Po trisdešimties metų paieškų buvo rastos netiesinės diferencialinės lygtys su trimačiais solitoniniais sprendimais. Pagrindinė idėja buvo laiko „sudėtinimas“, kuris gali rasti tolesnių pritaikymų teorinėje fizikoje.

Tiriant bet kurią fizinę sistemą pirmiausia prasideda eksperimentinių duomenų „pradinio kaupimo“ ir jų suvokimo etapas. Tada estafetė perduodama teorinei fizikai. Teorinio fiziko užduotis – remiantis sukauptais duomenimis išvesti ir išspręsti šios sistemos matematines lygtis. Ir jei pirmasis žingsnis, kaip taisyklė, nekelia ypatingos problemos, tada antrasis - tiksli išspręsti gautas lygtis dažnai pasirodo nepalyginamai sunkesnė užduotis.

Taip jau atsitiko, kad aprašoma daugelio įdomių fizinių sistemų laiko raida netiesinės diferencialinės lygtys: tokios lygtys, kurioms superpozicijos principas neveikia. Tai iš karto atima galimybę teoretikams panaudoti daugybę standartinių technikų (pavyzdžiui, sujungti sprendinius, išplėsti juos į eilę), todėl kiekvienai tokiai lygčiai tenka sugalvoti absoliučiai naują sprendimo būdą. Bet tais retais atvejais, kai randama tokia integruojama lygtis ir jos sprendimo būdas, išsprendžiama ne tik pirminė problema, bet ir nemažai susijusių matematinių uždavinių. Štai kodėl teoriniai fizikai kartais, aukodami „natūralią mokslo logiką“, pirmiausia ieško tokių integruojamų lygčių, o tik tada bando ieškoti joms pritaikymo įvairiose teorinės fizikos srityse.

Viena ryškiausių tokių lygčių savybių yra sprendiniai formoje solitonai- ribotos erdvės „lauko gabalėliai“, kurie juda laikui bėgant ir susiduria vienas su kitu be iškraipymų. Būdami ribotos erdvės ir nedalomų „klumpėlių“, solitonai gali suteikti paprastą ir patogų matematinis modelis daug fiziniai objektai. (Daugiau informacijos apie solitonus rasite populiariame N. A. Kudryashovo straipsnyje Netiesinės bangos ir solitonai // SOZH, 1997, Nr. 2, p. 85–91 ir A. T. Filippovo knygoje „Daug veidų soliton“.)

Deja, skirtingai rūšiųžinoma labai nedaug solitonų (žr. solitonų portretų galeriją), ir visi jie nėra labai tinkami objektams apibūdinti trimatis erdvė.

Pavyzdžiui, įprasti solitonai (kurie pasitaiko Korteweg-de Vries lygtyje) yra lokalizuoti tik vienoje dimensijoje. Jei toks solitonas bus „paleistas“ trimačiame pasaulyje, jis atrodys kaip begalinė plokščia membrana, skrendanti į priekį. Tačiau gamtoje tokių begalinių membranų nepastebima, o tai reiškia, kad pradinė lygtis netinka trimačiams objektams apibūdinti.

Ne taip seniai buvo rasti į solitoną panašūs sudėtingesnių lygčių sprendiniai (pavyzdžiui, dromionai), kurie jau yra lokalizuoti dviejose dimensijose. Bet net ir trimatėje formoje jie yra be galo ilgi cilindrai, tai yra, jie taip pat nėra labai fiziniai. Tikrieji trimatis Solitonai dar nebuvo rasti dėl paprastos priežasties – nežinomos lygtys, galinčios juos sukurti.

Pastaruoju metu situacija kardinaliai pasikeitė. Kembridžo matematikas A. Focas, neseniai paskelbtos publikacijos A. S. Focas, Physical Review Letters 96, 190201 (2006 m. gegužės 19 d.) autorius, sugebėjo žengti reikšmingą žingsnį į priekį šioje matematinės fizikos srityje. Jo trumpame trijų puslapių straipsnyje yra du atradimai vienu metu. Pirma, jis rado naują būdą, kaip gauti integruojamas lygtis daugiamatis erdvėje, ir, antra, jis įrodė, kad šios lygtys turi daugiamačius solitoninius sprendimus.

Abu šie pasiekimai buvo įmanomi dėl drąsaus autoriaus žingsnio. Jis paėmė jau žinomas integruotas lygtis dvimatėje erdvėje ir bandė laikyti laiką bei koordinates kaip kompleksas, o ne realūs skaičiai. Šiuo atveju automatiškai buvo gauta nauja lygtis keturmatė erdvė ir dvimatis laikas. Kaip kitą žingsnį, jis iškėlė nereikšmingas sprendinių priklausomybės nuo koordinačių ir „laikų“ sąlygas, o lygtys pradėjo apibūdinti. trimatis situacija, kuri priklauso nuo vieno karto.

Įdomu tai, kad tokia „šventvagiška“ operacija kaip perėjimas prie dvimačio laiko ir naujo laiko paskirstymas. apie ašį, labai nepablogino lygties savybių. Jie vis dar yra integruojami, ir autorius sugebėjo įrodyti, kad tarp jų sprendimų yra taip trokštami trimačiai solitonai. Dabar mokslininkams belieka šiuos solitonus užrašyti aiškių formulių pavidalu ir ištirti jų savybes.

Autorius išreiškia įsitikinimą, kad jo sukurto laiko „kompleksavimo“ metodo naudingumas visai neapsiriboja tomis lygtimis, kurias jis jau išnagrinėjo. Jis išvardija daugybę matematinės fizikos situacijų, kuriose jo požiūris gali duoti naujų rezultatų, ir ragina kolegas bandyti jį pritaikyti pačiose įvairiausiose šiuolaikinės teorinės fizikos srityse.

Technikos mokslų daktaras A. GOLUBEV.

Asmuo, net ir be specialaus fizinio ar techninis išsilavinimasžodžiai „elektronas, protonas, neutronas, fotonas“ neabejotinai žinomi. Tačiau jiems derantį žodį „soliton“ daugelis tikriausiai girdi pirmą kartą. Tai nenuostabu: nors tai, kas žymima šiuo žodžiu, žinoma jau daugiau nei pusantro amžiaus, tinkamas dėmesys solitonams buvo skirtas tik nuo paskutinio XX amžiaus trečdalio. Solitono reiškiniai pasirodė esą universalūs ir buvo aptikti matematikoje, hidromechanikoje, akustikoje, radiofizikoje, astrofizikoje, biologijoje, okeanografijoje ir optinėje inžinerijoje. Kas tai – solitonas?

I. K. Aivazovskio paveikslas „Devintoji banga“. Vandenyje bangos sklinda kaip grupiniai solitonai, kurių viduryje, intervale nuo septintos iki dešimtos, yra aukščiausia banga.

Įprasta tiesinė banga turi taisyklingos sinusinės bangos formą (a).

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Taip netiesinė banga elgiasi vandens paviršiuje, nesant dispersijos.

Taip atrodo grupinis solitonas.

Smūgio banga prieš šešis kartus skrendantį kamuolį greičiau nei garsas. Ausiai tai suvokiama kaip stiprus trenksmas.

Visose minėtose srityse yra vienas bendras bruožas: jose arba atskiruose jų skyriuose tiriami bangų procesai, arba, paprasčiau tariant, bangos. Bendriausia prasme banga yra kai kurių trikdžių plitimas fizinis kiekis charakterizuojantys medžiagą ar lauką. Šis plitimas dažniausiai vyksta kokioje nors terpėje – vandenyje, ore, kietose medžiagose. Bet tik elektromagnetines bangas gali plisti vakuume. Visi, be jokios abejonės, matė, kaip nuo į vandenį įmesto akmens nukrypsta sferinės bangos, „sutrikdančios“ ramų vandens paviršių. Tai yra „vieno“ trikdymo plitimo pavyzdys. Labai dažnai perturbacija yra įvairių formų virpesių procesas (ypač periodiškas) - švytuoklės siūbavimas, muzikos instrumento stygos vibracija, kvarco plokštės suspaudimas ir išsiplėtimas veikiant kintamajai srovei. , atomų ir molekulių virpesiai. Bangos – sklindantys virpesiai – gali turėti skirtingą pobūdį: bangos vandenyje, garsas, elektromagnetinės (taip pat ir šviesos) bangos. Skirtingi fiziniai mechanizmai, įgyvendinantys bangų procesą, reiškia skirtingus jo matematinio aprašymo būdus. Tačiau skirtingos kilmės bangos taip pat turi keletą bendrosios savybės, kurio aprašymui naudojamas universalus matematinis aparatas. O tai reiškia, kad galima tirti bangų reiškinius, abstrahuojantis nuo jų fizinės prigimties.

