बहुभुज एक बंद टूटी हुई रेखा से बंधे विमान का एक हिस्सा है। बहुभुज के कोनों को पॉलीलाइन के शीर्षों के बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। बहुभुज कोने के कोने और बहुभुज के कोने सर्वांगसम बिंदु हैं।

परिभाषा। समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।

समांतर चतुर्भुज गुण

1. सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
अंजीर पर। ग्यारह अब = सीडी; ईसा पूर्व = विज्ञापन.

2. सम्मुख कोण बराबर होते हैं (दो न्यूनकोण और दो अधिक कोण)।
अंजीर पर। 11∠ ए = ∠सी; ∠बी = ∠डी.

3 विकर्ण (दो विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले रेखा खंड) प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है।

अंजीर पर। 11 खंड एओ = ओसी; बो = आयुध डिपो.

परिभाषा। एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो नहीं होते हैं।

समानांतर पक्ष उसे बुलाया मैदान, और अन्य दो पक्ष पक्षों.

ट्रेपेज़ियम के प्रकार

1. ट्रापेज़, जिसकी भुजाएँ समान नहीं हैं,
बुलाया बहुमुखी प्रतिभा संपन्न(चित्र 12)।

2. एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, कहलाती है समद्विबाहु(चित्र 13)।

3. एक समलम्ब चतुर्भुज, जिसमें एक भुजा आधारों के साथ समकोण बनाती है, कहलाती है आयताकार(चित्र 14)।

समलम्ब चतुर्भुज (चित्र 15) की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को समलम्ब की मध्य रेखा कहा जाता है ( एम.एन.) समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।

एक समलम्ब चतुर्भुज को एक छोटा त्रिभुज कहा जा सकता है (चित्र 17), इसलिए समलंबों के नाम त्रिभुजों के नाम के समान हैं (त्रिकोण बहुमुखी, समद्विबाहु, आयताकार हैं)।

समांतर चतुर्भुज और समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

नियम। समांतर चतुर्भुज क्षेत्रइस तरफ खींची गई ऊंचाई के गुणनफल के बराबर है।

आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब आप हमसे संपर्क करते हैं तो आपसे किसी भी समय अपनी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं के बारे में आपसे संपर्क करने की अनुमति देती है और आगामी कार्यक्रम.
• समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संदेश भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित के कारणों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को नुकसान, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

इसलिए, हम उनमें से एक को बुलाएंगे बड़ा , दूसरा - छोटा आधार समलंब। कद एक ट्रेपेज़ॉइड को कोने से संबंधित विपरीत दिशा में खींचे गए लंबवत के किसी भी खंड को कहा जा सकता है (प्रत्येक शीर्ष के लिए दो विपरीत पक्ष होते हैं), लिए गए शीर्ष और विपरीत पक्ष के बीच संलग्न होते हैं। लेकिन ऊंचाइयों के "विशेष प्रकार" को अलग करना संभव है।
परिभाषा 8. एक समलम्बाकार के आधार की ऊँचाई, आधारों के बीच संलग्न एक सीधी रेखा का खंड है जो आधारों के लंबवत है।
प्रमेय 7 . समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।
सबूत। माना एक समलंब ABCD दिया गया है और मध्य पंक्तिकिमी. बिंदु B और M से होकर एक रेखा खींचिए। हम बिंदु D से होकर भुजा AD को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि वह BM से प्रतिच्छेद न कर ले। त्रिभुज बीसीएम और एमपीडी पक्ष और दो कोणों में बराबर हैं (सीएम = एमडी, ∠ बीसीएम = ∠ एमडीपी - अतिव्यापी, ∠ बीएमसी = ∠ डीएमपी - लंबवत), इसलिए वीएम = एमपी या बिंदु एम बीपी का मध्य बिंदु है। KM त्रिभुज ABP की मध्य रेखा है। त्रिभुज की मध्य रेखा के गुण के अनुसार, KM AP के समानांतर है और विशेष रूप से AD में और AP के आधे के बराबर है:

