Gdje je rub piramide. Piramida i njeni elementi. Piramida kao geometrijsko tijelo

Prilikom rješavanja zadatka C2 koordinatnom metodom mnogi se učenici suočavaju s istim problemom. Ne znaju izračunati koordinate točke uključena u formulu skalarnog produkta. Najveće poteškoće su piramide. A ako se bazne točke smatraju koliko-toliko normalnim, onda su vrhovi pravi pakao.

Danas ćemo se baviti pravilnom četverokutnom piramidom. Tu je i trokutasta piramida (aka - tetraedar). Ovo je složeniji dizajn, pa će mu biti posvećena zasebna lekcija.

Počnimo s definicijom:

Pravilna piramida je ona u kojoj:

Baza je pravilan poligon: trokut, kvadrat itd.;

Visina povučena bazi prolazi kroz njezino središte.

Konkretno, baza četverokutne piramide je kvadrat. Baš kao Keops, samo malo manji.

Ispod su izračuni za piramidu čiji su svi bridovi jednaki 1. Ako to nije slučaj u vašem problemu, izračuni se ne mijenjaju - samo će brojevi biti drugačiji.

Vrhovi četverokutne piramide

Dakle, neka je dana pravilna četverokutna piramida SABCD, gdje je S vrh, baza ABCD je kvadrat. Svi bridovi su jednaki 1. Potrebno je unijeti koordinatni sustav i pronaći koordinate svih točaka. Imamo:

Uvodimo koordinatni sustav s ishodištem u točki A:

Os OX usmjerena je paralelno s bridom AB ;
Os OY - paralelna s AD . Kako je ABCD kvadrat, AB ⊥ AD ;
Konačno, os OZ je usmjerena prema gore, okomito na ravninu ABCD.

Sada razmatramo koordinate. Dogradnja: SH - visina izvučena na bazu. Radi praktičnosti, izvadit ćemo bazu piramide u zasebnu sliku. Kako točke A , B , C i D leže u ravnini OXY njihova je koordinata z = 0. Imamo:

A = (0; 0; 0) - poklapa se s ishodištem;
B = (1; 0; 0) - korak po 1 duž OX osi od ishodišta;
C = (1; 1; 0) - korak za 1 duž OX osi i za 1 duž OY osi;
D = (0; 1; 0) - korak samo duž OY osi.
H \u003d (0,5; 0,5; 0) - središte kvadrata, sredina segmenta AC.

Ostaje pronaći koordinate točke S. Imajte na umu da su koordinate x i y točaka S i H iste jer leže na ravnoj liniji paralelnoj s osi OZ. Preostaje pronaći koordinatu z za točku S .

Razmotrimo trokute ASH i ABH:

AS = AB = 1 prema uvjetu;
Kut AHS = AHB = 90° jer je SH visina, a AH ⊥ HB kao dijagonale kvadrata;
Strana AH - zajednička.

Posljedično, pravokutni trokuti ASH i ABH jednak jedna kateta i jedna hipotenuza. Dakle, SH = BH = 0,5 BD. Ali BD je dijagonala kvadrata sa stranicom 1. Dakle, imamo:

Ukupne koordinate točke S:

Zaključno, zapisujemo koordinate svih vrhova pravilne pravokutne piramide:

Što učiniti kada su rebra različita

Ali što ako bočni bridovi piramide nisu jednaki bridovima baze? U ovom slučaju, razmotrite trokut AHS:

Trokut AHS- pravokutan, a hipotenuza AS također je bočni brid izvorne piramide SABCD . Noga AH se lako razmatra: AH = 0,5 AC. Pronađite preostali krak SH prema Pitagorinoj teoremi. Ovo će biti z koordinata za točku S.

Zadatak. Dana je pravilna četverokutna piramida SABCD , u čijoj osnovi leži kvadrat sa stranicom 1. Bočni brid BS = 3. Odredi koordinate točke S .

Već znamo x i y koordinate ove točke: x = y = 0,5. To proizlazi iz dvije činjenice:

Projekcija točke S na ravninu OXY je točka H;
Istovremeno, točka H je središte kvadrata ABCD čije su sve stranice jednake 1.

Ostaje pronaći koordinatu točke S. Promotrimo trokut AHS. Pravokutan je, s hipotenuzom AS = BS = 3, krak AH je pola dijagonale. Za daljnje izračune potrebna nam je njegova duljina:

Pitagorin poučak za trokut AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Imamo:

Dakle, koordinate točke S:

Koncept piramide

Definicija 1

Geometrijski lik kojeg tvore mnogokut i točka koja ne leži u ravnini koja sadrži taj mnogokut, povezana sa svim vrhovima mnogokuta, naziva se piramida (slika 1).

Mnogokut od kojeg je sastavljena piramida naziva se baza piramide, trokuti dobiveni spajanjem s točkom su bočne strane piramide, stranice trokuta su stranice piramide, a točka zajednička svima trokuta je vrh piramide.

Vrste piramida

Ovisno o broju uglova u podnožju piramide, može se nazvati trokutasta, četverokuta i tako dalje (slika 2).

Slika 2.

Druga vrsta piramide je pravilna piramida.

Predstavimo i dokažimo svojstvo pravilna piramida.

Teorem 1

Sve bočne strane pravilne piramide su jednakokračni trokuti koji su međusobno jednaki.

Dokaz.

Promotrimo pravilnu $n-$kutnu piramidu s vrhom $S$ visine $h=SO$. Opišimo krug oko baze (slika 4).

Slika 4

Promotrimo trokut $SOA$. Po Pitagorinoj teoremi dobivamo

Očito je da će svaki bočni rub biti definiran na ovaj način. Stoga su svi bočni bridovi međusobno jednaki, odnosno sve su bočne plohe jednakokračni trokuti. Dokažimo da su međusobno jednaki. Budući da je baza pravilan mnogokut, osnovice svih bočnih stranica su međusobno jednake. Prema tome, sve su bočne strane jednake prema III znaku jednakosti trokuta.

Teorem je dokazan.

Sada uvodimo sljedeću definiciju vezanu uz pojam pravilne piramide.

Definicija 3

Apotem pravilne piramide je visina njezine bočne strane.

Očito, prema teoremu 1, svi apotemi su jednaki.

Teorem 2

Površina bočne površine pravilne piramide definirana je kao umnožak poluopsega baze i apoteme.

Dokaz.

Označimo stranicu baze piramide $n-$ugljena s $a$, a apotemu s $d$. Stoga je površina bočne strane jednaka

Budući da su prema teoremu 1 sve strane jednake, onda

Teorem je dokazan.

Drugi tip piramide je krnja piramida.

Definicija 4

Ako se kroz običnu piramidu povuče ravnina paralelna s njezinom bazom, tada se lik formiran između te ravnine i ravnine baze naziva krnja piramida (slika 5).

Slika 5. Krnja piramida

Bočne strane krnje piramide su trapezi.

Teorem 3

Površina bočne površine pravilne krnje piramide definirana je kao umnožak zbroja poluperimetara baza i apoteme.

Dokaz.

Označimo stranice baza $n-$ugljene piramide s $a\ odnosno\ b$, a apotemu s $d$. Stoga je površina bočne strane jednaka

Budući da su sve strane jednake, dakle

Teorem je dokazan.

Primjer zadatka

Primjer 1

Odredite površinu bočne površine krnje trokutaste piramide ako je dobivena iz pravilne piramide s osnovnom stranom 4 i apotemom 5 odsijecanjem ravninom koja prolazi kroz središnju liniju bočnih stranica.

Riješenje.

Prema teoremu o središnja linija dobivamo da je gornja baza krnje piramide jednaka $4\cdot \frac(1)(2)=2$, a apotem jednak $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Tada, prema teoremu 3, dobivamo

Dobro su nam poznate velike egipatske piramide, svatko može zamisliti kako izgledaju. Ovaj prikaz će nam pomoći da razumijemo značajke takvih geometrijski lik poput piramide.

Piramida je poliedar koji se sastoji od ravnog poligona - baze piramide, točke koja ne leži u ravnini baze - vrha piramide i svih segmenata koji spajaju vrh s točkama baze. Segmenti koji spajaju vrh piramide s vrhom baze nazivaju se bočnim rubovima. Na sl. 1 prikazuje piramidu SABCD. Četverokut ABCD je baza piramide, točka S je vrh piramide, odsječci SA, SB, SC i SD su bridovi piramide.

Visina piramide je okomica spuštena s vrha piramide na ravninu baze. Na sl. 1 SO je visina piramide.

Piramida se naziva n-kutna ako joj je baza n-kut. Slika 1 prikazuje četverokutnu piramidu. Trokutasta piramida naziva se tetraedar.

Piramida se naziva pravilnom ako je njena baza pravilan mnogokut, a baza visine se poklapa sa središtem tog mnogokuta. Bočni bridovi pravilne piramide su jednaki, pa su stoga bočne strane jednakokračni trokuti. U pravilnoj piramidi, visina bočne strane povučena od vrha piramide naziva se apotemom.

Piramida ima niz svojstava.

Sve dijagonale piramide pripadaju njezinim plohama.

Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada:

u blizini baze piramide može se opisati krug, a vrh piramide je projiciran u njeno središte;
bočna rebra tvore s ravninom baze jednaki kutovi, i obrnuto, ako bočni bridovi tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se može opisati kružnica u blizini baze piramide, a vrh piramide je projiciran u njezino središte, tada su svi bočni bridovi piramide su jednaki.

Ako su bočne strane nagnute prema osnovnoj ravnini pod jednim kutom, tada:

krug se može upisati u podnožje piramide, a vrh piramide projicira se u njezino središte;
visine bočnih strana su jednake;
površina bočne plohe jednaka je polovici umnoška opsega baze i visine bočne plohe.

Razmotrite formule za pronalaženje volumena, površine piramide.

Volumen piramide može se izračunati pomoću sljedeće formule:

gdje je S površina baze, a h visina.

Da biste pronašli ukupnu površinu piramide, koristite formulu:

S p \u003d S b + S o,

gdje je S p ukupna površina, S b bočna površina, S o osnovna površina.

Krnja piramida je poliedar zatvoren između baze piramide i sjecišta paralelne s bazom. Lica krnje piramide, koja leže u paralelnim ravninama, nazivaju se bazama krnje piramide, a preostala lica nazivaju se bočnim stranama. Osnove krnje piramide su slični poligoni, bočne strane su trapezi. Krnja piramida, koja se dobiva iz pravilne piramide, naziva se pravilnom. krnja piramida. Bočne strane pravilnog krnjeg trapeza su jednaki jednakokračni trapezi, njihove visine nazivaju se apotemama.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Piramida- ovo je poliedar, koji ima jedno lice - bazu piramide - proizvoljni poligon, a ostatak - bočne strane - trokute sa zajedničkim vrhom, koji se naziva vrh piramide. Okomica spuštena s vrha piramide na njezinu bazu naziva se visina piramide. Piramida se naziva trokutasta, četverokutna itd., ako je baza piramide trokut, četverokut itd. Trokutasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokutni - peterokutni, itd.

Piramida, Krnja piramida

Ispravna piramida

Ako je baza piramide pravilan mnogokut, a visina pada do središta baze, tada je piramida pravilna. U pravilnoj piramidi svi bočni bridovi su jednaki, sve bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti. Visina trokuta bočne strane pravilne piramide naziva se − apotem desne piramide.

Krnja piramida

poprečni presjek baza paralelna piramida dijeli piramidu na dva dijela. Dio piramide između njezine baze i ovog dijela je krnja piramida . Ovaj odjeljak za krnju piramidu je jedna od njenih baza. Razmak između baza krnje piramide naziva se visina krnje piramide. Krnju piramidu nazivamo ispravnom ako je piramida iz koje je dobivena bila ispravna. Sva bočna lica pravilne krnje piramide su jednaki jednakokračni trapezi. Visina bočne strane trapeza pravilne krnje piramide naziva se - apotem pravilne krnje piramide.

Razmotrite svojstva piramida u kojima su bočne strane okomite na bazu.

Ako a dvije susjedne bočne strane piramide okomite su na bazu, onda zajednički bočni brid ovih ploha je visina piramide. Ako zadatak tako kaže rub piramide je njena visina, onda govorimo o ovoj vrsti piramida.

Lica piramide okomita na bazu su pravokutni trokuti.

Ako je baza piramide trokut

Bočna ploha takve piramide općenito se traži kao zbroj površina svih bočnih ploha.

Osnova piramide je ortogonalna projekcija lice koje nije okomito na bazu (u ovom slučaju SBC). Dakle, prema teoremu o površini ortogonalne projekcije, površina baze jednaka je umnošku površine ovog lica kosinusom kuta između njega i ravnine baze.

Ako je baza piramide pravokutni trokut

U ovom slučaju sva lica piramide su pravokutni trokuti.

Trokuti SAB i SAC su pravokutni jer je SA visina piramide. Trokut ABC je pravokutni trokut.

Da je trokut SBC pravokutan proizlazi iz teorema o tri okomice (AB je projekcija kose SB na ravninu osnovice. Kako je AB po uvjetu okomit na BC, onda je i SB okomit na BC ).

Kut između bočne strane SBC i baze u ovom slučaju je kut ABS.

Bočna površina jednaka je zbroju površina pravokutnih trokuta:

Pošto u ovom slučaju

Ako je osnovica piramide jednakokračni trokut

U ovom slučaju kut između ravnine bočne stranice BCS i ravnine osnovke je kut AFS, gdje je AF visina, središnja i simetrala jednakokračnog trokuta ABC.

Slično - ako u osnovici piramide leži jednakostranični trokut ABC.

Ako je baza piramide paralelogram

U ovom slučaju, baza piramide je ortogonalna projekcija bočnih stranica koje nisu okomite na bazu.