îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann. Sunt doi dintre ei.

Să începem prin a verifica starea. Găsim derivate parțiale:

Astfel, condiția este îndeplinită.

Fără îndoială, vestea bună este că derivatele parțiale sunt aproape întotdeauna foarte simple.

Verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții:

A ieșit același lucru, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare, funcția este diferențiabilă.

3) Aflați derivata funcției. Derivatul este, de asemenea, foarte simplu și se găsește conform regulilor obișnuite:

Unitatea imaginară în diferențiere este considerată o constantă.

Răspuns: - parte reală este partea imaginară.
Sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, .

integrală FKP. teorema lui Cauchy.

Formulă ( 52 ) se numește formula integrală Cauchy sau integrala Cauchy. Dacă ca un contur în ( 52 ) alegeți un cerc, apoi, înlocuind și ținând cont de faptul că - diferența lungimii arcului, integrala Cauchy poate fi reprezentată ca o formulă de valoare medie:

Pe lângă valoarea independentă a formulei integrale Cauchy, ( 52 ), (54 ) oferă de fapt o modalitate foarte convenabilă de a calcula integralele de contur, care, după cum se vede, vor fi exprimate în termeni de valoare a „rămășii” integrandului în punctul în care această funcție are o singularitate .

Exemplul 3-9. Calculați integrala unei funcții de-a lungul conturului (fig.20).

Soluţie. Punctul în care funcția are o singularitate, spre deosebire de exemplul 4-1, se află în interiorul cercului. Reprezentăm integrala sub forma ( 52 ):

Formula Cauchy.

Fie un domeniu pe plan complex cu o limită netedă pe bucăți, o funcție holomorfă în și un punct în interiorul domeniului. Atunci următoarea formulă Cauchy este valabilă:

Formula este valabilă și dacă presupunem că este holomorfă în interior și continuă pe închidere și, de asemenea, dacă granița nu este netedă pe bucăți, ci doar rectificabilă (funcția holomorfă este o funcție a unui număr complex, netedă pe bucăți este o funcție a un număr real)

FCF elementar: funcția Taylor, funcții trigonometrice, funcții hiperbolice, funcții trigonometrice inverse, funcții logaritmice, formula lui Cauchy.

1. Derivată și diferențială. Definițiile derivatei și diferențialei unei funcții a unei variabile complexe coincid literal cu definițiile corespunzătoare pentru funcțiile unei variabile reale.

Lasă funcția w = f(z) = și + iv definite într-un cartier U puncte zo. Oferim variabila independentă z = x + gu increment A z= A.g + gau, nu duce în afara cartierului U. Apoi funcția w = f(z) va primi sporul corespunzător Aw = f(z 0 + Dg) - f(z0).

Derivata functiei w = f(z) in punctul zq se numește limita raportului de creștere al funcției Aw la creșterea argumentului A zîn timp ce se străduieşte Az la zero (arbitrar).

Se notează derivata f"(z Q), w sau u-. Definiția unei derivate poate fi scrisă ca

Limita din (6.1) poate să nu existe; atunci se spune că funcția este w = f(z) nu are derivată în punctul zq.

Funcţie w = f(z) numit diferentiabil in jurul punctului Zq, dacă este definit într-un cartier oarecare U puncte zq și creșterea acestuia Aw poate fi reprezentat ca

unde este un număr complex L nu depinde de A r, iar funcția a(A r) este infinitezimală la Az-» 0, adică Pm a(Ag) = 0.

La fel ca și pentru funcțiile unei variabile reale, se demonstrează că funcția f(z) diferentiabil la un punct zq dacă și numai dacă are o derivată în zo. și A \u003d f "(zo). Expresie f"(zo)Az numit diferenţială a funcţiei f(z) în punctul Zqși notat dw sau df(zo).În același timp, creșterea Az variabila independentă -r se mai numește și diferența variabilei r și

notat dz.În acest fel,

Diferenţialul este partea liniară principală a incrementului funcţiei.

Exemplul 6.1. Investigați dacă o funcție are w= /(r) = R ez derivată într-un punct arbitrar Zq.

