2-րդ փուլ. Նախապատրաստում գնահատման. Գործոնների սահմանում, դրանց կշիռներ, գործոնների գնահատման սանդղակի մշակում Գործոնների ընտրություն Նախևառաջ պետք է որոշել այն գործոնները, որոնցով կկատարվի գնահատումը: Նրանց ընտրությունը կախված է ընկերության գործունեության առանձնահատկություններից և ռազմավարությունից

Կենտրոնացված պատահական փոփոխական, որը համապատասխանում է RV-ինXկոչվում է պատահական փոփոխականի տարբերություն X և դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը

Պատահական փոփոխականը կոչվում է նորմալացվածեթե դրա շեղումը 1 է. Կենտրոնացված և նորմալացված պատահական փոփոխականը կոչվում է ստանդարտ.

Ստանդարտ պատահական փոփոխական Զ, որը համապատասխանում է պատահական փոփոխականին Xհայտնաբերվում է ըստ բանաձևի.

(1.24)

1.2.5. Այլ թվային բնութագրեր

Դիսկրետ SV նորաձեւություն Xսահմանվում է որպես այդպիսի հնարավոր արժեք x մ, ինչի համար

Նորաձևության շարունակական SWXկոչվում է իրական թիվ Մ 0 (X), սահմանվում է որպես հավանականության բաշխման խտության առավելագույն կետ զ(x).

Այսպիսով, SW ռեժիմը Xդրա ամենահավանական արժեքն է, եթե այդպիսի արժեքը եզակի է: Ռեժիմը կարող է գոյություն չունենալ, ունենալ մեկ արժեք (միամոդալ բաշխում) կամ ունենալ բազմաթիվ արժեքներ (բազմամոդալ բաշխում):

Շարունակական SW-ի մեդիանXկոչվում է իրական թիվ Մ Դ (X) պայմանը բավարարող

Քանի որ այս հավասարումը կարող է ունենալ բազմաթիվ արմատներ, միջինը որոշվում է, ընդհանուր առմամբ, երկիմաստորեն:

Մեկնարկային պահըմ-րդ կարգի SWX (եթե այն գոյություն ունի) կոչվում է իրական թիվ մ, որոշվում է բանաձևով

(1.27)

Մթ կարգի կենտրոնական պահը SWX(եթե այն գոյություն ունի) կոչվում է թիվ մ, որոշվում է բանաձևով

(1.28)

SW-ի մաթեմատիկական ակնկալիք Xնրա առաջին սկզբնական պահն է, իսկ շեղումը նրա երկրորդ կենտրոնական պահն է:

Բարձրագույն կարգերի պահերից առանձնահատուկ նշանակություն ունեն 3-րդ և 4-րդ կարգերի կենտրոնական պահերը։

Անհամաչափության գործակից («թեքվածք») A(X) կոչվում է քանակ

Կուրտոզիայի գործակիցը («սրություն») E(X) SWXկոչվում է քանակ

1.3. Դիսկրետ պատահական փոփոխականների բաշխման որոշ օրենքներ

1.3.1. Երկրաչափական բաշխում

Դիսկրետ SW Xունի երկրաչափական բաշխում, եթե դրա հնարավոր արժեքներն են 0, 1, 2,…, մ, … համապատասխանում են բանաձևով հաշվարկված հավանականություններին

որտեղ 0< էջ< 1,ք= 1 –էջ.

Գործնականում երկրաչափական բաշխումը տեղի է ունենում, երբ մի շարք անկախ փորձեր են արվում որոշակի արդյունքի հասնելու համար: ԲԱՅՑև իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը ԲԱՅՑամեն փորձի մեջ Պ(Ա) =Պ. SW Xանօգուտ փորձերի քանակն է (մինչև առաջին փորձը, որում հայտնվում է իրադարձությունը ԲԱՅՑ), ունի երկրաչափական բաշխում բաշխման շարքով.

և թվային բնութագրերը.

(1.30)

1.3.2. Հիպերերկրաչափական բաշխում

Դիսկրետ SW Xհնարավոր արժեքներով 0, 1,…, մ, …,Մունի հիպերերկրաչափական բաշխում պարամետրերով Ն,Մ,n, եթե

(1.31)

որտեղ Մ≤Ն,մ ≤n,n≤Ն,մ,n,Ն,Մ- ամբողջ թվեր.