प्रमेय 8 . विकर्ण समलंब चतुर्भुज को चार भागों में विभाजित करते हैं, जिनमें से दो, भुजाओं से सटे हुए, बराबर होते हैं।
मैं आपको याद दिला दूं कि आंकड़े समान कहलाते हैं यदि उनका क्षेत्रफल समान हो। त्रिभुज ABD और ACD समान हैं: उनकी ऊँचाई समान है (पीले रंग में इंगित की गई है) और एक सामान्य आधार है। ये त्रिभुज हैं सामान्य भागएओडी उनके क्षेत्र का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:

ट्रेपेज़ियम के प्रकार:
परिभाषा 9. (चित्र 1) एक न्यूनकोण समलम्ब चतुर्भुज एक समलम्ब है जिसमें बड़े आधार से सटे कोण न्यून होते हैं।
परिभाषा 10. (चित्र 2) एक अधिक समलम्ब चतुर्भुज एक समलम्ब है जिसमें बड़े आधार से सटे कोणों में से एक अधिक कोण होता है।
परिभाषा 11. (चित्र 4) एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है, जिसमें एक भुजा आधारों के लंबवत होती है।
परिभाषा 12. (चित्र 3) समद्विबाहु (समद्विबाहु, समद्विबाहु) एक समलम्ब है, जिसमें भुजाएँ बराबर होती हैं।

एक समद्विबाहु समलम्बाकार के गुण:
प्रमेय 10 . समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के प्रत्येक आधार से सटे कोण बराबर होते हैं।
सबूत। उदाहरण के लिए, आइए हम एक समद्विबाहु समलंब ABCD के बड़े आधार AD के साथ कोण A और D की समानता सिद्ध करें। इस प्रयोजन के लिए, हम पार्श्व भुजा AB के समांतर बिंदु C से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं। यह बड़े आधार को बिंदु M पर काटेगा। चतुर्भुज ABCM एक समांतर चतुर्भुज है, क्योंकि रचना द्वारा इसकी समानांतर भुजाओं के दो जोड़े हैं। इसलिए, समलम्ब चतुर्भुज के अंदर संलग्न छेदक रेखा का खंड CM इसके पार्श्व पक्ष के बराबर है: CM=AB। यहाँ से यह स्पष्ट है कि CM=CD, त्रिभुज CMD समद्विबाहु है, ∠CMD=∠CDM, और, इसलिए, ∠A=∠D। छोटे आधार से सटे कोण भी बराबर हैं, क्योंकि उन लोगों के लिए हैं जो आंतरिक एक तरफा पाए गए हैं और दो पंक्तियों का योग है।
प्रमेय 11 . एक समद्विबाहु समलंब के विकर्ण बराबर होते हैं।
सबूत। त्रिभुज एबीडी और एसीडी पर विचार करें। यह दो पक्षों पर बराबर है और उनके बीच का कोण (AB=CD, AD उभयनिष्ठ है, कोण A और D प्रमेय 10 के अनुसार बराबर हैं)। इसलिए एसी = बीडी।

