Un studiu și mai profund al problemei ne va conduce la un astfel de concept precum curbura spațiului. Fără a intra în detalii, acordăm atenție doar faptului că suprafața poate fi curbată în fiecare punct în două moduri calitativ diferite. Într-un caz, suprafața seamănă cu o parte a unui elipsoid și se presupune că curbura este pozitivă. Într-un alt caz, suprafața arată ca o șa și curbura ei este negativă. Pseudosfera, așa cum se poate vedea în imaginea sa (și, prin urmare, planul Lobachevsky), are o curbură negativă și se dovedește că această curbură este constantă (nu depinde de un punct de pe suprafață). Acest lucru, apropo, clarifică originea numelui „pseudosferă”: o sferă obișnuită este o suprafață cu curbură pozitivă constantă.

Geometria lui Lobachevsky, creată în secolul al XIX-lea, a fost cel mai important pas către crearea domeniului matematicii, care se numește acum geometrie diferențială. Este angajat în studiul spațiilor curbe arbitrare, iar aparatul său matematic este fundamentul unui domeniu atât de important al fizicii moderne precum teoria generală a relativității (GR). Cert este că, conform relativității generale, spațiul-timp în care trăim are curbură, iar curbura spațiului corespunde prezenței unui câmp gravitațional în acest punct al spațiului.

Relativitatea generală a suferit numeroase verificări experimentale (vezi: Centenarul relativității generale sau aniversarea primei revoluții din noiembrie, Elements, 25.11.2015), iar corecțiile asociate cu aceasta trebuie să fie luate în considerare pentru o navigație precisă prin satelit. În plus, descrie fizica obiectelor masive, cum ar fi obișnuite și stele neutronice, supernove și găuri negre (lista continuă). În cele din urmă, stă relativitatea generală stiinta moderna despre univers – cosmologie.

Conform bunului simț, precum și cu toate datele observaționale disponibile, Universul la scară mare este omogen și izotrop. În orice caz, aceasta înseamnă că este un spațiu de curbură spațială constantă. În acest sens, au fost luate în considerare trei posibilități încă din primii ani de cosmologie: un univers plat, un univers cu curbură pozitivă („univers sferic”) și un univers cu curbură negativă („universul lui Lobachevsky”). În prezent, însă, se crede că curbura Universului este zero (în limitele preciziei moderne de măsurare). Aceasta găsește o explicație în teoria modernă a inflației. Potrivit acestuia din urmă, Universul în stadiul inițial al evoluției sale a cunoscut o expansiune foarte rapidă și ca urmare a crescut de multe ori (aceasta se numește inflație). Este foarte posibil ca înainte de inflație Universul să fi fost sferic, „Universul Lobaciovski” sau să aibă o altă geometrie complexă. Cu toate acestea, expansiunea a dus la faptul că acum doar o foarte mică parte din întregul Univers este accesibilă observațiilor, iar geometria sa ar trebui să fie imposibil de distins de una plată.

Nici unul. Prin definiție, liniile paralele nu au puncte de intersecție.

Acum să trecem la geometrie și erori. Peste tot vor fi considerate „avioane”, orice înseamnă asta.

Geometria lui Euclid. Ce s-a predat la școală, ce este mai familiar și aproape exact realizat în viața de zi cu zi. Voi evidenția acele două fapte care vor fi semnificative mai târziu. În primul rând: în această geometrie există o distanță, între oricare două puncte există o linie cea mai scurtă și, în plus, doar una (un segment de linie). În al doilea rând: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trage o dreaptă paralelă cu dreapta dată și, în plus, doar una.

Aceasta corespunde unei perechi de axiome din manualul lui Pogorelov, așa că îmi va fi mai convenabil să mă bazez pe asta.

Geometria lui Lobaciovski. Totul este în regulă cu distanța din el, dar ne este dificil să ne imaginăm din cauza curburii negative constante (nu am înțeles - nu este înfricoșător). Paralelismul este mai dificil. Printr-un punct din afara unei linii, este întotdeauna posibil să desenați nu doar una, ci infinit de linii paralele.

geometrie sferică. În primul rând, ce considerăm „drept”. Linii drepte pe sferă - cercuri mari = cercuri sculptate pe sferă de un plan care trece prin centru = cercuri cu raza egală cu raza sferei. Acestea sunt linii drepte în sensul că aceasta este calea cea mai scurtă între puncte nu foarte îndepărtate (va deveni clar mai târziu care). Unii s-ar putea să fi observat că, dacă orașele sunt pe aceeași paralelă, atunci avionul nu zboară de-a lungul acestei paralele, ci de-a lungul unei traiectorii convexe spre nord în emisfera nordică. Dacă desenați, veți observa că cercul mare care leagă cele două puncte merge la nord de paralelă.

De ce este rea distanța pe o sferă? Să luăm puncte diametral opuse de pe sferă, pentru care există infinit mai multe curbe cele mai scurte. Mai clar: mă voi uita la nord și polul Sud. Toți merilianii trec prin ele, toți au aceeași lungime, orice altă cale va fi mai lungă.

