Semne de paralelism a două drepte

Teorema 1. Dacă la intersecția a două drepte ale unei secante:

unghiurile situate în diagonală sunt egale sau

unghiurile corespunzătoare sunt egale sau

atunci suma unghiurilor unilaterale este 180°

liniile sunt paralele(Fig. 1).

Dovada. Ne restrângem la proba din cazul 1.

Să presupunem că la intersecția dreptelor a și b cu o secanta AB peste unghiurile situate sunt egale. De exemplu, ∠ 4 = ∠ 6. Să demonstrăm că a || b.

Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele. Apoi se intersectează la un punct M și, în consecință, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi unghiul exterior al triunghiului ABM. Fie, pentru certitudine, ∠ 4 colțul exterior al triunghiului ABM și ∠ 6 cel interior. Din teorema unghiului exterior al unui triunghi rezultă că ∠ 4 este mai mare decât ∠ 6, iar aceasta contrazice condiția, ceea ce înseamnă că dreptele a și 6 nu se pot intersecta, deci sunt paralele.

Corolarul 1. Două drepte distincte într-un plan perpendicular pe aceeași dreaptă sunt paralele(Fig. 2).

Cometariu. Modul în care tocmai am demonstrat cazul 1 al teoremei 1 se numește metoda demonstrației prin contradicție sau reducere la absurd. Această metodă și-a primit prenumele deoarece la începutul raționamentului se face o presupunere care este opusă (opusă) a ceea ce se cere să fie demonstrat. Se numește reducere la absurd datorită faptului că, argumentând pe baza presupunerii făcute, ajungem la o concluzie absurdă (absurd). Primirea unei astfel de concluzii ne obligă să respingem presupunerea făcută la început și să o acceptăm pe cea care se cerea dovedită.

Sarcina 1. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat M și paralelă cu o dreaptă dată a, care nu trece prin punctul M.

Soluţie. Desenăm o dreaptă p prin punctul M perpendicular pe dreapta a (Fig. 3).

Apoi trasăm o dreaptă b prin punctul M perpendicular pe dreapta p. Linia b este paralelă cu dreapta a conform corolarului teoremei 1.

Din problema luată în considerare rezultă o concluzie importantă:
Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trage întotdeauna o dreaptă paralelă cu dreapta dată..

Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea.

Axioma dreptelor paralele. Printr-un punct dat, care nu se află pe o dreaptă dată, există o singură linie paralelă cu dreapta dată.

Luați în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele care decurg din această axiomă.

1) Dacă o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea o intersectează pe cealaltă (Fig. 4).

2) Dacă două linii diferite sunt paralele cu a treia linie, atunci ele sunt paralele (Fig. 5).

Următoarea teoremă este de asemenea adevărată.

Teorema 2. Dacă două drepte paralele sunt încrucișate de o secantă, atunci:

unghiurile culcate sunt egale;

unghiurile corespunzătoare sunt egale;

suma unghiurilor unilaterale este de 180°.

Consecința 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.(vezi Fig.2).

Cometariu. Teorema 2 se numește inversul teoremei 1. Concluzia teoremei 1 este condiția teoremei 2. Și condiția teoremei 1 este concluzia teoremei 2. Nu orice teoremă are o inversă, adică dacă o anumită teoremă este adevărată, atunci teorema inversă poate fi falsă.

Să explicăm acest lucru cu exemplul teoremei unghiurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi următoarea: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fie deloc verticale.

Exemplul 1 Două linii paralele sunt traversate de o a treia. Se știe că diferența dintre două unghiuri interne unilaterale este de 30°. Găsiți acele unghiuri.

Soluţie. Figura 6 îndeplinește condiția.

CAPITOLUL III.
LINII PARALELE

§ 35. SEMNE DE PARALELITATE A DOUĂ LINII DIRECTE.

Teorema că două perpendiculare pe o dreaptă sunt paralele (§ 33) dă semnul că două drepte sunt paralele. Este posibil să se obțină semne mai generale de paralelism a două drepte.