Հիպերերկրաչափական բաշխումը տեղի է ունենում հետևյալ դեպքերում Նառարկաներ, որոնցից Մունեն որոշակի հատկանիշ. Հասանելի է Նօբյեկտները ընտրվում են պատահականության սկզբունքով nառարկաներ.

SW X – Ընտրվածների մեջ նշված հատկանիշով օբյեկտների թիվը բաշխվում է ըստ հիպերերկրաչափական օրենքի:

Հիպերերկրաչափական բաշխումն օգտագործվում է, մասնավորապես, արտադրանքի որակի վերահսկման հետ կապված խնդիրների լուծման համար։

Հիպերերկրաչափական բաշխմամբ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հետևյալն է.

(1.32)

Վերևում մենք ծանոթացանք պատահական փոփոխականների բաշխման օրենքներին։ Բաշխման յուրաքանչյուր օրենք սպառիչ կերպով նկարագրում է պատահական փոփոխականի հավանականությունների հատկությունները և հնարավորություն է տալիս հաշվարկել պատահական փոփոխականի հետ կապված ցանկացած իրադարձության հավանականությունը: Այնուամենայնիվ, պրակտիկայում շատ հարցերում նման կարիք չկա ամբողջական նկարագրությունըև հաճախ բավական է նշել միայն առանձին թվային պարամետրեր, որոնք բնութագրում են բաշխման էական հատկանիշները: Օրինակ, միջինը, որի շուրջ ցրված են պատահական փոփոխականի արժեքները, որոշ թիվ է, որը բնութագրում է այս տարածման մեծությունը: Այս թվերը նախատեսված են հակիրճ ձևով արտահայտելու բաշխման ամենակարևոր հատկանիշները և կոչվում են Պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը.

Ի թիվս թվային բնութագրերպատահական փոփոխականները, առաջին հերթին, նրանք համարում են բնութագրեր, որոնք ամրագրում են պատահական փոփոխականի դիրքը թվային առանցքի վրա, այսինքն. պատահական փոփոխականի որոշ միջին արժեք, որի շուրջ խմբավորված են դրա հնարավոր արժեքները: Հավանականությունների տեսության մեջ դիրքի բնութագրիչներից ամենամեծ դերը խաղում է ակնկալվող արժեքը, որը երբեմն պարզապես կոչվում է պատահական փոփոխականի միջին արժեք։

Ենթադրենք, որ դիսկրետ SW-ն ընդունում է արժեքները x (, x 2,..., x pհավանականությունների հետ Ռժ, p 2 ,...y Ptvդրանք. տրված է բաշխման շարքով

Հնարավոր է, որ այս փորձերում արժեքը x xնկատել N(անգամ, արժեք x 2 - N 2անգամ,..., արժեք x n - N nմեկ անգամ. Միևնույն ժամանակ + N 2 +... + N n =N.

Դիտարկման արդյունքների միջին թվաբանականը

Եթե Նմեծ, այսինքն. Ն- «Ահ, ուրեմն

նկարագրելով բաշխման կենտրոնը. Այս կերպ ստացված պատահական փոփոխականի միջին արժեքը կկոչվի մաթեմատիկական ակնկալիք։ Տանք սահմանման բանավոր ձևակերպումը.

Սահմանում 3.8. մաթեմատիկական ակնկալիք (MO) դիսկրետ SV% կոչվում է թիվ, գումարին հավասարդրա բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալները՝ ըստ այդ արժեքների հավանականությունների (նշում M;):

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ դիսկրետ CV-ի հնարավոր արժեքների թիվը հաշվելի է, այսինքն. մենք ունենք RR

Մաթեմատիկական ակնկալիքի բանաձևը մնում է նույնը՝ միայն գումարի վերին սահմանում Պփոխարինվում է oo-ով, այսինքն.

