Unde λ este egal cu numărul mediu de apariții ale evenimentelor din același teste independente, adică λ = n × p, unde p este probabilitatea unui eveniment într-o singură încercare, e = 2,71828 .
Seria de distribuție a legii lui Poisson are forma:
Atribuirea serviciului. Calculatorul online este folosit pentru a construi distribuția Poisson și pentru a calcula toate caracteristicile seriei: așteptări matematice, varianță și abatere standard. Procesul-verbal cu decizia se intocmeste in format Word.
În cazul în care n este mare și λ = p n > 10, formula Poisson oferă o aproximare foarte grosieră și pentru a calcula P n (m) folosiți teoremele Moivre-Laplace locale și integrale.
Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare X
Așteptările matematice ale distribuției PoissonM[X] = λ
Varianta distribuției Poisson
D[X] = λ
Exemplul #1. Semințele conțin 0,1% buruieni. Care este probabilitatea de a găsi 5 semințe de buruieni într-o selecție aleatorie de 2000 de semințe?
Soluţie.
Probabilitatea p este mică, iar numărul n este mare. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Valorea estimata: M[X] = λ = 2
Dispersia: D[X] = λ = 2
Exemplul #2. Dintre semințele de secară se numără 0,4% din semințele de buruieni. Întocmește legea de distribuție a numărului de buruieni cu o selecție aleatorie de 5000 de semințe. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Soluţie. Așteptări: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Varianta: D[X] = λ = 20
Legea distributiei:
| X | 0 | 1 | 2 | … | m | … |
| P | e-20 | 20e-20 | 200e-20 | … | 20m e-20/m! | … |
Exemplul #3. La centrala telefonică apare o conexiune incorectă cu o probabilitate de 1/200. Găsiți probabilitatea ca între 200 de conexiuni să existe:
a) exact o conexiune greșită;
b) mai puțin de trei conexiuni incorecte;
c) mai mult de două conexiuni incorecte.
Soluţie.În funcție de starea problemei, probabilitatea unui eveniment este mică, deci folosim formula Poisson (15).
a) Dat fiind: n = 200, p = 1/200, k = 1. Aflați P 200 (1).
Primim: 
. Atunci P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Având în vedere: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Avem: a = 1. 
c) Având în vedere: n = 200, p = 1/200, k > 2. Aflați P 200 (k > 2).
Această problemă poate fi rezolvată mai simplu: pentru a găsi probabilitatea evenimentului opus, deoarece în acest caz trebuie să calculați mai puțini termeni. Ținând cont de cazul anterior, avem
Luați în considerare cazul în care n este suficient de mare și p este suficient de mic; punem np = a, unde a este un număr. În acest caz, probabilitatea dorită este determinată de formula Poisson:
Probabilitatea de apariție a k evenimente într-un timp cu durata t poate fi găsită și folosind formula Poisson:
unde λ este intensitatea fluxului de evenimente, adică numărul mediu de evenimente care apar pe unitatea de timp.
Exemplul #4. Probabilitatea ca o piesă să fie defectă este de 0,005. Sunt verificate 400 de piese. Specificați formula pentru calcularea probabilității ca mai mult de 3 părți să fie defecte.
Exemplul numărul 5. Probabilitatea apariției pieselor defecte în producția lor în masă este egală cu p. determinați probabilitatea ca un lot de N părți să conțină a) exact trei părți; b) nu mai mult de trei piese defecte.
p=0,001; N=4500
Soluţie.
Probabilitatea p este mică, iar numărul n este mare. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Variabila aleatoare X are intervalul (0,1,2,...,m). Probabilitățile acestor valori pot fi găsite prin formula:
Să găsim seria de distribuție X.
Aici λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999 
Atunci probabilitatea ca un lot de N părți să conțină exact trei părți este egală cu: 
Atunci probabilitatea ca un lot de N părți să nu conțină mai mult de trei părți defecte este:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736
Exemplul numărul 6. O centrală telefonică automată primește, în medie, N apeluri pe oră. Determinați probabilitatea ca într-un minut dat să primească: a) exact două apeluri; b) mai mult de două apeluri.
