Variabile aleatoare continue. Variabile aleatoare Prezentare online Variabile aleatoare discrete

LEGEA DISTRIBUȚIEI DISCRETE

Trasați valorile posibile ale unei variabile aleatoare, iar pe axa y - probabilitățile acestor valori.

Funcția de distribuție și proprietățile acesteia. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

Densitatea distribuției și proprietățile acesteia

Descarca:

Subtitrările diapozitivelor:

Previzualizare:

Discret variabile aleatoare Variabile aleatorii care iau doar valori separate între ele, care pot fi enumerate în prealabil Exemple: - numărul de capete la trei aruncări de monede; - numărul de lovituri pe țintă cu 10 lovituri; - numarul de apeluri primite la statia de ambulanta pe zi.

Legea distribuției unei variabile aleatoare este orice relație care stabilește o legătură între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției unei variabile aleatoare poate fi dată sub forma: un tabel al unui grafic al unei formule (analitic).

Calculul probabilității de realizare a anumitor valori ale unui număr aleatoriu 0,5*0,5 = 0,5 Numărul de capete este 2 - evenimente: 00 - probabilitate 0,5 *0,5 = 0,25 Suma probabilităților: 0,25 + 0,50 + 0,25 = 1

Calcularea valorilor unei serii de distribuții ale unui număr aleator Problemă. Trăgătorul trage 3 focuri în țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură este de 0,4. Pentru fiecare lovitură, trăgătorul primește 5 puncte. Construiți o serie de distribuție a numărului de puncte marcate. Probabilitatea evenimentelor: distribuție binomială Denumire eveniment: lovit - 1, ratat - 0 Grup complet de evenimente: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k = 0, 1, 2, 3

Seria de distribuție a unui număr aleatoriu de puncte de eveniment marcate numărul de puncte probabilitate de eveniment 0,2160,4320,2880,064

Operații de adunare și înmulțire a variabilelor aleatoare Suma a două variabile aleatoare X și Y este o variabilă aleatoare, care se obține prin adunarea tuturor valorilor unei variabile aleatoare X și a tuturor valorilor unei variabile aleatoare Y, probabilitățile corespunzătoare. sunt multiplicate X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30, 50.2

Operații de adunare a variabilelor aleatoare Z = = =2 0+1 =1 0+2 =2 0+3 =3 1+1 =2 1+2 =3 1+3 =4 p 0.060.10.040.210.350.140.030.050.02 02

Operații de înmulțire a variabilelor aleatoare Produsul a două variabile aleatoare X și Y este o variabilă aleatoare, care se obține prin înmulțirea tuturor valorilor variabilei aleatoare X și a tuturor valorilor variabilei aleatoare Y, probabilitățile corespunzătoare sunt înmulțite X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50, 2

Proprietățile funcției de distribuție F(X) 0 F(x) 1 F(X) - funcție nedescrescătoare

Principalele caracteristici ale variabilelor aleatoare discrete Valorea estimata(valoarea medie) a unei variabile aleatoare este egală cu suma produselor valorilor luate de această valoare de probabilitățile corespunzătoare acestora: M (x) \u003d x 1 P 1 + x 2 P x n P n \u003d

Xixi PiPi x i P i (x i - M) 2 (x i - M) 2 P i 2 0,1 0,2 (2-3,6) 2 = 2,560,256 30,30,9 (3-3,6) 2 = 0,360,108 40,52 (4-3,6) ) 2 = 0.160.08 50.10.50.5 (5-3.6) 2 = 1.960.196 EXEMPLU: Calculați caracteristicile numerice de bază pentru numărul de comenzi de medicamente primite pe oră M( x)=3,6 D(x)=0,64
CITURI RECOMANDATE: Literatură principală: Ganicheva A.V., Kozlov V.P. Matematică pentru psihologi. M.: Aspect-press, 2005, cu Pavlushkov I.V. Fundamente ale matematicii superioare și statisticii matematice. M., GEOTAR-Media, Zhurbenko L. Matematică în exemple și probleme. M .: Infra-M, Materiale didactice: Shapiro L.A., Shilina N.G. Ghid pentru exerciții practice de statistică medicală și biologică Krasnoyarsk: Polikom LLC. – 2003.

Variabilele aleatoare sunt cantități care, ca urmare a experienței, iau anumite valori și nu se știe dinainte care dintre ele.

Desemnați: X,Y,Z

Un exemplu de variabilă aleatorie ar fi:

1) X - numărul de puncte care apare la aruncarea unui zar

2) Y - numărul de lovituri înainte de prima lovitură pe țintă

3) Înălțimea unei persoane, cursul de schimb al dolarului, câștigurile jucătorului etc.