Այս դեպքում մենք արդեն ստանում ենք մի շարք, որը կարող է շեղվել, այսինքն. համապատասխան CV ^ կարող է չունենալ մաթեմատիկական ակնկալիք:

Օրինակ 3.8. ԿԲ՞, տրված բաշխման շարքով

Եկեք գտնենք այս SW-ի MO-ն:

Լուծում.Ըստ սահմանման. դրանք. Mt,գոյություն չունի.

Այսպիսով, SW արժեքների հաշվելի քանակի դեպքում մենք ստանում ենք հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում 3.9. մաթեմատիկական ակնկալիքկամ միջին արժեքը, դիսկրետ SW,ունենալով հաշվելի թվով արժեքներ, կոչվում է այն թիվը, որը հավասար է իր բոլոր հնարավոր արժեքների և համապատասխան հավանականությունների արտադրյալների շարքի գումարին, պայմանով, որ այս շարքը բացարձակապես համընկնում է, այսինքն.

Եթե ​​այս շարքը շեղվում է կամ պայմանականորեն համընկնում է, ապա մենք ասում ենք, որ CV ^-ն մաթեմատիկական ակնկալիք չունի:

Եկեք խտությամբ դիսկրետից անցնենք շարունակական SW p(x):

Սահմանում 3.10. մաթեմատիկական ակնկալիքկամ միջին արժեքը, շարունակական SWկոչվում է հավասար թիվ

պայմանով, որ այս ինտեգրալը բացարձակապես համընկնում է:

Եթե ​​այս ինտեգրալը շեղվում է կամ պայմանականորեն զուգակցվում, ապա ասում են, որ շարունակական ԿԲ-ն մաթեմատիկական ակնկալիք չունի։

Դիտողություն 3.8.Եթե ​​J պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները;

պատկանում է միայն միջակայքին ( ա; բ)ապա

Մաթեմատիկական ակնկալիքը հավանականության տեսության մեջ օգտագործվող միակ դիրքի բնութագրիչը չէ: Երբեմն օգտագործվում են ռեժիմը և միջինը:

Սահմանում 3.11. ՆորաձևությունԿԲ ^ (նշում Մոտ,)դրա ամենահավանական արժեքը կոչվում է, այսինքն. մեկը, որի համար հավանականությունը պիկամ հավանականության խտությունը p(x)հասնում է իր ամենաբարձր արժեքին.

Սահմանում 3.12. Միջին SV?, (նշում հանդիպել)կոչվում է այնպիսի արժեք, որի համար P(t> Met) = P(? > հանդիպել) = 1/2.

Երկրաչափական առումով, շարունակական SW-ի համար մեդիանը առանցքի վրա գտնվող այդ կետի աբսցիսան է Օ,որի համար նրանից ձախ և աջ հատվածները նույնն են և հավասար են 1/2-ի։

Օրինակ 3.9. SWտ,ունի բաշխման համար

Եկեք գտնենք SW-ի մաթեմատիկական ակնկալիքը, եղանակը և մեդիանը

Լուծում. Մբ,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6: Լ/օ = 2. Me(?) գոյություն չունի:

Օրինակ 3.10. Շարունակական ԿԲ % ունի խտություն

Եկեք գտնենք մաթեմատիկական ակնկալիքը, մեդիանը և ռեժիմը:

Լուծում.

p(x)հասնում է առավելագույնի, ապա Ակնհայտ է, որ միջինը նույնպես հավասար է, քանի որ աջ կողմում գտնվող տարածքը և ձախ կողմգծից մինչև կետը հավասար են:

Բացի հավանականության տեսության դիրքի բնութագրիչներից, օգտագործվում են նաև մի շարք թվային բնութագրեր տարբեր նպատակների համար։ Դրանցից առանձնահատուկ նշանակություն ունեն պահերը՝ սկզբնական և կենտրոնական։

Սահմանում 3.13. k-րդ կարգի սկզբնական պահը SW?, կոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք k-րդայս արժեքի աստիճանը. =M(t > k).

Դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանումներից հետևում է, որ

Դիտողություն 3.9.Ակնհայտորեն, 1-ին կարգի սկզբնական պահը մաթեմատիկական սպասումն է։

Նախքան կենտրոնական պահը սահմանելը, մենք ներկայացնում ենք կենտրոնացված պատահական փոփոխականի նոր հայեցակարգ:

Սահմանում 3.14. Կենտրոնացված CV-ն պատահական փոփոխականի շեղումն է իր մաթեմատիկական ակնկալիքից, այսինքն.

