Un triunghi este o figură geometrică plată cu un unghi egal cu 90 °. În același timp, în geometrie este adesea necesar să se calculeze aria unei astfel de figuri. Cum să faci asta, vom spune în continuare.

Cea mai simplă formulă pentru determinarea ariei unui triunghi dreptunghic

Date inițiale, unde: a și b sunt laturile triunghiului care ies din unghiul drept.

Adică, aria este egală cu jumătate din produsul celor două laturi care ies din unghiul drept. Desigur, există formula lui Heron folosită pentru a calcula aria unui triunghi obișnuit, dar pentru a determina valoarea, trebuie să cunoașteți lungimea a trei laturi. În consecință, va trebui să calculați ipotenuza, iar acesta este timp suplimentar.

Găsiți aria unui triunghi dreptunghic folosind formula lui Heron

Aceasta este o formulă binecunoscută și originală, dar pentru aceasta va trebui să calculați ipotenuza de-a lungul a două catete folosind teorema lui Pitagora.

În această formulă: a, b, c sunt laturile triunghiului, iar p este semiperimetrul.

Găsiți aria triunghiului dreptunghic dat ipotenuză și unghi

Dacă niciunul dintre picioare nu este cunoscut în problema ta, atunci nu vei putea folosi cea mai simplă metodă. Pentru a determina valoarea, trebuie să calculați lungimea picioarelor. Acest lucru se face pur și simplu prin ipotenuză și cosinusul unghiului inclus.

b=c×cos(α)

Cunoscând lungimea unuia dintre picioare, folosind teorema lui Pitagora, puteți calcula a doua latură care iese din unghiul drept.

b 2 \u003d c 2 -a 2

În această formulă, c și a sunt ipotenuza și, respectiv, catetul. Acum puteți calcula suprafața folosind prima formulă. În același mod, unul dintre picioare poate fi calculat, având în vedere al doilea și unghiul. În acest caz, una dintre laturile dorite va fi egală cu produsul piciorului și tangentei unghiului. Există și alte modalități de a calcula suprafața, dar cunoscând teoremele și regulile de bază, puteți găsi cu ușurință valoarea dorită.

Dacă nu aveți nici una dintre laturile triunghiului, ci doar mediana și unul dintre unghiuri, atunci puteți calcula lungimea laturilor. Pentru a face acest lucru, utilizați proprietățile medianei pentru a împărți un triunghi dreptunghic la doi. În consecință, poate acționa ca o ipotenuză dacă iese dintr-un unghi ascuțit. Utilizați teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea laturilor unui triunghi care ies dintr-un unghi drept.

După cum puteți vedea, cunoscând formulele de bază și Teorema lui Pitagora, puteți calcula aria unui triunghi dreptunghic, având doar unul dintre unghiuri și lungimea uneia dintre laturi.

La orele de geometrie din liceu cu toții am fost învățați despre triunghiuri. Cu toate acestea, în cadrul programului școlar, primim doar cele mai necesare cunoștințe și învățăm cele mai comune și standardizate metode de calcul. Există modalități neobișnuite de a găsi această valoare?

Ca o introducere, să ne amintim care triunghi este considerat un triunghi dreptunghic și, de asemenea, denotăm conceptul de zonă.

Un triunghi dreptunghic este o figură geometrică închisă, unul dintre unghiurile căreia este egal cu 90 0. Conceptele integrale din definiție sunt catetele și ipotenuza. Picioarele sunt două laturi care formează un unghi drept la punctul de conectare. Ipotenuza este latura opusă unghiului drept. Un triunghi dreptunghic poate fi isoscel (două dintre laturile sale vor avea aceeași dimensiune), dar niciodată echilateral (toate laturile au aceeași lungime). Definițiile înălțimii, mediană, vectori și alți termeni matematici nu vor fi analizate în detaliu. Sunt ușor de găsit în cărțile de referință.

Aria unui triunghi dreptunghic. Spre deosebire de dreptunghiuri, regula despre

produsul părților din definiție nu este valabil. Vorbind într-un limbaj uscat de termeni, atunci aria unui triunghi este înțeleasă ca proprietatea acestei figuri de a ocupa o parte a planului, exprimată printr-un număr. Destul de greu de înțeles, vezi. Nu vom încerca să pătrundem profund în definiție, scopul nostru nu este acesta. Să trecem la principalul lucru - cum să găsim aria unui triunghi dreptunghic? Nu vom efectua singuri calculele, vom indica doar formulele. Pentru a face acest lucru, să definim notația: A, B, C - laturile triunghiului, catetele - AB, BC. Unghiul ACB este drept. S este aria triunghiului, h n n este înălțimea triunghiului, unde nn este latura pe care este coborât.

Metoda 1. Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic dacă dimensiunea catetelor sale este cunoscută

Metoda 2. Aflați aria unui triunghi dreptunghic isoscel

Metoda 3. Calcularea ariei printr-un dreptunghi

Terminăm triunghiul dreptunghic până la un pătrat (dacă triunghiul

isoscel) sau dreptunghi. Obținem un patrulater simplu format din 2 triunghiuri dreptunghiulare identice. În acest caz, valoarea ariei unuia dintre ele va fi egală cu jumătate din suprafața figurii rezultate. S al unui dreptunghi se calculează prin produsul laturilor. Notăm această valoare cu M. Valoarea dorită a ariei va fi egală cu jumătate din M.

Metoda 4. „Pantaloni pitagoreici”. Celebra teoremă a lui Pitagora

Cu toții ne amintim formularea ei: „suma pătratelor picioarelor...”. Dar nu toată lumea poate

spune, și aici niște „pantaloni”. Cert este că inițial Pitagora a studiat relația construită pe laturile unui triunghi dreptunghic. După ce a identificat modele în raportul laturilor pătratelor, el a reușit să obțină formula cunoscută de noi toți. Poate fi folosit atunci când valoarea uneia dintre laturi este necunoscută.

Metoda 5. Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic folosind formula lui Heron

Este, de asemenea, un calcul destul de simplu. Formula implică exprimarea ariei unui triunghi în termeni de valori numerice ale laturilor sale. Pentru calcule, trebuie să cunoașteți mărimea tuturor laturilor triunghiului.

S = (p-AC)*(p-BC), unde p = (AB+BC+AC)*0,5

În plus față de cele de mai sus, există multe alte modalități de a găsi dimensiunea unei figuri atât de misterioase ca un triunghi. Printre acestea: calculul prin metoda unui cerc înscris sau circumscris, calculul folosind coordonatele vârfurilor, utilizarea vectorilor, valorilor absolute, sinusurilor, tangentelor.

Un triunghi dreptunghic este un triunghi în care unul dintre unghiuri are 90°. Zona sa poate fi găsită dacă se cunosc două picioare. Puteți, desigur, să mergeți pe calea lungă - găsiți ipotenuza și calculați aria din , dar în cele mai multe cazuri va dura doar timp suplimentar. De aceea formula pentru aria unui triunghi dreptunghic arată astfel:

Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor.

Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi dreptunghic.
Dat un triunghi dreptunghic cu catete A= 8 cm, b= 6 cm.
Calculăm aria:
Suprafata este: 24 cm 2

Tot într-un triunghi dreptunghic se aplică teorema lui Pitagora. - suma pătratelor celor două catete este egală cu pătratul ipotenuzei.
Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic isoscel este calculată în același mod ca și pentru un triunghi dreptunghic obișnuit.

Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi dreptunghic isoscel:
Dat un triunghi cu catete A= 4 cm, b\u003d 4 cm. Calculați aria:
Calculăm aria: \u003d 8 cm 2

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic în raport cu ipotenuza poate fi utilizată dacă este dat un catet în condiție. Din teorema lui Pitagora găsim lungimea piciorului necunoscut. De exemplu, având în vedere ipotenuza cși picior A, picior b va fi egal cu:
Apoi, calculăm aria folosind formula obișnuită. Un exemplu de calcul al formulei pentru aria unui triunghi dreptunghic folosind ipotenuza este identic cu cel descris mai sus.

Să luăm în considerare o sarcină interesantă care va ajuta la consolidarea cunoștințelor formulelor pentru rezolvarea unui triunghi.
O sarcină: Aria unui triunghi dreptunghic este de 180 de metri pătrați. vezi găsiți catetul mai mic al triunghiului dacă este cu 31 cm mai puțin decât al doilea.
Soluţie: denota picioarele Ași b. Acum să substituim datele în formula zonei: știm, de asemenea, că un picior este mai mic decât celălalt A – b= 31 cm
Din prima condiție obținem asta
Inlocuim aceasta conditie in a doua ecuatie:

Din moment ce am găsit părțile laterale, eliminăm semnul minus.
Se pare că piciorul A= 40 cm, și b= 9 cm.