O variabilă aleatorie care ia un set numărabil de valori se numește discretă.

Dacă setul de valori ale r.v. Nenumărabilă, atunci o astfel de cantitate se numește continuă.

O variabilă aleatoare X este o funcție numerică definită pe spațiul evenimentelor elementare Ω, care atribuie fiecărui eveniment elementar W un număr X(w), adică. X=X(w),W

Exemplu: experiența constă în aruncarea unei monede de 2 ori. Pe spațiul evenimentelor elementare Ω(W1 ,W2 ,W3 ,W4 ) unde W1 =GG, W2 =GR, W3 =RG, W4 =PP. Putem considera r.v. X este numărul de aspect al stemei. X este o funcție a

eveniment elementar W2: X(W1)=2, X(W2)=1, X(W3)=1, X(W4)=0 X este un r.v discret. Cu valorile X1 =0, X2 =1, X3 =2.

Pentru descriere completa variabila aleatoare nu este suficientă doar pentru a-i cunoaște valorile posibile. De asemenea, trebuie să cunoașteți probabilitățile acestor valori

VALOARE ALEATORIE

Fie X un r.v. discret care ia valorile x1,

x2 ... xn ..

Cu o oarecare probabilitate Pi =P(X=xi ), i=1,2,3…n…, care determină probabilitatea ca, în urma experimentului, r.v. X va lua valoarea xi

O astfel de masă se numește aproape de distribuție

Deoarece evenimentele (X=x ),(X=x )... sunt incompatibile și formează

1 p i 1 2

grup complet, atunci i suma1 probabilităților lor este egală cu

Linia întreruptă care leagă punctele (X1, P1), (X2, P2), ... se numește

poligon de distribuție.







	x 1 x 2

O variabilă aleatoare X este discretă dacă există o mulțime finită sau numărabilă X1 , X2 ,…,Xn ,… astfel încât P(X=xi ) = pi > 0

(i=1,2,...) și p1 +p2 +p3 +... =1

Exemplu: într-o urnă sunt 8 bile, dintre care 5 sunt albe, restul sunt negre. Din el se extrag la întâmplare 3 bile. Găsiți legea distribuției pentru numărul de bile albe din probă.

Soluție: Valorile posibile ale r.v. X – numărul de bile albe din probă este x1 =0, x2 =1, x3 =2, x4 =3.

Probabilitățile lor vor fi, respectiv

p(x0)

C 5 1 C 3 2

P2 =p(x=1)=

Control:

C 2 C1

P3 =p(x=2)=

C 5 3 C 3 0

P4 =p(x=2)=

C8 3

O modalitate universală de a specifica legea distribuției probabilităților, potrivită atât pentru variabile aleatoare discrete, cât și pentru variabile aleatoare continue, este funcția sa de distribuție.

Funcția F(x) se numește funcție de distribuție integrală.

Geometric, egalitatea (1) poate fi interpretată astfel: F(x) este probabilitatea ca r.v. X va prelua valoarea care este reprezentată pe axa numerică de un punct la stânga punctului x, adică. punctul aleator X va intra în intervalul (∞, x)



Funcția de distribuție are următoarele proprietăți:
1)F(x) este mărginită, adică 0 F (x ) 1
2)F(x) este o funcție nedescrescătoare pe R i.e. dacă, x 2 x 1 atunci
F(x2) F(x1)
3)F(x) dispare la minus infinit și este egal cu 1
plus infinit, adică			F(∞)=0, F(+∞)=1
4) Probabilitatea de r.v. X în interval este egal cu incrementul
funcțiile sale de distribuție pe acest interval i.e.
P( a X b) F(b) F(a)

5) F(x) este lăsat continuu, adică Lim F(x)=F(x0 )

xx0

Folosind funcția de distribuție, puteți calcula

Egalitatea (4) rezultă direct din definiție

6) Dacă toate x valorile posibile x b ale unei variabile aleatoare X

aparțin intervalului (a,b), atunci pentru funcția sa de distribuție F(x)=0 pentru, F(x)=1 pentru

Cea mai importantă caracteristică a unei variabile aleatoare continue este densitatea distribuției de probabilitate.

O variabilă aleatoare X se numește continuă dacă este

funcția de distribuție este continuă și diferențiabilă peste tot, cu excepția punctelor individuale.