N=18
Soluţie.
Într-un minut, ATS primește în medie λ = 18/60 min. = 0,3
Presupunând că un număr aleatoriu X de apeluri primite la PBX într-un minut,
respectă legea lui Poisson, prin formula găsim probabilitatea necesară
Să găsim seria de distribuție X.
Aici λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222 
Probabilitatea ca ea să primească exact două apeluri într-un minut dat este:
P(2) = 0,03334
Probabilitatea ca ea să primească mai mult de două apeluri într-un minut dat este:
P(x>2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366
Exemplul numărul 7. Luăm în considerare două elemente care funcționează independent unul de celălalt. Durata timpului de funcționare are o distribuție exponențială cu parametrul λ1 = 0,02 pentru primul element și λ2 = 0,05 pentru al doilea element. Aflați probabilitatea ca în 10 ore: a) ambele elemente să funcționeze impecabil; b) numai Probabilitatea ca elementul #1 să nu eșueze în 10 ore:
Soluţie.
P 1 (0) \u003d e -λ1 * t \u003d e -0,02 * 10 \u003d 0,8187
Probabilitatea ca elementul #2 să nu eșueze în 10 ore este:
P 2 (0) \u003d e -λ2 * t \u003d e -0,05 * 10 \u003d 0,6065
a) ambele elemente vor funcționa impecabil;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) un singur element va eșua.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321
Exemplul numărul 7. Producția dă 1% din căsătorie. Care este probabilitatea ca din 1100 de produse luate pentru cercetare, nu mai mult de 17 să fie respinse?
Notă: deoarece aici n*p =1100*0.01=11 > 10, este necesar să folosiți
Cum au început să sosească cererile: „Unde este Poisson? Unde sunt sarcinile din formula Poisson? si asa mai departe. Și așa voi începe cu uz privat Distribuția Poisson - datorită cererii mari pentru material.
Sarcina este dureros de euforică familiară:
Și următoarele două sarcini sunt fundamental diferite de cele anterioare:
Exemplul 4
Variabila aleatoare este supusă legii lui Poisson cu așteptări matematice. Găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatoare dată să ia o valoare mai mică decât așteptările ei matematice.
Diferența este că aici vorbim EXACT despre distribuția Poisson.
Soluţie: variabila aleatoare ia valori 
cu probabilitati:
După condiția, , și aici totul este simplu: evenimentul este format din trei rezultate incompatibile:
Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare mai mică decât așteptările ei matematice.
Răspuns:
O sarcină similară de înțelegere:
Exemplul 5
Variabila aleatoare este supusă legii lui Poisson cu așteptări matematice. Găsiți probabilitatea ca variabila aleatoare dată să ia o valoare pozitivă.
Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.
Inafara de apropieredistribuție binomială(Exemplele 1-3), distribuția Poisson și-a găsit o aplicare largă în teoria cozilor pentru o caracteristică probabilistică cel mai simplu fluxul de evenimente. Voi incerca sa fiu concis:
Lăsați anumite sisteme să primească solicitări (apeluri telefonice, clienți care sosesc etc.). Fluxul aplicației este numit cel mai simplu daca indeplineste conditiile staționaritate, lipsa de consecinteși comun. Staționaritatea implică faptul că intensitatea aplicațiilor constantși nu depinde de ora din zi, ziua săptămânii sau alte intervale de timp. Cu alte cuvinte, nu există „ora de vârf” și nu există „ora moartă”. Absența consecințelor înseamnă că probabilitatea apariției unor noi aplicații nu depinde de „preistorie”, adică. nu există așa ceva că „o bunica a spus” și alții „a fugit înăuntru” (sau invers, au fugit). Și, în sfârșit, proprietatea obișnuitității este caracterizată de faptul că pt destul de mic interval de timp aproape imposibil apariția a două sau mai multe aplicații. — Două bătrâne la uşă? - nu, mulțumesc, este mai convenabil să tăiați în ordine.