प्रमेय 13 . एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा समान रूप से समान खंडों में विभाजित किया जाता है। त्रिभुज एबीडी और एसीडी पर विचार करें। यह दो पक्षों पर बराबर है और उनके बीच का कोण (AB=CD, AD उभयनिष्ठ है, कोण A और D प्रमेय 10 के अनुसार बराबर हैं)। इसलिए, D=∠ DA, इसलिए कोण ОВС और OSV समान रूप से अतिव्यापी कोण ODA और D के बराबर हैं। प्रमेय को याद करें: यदि किसी त्रिभुज में दो कोण बराबर हैं, तो वह समद्विबाहु है, इसलिए त्रिभुज ОВС और ОAD समद्विबाहु हैं, जिसका अर्थ है OS=OB और ОА=OD, आदि।
एक समद्विबाहु समलम्ब एक सममित आकृति है।
परिभाषा 13. समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की सममिति अक्ष को उसके आधारों के मध्य बिन्दुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा कहा जाता है।
प्रमेय 14 . समद्विबाहु समलम्बाकार का सममित अक्ष उसके आधारों के लंबवत होता है।
प्रमेय 9 में, हमने सिद्ध किया कि एक समलम्ब के आधारों के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। आगे (प्रमेय 13) हमने सिद्ध किया कि त्रिभुज AOD और BOC समद्विबाहु हैं। परिभाषा के अनुसार, OM और OK क्रमशः इन त्रिभुजों की माध्यिकाएँ हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज की संपत्ति को याद करें: एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका, आधार से नीचे की ओर, त्रिभुज की ऊँचाई भी होती है। सीधी रेखा KM के भागों के आधारों के लंबवत होने के कारण, सममिति का अक्ष आधारों के लंबवत होता है।
सभी ट्रेपेज़ियम के बीच एक समद्विबाहु समलम्ब को भेद करने वाले संकेत:
प्रमेय 15 . यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के किसी एक आधार से सटे कोण बराबर हैं, तो समलम्ब समद्विबाहु समद्विबाहु है।
प्रमेय 16 . यदि समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं, तो समलम्ब समद्विबाहु समद्विबाहु है।
प्रमेय 17 . यदि समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाएँ, जो चौराहे तक फैली हुई हैं, अपने बड़े आधार के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं, तो समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है।
प्रमेय 18 . यदि एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है, तो वह समद्विबाहु है।
एक आयताकार ट्रेपोजॉइड का संकेत:
प्रमेय 19 . आसन्न कोने पर केवल दो समकोण के साथ कोई भी चतुर्भुज एक समकोण समलम्बाकार है (जाहिर है, दो भुजाएँ समानांतर हैं, क्योंकि एक तरफा समान हैं। उस स्थिति में जब तीन समकोण एक आयत होते हैं)
प्रमेय 20 . एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या आधार की आधी ऊंचाई के बराबर होती है।
इस प्रमेय का प्रमाण यह स्पष्ट करना है कि आधारों तक खींची गई त्रिज्या समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई पर स्थित होती है। बिंदु O से - इस समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त ABCD का केंद्र, हम समलम्बाकार के आधारों के साथ संपर्क के बिंदुओं तक त्रिज्या खींचते हैं। जैसा कि आप जानते हैं, संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत होती है, इसलिए OK ^ BC और OM ^ AD। प्रमेय को याद करें: यदि एक रेखा समानांतर रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरी के लिए भी लंबवत है। अत: रेखा OK भी AD पर लम्ब है। इस प्रकार, रेखा AD के लंबवत दो रेखाएँ बिंदु O से होकर गुजरती हैं, जो नहीं हो सकती, इसलिए ये रेखाएँ मेल खाती हैं और KM का उभयनिष्ठ लंबवत बनाती हैं, जो योग के बराबर हैदो त्रिज्या और खुदा हुआ वृत्त का व्यास है, इसलिए r=KM/2 या r=h/2.
प्रमेय 21 . एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों के आधे योग और आधारों की ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

सबूत:माना ABCD एक दिया हुआ समलम्ब है और AB और CD इसके आधार हैं। मान लीजिए कि बिंदु A से रेखा CD तक गिराई गई ऊंचाई AH भी है। तब एस एबीसीडी = एस एसीडी + एस एबीसी।
लेकिन S ACD = 1/2AH CD और S ABC = 1/2AH AB।
इसलिए, S ABCD = 1/2AH (AB + CD)।
क्यू.ई.डी.

दूसरा सूत्र चतुर्भुज से हट गया है।

\[(\बड़ा (\पाठ(मनमाना समलम्बाकार)))\]

परिभाषाएं

एक समलम्ब चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो भुजाएँ समानांतर नहीं होती हैं।

समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाओं को इसका आधार कहा जाता है, और अन्य दो भुजाओं को इसकी भुजाएँ कहा जाता है।

एक समलंब की ऊंचाई एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार पर गिराया गया लंबवत है।

प्रमेय: एक समलम्ब के गुण

1) भुजा के कोणों का योग \(180^\circ\) है।

2) विकर्ण समलंब चतुर्भुज को चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, जिनमें से दो समान हैं और अन्य दो समान हैं।