Soluţie. După condiție, w = Rea = X.În virtutea definiției derivatei, limita (C.1) nu ar trebui să depindă de calea

punct z = Zq + Az apropiindu-se al la un z-? 0. Mai întâi luați A z - Ah(Fig. 15, a). pentru că Aw = Ah. atunci = 1. Dacă

aceeași ia A z = ai(Fig. 15, b), apoi Oh= 0 și, prin urmare, Aw = 0.

Prin urmare, u = 0. Prin urmare, trădăm relații la Az-> 0 nu A z A z

există și deci funcția w= Re r = X nu are nici un punct derivat.

În același timp, funcția w=z = X + eu, evident are o derivată în orice punct al lui th, și / "(th) = 1. Din aceasta rezultă clar că părțile reale și imaginare ale funcției diferențiabile f(r) nu pot fi arbitrare; ele trebuie legate prin unele relaţii suplimentare. Aceste relații decurg din faptul că condiția pentru existența unei derivate /"(o) este în esență mai restrictivă decât condiția pentru existența unei derivate a funcțiilor unei variabile reale sau a derivatelor parțiale a funcțiilor mai multor variabile reale: este necesar ca limita din (6.1) să existe și să nu depindă de calea, prin care punctul r = r0 + Ar se apropie de r ca Ar 0. Pentru a deriva aceste relații, reamintim definiția diferențiabilității unei funcții de doi. variabile.

Funcția reală u = u(x, y) variabile reale Xși la se numeste diferentiabil intr-un punct Ro (ho, wo) dacă este definit într-o vecinătate a punctului D> și a incrementului său total A și = lor o + Oh, oh+ A y) - și (ho, woo) reprezintă sub formă

Unde LAși DIN- numere reale independente de J , Ay, A {3 Ohși Ay, tinzând spre zero la Oh -» 0, Ay-> 0.

Dacă funcţia și este diferențiabilă în punctul Po, atunci are o par-

G," di(P 0) ^ di(Ro) gt ,

derivate în Po și LA= ---, C = ---. Dar (excelent

oh ai

din funcţiile unei variabile) din existenţa derivatelor parţiale ale unei funcţii i(x, y) diferențiabilitatea sa nu urmează încă.

2. Condiții Cauchy-Riemann.

Teorema 6.1. Fie funcția w = f(z) variabilei complexe z= (w, y) este definită în vecinătatea unui punct, zq= (jo, y o) și f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Pentru ca f(z) să fie diferențiabilă în punctul Zq, este necesar și suficient ca funcțiile u(x, y) XI v(x, y) să fie diferențiabile în punctul(jo, yo) și că în acest moment condițiile

Se numesc egalităţi (6.4). Condiții Cauchy-Riemann .

Dovada. Nevoie. Lasă funcția w = f(z) este diferențiabilă în punctul zq, adică

Denota f "(zo) \u003d a + ib a(Dg) = fi (Topor, Ay)+ r7(J, Ay); Az = Ah + (Ay, Unde /3 iar 7 sunt funcții reale ale variabilelor Ah, da tinzând spre zero ca J -> 0, Da -> 0. Înlocuind aceste egalități în (6.5) și separând părțile reale și imaginare, obținem:

Deoarece egalitatea numerelor complexe este echivalentă cu egalitatea părților lor reale și imaginare, atunci (6.6) este echivalentă cu sistemul de egalități

Egalitățile (6.7) înseamnă că funcțiile u(x, y), v(x,y) satisfac condiția (6.3) și, prin urmare, sunt diferențiabile. Deoarece coeficienții la J și Ay sunt egale cu derivatele parțiale în raport cu w și la respectiv, atunci din (6.7) se obține

de unde urmează condițiile (6.4).

Adecvarea. Să presupunem acum că funcțiile u(x, y)și v(x,y) diferentiabil la un punct (ho.woo)și i(x, y) iar condițiile (6.4) sunt îndeplinite.