Deci, lăsați un sistem să primească cel mai simplu flux de cereri cu intensitate medie aplicații într-o anumită unitate de timp (minut, oră, zi sau oricare altul). Apoi probabilitatea ca pentru o anumită perioadă de timp, sistemul va primi exact cereri, este egal cu:
Exemplul 6
Apelurile către dispeceratul taxi reprezintă cel mai simplu flux Poisson cu o intensitate medie de 30 de apeluri pe oră. Aflați probabilitatea ca: a) în 1 min. Vor fi primite 2-3 apeluri, b) va fi cel puțin un apel în cinci minute.
Soluţie: utilizați formula Poisson:
a) Având în vedere staționaritatea fluxului, calculăm numărul mediu de apeluri pe 1 minut:
apeluri - în medie un minut.
Conform teoremei adunării probabilităților evenimentelor incompatibile:
- probabilitatea ca 2-3 apeluri sa fie primite in camera de control in 1 minut.
b) Calculați numărul mediu de apeluri pe cinci minute: 
9. Legea distribuției Poisson și Gauss
legea lui Poisson. Un alt nume pentru aceasta este legea determinării ra a evenimentelor rare. Legea lui Poisson (P.P.) se aplică în cazurile în care este puțin probabilă și, prin urmare, aplicarea P/C/R nu este adecvată.
Avantajele legii sunt: comoditatea în calcul, capacitatea de a calcula probabilitatea într-o anumită perioadă de timp, capacitatea de a înlocui timpul cu altul valoare continuă, de exemplu, dimensiuni liniare.
Legea lui Poisson are următoarea formă:
și se citește după cum urmează: probabilitatea de apariție a evenimentului A în m ori în n încercări independente este exprimată printr-o formulă de forma (59), unde a = pr este valoarea medie a p(A) și a este singura parametru în legea lui Poisson.
Legea distribuției normale (legea lui Gauss). Practica confirmă constant că legile distribuției erorilor respectă legea Gauss cu o aproximare suficientă atunci când se măsoară o mare varietate de parametri: de la dimensiuni liniare și unghiulare până la caracteristicile principalelor proprietăți mecanice ale oțelului.
Densitatea de probabilitate a legii distribuției normale (denumită în continuare N. R.) are forma
unde x 0 este valoarea medie a unei variabile aleatoare;
? este abaterea standard a aceleiași variabile aleatoare;
e \u003d 2.1783 ... - baza logaritmului natural;
W este un parametru care satisface condiția.
Motivul pentru utilizarea pe scară largă a legii distribuției normale este determinat teoretic de teorema lui Lyapunov.
Cu X 0 cunoscut și? ordonatele curbei funcţiei f(x) pot fi calculate prin formula
unde t este o variabilă normalizată,
(t) densitatea de probabilitate z. Dacă înlocuim z și (t) în formulă, atunci urmează:
Curba Z.N.R. numită adesea curba Gauss, această lege descrie foarte multe fenomene din natură.
6. Legea trecerii la supersistem După ce au epuizat posibilitățile de dezvoltare, sistemul este inclus în supersistem ca una dintre părți; în care dezvoltare ulterioară are loc la nivel de supersistem. Am vorbit deja despre această lege. Să trecem la dinamică. Include legi care
Din cartea Interfață: noi direcții în design sisteme informatice autorul Ruskin Jeff Din cartea Instrumentatie autorul Babaev M A4.4.1. Legea lui Fitts Să ne imaginăm că mutați cursorul pe un buton afișat pe ecran. Butonul este ținta acestei mișcări. Lungimea liniei drepte care conectează poziția de pornire a cursorului și cel mai apropiat punct al obiectului țintă este definită în legea lui Fitts ca distanță. Pe
Din cartea Heat Engineering autor Burkhanova Natalia4.4.2. Legea lui Hick Înainte de a muta cursorul la o țintă sau de a efectua orice altă acțiune dintr-un set de opțiuni, utilizatorul trebuie să selecteze acel obiect sau acțiune. Legea lui Hick afirmă că atunci când există n opțiuni din care să alegeți, este momentul să alegeți
Din cartea Computational Linguistics for All: Myths. Algoritmi. Limba autor Anisimov Anatoli Vasilievici6. Statistica distribuţiei variabilelor aleatoare Principalele caracteristici ale variabilelor aleatoare.1. Măsuri de poziție Acestea se numesc (considerate) puncte în jurul cărora fluctuează caracteristicile cantităților. Suma produselor valorilor empirice ale unei variabile aleatoare xi prin
Din cartea Fenomenul științei [Cybernetic Approach to Evolution] autor Turchin Valentin Fedorovich10. Legile distribuției binomiale și polinomiale. Distribuție improbabilă. Legea distribuției excentricității 1. Legea distribuției binomiale. Această lege este exprimată matematic prin formula de expansiune pentru binomul (q + p)2 în următoarea formă unde n! - citit
Din cartea Nanotehnologie [știință, inovație și oportunitate] de Foster Lynn11. Alte legi de distribuție În industria tehnică, inclusiv fabricarea instrumentelor, sunt utilizate și alte tipuri de legi de distribuție, în plus față de cele discutate mai sus. În acest caz, distribuția variabilelor aleatoare este deja în funcție de cei mai diverși parametri ai acestora.