सबूत

1) क्योंकि \(AD\parallel BC\) , तो कोण \(\angle BAD\) और \(\angle ABC\) इन रेखाओं पर एकतरफा हैं और छेदक \(AB\) इसलिए, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) क्योंकि \(AD\parallel BC\) और \(BD\) एक सेकेंट है, तो \(\angle DBC=\angle BDA\) एक दूसरे के आर-पार लेटा हुआ है।
साथ ही \(\angle BOC=\angle AOD\) लंबवत के रूप में।
इसलिए, दो कोनों में \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

आइए साबित करें कि \(S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)\). माना \(h\) समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है। फिर \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). फिर: \

परिभाषा

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक खंड है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है।

प्रमेय

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।

सबूत*

1) आइए समानता साबित करें।

बिंदु \(M\) से होकर एक रेखा \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) खींचिए। तब, थेल्स प्रमेय द्वारा (क्योंकि \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) बिंदु \(N"\) खंड \(CD\) का मध्यबिंदु है... इसलिए, बिंदु \(N\) और \(N"\) संपाती होंगे।

2) आइए सूत्र को सिद्ध करें।

आइए \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) ड्रा करें। होने देना \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

फिर, थेल्स प्रमेय के अनुसार, \(M"\) और \(N"\) क्रमशः \(BB"\) और \(CC"\) खंडों के मध्यबिंदु हैं। तो \(MM"\) मध्य रेखा है \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) मध्य रेखा है \(\triangle DCC"\) । इसीलिए: \

इसलिये \(MN\समानांतर AD\समानांतर BC\)और \(BB", CC"\perp AD\) , फिर \(B"M"N"C"\) और \(BM"N"C\) आयत हैं। थेल्स प्रमेय द्वारा, \(MN\parallel AD\) और \(AM=MB\) का अर्थ है कि \(B"M"=M"B\) । इसलिए, \(B"M"N"C"\) और \(BM"N"C\) बराबर आयत हैं, इसलिए \(M"N"=B"C"=BC\) ।

इस तरह:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

प्रमेय: एक मनमाना समलम्ब चतुर्भुज का गुण

आधारों के मध्य बिंदु, समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु और पार्श्व पक्षों के विस्तारों के प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

सबूत*
यह अनुशंसा की जाती है कि आप "समान त्रिभुज" विषय का अध्ययन करने के बाद स्वयं को प्रमाण से परिचित करा लें।

1) आइए हम सिद्ध करें कि बिंदु \(P\) , \(N\) और \(M\) एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।

एक रेखा खींचना \(PN\) (\(P\) भुजाओं के विस्तार का प्रतिच्छेदन बिंदु है, \(N\) \(BC\) का मध्यबिंदु है)। मान लीजिए कि यह भुजा \(AD\) को \(M\) बिंदु पर काटती है। आइए हम सिद्ध करें कि \(M\) \(AD\) का मध्यबिंदु है।

\(\triangle BPN\) और \(\triangle APM\) पर विचार करें। वे दो कोणों में समान हैं (\(\angle APM\) - उभयनिष्ठ, \(\angle PAM=\angle PBN\) जैसा कि \(AD\parallel BC\) और \(AB\) secant पर संगत है। माध्यम: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\triangle CPN\) और \(\triangle DPM\) पर विचार करें। वे दो कोणों में समान हैं (\(\angle DPM\) - उभयनिष्ठ, \(\angle PDM=\angle PCN\) जैसा कि \(AD\parallel BC\) और \(CD\) secant पर संगत है। माध्यम: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

यहाँ से \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). लेकिन \(BN=NC\) , इसलिए \(AM=DM\) ।

2) आइए हम सिद्ध करें कि बिंदु \(N, O, M\) एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

मान लीजिए \(N\) \(BC\) का मध्यबिंदु है, \(O\) विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। एक रेखा खींचिए \(NO\) , यह भुजा \(AD\) को \(M\) बिंदु पर काटेगी। आइए हम सिद्ध करें कि \(M\) \(AD\) का मध्यबिंदु है।

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\)दो कोणों पर (\(\angle OBN=\angle ODM\) जो \(BC\parallel AD\) और \(BD\) secant पर स्थित है; \(\angle BON=\angle DOM\) वर्टिकल के रूप में)। माध्यम: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

उसी प्रकार \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). माध्यम: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

यहाँ से \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). लेकिन \(BN=CN\) , इसलिए \(AM=MD\) ।

\[(\बड़ा(\पाठ(समद्विबाहु समलम्ब))\]

परिभाषाएं

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसका एक कोण समकोण हो।

एक समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है यदि इसकी भुजाएँ समान हों।

प्रमेय: एक समद्विबाहु समलम्बाकार के गुण

1) एक समद्विबाहु समलम्बाकार में समान आधार कोण होते हैं।

2) समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

3) विकर्णों और आधार से बने दो त्रिभुज समद्विबाहु हैं।

सबूत

1) एक समद्विबाहु समलम्बाकार \(ABCD\) पर विचार करें।

शीर्षों \(B\) और \(C\) से हम क्रमशः \(AD\) लंबों \(BM\) और \(CN\) की ओर जाते हैं। चूंकि \(BM\perp AD\) और \(CN\perp AD\) , तो \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , तो \(MBCN\) एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए \(BM = CN\) ।

समकोण त्रिभुज \(ABM\) और \(CDN\) पर विचार करें। चूँकि उनके बराबर कर्ण हैं और पाद \(BM\) पैर \(CN\) के बराबर है, इसलिए ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं, इसलिए \(\angle DAB = \angle CDA\) ।

2)

इसलिये \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- सामान्य, फिर पहले संकेत पर। इसलिए, \(AC=BD\) ।

3) क्योंकि \(\triangle ABD=\triangle ACD\), फिर \(\angle BDA=\angle CAD\) । इसलिए, त्रिभुज \(\triangle AOD\) समद्विबाहु है। यह इसी तरह सिद्ध किया जा सकता है कि \(\triangle BOC\) समद्विबाहु है।

प्रमेय: एक समद्विबाहु समलम्बाकार के लक्षण

1) यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण बराबर हैं, तो वह समद्विबाहु है।

2) यदि एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं, तो वह समद्विबाहु है।

सबूत

एक समलम्बाकार \(ABCD\) पर विचार करें जैसे कि \(\angle A = \angle D\) ।

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, त्रिभुज \(AED\) के समलंब को पूरा करें। चूँकि \(\angle 1 = \angle 2\) , तो त्रिभुज \(AED\) समद्विबाहु है और \(AE = ED\) । कोण \(1\) और \(3\) समानांतर रेखाओं \(AD\) और \(BC\) और छेदक \(AB\) के संगत के बराबर हैं। इसी तरह, कोण \(2\) और \(4\) बराबर हैं, लेकिन \(\angle 1 = \angle 2\) , तो \(\कोण 3 = \कोण 1 = \कोण 2 = \कोण 4\), इसलिए, त्रिभुज \(BEC\) भी समद्विबाहु है और \(BE = EC\) ।

आखिरकार \(एबी = एई - बीई = डीई - सीई = सीडी\), यानी \(AB = CD\) , जिसे सिद्ध किया जाना था।

2) चलो \(AC=BD\) । इसलिये \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), तो हम उनके समरूपता गुणांक को \(k\) से निरूपित करते हैं। फिर यदि \(BO=x\) , तो \(OD=kx\) । \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) के समान।

इसलिये \(AC=BD\) , फिर \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) । तो \(\triangle AOD\) समद्विबाहु है और \(\angle OAD=\angle ODA\) ।

इस प्रकार, पहले संकेत के अनुसार \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- सामान्य)। तो \(AB=CD\) , इसलिए।

एक समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला है जिसमें पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है। शब्द "ट्रैपेज़" से आया है ग्रीक शब्दα, जिसका अर्थ है "टेबल", "टेबल"। इस लेख में हम समलम्ब के प्रकार और उसके गुणों पर विचार करेंगे। इसके अलावा, हम यह पता लगाएंगे कि इस उदाहरण के अलग-अलग तत्वों की गणना कैसे करें, एक समद्विबाहु समलम्बाकार का विकर्ण, मध्य रेखा, क्षेत्र, आदि। सामग्री को प्राथमिक लोकप्रिय ज्यामिति की शैली में प्रस्तुत किया जाता है, जो कि आसानी से सुलभ है प्रपत्र।