1. Primul semn de paralelism.

Dacă, la intersecția a două drepte cu o a treia, unghiurile interioare aflate peste ele sunt egale, atunci aceste drepte sunt paralele.

Fie că liniile AB și CD intersectează dreapta EF și / 1 = / 2. Luați punctul O - mijlocul segmentului KL al secantei EF (Fig. 189).

Să aruncăm perpendiculara OM de la punctul O la dreapta AB și să o continuăm până când se intersectează cu dreapta CD, AB_|_MN. Să demonstrăm că CD_|_MN.
Pentru a face acest lucru, luați în considerare două triunghiuri: MOE și NOK. Aceste triunghiuri sunt egale între ele. Intr-adevar: / 1 = / 2 prin condiția teoremei; OK = OL - prin constructie;
/ MOL = / NOK ca colțuri verticale. Astfel, latura și două unghiuri adiacente acesteia ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu latura și două unghiuri adiacente acesteia ale altui triunghi; Prin urmare, /\ MOL = /\ NOK și, prin urmare
/ LMO = / stiu dar / LMO este direct, prin urmare, și / KNO este, de asemenea, direct. Astfel, dreptele AB și CD sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă MN, deci sunt paralele (§ 33), ceea ce urma să fie demonstrat.

Notă. Intersecția dreptelor MO și CD poate fi stabilită prin rotirea triunghiului MOL în jurul punctului O cu 180°.

2. Al doilea semn de paralelism.

Să vedem dacă dreptele AB și CD sunt paralele dacă, la intersecția celei de-a treia linii EF, unghiurile corespunzătoare sunt egale.

Fie unele unghiuri corespunzătoare să fie egale, de exemplu / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, deoarece colțurile sunt verticale; mijloace, / 2 va fi egal / 1. Dar unghiurile 2 și 1 sunt unghiuri transversale interne și știm deja că, dacă la intersecția a două drepte cu o treime, unghiurile transversale interne sunt egale, atunci aceste linii sunt paralele. Prin urmare, AB || CD.

Dacă la intersecția a două drepte ale celei de-a treia unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci aceste două drepte sunt paralele.

Construcția de linii paralele cu ajutorul unei rigle și a unui triunghi de desen se bazează pe această proprietate. Acest lucru se face după cum urmează.

Să atașăm triunghiul la riglă așa cum se arată în desenul 191. Vom muta triunghiul astfel încât una dintre laturile sale să alunece de-a lungul riglei și vom trasa mai multe linii drepte de-a lungul oricărei alte laturi a triunghiului. Aceste linii vor fi paralele.

3. Al treilea semn de paralelism.

Să știm că la intersecția a două drepte AB și CD cu a treia linie, suma oricăror unghiuri interne unilaterale este egală cu 2 d(sau 180°). Liniile AB și CD vor fi paralele în acest caz (Fig. 192).

Lăsa / 1 și / 2 unghiuri interioare unilaterale și se adună până la 2 d.
Dar / 3 + / 2 = 2d ca unghiuri adiacente. Prin urmare, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

De aici / 1 = / 3, iar aceste colțuri sunt situate în interior transversal. Prin urmare, AB || CD.

Dacă la intersecția a două drepte cu o treime, suma unghiurilor interioare unilaterale este egală cu 2 d, atunci cele două drepte sunt paralele.

Un exercitiu.

Demonstrați că dreptele sunt paralele:
a) dacă unghiurile exterioare încrucișate sunt egale (Fig. 193);
b) dacă suma unghiurilor unilaterale externe este 2 d(diavolul 194).

Acest capitol este dedicat studiului dreptelor paralele. Acesta este numele dat două drepte dintr-un plan care nu se intersectează. Vedem segmente de linii paralele în mediu - acestea sunt două margini ale unei mese dreptunghiulare, două margini ale copertei unei cărți, două bare de troleibuz etc. Liniile paralele joacă un rol foarte important în geometrie. În acest capitol, veți afla despre ce sunt axiomele de geometrie și din ce constă axiomele dreptelor paralele - una dintre cele mai cunoscute axiome ale geometriei.