Din cartea Istoria ingineriei electrice autor Echipa de autori22. Legea Boyle-Mariotte Una dintre legile gazelor ideale este legea Boyle-Mariotte, care afirma: produsul dintre presiunea P si volumul V al unui gaz este constant la masa si temperatura constanta a gazului. Această egalitate se numește ecuație izotermă. Izoterma este afișată
Din cartea Istoria descoperirilor și invențiilor remarcabile (ingineria electrică, industria energiei electrice, electronică radio) autor Shneiberg Jan Abramovici23. Legea lui Gay-Lussac Legea lui Gay-Lussac spune: raportul dintre volumul unui gaz la temperatura lui la presiune constantă a gazului și masa lui este constantă.V / T = m / MO R / P = const la P = const, m = const. numele ecuației izobare O izobară este reprezentată pe o diagramă PV printr-o linie dreaptă,
Din cartea autorului24. Legea lui Charles Legea lui Charles afirmă că raportul dintre presiunea gazului și temperatura sa este constant dacă volumul și masa gazului sunt neschimbate: P / T = m / MO R / V = const at V = const, m = const.. Izocorul este reprezentat pe o diagramă PV a unei linii drepte paralele cu axa P și
Din cartea autorului30. Legea conservării și transformării energiei Prima lege a termodinamicii se bazează pe legea universală a conservării și transformării energiei, care stabilește că energia nu se creează sau dispare.Corpurile care participă la un proces termodinamic interacționează între ele.
Din cartea autoruluiPRIȚESA BROȘTEI ȘI LEGEA STABILITĂȚII După cum sa subliniat mai devreme (legea abstractizării), gândirea primitivă a fost capabilă să analizeze fenomene concrete și să sintetizeze noi sisteme abstracte. Deoarece orice obiect construit de conștiință era perceput ca fiind viu și viu
Din cartea autorului1.1. Legea fundamentală a evoluției În procesul de evoluție a vieții, din câte știm, a existat întotdeauna și există acum o creștere a masei totale a materiei vii și complicarea organizării acesteia. Complicarea organizației formațiuni biologice, natura lucrează prin încercare și eroare
Din cartea autorului4.2. Legea lui Moore În forma sa cea mai simplă, Legea lui Moore este afirmația că densitatea circuitului tranzistorului se dublează la fiecare 18 luni. Dreptul de autor al legii este atribuit unuia dintre fondatorii cunoscutei companii Intel, Gordon Moore. Strict vorbind, în
Distribuția Poisson - un caz de distribuție binomială când numărul de încercări n suficient de mare și probabilitatea p evoluții A mic().
Distribuția Poisson este numită și distribuția evenimentelor rare. De exemplu, nașterea anul trei sau patru gemeni, aceeași lege de distribuție se aplică numărului de atomi radioactivi care se descompun pe unitatea de timp etc.
Probabilitatea de apariție a evenimentelor rare este calculată prin formula Poisson :
,
Unde m numărul de apariție a evenimentului A;
Valoarea medie a distribuției Poisson;
e\u003d 2,7183 - baza logaritmului natural.
