Mes apsvarstėme keletą fiziškai visiškai skirtingų sistemų ir įsitikinome, kad judesio lygtys yra sumažintos į tą pačią formą

Skirtumai tarp fizinių sistemų atsiranda tik skirtingas apibrėžimas kiekiai ir įvairiuose fizinis pojūtis kintamasis x: tai gali būti koordinatė, kampas, krūvis, srovė ir tt Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju, kaip matyti iš pačios (1.18) lygties struktūros, dydis visada turi atvirkštinio laiko matmenį.

(1.18) lygtis apibūdina vadinamąją harmonines vibracijas.

Lygtis harmonines vibracijas(1,18) yra tiesinis diferencialinė lygtis antroji eilė (nes joje yra antroji kintamojo išvestinė x). Lygties tiesiškumas reiškia tai

jei yra funkcija x(t) yra šios lygties sprendimas, tada funkcija Cx(t) taip pat bus jo sprendimas ( C yra savavališka konstanta);

jei funkcijos x 1 (t) ir x 2 (t) yra šios lygties sprendiniai, tada jų suma x 1 (t) + x 2 (t) taip pat bus tos pačios lygties sprendimas.

Taip pat įrodyta matematinė teorema, pagal kurią antros eilės lygtis turi du nepriklausomus sprendinius. Visi kiti sprendimai pagal tiesiškumo savybes gali būti gauti kaip jų tiesiniai deriniai. Tiesioginės diferenciacijos būdu lengva patikrinti, ar nepriklausomos funkcijos ir tenkina (1.18) lygtį. Taigi bendras šios lygties sprendimas yra toks:

kur C1,C2 yra savavališkos konstantos. Šis sprendimas gali būti pateiktas ir kita forma. Pristatome kiekį

ir apibrėžkite kampą taip:

Tada bendrasis sprendimas (1.19) rašomas kaip

Pagal trigonometrijos formules išraiška skliausteliuose yra

Pagaliau atvykstame į bendras harmoninių virpesių lygties sprendimas kaip:

Neneigiama vertė A paskambino virpesių amplitudė, - pradinė svyravimo fazė. Visas kosinuso argumentas – derinys – vadinamas svyravimo fazė.

Išraiškos (1.19) ir (1.23) yra visiškai lygiavertės, todėl dėl paprastumo galime naudoti bet kurią iš jų. Abu sprendimai yra periodinės laiko funkcijos. Iš tiesų sinusas ir kosinusas yra periodiški su tašku . Todėl įvairios harmoninius virpesius atliekančios sistemos būsenos po tam tikro laiko kartojasi t*, kurio svyravimo fazė gauna prieaugį, kuris yra kartotinis :

Iš to išplaukia

Mažiausias iš šių kartų

paskambino svyravimų periodas (1.8 pav.), a - jo apskritas (ciklinis) dažnis.

Ryžiai. 1.8.

Jie taip pat naudoja dažnis dvejonės

Atitinkamai, apskritimo dažnis yra lygus virpesių skaičiui per sekundžių.

Taigi, jei sistema laiku t apibūdinamas kintamojo reikšme x(t), tada tą pačią reikšmę kintamasis turės po tam tikro laiko (1.9 pav.), t.y

Ta pati reikšmė, žinoma, po kurio laiko bus pakartota. 2T, ZT ir tt

Ryžiai. 1.9. Virpesių laikotarpis

Bendrasis sprendimas apima dvi savavališkas konstantas ( C 1, C 2 arba A, a), kurių reikšmės turėtų būti nustatomos dviem pradines sąlygas. Paprastai (nors nebūtinai) jų vaidmenį atlieka pradinės kintamojo reikšmės x(0) ir jo vedinys.