Հեշտ է դա հաստատել

Պատահական փոփոխականի կենտրոնացումը, ակնհայտորեն, հավասարազոր է սկզբնակետը M; կետին փոխանցելուն: Կենտրոնացված պատահական փոփոխականի մոմենտները կոչվում են կենտրոնական կետեր.

Սահմանում 3.15. k-րդ կարգի կենտրոնական պահը SW % կոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք k-րդկենտրոնացված պատահական փոփոխականի աստիճաններ.

Մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանումից բխում է, որ

Ակնհայտ է, որ ցանկացած պատահական փոփոխականի համար ^ 1-ին կարգի կենտրոնական պահը զրո: x-ի հետ= M(? 0) = 0:

Պրակտիկայի համար առանձնահատուկ նշանակություն ունի երկրորդ կենտրոնական կետը 2-ից.Դա կոչվում է դիսպերսիա:

Սահմանում 3.16. ցրվածություն CB?, կոչվում է համապատասխան կենտրոնացված արժեքի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիք (նշում Դ?)

Տարբերությունը հաշվարկելու համար սահմանումից ուղղակիորեն կարելի է ստանալ հետևյալ բանաձևերը.

Փոխակերպելով բանաձևը (3.4), կարող ենք ստանալ հաշվարկման հետևյալ բանաձևը Դ.Լ.

SW-ի ցրվածությունը բնորոշ է ցրում, պատահական փոփոխականի արժեքների տարածումը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքի շուրջ։

Տարբերությունն ունի պատահական փոփոխականի քառակուսու չափ, որը միշտ չէ, որ հարմար է: Հետևաբար, պարզության համար, որպես դիսպերսիայի հատկանիշ, հարմար է օգտագործել այն թիվը, որի չափը համընկնում է պատահական փոփոխականի չափի հետ։ Դա անելու համար քաղեք ցրվածությունից Քառակուսի արմատ. Ստացված արժեքը կոչվում է ստանդարտ շեղումպատահական փոփոխական. Մենք այն կնշանակենք որպես a: a = l / w:

Ոչ բացասական ԿԲ-ի համար, երբեմն այն օգտագործվում է որպես բնութագրիչ տատանումների գործակիցը, հավասար է ստանդարտ շեղման հարաբերակցությանը մաթեմատիկական ակնկալիք:

Իմանալով պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և ստանդարտ շեղումը, կարելի է մոտավոր պատկերացում կազմել դրա հնարավոր արժեքների տիրույթի մասին: Շատ դեպքերում մենք կարող ենք ենթադրել, որ պատահական փոփոխականի արժեքները միայն երբեմն անցնում են M միջակայքից: ± Համար. Նորմալ բաշխման այս կանոնը, որը մենք հետագայում կհիմնավորենք, կոչվում է երեք սիգմայի կանոն.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը պատահական փոփոխականի ամենատարածված թվային բնութագրերն են: Մաթեմատիկական ակնկալիքների և շեղումների սահմանումից հետևում են այս թվային բնութագրերի որոշ պարզ և բավականին ակնհայտ հատկություններ:

Նախակենդանիներմաթեմատիկական ակնկալիքների և դիսպերսիայի հատկությունները:

1. Ոչ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք Հետհավասար է c-ի արժեքին: M(s) = s.

Իսկապես, քանի որ արժեքը Հետվերցնում է միայն մեկ արժեք 1 հավանականությամբ, ապա М(с) = Հետ 1 = s.

2. Ոչ պատահական c փոփոխականի շեղումը հավասար է զրոյի, այսինքն. D(c) = 0.

Իսկապես, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- գ) 2 = Մ( 0) = 0.

3. Ոչ պատահական բազմապատկիչը կարող է հանվել ակնկալիքի նշանից. M(c^) = cՄ(?,).

