Sukimo aplink ašį figūrų tūrio formulės. Apsisukimo kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą. Kūno tūrio, susidariusio sukant plokščią figūrą aplink ašį, apskaičiavimas

Integralų naudojimas norint rasti revoliucijos kietųjų dalelių tūrius

Praktinis matematikos naudingumas yra dėl to, kad be

dėl specifinių matematinių žinių sunku suprasti įrenginio ir naudojimo principus moderni technologija. Kiekvienas žmogus savo gyvenime turi atlikti gana sudėtingus skaičiavimus, naudoti įprastai naudojamą įrangą, rasti reikiamas formules žinynuose, sudaryti paprastus problemų sprendimo algoritmus. AT šiuolaikinė visuomenė reikia daugiau specialybių aukštas lygis išsilavinimas siejamas su tiesioginiu matematikos taikymu. Taigi moksleiviui matematika tampa profesiniu požiūriu reikšmingu dalyku. Pagrindinis vaidmuo formuojant algoritminį mąstymą tenka matematikai, ji ugdo gebėjimą veikti pagal duotą algoritmą ir kurti naujus algoritmus.

Nagrinėjant temą apie integralo panaudojimą skaičiuojant apsisukimų kūnų tūrius, siūlau pasirenkamųjų klasių mokiniams apsvarstyti temą: „Apsisukimo kūnų tūriai naudojant integralus“. Štai keletas gairių, kaip spręsti šią temą:

1. Plokščios figūros plotas.

Iš algebros kurso žinome, kad sąvoka apibrėžtasis integralas vedamos praktinės užduotys..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink Ox ašį kreivinės trapecijos, ribojamos trūkinės linijos y=f(x), Ox ašies, tiesių x=a ir x=b, apskaičiuojame pagal formulę

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Cilindro tūris.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kūgis gaunamas sukant taisyklingas trikampis ABC(C=90) aplink Ox ašį, ant kurios yra koja AC.

AB segmentas yra tiesėje y=kx+c, kur https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Tegul a=0, b=H (H yra kūgio aukštis), tada Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Nupjauto kūgio tūris.

Sukant galima gauti nupjautą kūgį stačiakampė trapecija ABCD (CDOx) aplink Ox ašį.

Atkarpa AB yra tiesėje y=kx+c, kur , c=r.

Kadangi tiesė eina per tašką A (0; r).

Taigi tiesi linija atrodo taip https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Tegul a=0, b=H (H yra nupjauto kūgio aukštis), tada https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Kamuolio tūris.

Rutulį galima gauti sukant apskritimą su centru (0;0) aplink x ašį. Puslankis, esantis virš x ašies, pateikiamas lygtimi

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Tema: „Apsisukimo kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“

Pamokos tipas: sujungti.

Pamokos tikslas: išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius naudojant integralus.

Užduotys:

įtvirtinti galimybę iš eilės pasirinkti kreivines trapecijas geometrines figūras ir lavinti kreivinių trapecijos plotų skaičiavimo įgūdžius;

susipažinti su trimatės figūros samprata;

išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius;

prisidėti prie vystymosi loginis mąstymas, kompetentinga matematinė kalba, brėžinių konstravimo tikslumas;

ugdyti domėjimąsi dalyku, operuoti matematinėmis sąvokomis ir vaizdiniais, ugdyti valią, savarankiškumą, užsispyrimą siekiant galutinio rezultato.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

Grupinis sveikinimas. Pamokos tikslų perdavimas mokiniams.

Šiandienos pamoką norėčiau pradėti palyginimu. „Buvo išmintingas žmogus, kuris žinojo viską. Vienas žmogus norėjo įrodyti, kad išminčius ne viską žino. Suspaudęs drugelį rankose, jis paklausė: „Pasakyk man, šalavija, kuris drugelis yra mano rankose: miręs ar gyvas? Ir jis pats galvoja: „Jei gyvasis pasakys, aš ją užmušiu, jei miręs sakys, išleisiu“. Išminčius, pagalvojęs, atsakė: „Viskas tavo rankose“.

Todėl šiandien dirbkime vaisingai, įgykime naują žinių bagažą, o įgytus įgūdžius ir gebėjimus pritaikysime vėlesniame gyvenime bei praktinėje veikloje.„Viskas jūsų rankose“.

II. Anksčiau išmoktos medžiagos kartojimas.

Prisiminkime pagrindinius anksčiau išnagrinėtos medžiagos dalykus. Norėdami tai padaryti, atliksime užduotį „Ištrinti papildomą žodį“.