Nu există deloc linii paralele, oricare două linii se intersectează în puncte diametral opuse.

plan proiectiv. Cea mai importantă și prima diferență: nu există distanță și nu poate fi. În principiu, nu poate fi introdus astfel încât să satisfacă unele condiții naturale (se păstrează în timpul „mișcărilor” avionului). Astfel, geometria în sine nu știe despre nicio „linie infinit depărtate”, toate acestea sunt inventate de oameni pentru a înțelege cumva planul proiectiv. Cel mai „simplu” mod: imaginați-vă un plan familiar (așa-numita „hartă afină”) și adăugați la el o linie care este „înlăturată la infinit”, și toate liniile care erau paralele cu cea dată în planul care a fost prezentate se vor intersecta într-un punct de pe această dreaptă la infinit. O astfel de descriere este destul de simplă: am scris ceva în două propoziții și cineva a prezentat deja ceva. Dar este înșelător, nu există o linie distinctă în geometria proiectivă. Dar această descriere arată deja acele linii paralele

Suntem obișnuiți să credem că geometria lumii observate este euclidiană, adică. îndeplineşte legile geometriei care se studiază la şcoală. De fapt, acest lucru nu este adevărat. În acest articol, vom lua în considerare manifestările în realitate ale geometriei lui Lobachevsky, care, la prima vedere, este pur abstractă.

Geometria lui Lobaciovski diferă de cea euclidiană obișnuită prin aceea că printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată trec cel puțin două drepte care se află cu linia dată în același plan și nu o intersectează. Se mai numește și geometrie hiperbolică.

1. Geometrie euclidiană - doar o singură linie trece prin punctul alb, care nu intersectează linia galbenă
2. Geometrie Riemann - oricare două linii se intersectează (nu există linii paralele)
3. Geometria lui Lobachevsky - există infinit de linii drepte care nu intersectează linia galbenă și trec prin punctul alb

Pentru ca cititorul să vizualizeze acest lucru, să descriem pe scurt modelul Klein. În acest model, planul Lobachevsky este realizat ca interiorul unui cerc cu raza unu, unde punctele planului sunt punctele acestui cerc, iar liniile sunt coardele. O coardă este o linie dreaptă care unește două puncte dintr-un cerc. Distanța dintre două puncte este greu de determinat, dar nu avem nevoie de ea. Din figura de mai sus, devine clar că prin punctul P există infinit de drepte care nu intersectează dreapta a. În geometria euclidiană standard, există o singură dreaptă care trece prin punctul P și nu intersectează linia a. Această linie este paralelă.

Acum să trecem la principalul lucru - aplicațiile practice ale geometriei lui Lobachevsky.

Sistemele de navigație prin satelit (GPS și GLONASS) constau din două părți: o constelație orbitală de 24-29 de sateliți distanțați uniform în jurul Pământului și un segment de control pe Pământ, care asigură sincronizarea timpului pe sateliți și utilizarea unui singur sistem de coordonate. Sateliții au ceasuri atomice foarte precise, iar receptoarele (GPS-navigatoare) au ceasuri obișnuite, de cuarț. Receptoarele au, de asemenea, informații despre coordonatele tuturor sateliților la un moment dat. Sateliții la intervale scurte transmit un semnal care conține date despre ora de începere a transmisiei. După ce primește un semnal de la cel puțin patru sateliți, receptorul își poate regla ceasul și poate calcula distanțele până la acești sateliți folosind formula ((ora în care semnalul a fost trimis de satelit) - (ora în care a fost primit semnalul de la satelit)) x (viteza luminii) = (distanța până la satelit). Distanțele calculate sunt, de asemenea, corectate conform formulelor încorporate în receptor. În plus, receptorul găsește coordonatele punctului de intersecție al sferelor cu centre în sateliți și raze egale cu distanțele calculate până la ei. Evident, acestea vor fi coordonatele receptorului.

Cititorul va ști cu siguranță asta, datorită efectului în teorie specială relativitate, din cauza vitezei mari a satelitului, timpul pe orbită este diferit de timpul de pe Pământ. Dar există încă un efect similar în Teoria Generală a Relativității, legat tocmai de geometria non-euclidiană a spațiului-timp. Din nou, nu vom intra în detalii matematice, deoarece acestea sunt mai degrabă abstracte. Dar, dacă încetăm să luăm în considerare aceste efecte, atunci într-o zi de funcționare se va acumula o eroare de ordinul a 10 km în citirile sistemului de navigație.

Formulele geometriei Lobachevsky sunt, de asemenea, utilizate în fizica energiei înalte, și anume, în calculele acceleratoarelor de particule încărcate. Spațiile hiperbolice (adică spații în care funcționează legile geometriei hiperbolice) se găsesc și în natură însăși. Să dăm mai multe exemple:

Geometria lui Lobachevsky poate fi observată în structurile coralilor, în organizarea structurilor celulare dintr-o plantă, în arhitectură, în unele flori și așa mai departe. Apropo, dacă vă amintiți în ultimul număr am vorbit despre hexagoane în natură, și așa, în natură hiperbolică, alternativa sunt heptagoane, care sunt și ele răspândite.