Paimkime pavyzdį. Tegul harmoninių svyravimų lygties sprendinys (1.19) apibūdina spyruoklės švytuoklės judėjimą. Savavališkų konstantų reikšmės priklauso nuo to, kaip mes ištraukėme švytuoklę iš pusiausvyros. Pavyzdžiui, mes ištraukėme spyruoklę į atstumą ir paleido kamuolį be pradinio greičio. Tokiu atveju

Pakeičiant t = 0(1.19) randame konstantos reikšmę Nuo 2

Taigi sprendimas atrodo taip:

Krovinio greitis nustatomas diferencijuojant laiką

Pakeičiamas čia t = 0, raskite konstantą Nuo 1:

Pagaliau

Palyginus su (1.23), matome, kad yra virpesių amplitudė, o jo pradinė fazė lygi nuliui: .

Dabar švytuoklę iš pusiausvyros ištraukiame kitu būdu. Pataikome į krovinį taip, kad jis įgautų pradinį greitį, bet smūgio metu praktiškai nejudėtų. Tada turime kitas pradines sąlygas:

mūsų sprendimas atrodo taip

Krovinio greitis keisis pagal įstatymą:

Įdėkime čia:

Paprasčiausias vibracijų tipas yra harmonines vibracijas- svyravimai, kurių metu svyruojančio taško poslinkis iš pusiausvyros padėties kinta laikui bėgant pagal sinuso arba kosinuso dėsnį.

Taigi, tolygiai sukant rutulį aplink perimetrą, jo projekcija (šešėlis lygiagrečiuose šviesos spinduliuose) atlieka harmoningą svyruojantį judesį vertikaliame ekrane (1 pav.).

Poslinkis iš pusiausvyros padėties harmoninių virpesių metu apibūdinamas lygtimi (tai vadinama harmoninio judėjimo kinematinis dėsnis), kurios forma:

čia x – poslinkis – vertė, apibūdinanti svyruojančio taško padėtį momentu t pusiausvyros padėties atžvilgiu ir matuojama atstumu nuo pusiausvyros padėties iki taško padėties tam tikru metu; A - virpesių amplitudė - didžiausias kūno poslinkis iš pusiausvyros padėties; T - virpesių periodas - vieno pilno svyravimo laikas; tie. mažiausias tarpas laikas, po kurio kartojasi svyravimą apibūdinančių fizikinių dydžių reikšmės; - pradinė fazė;

Virpesio fazė momentu t. Svyravimo fazė yra argumentas periodinė funkcija, kuri, esant nurodytai virpesių amplitudei, lemia būseną svyravimo sistema(kūno poslinkis, greitis, pagreitis) bet kuriuo metu.

Jei pradiniu laiko momentu svyruojantis taškas yra maksimaliai pasislinkęs iš pusiausvyros padėties, tada , ir taško poslinkis iš pusiausvyros padėties pasikeičia pagal dėsnį

Jei svyruojantis taškas yra stabilios pusiausvyros padėtyje, tai taško poslinkis iš pusiausvyros padėties keičiasi pagal dėsnį

Vertė V, periodo atvirkštinė vertė ir lygi pilnų svyravimų, atliktų per 1 s, skaičiui, vadinama virpesių dažniu:

Jei per laiką t kūnas padaro N pilnų svyravimų, tai

vertė , rodantis, kiek svyravimų kūnas atlieka per s, vadinamas ciklinis (apvalus) dažnis.

Harmoninio judėjimo kinematinį dėsnį galima parašyti taip:

Grafiškai svyruojančio taško poslinkio priklausomybė nuo laiko pavaizduota kosinusu (arba sinusoidu).

2 paveiksle a parodyta svyravimo taško poslinkio nuo pusiausvyros padėties priklausomybė nuo laiko atvejo .

Išsiaiškinkime, kaip laikui bėgant kinta svyruojančio taško greitis. Norėdami tai padaryti, randame šios išraiškos laiko išvestinę:

kur yra greičio projekcijos x ašyje amplitudė.

Ši formulė rodo, kad harmoninių virpesių metu kūno greičio projekcija x ašyje taip pat kinta pagal harmonikos dėsnį tuo pačiu dažniu, skirtinga amplitude ir yra lenkia maišymo fazę (2 pav., b). .

Norėdami sužinoti pagreičio priklausomybę, randame greičio projekcijos laiko išvestinę:

kur yra pagreičio projekcijos x ašyje amplitudė.

Harmoninių virpesių atveju pagreičio projekcija lemia fazės poslinkį k (2 pav., c).

§ 6. MECHANINIAI VIRPIMAIPagrindinės formulės

Harmoninių virpesių lygtis

kur X - svyruojančio taško poslinkis iš pusiausvyros padėties; t- laikas; BET,ω, φ- atitinkamai amplitudė, kampinis dažnis, pradinė svyravimų fazė; - svyravimų fazė šiuo metu t.

Kampinio virpesio dažnis

čia ν ir T yra svyravimų dažnis ir periodas.

Taško, sukeliančio harmoninius virpesius, greitis,

Harmoninis pagreitis

Amplitudė BET gautas svyravimas, gautas sudėjus du vienodo dažnio virpesius, vykstančius išilgai vienos tiesės, nustatomas pagal formulę

kur a 1 ir BET 2 - virpesių komponentų amplitudės; φ 1 ir φ 2 – jų pradinės fazės.

Iš formulės galima rasti pradinę susidariusio svyravimo fazę φ

dūžių dažnis, atsirandantis sudėjus du svyravimus, vykstančius išilgai tos pačios tiesės, kurių dažnis yra skirtingas, bet artimas ν 1 ir ν 2,

Taško, dalyvaujančio dviejuose vienas kitam statmenuose virpesiuose, kurių amplitudės A 1 ir A 2 ir pradinės fazės φ 1 ir φ 2, trajektorijos lygtis,

Jei pradinės virpesių komponentų fazės φ 1 ir φ 2 yra vienodos, tada trajektorijos lygtis įgauna formą

y., taškas juda tiesia linija.

Tuo atveju, jei fazių skirtumas , lygtis įgauna formą

y., taškas juda išilgai elipsės.

Materialaus taško harmoninių virpesių diferencialinė lygtis

, arba , kur m yra taško masė; k- kvazitampriosios jėgos koeficientas ( k=tω 2).

Bendra materialaus taško energija, sukelianti harmoninius virpesius,

Ant spyruoklės (spyruoklės švytuoklė) pakabinto kūno svyravimo laikotarpis,

kur m- kūno masė; k- spyruoklės standumas. Formulė galioja tamprioms vibracijoms tose ribose, kuriose įvykdomas Huko dėsnis (su maža spyruoklės mase, palyginti su kūno mase).

Matematinės švytuoklės svyravimo periodas

kur l- švytuoklės ilgis; g- gravitacijos pagreitis. Fizinės švytuoklės svyravimo periodas

kur J- svyruojančio kūno inercijos apie ašį momentas

svyravimai; a- švytuoklės masės centro atstumas nuo svyravimo ašies;

Sumažintas fizinės švytuoklės ilgis.

Aukščiau pateiktos formulės yra tikslios be galo mažoms amplitudėms. Esant baigtinėms amplitudėms, šios formulės duoda tik apytikslius rezultatus. Esant amplitudėms, ne didesnėms nei periodo vertės paklaida neviršija 1%.

Kūno, pakabinto ant elastingo sriegio, sukimo virpesių laikotarpis,

kur J- kūno inercijos momentas apie ašį, sutampančią su elastiniu siūlu; k- tampriojo sriegio standumas, lygus tamprumo momento, susidariusio sukant siūlą, ir kampo, kuriuo sriegis sukamas, santykiui.

Slopintų virpesių diferencialinė lygtis , arba ,

kur r- pasipriešinimo koeficientas; δ - slopinimo koeficientas: ;ω 0 - natūralus kampinis virpesių dažnis *

Slopintų virpesių lygtis

kur A(t)- slopintų svyravimų amplitudė šiuo metu t;ω yra jų kampinis dažnis.