(Mokiniai pasako papildomą žodį.)

Teisingai „Diferencialas“. Pabandykite įvardinti vieną iš likusių žodžių bendras žodis. (Integrinis skaičiavimas.)

Prisiminkime pagrindinius etapus ir sąvokas, susijusias su integraliniu skaičiavimu.

Pratimas. Atkurti leidimus. (Studentas išeina ir rašo žymekliu reikalingi žodžiai.)

Darbas sąsiuviniuose.

Buvo gauta Niutono-Leibnizo formulė anglų fizikas Izaokas Niutonas (1643-1727) ir vokiečių filosofas Gotfrydas Leibnicas (1646-1716). Ir tai nenuostabu, nes matematika yra kalba, kuria kalba pati gamta.

Apsvarstykite, kaip ši formulė naudojama sprendžiant praktines užduotis.

1 pavyzdys: Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: Kurkime toliau koordinačių plokštuma funkcijų grafikai . Pasirinkite figūros sritį, kurią norite rasti.

III. Naujos medžiagos mokymasis.

Atkreipkite dėmesį į ekraną. Kas pavaizduota pirmoje nuotraukoje? (Paveikslėlyje parodyta plokščia figūra.)

Kas pavaizduota antroje nuotraukoje? Ar ši figūra plokščia? (Paveikslėlyje pavaizduota trimatė figūra.)

Kosmose, žemėje ir kasdieniame gyvenime sutinkame ne tik plokščias figūras, bet ir erdvines, bet kaip apskaičiuoti tokių kūnų tūrį? Pavyzdžiui: planetos, kometos, meteorito ir kt. tūris.

Apie tūrį jie galvoja statydami namus ir pildami vandenį iš vieno indo į kitą. Turėjo atsirasti apimčių skaičiavimo taisyklės ir metodai, kitas dalykas – kiek jie buvo tikslūs ir pagrįsti.

1612 buvo gyventojams Austrijos miestas Lincas, kuriame gyveno tuomet garsus astronomas Johannesas Kepleris, yra labai derlingas, ypač vynuogių. Žmonės ruošė vyno statines ir norėjo sužinoti, kaip praktiškai nustatyti jų tūrį.

Taigi, svarstomi Keplerio darbai pažymėjo viso tyrimų srauto pradžią, kurio kulminacija buvo paskutinis XVII ketvirtis in. dizainas I. Niutono ir G. V. darbuose. Leibnizo diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. Nuo to laiko dydžių kintamųjų matematika užėmė pirmaujančią vietą matematinių žinių sistemoje.

Taigi šiandien užsiimsime tokia praktine veikla, todėl

Mūsų pamokos tema: „Revoliucijos kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“.

Sužinosite apie revoliucijos kūno apibrėžimą, atlikdami šią užduotį.

„Labirintas“.

Pratimas. Raskite išeitį iš painios situacijos ir užsirašykite apibrėžimą.

IVTūrių skaičiavimas.

Naudodami apibrėžtąjį integralą galite apskaičiuoti kūno, ypač apsisukimo, tūrį.

Apsisukimo kūnas yra kūnas, gautas sukant kreivinę trapeciją aplink savo pagrindą (1, 2 pav.)

Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas pagal vieną iš formulių:

1. aplink x ašį.

2. , jei kreivinės trapecijos sukimasis aplink y ašį.

Mokiniai surašo pagrindines formules į sąsiuvinį.

Mokytojas paaiškina lentoje pateiktų pavyzdžių sprendimą.

1. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink y ašį kreivinės trapecijos, apribotos linijomis: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Sprendimas.

Atsakymas: 1163 cm3.

2. Raskite kūno tūrį, gautą sukant parabolinę trapeciją aplink abscisių ašį y = , x = 4, y = 0.

Sprendimas.

V. Matematikos simuliatorius.

2. Visų duotosios funkcijos antidarinių aibė vadinama

BET) neapibrėžtas integralas,

B) funkcija,

B) diferenciacija.

7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, apribotos linijomis, abscisių ašį:

D/Z. Naujos medžiagos tvirtinimas

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukant žiedlapį aplink x ašį y=x2, y2=x.

Nubraižykime funkcijos grafikus. y=x2, y2=x. Grafas y2 = x transformuojamas į formą y = .