सामान्य जानकारी

सबसे पहले, आइए समझते हैं कि चतुर्भुज क्या है। यह आकृति चार भुजाओं और चार शीर्षों वाले बहुभुज का एक विशेष मामला है। एक चतुर्भुज के दो शीर्ष जो आसन्न नहीं हैं, विपरीत कहलाते हैं। दो गैर-आसन्न पक्षों के बारे में भी यही कहा जा सकता है। चतुर्भुज के मुख्य प्रकार समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग, समलम्बाकार और डेल्टॉइड हैं।

तो, ट्रेपेज़ पर वापस। जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, इस आकृति की दो भुजाएँ समानांतर हैं। उन्हें आधार कहा जाता है। अन्य दो (गैर-समानांतर) पक्ष हैं। परीक्षा सामग्री और विभिन्न में नियंत्रण कार्यबहुत बार आप ट्रेपेज़ॉइड से संबंधित कार्यों को पूरा कर सकते हैं, जिसके समाधान के लिए अक्सर छात्र को ज्ञान की आवश्यकता होती है जो कार्यक्रम द्वारा प्रदान नहीं किया जाता है। स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम छात्रों को कोणों और विकर्णों के गुणों के साथ-साथ एक समद्विबाहु समलंब की मध्य रेखा से परिचित कराता है। लेकिन आखिरकार, इसके अलावा, उल्लिखित ज्यामितीय आकृति में अन्य विशेषताएं हैं। लेकिन उनके बारे में बाद में...

ट्रेपोजॉइड के प्रकार

यह आकृति कई प्रकार की होती है। हालांकि, अक्सर उनमें से दो पर विचार करने की प्रथा है - समद्विबाहु और आयताकार।

1. आयताकार समलम्ब- यह एक ऐसी आकृति है जिसमें एक भुजा आधारों के लंबवत होती है। इसके दो कोण होते हैं जो हमेशा नब्बे डिग्री के होते हैं।

2. एक समद्विबाहु समलम्ब एक ज्यामितीय आकृति है जिसकी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं। इसका मतलब यह है कि आधारों पर कोण भी जोड़ीदार बराबर होते हैं।

एक ट्रेपोजॉइड के गुणों के अध्ययन के लिए कार्यप्रणाली के मुख्य सिद्धांत

मुख्य सिद्धांत तथाकथित कार्य दृष्टिकोण का उपयोग है। अनिवार्य रूप से, टाइप करने की कोई आवश्यकता नहीं है सैद्धांतिक पाठ्यक्रमइस आकृति के नए गुणों की ज्यामिति। उन्हें हल करने की प्रक्रिया में खोजा और तैयार किया जा सकता है विभिन्न कार्य(सिस्टम से बेहतर)। साथ ही, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि शिक्षक यह जानता है कि छात्रों के लिए एक समय या किसी अन्य शैक्षिक प्रक्रिया में किन कार्यों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, ट्रेपोजॉइड की प्रत्येक संपत्ति को कार्य प्रणाली में एक महत्वपूर्ण कार्य के रूप में दर्शाया जा सकता है।

दूसरा सिद्धांत ट्रेपेज़ियम के "उल्लेखनीय" गुणों के अध्ययन के तथाकथित सर्पिल संगठन है। इसका तात्पर्य सीखने की प्रक्रिया में किसी दिए गए की व्यक्तिगत विशेषताओं की वापसी है ज्यामितीय आकृति. इस प्रकार, छात्रों के लिए उन्हें याद करना आसान होता है। उदाहरण के लिए, चार बिंदुओं की संपत्ति। इसे समानता के अध्ययन और बाद में सदिशों की सहायता से सिद्ध किया जा सकता है। और आकृति की भुजाओं से सटे त्रिभुजों के समान क्षेत्रफल को न केवल समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के गुणों को समान सीधी रेखा पर स्थित भुजाओं पर लागू करके सिद्ध किया जा सकता है, बल्कि सूत्र S= 1/ का उपयोग करके भी सिद्ध किया जा सकता है। 2(ab*sinα). इसके अलावा, आप एक उत्कीर्ण समलम्बाकार या एक परिबद्ध समलंब पर एक समकोण त्रिभुज आदि पर काम कर सकते हैं।

एक स्कूल पाठ्यक्रम की सामग्री में एक ज्यामितीय आकृति की "आउट-ऑफ-प्रोग्राम" सुविधाओं का उपयोग उन्हें पढ़ाने के लिए एक कार्य तकनीक है। अन्य विषयों से गुजरते समय अध्ययन किए गए गुणों के लिए निरंतर अपील छात्रों को ट्रेपोजॉइड का गहरा ज्ञान प्राप्त करने की अनुमति देती है और कार्यों को हल करने की सफलता सुनिश्चित करती है। तो चलिए शुरू करते हैं इस अद्भुत आकृति का अध्ययन।

समद्विबाहु समलम्बाकार के तत्व और गुण

जैसा कि हम पहले ही नोट कर चुके हैं, इस ज्यामितीय आकृति की भुजाएँ बराबर हैं। इसे सही ट्रेपोजॉइड के रूप में भी जाना जाता है। यह इतना उल्लेखनीय क्यों है और इसे ऐसा नाम क्यों मिला? इस आकृति की विशेषताओं में यह तथ्य शामिल है कि न केवल आधारों पर भुजाएँ और कोने समान हैं, बल्कि विकर्ण भी हैं। साथ ही, एक समद्विबाहु समलंब के कोणों का योग 360 डिग्री होता है। लेकिन वह सब नहीं है! सभी ज्ञात समलम्बाकारों में से केवल एक समद्विबाहु के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि इस आकृति के विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री है, और केवल इस शर्त के तहत चतुर्भुज के चारों ओर एक चक्र का वर्णन किया जा सकता है। विचाराधीन ज्यामितीय आकृति की अगली संपत्ति यह है कि आधार शीर्ष से विपरीत शीर्ष के उस सीधी रेखा पर प्रक्षेपण की दूरी जिसमें यह आधार शामिल है, मध्य रेखा के बराबर होगी।

अब आइए जानें कि समद्विबाहु समलम्बाकार के कोण कैसे ज्ञात करें। इस समस्या के समाधान पर विचार करें, बशर्ते कि आकृति के पक्षों के आयाम ज्ञात हों।

समाधान

आमतौर पर, एक चतुर्भुज को आमतौर पर ए, बी, सी, डी अक्षरों से दर्शाया जाता है, जहां बीएस और एडी आधार होते हैं। एक समद्विबाहु समलम्ब में भुजाएँ बराबर होती हैं। हम मानेंगे कि उनका आकार X है, और आधारों का आकार Y और Z (क्रमशः छोटा और बड़ा) है। गणना करने के लिए, कोण B से ऊँचाई H खींचना आवश्यक है। परिणाम एक समकोण त्रिभुज ABN है, जहाँ AB कर्ण है, और BN और AN पैर हैं। हम पैर AN के आकार की गणना करते हैं: हम छोटे को बड़े आधार से घटाते हैं, और परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं। हम इसे एक सूत्र के रूप में लिखते हैं: (Z-Y) / 2 \u003d F। अब, गणना करने के लिए त्रिभुज का न्यून कोण, हम cos फलन का उपयोग करते हैं। हमें निम्नलिखित रिकॉर्ड मिलते हैं: cos(β) = /F। अब हम कोण की गणना करते हैं: β=arcos (Х/F)। इसके अलावा, एक कोण को जानकर, हम दूसरे को निर्धारित कर सकते हैं, इसके लिए हम एक प्राथमिक अंकगणितीय ऑपरेशन करते हैं: 180 - β। सभी कोण परिभाषित हैं।

इस समस्या का दूसरा समाधान भी है। शुरुआत में, हम कोने बी से ऊंचाई एच कम करते हैं। हम बीएन पैर के मूल्य की गणना करते हैं। हम जानते हैं कि कर्ण का वर्ग सही त्रिकोणपैरों के वर्गों के योग के बराबर है। हमें मिलता है: बीएन \u003d (एक्स 2-एफ 2)। अगला, हम उपयोग करते हैं त्रिकोणमितीय फलनटीजी नतीजतन, हमारे पास है: β = arctg (बीएन / एफ)। तेज़ कोनेमिल गया। अगला, हम उसी तरह निर्धारित करते हैं जैसे पहली विधि।

