Vidurinės ir vidurinės mokyklos kurse mokiniai mokėsi temos „Trupmenos“. Tačiau ši sąvoka yra daug platesnė, nei pateikiama mokymosi procese. Šiandien su trupmenos sąvoka susiduriama gana dažnai, ir ne visi gali apskaičiuoti kokią nors išraišką, pavyzdžiui, padauginti trupmenas.

Kas yra trupmena?

Taip istoriškai susiklostė, kad trupmeniniai skaičiai atsirado dėl būtinybės matuoti. Kaip rodo praktika, dažnai yra pavyzdžių, kaip nustatyti segmento ilgį, stačiakampio stačiakampio tūrį.

Iš pradžių studentai supažindinami su tokia sąvoka kaip akcija. Pavyzdžiui, jei padalysite arbūzą į 8 dalis, tada kiekvienas gaus vieną aštuntąją arbūzo dalį. Ši viena aštuonių dalis vadinama akcija.

Dalis, lygi ½ bet kurios vertės, vadinama puse; ⅓ - trečia; ¼ - ketvirtadalis. Iškviečiami tokie įrašai kaip 5/8, 4/5, 2/4 paprastosios trupmenos. Paprastoji trupmena skirstoma į skaitiklį ir vardiklį. Tarp jų yra trupmeninė linija arba trupmeninė linija. Dalinė juosta gali būti nubrėžta kaip horizontali arba pasvirusi linija. Šiuo atveju jis reiškia padalijimo ženklą.

Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalinta vertė, objektas; o skaitiklis – kiek paimama lygių dalių. Skaitiklis rašomas virš trupmeninės juostos, vardiklis po ja.

Patogiausia paprastąsias trupmenas rodyti koordinačių spindulyje. Jei vienas segmentas yra padalintas į 4 lygias dalis, kiekviena dalis yra pažymėta lotyniška raide, tada galite gauti puikią vaizdinę pagalbą. Taigi taškas A rodo dalį, lygią 1/4 viso vieneto segmento, o taškas B žymi 2/8 šio segmento.

Frakcijų veislės

Trupmenos yra bendrieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai. Be to, trupmenas galima suskirstyti į tinkamas ir netinkamas. Ši klasifikacija labiau tinka paprastosioms frakcijoms.

Pagal tinkama trupmena suprasti skaičių, kurio skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Atitinkamai, netinkama trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Antroji rūšis paprastai rašoma kaip mišrus skaičius. Tokią išraišką sudaro sveikoji dalis ir trupmeninė dalis. Pavyzdžiui, 1½. 1 - sveikoji dalis, ½ - trupmena. Tačiau, jei reikia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiška (dalyti ar dauginti trupmenas, jas sumažinti arba konvertuoti), mišrus skaičius paverčiamas netinkama trupmena.

Teisinga trupmeninė išraiška visada yra mažesnė už vieną, o neteisinga visada yra didesnė nei 1 arba lygi 1.

Kalbant apie šią išraišką, jie supranta įrašą, kuriame pavaizduotas bet koks skaičius, kurio trupmeninės išraiškos vardiklis gali būti išreikštas vienu su keliais nuliais. Jei trupmena teisinga, tada visa dalis įeina dešimtainis žymėjimas bus lygus nuliui.

Norėdami parašyti dešimtainį skaičių, pirmiausia turite parašyti sveikojo skaičiaus dalį, atskirti ją nuo trupmenos kableliu ir tada parašyti trupmeninę išraišką. Reikia atsiminti, kad po kablelio skaitiklyje turi būti tiek skaitmenų, kiek vardiklyje yra nulių.

Pavyzdys. Pateikite trupmeną 7 21/1000 dešimtainiu būdu.

Netinkamos trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių ir atvirkščiai algoritmas

Neteisinga užduoties atsakyme užrašyti netinkamą trupmeną, todėl ją reikia konvertuoti į mišrų skaičių:

• padalykite skaitiklį iš esamo vardiklio;
• konkrečiame pavyzdyje neužbaigtas koeficientas yra sveikasis skaičius;
• o likusi dalis yra trupmeninės dalies skaitiklis, o vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Netinkamą trupmeną konvertuoti į mišrų skaičių: 47/5 .

Sprendimas. 47: 5. Nebaigtas koeficientas yra 9, o likusioji dalis = 2. Vadinasi, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Kartais mišrų skaičių reikia pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną. Tada turite naudoti šį algoritmą:

• sveikoji dalis dauginama iš trupmeninės išraiškos vardiklio;
• gautas produktas pridedamas prie skaitiklio;
• rezultatas rašomas skaitiklyje, vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Išreikškite skaičių mišria forma kaip netinkamą trupmeną: 9 8 / 10 .

Sprendimas. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 yra skaitiklis.

Atsakymas: 98 / 10.

Paprastųjų trupmenų daugyba

Su paprastosiomis trupmenomis galite atlikti įvairias algebrines operacijas. Norėdami padauginti du skaičius, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio. Be to, trupmenų dauginimas su skirtingus vardiklius nesiskiria nuo trupmeninių skaičių su tais pačiais vardikliais sandaugos.

Taip atsitinka, kad radus rezultatą reikia sumažinti frakciją. AT be nesėkmės gautą išraišką reikia kiek įmanoma supaprastinti. Žinoma, negalima teigti, kad neteisinga trupmena atsakyme yra klaida, tačiau taip pat sunku ją pavadinti teisingu atsakymu.

Pavyzdys. Raskite dviejų paprastųjų trupmenų sandaugą: ½ ir 20/18.

Kaip matyti iš pavyzdžio, radus sandaugą gaunamas redukuojamas trupmeninis žymėjimas. Tiek skaitiklis, tiek vardiklis šiuo atveju dalijasi iš 4, o rezultatas yra atsakymas 5/9.

Dešimtainių trupmenų dauginimas

Dešimtainių trupmenų sandauga savo principu gerokai skiriasi nuo paprastųjų trupmenų sandaugos. Taigi, trupmenų dauginimas yra toks:

• dvi dešimtainės trupmenos turi būti rašomos viena po kita, kad dešinieji skaitmenys būtų vienas po kito;
• reikia padauginti užrašytus skaičius, nepaisant kablelių, tai yra, kaip natūraliuosius skaičius;
• suskaičiuokite skaitmenų skaičių po kablelio kiekviename iš skaičių;
• rezultate, gautame po daugybos, dešinėje turite suskaičiuoti tiek skaitmeninių simbolių, kiek yra abiejų koeficientų sumoje po kablelio, ir įdėti skiriamąjį ženklą;
• jei sandaugoje yra mažiau skaitmenų, tai prieš juos reikia parašyti tiek nulių, kad šis skaičius būtų padengtas, dėti kablelį ir priskirti sveikąją dalį, lygią nuliui.

Pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų skaičių po kablelio sandaugą: 2,25 ir 3,6.

Sprendimas.

Mišrių trupmenų dauginimas

Norėdami apskaičiuoti dviejų mišrių frakcijų sandaugą, turite naudoti trupmenų dauginimo taisyklę:

• konvertuoti mišrius skaičius į netinkamas trupmenas;
• rasti skaitiklių sandaugą;
• rasti vardiklių sandaugą;
• užrašykite rezultatą;
• kiek įmanoma supaprastinti išraišką.

Pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4½ ir 6 2/5.

Skaičiaus padauginimas iš trupmenos (trupmenos iš skaičiaus)

Be dviejų trupmenų sandaugos, mišriųjų skaičių, yra užduočių, kuriose reikia padauginti iš trupmenos.

Taigi, susirasti darbą dešimtainė trupmena ir natūralusis skaičius, jums reikia:

• parašykite skaičių po trupmena taip, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas virš kito;
• rasti produktą, nepaisant kablelio;
• gautame rezultate kableliais atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuodami į dešinę simbolių skaičių, kuris yra po trupmenos kablelio.

Norėdami padauginti paprastąją trupmeną iš skaičiaus, turėtumėte rasti skaitiklio ir natūraliojo koeficiento sandaugą. Jei atsakymas yra redukuojama trupmena, ją reikia konvertuoti.

Pavyzdys. Apskaičiuokite sandaugą iš 5/8 ir 12.

Sprendimas. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atsakymas: 7 1 / 2.

Kaip matote iš ankstesnio pavyzdžio, gautą rezultatą reikėjo sumažinti ir neteisingą trupmeninę išraišką paversti mišriu skaičiumi.

Be to, trupmenų dauginimas taip pat taikomas ieškant mišrios formos skaičiaus ir natūralaus koeficiento sandaugos. Norėdami padauginti šiuos du skaičius, sveikąją mišraus koeficiento dalį turėtumėte padauginti iš skaičiaus, skaitiklį padauginti iš tos pačios reikšmės ir vardiklį palikti nepakeistą. Jei reikia, turite kiek įmanoma supaprastinti rezultatą.

Pavyzdys. Raskite 9 5/6 ir 9 sandaugą.

Sprendimas. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Atsakymas: 88 1 / 2.

Daugyba iš koeficientų 10, 100, 1000 arba 0,1; 0,01; 0,001

Ši taisyklė išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000, 10 000 ir kt., kablelį reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų simbolių, kiek daugiklyje po vieneto yra nulių.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 0,065 ir 1000.

Sprendimas. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atsakymas: 65.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 3,9 ir 1000.

Sprendimas. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Atsakymas: 3900.

Jei reikia padauginti natūralusis skaičius ir 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ir tt, gautame sandaugoje kablelį turėtumėte perkelti į kairę tiek skaitmenų simbolių, kiek nulių yra prieš vieną. Jei reikia, prieš natūralųjį skaičių rašomas pakankamas nulių skaičius.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 56 ir 0,01.

Sprendimas. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atsakymas: 0,56.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4 ir 0,001.

Sprendimas. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atsakymas: 0,004.

Taigi, ieškant įvairių trupmenų sandaugos neturėtų kilti sunkumų, išskyrus galbūt rezultato apskaičiavimą; Tokiu atveju jūs tiesiog negalite išsiversti be skaičiuoklės.

) ir vardiklį vardikliu (gauname sandaugos vardiklį).

Trupmenų daugybos formulė:

Pavyzdžiui:

Prieš pradedant dauginti skaitiklius ir vardiklius, būtina patikrinti trupmenos mažinimo galimybę. Jei jums pavyks sumažinti trupmeną, jums bus lengviau toliau atlikti skaičiavimus.

Paprastosios trupmenos padalijimas iš trupmenos.

Trupmenų, kuriuose dalyvauja natūralusis skaičius, padalijimas.

Tai nėra taip baisu, kaip atrodo. Kaip ir sudėjimo atveju, sveikąjį skaičių paverčiame trupmena, kurios vardiklyje yra vienetas. Pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų dauginimas.

Trupmenų (mišrių) dauginimo taisyklės:

• mišrias frakcijas paversti netinkamomis;
• padauginkite trupmenų skaitiklius ir vardiklius;
• sumažiname trupmeną;
• jei gauname netinkamą trupmeną, tai netinkamąją trupmeną paverčiame mišriąja.

Pastaba! Norėdami padauginti mišrią trupmeną iš kitos mišrios frakcijos, pirmiausia turite jas paversti netinkamomis trupmenomis, o tada padauginti pagal įprastų trupmenų dauginimo taisyklę.

Antrasis būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Patogiau naudoti antrąjį paprastos trupmenos padauginimo iš skaičiaus metodą.

Pastaba! Norint padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, trupmenos vardiklį reikia padalyti iš šio skaičiaus, o skaitiklį palikti nepakeistą.

Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad šią parinktį patogiau naudoti, kai trupmenos vardiklis be liekanos dalijamas iš natūraliojo skaičiaus.

Daugiapakopės trupmenos.

Vidurinėje mokykloje dažnai randamos triaukštės (ar daugiau) trupmenos. Pavyzdys:

Kad tokia trupmena taptų įprasta forma, naudojamas padalijimas į 2 taškus:

Pastaba! Dalijant trupmenas labai svarbi dalybos tvarka. Būkite atsargūs, čia lengva susipainioti.

Pastaba, pavyzdžiui:

Padalijus vieną iš bet kurios trupmenos, rezultatas bus ta pati trupmena, tik apversta:

Praktiniai patarimai, kaip dauginti ir dalyti trupmenas:

1. Svarbiausias dalykas dirbant su trupmeninėmis išraiškomis yra tikslumas ir atidumas. Atlikite visus skaičiavimus kruopščiai ir tiksliai, koncentruotai ir aiškiai. Geriau juodraštyje užsirašyti kelias papildomas eilutes, nei susipainioti galvoje atliekant skaičiavimus.

2. Užduotyse su skirtingų tipų trupmenomis – pereikite prie paprastųjų trupmenų tipo.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol mažinti nebeįmanoma.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas perkeliame į įprastas, naudodamiesi padalijimu per 2 taškus.

5. Vienetą mintyse padalijame į trupmeną, tiesiog trupmeną apversdami.

Įprasti trupmeniniai skaičiai pirmą kartą susitinka su moksleiviais 5 klasėje ir lydi juos visą gyvenimą, nes kasdieniame gyvenime dažnai reikia apsvarstyti ar naudoti kokį nors objektą ne visiškai, o atskirais gabalais. Šios temos tyrimo pradžia – pasidalinkite. Akcijos yra lygios dalysį kurį padalintas daiktas. Juk ne visada įmanoma, pavyzdžiui, prekės ilgį ar kainą išreikšti sveikuoju skaičiumi, reikėtų atsižvelgti į bet kokio mato dalis ar dalis. Susidaręs iš veiksmažodžio „sutraiškyti“ – suskirstyti į dalis, o turintis arabiškas šaknis, VIII amžiuje rusų kalboje atsirado pats žodis „frakcija“.

Trupmeninės išraiškos ilgą laiką buvo laikomos sunkiausia matematikos dalimi. XVII amžiuje, kai pasirodė pirmieji matematikos vadovėliai, jie buvo vadinami „skaldytais skaičiais“, o tai buvo labai sunku parodyti žmonėms.

Šiuolaikinę paprastų trupmeninių liekanų formą, kurios dalis tiksliai skiria horizontali linija, pirmasis išpopuliarino Fibonacci – Leonardo iš Pizos. Jo raštai datuojami 1202 m. Tačiau šio straipsnio tikslas yra paprastai ir aiškiai paaiškinti skaitytojui, kaip vyksta mišrių trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas.

Trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas

Iš pradžių būtina nustatyti frakcijų veislės:

• teisingas;
• neteisingas;
• sumaišytas.

Toliau reikia prisiminti, kaip dauginami trupmeniniai skaičiai su tais pačiais vardikliais. Pačią šio proceso taisyklę nesunku suformuluoti savarankiškai: paprastų trupmenų su tais pačiais vardikliais dauginimo rezultatas yra trupmeninė išraiška, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis yra šių trupmenų vardiklių sandauga. . Tai yra, iš tikrųjų naujasis vardiklis iš pradžių yra vieno iš esamų kvadratas.

Dauginant paprastosios trupmenos su skirtingais vardikliais dėl dviejų ar daugiau veiksnių taisyklė nesikeičia:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Vienintelis skirtumas yra tas, kad suformuotas skaičius po trupmenine juosta bus skirtingų skaičių sandauga ir, žinoma, jo negalima pavadinti vienos skaitinės išraiškos kvadratu.

Verta apsvarstyti trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimą naudojant pavyzdžius:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Pavyzdžiuose naudojami trupmeninių išraiškų mažinimo būdai. Vardiklio skaičiais galite sumažinti tik skaitiklio skaičius; gretimų veiksnių, esančių virš ar žemiau trupmeninės juostos, sumažinti negalima.

Kartu su paprastais trupmeniniai skaičiai, yra mišrių trupmenų sąvoka. Mišrus skaičius susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies, tai yra, tai yra šių skaičių suma:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kaip veikia dauginimas?

Apsvarstymui pateikiami keli pavyzdžiai.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Pavyzdyje naudojamas skaičiaus dauginimas iš paprastoji trupmeninė dalis, šio veiksmo taisyklę galite užrašyti pagal formulę:

a* b/c = a*b /c.

Tiesą sakant, tokia sandauga yra identiškų trupmeninių liekanų suma, o terminų skaičius rodo šį natūralųjį skaičių. Ypatinga byla:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Yra dar vienas variantas, kaip išspręsti skaičiaus dauginimą iš trupmeninės liekanos. Jums tereikia padalyti vardiklį iš šio skaičiaus:

d* e/f = e/f: d.

Šią techniką naudinga naudoti, kai vardiklis dalinamas iš natūraliojo skaičiaus be liekanos arba, kaip sakoma, visiškai.

Konvertuokite mišrius skaičius į netinkamas trupmenas ir gaukite sandaugą anksčiau aprašytu būdu:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Šiame pavyzdyje pateikiamas būdas mišrią trupmeną pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną, ji taip pat gali būti pavaizduota kaip bendroji formulė:

a bc = a*b+ c / c, kur naujos trupmenos vardiklis sudaromas sveikąją dalį padauginus iš vardiklio ir pridedant ją prie pradinės trupmenos liekanos skaitiklio, o vardiklis lieka toks pat.

Šis procesas taip pat veikia atvirkščiai. Norėdami pasirinkti sveikąją dalį ir trupmeninę liekaną, netinkamos trupmenos skaitiklį turite padalyti iš jo vardiklio su „kampu“.

Netinkamų trupmenų dauginimas gaminamas įprastu būdu. Kai įrašas eina po viena trupmenine eilute, jei reikia, reikia sumažinti trupmenas, kad šiuo metodu sumažintumėte skaičius ir būtų lengviau apskaičiuoti rezultatą.

Internete yra daug pagalbininkų, padedančių išspręsti net sudėtingas problemas. matematikos uždaviniaiįvairiose programose. Pakankamas tokių paslaugų skaičius siūlo savo pagalbą skaičiuojant trupmenų su skirtingais skaičiais vardikliuose dauginimą - vadinamuosius internetinius skaičiuotuvus trupmenoms skaičiuoti. Jie sugeba ne tik dauginti, bet ir atlikti visas kitas paprastas aritmetines operacijas su paprastosiomis trupmenomis ir mišrūs skaičiai. Dirbti su juo nesudėtinga, svetainės puslapyje užpildomi atitinkami laukai, pasirenkamas matematinio veiksmo ženklas ir paspaudžiamas „apskaičiuoti“. Programa skaičiuoja automatiškai.

Aritmetinių veiksmų su trupmeniniais skaičiais tema yra aktuali visame vidurinių ir vyresniųjų klasių mokinių ugdyme. Vidurinėje mokykloje jie jau svarsto ne apie paprasčiausias rūšis, bet sveikųjų skaičių trupmeninės išraiškos, tačiau anksčiau gautos transformacijos ir skaičiavimo taisyklių žinios taikomos pradine forma. Gerai išmoktos pagrindinės žinios suteikia visišką pasitikėjimą sėkmingu sudėtingiausių užduočių sprendimu.

Apibendrinant, prasminga cituoti Levo Tolstojaus žodžius, kurie rašė: „Žmogus yra trupmena. Žmogus negali padidinti savo skaitiklio – savo nuopelnų, bet kiekvienas gali sumažinti savo vardiklį – nuomonę apie save, ir tuo mažėjimu priartėti prie savo tobulumo.