Turime V = V1 - V2 Apskaičiuokime kiekvienos funkcijos tūrį:

Išvada:

Tam tikras integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas, kuris yra nepakeičiamas indėlis sprendžiant praktinio turinio problemas.

Tema „Integralus“ aiškiai parodo matematikos ir fizikos, biologijos, ekonomikos ir technologijų ryšį.

Plėtra šiuolaikinis mokslas neįsivaizduojamas be integralo naudojimo. Šiuo atžvilgiu būtina pradėti jį studijuoti vidurio rėmuose Specialusis ugdymas!

VI. Įvertinimas.(Su komentarais.)

Didysis Omaras Khayyamas – matematikas, poetas, filosofas. Jis ragina būti savo likimo šeimininkais. Klausykite ištraukos iš jo kūrinio:

Sakote, kad šis gyvenimas yra tik akimirka.
Įvertinkite tai, semkitės iš to įkvėpimo.
Kaip išleisi, taip ir praeis.
Nepamiršk: ji yra tavo kūrinys.

3 apibrėžimas. Revoliucijos kūnas yra kūnas, gaunamas sukant plokščią figūrą aplink ašį, kuri nesikerta su figūra ir yra vienoje plokštumoje su ja.

Sukimosi ašis taip pat gali kirsti figūrą, jei ji yra figūros simetrijos ašis.

2 teorema.
, ašis
ir tiesių linijų atkarpas
ir

sukasi aplink ašį
. Tada gauto apsisukimo kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę

(2)

Įrodymas. Tokiam korpusui atkarpa su abscisėmis yra spindulio apskritimas
, reiškia
o formulė (1) duoda norimą rezultatą.

Jeigu figūrą riboja dviejų ištisinių funkcijų grafikai
ir
, ir linijos segmentai
ir
, be to
ir
, tada sukdami apie abscisių ašį gauname kūną, kurio tūris

3 pavyzdys Apskaičiuokite toro tūrį, gautą sukant apskritimą, kurį riboja apskritimas

aplink x ašį.

R sprendimas. Nurodytas apskritimas iš apačios ribojamas funkcijos grafiku
, ir aukščiau -
. Šių funkcijų kvadratų skirtumas:

Pageidaujamas tūris

(integrando grafikas yra viršutinis puslankis, todėl aukščiau parašytas integralas yra puslankio plotas).

4 pavyzdys Parabolinis segmentas su pagrindu
, ir aukštis , sukasi aplink pagrindą. Apskaičiuokite gauto kūno (Cavalieri „citrinos“) tūrį.

R sprendimas. Padėkite parabolę, kaip parodyta paveikslėlyje. Tada jos lygtis
, ir
. Raskime parametro reikšmę :
. Taigi, norimas tūris:

3 teorema. Tegu kreivinė trapecija, apribota tolydžios neneigiamos funkcijos grafiku
, ašis
ir tiesių linijų atkarpas
ir
, be to
, sukasi aplink ašį
. Tada gauto apsisukimo kūno tūrį galima rasti pagal formulę

(3)

įrodymo idėja. Segmento padalijimas
taškų

, į dalis ir nubrėžkite tiesias linijas
. Visa trapecija suskaidys į juosteles, kurias galima laikyti maždaug stačiakampiais su pagrindu
ir aukščio
.

Sukant tokį stačiakampį susidaręs cilindras išpjaunamas išilgai generatrix ir išskleidžiamas. Gauname „beveik“ gretasienį su matmenimis:
,
ir
. Jo tūris
. Taigi, revoliucijos kūno tūriui turėsime apytikslę lygybę

Norėdami gauti tikslią lygybę, turime pereiti prie ribos ties
. Aukščiau parašyta suma yra integrali funkcijos suma
, todėl riboje gauname integralą iš (3) formulės. Teorema įrodyta.

1 pastaba. 2 ir 3 teoremose sąlyga
galima praleisti: (2) formulė paprastai nejautrina ženklui
, o formulėje (3) pakanka
pakeistas
.

5 pavyzdys Parabolinis segmentas (bazė
, aukštis ) sukasi aplink aukštį. Raskite gauto kūno tūrį.

Sprendimas. Išdėstykite parabolę, kaip parodyta paveikslėlyje. Ir nors sukimosi ašis kerta figūrą, ji – ašis – yra simetrijos ašis. Todėl reikia atsižvelgti tik į dešinę segmento pusę. Parabolės lygtis
, ir
, reiškia
. Turime tūriui:

2 pastaba. Jei kreivinės trapecijos kreivinė riba nurodyta parametrinėmis lygtimis
,
,
ir
,
tada su pakeitimu galima naudoti formules (2) ir (3). ant
ir
ant
kai pasikeičia t iš
prieš .

6 pavyzdys Figūrą riboja pirmasis cikloido lankas
,
,
, ir abscisių ašį. Raskite kūno tūrį, gautą sukant šią figūrą aplink: 1) ašį
; 2) ašys
.

Sprendimas. 1) Bendroji formulė
Mūsų atveju:

2) Bendroji formulė
Mūsų figūrai:

Skatiname mokinius patiems atlikti visus skaičiavimus.

3 pastaba. Tegul kreivinis sektorius, apribotas ištisine linija
ir spinduliai
,

, sukasi aplink polinę ašį. Gauto kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę.

7 pavyzdys Kardioidu ribojamos figūros dalis
, guli už rato ribų
, sukasi aplink polinę ašį. Raskite gauto kūno tūrį.

Sprendimas. Abi linijos, taigi ir figūra, kurią jos riboja, yra simetriškos polinės ašies atžvilgiu. Todėl reikia atsižvelgti tik į tą dalį, kuriai
. Kreivės susikerta ties
ir

adresu
. Be to, skaičius gali būti laikomas dviejų sektorių skirtumu, taigi, tūris gali būti apskaičiuojamas kaip dviejų integralų skirtumas. Mes turime:

Užduotys nepriklausomam sprendimui.

1. Apskrito atkarpa, kurios pagrindas
, aukštis , sukasi aplink pagrindą. Raskite revoliucijos kūno tūrį.

2. Raskite apsisukimo paraboloido tūrį, kurio bazė , o aukštis yra .

3. Figūra, kurią riboja astroidas
,
sukasi aplink x ašį. Raskite kūno tūrį, kuris gaunamas šiuo atveju.

4. Linijomis apribota figūra
ir
sukasi aplink x ašį. Raskite revoliucijos kūno tūrį.

I. Revoliucijos kūnų tūriai. Preliminariai studijuokite XII skyrių, p°p° 197, 198, pagal G. M. Fikhtengol'tso vadovėlį* Išsamiai išanalizuokite 198 p° pateiktus pavyzdžius.

508. Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukant elipsę aplink x ašį.

Šiuo būdu,

530. Raskite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis aplink ašį Ox sinusoidės y lanko \u003d sin x nuo taško X \u003d 0 iki taško X \u003d It.

531. Apskaičiuokite kūgio, kurio aukštis h ir spindulys r, paviršiaus plotą.

532. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, kurį sudaro

astroido sukimas x3 -) - y* - a3 aplink x ašį.

533. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį apvertus kreivės 18 y-x(6-x)r kilpą aplink x ašį.

534. Raskite toro paviršių, susidarantį sukantis apskritimui X2 - j - (y-3)2 = 4 aplink x ašį.

535. Apskaičiuokite apskritimo sukimosi suformuoto paviršiaus plotą X = kaina, y = asint aplink Ox ašį.

536. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis kreivės x = 9t2, y = St - 9t3 kilpai aplink Ox ašį.

537. Raskite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis kreivės lankui x = e * sint, y = el kaina aplink ašį Ox

nuo t = 0 iki t = -.

538. Parodykite, kad paviršius, susidaręs sukantis cikloido x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) lankui aplink ašį Oy, yra lygus 16 u2 o2.

539. Raskite paviršių, gautą sukant kardioidą aplink poliarinę ašį.

540. Raskite paviršiaus plotą, susidarantį sukant lemniskatą aplink poliarinę ašį.

Papildomos IV skyriaus užduotys

Plokštumos figūrų plotai

541. Raskite visą kreivės apribotos srities plotą Ir ašis Oh.

542. Raskite kreivės apribotos srities plotą

Ir ašis Oh.

543. Raskite regiono ploto dalį, esančią pirmame kvadrante ir apribotą kreivės

l koordinačių ašys.

544. Raskite joje esančios srities plotą

kilpos:

545. Raskite srities, kurią riboja viena kreivės kilpa, plotą:

546. Raskite srities, esančios kilpoje, plotą:

547. Raskite kreivės apribotos srities plotą

Ir ašis Oh.

548. Raskite kreivės apribotos srities plotą

Ir ašis Oh.

549. Raskite srities, kurią riboja Oxr ašis, plotą

tiesus ir kreivas

Išskyrus plokščios figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą (žr. 7.2.3.) svarbiausias temos pritaikymas yra apsisukimo kūno tūrio apskaičiavimas. Medžiaga paprasta, bet skaitytojas turi būti pasiruošęs: reikia mokėti išspręsti neapibrėžtieji integralai vidutinio sudėtingumo ir pritaikykite Niutono-Leibnizo formulę apibrėžtasis integralas, n Taip pat reikalingi stiprūs braižybos įgūdžiai. Apskritai integralų skaičiavime yra daug įdomių pritaikymų; naudodami apibrėžtąjį integralą galite apskaičiuoti figūros plotą, apsisukimo kūno tūrį, lanko ilgį, paviršiaus plotą. kūnui ir daug daugiau. Įsivaizduokite kai kuriuos plokščia figūra koordinačių plokštumoje. Atstovaujama? ... Dabar šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:

- aplink x ašį ;

- aplink y ašį .

Pažvelkime į abu atvejus. Ypač įdomus antrasis sukimo būdas, sukeliantis daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų sprendimas beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.

Kūno tūrio, susidariusio sukant plokščią figūrą aplink ašį, apskaičiavimas JAUTIS

1 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, lėktuve XOY reikia sukurti formą apribotas linijomis, , tuo pačiu metu nepamirškite, kad lygtis apibrėžia ašį . Piešinys čia yra gana paprastas:

Norima plokščia figūra nuspalvinta mėlyna spalva, būtent ji sukasi aplink ašį. Dėl sukimosi gaunama tokia šiek tiek kiaušinio formos skraidanti lėkštė su dviem aštriomis smailėmis ašyje. JAUTIS, simetriškas ašies atžvilgiu JAUTIS. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, pažiūrėkite į žinyną.

Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį? Jei kūnas susidaro sukantis aplink ašįJAUTIS, jis mintyse suskirstytas į lygiagrečius mažo storio sluoksnius dx kurios yra statmenos ašiai JAUTIS. Viso kūno tūris akivaizdžiai lygus tokių elementarių sluoksnių tūrių sumai. Kiekvienas sluoksnis, kaip apvalus citrinos griežinėlis, yra žemo cilindro aukščio dx ir su pagrindo spinduliu f(x). Tada vieno sluoksnio tūris yra pagrindo ploto π sandauga f 2 iki cilindro aukščio ( dx), arba π∙ f 2 (x)∙dx. O viso revoliucijos kūno plotas yra elementariųjų tūrių suma arba atitinkamas apibrėžtas integralas. Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

Kaip nustatyti integravimo ribas „a“ ir „be“, nesunku atspėti iš baigto brėžinio. Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokščią figūrą riboja parabolės grafikas iš viršaus. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje. Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies JAUTIS. Tai nieko nekeičia – funkcija formulėje yra kvadratinė: f 2 (x), taigi, revoliucijos kūno tūris visada yra neneigiamas, kas yra gana logiška. Apskaičiuokite apsisukimo kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau minėjome, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme būtina nurodyti matmenį – kubinius vienetus. Tai yra, mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl būtent kubinis vienetų? Nes tai pati universaliausia formulė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti Kubiniai metrai, gal kubinių kilometrų ir pan., tiek mažų žalių žmogeliukų tavo vaizduotė telpa į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno, susidarančio sukantis aplink ašį, tūrį JAUTIS figūra apribota linijomis , , .

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , , ir .

Sprendimas: Piešinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis , , , , nepamirštant, kad lygtis x= 0 nurodo ašį OY:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink ašį JAUTIS pasirodo plokščias kampinis bagelis (poveržlė su dviem kūginiais paviršiais).

Apsisukimo kūno tūris apskaičiuojamas kaip kūno tūrio skirtumas. Pirma, pažvelkime į figūrą, kuri yra raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį JAUTIS todėl susidaro nupjautas kūgis. Šio nupjauto kūgio tūrį pažymėkime kaip V 1 .

Apsvarstykite figūrą, kuri yra apskritimu žaliai. Jei pasuksime šią figūrą aplink ašį JAUTIS, tada taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį žymime V 2 .

Akivaizdu, kad garsumo skirtumas V = V 1 - V 2 yra mūsų „spurgos“ tūris.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apjuosta figūra iš viršaus ribojama tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva apjuosta figūra iš viršaus ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo apsisukimo kūno tūris: