Integralo taikymas sprendžiant taikomąsias problemas

Ploto skaičiavimas

Tolydžios neneigiamos funkcijos f(x) apibrėžtasis integralas skaitiniu požiūriu lygus kreivinės trapecijos plotas, apribotas kreivės y \u003d f (x), O x ašies ir tiesių x \u003d a ir x \u003d b. Atitinkamai, ploto formulė parašyta taip:

Apsvarstykite keletą plokštumos figūrų plotų skaičiavimo pavyzdžių.

Užduoties numeris 1. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja linijos y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Sprendimas. Sukurkime figūrą, kurios plotą turėsime apskaičiuoti.

y \u003d x 2 + 1 yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislinkusi vienu vienetu aukštyn (1 pav.).

1 pav. Funkcijos y = x 2 + 1 grafikas

Užduotis numeris 2. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja tiesės y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 intervale nuo 0 iki 1.

Sprendimas.Šios funkcijos grafikas yra šakos parabolė, kuri nukreipta į viršų, o parabolė O y ašies atžvilgiu pasislinkusi vienu vienetu žemyn (2 pav.).

2 pav. Funkcijos y \u003d x 2 - 1 grafikas

Užduotis numeris 3. Nubraižykite piešinį ir apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

y = 8 + 2x - x 2 ir y = 2x - 4.

Sprendimas. Pirmoji iš šių dviejų tiesių yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn, nes koeficientas x 2 yra neigiamas, o antroji linija yra tiesi linija, kertanti abi koordinačių ašis.

Norėdami sukurti parabolę, raskime jos viršūnės koordinates: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – viršūnė abscisė; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 yra jo ordinatė, N(1;9) yra jo viršūnė.

Dabar išspręsdami lygčių sistemą randame parabolės ir tiesės susikirtimo taškus:

Lygties, kurios kairiosios pusės yra lygios, dešiniųjų kraštinių prilyginimas.

Gauname 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 arba x 2 - 12 \u003d 0, iš kur .

Taigi, taškai yra parabolės ir tiesės susikirtimo taškai (1 pav.).

3 pav. Funkcijų y = 8 + 2x – x 2 ir y = 2x – 4 grafikai

Nutieskime tiesę y = 2x - 4. Ji eina per taškus (0;-4), (2; 0) koordinačių ašyse.

Norėdami sukurti parabolę, taip pat galite turėti jos susikirtimo taškus su 0x ašimi, ty lygties šaknis 8 + 2x - x 2 = 0 arba x 2 - 2x - 8 = 0. Pagal Vieta teoremą tai yra nesunku rasti jo šaknis: x 1 = 2, x 2 = keturi.

3 paveiksle parodyta figūra (parabolinė atkarpa M 1 N M 2), kurią riboja šios linijos.

Antroji problemos dalis yra rasti šios figūros plotą. Jo plotą galima rasti naudojant apibrėžtąjį integralą, naudojant formulę .

Atsižvelgdami į šią sąlygą, gauname integralą:

2 Apsisukimo kūno tūrio apskaičiavimas

Kūno tūris, gautas sukant kreivę y \u003d f (x) aplink O x ašį, apskaičiuojamas pagal formulę:

Sukant aplink O y ašį formulė atrodo taip:

Užduotis numeris 4. Nustatykite kūno tūrį, gautą sukant kreivinę trapeciją, kurią riboja tiesios linijos x \u003d 0 x \u003d 3, ir kreivė y \u003d aplink O x ašį.

Sprendimas. Pastatykime brėžinį (4 pav.).

4 pav. Funkcijos y = grafikas

Norimas tūris lygus

Užduotis numeris 5. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą iš kreivinės trapecijos, apribotos kreivės y = x 2 ir tiesių y = 0 ir y = 4, sukimosi aplink ašį O y .

Sprendimas. Mes turime:

Peržiūrėkite klausimus

Apsvarstykite kreivinę trapeciją, ribojamą Ox ašies, kreivę y \u003d f (x) ir dvi tiesias linijas: x \u003d a ir x \u003d b (85 pav.). Paimkite savavališką x reikšmę (tik ne a ir ne b). Suteikime jam prieaugį h = dx ir panagrinėkime juostą, ribojamą tiesių AB ir CD, Ox ašies ir lanko BD, priklausančio nagrinėjamai kreivei. Ši juostelė bus vadinama elementaria juostele. Elementariosios juostos plotas nuo stačiakampio ACQB ploto skiriasi kreiviniu trikampiu BQD, o pastarojo plotas yra mažesnis už stačiakampio BQDM plotą su kraštinėmis BQ = =h= dx) QD = Ay ir plotas lygus hay = Ay dx. Kai kraštinė h mažėja, pusė Du taip pat mažėja ir kartu su h linksta į nulį. Todėl BQDM plotas yra be galo mažas antros eilės. Elementariosios juostos plotas yra ploto prieaugis, o stačiakampio ACQB plotas, lygus AB-AC==/(x) dx>, yra ploto skirtumas. Todėl pačią sritį randame integruodami jos skirtumą. Nagrinėjamo paveikslo ribose nepriklausomas kintamasis l: kinta iš a į b, todėl reikalingas plotas 5 bus lygus 5= \f (x) dx. (I) 1 pavyzdys. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja parabolė y - 1 -x *, tiesės X \u003d - Fj-, x \u003d 1 ir ašis O * (86 pav.). prie Fig. 87. pav. 86. 1 Čia f(x) = 1 - l?, integravimo ribos a = - ir t = 1, todėl 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Pavyzdys 2. Apskaičiuokite plotą, kurį riboja sinusoidė y = sinXy, Ox ašis ir tiesė (87 pav.). Taikydami formulę (I) gauname L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf 3 pavyzdys. Apskaičiuokite plotą, ribojamą sinusoidės ^y \ lanko u003d sin jc yra tarp dviejų gretimų susikirtimo taškų su Ox ašimi (pavyzdžiui, tarp pradžios ir taško su abscise i). Atkreipkite dėmesį, kad geometriniais sumetimais aišku, kad šis plotas bus du kartus didesnis už ankstesnio pavyzdžio plotą. Tačiau atlikime skaičiavimus: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Iš tiesų, mūsų prielaida pasirodė teisinga. 4 pavyzdys Apskaičiuokite plotą, kurį riboja sinusoidas ir ^ ašis Ox viename periode (88 pav.). Išankstiniai vertinimai rodo, kad plotas bus keturis kartus didesnis nei 2. Tačiau atlikus skaičiavimus gauname „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Šį rezultatą reikia patikslinti. Siekdami išsiaiškinti reikalo esmę, taip pat apskaičiuojame plotą, kurį riboja ta pati sinusoidė y \u003d sin l: ir Ox ašis nuo l iki 2n. Taikydami formulę (I), gauname Taigi matome, kad ši sritis pasirodė neigiama. Palyginus jį su plotu, apskaičiuotu 3 pavyzdyje, matome, kad jų absoliučios reikšmės yra vienodos, tačiau ženklai skiriasi. Jeigu taikome V turtą (žr. XI sk., § 4), tai gauname atsitiktinai. Visada plotas žemiau x ašies, jei nepriklausomas kintamasis keičiasi iš kairės į dešinę, gaunamas skaičiuojant naudojant neigiamus integralus. Šiame kurse visada atsižvelgsime į nepasirašytus plotus. Todėl ką tik analizuotame pavyzdyje atsakymas bus toks: reikalingas plotas lygus 2 + |-2| = 4. 5 pavyzdys. Apskaičiuokime BAB plotą, parodytą pav. 89. Šią sritį riboja ašis Ox, parabolė y = - xr ir tiesė y - = -x + \. Kreivinės trapecijos plotas Ieškomas plotas OAB susideda iš dviejų dalių: OAM ir MAB. Kadangi taškas A yra parabolės ir tiesės susikirtimo taškas, jo koordinates rasime išspręsdami lygčių sistemą 3 2 Y \u003d mx. (reikia rasti tik taško A abscisę). Išspręsdami sistemą, randame l; =~. Todėl plotą tenka skaičiuoti dalimis, pirmiausia pl. OAM, o tada pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [pakeitimas:

] =

Vadinasi, netinkamas integralas suartėja ir jo reikšmė yra lygi .