În Secțiunea 1, am observat că două drepte fie au un punct comun, adică se intersectează, fie nu au un singur punct comun, adică nu se intersectează.

Definiție

Paralelismul dreptelor a și b se notează astfel: a || b.

Figura 98 prezintă liniile a și b perpendiculare pe dreapta c. În secțiunea 12 am stabilit că astfel de drepte a și b nu se intersectează, adică sunt paralele.

Orez. 98

Alături de liniile paralele, sunt adesea luate în considerare segmentele paralele. Cele două segmente sunt numite paralel dacă se află pe drepte paralele. În figura 99, iar segmentele AB și CD sunt paralele (AB || CD), iar segmentele MN și CD nu sunt paralele. În mod similar, se determină paralelismul unui segment și o dreaptă (Fig. 99, b), o rază și o dreaptă, un segment și o rază, două raze (Fig. 99, c).

Orez. 99 Semne de paralelism a două drepte

Direct cu este numit secantăîn raport cu dreptele a şi b, dacă le intersectează în două puncte (fig. 100). La intersecția dreptelor a și b, secanta c formează opt unghiuri, care sunt indicate prin numere în figura 100. Unele perechi de aceste unghiuri au denumiri speciale:

colțuri încrucișate: 3 și 5, 4 și 6;
colțuri unilaterale: 4 și 5, 3 și 6;
unghiurile corespunzătoare: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7.

Orez. 100

Luați în considerare trei semne de paralelism a două drepte asociate acestor perechi de unghiuri.

Teorema

Dovada

Să presupunem că la intersecția dreptelor a și b cu o secanta AB, unghiurile situate sunt egale: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Să demonstrăm că a || b. Dacă unghiurile 1 și 2 sunt drepte (Fig. 101, b), atunci dreptele a și b sunt perpendiculare pe dreapta AB și, prin urmare, paralele.

Orez. 101

Luați în considerare cazul când unghiurile 1 și 2 nu sunt drepte.

Din mijlocul O al segmentului AB, trasați o perpendiculară OH pe dreapta a (Fig. 101, c). Pe linia b din punctul B, punem deoparte segmentul VH 1, egal cu segmentul AH, așa cum se arată în Figura 101, c, și desenăm segmentul OH 1. Triunghiurile ONA și OH 1 V sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), deci ∠3 = ∠4 și ∠5 = ∠6. Din egalitatea ∠3 = ∠4 rezultă că punctul H 1 se află pe continuarea razei OH, adică punctele H, O și H 1 se află pe aceeași dreaptă, iar din egalitatea ∠5 = ∠6 este rezultă că unghiul 6 este o linie dreaptă (deoarece unghiul 5 este un unghi drept). Deci liniile a și b sunt perpendiculare pe dreapta HH 1, deci sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Teorema

Dovada

Fie la intersecția dreptelor a și b secanta cu unghiurile corespunzătoare să fie egală, de exemplu ∠1 = ∠2 (Fig. 102).

Orez. 102

Deoarece unghiurile 2 și 3 sunt verticale, atunci ∠2 = ∠3. Aceste două egalități implică faptul că ∠1 = ∠3. Dar unghiurile 1 și 3 sunt transversale, deci liniile a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Teorema

Dovada

Fie, la intersecția dreptelor a și b, secanta cu suma unghiurilor unilaterale să fie de 180°, de exemplu ∠1 + ∠4 = 180° (vezi Fig. 102).

Deoarece unghiurile 3 și 4 sunt adiacente, atunci ∠3 + ∠4 = 180°. Din aceste două egalități rezultă că unghiurile transversale 1 și 3 sunt egale, deci dreptele a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Modalități practice de a desena linii paralele

Semnele liniilor paralele stau la baza modalităților de construire a liniilor paralele cu ajutorul diverselor instrumente folosite în practică. Luați în considerare, de exemplu, o metodă de construire a liniilor paralele folosind un pătrat de desen și o riglă. Pentru a construi o dreaptă care trece prin punctul M și paralelă cu dreapta dată a, aplicăm un pătrat de desen pe linia dreaptă a și o riglă, așa cum se arată în Figura 103. Apoi, deplasând pătratul de-a lungul riglei, vom se va asigura că punctul M este pe latura pătratului și se va trage o linie b. Dreptele a și b sunt paralele, deoarece unghiurile corespunzătoare, notate în figura 103 cu literele α și β, sunt egale.

Orez. 103 Figura 104 prezintă o metodă de construire a liniilor paralele folosind un pătrat în T. Această metodă este folosită în practica desenului.

Orez. 104 O metodă similară este utilizată la executarea lucrărilor de tâmplărie, unde se folosește o teșitură pentru a marca liniile paralele (două scânduri de lemn prinse cu o balama, Fig. 105).

Orez. 105

Sarcini

186. În figura 106, liniile a și b sunt intersectate de linia c. Demonstrați că un || b dacă:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, iar unghiul 7 este de trei ori mai mare decât unghiul 3.

Orez. 106

187. Conform figurii 107 demonstrează că AB || D.E.

Orez. 107

188. Segmentele AB și CD se intersectează în mijlocul lor comun. Demonstrați că dreptele AC și BD sunt paralele.

189. Folosind datele din figura 108, demonstrați că BC || ANUNȚ.

Orez. 108

190. În figura 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Demonstrați că DE || LA FEL DE.

Orez. 109

191. Segmentul VK este bisectoarea triunghiului ABC. Se trasează o dreaptă prin punctul K, intersectând latura BC în punctul M, astfel încât BM = MK. Demonstrați că dreptele KM și AB sunt paralele.

192. În triunghiul ABC, unghiul A este de 40°, iar unghiul ALL adiacent unghiului ACB este de 80°. Demonstrați că bisectoarea unghiului ALL este paralelă cu dreapta AB.

193. În triunghiul ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Linia BD este trasată prin vârful B, astfel încât raza BC să fie bisectoarea unghiului ABD. Demonstrați că dreptele AC și BD sunt paralele.

194. Desenați un triunghi. Prin fiecare vârf al acestui triunghi, folosind un pătrat de desen și o riglă, trageți o linie dreaptă paralelă cu latura opusă.

195. Desenați triunghiul ABC și marcați punctul D pe latura AC. Prin punctul D, folosind un pătrat de desen și o riglă, trageți linii drepte paralele cu celelalte două laturi ale triunghiului.

Acest capitol este dedicat studiului dreptelor paralele. Acesta este numele dat două drepte dintr-un plan care nu se intersectează. Vedem segmente de linii paralele în mediu - acestea sunt două margini ale unei mese dreptunghiulare, două margini ale copertei unei cărți, două bare de troleibuz etc. Liniile paralele joacă un rol foarte important în geometrie. În acest capitol, veți afla despre ce sunt axiomele de geometrie și din ce constă axiomele dreptelor paralele - una dintre cele mai cunoscute axiome ale geometriei.

În Secțiunea 1, am observat că două drepte fie au un punct comun, adică se intersectează, fie nu au un singur punct comun, adică nu se intersectează.

Definiție

Paralelismul dreptelor a și b se notează astfel: a || b.

Figura 98 prezintă liniile a și b perpendiculare pe dreapta c. În secțiunea 12 am stabilit că astfel de drepte a și b nu se intersectează, adică sunt paralele.

Orez. 98

Alături de liniile paralele, sunt adesea luate în considerare segmentele paralele. Cele două segmente sunt numite paralel dacă se află pe drepte paralele. În figura 99, iar segmentele AB și CD sunt paralele (AB || CD), iar segmentele MN și CD nu sunt paralele. În mod similar, se determină paralelismul unui segment și o dreaptă (Fig. 99, b), o rază și o dreaptă, un segment și o rază, două raze (Fig. 99, c).

Orez. 99 Semne de paralelism a două drepte

Direct cu este numit secantăîn raport cu dreptele a şi b, dacă le intersectează în două puncte (fig. 100). La intersecția dreptelor a și b, secanta c formează opt unghiuri, care sunt indicate prin numere în figura 100. Unele perechi de aceste unghiuri au denumiri speciale:

colțuri încrucișate: 3 și 5, 4 și 6;
colțuri unilaterale: 4 și 5, 3 și 6;
unghiurile corespunzătoare: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7.

Orez. 100

Luați în considerare trei semne de paralelism a două drepte asociate acestor perechi de unghiuri.

Teorema

Dovada

Să presupunem că la intersecția dreptelor a și b cu o secanta AB, unghiurile situate sunt egale: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Să demonstrăm că a || b. Dacă unghiurile 1 și 2 sunt drepte (Fig. 101, b), atunci dreptele a și b sunt perpendiculare pe dreapta AB și, prin urmare, paralele.

Orez. 101

Luați în considerare cazul când unghiurile 1 și 2 nu sunt drepte.

Din mijlocul O al segmentului AB, trasați o perpendiculară OH pe dreapta a (Fig. 101, c). Pe linia b din punctul B, punem deoparte segmentul VH 1, egal cu segmentul AH, așa cum se arată în Figura 101, c, și desenăm segmentul OH 1. Triunghiurile ONA și OH 1 V sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), deci ∠3 = ∠4 și ∠5 = ∠6. Din egalitatea ∠3 = ∠4 rezultă că punctul H 1 se află pe continuarea razei OH, adică punctele H, O și H 1 se află pe aceeași dreaptă, iar din egalitatea ∠5 = ∠6 este rezultă că unghiul 6 este o linie dreaptă (deoarece unghiul 5 este un unghi drept). Deci liniile a și b sunt perpendiculare pe dreapta HH 1, deci sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Teorema

Dovada

Fie la intersecția dreptelor a și b secanta cu unghiurile corespunzătoare să fie egală, de exemplu ∠1 = ∠2 (Fig. 102).

Orez. 102

Deoarece unghiurile 2 și 3 sunt verticale, atunci ∠2 = ∠3. Aceste două egalități implică faptul că ∠1 = ∠3. Dar unghiurile 1 și 3 sunt transversale, deci liniile a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Teorema

Dovada

Fie, la intersecția dreptelor a și b, secanta cu suma unghiurilor unilaterale să fie de 180°, de exemplu ∠1 + ∠4 = 180° (vezi Fig. 102).

Deoarece unghiurile 3 și 4 sunt adiacente, atunci ∠3 + ∠4 = 180°. Din aceste două egalități rezultă că unghiurile transversale 1 și 3 sunt egale, deci dreptele a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Modalități practice de a desena linii paralele

Semnele liniilor paralele stau la baza modalităților de construire a liniilor paralele cu ajutorul diverselor instrumente folosite în practică. Luați în considerare, de exemplu, o metodă de construire a liniilor paralele folosind un pătrat de desen și o riglă. Pentru a construi o dreaptă care trece prin punctul M și paralelă cu dreapta dată a, aplicăm un pătrat de desen pe linia dreaptă a și o riglă, așa cum se arată în Figura 103. Apoi, deplasând pătratul de-a lungul riglei, vom se va asigura că punctul M este pe latura pătratului și se va trage o linie b. Dreptele a și b sunt paralele, deoarece unghiurile corespunzătoare, notate în figura 103 cu literele α și β, sunt egale.

Orez. 103 Figura 104 prezintă o metodă de construire a liniilor paralele folosind un pătrat în T. Această metodă este folosită în practica desenului.