Bangų teorijoje tai dažniausiai daroma atsižvelgiant į tokias bangų savybes kaip trukdžiai, difrakcija, dispersija, sklaida, atspindys ir lūžis. Tačiau kartu vyksta ir viena svarbi aplinkybė: toks vieningas požiūris pateisinamas su sąlyga, kad tiriami skirtingo pobūdžio bangų procesai yra linijiniai.Ką tai reiškia, pakalbėsime kiek vėliau, bet dabar tik pažymime, kad banguoja tik su ne per didelė amplitudė. Jei bangos amplitudė yra didelė, ji tampa netiesine, ir tai yra tiesiogiai susijusi su mūsų straipsnio tema - solitonais.

Kadangi mes nuolat kalbame apie bangas, nesunku atspėti, kad solitonai taip pat yra kažkas iš bangų lauko. Tai tiesa: labai neįprastas darinys vadinamas solitonu – „vieniša“ banga (vieniša banga). Jo atsiradimo mechanizmas tyrinėtojams ilgą laiką liko paslaptis; atrodė, kad šio reiškinio prigimtis prieštarauja visiems žinomiems bangų susidarymo ir sklidimo dėsniams. Skaidrumas atsirado palyginti neseniai, o dabar solitonai tiriami kristaluose, magnetinėse medžiagose, optiniuose pluoštuose, Žemės ir kitų planetų atmosferoje, galaktikose ir net gyvuose organizmuose. Paaiškėjo, kad cunamiai, nerviniai impulsai ir dislokacijos kristaluose (jų gardelių periodiškumo pažeidimai) yra solitonai! Solitonas yra tikrai „daugiašalis“. Beje, taip vadinasi puiki A. Filippovo mokslo populiarinimo knyga „Daugiaveidis Solitonas“. Rekomenduojame skaitytojui, nebijančiam gana daug matematinių formulių.

Norint suprasti pagrindines idėjas, susijusias su solitonais, ir tuo pačiu apsieiti be matematikos, pirmiausia teks pakalbėti apie jau minėtą netiesiškumą ir sklaidą – reiškinius, kuriais grindžiamas solitonų susidarymo mechanizmas. Bet pirmiausia pakalbėkime apie tai, kaip ir kada buvo atrastas solitonas. Jis pirmą kartą žmogui pasirodė vienišos bangos ant vandens „vaizdu“.

Tai atsitiko 1834 m. Johnas Scottas Russellas, škotų fizikas ir talentingas inžinierius-išradėjas, buvo pakviestas ištirti galimybę plaukti garo laivais kanalu, jungiančiu Edinburgą ir Glazgą. Tuo metu gabenimas kanalu buvo vykdomas nedidelėmis baržomis, traukiamomis arklių. Norėdamas išsiaiškinti, kaip paversti baržas pakeičiant arklio trauką garais, Raselas pradėjo stebėti baržas. įvairių formų juda skirtingu greičiu. Ir šių eksperimentų metu jis staiga susidūrė su visiškai neįprastas reiškinys. Štai kaip jis tai apibūdino savo pranešime apie bangas:

„Stebėjau baržos judėjimą, kurią pora arklių greitai tempė siauru kanalu, kai barža staiga sustojo, greitį ir įgavo didelio pavienio pakilimo pavidalą – apvalų, lygų ir aiškiai apibrėžtą vandenį. kalva.Jis tęsė savo kelią kanalu nė kiek nekeisdamas savo formos ir nesulėtindamas.Sekiau paskui jį arkliu, o kai aplenkiau, jis vis tiek riedėjo į priekį maždaug 8-9 mylių per valandą greičiu. , išlaikęs savo pradinį aukščio profilį, maždaug trisdešimties pėdų ilgio ir nuo pėdos iki pusantro pėdos aukščio. Jo aukštis pamažu mažėjo, ir po mylios ar dviejų persekiojimo aš jį pamečiau kanalo vingiuose."

Rassellas savo atrastą reiškinį pavadino „vieniša vertimo banga“. Tačiau jo žinią skeptiškai sutiko pripažinti hidrodinamikos srities autoritetai – George'as Airy ir George'as Stokesas, kurie manė, kad bangos negali išlaikyti savo formos judant dideliais atstumais. Tam jie turėjo visas priežastis: jie rėmėsi tuo metu visuotinai priimtomis hidrodinamikos lygtimis. „Vienišos“ bangos (kuri buvo vadinama solitonu daug vėliau – 1965 m.) atpažinimas įvyko per Russello gyvenimą kelių matematikų darbais, kurie parodė, kad ji gali egzistuoti, be to, Russello eksperimentai buvo pakartoti ir patvirtinti. Tačiau ginčai dėl solitono nesiliovė ilgai – Airy ir Stokes autoritetas buvo per didelis.

Olandų mokslininkas Diderik Johannes Korteweg ir jo mokinys Gustavas de Vriesas galutinai išaiškino problemą. 1895 m., praėjus trylikai metų po Russello mirties, jie rado tikslią lygtį, kurios bangų sprendimai visiškai nusako vykstančius procesus. Pirmiausia tai galima paaiškinti taip. Korteweg-de Vries bangos yra nesinusinės formos ir tampa sinusinės tik tada, kai jų amplitudė yra labai maža. Padidėjus bangos ilgiui, jie įgauna toli vienas nuo kito nutolusių kauburėlių pavidalą, o esant labai ilgam bangos ilgiui, lieka vienas kauburėlis, atitinkantis „vienišą“ bangą.

Korteweg – de Vries lygtis (vadinamoji KdV lygtis) suvaidino labai svarbų vaidmenį mūsų dienomis, kai fizikai suvokė jos universalumą ir galimybę pritaikyti įvairaus pobūdžio bangoms. Įspūdingiausias dalykas yra tai, kad jame aprašomos netiesinės bangos, ir dabar turėtume prie šios sąvokos pasilikti išsamiau.

Bangų teorijoje bangų lygtis turi esminę reikšmę. Čia jos nepateikdami (tam reikia išmanyti aukštąją matematiką), tik pažymime, kad reikiama funkcija, apibūdinanti bangą ir su ja susijusius dydžius, yra pirmame laipsnyje. Tokios lygtys vadinamos tiesinėmis. Bangos lygtis, kaip ir bet kuri kita, turi sprendimą, tai yra matematinę išraišką, kurią pakeitus, ji virsta tapatybe. Bangos lygties sprendimas yra tiesinė harmoninė (sinusoidinė) banga. Dar kartą pabrėžiame, kad terminas „linijinis“ čia vartojamas ne geometrine prasme(sinusoidas nėra tiesi linija), o ta prasme, kad bangos lygtyje naudojamas pirmasis dydžių laipsnis.

Linijinės bangos paklūsta superpozicijos (sudėties) principui. Tai reiškia, kad sudėjus kelias linijines bangas, gautos bangos forma nustatoma paprasčiausiai pridedant pradines bangas. Taip atsitinka todėl, kad kiekviena banga terpėje sklinda nepriklausomai nuo kitų, tarp jų nėra energijos mainų ar kitokios sąveikos, jos laisvai pereina viena per kitą. Kitaip tariant, superpozicijos principas reiškia bangų nepriklausomybę, todėl jas galima pridėti. Įprastomis sąlygomis tai galioja garso, šviesos ir radijo bangoms, taip pat bangoms, į kurias atsižvelgiama kvantinė teorija. Tačiau bangoms skystyje tai ne visada tiesa: galima pridėti tik labai mažos amplitudės bangas. Jei pabandysime pridėti Korteweg - de Vries bangas, tada iš viso negausime bangos, kuri gali egzistuoti: hidrodinamikos lygtys yra netiesinės.