Notând a = ^, 6 = -^ și aplicând (6.4), ajungem la egalități (6.8). Din (6.8) și condițiile de diferențiere a funcțiilor u(x, y), v(x, y) avem

unde ft, 7i, ft, d-2 - funcţiile care tind spre zero ca Ah -> 0, Da ->-> 0. De aici

Un + iAv= (o + ib) (Ax + i.Da)+ (ft + ift)Ax + (71 + *72) Ay.(6.9) Să definim funcția a(Aj) prin egalitate

si pune DAR = A 4- ib. Apoi (6.9) este rescris ca egalitate

care coincide cu (6.2). Ziua dovezii de diferențiere

funcții f(z) rămâne de arătat că lim a(Az) = 0. Din egalitate

urmează că Oh^ |Dg|, Ay^ |Dg|. De aceea

În cazul în care un Az-? 0, atunci Oh-? 0, Ay-> 0 și, prin urmare, funcțiile ft, ft, 71, 72 tind spre zero. Prin urmare a(Aj) -> 0 pentru Az-> 0, iar demonstrația teoremei 6.1 este completă.

Exemplul 6.2. Verificați dacă o funcție este w = z 2 diferentiabile; daca da, in ce puncte?

Soluţie, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2ixy, Unde și \u003d \u003d x 2 - y 2, V \u003d 2xy. Prin urmare,

Astfel, condițiile Cauchy-Riemann (6.4) sunt îndeplinite în fiecare punct; înseamnă funcția w = g 2 va fi diferențiabil în C.

Exemplul 6.3. Investigați diferențiabilitatea unei funcții w = - z - x - iy.

Soluţie. w = u + iv = x - iy, Unde u = x, v = -yși

Astfel, condițiile Cauchy-Riemann nu sunt îndeplinite în niciun moment și, în consecință, funcția w=z nicaieri diferentiabile.

Puteți verifica diferențiabilitatea unei funcții și puteți găsi derivate direct folosind formula (6.1).

EXEMPLU 6.4. Folosind formula (6.1), investigați diferențiabilitatea funcției IV = z2.

Soluţie. A w- (zq + A z) 2- Zq = 2 zqAz -I- (A z) 2, Unde

Prin urmare, funcția w = zr este diferentiabila in orice punct de 2o, iar derivata sa f"(zo) =2 zo-

Deoarece principalele teoreme despre limite sunt păstrate pentru o funcție a unei variabile complexe, iar definiția derivatei unei funcții a unei variabile complexe, de asemenea, nu diferă de definiția corespunzătoare pentru funcțiile unei variabile reale, atunci regulile binecunoscute pentru diferențierea sumei, diferența, produsul, coeficientul și funcția complexă rămân valabile pentru funcțiile unei variabile complexe. În mod similar, se demonstrează și că dacă funcția f(z) diferentiabil la un punct zo. atunci este continuă în acest punct; inversul nu este adevărat.

3. Funcții analitice. Funcţie w= /(^ ns diferentiabil numai la punctul zq, dar și în vreo vecinătate a acestui punct, se numește analitic la punctul zq.În cazul în care un f(z) este analitic în fiecare punct al regiunii D, atunci se numeste analitic (regulat, holomorf) în domeniul D.

Din proprietăţile derivatelor rezultă imediat că dacă f(z)și g(z)- functii analitice in domeniu D, apoi functiile f(z) + g(z), f(z) - g(z), f(z) g(z) sunt, de asemenea, analitice în domeniu D,și privat f(z)/g(z) funcția analitică în toate punctele regiunii D. in care g(z) f 0. De exemplu, funcția

este analitică în planul C cu punctele aruncate z== 1 și z-i.

Din teorema privind derivata unei funcţii complexe rezultă următoarea afirmaţie: dacă funcţia și = u(z) este analitică în domeniu Dși afișaje D spre regiune D" variabilă și, și funcția w = f(u) analitice în domeniu D", apoi funcția complexă w = f(u(z)) variabil z analitic în D.

Să introducem conceptul de funcție care este analitică într-un domeniu închis D. Diferența față de zona deschisă de aici este că se adaugă puncte de limită care nu au un cartier care îi aparține D; prin urmare, derivata în aceste puncte nu este definită. Funcţie f(z) numit analitic (regulat, holomorf) într-o regiune închisă D dacă această funcție poate fi extinsă la o zonă mai largă D i continand D, la analitic D funcții.