Եկեք ցույց տանք այս հատկության վավերականությունը դիսկրետ RV-ի օրինակով:

Թող RV տրվի բաշխման շարքով

Հետո

հետևաբար,

Հատկությունն ապացուցված է նույն կերպ շարունակական պատահական փոփոխականի համար:

4. Քառակուսի դիսպերսիայի նշանից կարելի է հանել ոչ պատահական բազմապատկիչ.

Որքան շատ են պատահական փոփոխականի պահերը հայտնի, այնքան ավելի մանրամասն պատկերացում ունենք բաշխման օրենքի մասին:

Հավանականությունների տեսության և դրա կիրառման մեջ օգտագործվում են պատահական փոփոխականի ևս երկու թվային բնութագրեր՝ հիմնված 3-րդ և 4-րդ կարգերի կենտրոնական պահերի վրա՝ անհամաչափության գործակից \u003d m x, a 1,0 \u003d m x

a 0.1 = M = m y, a 0.1 = m y (7)

X և Y պատահական փոփոխականների մաթեմատիկական ակնկալիքներն են:

Առաջին կարգի կենտրոնական պահերը բնականաբար հավասար են զրոյի։

Երկրորդ կարգի սկզբնական պահերը.

Երկրորդ կարգի կենտրոնական պահերը.

Առաջին երկու պահերը ներկայացնում են շեղումը, իսկ երրորդը կոչվում է կովարիանս(կամ հարաբերակցության պահը) պատահական փոփոխականներ (X,Y), որոնք նշվում են K xy-ով.

Կովարիանսի սահմանմամբ

K xy = K yx (11)

դրանք. երբ ինդեքսները փոխանակվում են, կովարիանսը չի փոխվում:

Պատահական փոփոխականների շեղումը կարելի է համարել որպես կովարիանսի հատուկ դեպք.

դրանք. Պատահական փոփոխականների շեղումը ոչ այլ ինչ է, քան «իր կովարիանսն ինքն իր հետ»։ (Անկախ պատահական փոփոխականների համար կովարիանսը 0 է: Ինքներդ ապացուցեք):

Հարմար է K xy կովարիանսը արտահայտել ավելի ցածր կարգերի սկզբնական մոմենտներով.

K xy =a 1.1 -a 1.0 ×a 0.1 կամ K xy =M-M[X]×M[Y] (13)

Օգտակար է հիշել այս բանաձևը. երկու պատահական փոփոխականների կովարիանսը հավասար է նրանց արտադրյալի մաթեմատիկական ակնկալիքին` հանած նրանց մաթեմատիկական ակնկալիքների արտադրյալը:

Կովարիանսը բնութագրում է ոչ միայն պատահական փոփոխականների կախվածության աստիճանը, այլև դրանց ցրվածությունը կետի շուրջ (m x, m y).

Կովարիանսի չափը հավասար է X և Y պատահական փոփոխականների չափերի արտադրյալին։ s x s y.

r xy =K xy /s x s y (14)

r xy-ի արժեքը կոչվում է հարաբերակցության գործակիցըպատահական փոփոխականներ X և Y. Այս գործակիցը բնութագրում է միայն աստիճանը գծայինայս քանակությունների կախվածությունը. Կախվածությունը դրսևորվում է նրանով, որ երբ մեկ պատահական փոփոխական մեծանում է, մյուսը նույնպես հակված է աճել (կամ նվազել): Առաջին դեպքում r xy >0 և ասում ենք պատահական փոփոխականներ X-ը և Y-ը դրականորեն փոխկապակցված են, երկրորդում r xy<0, и корреляция отрицательна.

Ցանկացած պատահական փոփոխականների համար X և Y

Եթե ​​երկու պատահական փոփոխականների կովարիանսը հավասար է զրոյի՝ K xy =0, ապա X և Y պատահական փոփոխականները կոչվում են. անկապ, եթե K xy ¹0, ապա փոխկապակցված.

Պատահական փոփոխականների անկախությունից հետևում է դրանց անհամատեղելիությունը. բայց դրանց անկախությունը դեռ չի բխում պատահական փոփոխականների անհամատեղելիությունից (r xy =0): Եթե ​​r xy =0, դա միայն նշանակում է գծային կապ չկապատահական փոփոխականների միջև; կարող է լինել ցանկացած այլ տեսակի կապ: