Raskite skaitiklį ir vardiklį. Trupmena susideda iš dviejų skaičių: skaičius virš eilutės vadinamas skaitikliu, o skaičius žemiau eilutės vadinamas vardikliu. Vardiklis reiškia viso dalys, į kurias padalyta kokia nors visuma, o skaitiklis yra svarstytinas tokių dalių skaičius.

• Pavyzdžiui, trupmenoje ½ skaitiklis yra 1, o vardiklis yra 2.

Nustatykite vardiklį. Jei dvi ar daugiau trupmenų turi bendrą vardiklį, tokios trupmenos po eilute turi tą patį skaičių, tai yra, šiuo atveju kokia nors visuma yra padalinta į tiek pat dalių. Sudėti trupmenas su bendru vardikliu yra labai paprasta, nes visos trupmenos vardiklis bus toks pat kaip ir pridedamų trupmenų. Pavyzdžiui:

• Trupmenos 3/5 ir 2/5 turi bendrą vardiklį 5.
• Trupmenos 3/8, 5/8, 17/8 turi bendrą vardiklį 8.

Nustatykite skaitiklius. Norėdami pridėti trupmenas su bendru vardikliu, pridėkite jų skaitiklius ir parašykite rezultatą virš pridėtų trupmenų vardiklio.

• Trupmenų 3/5 ir 2/5 skaitikliai yra 3 ir 2.
• Trupmenų 3/8, 5/8, 17/8 skaitikliai yra 3, 5, 17.

Sudėkite skaitiklius. Užduotyje 3/5 + 2/5 pridėkite skaitiklius 3 + 2 = 5. Užduotyje 3/8 + 5/8 + 17/8 pridėkite skaitiklius 3 + 5 + 17 = 25.

Užsirašykite bendrą sumą. Atsiminkite, kad sudėjus trupmenas su bendru vardikliu, jis lieka nepakitęs – pridedami tik skaitikliai.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Jei reikia, paverskite trupmeną. Kartais trupmeną galima parašyti kaip sveikąjį skaičių, o ne kaip bendrą ar dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui, trupmena 5/5 lengvai konvertuojama į 1, nes bet kuri trupmena, kurios skaitiklis yra lygus vardikliui, yra 1. Įsivaizduokite pyragą, supjaustytą į tris dalis. Jei suvalgysite visas tris dalis, tai suvalgysite visą (vieną) pyragą.

• Bet kurią bendrąją trupmeną galima konvertuoti į dešimtainę; Norėdami tai padaryti, padalykite skaitiklį iš vardiklio. Pavyzdžiui, trupmeną 5/8 galima parašyti taip: 5 ÷ 8 = 0,625.

Jei įmanoma, supaprastinkite trupmeną. Supaprastinta trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis neturi bendro daliklio.

• Pavyzdžiui, apsvarstykite trupmeną 3/6. Čia turi ir skaitiklį, ir vardiklį bendras daliklis, lygus 3, tai yra, skaitiklis ir vardiklis visiškai dalijasi iš 3. Todėl trupmeną 3/6 galima užrašyti taip: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Jei reikia, pakeiskite netinkamą trupmeną į mišrią trupmeną (mišrus skaičius). Netinkamos trupmenos skaitiklis yra didesnis už vardiklį, pavyzdžiui, 25/8 (tinkamos trupmenos skaitiklis yra mažesnis už vardiklį). Netinkama trupmena gali būti konvertuojama į mišrią trupmeną, kurią sudaro sveikoji dalis (ty sveikasis skaičius) ir trupmeninė dalis (ty tinkama trupmena). Norėdami konvertuoti netinkamą trupmeną, pvz., 25/8, į mišrų skaičių, atlikite šiuos veiksmus:

• Netinkamos trupmenos skaitiklį padalinkite iš vardiklio; užrašykite nepilną koeficientą (visą atsakymą). Mūsų pavyzdyje: 25 ÷ 8 = 3 plius likutis. AT Ši byla visas atsakymas yra visa dalis mišrus skaičius.
• Raskite likusius. Mūsų pavyzdyje: 8 x 3 = 24; atimkite rezultatą iš pradinio skaitiklio: 25 - 24 \u003d 1, tai yra, liekana yra 1. Šiuo atveju liekana yra mišraus skaičiaus trupmeninės dalies skaitiklis.
• Parašykite mišrią trupmeną. Vardiklis nesikeičia (tai yra lygus netinkamosios trupmenos vardikliui), taigi 25/8 = 3 1/8.

Pamokos turinys

Sudėjus trupmenas su tais pačiais vardikliais

Trupmenų pridėjimas yra dviejų tipų:

1. Sudėjus trupmenas su tais pačiais vardikliais
2. Pridedant trupmenas su skirtingus vardiklius

Pradėkime nuo trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius, o vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Sudedame skaitiklius, o vardiklį paliekame nepakeistą:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:

2 pavyzdys Pridėkite trupmenas ir .

Atsakymas pasirodė ne tinkama trupmena. Jei užduotis baigiasi, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą joje esančią dalį. Mūsų atveju sveikoji dalis paskirstoma lengvai - du padalinti iš dviejų yra lygūs vienetui:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picų, gausite vieną visą picą:

3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Dar kartą pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picų, gausite picas:

4 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami paveikslėlį. Jei pridėsite picų į picą ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.

Kaip matote, sudėti trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra sunku. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius, o vardiklį palikti nepakeistą;

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Dabar sužinosime, kaip pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas tų trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.

Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tuos pačius vardiklius.

Tačiau trupmenų negalima sudėti iš karto, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien mes apsvarstysime tik vieną iš jų, nes likusieji metodai pradedančiajam gali atrodyti sudėtingi.

Šio metodo esmė slypi tame, kad ieškomas pirmasis (LCM) iš abiejų trupmenų vardikų. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antrasis papildomas koeficientas.

Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virsta trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Sudėkite frakcijas ir

Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6

LCM (2 ir 3) = 6

Dabar grįžkite į trupmenas ir . Pirmiausia LCM padalijame iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gauname pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.

Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas veiksnys. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, virš trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir virš jos užrašome rastą papildomą koeficientą:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.

Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas veiksnys. Rašome į antrąją trupmeną. Vėlgi, virš antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir virš jos užrašome rastą papildomą koeficientą:

Dabar esame pasiruošę pridėti. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:

Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį iki galo:

Taip pavyzdys baigiasi. Pridėti pasirodo.

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami paveikslėlį. Jei į picą dedate picas, gausite vieną visą picą ir dar šeštadalį picos:

Trupmenų sumažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Suvedę trupmenas ir į bendrą vardiklį, gauname trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tomis pačiomis picos riekelėmis. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).

Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš šešių). Sudėjus šias dalis gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena neteisinga, todėl joje paryškinome sveikąją dalį. Rezultatas buvo (viena visa pica ir kita šešta pica).

Atkreipkite dėmesį, kad šį pavyzdį nupiešėme per daug detaliai. AT švietimo įstaigų nėra įprasta rašyti taip išsamiai. Turite sugebėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų jų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti papildomus veiksnius, rastus pagal jūsų skaitiklius ir vardiklius. Būdami mokykloje turėtume parašyti šį pavyzdį taip:

Tačiau yra ir kita medalio pusė. Jei pirmuose matematikos studijų etapuose išsamios pastabos nepadaromos, tada yra tokie klausimai „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.

Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:

1. Raskite trupmenų vardiklių LCM;
2. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą daugiklį kiekvienai trupmenai;
3. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
4. Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
5. Jei atsakymas pasirodė netinkama trupmena, pasirinkite visą jo dalį;

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę .

Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.

1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM

Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4

2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą daugiklį kiekvienai trupmenai

Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį užrašome ant pirmosios trupmenos:

Dabar LCM padaliname iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. 12 padalijame iš 3, gauname 4. Gavome antrą papildomą koeficientą 4. Užrašome ant antrosios trupmenos:

Dabar LCM padaliname iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Gavome trečią papildomą koeficientą 3. Užrašome ant trečiosios trupmenos:

3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš papildomų koeficientų

Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš papildomų faktorių:

4 veiksmas. Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias frakcijas. Pridėti:

Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.

5 veiksmas. Jei atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena, tada jame pasirinkite visą dalį

Mūsų atsakymas yra netinkama trupmena. Turime išskirti visą jos dalį. Mes pabrėžiame:

Gavau atsakymą

Trupmenų su tais pačiais vardikliais atėmimas

Yra du trupmenos atimties tipai:

1. Trupmenų su tais pačiais vardikliais atėmimas
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pirma, išmokime atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti tą patį.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norint išspręsti šį pavyzdį, iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį palikti nepakeistą. Padarykime tai:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę.

Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

3 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:

Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:

1. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
2. Jei atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena, tuomet turite pasirinkti visą dalį.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pavyzdžiui, trupmeną galima atimti iš trupmenos, nes šios trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Tačiau trupmenos negalima atimti iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Bendras vardiklis randamas pagal tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas ant pirmosios trupmenos. Panašiai LCM padalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas ant antrosios trupmenos.

Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virsta trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.

1 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę:

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia suvesti į tą patį (bendrą) vardiklį.

Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12

LCM (3 ir 4) = 12

Dabar grįžkime prie trupmenų ir

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalijame LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Ant pirmosios trupmenos užrašome keturis:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trigubą:

Dabar mes visi pasiruošę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį iki galo:

Gavau atsakymą

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami paveikslėlį. Jei iš picos pjaustysite picas, gausite picas.

Tai yra išsami sprendimo versija. Būdami mokykloje šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Suvedę šias trupmenas į bendrą vardiklį, gauname trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į tas pačias trupmenas (sumažintos iki to paties vardiklio):

Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių nupjaudami tris gabalus, iš dvylikos gauname penkis gabalus. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia turite jas suvesti į tą patį (bendrą) vardiklį.

Raskite šių trupmenų vardiklių LCM.

Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalijame LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. Padalinkite 30 iš 10, gausime pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome ant pirmosios trupmenos:

Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 30 iš 3, gausime antrą papildomą koeficientą 10. Jį užrašome ant antrosios trupmenos:

Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Užrašome ant trečiosios trupmenos:

Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.

Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:

Atsakymas pasirodė teisinga trupmena, ir atrodo, kad viskas mums tinka, bet tai per sudėtinga ir negražu. Turėtume tai palengvinti. Ką galima padaryti? Galite sumažinti šią dalį.

Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (gcd) skaičių 20 ir 30.

Taigi, randame skaičių 20 ir 30 GCD:

Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš rasto GCD, tai yra iš 10

Gavau atsakymą

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus

Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, reikia padauginti nurodytos trupmenos skaitiklį iš šio skaičiaus, o vardiklį palikti tą patį.

1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1

Įrašas gali būti suprantamas kaip trunkantis pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei valgysite picą 1 kartą, gausite picą

Iš daugybos dėsnių žinome, kad jei daugiklis ir daugiklis bus sukeisti vietomis, sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:

Šį įrašą galima suprasti kaip pusę vieneto. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tada turėsime picą:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4

Atsakymas yra neteisinga trupmena. Paimkime visą jo dalį:

Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei valgysite picas 4 kartus, gausite dvi visas picas.

Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį vietomis, gausime išraišką. Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:

Trupmenų daugyba

Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, turite pasirinkti visą dalį.

1 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę.

Gavau atsakymą. Pageidautina šią dalį sumažinti. Frakcija gali būti sumažinta 2. Tada galutinis tirpalas bus tokios formos:

Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:

Kaip iš šios pusės paimti du trečdalius? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:

Ir paimkite du iš šių trijų dalių:

Gausime picos. Prisiminkite, kaip atrodo pica, padalinta į tris dalis:

Vienas gabalas iš šios picos ir dvi griežinėliai, kuriuos paėmėme, bus vienodo dydžio:

Kitaip tariant, mes kalbame apie tą patį picos dydį. Todėl išraiškos reikšmė yra

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas yra neteisinga trupmena. Paimkime visą jo dalį:

3 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas pasirodė teisinga trupmena, bet bus gerai, jei ji bus sumažinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausio skaičių 105 ir 450 bendrojo daliklio (GCD).

Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 GCD:

Dabar rasto atsakymo į GCD skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 15

Sveikojo skaičiaus vaizdavimas kaip trupmena

Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Iš to penki nepakeis savo reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinote, yra lygi penkiems:

Atvirkštiniai skaičiai

Dabar mes susipažinsime su įdomi tema matematikoje. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.

Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičiųa yra skaičius, kurį padauginus iša suteikia vienetą.

Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a numerį 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:

Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 suteikia vienetą.

Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, gali. Pavaizduokime penkis kaip trupmeną:

Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkime trupmeną iš savęs, tik apverstą:

Koks bus to rezultatas? Jei ir toliau spręstume šį pavyzdį, gautume vieną:

Tai reiškia, kad skaičius 5 yra atvirkštinis skaičius, nes 5 padauginus iš vieneto, gaunamas vienas.

Abipusį skaičių taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.

Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, pakanka jį apversti.

Trupmenos dalyba iš skaičiaus

Tarkime, kad turime pusę picos:

Padalinkime jį po lygiai tarp dviejų. Kiek picų gaus kiekvienas?

Matyti, kad padalinus pusę picos gavosi du vienodi gabalėliai, kurių kiekvienas sudaro po picą. Taigi visi gauna picą.

Trupmenų padalijimas atliekamas naudojant reciprokines vertes. Atvirkštiniai skaičiai leidžia dalybas pakeisti daugyba.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti šią trupmeną iš daliklio atvirkštinės vertės.

Pagal šią taisyklę užrašysime savo pusės picos padalijimą į dvi dalis.

Taigi, jums reikia padalyti trupmeną iš skaičiaus 2. Čia dividendas yra trupmena, o daliklis yra 2.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus 2, turite šią trupmeną padauginti iš daliklio 2 atvirkštinės vertės. Daliklio 2 atvirkštinė vertė yra trupmena. Taigi reikia padauginti iš

Norint pridėti sveikąjį skaičių prie trupmenos, pakanka atlikti eilę veiksmų, tiksliau, skaičiavimų.

Pavyzdžiui, jūs turite 7 – sveikąjį skaičių, turite jį pridėti prie trupmenos 1/2.

Mes elgiamės taip:

• 7 padauginame iš vardiklio (2), pasirodo 14,
• prie 14 pridedame viršutinę dalį (1), pasirodo 15,
• ir pakeiskite vardiklį.
• rezultatas 15/2.

Šiuo paprastu būdu prie trupmeninių skaičių galite pridėti sveikus skaičius.

O norint iš trupmenos pasirinkti sveikąjį skaičių, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio, o likusi dalis bus trupmena.

Pridėjimo prie teisingo operacija bendroji trupmena sveikas skaičius nėra sudėtingas ir kartais jis tiesiog susideda iš mišrios trupmenos sudarymo, kurioje sveikoji dalis dedama į kairę nuo trupmeninės dalies, pavyzdžiui, tokia trupmena bus sumaišyta:

Tačiau dažniau prie trupmenos pridėjus sveikąjį skaičių, gaunama netinkama trupmena, kurioje skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Ši operacija atliekama taip: sveikasis skaičius vaizduojamas kaip netinkama trupmena su tuo pačiu vardikliu kaip ir pridedama trupmena, tada tiesiog pridedami abiejų trupmenų skaitikliai. Pavyzdžiui, tai atrodys taip:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Manau, kad tai labai paprasta.

Pavyzdžiui, mes turime trupmeną 1/4 (tai yra 0,25, tai yra, ketvirtadalis sveikojo skaičiaus).

O prie šio ketvirčio galima pridėti bet kokį sveikąjį skaičių, pavyzdžiui, 3. Pasirodo trys ir ketvirtadalis:

3.25. Arba trupmena išreiškiama taip: 3 1/4

Čia, vadovaudamiesi šio pavyzdžio pavyzdžiu, galite pridėti bet kokias trupmenas su bet kuriais sveikaisiais skaičiais.

Turite padidinti sveikąjį skaičių iki trupmenos, kurios vardiklis yra 10 (6/10). Tada sukelkite esamą trupmeną į bendrą vardiklį 10 (35=610). Na, atlikite operaciją kaip su paprastosiomis trupmenomis 610+610=1210 iš viso 12.

Tai galite padaryti dviem būdais.

vienas). Trupmeną galima paversti sveikuoju skaičiumi ir pridėti. Pavyzdžiui, 1/2 yra 0,5; 1/4 lygu 0,25; 2/5 yra 0,4 ir pan.

Imame sveikąjį skaičių 5, prie kurio reikia pridėti trupmeną 4/5. Paverskime trupmeną: 4/5 yra 4 padalintas iš 5 ir gauname 0,8. Pridėkite 0,8 prie 5 ir gaukite 5,8 arba 5 4/5.

2). Antrasis būdas: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Trupmenų pridėjimas yra paprastas matematinis veiksmas, pavyzdžiui, reikia pridėti sveikąjį skaičių 3 ir trupmeną 1/7. Norėdami pridėti šiuos du skaičius, turite turėti tą patį vardiklį, taigi turite padauginti tris kartus septyni ir padalyti iš to skaičiaus, tada gausite 21/7+1/7, vardiklį vienas, pridėkite 21 ir 1, gausite 22/7 .

Tiesiog paimkite ir pridėkite prie šios trupmenos sveikąjį skaičių. Tarkime, 6+1/2=6 1/2. Na, jei tai yra dešimtainė trupmena, tada, pavyzdžiui, 6 + 1,2 = 7,2.

Norėdami pridėti trupmeną ir sveikąjį skaičių, prie sveikojo skaičiaus turite pridėti trupmeninį skaičių ir užrašyti juos kaip kompleksinį skaičių, pavyzdžiui, pridėdami įprastą trupmeną prie sveikojo skaičiaus, gauname: 1/2 +3 \u003d 3 1/2; pridedant dešimtainę trupmeną: 0,5 +3 \u003d 3,5.

Trupmena pati savaime nėra sveikasis skaičius, nes jos nepasiekia kiekiu, todėl nereikia sveikojo skaičiaus konvertuoti į šią trupmeną. Todėl sveikas skaičius išlieka sveikuoju skaičiumi ir visiškai parodo visą nominalą, o prie jo pridedama trupmena ir parodo, kiek šiam sveikajam skaičiui trūksta prieš pridedant kitą pilną tašką.

akademinis pavyzdys.

10 + 7/3 = 10 sveikųjų skaičių ir 7/3.

Jei, žinoma, yra sveikųjų skaičių, jie sumuojami su sveikaisiais skaičiais.

12 + 5 7/9 = 17 ir 7/9.

Kas yra sveikasis skaičius, o kas trupmena.

Jeigu abu terminai yra teigiami, ši trupmena turėtų būti priskirta sveikajam skaičiui. Gaunate mišrų skaičių. Be to, gali būti 2 atvejai.

1 atvejis

• Trupmena teisinga, t.y. skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Tada mišrus skaičius, gautas po priskyrimo, bus atsakymas.

4/9 + 10 = 10 4/9 (dešimties taškų keturios devintosios).



2 atvejis

• Trupmena neteisinga, t.y. skaitiklis didesnis už vardiklį. Tada reikia šiek tiek transformacijos. Netinkamą trupmeną reikia paversti mišriu skaičiumi, kitaip tariant, paryškinti visą dalį. Tai daroma taip:



Po to prie sveikojo skaičiaus reikia pridėti sveikąją netinkamos trupmenos dalį ir pridėti jos trupmeninę dalį prie gautos sumos. Lygiai taip pat prie mišraus skaičiaus pridedama visuma.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 ištisi trys ketvirtadaliai).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 visa viena sekundė).

Jei viena iš sąlygų arba abi neigiamas, tada sudėjimas atliekamas pagal skaičių su skirtingais arba vienodais ženklais sudėjimo taisykles. Sveikasis skaičius pavaizduotas kaip šio skaičiaus ir 1 santykis, tada skaitiklis ir vardiklis padauginami iš skaičiaus, lygaus trupmenos, prie kurios pridedamas sveikas skaičius, vardikliui.

3) 1/5 + (-2) = 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (atėmus 1 ištisus keturis penktadalius).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (minus 8 taškai, vienas trečdalis).

komentuoti.

Susipažinus neigiami skaičiai, tirdami veiksmus su jais, 6 klasės mokiniai turėtų suprasti, kad pridėti teigiamą sveikąjį skaičių prie neigiamos trupmenos yra tas pats, kas atimti iš natūralusis skaičius trupmena. Šis veiksmas, kaip žinote, atliekamas taip:



Tiesą sakant, norint pridėti trupmeną ir sveikąjį skaičių, tiesiog reikia esamą sveikąjį skaičių sumažinti iki trupmenos, o tai padaryti taip pat paprasta, kaip kriaušių gliaudyti. Jums tereikia paimti trupmenos vardiklį (pasiekiamas pavyzdyje) ir padaryti jį sveikojo skaičiaus vardikliu, padauginus jį iš šio vardiklio ir padalijus, štai pavyzdys:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

jūsų vaikas atnešė namų darbai iš mokyklos ir nežinai kaip tai išspręsti? Tada ši mini pamoka skirta jums!

Kaip pridėti dešimtainių skaičių

Stulpelyje patogiau sudėti dešimtaines trupmenas. Norėdami pridėti dešimtainių skaičių, turite laikytis vienos paprastos taisyklės:

• Skaičius turi būti po skaitmeniu, kablelis po kableliu.

Kaip matote pavyzdyje, ištisi vienetai yra vienas po kito, dešimtosios ir šimtosios – viena po kita. Dabar sudedame skaičius, nekreipdami dėmesio į kablelį. Ką daryti su kableliu? Kablelis perkeliamas į vietą, kurioje jis stovėjo sveikųjų skaičių iškrovoje.

Sudėjus trupmenas su vienodais vardikliais

Norėdami atlikti sudėjimą su bendruoju vardikliu, turite nekeisti vardiklio, rasti skaitiklių sumą ir gauti trupmeną, kuri bus bendra suma.

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais, surandant bendrą kartotinį

Pirmas dalykas, į kurį reikia atkreipti dėmesį, yra vardikliai. Vardikliai yra skirtingi, ar jie nedalomi vienas iš kito, ar ne pirminiai skaičiai. Pirmiausia turite rasti vieną bendrą vardiklį, yra keli būdai tai padaryti:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, norėdami išspręsti šį pavyzdį, turime rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM), kuris bus dalijamas iš 2 vardiklių. Pažymėti mažiausią a ir b kartotinį – LCM (a; b). Šiame pavyzdyje LCM (3;4) = 12. Patikrinkite: 12:3=4; 12:4=3.
• Padauginame koeficientus ir atliekame gautų skaičių sudėjimą, gauname 13/12 – netinkamą trupmeną.

• Kad neteisingą trupmeną paverstume tinkama, skaitiklį padalijame iš vardiklio, gauname sveikąjį skaičių 1, likusią dalį 1 yra skaitiklis, o 12 – vardiklį.

Trupmenų pridėjimas naudojant kryžminį dauginimą

Norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, yra kitas būdas pagal formulę „kryžminė“. Tai garantuotas būdas išlyginti vardiklius, tam reikia padauginti skaitiklius iš vienos trupmenos vardiklio ir atvirkščiai. Jei esate tik įjungtas Pradinis etapas mokantis trupmenas, tada šis metodas yra lengviausias ir tiksliausias, kaip gauti reikiamą rezultatą sudedant trupmenas su skirtingais vardikliais.

Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo taisyklės yra labai paprastos.

Apsvarstykite taisykles, kaip etapais pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais:

1. Raskite vardiklių LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį). Gautas LCM bus bendrasis trupmenų vardiklis;

2. Suvesti trupmenas į bendrą vardiklį;

3. Sudėkite trupmenas, sumažintas iki bendro vardiklio.

Ant paprastas pavyzdys Sužinokite, kaip pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais.

Pavyzdys

Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo pavyzdys.

Pridėkite trupmenas su skirtingais vardikliais:

1	+	5
6		12

Nuspręskime žingsnis po žingsnio.

1. Raskite vardiklių LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį).

Skaičius 12 dalijasi iš 6.

Iš to darome išvadą, kad 12 yra mažiausias bendras skaičių 6 ir 12 kartotinis.

Atsakymas: skaičių 6 ir 12 nok yra 12:

LCM(6; 12) = 12

Gautas NOC bus bendras dviejų trupmenų 1/6 ir 5/12 vardiklis.

2. Suveskite trupmenas į bendrą vardiklį.

Mūsų pavyzdyje tik pirmąją trupmeną reikia sumažinti iki bendro vardiklio 12, nes antroji trupmena jau turi 12 vardiklį.

Padalinkite bendrą 12 vardiklį iš pirmosios trupmenos vardiklio:

2 turi papildomą daugiklį.

Pirmosios trupmenos (1/6) skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš papildomo koeficiento 2.