Slopintų virpesių kampinis dažnis

О Slopintų svyravimų amplitudės priklausomybė nuo laiko

aš

kur BET 0 - svyravimų amplitudė šiuo metu t=0.

Logaritminio virpesio mažėjimas

kur A(t) ir A(t+T)- dviejų vienas po kito einančių svyravimų amplitudės, laiko atžvilgiu viena nuo kitos atskirtos periodu.

Priverstinių virpesių diferencialinė lygtis

kur yra išorinė periodinė jėga, veikianti svyruojantį medžiagos tašką ir sukelianti priverstinius svyravimus; F 0 - jo amplitudės vertė;

Priverstinių virpesių amplitudė

Rezonansinis dažnis ir rezonansinė amplitudė ir

Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 pavyzdys Taškas svyruoja pagal dėsnį x(t)=, kur A=2žr. Nustatyti pradinę fazę φ, jei

x(0) = cm ir X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Sprendimas. Mes naudojame judesio lygtį ir išreiškiame poslinkį šiuo metu t=0 iki pradinės fazės:

Iš čia matome pradinį etapą:

* Anksčiau pateiktose harmoninių virpesių formulėse ta pati reikšmė buvo tiesiog pažymėta ω (be indekso 0).

Pakeiskite pateiktas reikšmes į šią išraišką x(0) ir BET:φ= = . Argumento reikšmę tenkina dvi kampo reikšmės:

Norėdami nuspręsti, kuri iš šių kampo φ reikšmių taip pat atitinka sąlygą, pirmiausia randame:

Šioje išraiškoje pakeičiant vertę t=0 ir pakaitomis pradinių fazių reikšmės ir randame

T gerai kaip visada A>0 ir ω>0, tada sąlygą tenkina tik pirmoji pradinės fazės reikšmė. Taigi, norima pradinė fazė

Pagal rastą φ reikšmę sukonstruosime vektorinę diagramą (6.1 pav.). 2 pavyzdys Medžiagos taškas su mase t\u003d 5 g atlieka harmoninius virpesius su dažniu ν =0,5 Hz. Virpesių amplitudė A=3 cm Nustatykite: 1) greitį υ taškais tuo metu, kai kompensuojama x== 1,5 cm; 2) tašką veikianti didžiausia jėga F max; 3) pav. 6.1 bendra energija E svyruojantis taškas.

ir greičio formulę gauname imdami pirmą kartą poslinkio išvestinę:

Norint išreikšti greitį poslinkiu, laikas turi būti neįtrauktas į (1) ir (2) formules. Norėdami tai padaryti, abi lygtis padalijame kvadratu, pirmąją padaliname iš BET 2 , antrasis ant A 2 ω 2 ir pridėkite:

, arba

Paskutinės υ lygties sprendimas , rasti

Atlikę skaičiavimus pagal šią formulę, gauname

Pliuso ženklas atitinka atvejį, kai greičio kryptis sutampa su teigiama ašies kryptimi X, minuso ženklas – kai greičio kryptis sutampa su neigiama ašies kryptimi X.

Poslinkis harmoninio virpesio metu, be (1) lygties, taip pat gali būti nustatytas pagal lygtį

Kartodami tą patį sprendimą su šia lygtimi, gauname tą patį atsakymą.

2. Tašką veikiančią jėgą randame pagal antrąjį Niutono dėsnį:

kur a - taško pagreitis, kurį gauname paėmę greičio laiko išvestinę:

Pagreičio išraišką pakeitę formule (3), gauname

Taigi didžiausia jėgos vertė

Į šią lygtį pakeičiant π, ν reikšmes, t ir A, rasti

3. Bendra svyruojančio taško energija yra kinetinės ir potencialinės energijos suma, apskaičiuota bet kuriam laiko momentui.

Lengviausias būdas apskaičiuoti bendrą energiją yra tuo momentu, kai kinetinė energija pasiekia didžiausią vertę. Šiuo metu potenciali energija lygi nuliui. Taigi visa energija E svyravimo taškas yra lygus didžiausiai kinetinei energijai

Didžiausią greitį nustatome pagal (2) formulę, nustatydami: . Pakeitę greičio išraišką į (4) formulę, randame

Pakeitę dydžių reikšmes į šią formulę ir atlikę skaičiavimus, gauname

arba mcJ.

3 pavyzdys Plono strypo galuose l= 1 m ir svoris m 3 =400 g maži rutuliukai sutvirtinti masėmis m 1=200 g ir m 2 = 300 g. Strypas svyruoja apie horizontalią ašį, statmenai jai

dvitaškis strypas ir einantis per jo vidurį (taškas O 6.2 pav.). Apibrėžkite laikotarpį T virpesiai, kuriuos sukelia strypas.

Sprendimas. Fizinės švytuoklės, kuri yra strypas su rutuliais, svyravimo periodas nustatomas pagal ryšį

kur J- t - jo masė; l NUO - atstumas nuo švytuoklės masės centro iki ašies.

Šios švytuoklės inercijos momentas yra lygi sumai kamuoliukų inercijos momentai J 1 ir J 2 ir strypas J 3:

Laikydami kamuoliukus kaip materialius taškus, išreiškiame jų inercijos momentus:

Kadangi ašis eina per strypo vidurį, tada jos inercijos momentas apie šią ašį J 3 = =. Pakeičiant gautas išraiškas J 1 , J 2 ir J 3 formulėje (2) randame bendrą fizinės švytuoklės inercijos momentą:

Atlikdami skaičiavimus pagal šią formulę, randame

Ryžiai. 6.2 Švytuoklės masę sudaro rutuliukų masės ir strypo masė:

Atstumas l NUO švytuoklės masės centrą randame iš svyravimo ašies, remdamiesi šiais samprotavimais. Jei ašis X nukreipkite išilgai strypo ir sulygiuokite pradžią su tašku O, tada norimą atstumą l lygi švytuoklės masės centro koordinatei, t.y.

Kiekių reikšmių pakeitimas m 1 , m 2 , m, l ir atlikdami skaičiavimus, randame

Atlikę skaičiavimus pagal (1) formulę, gauname fizinės švytuoklės svyravimo periodą:

4 pavyzdys Fizinė švytuoklė yra strypas, kurio ilgis l= 1 m ir svoris 3 t 1 Su prie vieno iš jo galų pritvirtintas lanku, kurio skersmuo ir masė t 1 . Horizontali ašis Ozas

švytuoklė praeina per strypo vidurį statmenai jai (6.3 pav.). Apibrėžkite laikotarpį T tokios švytuoklės svyravimai.

Sprendimas. Fizinės švytuoklės svyravimo periodas nustatomas pagal formulę

(1)

kur J- švytuoklės inercijos apie svyravimo ašį momentas; t - jo masė; l C - atstumas nuo švytuoklės masės centro iki svyravimo ašies.

Švytuoklės inercijos momentas lygus strypo inercijos momentų sumai J 1 ir lankas J 2:

(2).

Strypo inercijos momentas strypui statmenos ašies, einančios per jo masės centrą, atžvilgiu nustatomas pagal formulę . Tokiu atveju t= 3t 1 ir

Lankelio inercijos momentą randame naudodami Steinerio teoremą , kur J- inercijos momentas apie savavališką ašį; J 0 - inercijos momentas apie ašį, einantį per masės centrą, lygiagrečią duotai ašiai; a - atstumas tarp nurodytų ašių. Pritaikę šią formulę lankui, gauname

Pakeičiantys posakius J 1 ir J 2 formulėje (2) randame švytuoklės inercijos momentą apie sukimosi ašį:

Atstumas l NUO nuo švytuoklės ašies iki jos masės centro yra

Formulės (1) pakeitimas išraiškomis J, l c ir švytuoklės masę, randame jos svyravimo periodą:

Apskaičiavę pagal šią formulę, gauname T\u003d 2,17 s.