Orez. 104 O metodă similară este utilizată la executarea lucrărilor de tâmplărie, unde se folosește o teșitură pentru a marca liniile paralele (două scânduri de lemn prinse cu o balama, Fig. 105).

Orez. 105

Sarcini

186. În figura 106, liniile a și b sunt intersectate de linia c. Demonstrați că un || b dacă:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, iar unghiul 7 este de trei ori mai mare decât unghiul 3.

Orez. 106

187. Conform figurii 107 demonstrează că AB || D.E.

Orez. 107

188. Segmentele AB și CD se intersectează în mijlocul lor comun. Demonstrați că dreptele AC și BD sunt paralele.

189. Folosind datele din figura 108, demonstrați că BC || ANUNȚ.

Orez. 108

190. În figura 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Demonstrați că DE || LA FEL DE.

Orez. 109

191. Segmentul VK este bisectoarea triunghiului ABC. Se trasează o dreaptă prin punctul K, intersectând latura BC în punctul M, astfel încât BM = MK. Demonstrați că dreptele KM și AB sunt paralele.

192. În triunghiul ABC, unghiul A este de 40°, iar unghiul ALL adiacent unghiului ACB este de 80°. Demonstrați că bisectoarea unghiului ALL este paralelă cu dreapta AB.

193. În triunghiul ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Linia BD este trasată prin vârful B, astfel încât raza BC să fie bisectoarea unghiului ABD. Demonstrați că dreptele AC și BD sunt paralele.

194. Desenați un triunghi. Prin fiecare vârf al acestui triunghi, folosind un pătrat de desen și o riglă, trageți o linie dreaptă paralelă cu latura opusă.

195. Desenați triunghiul ABC și marcați punctul D pe latura AC. Prin punctul D, folosind un pătrat de desen și o riglă, trageți linii drepte paralele cu celelalte două laturi ale triunghiului.

ABși DIND traversat de a treia linie MN, atunci unghiurile formate în acest caz primesc următoarele denumiri în perechi:

unghiurile corespunzătoare: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7;

colțuri interioare încrucișate: 3 și 5, 4 și 6;

colțuri exterioare încrucișate: 1 și 7, 2 și 8;

colțuri interioare unilaterale: 3 și 6, 4 și 5;

colțuri exterioare unilaterale: 1 și 8, 2 și 7.

Deci, ∠ 2 = ∠ 4 și ∠ 8 = ∠ 6, dar prin dovedirea ∠ 4 = ∠ 6.

Prin urmare, ∠ 2 = ∠ 8.

3. Unghiurile respective 2 și 6 sunt aceleași, deoarece ∠ 2 = ∠ 4 și ∠ 4 = ∠ 6. De asemenea, ne asigurăm că celelalte unghiuri corespunzătoare sunt egale.

4. Sumă colțuri interioare unilaterale 3 și 6 vor fi 2d deoarece suma colțurile adiacente 3 și 4 este egal cu 2d = 180 0 , iar ∠ 4 poate fi înlocuit cu ∠ 6 identic. De asemenea, asigurați-vă că suma unghiurilor 4 și 5 este egal cu 2d.

5. Sumă colțuri exterioare unilaterale va fi 2d deoarece aceste unghiuri sunt, respectiv, egale colțuri interioare unilaterale ca niște colțuri vertical.

Din justificarea dovedită mai sus, obținem teoreme inverse.

Când, la intersecția a două linii ale unei trei linii arbitrare, obținem că:

1. Unghiurile interioare de culcare în cruce sunt aceleași;

sau 2. Unghiurile exterioare de culcare în cruce sunt aceleași;

sau 3. Unghiurile corespunzătoare sunt aceleași;

sau 4. Suma unghiurilor unilaterale interne este egală cu 2d = 180 0 ;

sau 5. Suma unilateralelor exterioare este 2d = 180 0 ,

atunci primele două drepte sunt paralele.