Condițiile (6,4) au fost studiate încă din secolul al XVIII-lea. D'Alembert și Euler. Prin urmare, ele sunt uneori numite și condițiile d'Alembert-Euler, ceea ce este mai corect din punct de vedere istoric.

Teorema

Pentru functia w = f(z) , definit într-o anumită zonă D plan complex, era diferențiabilă într-un punct z 0 = X 0 + iy 0 în funcţie de o variabilă complexă z, este necesar și suficient ca părțile sale reale și imaginare uși v au fost diferențiabile la punctul ( X 0 ,y 0) ca funcţii ale variabilelor reale Xși yși că, în plus, condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite în acest punct:

; ;

Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, atunci derivata f"(z) este reprezentabil în oricare dintre următoarele forme:

Dovada

Consecințe

Poveste

Aceste condiții au apărut pentru prima dată în lucrarea lui d "Alembert (1752). În lucrarea lui Euler, raportată la Academia de Științe din Sankt Petersburg în 1777, condițiile au primit pentru prima dată caracterul unui criteriu general pentru analiticitatea funcții.Cauchy a folosit aceste relații pentru a construi o teorie a funcțiilor, începând cu un memoriu, prezentat Academiei de Științe din Paris în 1814. Celebra disertație a lui Riemann despre fundamentele teoriei funcțiilor datează din 1851.

Literatură

Shabat B.V. Introducere în analiza complexă. - M.: Nauka, . - 577 p.
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Per. din engleza. - Ed. a II-a, revizuită. - M.: Nauka, . - 464 p.
Privalov I.I. Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe: un manual pentru învățământul superior. - M.-L.: Editura de Stat, . - 316 p.
Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare - M.: Nauka, . - 472 p.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți care sunt „Condițiile Cauchy-Riemann” în alte dicționare:

Riemann, numită și condițiile d'Alembert Euler, relații care leagă părțile reale și imaginare ale oricărei funcții diferențiabile a unei variabile complexe. Cuprins 1 Formulare ... Wikipedia

Condițiile Cauchy ale lui Riemann sau condițiile D'Alembert Euler pe părțile reale u = u (x, y) și v = v (x, y) imaginare ale unei funcții a unei variabile complexe, asigurând diferențiabilitatea continuă infinită a lui f (z). ) în funcție de un complex ... ... Wikipedia

D Condiții Alambert Euler, condiții pe u=u(x, y) real și v= v(x, y imaginar). părți dintr-o funcție a unei variabile complexe care asigură monogeneitatea și analiticitatea lui f(z) ca funcție a unei variabile complexe. Pentru ca funcția w=f(z),… … Enciclopedie matematică

Augustin Louis Cauchy ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (francez Augustin Louis Cauchy; 21 august 1789, Paris 23 mai 1857, Co (Haus de Seine)) Matematician francez, membru al Academiei de Științe din Paris, a dezvoltat bazele analizei matematice și a făcut el însuși o contribuție uriașă la analiză... Wikipedia

Lasă funcția W = f(Z) este dat pe un set și Z 0 , Deținut E, punctul limită al acestui set. Să dăm Z 0 = X 0 + i· y 0 increment Δ Z = Δ X+ i· Δ y la punctul Z = Z 0 + Δ Z a aparținut multora E. Apoi funcția W = u+ i· v = f(Z) = u(X, y)+ i· v(X, y). Obținem incrementul Δ W = Δ u+ i· Δ v = f(Z 0 + Δ Z) - f(Z 0 ) = Δ f(Z 0 ) ,
.

Dacă există o limită finită
, atunci se numește funcţie derivatăf(Z) la punctZ 0 De multeE, și este notat
,
,
, W" .

Formal, funcția derivată a unei variabile complexe este definită exact în același mod ca și derivata unei funcții a unei variabile reale, dar conținutul lor este diferit.

În definiția unei derivate a unei funcții f(X) variabilă reală la un punct X 0 , X→ x 0 de-a lungul unei linii drepte. În cazul unei funcţii a unei variabile complexe f(Z), Z poate aspira la Z 0 de-a lungul oricărui traseu plan care duce la un punct Z 0 .