5 pavyzdys Pridedami du tos pačios krypties svyravimai, išreikšti lygtimis ; X 2 = =, kur BET 1 = 1 cm, A 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Nustatykite svyravimo komponentų pradines fazes φ 1 ir φ 2

bani. 2. Raskite amplitudę BET o atsiradusio svyravimo pradinė fazė φ. Parašykite gauto svyravimo lygtį.

Sprendimas. 1. Harmoninių virpesių lygtis turi formą

Uždavinio sąlygoje pateiktas lygtis paverskime ta pačia forma:

Iš išraiškų (2) palyginimo su lygybe (1) randame pirmojo ir antrojo svyravimų pradines fazes:

Džiaugiasi ir džiaugiuosi.

2. Amplitudei nustatyti BET gauto svyravimo, patogu naudoti vektorinę diagramą, pateiktą ryžių. 6.4. Pagal kosinuso teoremą gauname

kur yra virpesių komponentų fazių skirtumas.. Kadangi , tada, pakeisdami rastąsias reikšmes φ 2 ir φ 1, gauname rad.

Pakeiskite reikšmes BET 1 , BET 2 ir į (3) formulę ir atlikite skaičiavimus:

A= 2,65 cm.

Susidariusio svyravimo pradinės fazės φ liestinė gali būti nustatyta tiesiogiai iš Fig. 6.4: , iš kur pradinė fazė

Harmoninės vibracijos – tai vibracijos, kuriose fizinis kiekis kinta laikui bėgant pagal harmoninį (sinusoidinį, kosinusinį) dėsnį. Harmoninių virpesių lygtis gali būti parašyta taip:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
arba
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - nuokrypis nuo pusiausvyros padėties momentu t
A - virpesių amplitudė, A matmuo yra toks pat kaip X matmuo
ω – ciklinis dažnis, rad/s (radianais per sekundę)
φ - pradinė fazė, rad
t - laikas, s
T - svyravimo periodas, s
f – virpesių dažnis, Hz (hercai)
π – konstanta maždaug lygi 3,14, 2π=6,28

Virpesių periodas, dažnis hercais ir ciklinis dažnis yra susiję ryšiais.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Norėdami prisiminti šiuos santykius, turite suprasti šiuos dalykus.
Kiekvienas iš parametrų ω, f, T vienareikšmiškai lemia kitus. Virpesiams apibūdinti pakanka naudoti vieną iš šių parametrų.

Laikotarpis T – vieno svyravimo laikas, jį patogu naudoti svyravimų grafikams braižyti.
Ciklinis dažnis ω – naudojamas virpesių lygtims rašyti, leidžia atlikti matematinius skaičiavimus.
Dažnis f – svyravimų skaičius per laiko vienetą, naudojamas visur. Hercais matuojame radijo dažnių derinimo dažnį, taip pat mobiliųjų telefonų diapazoną. Derinant muzikos instrumentus, stygų virpesių dažnis matuojamas hercais.

Išraiška (ωt+φ) vadinama svyravimo faze, o φ reikšmė – pradine faze, nes ji lygi svyravimo fazei momentu t=0.

Sinuso ir kosinuso funkcijos apibūdina kraštinių santykius taisyklingas trikampis. Todėl daugelis nesupranta, kaip šios funkcijos susijusios su harmoniniais virpesiais. Šį ryšį parodo tolygiai besisukantis vektorius. Tolygiai besisukančio vektoriaus projekcija sukelia harmoninius virpesius.
Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas trijų harmoninių virpesių pavyzdys. Vienodo dažnio, bet skirtingos fazės ir amplitudės.

Pradinės fazės pasirinkimas leidžia aprašant harmoninius virpesius nuo sinuso funkcijos pereiti prie kosinuso funkcijos:

Apibendrintas harmoninis svyravimas diferencine forma:

Kad pagal harmonikos dėsnį atsirastų laisvosios vibracijos, būtina, kad jėga, linkusi grąžinti kūną į pusiausvyros padėtį, būtų proporcinga kūno poslinkiui iš pusiausvyros padėties ir būtų nukreipta priešinga poslinkiui kryptimi. :

kur yra svyruojančio kūno masė.

Vadinama fizine sistema, kurioje gali egzistuoti harmoniniai virpesiai harmoninis osciliatorius, o harmoninių virpesių lygtis yra harmoninio osciliatoriaus lygtis.

1.2. Vibracijų papildymas

Neretai sistema vienu metu dalyvauja dviejuose ar daugiau nepriklausomų virpesių. Tokiais atvejais susidaro sudėtingas svyruojantis judesys, kuris sukuriamas viena kitai uždedant (pridedant) vibracijas. Akivaizdu, kad svyravimų sumavimo atvejai gali būti labai įvairūs. Jie priklauso ne tik nuo pridėtų svyravimų skaičiaus, bet ir nuo virpesių parametrų, nuo jų dažnių, fazių, amplitudių, krypčių. Neįmanoma apžvelgti visos galimos svyravimų sumavimo atvejų įvairovės, todėl apsiribosime tik pavienių pavyzdžių svarstymu.

Harmoninių virpesių, nukreiptų išilgai vienos tiesės, pridėjimas

Apsvarstykite vienodai nukreiptų to paties laikotarpio virpesių pridėjimą, tačiau skiriasi pradine faze ir amplitude. Pridėtinių virpesių lygtys pateikiamos tokia forma:

kur ir yra poslinkiai; ir yra amplitudės; ir yra pradinės pridėtinių virpesių fazės.

2 pav.

Patogu susidariusio virpesio amplitudę nustatyti naudojant vektorinę diagramą (2 pav.), kurioje amplitudės ir suminių svyravimų vektoriai brėžiami kampais ir į ašį, o suminio virpesio amplitudės vektorius gaunamas lygiagretainio taisyklė.

Jei tolygiai pasuksime vektorių sistemą (lygiagretainę) ir projektuosime vektorius į ašį , tada jų projekcijos darys harmoninius virpesius pagal pateiktos lygtys. Abipusis vektorių išsidėstymas , ir tuo pačiu išlieka nepakitęs, todėl gauto vektoriaus projekcijos svyruojantis judėjimas taip pat bus harmoningas.

Tai reiškia, kad visas judėjimas yra harmoninis virpesys, turintis tam tikrą ciklinį dažnį. Mes apibrėžiame amplitudės modulį BET atsirandantis svyravimas. Į kampą (nuo lygiagretainio priešingų kampų lygybės).

Vadinasi,

iš čia: .

Pagal kosinuso teoremą,

Pradinė susidariusio svyravimo fazė nustatoma iš:

Fazės ir amplitudės ryšiai leidžia rasti gauto judesio amplitudę ir pradinę fazę bei sudaryti jos lygtį: .

plaka

Panagrinėkime atvejį , kai dviejų pridėtinių virpesių dažniai mažai skiriasi vienas nuo kito , o amplitudės bus vienodos ir pradinės fazės , t.y.

Analitiškai pridedame šias lygtis:

Transformuokime

Ryžiai. 3.

Kadangi ji kinta lėtai, reikšmės negalima vadinti amplitude visa to žodžio prasme (amplitudė yra pastovi reikšmė). Paprastai ši reikšmė gali būti vadinama kintamąja amplitude. Tokių svyravimų grafikas parodytas 3 pav. Pridedami svyravimai turi tas pačias amplitudes, bet skirtingus periodus, o periodai ir šiek tiek skiriasi vienas nuo kito. Pridėjus tokius svyravimus, stebimi dūžiai. Smūgių skaičius per sekundę nustatomas pagal pridėtinių virpesių dažnių skirtumą, t.y.

Beats gali būti stebimas, kai skamba dvi kamertonas, jei dažniai ir vibracijos yra arti vienas kito.

Viena kitai statmenų virpesių pridėjimas

Leisti materialus taškas vienu metu dalyvauja dviejuose harmoniniuose virpesiuose, vykstančiuose tais pačiais laikotarpiais dviem viena kitai statmenomis kryptimis. Šios kryptys gali būti susietos stačiakampė sistema koordinates , nurodant pradinę vietą taško pusiausvyros padėtyje. Pažymime taško C poslinkį išilgai ašių ir Atitinkamai per ir . (4 pav.).

Panagrinėkime keletą ypatingų atvejų.

1). Pradinės svyravimų fazės yra vienodos

Atgalinės atskaitos pradžios momentą parinksime taip, kad abiejų svyravimų pradinės fazės būtų lygios nuliui. Tada poslinkiai išilgai ašių ir gali būti išreikšti lygtimis:

Padalinę šias lygybes iš termino, gauname taško C trajektorijos lygtis:
arba .

Vadinasi, dėl dviejų viena kitai statmenų svyravimų pridėjimo taškas C svyruoja išilgai tiesios atkarpos, einančios per pradžios tašką (4 pav.).

Ryžiai. keturi.

2). Pradinis fazių skirtumas yra :

Šiuo atveju virpesių lygtys yra tokios formos:

Taško trajektorijos lygtis:

Vadinasi, taškas C svyruoja išilgai tiesios atkarpos, einančios per pradinį tašką, bet esantį kituose kvadrantuose nei pirmuoju atveju. Amplitudė BET gaunami svyravimai abiem nagrinėjamais atvejais yra lygūs:

3). Pradinis fazių skirtumas yra .

Virpesių lygtys turi tokią formą:

Pirmąją lygtį padalinkite iš, o antrąją iš:

Sudedame abi lygybes ir pridedame. Gauname tokią svyruojančio taško judėjimo trajektorijos lygtį:

Virpesių taškas C juda išilgai elipsės su pusiau ašimis ir . Esant vienodoms amplitudėms, viso judėjimo trajektorija bus apskritimas. Bendruoju atveju , bet kartotinis, t.y. , pridedant abipusiai statmenus virpesius, svyravimo taškas juda išilgai kreivių, vadinamų Lissajous figūromis.

Lissajous figūros

Lissajous figūros- uždaros trajektorijos, nubrėžtos taško, kuris vienu metu atlieka du harmoninius virpesius dviem viena kitai statmenomis kryptimis.

Pirmą kartą tyrinėjo prancūzų mokslininkas Žiulis Antuanas Lissajousas. Figūrų forma priklauso nuo abiejų svyravimų periodų (dažnių), fazių ir amplitudių santykio(5 pav.).

5 pav.

Paprasčiausiu abiejų periodų lygybės atveju figūros yra elipsės, kurios su fazių skirtumu arba išsigimsta į linijos atkarpas, o esant fazių skirtumui ir amplitudių lygybei virsta apskritimu. Jei abiejų svyravimų periodai tiksliai nesutampa, tai fazių skirtumas visą laiką kinta, dėl to elipsė visą laiką deformuojasi. Kai žymiai skirtingi laikotarpiai Lissajous skaičiai nepastebimi. Tačiau jei periodai susieti kaip sveikieji skaičiai, tai po laiko intervalo, lygaus mažiausiam abiejų periodų kartotiniui, judantis taškas vėl grįžta į tą pačią padėtį – gaunamos sudėtingesnės formos Lissajous figūros.
Lissajous figūros telpa į stačiakampį, kurio centras sutampa su koordinačių pradžia, o kraštinės yra lygiagrečios koordinačių ašims ir išsidėsčiusios abiejose jų pusėse atstumais, lygiais virpesių amplitudėms (6 pav.).