Votat Multumesc!

Poate vei fi interesat:

• 
  

Axioma euclidiană despre paralele (mai precis, una dintre afirmațiile echivalente cu aceasta, în prezența altor axiome) poate fi formulată astfel:

Axioma lui Lobaciovski este o negație exactă a axiomei lui Euclid (dacă toate celelalte axiome sunt îndeplinite), deoarece nu trece nicio dreaptă printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, care se află cu o dreaptă dată în același plan și nu trece. nu-l intersectează, este exclus în virtutea altor axiome (axiome ale geometriei absolute). Deci, de exemplu, geometria sferică și geometria riemanniană, în care orice două drepte se intersectează și, prin urmare, nici axioma paralelă a lui Euclid și nici axioma lui Lobachevsky nu sunt compatibile cu geometria absolută.

Geometria lui Lobachevsky are aplicații extinse atât în ​​matematică, cât și în fizică. Semnificația sa istorică și filozofică constă în faptul că, prin construcția sa, Lobaciovski a arătat posibilitatea unei geometrii diferite de euclidiană, ceea ce semnifica nouă erăîn dezvoltarea geometriei, matematicii și științei în general.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ #177. GEOMETRIA lui LOBACHEVSKY (bandă de film sovietică)

✪ Geometrie non-euclidiană. Partea 1. Istoria matematicii

✪ Geometrii non-euclidiene. Un pic despre Știință #Știință

✪ Relativitatea generală | geometrie hiperbolica | 1 | ea este geometria lui Lobaciovski

✪ Geometrie non-euclidiană. Partea 2. Istoria matematicii

Subtitrări

Poveste

Încercările de a demonstra postulatul al cincilea

Punctul de plecare al geometriei lui Lobaciovski a fost postulatul V al lui Euclid, o axiomă echivalentă cu axioma paralelă. A fost inclusă în lista de postulate din Elementele lui Euclid. Complexitatea relativă și neintuitivitatea formulării sale au evocat un sentiment al naturii sale secundare și au dat naștere unor încercări de a o deriva ca teoremă din restul postulatelor lui Euclid.

Printre mulți dintre cei care au încercat să demonstreze al cincilea postulat s-au numărat, în special, următorii oameni de știință proeminenți.

• Matematicienii greci antici Ptolemeu (secolul II) și Proclu (secolul V) (bazat pe ipoteza unei distanțe finite între două paralele).
• Ibn al-Khaytham din Irak (secolele târziu - începutul secolelor) (bazat pe presupunerea că capătul unei perpendiculare în mișcare pe o linie dreaptă descrie o linie dreaptă).
• Matematicienii iranieni Omar Khayyam (a doua jumătate - începutul secolului al XII-lea) și Nasir ad-Din at-Tusi (secolul al XIII-lea) (bazat pe ipoteza că două linii convergente nu pot continua să diverge fără a se încrucișa).
• Prima încercare în Europa cunoscută de noi de a demonstra axioma de paralelism a lui Euclid a fost propusă de Gersonides (alias Levi ben Gershom, secolul al XIV-lea), care locuia în Provence (Franța). Dovada sa s-a bazat pe afirmația că dreptunghiul există.
• Matematicianul german Clavius ​​​​().
• matematicienii italieni
  • Cataldi (pentru prima dată în 1603 a publicat o lucrare dedicată în întregime problemei paralelelor).
  • Borelli (), J. Vitale ().
• Matematicianul englez Wallis (, publicat în) (bazat pe presupunerea că pentru fiecare figură există o cifră similară cu ea, dar nu egală cu ea).
• Matematicianul francez Legendre () (bazat pe presupunerea că prin fiecare punct din interior unghi ascutit puteți trage o linie care intersectează ambele părți ale unghiului; a avut şi alte încercări de dovadă).

În aceste încercări de a demonstra postulatul al cincilea, matematicienii au introdus (în mod explicit sau implicit) o ​​nouă afirmație, care li s-a părut mai evidentă.

Au fost făcute încercări de a folosi dovezile prin contradicție:

• matematicianul italian Saccheri () (după ce a formulat o afirmație care contrazice postulatul, a dedus o serie de consecințe și, recunoscând greșit unele dintre ele ca fiind contradictorii, a considerat postulatul dovedit),
• Matematicianul german Lambert (despre , publicat în ) (după ce a efectuat cercetări, a recunoscut că nu a putut găsi contradicții în sistemul pe care l-a construit).

În cele din urmă, a început să se înțeleagă că este posibil să se construiască o teorie bazată pe postulatul opus:

• Matematicienii germani Schweikart () și Taurinus () (cu toate acestea, nu și-au dat seama că o astfel de teorie ar fi la fel de coerentă din punct de vedere logic).

Crearea geometriei non-euclidiene

Lobachevsky, în On the Principles of Geometry (), prima sa lucrare tipărită despre geometria non-euclidiană, a afirmat clar că al cincilea postulat nu poate fi dovedit pe baza altor premise ale geometriei euclidiene și că presupunerea unui postulat opus celui de Euclid. postulat permite să construim o geometrie la fel de semnificativă și lipsită de contradicții, ca euclidiană.