Čia svarbu pabrėžti, kad akustinių ir elektromagnetinių bangų tiesiškumo savybė, kaip jau minėta, stebima normaliomis sąlygomis, kurios visų pirma reiškia mažas bangų amplitudes. Bet ką reiškia „maža amplitudė“? Amplitudė garso bangos nustato garso stiprumą, šviesos – šviesos intensyvumą, o radijo bangų – intensyvumą elektro magnetinis laukas. Transliacija, televizija, telefonai, kompiuteriai, šviestuvai ir daugelis kitų įrenginių veikia toje pačioje „įprastoje“ aplinkoje, susidorodami su įvairiomis mažos amplitudės bangomis. Jei amplitudė smarkiai padidėja, bangos praranda tiesiškumą ir tada atsiranda naujų reiškinių. Akustikoje jau seniai žinomos smūginės bangos, sklindančios viršgarsiniu greičiu. Pavyzdžiai smūginės bangos- griaustinis perkūnijos metu, šūvio ir sprogimo garsai ir net botago plakimas: jo galiukas juda greičiau nei garsas. Netiesinis šviesos bangos gautas naudojant galingus impulsinius lazerius. Tokių bangų praėjimas per įvairios aplinkos keičia pačių medijų savybes; stebimi visiškai nauji reiškiniai, kurie yra netiesinės optikos tyrimo objektas. Pavyzdžiui, atsiranda šviesos banga, kurios ilgis yra du kartus mažesnis, o dažnis atitinkamai dvigubai didesnis nei įeinančios šviesos (sukuriama antroji harmonika). Jei, tarkime, galingas lazerio spindulys, kurio bangos ilgis l 1 = 1,06 μm (infraraudonoji spinduliuotė, akiai nematoma), nukreipiamas į netiesinį kristalą, tada kristalo išėjime pasirodo žalia šviesa, kurios bangos ilgis l 2 = 0,53 μm. be infraraudonųjų spindulių.

Jeigu netiesinės garso ir šviesos bangos susidaro tik ypatingomis sąlygomis, tai hidrodinamika pagal savo prigimtį yra nelinijinė. Ir kadangi hidrodinamika pasižymi netiesiškumu net ir paprasčiausiuose reiškiniuose, beveik šimtmetį ji vystėsi visiškai izoliuota nuo „tiesinės“ fizikos. Paprasčiausiai niekam neatėjo į galvą kituose bangų reiškiniuose ieškoti kažko panašaus į Russello „vienišą“ bangą. Ir tik tada, kai buvo sukurtos naujos fizikos sritys – netiesinė akustika, radijo fizika ir optika – mokslininkai prisiminė Raselio solitoną ir uždavė klausimą: ar tokį reiškinį galima stebėti tik vandenyje? Norėdami tai padaryti, reikėjo suprasti bendrą solitonų susidarymo mechanizmą. Netiesiškumo sąlyga pasirodė būtina, bet nepakankama: iš terpės buvo reikalaujama dar kažko, kad joje galėtų gimti „vieniša“ banga. Ir atlikus tyrimą paaiškėjo, kad trūkstama sąlyga buvo terpės dispersija.

Trumpai prisiminkime, kas tai yra. Dispersija yra bangos fazės sklidimo greičio (vadinamojo fazės greičio) priklausomybė nuo dažnio arba, kas yra tas pats, bangos ilgio (žr. "Mokslas ir gyvenimas" Nr. ). Pagal gerai žinomą Furjė teoremą, bet kokios formos nesinusinę bangą galima pavaizduoti paprastų sinusoidinių komponentų rinkiniu su skirtingais dažniais (bangos ilgiais), amplitudėmis ir pradinėmis fazėmis. Šie komponentai dėl dispersijos sklinda skirtingu fazių greičiu, o tai lemia bangos formos „ištepimą“ jai sklindant. Tačiau solitonas, kurį taip pat galima pavaizduoti kaip šių komponentų sumą, kaip jau žinome, judėdamas išlaiko savo formą. Kodėl? Prisiminkite, kad solitonas yra netiesinė banga. Ir čia slypi raktas į jo „paslaptį“. Pasirodo, solitonas atsiranda tada, kai netiesiškumo efektas, dėl kurio solitono „kupra“ tampa statesnis ir linkęs jį apversti, yra subalansuotas dispersija, dėl kurios jis tampa plokštesnis ir linkęs jį sulieti. Tai yra, solitonas atsiranda "netiesiškumo ir dispersijos sandūroje", kurios kompensuoja viena kitą.

Paaiškinkime tai pavyzdžiu. Tarkime, vandens paviršiuje susidarė kupra, kuri pradėjo judėti. Pažiūrėkime, kas atsitiks, jei neatsižvelgsime į sklaidą. Netiesinės bangos greitis priklauso nuo amplitudės (tiesinės bangos tokios priklausomybės neturi). Sparčiausiai judės kupros viršus, o kitą akimirką jos priekis taps statesnis. Fronto statumas didėja, o laikui bėgant banga „apvers“. Panašų bangų apsivertimą matome ir stebėdami banglentes jūros pakrantėje. Dabar pažiūrėkime, prie ko veda dispersijos buvimas. Pradinė kupra gali būti pavaizduota sinusoidinių komponentų, turinčių skirtingus bangos ilgius, suma. Ilgosios bangos komponentai veikia didesniu greičiu nei trumpųjų bangų, todėl sumažina priekinio krašto statumą, didele dalimi jį išlygindami (žr. "Mokslas ir gyvenimas" Nr. 8, 1992). Esant tam tikrai kauburio formai ir greičiui, gali visiškai atkurti pradinę formą, tada susidaro solitonas.

Viena iš nuostabių „pavienių“ bangų savybių yra ta, kad jos labai panašios į daleles. Taigi susidūrimo metu du solitonai nepraeina vienas per kitą, kaip įprastos linijinės bangos, o tarsi atstumia vienas kitą kaip teniso kamuoliukai.

Vandenyje gali atsirasti ir kito tipo solitonų, vadinamų grupiniais solitonais, nes jų forma labai panaši į bangų grupes, kurios iš tikrųjų stebimos vietoj begalinės sinusinės bangos ir juda grupiniu greičiu. Grupinis solitonas labai panašus į amplitudės moduliuojamas elektromagnetines bangas; jo apvalkalas yra ne sinusoidinis, jis apibūdinamas sudėtingesne funkcija - hiperboliniu sekantu. Tokio solitono greitis nepriklauso nuo amplitudės ir šiuo požiūriu skiriasi nuo KdV solitonų. Paprastai po voku būna ne daugiau kaip 14-20 bangų. Taigi vidutinė – aukščiausia – banga grupėje yra intervale nuo septintos iki dešimtos; iš čia ir žinomas posakis „devintoji banga“.

Straipsnio apimtis neleidžia nagrinėti daugelio kitų solitonų tipų, pavyzdžiui, solitonų kietuose kristaliniuose kūnuose – vadinamųjų dislokacijų (jie primena „skyles“ kristalinė gardelė ir taip pat gali judėti), susiję magnetiniai solitonai feromagnetuose (pavyzdžiui, geležyje), į solitoną panašūs nerviniai impulsai gyvuose organizmuose ir daugelyje kitų. Mes apsiribojame optinių solitonų, kurie yra paskutiniais laikais fizikų dėmesį patraukė galimybė juos panaudoti labai perspektyviose optinio ryšio linijose.

Optinis solitonas yra tipiškas grupės solitonas. Jo susidarymą galima suprasti pagal vieno iš netiesinių optinių efektų – vadinamojo savaime sukelto skaidrumo – pavyzdį. Šis efektas susideda iš to, kad terpė, sugerianti mažo intensyvumo šviesą, tai yra nepermatoma, staiga tampa skaidri, kai pro ją praeina galingas šviesos impulsas. Norėdami suprasti, kodėl taip nutinka, prisiminkime, kas sukelia šviesos absorbciją materijoje.

Šviesos kvantas, sąveikaudamas su atomu, suteikia jam energiją ir perkelia į aukštesnį energijos lygį, tai yra į sužadinimo būseną. Fotonas išnyksta – terpė sugeria šviesą. Sužadinus visus terpės atomus, šviesos energijos absorbcija sustoja – terpė tampa skaidri. Tačiau tokia būsena negali trukti ilgai: iš paskos skrendantys fotonai priverčia atomus grįžti į pradinę būseną, išspinduliuodami tokio pat dažnio kvantus. Būtent taip nutinka, kai per tokią terpę nukreipiamas trumpas didelės galios atitinkamo dažnio šviesos impulsas. Priekinis impulso kraštas numeta atomus į viršutinį lygį, iš dalies absorbuojamas ir tampa silpnesnis. Impulso maksimumas sugeriamas mažesniu mastu, o galinis impulso kraštas skatina atvirkštinį perėjimą iš sužadinto lygio į žemės lygį. Atomas skleidžia fotoną, jo energija grąžinama į impulsą, kuris praeina per terpę. Tokiu atveju impulso forma atitinka grupės solitoną.

Visai neseniai viename iš Amerikos mokslo žurnalai Pasirodė leidinys apie gerai žinomos Bell Company (Bell Laboratories, JAV, Naujojo Džersio valstija) plėtrą, skirtą signalo perdavimui labai dideliais atstumais per optinio pluošto šviesos kreiptuvus naudojant optinius solitonus. Įprasto perdavimo šviesolaidinėmis ryšio linijomis metu signalas turi būti stiprinamas kas 80-100 kilometrų (pats šviesolaidis gali tarnauti kaip stiprintuvas, kai pumpuojamas tam tikro bangos ilgio šviesa). O kas 500-600 kilometrų reikia sumontuoti kartotuvą, kuris optinį signalą paverčia elektriniu, išsaugant visus jo parametrus, o paskui vėl į optinį tolimesniam perdavimui. Be šių priemonių signalas, esantis didesniu nei 500 kilometrų atstumu, yra neatpažįstamai iškraipomas. Šios įrangos kaina yra labai didelė: vieno terabito (10 12 bitų) informacijos perdavimas iš San Francisko į Niujorką kainuoja 200 milijonų dolerių už vieną perdavimo stotį.

Naudojant optinius solitonus, kurie sklidimo metu išlaiko formą, leidžia optinis perdavimas signalas iki 5-6 tūkstančių kilometrų atstumu. Tačiau kuriant „solitono liniją“ kyla didelių sunkumų, kurie buvo įveikti visai neseniai.

Solitonų egzistavimo optiniame pluošte galimybę 1972 metais numatė fizikė teorinė Akira Hasegawa, bendrovės „Bell“ darbuotoja. Tačiau tuo metu tose bangos ilgio srityse, kuriose buvo galima stebėti solitonus, nebuvo optinių skaidulų su mažais nuostoliais.

Optiniai solitonai gali sklisti tik šviesos kreiptuvu, kurio dispersijos reikšmė yra maža, bet baigtinė. Tačiau optinio pluošto, išlaikančio reikiamą dispersijos vertę visame daugiakanalio siųstuvo spektriniame plotyje, tiesiog nėra. Dėl to „paprasti“ solitonai netinkami naudoti tinkluose su ilgomis perdavimo linijomis.

Tinkama soliton technologija buvo sukurta daugelį metų vadovaujant Lynn Mollenauer, pirmaujančiam tos pačios Bell bendrovės Optinių technologijų skyriaus specialistui. Ši technologija buvo pagrįsta dispersija valdomų optinių skaidulų sukūrimu, leidžiančiu sukurti solitonus, kurių impulsų formą galima išlaikyti neribotą laiką.

Kontrolės metodas yra toks. Dispersijos dydis per optinio pluošto ilgį periodiškai keičiasi tarp neigiamų ir teigiamų verčių. Pirmoje šviesos kreiptuvo dalyje impulsas plečiasi ir pasislenka viena kryptimi. Antroje sekcijoje, kurioje yra priešingo ženklo dispersija, pulsas suspaudžiamas ir pasislenka priešinga kryptimi, dėl to atkuriama jo forma. Toliau judant impulsas vėl plečiasi, tada patenka į kitą zoną, kuri kompensuoja ankstesnės zonos veikimą ir taip toliau – vyksta ciklinis išsiplėtimų ir susitraukimų procesas. Impulsas pulsuoja pločio, kurio periodas lygus atstumui tarp įprasto šviesos vadovo optinių stiprintuvų - nuo 80 iki 100 kilometrų. Dėl to, anot Mollenauerio, signalas, kurio informacijos apimtis didesnis nei 1 terabitas, gali nukeliauti mažiausiai 5-6 tūkstančius kilometrų be pakartotinio perdavimo, kai perdavimo sparta yra 10 gigabitų per sekundę kanale be jokių iškraipymų. Tokia itin tolimojo ryšio optinėmis linijomis technologija jau arti diegimo stadijos.

SOLITONAS

SOLITONAS

Struktūriškai stabili vieniša banga netiesinėje dispersinėje terpėje. S. elgiasi kaip vyrai: bendraudami tarpusavyje ar su tam tikrais kitais trukdžiais, S. nesugriūva, o vėl išsiskiria, išlaikydami nepakitusią savo struktūrą. S. struktūra išlaikoma stacionari dėl pusiausvyros tarp terpės netiesiškumo veikimo (žr. NELINijinės SISTEMOS) ir dispersijos (žr. BANGŲ DISPERCIJA). Pavyzdžiui, gravitacijos atveju bangų skysčio paviršiuje pakankamai ilgai plokščiai (l->2pH, kur H yra rezervuaro gylis) dispersijos nėra, bangos sklinda fazės greičiu v=?(g(H+h)), kur g -, h yra vandens paviršiaus aukštis tam tikrame bangos profilio taške. Bangos viršus juda greičiau nei jos apačia (netiesiškumas), todėl bangos fronto statumas auga tol, kol fronto ilgis tampa proporcingas 2pН reikšmei, po kurio v priklausys nuo fronto statumo (dispersijos) . Dėl to profilyje atsiranda bangos (1 pav.), kurioms vystantis susidaro S.

Ryžiai. 1. Bangos profilio raida N gylio rezervuaro paviršiuje.

Ryžiai. 5. Surišta solitonų pora.

Sistemose su stipria dispersija, jei nejudančios bangos profilis yra artimas sinusoidiniam, modulio egzistavimas taip pat yra įmanomas. bangos lokalizuotų bangų pavidalu. paketai su stacionariai judančiu apvalkalu, kurie eksponuojami taip pat pasižymi „dalelėmis“ (C. „vokas“). Tokios bangos formos galimos bangoms giluminio rezervuaro paviršiuje, Langmuir bangoms plazmoje, didelės galios trumpiems (pikosekundžių) šviesos impulsams lazerio darbo terpėje ir pan.

S. vaidina svarbų vaidmenį kondensatoriaus teorijoje. būsena in-va, ypač kvantinėje. statistika, fazių perėjimų teorija. Soliton sprendiniai turi tam tikras lygtis, pasiūlytas elementams apibūdinti. h-ts. St in S. tyrimas kaip „daleles primenančios“ bangos, įskaitant galimą trimatę S., kurioje trimatėje erdvėje jis mažėja visomis kryptimis (ir ne tik išilgai vienos koordinatės, kaip anksčiau pateiktuose pavyzdžiuose ), paskatino bandymus panaudoti S. konstruojant kvantą. netiesinio lauko teorija.

Fizinis enciklopedinis žodynas. - M.: Tarybinė enciklopedija. Vyriausiasis redaktorius A. M. Prokhorovas. 1983 .

SOLITONAS

(iš lot. solus - vienas) - lokalizuotas stacionarus arba stacionarus vidutiniškai vienalyčio ar erdvinio periodiškumo perturbacija. S. pasižymi šiomis savybėmis: lokalizuota baigtinėje srityje;sklinda be deformacijų, perleisdama energiją, kampinį momentą;išlaiko savo struktūrą sąveikaujant su kitais panašiais S.; gali formuoti surištas būsenas, ansamblius. Bangos formos profilį (formą) netiesinėje terpėje lemia du konkuruojantys procesai: bangos plitimas dėl terpės sklaidos ir augančio bangos fronto „apvertimas“ dėl netiesiškumo.

Prieš pradžią 1960-ieji S. pavadino vienišą bangą – nepakitusios formos, plintančią iš posto. greitis baigtinio gylio sunkaus skysčio paviršiuje ir plazmoje. Dabar pagal S. apibrėžimą įvairių fizinių gaunasi. objektų. Pirmoji S. klasifikacija gali būti atliekama pagal erdvinių matmenų, pagal kuriuos vyksta netiesinės terpės stacionarios perturbacijos lokalizacija, skaičių. Vienmatės S. yra klasikinės. 2p impulsai ir gaubtai netiesinėje optikoje (žr solitonai optinė), lokalizacija. kolektyvinis laidumas organinėse molekulėse. puslaidininkiuose ir vienmačiuose metaluose (žr krūvio tankio bangos), S. (magneto srauto kvantai) Josephsono sandūrose superlaidininkuose (žr. josephson efektas) ir tt Į dvimačius S. išnirimus kristalinėje. gardelė, disklinacijos in skystieji kristalai, sūkurių struktūros ploname superskysčio sluoksnyje, Superfluidity), magn. vamzdžiai (Abrikosovo sūkuriai) 2 tipo superlaidininkuose (žr. Superlaidumas), anticikloninės sritys geofizėje. hidrodinamikos, įskaitant „Didžiąją raudonąją dėmę“ Jupiteryje, kanalus susikoncentruoja į save netiesinėje optikoje. Solitonas kvantinio lauko teorijoje), Juodosios skylės gravitacijos teorija. Kvantinio lauko teorijoje laikomos sistemos, lokalizuotos keturių dimensijų erdvėlaikyje, akimirksniu.

Matematiškai S. yra lokalizuoti stacionarūs netiesinių sprendiniai diferencialines lygtis dalinėse išvestinėse arba jų apibendrinimuose (diferencialinės-diferencinės, integralinės-diferencinės ir kt. lygtys). atvejai dif. fizinis Pavyzdžiui, situacijos ir reiškiniai apibūdinami tomis pačiomis lygtimis. Korteweg - de Vries lygtis, sinuso-Gordon lygtis, - Petviašvili lygtis. Tiesinės lygtys (išskyrus vienmatės bangos lygtį) neturi lokalizuotų stacionarių sprendinių. S. iš esmės yra nelinijiniai objektai, topologinis krūvis, y., jeigu bangos lauko konfigūracija esant S. topologiškai skiriasi nuo netrikdomos būsenos konfigūracijos. Reiškia. dalis lygčių, atvirkštinės sklaidos metodas, dauguma jų yra integruojamos Hamiltono sistemos.

Vienmačiai solitonai. Vienišą bangą baigtinio gylio skysčio paviršiuje pirmą kartą 1834 m. pastebėjo J. S. Russellas. Mat.

Čia H - netrukdomas skysčio gylis, - ilgų mažos amplitudės bangų greitis, x 0 - S. centro padėtis, atsirandančios smūginės bangos be susidūrimo plazmoje, modeliuojant atomų grandinės, sujungtos netiesinėmis tamprumo jėgomis ir aprašytos judėjimo lygtimis, elgesį.

kur l yra atomo skaičius grandinėje, E. Fermi (E. Fermi), J. Pasta (J. Pasta) ir C. Ulamas (S. Ulamas) 1954 metais šioje sistemoje atrado neįprastai lėtą stochastizaciją. Sistema nešildė (ji nenustatė termodinamikos

gautas 1895 m., apibūdinantis bangų paketo evoliuciją sekliojo skysčio paviršiuje. KdV lygtis yra universali lygtis, apibūdinanti vienmatę arba beveik vienmatę terpę, kurioje konkuruoja silpnas kvadratinis netiesiškumas [6 terminas ir juos wur-nii (3)] ir silpna tiesinė dispersija [terminas ir xxx(3) lygtyje].Paaiškėjo, kad ji apibūdina ir svyravimus. atomų grandinės elgesys,

Priklausomai nuo minėtų dviejų veiksnių santykio, sistema pereina iš vienos būsenos į kitą, o jų tarpusavio kompensavimo atveju atsiranda C.

Iš (3) lygties skaitinio sprendinio [N. Zabuski (N. Zabusky) ir M. Kruskal (M. Kruskal), 1964] iš to seka, kad S. turi priemonių. stabilumą ir susidūrimus, jie elastingai išsisklaido, išlaikydami savo formą ir amplitudę. Analizuodami šį reiškinį, M. Kruskal, J. Green (G. Green), C. Gardner (S. Gardner) ir R. Miura (R. Miura) atidaryta 1967 m. fundam. atvirkštinis sklaidos metodas:

(5) lygtis yra stacionari Schrödingerio lygtis, turinti u(x, t). Jei tenkina KdV lygtį (3), tai diskrečiosios savybės. Šriodingerio lygties reikšmės nepriklauso nuo laiko ir yra tiesiogiai susijusios su C. Jei (5) lygtis turi N diskrečios savybės. vertės, tada bus N C. formos (4) su parametrais . Bendruoju atveju sprendime taip pat yra svyruojanti „nesolitoninė dalis“.

Grynai soliton atveju

N-solitono tirpalas apibūdina sklaidą N C. vienas ant kito. porinis S. susidūrimas su amplitude S. įgyti pamainas

y., greitas S. įgauna teigiamus, o lėtus – neigiamus poslinkius. Kai bendrauja N S. pilnas kiekvieno S. lygus algebrinei. nereliatyvistinių dalelių sąveika, tarp kurių yra suporuotos atstumiančios jėgos. Pavyzdžiui, dviem S. (4) su vienodomis amplitudėmis, atskirtomis atstumu L daug didesnis būdingas dydis S., atstūmimo jėgos potencialas

Tipiškas saulės spinduliuotės atsiradimo vandenyne vaizdas, nufotografuotas iš kosmoso, parodytas pav.: aiškiai matomos penkios juostos (solitonai), judančios iš apačios dešinės į viršų kairę.

Schrödingerio netiesinė lygtis sudėtingai funkcijai u(x,t)

yra vienas iš pagrindinių netiesinės fizikos lygtys, apibūdinančios optinės raidą. bangos netiesiniuose kristaluose, Langmuiro bangos plazmoje, šiluminės bangos in kietosios medžiagos ir kt.. sklindant vienmačiai kvaziharmonikai. ir xx) ir tiesinė dispersija (terminas ) atsiranda savimoduliacija – atsiranda gaubtinės bangos. Esant netiesinio savaiminio susispaudimo ir dispersinio sklaidos pusiausvyrai, atsiranda S. apvalkalai.

Čia ir v- S. amplitudė ir greitis [skirtingai nei S. (4), šie parametrai yra vienas nuo kito nepriklausomi], Ф 0 ir X 0 pradžioje apibūdinkite S. fazę ir padėtį. momentas.

V. E. Zacharovas ir A. B. Šabatas parodė (1971), kad (7) lygtis taip pat yra tiksliai integruojama atvirkštinės sklaidos metodo rėmuose, naudojant pagalbines lygtis. per daug apibrėžta (5), (6) tipo tiesinių lygčių sistema daugiakomponentei (vektorinei) funkcijai . Tikslaus integravimo pasekmė yra tikslių daugiasluoksnių sprendimų buvimas. Kaip ir KdV lygties atveju, šie sprendiniai apibūdina grynai tamprius S. susidūrimus, išsaugant formą, amplitudę ir greitį. Vienybė susidūrimo pasekmė yra fazių poslinkiai – parametrų pokyčiai Ф 0 ir x 0.

Vienmatė sinuso-Gordono lygtis. Tiksliai integruota su pagalbiniu

Ši ur-cija randama daugelyje. fizinis užduotis, kuriose anharmoninis. potencialus netiesinis bangos lauko savaiminis veiksmas yra periodinis lauko kintamajame F(x, t). Pavyzdžiai yra Josephson sankryžose, įkrovos tankio bangos vienmačiai metalai, netiesinės įmagnetinimo bangos lengvai plokščiuose ir silpnuose feromagnetuose ir kt.

(9) lygtis turi dviejų skilimų solitoninius sprendimus. tipai: vadinamieji. kinki ibreezers. K i n k

yra vieniša banga su topologine mokestis juda greičiu v (v2< vienas). Kink turi prasmę. n. fluxon – kvantinis magnetinis. srautas ilgų Džozefsono sandūrų teorijoje, x 0 , apibūdinantis kinkų padėtį pradžioje. v1 ,v 2 (v1v 2) fazių poslinkiai yra lygūs:

Matyti, kad fazių poslinkiai nepriklauso nuo topologinio. kink mokesčiai.

Kaip ir S. atveju, aprašytą (3) ir (7) lygtimis, bendras bet kurio kreivumo fazės poslinkis, kai jis yra išsklaidytas kitų vingių aibės, yra tiksliai lygus poslinkių sumai, kurią sukelia jo susidūrimai su kiekvienu kiti susisuka atskirai.

Vizualiai du vingiai, atskirti atstumu L, daug didesniu nei jiems būdingi dydžiai ~ (1 - v 2) -1/2, gali būti pavaizduoti kaip durų reliatyvistinės dalelės, sąveikaujančios su potencialu.

Taigi, kinkai su vienodais krūviais atstumia vienas kitą, o kinkai su priešingais krūviais – traukia.

Priešingų krūvių kinkų pora gali sudaryti surištą svyruojančią būseną – vadinamąją. alsuoklis, kuris yra 2-asis (9) lygties tikslaus solitoninio sprendimo tipas:

[judantį alsuoklį galima gauti iš (11) Lorenco transformacija] Parametras keičiasi viduje , apibūdina kvėpuojančiojo rišamąją energiją, tam tikrą poros toli besiilsinčių objektų energijų skirtumą ( v= 0) sulenkimai (10) ir kvėpavimo energija (11):. Alsuoklių susidūrimai vienas su kitu ir sulenkimais taip pat yra visiškai elastingi ir juos lydi priediniai fazių poslinkiai. Realiose sistemose kvėpavimas nepastebimas dėl išsisklaidymo.

Riboje Ф 2 1 pakeitimas

paverčia lygtį (9) į netiesinę Schrödingerio lygtį (7) (su viršutiniu ženklu). Šiuo atveju alsuoklis (11) (at ) paverčiamas ramybės S. (8) su amplitudė

Daugiamačiai solitonai. Dvimatis S. yra tiksliai integruojamos Kadomcevo-Petviašvili lygties sprendimas

apibūdinančios jonų-akustines bangas plazmoje, „negilaus“ skysčio paviršiuje ir kt. Tikslus (12) lygties sprendimas

turintis savavališką kompleksinį parametrą v, apibūdina stabilią dvimatę S. (vadinamą l ir m p), judančią greičiu ir = (v x ,Vy),,. Sprendžiant. (13) mažėja kaip ( x 2+ y2) -1 , t.y. Tai yra, priešingai nei vienmatis S. (4), (8), (10), (11), kuriam būdingas eksponentinis profilio nykimas ties , dvimatis S. (13) turi galios dėsnio asimptotika. Bet kokio skaičiaus lempų (13) susidūrimai yra visiškai elastingi ir, priešingai nei vienmatis C, fazių poslinkiai yra identiški nuliui.

S. sąvoką galima apibendrinti neintegruojamų netiesinių bangų lygčių atveju. Tai apima beveik integruojamas sistemas, kurios nuo universalių integruojamų lygčių skiriasi mažais trikdžiais, o tai vyksta realioje fizikoje. sistemos. Beveik integruojamų sistemų trikdžių teorija taip pat remiasi atvirkštinės sklaidos metodu [D. Kaup (D. Kairas), 1976; V. I. Karpman ir E. M. Maslov, 1977]. Beveik integruotose sistemose C. yra turtingesnis; visų pirma, maži trikdžiai gali sukelti neelastingą juostų ir daugialypių efektų sąveiką, kurių nėra tiksliai integruotu atveju.

Sistemose, kurios toli gražu nėra integralios, simetrijų sąveika pasirodo esanti labai neelastinga. Taigi neintegruojama reliatyvistiškai nekintama bangų lygtis

Aprašant, pavyzdžiui, eilės parametro dinamiką poslinkio tipo fazių perėjimų metu feroelektrikoje, yra tikslus stabilus kink tipo sprendimas:

Atlikę skaičiavimus ir ieškodami analogijų, šie mokslininkai nustatė, kad Fermi, Pasta ir Ulam naudojama lygtis, mažėjant atstumui tarp svarmenų ir neribotai didėjant jų skaičiui, patenka į Korteweg-de Vries lygtį. Tai reiškia, kad iš esmės Fermi pasiūlyta problema buvo sumažinta iki Korteweg-de Vries lygties, pasiūlytos 1895 m., skaitiniu sprendimu, apibūdinti pavienę Russell bangą. Maždaug tais pačiais metais buvo įrodyta, kad Korteweg-de Vries lygtis taip pat naudojama jonų akustinėms bangoms plazmoje apibūdinti. Tada tapo aišku, kad ši lygtis yra daugelyje fizikos sričių, todėl vieniša banga, kuri apibūdinama šia lygtimi, yra plačiai paplitęs reiškinys.

Tęsdami skaičiavimo eksperimentus, skirtus modeliuoti tokių bangų sklidimą, Kruskal ir Zabusky svarstė jų susidūrimą. Pabandykime išsamiau aptarti šį nuostabų faktą. Tebūnie dvi pavienės bangos, aprašytos Korteweg-de Vries lygtimi, kurios skiriasi amplitude ir juda viena po kitos ta pačia kryptimi (2 pav.). Iš pavienių bangų formulės (8) išplaukia, kad kuo didesnis tokių bangų greitis, tuo didesnė jų amplitudė, o smailės plotis mažėja didėjant amplitudei. Taigi, aukštos pavienės bangos juda greičiau. Didesnės amplitudės banga aplenks mažesnės amplitudės bangą, judančią į priekį. Tada kurį laiką abi bangos judės kartu kaip visuma, sąveikaudamos viena su kita, o tada atsiskirs. Nepaprasta šių bangų savybė yra ta, kad po jų sąveikos forma ir

Ryžiai. 2. Du solitonai, aprašyti Korteweg-de Vries lygtimi,

prieš sąveiką (viršuje) ir po (apačioje)

atstatomas šių bangų greitis. Abi bangos po susidūrimo pasislenka tik tam tikru atstumu, palyginti su tuo, kaip jos judėtų be sąveikos.

Procesas, kurio metu po bangų sąveikos išsaugoma forma ir greitis, primena elastingą dviejų dalelių susidūrimą. Todėl Kruskal ir Zabuski tokias pavienes bangas vadino solitonais (iš anglų kalbos solitary – solitary). Tai ypatingas pavienių bangų pavadinimas, atitinkantis elektroną, protoną ir daugelį kitų. elementariosios dalelės, dabar yra visuotinai priimtas.

Pavienės bangos, kurias atrado Russellas, iš tikrųjų elgiasi kaip dalelės. Jų sąveikos metu didelė banga nepraeina pro mažą. Kai liečiasi pavienės bangos, didelė banga sulėtėja ir mažėja, o maža, priešingai, pagreitėja ir auga. Ir kada maža banga užauga iki didelio dydžio, o didysis sumažėja iki mažo dydžio, atsiskiria solitonai ir didesnis juda į priekį. Taigi, solitonai elgiasi kaip elastingi teniso kamuoliukai.

Pateiksime solitono apibrėžimą. Solitonas vadinama netiesine vieniša banga, kuri išlaiko formą ir greitį savo pačios judėjimo ir susidūrimo su panašiomis pavienėmis bangomis metu, tai yra, yra stabilus darinys. Vienintelis solitonų sąveikos rezultatas gali būti tam tikras fazių poslinkis.

Atradimai, susiję su Korteweg-de Vries lygtimi, nesibaigė solitono atradimu. Kitas svarbus žingsnis, susijęs su šia nuostabia lygtimi, buvo naujo netiesinių dalinių diferencialinių lygčių sprendimo metodo sukūrimas. Gerai žinoma, kad rasti netiesinių lygčių sprendimus yra labai sunku. Iki septintojo dešimtmečio buvo manoma, kad tokios lygtys gali turėti tik tam tikrus konkrečius sprendimus, atitinkančius tam tikras pradines sąlygas. Tačiau Korteweg-de Vries lygtis šiuo atveju taip pat atsidūrė išskirtinėje padėtyje.

1967 metais amerikiečių fizikai K.S. Gardneris, J.M. Greenas, M. Kruskal ir R. Miura parodė, kad Korteweg-de Vries lygties sprendimas iš principo gali būti gautas visoms pradinėms sąlygoms, kurios tam tikru būdu išnyksta koordinatei link begalybės. Jie panaudojo Korteweg-de Vries lygties transformaciją į dviejų lygčių sistemą, dabar vadinamą Lax pora (pagal amerikiečių matematiką Peterį Laxą, kuris labai prisidėjo kuriant solitonų teoriją), ir atrado naują. daugelio labai svarbių netiesinių dalinių diferencialinių lygčių sprendimo metodas. Šis metodas vadinamas atvirkštinės sklaidos problemos metodu, nes jame iš esmės naudojamas kvantinės mechanikos uždavinio apie potencialo atstatymą iš sklaidos duomenų sprendimas.

2.2. Grupės soliton

Aukščiau sakėme, kad praktiškai bangos, kaip taisyklė, sklinda grupėmis. Panašias bangų grupes ant vandens žmonės stebėjo nuo neatmenamų laikų. Į klausimą, kodėl bangų „pulkai“ tokie būdingi bangoms ant vandens, T. Benjaminui ir J. Feyeriui pavyko atsakyti tik 1967 m. Teoriniais skaičiavimais jie parodė, kad paprasta periodinė banga giliame vandenyje yra nestabili (dabar šis reiškinys vadinamas Benjamino-Fejéro nestabilumu), todėl bangos vandenyje dėl nestabilumo skyla į grupes. Lygtį, apibūdinančią bangų grupių plitimą vandenyje, gavo V.E. Zacharovas 1968 m. Iki to laiko ši lygtis jau buvo žinoma fizikoje ir buvo vadinama netiesine Šriodingerio lygtimi. 1971 metais V.E. Zacharovas ir A.B. Shabatas parodė, kad ši netiesinė lygtis taip pat turi sprendinius solitonų pavidalu, be to, netiesinė Schrödingerio lygtis, taip pat Korteweg-de Vries lygtis gali būti integruota atvirkštinės sklaidos problemos metodu. Netiesinės Schrödingerio lygties solitonai skiriasi nuo aukščiau aptartų Korteweg-de Vries solitonų tuo, kad atitinka bangų grupės gaubto formą. Išoriškai jie primena moduliuotas radijo bangas. Šie solitonai vadinami grupiniais solitonais, o kartais ir apvalkaliniais solitonais. Šis pavadinimas atspindi bangos paketo apvalkalo sąveikos išlikimą (analogiškai 3 pav. parodytai punktyrinei linijai), nors pačios bangos po apvalkalu juda skirtingu greičiu nei grupės greitis. Šiuo atveju aprašoma voko forma

Ryžiai. 3. Grupės soliton pavyzdys (punktyrinė linija)

priklausomybė

a(x,t)=a 0 ch -1 ( )

kur a a - amplitudė ir l yra perpus mažesnis už solitoną. Paprastai po solitono apvalkalu yra nuo 14 iki 20 bangų, o vidurinė banga yra didžiausia. Su tuo susijęs gerai žinomas faktas, kad aukščiausia banga grupėje vandenyje yra tarp septintos ir dešimtos (devintos bangos). Jei bangų grupėje susidarė didesnis bangų skaičius, tada ji suskils į kelias grupes.

Netiesinė Šriodingerio lygtis, kaip ir Korteweg-de Vries lygtis, taip pat plačiai naudojama aprašant bangas įvairiose fizikos srityse. Šią lygtį 1926 m. pasiūlė žymus austrų fizikas E. Schrödingeris, norėdamas išanalizuoti pagrindines savybes. kvantinės sistemos ir iš pradžių buvo naudojamas apibūdinti intraatominių dalelių sąveiką. Apibendrinta arba netiesinė Schrödingerio lygtis apibūdina banginių procesų fizikos reiškinių rinkinį. Pavyzdžiui, jis naudojamas apibūdinti savaiminio fokusavimo poveikį, kai galingas lazerio spindulys veikia netiesinę dielektrinę terpę, ir apibūdinti netiesinių bangų sklidimą plazmoje.

3. Problemos pareiškimas

3.1. Modelio aprašymas Šiuo metu pastebimai auga susidomėjimas netiesinių bangų procesų tyrimu įvairiose fizikos srityse (pavyzdžiui, optikos, plazmos fizikos, radiofizikos, hidrodinamikos ir kt.). Norint ištirti mažos, bet baigtinės amplitudės bangas dispersinėje terpėje, Korteweg-de Vries (KdV) lygtis dažnai naudojama kaip modelio lygtis:

ut+ ii x +bir xxx = 0(3.1)

KdV lygtis buvo naudojama magnetosoninėms bangoms, sklindančioms griežtai per magnetinį lauką arba artimais kampais

.

Pagrindinės prielaidos, kurios daromos išvedant lygtį: 1) maža, bet baigtinė amplitudė, 2) bangos ilgis yra didelis, palyginti su dispersijos ilgiu.

Kompensuojant netiesiškumo efektą, dispersija leidžia susidaryti dispersinėje terpėje baigtinės amplitudės stacionarias bangas – pavienes ir periodines. Pavienės KdV lygties bangos po darbo pradėtos vadinti solitonais. Periodinės bangos vadinamos cnoidinėmis bangomis. Atitinkamos jų aprašymo formulės pateiktos.

3.2. Diferencialinės problemos formulavimas Šiame darbe nagrinėjame Korteweg-de Vries lygties su periodinėmis sąlygomis erdvėje stačiakampyje Koši uždavinio skaitinį sprendimą. Q T={(t, x):0< t< T, xÎ [0, l].

ut+ ii x +bir xxx = 0(3.2)

u(x,t)| x=0 =u(x,t)| x=l(3.3)

su pradine būkle

u(x,t)| t=0 =u 0 (x) (3.4)

4. Korteweg – de Vries lygties savybės

4.1. Trumpa apžvalga KdV lygties Koši uždavinys KdV lygčiai, esant įvairioms prielaidoms apie u 0 (X) svarstomas daugelyje darbų. Šiame darbe baigtinio skirtumo metodu buvo išspręsta sprendinio su periodiškumo sąlygomis kaip ribinėmis sąlygomis egzistavimo ir unikalumo problema. Vėliau, esant ne tokioms tvirtoms prielaidoms, straipsnyje buvo įrodytas egzistavimas ir unikalumas erdvėje L ¥ (0,T,H s (R 1)), kur s>3/2, o esant periodiniam uždavinys, erdvėje L ¥ (0 ,T,H ¥ (C)), kur C yra apskritimas, kurio ilgis lygus periodui, rusų kalba šie rezultatai pateikti knygoje.

Jūreiviai nuo seno žinojo didelio aukščio pavienes bangas, kurios naikina laivus. Ilgą laiką buvo manoma, kad tai įvyksta tik m atviras vandenynas. Tačiau naujausi duomenys rodo, kad pavienės žudikų bangos (iki 20–30 metrų aukščio) arba solitonai (iš anglų kalbos solitary – „vienišas“) gali atsirasti ir pakrantės zonose. Birmingamo incidentas Pakeliui į Keiptauną buvome apie 100 mylių į pietvakarius nuo Durbano. Kreiseris važiavo greitai ir beveik be riedėjimo, sutikdamas vidutinio bangavimo ir vėjo bangas, kai staiga įkritome į duobę ir puolėme žemyn pasitikti kitos bangos, kuri prasisuko pro pirmuosius pabūklų bokštelius ir atsitrenkė į mūsų atvirą kapitono tiltelį. Buvau nugriautas ir 10 metrų aukštyje virš jūros lygio atsidūriau pusės metro vandens sluoksnyje. Laivas patyrė tokį smūgį, kad daugelis manė, kad esame torpeduoti. Kapitonas iškart sulėtino greitį, tačiau ši atsargumo priemonė pasirodė bergždžia, nes buvo atkurtos vidutinės plaukiojimo sąlygos ir daugiau „duobių“ neatsirado. Tai įvykis, nutikęs naktį su aptemusiu laivu. buvo vienas įdomiausių jūroje. Aš lengvai tikiu, kad tokiomis aplinkybėmis pakrautas laivas gali nuskęsti. Taip netikėtą susidūrimą su viena katastrofiška banga aprašo britų karininkas iš kreiserio Birmingham-. Ši istorija vyko Antrojo pasaulinio karo metais, todėl įgulos, nusprendusios, kad kreiseris buvo torpeduotas, reakcija yra suprantama. Panašus incidentas su garlaiviu Huarita 1909 metais nesibaigė taip gerai. Juo skrido 211 keleivių ir įgulos narių. Visi mirė. Tokios pavienės bangos, netikėtai pasirodančios vandenyne, iš tikrųjų vadinamos žudančiomis bangomis arba solitonais. Atrodytų, kad. bet kokią audrą galima pavadinti žudiku.. Iš tiesų, kiek laivų žuvo per audrą ir miršta dabar? Kiek jūreivių rado paskutinę poilsio vietą šėlstančios jūros gelmėse? Ir dar bangos. dėl jūros audrų ir net uraganų nėra vadinami „žudikais“. Manoma, kad susidūrimas su solitonu greičiausiai įvyksta prie pietinės Afrikos pakrantės. Kai transportuojama jūrų maršrutai Sueco kanalo dėka jie pasikeitė ir laivai nustojo plaukioti aplink Afriką, sumažėjo susidūrimų su žudikiškomis bangomis. Nepaisant to, jau po Antrojo pasaulinio karo, nuo 1947 m., apie 12 metų labai dideli laivai „Bosfontein“ susidūrė su solitonais. „Giasterkerk“, „Orinfontein“ ir „Jacherefontein“, neskaitant mažesnių vietinių teismų. Arabų ir Izraelio karo metu Sueco kanalas buvo praktiškai uždarytas, o laivų judėjimas po Afriką vėl tapo intensyvus. Nuo susitikimo su žudiko banga 1968 m. birželio mėn. žuvo daugiau nei 28 tūkst. tonų talpos supertanlaivis „World Glory“. Tanklaivis gavo įspėjimą apie audrą, o artėjant audrai viskas buvo atlikta pagal instrukcijas. Nieko blogo nesitikėjo. Tačiau tarp įprastų vėjo bangų, kurios nekėlė rimto pavojaus. staiga iškilo didžiulė banga apie 20 metrų aukščio su labai stačiu priekiu. Ji pakėlė tanklaivį taip, kad jo vidurys atsiremtų į bangą, o laivapriekis ir laivagalis būtų ore. Tanklaivis buvo pakrautas žalios naftos ir nuo savo svorio lūžo pusiau. Šios pusės kurį laiką išliko plūduriuojančios, tačiau po keturių valandų tanklaivis nugrimzdo į dugną. Tiesa, daugumą ekipažo pavyko išgelbėti. 70-aisiais tęsėsi žudikų bangų „išpuoliai“ laivuose. 1973 m. rugpjūtį iš Europos į Japoniją, už 15 mylių nuo Hermio kyšulio plaukiantis laivas „Neptune Sapphire“, pučiant maždaug 20 metrų per sekundę vėjui, patyrė netikėtą iš niekur kilusios vienišos bangos smūgį. Smūgis buvo toks stiprus, kad maždaug 60 metrų ilgio laivo laivas nulūžo nuo korpuso! Laivas „Neptūnas Sapphire“ turėjo pažangiausią tų metų dizainą. Nepaisant to, susitikimas su žudiko banga jam pasirodė lemtingas. Tokių atvejų aprašyta nemažai. Natūralu, kad į baisų nelaimių sąrašą patenka ne tik dideli laivai, kuriuose yra galimybių išgelbėti įgulą. Susitikimas su žudančiomis bangomis smulkiems amatininkams dažnai baigiasi daug tragiškiau. Tokie laivai patiria ne tik stipriausią smūgį. galintis jas sunaikinti, tačiau ant stataus priekinio krašto bangos gali lengvai apvirsti. Tai vyksta taip greitai, kad neįmanoma tikėtis išsigelbėjimo.Tai ne cunamis.Kas tos žudikų bangos? Pirma mintis, kuri ateina į galvą informuotam skaitytojui, yra cunamis. Po katastrofiško gravitacinių bangų „reido“ pietrytinėje Azijos pakrantėje daugelis cunamį įsivaizduoja kaip klaikią vandens sieną su stačiu frontu, krintantį ant kranto ir nuplaunančią namus bei žmones. Iš tiesų, cunamiai gali daug ką. Pasirodžius šiai bangai prie šiaurinių Kurilų, hidrografai, tirdami pasekmes, aptiko padoraus dydžio valtį, išmestą per pakrantės kalvas į salos vidų. Tai yra, cunamio energija yra tiesiog nuostabi. Tačiau visa tai susiję su cunamiais, kurie „puola“ pakrantę. Išvertus į rusų kalbą terminas „cunamis“ reiškia „didelė banga uoste“. Labai sunku jį rasti atvirame vandenyne. Ten šios bangos aukštis dažniausiai neviršija vieno metro, o vidutiniai, tipiški matmenys – dešimtys centimetrų. O nuolydis itin mažas, nes tokiame aukštyje jo ilgis siekia kelis kilometrus. Taigi cunamio bėgančių vėjo bangų ar bangavimo fone aptikti beveik neįmanoma. Kodėl tada „puolant“ krantą cunamiai tampa tokie baisūs? Faktas yra tas, kad ši banga dėl savo didelio ilgio pajudina vandenį visame vandenyno gylyje. O kai plintant pasiekia gana seklias vietas, visa ši kolosali vandens masė kyla iš gelmių. Taip „nekenksminga“ banga atvirame vandenyne tampa pražūtinga pakrantėje. Taigi žudikų bangos nėra cunamiai. Tiesą sakant, solitonai yra neįprastas ir mažai ištirtas reiškinys. Jie vadinami bangomis, nors iš tikrųjų tai yra kažkas kita. Solitonams atsirasti, žinoma, reikalingas kažkoks pradinis impulsas, smūgis, antraip iš kur ims energija, bet ne tik. Skirtingai nuo įprastų bangų, solitonai sklinda dideliais atstumais labai mažai išsklaidydami energiją. Tai paslaptis, kurią dar reikia ištirti. Solitonai praktiškai nesąveikauja vienas su kitu. Paprastai jie plinta skirtingu greičiu. Žinoma, gali atsitikti taip, kad vienas solitonas pasiveja kitą, o tada jie sumuojami aukštyje, bet tada jie vis tiek vėl išsisklaido savo takais. Žinoma, solitonų pridėjimas yra retas įvykis. Tačiau yra ir kita priežastis, dėl kurios smarkiai išaugo jų statumas ir aukštis. Ši priežastis yra povandeninės atbrailos, per kurias „bėga“ solitonas. Tuo pačiu metu povandeninėje dalyje atsispindi energija, o banga tarsi „purškia“ aukštyn. Panašią situaciją fiziniais modeliais ištyrė tarptautinė mokslo grupė. Remiantis šiais tyrimais, galima nutiesti saugesnius laivų maršrutus. Tačiau paslapčių vis dar yra daug daugiau nei ištirtų savybių, o žudikų bangų paslaptis vis dar laukia savo tyrinėtojų. Ypač paslaptingi yra solitonai jūros vandenyse, vadinamajame „tankio šuolio sluoksnyje“. Šie solitonai gali sukelti (arba jau privedė) prie povandeninio laivo katastrofų.