Densitatea distribuției de probabilitate a unui r.v continuu. X se numește derivata funcției sale de distribuție. Notat f(x) F /

reprezintă probabilitatea medie pe unitatea de lungime a secțiunii, i.e. densitatea medie a distribuţiei de probabilitate. Apoi


	P( x X x x)


Adică, densitatea de distribuție este limita raportului
probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare în
interval		La lungimea ∆x a acestui interval,
	F (x x F (x) P( x X x x)
când ∆х→0		(6) Urmează egalitatea

Acestea. densitatea de probabilitate este definită ca o funcție f(x) care satisface condiția P ( x X x x ) f (x ) dx

Expresia f(x)dx se numește element de probabilitate.

Proprietățile densității de distribuție:

1) f(x) este nenegativ, i.e. f (x) 0

Dezvoltarea metodologică este o prezentare în formă electronică.

Acest dezvoltarea metodică contine 26 diapozitive cu rezumat material teoretic la secțiunea Variabile aleatoare. Materialul teoretic include conceptul de variabilă aleatoare și este logic corect împărțit în două părți: o variabilă aleatoare discretă și o variabilă aleatoare continuă. Tema DSV include conceptul de DSV și metodele de setare, caracteristicile numerice ale DSV (așteptări matematice, varianță, abatere standard, momente inițiale și centrale, mod, mediană). Sunt date principalele proprietăți ale caracteristicilor numerice ale DSW și relația dintre ele. În tema CV, conceptele de mai sus sunt reflectate în mod similar, sunt definite funcțiile de distribuție a CV și densitatea de distribuție a CV, este indicată relația dintre ele și sunt prezentate principalele tipuri de distribuție a CV: uniformă și distribuții normale.

lecție generală pe această temă.

Această dezvoltare este aplicabilă:

la studierea secțiunii Variabile aleatorii cu demonstrarea diapozitivelor individuale pentru asimilarea eficientă a materialului nou prin percepția vizuală,
la actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor
în pregătirea elevilor pentru certificarea finală la disciplină.

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Din definiția unei derivate rezultă:

F(x x) F(x)

P( x X x x)

Dar conform formulei (2), raportul

Cuprins Variabile aleatoare Variabile aleatoare discrete (RSV) Legea distribuției SW Caracteristici numerice DSW Momente teoretice ale DSW Sistem de două DSW Caracteristici numerice ale unui sistem de două DSW Funcție de distribuție SW continuă a NSW Funcția de densitate de distribuție a NSW Caracteristici numerice ale NSW Curba de distribuție SVR Mod Median Distribuție uniformă a densității Legea normală a distribuției. Funcția Laplace

Variabile aleatoare O variabilă aleatoare (CV) este o mărime care, în urma unui experiment, poate lua una sau alta valoare și nu se știe dinainte care dintre ele este înainte de experiment. Ele sunt împărțite în două tipuri: SV discret (DSV) și SV continuu (NSV)

Variabilă aleatorie discretă (DSV) DSV este o astfel de variabilă, al cărei număr de încercări posibile este fie finit, fie un set infinit, dar neapărat numărabil. De exemplu, frecvența loviturilor cu 3 lovituri - X x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 2, x 4 \u003d 3 DSV va fi pe deplin descrisă din punct de vedere probabilistic dacă este indicată. ce probabilitate are fiecare dintre evenimente.

Legea distribuției SW este o relație care stabilește o relație între valoarea posibilă a SW și probabilitățile corespunzătoare. Forme de precizare a legii distribuției: Tabel Legea distribuției CB X x 1 x 2 … x n P i p 1 p 2 … p n

2. Poligon de distribuție Legea distribuției DSV P i X i x 1 x 2 x 3 x 4 p 1 p 2 p 3 p 4 Poligon de distribuție

Caracteristicile numerice ale DSV Așteptările matematice sunt suma produselor valorilor CV și probabilitățile acestora. Așteptările matematice sunt o caracteristică a valorii medii a unei variabile aleatorii

Caracteristicile numerice ale DSV Proprietățile așteptării matematice:

Caracteristici numerice DSV 2. Varianta DSVH este așteptarea matematică a pătratului abaterii unei variabile aleatoare de la așteptarea matematică. Dispersia caracterizează măsura dispersiei valorilor SW din așteptările matematice La rezolvarea problemelor, este convenabil să se calculeze dispersia folosind formula: - Abaterea standard

Caracteristicile numerice ale DSW Proprietăți de dispersie:

Momente teoretice ale DSW Momentul inițial de ordin k SVR este raportul matematic Х k

Sistem de două SV-uri Un sistem de două SV-uri (Х Y) poate fi reprezentat printr-un punct aleatoriu pe plan. Evenimentul constând în lovirea unui punct aleatoriu (X Y) în zona D este notat cu (X, Y) ∩ D

Un sistem de două DSW Un tabel care specifică legea distribuției pentru un sistem de două DSW Y X y 1 y 2 y 3 … y n x 1 p 11 p 12 p 13 … p 1n x 2 p 21 p 22 p 23 … p 2n x 3 p 31 p 32 p 33 … p 3n … … … … … … x m p m1 p m2 p m3 … p mn

Caracteristicile numerice ale unui sistem de două DSW Așteptările și varianța matematică a unui sistem de două DSW prin definiție La rezolvarea problemelor, este convenabil să se aplice formula

Continuous SW NSW este o astfel de cantitate, ale cărei valori posibile umplu continuu un anumit interval (finit sau infinit). Numărul tuturor valorilor NSV posibile este infinit. Exemplu: Abatere aleatorie în raza de acțiune a punctului de impact al proiectilului de la țintă.

Funcția de distribuție a CVW Funcția de distribuție se numește F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca CVH să ia o valoare mai mică decât x, adică. conform definiției F(x)=P(X

Funcția de distribuție a NSW Proprietățile funcției de distribuție: dacă, atunci corolar: Dacă toate valorile posibile x ale SVR aparțin intervalului (a;b), atunci pentru a=b F(x)=0 Corolar: 1. 2 3. Funcția de distribuție este continuă la stânga

Funcția densității distribuției NSV Funcția densității distribuției probabilității este derivata întâi a funcției F(x) f(x)=F`(x). f(x) se numește funcție diferențială. Probabilitatea ca CVSH să ia valori aparținând intervalului (a;b) calculate prin formula Cunoscând densitatea distribuției, puteți găsi funcția de distribuție Proprietăți: , în special, dacă toate valorile posibile ale CB aparțin lui (a;b), apoi 1. 2.

Caracteristicile numerice ale NSV Așteptările matematice ale NSVH, ale căror toate valorile posibile aparțin intervalului (a;b), este determinată de egalitatea: Varianta NSWH, ale căror toate valorile posibile aparțin intervalului ( a;b), este determinată de egalitatea:

Caracteristicile numerice ale NSV Abaterea standard este determinată în același mod ca și pentru DSV: Momentul inițial de ordinul k al NSV este determinat de egalitatea:

Caracteristicile numerice ale NSV Momentul central al ordinului k al NSVH, ale cărui toate valorile posibile aparțin intervalului (a:b), este determinat de egalitatea:

Caracteristicile numerice ale NSV Dacă toate valorile posibile ale NSVH aparțin întregii axe numerice OX, atunci în toate formulele de mai sus integrala definită este înlocuită cu o integrală improprie cu limite inferioare și superioare infinite

Curba de distribuție a SVR Y X M 0 a b Graficul funcției f(x) se numește curba de distribuție din punct de vedere geometric, probabilitatea ca SVR să cadă în intervalul (a; b) este egală cu aria trapez curbiliniu, delimitat de curba de distribuție de axa OX și de liniile drepte x=a și x=b

Mod Modul DSWR este valoarea sa cea mai probabilă. Modul NSWH este valoarea sa M 0 , la care densitatea de distribuție este maximă. Pentru a găsi modul NSW, este necesar să găsiți maximul funcției folosind derivata întâi sau a doua. M 0 \u003d 2, deoarece 0,1 0,3 Geometric, modul este abscisa acelui punct al curbei sau poligonului de distribuție, a cărui ordonată este maxim X 1 2 3 P 0,1 0,6 0,3 Y X M 0 a b

Mediană Mediana NSVR este valoarea sa M e, pentru care este la fel de probabil ca variabila aleatoare să fie mai mare sau mai mică decât M e, i.e. P(x M e)=0,5 O ordonată trasată într-un punct cu o abscisă egală cu M e traversează aria delimitată de curba de distribuție sau poligonul. Dacă dreapta x=a este axa de simetrie a curbei de distribuție y=f(x), atunci M 0 =M e = M(X)= a

Distribuția uniformă a densității Uniformă este distribuția unor astfel de SW, ale căror valori se află pe un anumit segment (a;b) și au o densitate de probabilitate constantă pe acest segment Y X a b h Așteptări matematice, varianță, abatere standard a unui SW uniform distribuit :

Legea distribuției normale. Funcția Laplace Legea distribuției normale se caracterizează prin densitate Curba de distribuție este simetrică față de dreapta x=a . Ordonata maximă la x=a este Y X x=a curbă Gaussiană, curbă normală Axa absciselor este asimptota curbei y=f(x) Ф (x) - Funcția Laplace