Legea lui Poisson depinde de un parametru - λ (lambda), al cărui sens este următorul: este atât așteptarea matematică, cât și varianța unei variabile aleatoare distribuite conform legii Poisson.
Condiții pentru apariția distribuției Poisson
Luați în considerare condițiile în care apare distribuția Poisson.
In primul rand, distribuția Poisson este limita pentru distribuția binomială când numărul de experimente n crește la infinit (tinde spre infinit) și în același timp probabilitatea p succesul într-un experiment scade la infinit (tinde spre zero), dar în așa fel încât produsul lor np rămâne în limită constantă și egală cu λ (lambde):
În analiza matematică, se demonstrează că distribuția Poisson cu parametrul λ = np poate fi aplicat aproximativ în locul binomului, când numărul de experimente n foarte mare, iar probabilitatea p este foarte mic, adică în fiecare experiență individuală, evenimentul A apare extrem de rar.
În al doilea rând, Distribuția Poisson apare atunci când există un flux de evenimente numit cel mai simplu (sau flux Poisson staționar) . Un flux de evenimente este o secvență de evenimente, cum ar fi apeluri care sosesc la un nod de comunicație, vizitatori care sosesc la un magazin, trenuri care sosesc la o cocoașă și altele asemenea. Fluxul Poisson are următoarele proprietăți:
- staționaritate: probabilitate de apariție m evenimentele dintr-o anumită perioadă de timp este constantă și nu depinde de originea timpului, ci depinde doar de lungimea intervalului de timp;
- obișnuit: probabilitatea ca două sau mai multe evenimente să lovească un interval de timp mic este neglijabilă în comparație cu probabilitatea ca un eveniment să-l lovească;
- nicio consecință: probabilitatea de apariție m evenimentele dintr-o anumită perioadă de timp nu depinde de câte evenimente au avut loc în perioada anterioară.
Caracteristicile unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson
Caracteristicile unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson:
valorea estimata ;
deviație standard ;
varianta .
Distribuție Poisson și calcule în MS Excel
Probabilitatea distribuției Poisson P(m) și valoarea funcției integrale F(m) poate fi calculat folosind funcția MS Excel POISSON.DIST. Fereastra pentru calculul corespunzător este afișată mai jos (faceți clic pe butonul stâng al mouse-ului pentru a mări).
MS Excel vă solicită să introduceți următoarele date:
- X- numărul de evenimente m;
- in medie;
- integrală - valoare logică: 0 - dacă trebuie să calculați probabilitatea P(m) și 1 - dacă probabilitatea F(m).
Rezolvarea exemplelor cu distribuția Poisson
Exemplul 1 Managerul unei companii de telecomunicații a decis să calculeze probabilitatea ca 0, 1, 2, ... apeluri să ajungă într-un anumit oraș mic în cinci minute. Au fost selectate intervale aleatorii de cinci minute, s-a numărat numărul de apeluri în fiecare dintre intervalele acestora și s-a calculat numărul mediu de apeluri: .
Calculați probabilitatea ca 6 apeluri să sosească în cinci minute.
Soluţie. Conform formulei Poisson, obținem:
Obținem același rezultat folosind funcția MS Excel POISSON.DIST (valoarea valorii integrale este 0):
P(6 ) = POISSON.DIST(6, 4,8, 0) = 0,1398.
Să calculăm probabilitatea ca nu mai mult de 6 apeluri să sosească în cinci minute (valoarea valorii integrale este 1):
P(≤6 ) = POISSON.DIST(6; 4,8; 1) = 0,7908.
Rezolvați singur exemplul și apoi vedeți soluția
Exemplul 2 Producătorul a trimis 1000 de televizoare testate, adică deservite într-un anumit oraș. Probabilitatea ca televizorul să se defecteze în timpul transportului este de 0,003. Adică, în acest caz, se aplică legea distribuției Poisson. Găsiți probabilitatea ca din toate televizoarele livrate următoarele să fie defecte: 1) două televizoare; 2) mai puțin de două televizoare.
Continuăm să rezolvăm exemple împreună
Exemplul 3 Centrul de apeluri pentru clienți primește un flux de apeluri cu o intensitate de 0,8 apeluri pe minut. Aflați probabilitatea ca în 2 minute: a) să nu vină apeluri; b) va veni exact un apel; c) va veni cel puțin un apel.
În multe probleme practice, trebuie să se ocupe de variabile aleatoare distribuite după o lege particulară, care se numește legea lui Poisson.
Luați în considerare o variabilă aleatoare discontinuă, care poate lua numai valori întregi, nenegative:
iar succesiunea acestor valori este teoretic nelimitată.
Se spune că o variabilă aleatoare este distribuită conform legii lui Poisson dacă probabilitatea ca aceasta să ia o anumită valoare este exprimată prin formula
unde a este o valoare pozitivă, numită parametrul legii Poisson.
Seria de distribuție a unei variabile aleatoare , distribuită conform legii lui Poisson, are forma:
Să ne asigurăm în primul rând că succesiunea probabilităților dată de formula (5.9.1) poate fi o serie de distribuție, i.e. că suma tuturor probabilităților este egală cu unu. Avem:
.
Pe fig. 5.9.1 prezintă poligoanele de distribuție ale unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson, corespunzătoare diferitelor valori ale parametrului . Tabelul 8 al anexei enumeră valorile pentru diferite .
Să definim principalele caracteristici - așteptarea și varianța matematică - ale unei variabile aleatoare distribuite conform legii Poisson. Prin definiția așteptării matematice
.
Primul termen al sumei (corespunzător lui) zero, prin urmare, însumarea poate fi începută cu:
Să notăm; apoi
. (5.9.2)
Astfel, parametrul nu este altceva decât așteptarea matematică a unei variabile aleatoare.
Pentru a determina dispersia, găsim mai întâi al doilea moment inițial al mărimii:
Conform celor dovedite anterior
În plus,
Astfel, dispersia unei variabile aleatoare distribuite conform legii Poisson este egală cu așteptarea ei matematică.
Această proprietate a distribuției Poisson este adesea folosită în practică pentru a decide dacă ipoteza că o variabilă aleatoare este distribuită conform legii lui Poisson este plauzibilă. Pentru a face acest lucru, determinați din experiență caracteristicile statistice - așteptarea și varianța matematică - ale unei variabile aleatorii. Dacă valorile lor sunt apropiate, atunci acest lucru poate servi drept argument în favoarea ipotezei distribuției Poisson; o diferență accentuată a acestor caracteristici, dimpotrivă, mărturisește împotriva ipotezei.
Pentru o variabilă aleatoare distribuită conform legii lui Poisson, să determinăm probabilitatea ca aceasta să ia o valoare nu mai mică decât una dată. Să notăm această probabilitate:
Evident, probabilitatea poate fi calculată ca sumă
Cu toate acestea, este mult mai ușor să o determinați din probabilitatea evenimentului opus:
(5.9.4)
În special, probabilitatea ca valoarea să ia o valoare pozitivă este exprimată prin formulă
(5.9.5)
Am menționat deja că multe probleme în practică duc la o distribuție Poisson. Luați în considerare una dintre problemele tipice de acest gen.
Punctele să fie distribuite aleatoriu pe axa x Ox (Fig. 5.9.2). Să presupunem că distribuție aleatorie punctele îndeplinesc următoarele condiții:
1. Probabilitatea de a lovi un anumit număr de puncte pe un segment depinde doar de lungimea acestui segment, dar nu depinde de poziția lui pe axa x. Cu alte cuvinte, punctele sunt distribuite pe axa x cu aceeași densitate medie. Să notăm această densitate (adică așteptarea matematică a numărului de puncte pe unitatea de lungime) ca .
2. Punctele sunt distribuite pe axa x independent unele de altele, i.e. probabilitatea ca unul sau alt număr de puncte să cadă pe un anumit segment nu depinde de câte dintre ele cad pe orice alt segment care nu se suprapune cu acesta.
3. Probabilitatea de a lovi o zonă mică de două sau mai multe puncte este neglijabilă în comparație cu probabilitatea de a lovi un punct (această condiție înseamnă imposibilitatea practică a coincidenței a două sau mai multe puncte).
Să evidențiem un anumit segment de lungime pe axa absciselor și să luăm în considerare o variabilă aleatorie discretă - numărul de puncte care se încadrează pe acest segment. Valorile posibile ale cantității vor fi
Deoarece punctele cad pe segment independent unul de celălalt, este teoretic posibil să existe un număr arbitrar de mare dintre ele, de exemplu. seria (5.9.6) continuă la nesfârșit.
Să demonstrăm că variabila aleatoare are legea distribuției Poisson. Pentru a face acest lucru, calculăm probabilitatea ca exact punctele să cadă pe segment.
Mai întâi să rezolvăm mai multe o sarcină simplă. Luați în considerare o mică secțiune pe axa Ox și calculați probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe această secțiune. Vom argumenta după cum urmează. Așteptarea matematică a numărului de puncte care se încadrează pe această secțiune este în mod evident egală (deoarece există puncte în medie pe unitatea de lungime). Conform condiției 3, pentru un segment mic, posibilitatea ca două sau mai multe puncte să cadă pe acesta poate fi neglijată. Prin urmare, așteptarea matematică a numărului de puncte care cad pe secțiune va fi aproximativ egală cu probabilitatea ca un punct să cadă pe ea (sau, ceea ce este echivalent în condițiile noastre, cel puțin unul).
Astfel, până la infinitezimale de ordin superior, la , putem presupune că probabilitatea ca un (cel puțin un) punct să cadă pe site este egală cu , iar probabilitatea ca niciunul să nu cadă este egală cu .
Să folosim acest lucru pentru a calcula probabilitatea de a lovi exact puncte pe segment. Împărțiți segmentul în părți egale de lungime. Să fim de acord să numim un segment elementar „gol” dacă nu conține un singur punct și „ocupat” dacă cel puțin unul a căzut în el. Conform celor de mai sus, probabilitatea ca segmentul să fie „ocupat” este aproximativ egală cu; probabilitatea ca acesta să fie „gol” este de . Deoarece, conform condiției 2, loviturile de puncte din segmentele care nu se suprapun sunt independente, atunci n segmentele noastre pot fi considerate „experimente” independente, în fiecare dintre acestea segmentul poate fi „ocupat” cu probabilitate . Găsiți probabilitatea ca printre segmente să fie exact „ocupat”. Conform teoremei repetiției, această probabilitate este egală cu
sau, denotând
(5.9.7)
Pentru o valoare suficient de mare, această probabilitate este aproximativ egală cu probabilitatea de a lovi exact puncte de pe segment, deoarece lovirea a două sau mai multe puncte de pe segment are o probabilitate neglijabilă. Pentru a găsi valoarea exactă a lui , este necesar în expresia (5.9.7) să mergem la limita la:
(5.9.8)
Să transformăm expresia sub semnul limită:
(5.9.9)
Prima fracție și numitorul ultimei fracții din expresia (5.9.9) tind în mod evident spre unitate. Expresia nu depinde de. Numătorul ultimei fracții poate fi convertit astfel:
(5.9.10)
Când și expresia (5.9.10) tinde să . Astfel, s-a dovedit că probabilitatea ca exact punctele să cadă într-un segment este exprimată prin formula
unde, adică mărimea X se distribuie conform legii Poisson cu parametrul .
Rețineți că semnificația valorii este numărul mediu de puncte pe segment.
Mărimea (probabilitatea ca X să fie pozitiv) în acest caz exprimă probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe segment:
Astfel, ne-am asigurat că distribuția Poisson apare acolo unde unele puncte (sau alte elemente) ocupă o poziție aleatorie independent unul de celălalt, iar numărul acestor puncte care se încadrează într-o anumită zonă este numărat. În cazul nostru, o astfel de „zonă” era un segment pe axa x. Cu toate acestea, concluzia noastră poate fi extinsă cu ușurință la cazul distribuției punctelor în plan (câmp aleator plat de puncte) și în spațiu (câmp spațial aleator de puncte). Este ușor de demonstrat că dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
1) punctele sunt distribuite statistic uniform pe teren cu o densitate medie;
2) punctele se încadrează în regiuni care nu se suprapun în mod independent;
3) punctele apar singure, și nu în perechi, triple etc., apoi numărul de puncte care se încadrează în orice zonă (plată sau spațială) sunt distribuite conform legii lui Poisson:
unde este numărul mediu de puncte care se încadrează în zonă.
Pentru carcasa plată
unde este aria regiunii; pentru spațial
unde este volumul regiunii.
Rețineți că pentru distribuția Poisson a numărului de puncte care se încadrează într-un segment sau zonă, condiția densității constante () nu este esențială. Dacă sunt îndeplinite celelalte două condiții, atunci legea lui Poisson este încă valabilă, doar parametrul a din el capătă o expresie diferită: se dovedește că nu înmulțire simplă densitate pe lungimea, suprafața sau volumul unei regiuni, dar prin integrarea unei densități variabile pe un segment, zonă sau volum. (Pentru mai multe despre aceasta, vezi nr. 19.4)
Prezența punctelor aleatoare împrăștiate pe o linie, pe un plan sau pe un volum nu este singura condiție în care apare distribuția Poisson. Se poate demonstra, de exemplu, că legea lui Poisson este limitativă pentru distribuția binomială:
, (5.9.12)
dacă direcționăm simultan numărul de experimente la infinit și probabilitatea la zero, iar produsul lor rămâne constant:
Într-adevăr, această proprietate limitativă a distribuției binomiale poate fi scrisă ca:
. (5.9.14)
Dar din condiția (5.9.13) rezultă că
Înlocuind (5.9.15) în (5.9.14), obținem egalitatea
, (5.9.16)
ceea ce tocmai a fost dovedit de noi cu altă ocazie.
Această proprietate limitativă a legii binomiale este adesea folosită în practică. Să presupunem că se fac un număr mare de experimente independente, în fiecare dintre ele un eveniment are o probabilitate foarte mică. Apoi, pentru a calcula probabilitatea ca un eveniment să se producă exact o dată, puteți folosi formula aproximativă:
, (5.9.17)
unde este parametrul acelei legi Poisson, care înlocuiește aproximativ distribuția binomială.
Din această proprietate a legii lui Poisson - de a exprima distribuția binomială cu un număr mare de experimente și o probabilitate mică de apariție a unui eveniment - provine denumirea ei, adesea folosită în manualele de statistică: legea fenomenelor rare.
Să ne uităm la câteva exemple legate de distribuția Poisson din diverse domenii de practică.
Exemplul 1: O centrală telefonică automată primește apeluri cu o densitate medie de apeluri pe oră. Presupunând că numărul de apeluri în orice perioadă de timp este distribuit conform legii Poisson, găsiți probabilitatea ca exact trei apeluri să ajungă la stație în două minute.
Soluţie. Numărul mediu de apeluri pe două minute este:
mp Pentru a lovi ținta, cel puțin un fragment este suficient pentru a o lovi. Găsiți probabilitatea de a lovi ținta pentru o poziție dată a punctului de discontinuitate.
Soluţie. . Folosind formula (5.9.4), găsim probabilitatea de a lovi cel puțin un fragment:
(Pentru a calcula valoarea funcției exponențiale, folosim Tabelul 2 din Anexă).
Exemplul 7. Densitatea medie a microbilor patogeni într-unul metru cub aerul este de 100. Se iau 2 metri cubi pentru o probă. dm aer. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un microb să fie găsit în el.
Soluţie. Acceptând ipoteza distribuției Poisson a numărului de microbi dintr-un volum, găsim:
Exemplul 8. 50 de focuri independente sunt trase către o țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,04. Folosind proprietatea limitatoare a distribuției binomiale (formula (5.9.17)), găsiți aproximativ probabilitatea ca ținta să lovească: niciun proiectil, un proiectil, două proiectile.
Soluţie. Avem . Conform tabelului 8 al aplicației, găsim probabilitățile.