Prin urmare, cerința existenței unei funcții derivate a unei variabile complexe este foarte strictă. Aceasta explică de ce chiar și funcțiile simple ale unei variabile complexe nu au o derivată.

Exemplu.

Luați în considerare funcția W = = X- i· y. Să arătăm că această funcție nu are nicio derivată în niciun moment. Luați orice punct Z 0 = X 0 + i· y 0 , să-i dăm un increment Δ Z = Δ X+ i· Δ y, apoi funcția va crește. Mijloace

,
,

Vom lua în considerare mai întâi Δ Z = Δ X + i· Δ y astfel încât Δ X → 0 , și Δ y = 0 , adică punctul Z 0 + Δ Z → Z 0 de-a lungul unei linii orizontale. Făcând acest lucru, obținem asta

Vom considera acum incrementul ∆ Z astfel încât ∆ X = 0 , și ∆ y → 0 , adică când Z 0 + ∆ Z→ Z 0 de-a lungul unei linii drepte verticale, va fi evident
.

Limitele rezultate sunt diferite, deci raportul nu are limită când ∆ Z → 0 , adică funcția
nu are nici un punct derivat Z 0 .

Să aflăm semnificația derivatei față de mulțime. Lăsa E este axa reală și W = f(Z) = X, atunci este o funcție reală obișnuită a unei variabile reale f(X) = X iar derivatul său va fi 1 (
).

Lasă acum E este întregul avion (Z). Să arătăm că funcția f(Z) = Xîn acest caz nu are nici un punct derivat. Într-adevăr, în acest caz
.De aici este clar că dacă
A
, apoi
. Dacă
, A
, apoi
.În consecinţă, relaţia nu are limită când
, deci funcția f(Z) = X nu are nici un punct derivat
.

Rețineți că dacă luăm în considerare o funcție cu valori complexe a unei variabile reale, atunci rezultă direct din definiția derivatei că
, prin urmare, (aceasta este derivata de-a lungul axei reale).

Formula pentru creșterea funcției.

Lasă funcția W = f(Z) are la punct Z 0 derivat
. Să arătăm că are loc reprezentarea (1), unde cantitatea
, când
.

Într-adevăr, prin definiția unei derivate, avem
, prin urmare, valoarea
, când
. Prin urmare, are loc reprezentarea (1) (înmulțim ambele părți cu
și transfer
în partea stângă).

Cursul nr. 8 Diferențiabilitatea și diferențiala unei funcții a unei variabile complexe

Funcţie W = f(Z) numit diferentiabil la un punctZ 0 , dacă reprezentarea (2) are loc în acest punct, unde A este un număr complex fix, iar cantitatea
tinde spre zero când
.

Dacă funcţia W = f(Z) diferentiabil la un punct Z 0 , apoi liniarul principal în raport cu
o parte din ea A·
creştere
la punct Z 0 numit diferenţial de funcţie f(Z) la punct și notat
.

Există o teoremă.

Teorema.

Pentru functiaW = f(Z) a fost diferențiabilă la punctul respectivZ 0 , este necesar și suficient ca acesta să aibă o derivată finită în acest punct
, și se dovedește întotdeauna că în reprezentarea (2)
.

Dovada.

Nevoie. Fie funcția să fie diferențiabilă într-un punct Z 0 . Să arătăm că are o derivată finită în acest punct și că această derivată este egală cu numărul DAR. Datorită diferențierii f(Z) la punct Z 0 reprezentare (2) deține, deci
(3). Iată, trecând la limită la
înţelegem asta
, mijloace
.

Adecvarea. Lasă funcția f(Z) are la punct Z 0 derivată finală
. Să arătăm că reprezentarea (2) este valabilă. Datorită existenţei derivatului
are loc reprezentarea (1), dar aceasta este reprezentarea (2), în care A =
. S-a stabilit suficiența.

După cum știm, diferența, luând ca diferență a variabilei independente Z creșterea acestuia
, adică presupunând
, putem scrie
prin urmare
(acesta este un raport de diferențe, nu un singur simbol).