Simultan și independent, Janos Bolyai a ajuns la concluzii similare, iar Carl Friedrich Gauss a ajuns la astfel de concluzii chiar mai devreme. Cu toate acestea, scrierile lui Bolyai nu au atras atenția și el a abandonat în curând subiectul, în timp ce Gauss s-a abținut deloc să publice, iar opiniile sale pot fi judecate doar din câteva scrisori și înregistrări din jurnal. De exemplu, într-o scrisoare din 1846 către astronomul G. H. Schumacher, Gauss a vorbit despre opera lui Lobachevsky în felul următor:

Această lucrare conține bazele geometriei care ar trebui să aibă loc și, în plus, ar constitui un întreg strict consistent, dacă geometria euclidiană nu ar fi adevărată... Lobaciovski o numește „geometrie imaginară”; Știți că de 54 de ani încoace împărtășesc aceleași opinii cu o anumită dezvoltare, pe care nu vreau să le menționez aici; astfel, nu am găsit nimic cu adevărat nou pentru mine în opera lui Lobaciovski. Dar în dezvoltarea subiectului, autorul nu a urmat drumul pe care eu însumi l-am urmat; este realizată cu măiestrie de Lobaciovski într-un spirit cu adevărat geometric. Mă consider obligat să vă atrag atenția asupra acestei lucrări, care vă va oferi cu siguranță o plăcere cu totul excepțională.

Drept urmare, Lobaciovski a acționat ca primul propagandist cel mai strălucit și mai consistent. geometrie nouă. Deși geometria lui Lobaciovski s-a dezvoltat ca o teorie speculativă, iar Lobaciovski însuși a numit-o „geometrie imaginară”, cu toate acestea, el a fost primul care a propus-o în mod deschis nu ca un joc al minții, ci ca o teorie posibilă și utilă a relațiilor spațiale. Dovada consecvenței sale a fost însă dată mai târziu, când au fost indicate interpretările (modelele) ale acestuia.

Enunțul geometriei lui Lobaciovski

În aceste lucrări, Beltrami a dat o dovadă geometrică transparentă a consistenței noii geometrii, mai precis, că geometria lui Lobachevsky este inconsecventă dacă și numai dacă geometria lui Euclid este inconsistentă. Lobaciovski a avut și o astfel de dovadă, dar a fost mai complicat, într-o direcție modelul plan euclidian din geometria lui Lobaciovsky, a fost construit folosind modelul ca la Beltrami, în cealaltă direcție mergea analitic.

ln ⁡ (A N A M B M B N) (\displaystyle \ln \left((\frac (AN)(AM))(\frac (BM)(BN))\right))

În absolutul exterior se realizează geometria spațiului anti-de Sitter.

Model euclidian conform

Un alt model de avion Lobachevsky propus de Beltrami.

Interiorul cercului este luat ca plan Lobachevsky, arcele de cerc perpendiculare pe circumferința cercului dat și diametrele acestuia sunt considerate drepte, mișcările sunt transformări obținute prin combinații de inversiuni față de cerc, ale căror arcuri servesc drept linii drepte.

Modelul Poincaré este remarcabil prin faptul că în el unghiurile sunt reprezentate prin unghiuri obișnuite.

Suprafață cu curbură negativă constantă

Alte definiție analitică Geometria Lobachevsky constă în faptul că geometria Lobachevsky este definită ca geometria riemannian spațiul de curbură negativă constantă. Această definiție a fost de fapt dată încă din 1854 de către Riemann și a inclus un model al geometriei lui Lobachevsky ca geometrie pe suprafețe cu curbură constantă. Cu toate acestea, Riemann nu a legat direct construcțiile sale de geometria lui Lobaciovski, iar raportul său, în care le-a raportat, nu a fost înțeles și a fost publicat abia după moartea sa (în 1868).

Conținutul geometriei lui Lobaciovski

Lobaciovski și-a construit geometria, pornind de la conceptele geometrice de bază și de la axioma sa și a demonstrat teoremele printr-o metodă geometrică, similară modului în care se face în geometria lui Euclid. Teoria s-a bazat linii paralele, deoarece de aici începe diferența dintre geometria lui Lobachevsky și geometria lui Euclid. Toate teoremele care nu depind de axioma paralelă sunt comune ambelor geometrii; ele formează așa-numita geometrie absolută, care include, de exemplu, criteriile pentru egalitatea triunghiurilor. În urma teoriei paralelelor s-au construit și alte secțiuni, inclusiv trigonometria și principiile geometriei analitice și diferențiale.

Să prezentăm (în notație modernă) câteva fapte ale geometriei lui Lobaciovski care o deosebesc de geometria lui Euclid și au fost stabilite de însuși Lobaciovski.

Prin punct P neîntins pe linia dată. R(vezi figura), există infinit de linii drepte care nu se intersectează Rși situat cu el în același plan; printre ele sunt două extreme X, y, care se numesc paralele asimptotic(uneori doar paralel) drept R si restul - ultra-paralel.

Colţ θ (\displaystyle \theta )între perpendiculară PB din P pe Rși fiecare dintre paralelele asimptotic (numite unghi de paralelism) pe măsură ce punctul este eliminat P scade de la linia dreaptă de la 90° la 0° (în modelul Poincaré, unghiurile în sensul obișnuit coincid cu unghiurile în sensul lui Lobachevsky și, prin urmare, acest fapt poate fi văzut direct pe acesta). Paralel X pe de o parte (și y opus) se abordează asimptotic A, iar pe de altă parte, se îndepărtează infinit de el (în modele, distanțele sunt greu de determinat și, prin urmare, acest fapt nu este direct vizibil).

Pentru un punct situat dintr-o linie dreaptă dată la o distanţă PB = a(vezi figura), Lobaciovski a dat o formulă pentru unghiul de paralelism P(a) :

θ = Π (a) = 2 arctan ⁡ e − a q (\displaystyle \theta =\Pi (a)=2\operatorname (arctg) ~e^(-(\frac (a)(q))))

Aici q este o constantă legată de curbura spațiului Lobaciovski. Poate servi ca unitate absolută de lungime în același mod ca în geometria sferică poziție specială ocupă raza sferei.

Dacă liniile au o perpendiculară comună, atunci sunt ultraparalele, adică diverg infinit pe ambele părți ale acesteia. La oricare dintre ele este posibil să se restabilească perpendiculare care nu ajung pe cealaltă linie.

În geometria lui Lobaciovski nu există triunghiuri asemănătoare, dar inegale; triunghiurile sunt congruente dacă unghiurile lor sunt egale.

Suma unghiurilor oricărui triunghi este mai mică decât π (\displaystyle \pi )și poate fi în mod arbitrar aproape de zero (diferența dintre 180° și suma unghiurilor triunghiului ABC din geometria lui Lobachevsky este pozitivă - se numește defectul acestui triunghi). Acest lucru este direct vizibil în modelul Poincaré. Diferență δ = π - (α + β + γ) (\displaystyle \delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma)), Unde α (\displaystyle \alpha), β (\displaystyle \beta), γ (\displaystyle \gamma )- unghiurile unui triunghi, proporționale cu aria lui:

S = q 2 ⋅ δ (\displaystyle S=q^(2)\cdot \delta )

Din formula se poate observa că există o suprafață maximă a unui triunghi, iar acesta este un număr finit: π q 2 (\displaystyle \pi q^(2)).

O linie de distanțe egale față de o linie dreaptă nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită echidistant sau hiperciclu.

Limita cercurilor cu raza infinit crescătoare nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită cerc limită, sau un horociclu.

Limita sferelor cu raza infinit crescătoare nu este un plan, ci o suprafață specială - sfera limită, sau horosfera; este remarcabil că geometria euclidiană se menține. Acest lucru a servit lui Lobachevsky ca bază pentru derivarea formulelor de trigonometrie.

Circumferința nu este proporțională cu raza, dar crește mai repede. În special, în geometria Lobachevsky, numărul π (\displaystyle \pi ) nu poate fi definit ca raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia.

Cu cât regiunea în spațiu sau în planul Lobachevsky este mai mică, cu atât relațiile geometrice din această regiune diferă mai puțin de relațiile geometriei euclidiene. Putem spune că geometria euclidiană este valabilă într-o regiune infinitezimală. De exemplu, cu cât triunghiul este mai mic, cu atât suma unghiurilor sale diferă mai puțin de π (\displaystyle \pi ); cu cât cercul este mai mic, cu atât raportul dintre lungimea lui și raza diferă mai puțin de 2 π (\displaystyle 2\pi ), etc. O scădere a ariei este echivalentă formal cu o creștere a unității de lungime, prin urmare, cu o creștere infinită a unității de lungime, formulele geometriei Lobachevsky se transformă în formulele geometriei euclidiene. Geometria euclidiană este în acest sens cazul „limitător” al geometriei lui Lobaciovski.

Umplerea planului și a spațiului cu politopuri obișnuite

Planul Lobachevsky poate fi placat nu numai cu triunghiuri regulate, pătrate și hexagoane, ci și cu orice alte poligoane regulate. În același timp, la un vârf al parchetului trebuie să convergă cel puțin 7 triunghiuri, 5 pătrate, 4 cinci sau hexagoane sau 3 poligoane cu mai mult de 6 laturi, adică numărul de plăci diferite este infinit și cu ajutorul a simbolului Schläfli M lucruri N-gons) toate plăcile planului Lobachevsky pot fi scrise după cum urmează:

• (3, 7), (3, 8), …, adică (3, M), Unde M≥7;
• (4, 5), (4, 6), …, adică (4, M), Unde M≥5;
• (5, 4), (5, 5), …, adică (5, M), Unde M≥4;
• (6, 4), (6, 5), …, adică (6, M), Unde M≥4;
• (N, M), unde N≥7, M≥3.

Fiecare gresie ( N , M ) (\displaystyle \stanga\(N,M\dreapta\)) necesită o dimensiune a unității strict definită N-gon, în special, aria sa ar trebui să fie egală cu:

S ( N ; M ) = q 2 π (N - 2 - 2 N M) (\displaystyle S_(\left\(N;M\right\))=q^(2)\pi \left(N-2- 2(\frac (N)(M))\dreapta))

Spre deosebire de spațiul obișnuit (spațiul euclidian tridimensional), care poate fi umplut cu poliedre regulate într-un singur mod (8 cuburi la un vârf sau patru la o margine (4,3,4)), spațiul tridimensional Lobaciovsky poate fi placat cu poliedre regulate, precum și plat, într-un număr infinit de moduri. Cu simbolul Schläfli ( N , M , P ) (\displaystyle \stanga\(N,M,P\dreapta\))(la un vârf converge M lucruri N-goni, iar fiecare muchie converge în P poliedre) toate plăcile pot fi scrise după cum urmează: [ ]

• (3,3,6), (3,3,7), …, adică (3,3, P), Unde P≥6;
• (4,3,5), (4,3,6), …, adică (4,3, P), Unde P≥5;
• (3,4,4), (3,4,5), …, adică (3,4, P), Unde P≥4;
• (5,3,4), (5,3,5), …. Adică (5,3, P), Unde P≥4;
• (3,5,3), (3,5,4), …, adică (3,5, P), Unde P≥3.

Politopii unor astfel de partiții pot avea un volum infinit, cu excepția unui număr finit de partiții ale spațiului în poliedre regulate cu volumul final:

• (3,5,3) (trei icosaedre pe margine)
• (4,3,5) (cinci cuburi pe margine)
• (5,3,4) (patru dodecaedre pe muchie)
• (5,3,5) (cinci dodecaedre pe muchie)

În plus, există 11 moduri de a umple spațiul Lobachevsky cu horosfere mozaice obișnuite ((3,4,4), (3,3,6), (4,3,6), (5,3,6), ( 4,4, 3), (6,3,3), (6,3,4), (6,3,5), (6,3,6), (4,4,4), (3, 6,3)). [ ]

Aplicații

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (\displaystyle x^(2)+y^(2)+z^(2)=c^(2)t^(2)) la împărțirea la t 2 (\displaystyle t^(2)), adică pentru viteza luminii, dă v x 2 + v y 2 + v z 2 = c 2 (\displaystyle v_(x)^(2)+v_(y)^(2)+v_(z)^(2)=c^(2))- ecuaţia sferei în spaţiu cu coordonate v x (\displaystyle v_(x)), v y (\displaystyle v_(y)), v z (\displaystyle v_(z))- componentele vitezei de-a lungul axelor X, la, z(în „spațiul vitezei”).

avion Lobaciovski

Geometria lui Lobaciovski (geometrie hiperbolica asculta)) este una dintre geometriile non-euclidiene, o teorie geometrică bazată pe aceleași premise de bază ca geometria euclidiană obișnuită, cu excepția axiomei paralele, care este înlocuită de axioma paralelă a lui Lobachevsky.

Axioma euclidiană a paralelelor spune:

printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, există o singură dreaptă care se află cu dreapta dată în același plan și nu o intersectează.

În geometria Lobachevsky, se acceptă în schimb următoarea axiomă:

printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată trec cel puțin două drepte care se află cu dreapta dată în același plan și nu o intersectează.

Geometria lui Lobachevsky are aplicații extinse atât în ​​matematică, cât și în fizică. Semnificația sa istorică constă în faptul că, prin construcția sa, Lobaciovski a arătat posibilitatea unei geometrii diferite de euclidiană, care a marcat o nouă eră în dezvoltarea geometriei și a matematicii în general.

Poveste

Încercările de a demonstra postulatul al cincilea

Punctul de plecare al geometriei lui Lobaciovski a fost al cincilea postulat al lui Euclid, o axiomă echivalentă cu axioma paralelă. A fost inclusă în lista de postulate din Elementele lui Euclid). Complexitatea relativă și neintuitivitatea formulării sale au evocat un sentiment al naturii sale secundare și au dat naștere la încercări de a o deriva din restul postulatelor lui Euclid.

Printre cei care încercau să demonstreze s-au numărat următorii oameni de știință:

• matematicienii greci antici Ptolemeu (secolul II), Proclus (secolul V) (bazat pe presupunerea că distanța dintre două paralele este finită),
• Ibn al-Haytham din Irak (secolele târziu - începutul secolelor) (bazat pe presupunerea că capătul unei perpendiculare în mișcare pe o linie dreaptă descrie o linie dreaptă),
• Matematicienii iranieni Omar Khayyam (a doua jumătate - începutul secolului al XII-lea) și Nasir ad-Din at-Tusi (secolul al XIII-lea) (bazat pe presupunerea că două linii convergente nu pot continua să diverge fără să se încrucișeze),
• Matematicianul german Clavius ​​​​(),
• matematicienii italieni
  • Cataldi (pentru prima dată în 1603 a publicat o lucrare dedicată în întregime problemei paralelelor),
• Matematicianul englez Wallis ( , publicat în ) (pe baza ipotezei că pentru fiecare figură există o cifră similară cu ea, dar nu egală cu ea),
• Matematicianul francez Legendre () (bazat pe presupunerea că prin fiecare punct din interiorul unui unghi ascuțit puteți trage o linie care intersectează ambele părți ale unghiului; a avut și alte încercări de demonstrație).

În aceste încercări de a demonstra al cincilea postulat, matematicienii au introdus o nouă afirmație, care li s-a părut mai evidentă.

Au fost făcute încercări de a folosi dovezile prin contradicție:

• matematicianul italian Saccheri () (după ce a formulat o afirmație care contrazice postulatul, a dedus o serie de consecințe și, recunoscând greșit unele dintre ele ca fiind contradictorii, a considerat postulatul dovedit),
• Matematicianul german Lambert (despre, publicat în) (după ce a făcut cercetări, a recunoscut că nu a putut găsi contradicții în sistemul pe care l-a construit).

În cele din urmă, a început să se înțeleagă că este posibil să se construiască o teorie bazată pe postulatul opus:

• Matematicienii germani F. Schweikart () și Taurinus () (cu toate acestea, nu și-au dat seama că o astfel de teorie ar fi la fel de coerentă din punct de vedere logic).

Crearea geometriei non-euclidiene

Lobachevsky în lucrarea sa „Despre principiile geometriei” (), prima sa lucrare tipărită despre geometria non-euclidiană, a afirmat clar că postulatul V nu poate fi dovedit pe baza altor premise ale geometriei euclidiene și că presupunerea unui postulat opusul postulatului lui Euclid permite să construim o geometrie la fel de semnificativă, ca euclidiană, și lipsită de contradicții.

Simultan și independent, Janos Bolyai a ajuns la concluzii similare, iar Carl Friedrich Gauss a ajuns la astfel de concluzii chiar mai devreme. Cu toate acestea, scrierile lui Bolyai nu au atras atenția și el a abandonat în curând subiectul, în timp ce Gauss s-a abținut deloc să publice, iar opiniile sale pot fi judecate doar din câteva scrisori și înregistrări din jurnal. De exemplu, într-o scrisoare din 1846 către astronomul G. H. Schumacher, Gauss vorbește despre opera lui Lobachevsky după cum urmează:

Această lucrare conține bazele geometriei care ar trebui să aibă loc și, în plus, ar constitui un întreg strict consistent, dacă geometria euclidiană nu ar fi adevărată... Lobaciovski o numește „geometrie imaginară”; Știți că timp de 54 de ani (din 1792) am împărtășit aceleași păreri cu o anumită dezvoltare a acestora, pe care nu vreau să le menționez aici; astfel, nu am găsit nimic cu adevărat nou pentru mine în opera lui Lobaciovski. Dar în dezvoltarea subiectului, autorul nu a urmat drumul pe care eu însumi l-am urmat; este realizată cu măiestrie de Lobaciovski într-un spirit cu adevărat geometric. Mă consider obligat să vă atrag atenția asupra acestei lucrări, care vă va oferi cu siguranță o plăcere cu totul excepțională.

Drept urmare, Lobaciovski a acționat ca primul propagandist cel mai strălucit și mai consistent al acestei teorii.

Deși geometria lui Lobaciovski s-a dezvoltat ca o teorie speculativă și Lobaciovski însuși a numit-o „geometrie imaginară”, totuși, Lobaciovski a fost cel care a considerat-o nu ca un joc al minții, ci ca o posibilă teorie a relațiilor spațiale. Dovada consecvenței sale s-a dat însă mai târziu, când s-au indicat interpretările sale și astfel s-a rezolvat în totalitate problema sensului său real, consistența logică.

Enunțul geometriei lui Lobaciovski

colțul este și mai dificil.

Modelul Poincaré

Conținutul geometriei lui Lobaciovski

Creion de linii paralele în geometria lui Lobaciovski

Lobaciovski și-a construit geometria, pornind de la conceptele geometrice de bază și de la axioma sa și a demonstrat teoremele printr-o metodă geometrică, similară modului în care se face în geometria lui Euclid. Teoria liniilor paralele a servit drept bază, deoarece aici începe diferența dintre geometria lui Lobachevsky și geometria lui Euclid. Toate teoremele care nu depind de axioma paralelelor sunt comune ambelor geometrii și formează așa-numita geometrie absolută, care include, de exemplu, teoreme privind egalitatea triunghiurilor. În urma teoriei paralelelor s-au construit și alte secțiuni, inclusiv trigonometria și principiile geometriei analitice și diferențiale.

Să prezentăm (în notație modernă) câteva fapte ale geometriei lui Lobaciovski care o deosebesc de geometria lui Euclid și au fost stabilite de însuși Lobaciovski.

Prin punct P neîntins pe linia dată. R(vezi figura), există infinit de linii drepte care nu se intersectează Rși situat cu el în același plan; printre ele sunt două extreme X, y, care se numesc drepte paralele Rîn sensul lui Lobaciovski. În modelele lui Klein (Poincare), acestea sunt reprezentate prin acorduri (arcuri de cerc) având cu o coardă (arc) R scop comun(care, prin definiția modelului, este exclus, astfel încât aceste linii nu au puncte comune).

Unghiul dintre perpendiculare PB din P pe Rși fiecare dintre cele paralele (numite unghi de paralelism) pe măsură ce punctul este eliminat P scade de la linia dreaptă de la 90° la 0° (în modelul Poincaré, unghiurile în sensul obișnuit coincid cu unghiurile în sensul lui Lobachevsky și, prin urmare, acest fapt poate fi văzut direct pe acesta). Paralel X pe de o parte (și y opus) se abordează asimptotic A, iar pe de altă parte, se îndepărtează infinit de el (în modele, distanțele sunt greu de determinat și, prin urmare, acest fapt nu este direct vizibil).

Pentru un punct situat dintr-o linie dreaptă dată la o distanţă PB = a(vezi figura), Lobaciovski a dat o formulă pentru unghiul de paralelism P(a) :

Aici q este o constantă legată de curbura spațiului Lobaciovski. Poate servi ca unitate absolută de lungime în același mod ca în geometria sferică raza sferei ocupă o poziție specială.

Dacă liniile au o perpendiculară comună, atunci ele diverg infinit pe ambele părți ale acesteia. La oricare dintre ele este posibil să se restabilească perpendiculare care nu ajung pe cealaltă linie.

În geometria lui Lobaciovski nu există triunghiuri asemănătoare, dar inegale; triunghiurile sunt congruente dacă unghiurile lor sunt egale.

Suma unghiurilor oricărui triunghi este mai mică decât π și poate fi în mod arbitrar aproape de zero. Acest lucru este direct vizibil în modelul Poincaré. Diferența δ \u003d π - (α + β + γ) , unde α , β , γ sunt unghiurile triunghiului, este proporțională cu aria sa:

Din formula se poate observa că există o zonă maximă a unui triunghi, iar acesta este un număr finit: π q 2 .

O linie de distanțe egale față de o linie dreaptă nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită echidistant sau hiperciclu.

Limita cercurilor cu raza infinit crescătoare nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită cerc limită, sau un horociclu.

Limita sferelor cu raza infinit crescătoare nu este un plan, ci o suprafață specială - sfera limită, sau horosfera; este remarcabil că geometria euclidiană se menține. Acest lucru a servit lui Lobachevsky ca bază pentru derivarea formulelor de trigonometrie.

Circumferința nu este proporțională cu raza, dar crește mai repede. În special, în geometria lui Lobachevsky, numărul π nu poate fi definit ca raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia.

Cu cât regiunea în spațiu sau în planul Lobachevsky este mai mică, cu atât relațiile geometrice din această regiune diferă mai puțin de relațiile geometriei euclidiene. Putem spune că geometria euclidiană este valabilă într-o regiune infinitezimală. De exemplu, cu cât triunghiul este mai mic, cu atât suma unghiurilor sale diferă mai puțin de π; cu cât este mai mic cercul, cu atât raportul dintre lungimea și raza diferă mai puțin de 2π etc. Reducerea ariei este echivalentă formal cu creșterea lungimii unității, prin urmare, cu o creștere infinită a lungimii unității, formulele geometriei Lobachevsky se transformă în formule de geometrie euclidiană. Geometria euclidiană este în acest sens cazul „limitător” al geometriei lui Lobaciovski.

Aplicații

• Lobaciovski însuși și-a aplicat geometria la calculul integralelor definite.
• În teoria funcțiilor unei variabile complexe, geometria lui Lobachevsky a ajutat la construirea teoriei funcțiilor automorfe. Legătura cu geometria lui Lobachevsky a fost aici punctul de plecare al cercetării lui Poincaré, care a scris că „geometria non-euclidiană este cheia rezolvării întregii probleme”.
• Geometria lui Lobaciovski își găsește aplicație și în teoria numerelor, în metodele sale geometrice, unite sub denumirea de „geometria numerelor”.
• S-a stabilit o legătură strânsă între geometria lui Lobachevsky și cinematica teoriei speciale (private) a relativității. Această legătură se bazează pe faptul că egalitatea exprimă legea de propagare a luminii

la împărțirea la t 2, adică pentru viteza luminii, dă - ecuaţia sferei în spaţiu cu coordonate v X , v y , v z- componentele vitezei de-a lungul axelor X, la, z(în „spațiul vitezei”). Transformările Lorentz păstrează această sferă și, deoarece sunt liniare, transformă spațiile de viteză directă în linii drepte. Prin urmare, conform modelului Klein, în spațiul vitezelor din interiorul unei sfere de rază Cu, adică pentru viteze mai mici decât viteza luminii are loc geometria Lobachevsky.

• Geometria lui Lobachevsky a găsit o aplicație remarcabilă în teoria generală a relativității. Dacă presupunem că distribuția maselor de materie în Univers este uniformă (această aproximare este acceptabilă la scară cosmică), atunci se dovedește că în anumite condiții spațiul are geometria Lobachevsky. Astfel, asumarea lui Lobaciovski a geometriei sale ca o posibilă teorie a spațiului real a fost justificată.
• Folosind modelul Klein, se oferă o demonstrație foarte simplă și scurtă