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का गुण

आइए पहले चार नियम लिख लें। यदि एक समद्विबाहु समलम्ब में विकर्ण लंबवत हैं, तो:

आकृति की ऊंचाई दो से विभाजित आधारों के योग के बराबर होगी;

इसकी ऊंचाई और मध्य रेखा बराबर हैं;

वृत्त का केंद्र वह बिंदु है जहां ;

यदि पार्श्व पक्ष को संपर्क बिंदु द्वारा खंडों एच और एम में विभाजित किया जाता है, तो यह बराबर है वर्गमूलइन खंडों के उत्पाद;

चतुर्भुज, जो स्पर्शरेखा बिंदुओं द्वारा बनाया गया था, ट्रेपेज़ॉइड का शीर्ष और खुदे हुए वृत्त का केंद्र, एक वर्ग है जिसकी भुजा त्रिज्या के बराबर है;

एक आकृति का क्षेत्रफल आधारों के गुणनफल और आधारों के योग और उसकी ऊँचाई के आधे के गुणनफल के बराबर होता है।

समान समलम्ब

इस विषय के गुणों का अध्ययन करने के लिए यह विषय बहुत सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, विकर्ण समलंब चतुर्भुज को चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, और जो आधारों से सटे होते हैं वे समान होते हैं, और भुजाओं के बराबर होते हैं। इस कथन को त्रिभुजों का एक गुण कहा जा सकता है जिसमें समलम्ब चतुर्भुज को उसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया जाता है। इस कथन का पहला भाग दो कोणों में समानता की कसौटी से सिद्ध होता है। दूसरे भाग को सिद्ध करने के लिए, नीचे दी गई विधि का उपयोग करना बेहतर है।

प्रमेय का प्रमाण

हम स्वीकार करते हैं कि आकृति ABSD (AD और BS - ट्रेपेज़ॉइड के आधार) को विकर्ण VD और AC से विभाजित किया गया है। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ओ है। हमें चार त्रिकोण मिलते हैं: एओएस - निचले आधार पर, बीओएस - ऊपरी आधार पर, एबीओ और एसओडी पक्षों पर। यदि खंड BO और OD उनके आधार हैं, तो त्रिभुज SOD और BOS की ऊँचाई समान होती है। हम पाते हैं कि उनके क्षेत्रों (पी) के बीच का अंतर इन खंडों के बीच के अंतर के बराबर है: पीबीओएस / पीएसओडी = बीओ / ओडी = के। इसलिए, पीएसओडी = पीबीओएस / के। इसी तरह, BOS और AOB त्रिभुजों की ऊँचाई समान होती है। हम खंड CO और OA को उनके आधार के रूप में लेते हैं। हमें PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K और PAOB \u003d PBOS / K मिलता है। इससे यह पता चलता है कि PSOD = PAOB।

सामग्री को समेकित करने के लिए, छात्रों को सलाह दी जाती है कि वे परिणामी त्रिभुजों के क्षेत्रों के बीच एक संबंध खोजें, जिसमें निम्नलिखित समस्या को हल करके समलम्ब चतुर्भुज को इसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया जाता है। यह ज्ञात है कि त्रिभुज BOS और AOD के क्षेत्रफल समान हैं, समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है। चूंकि PSOD \u003d PAOB, इसका अर्थ है कि PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD। त्रिभुज BOS और AOD की समानता से यह निम्नानुसार है कि BO / OD = (PBOS / PAOD)। इसलिए, PBOS/PSOD = BO/OD = (PBOS/PAOD)। हमें PSOD = (PBOS * PAOD) मिलता है। तब PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2।

समानता गुण

इस विषय को विकसित करना जारी रखते हुए, हम अन्य साबित कर सकते हैं दिलचस्प विशेषताएंसमलंब. तो, समानता का उपयोग करके, आप एक खंड की संपत्ति को साबित कर सकते हैं जो आधारों के समानांतर इस ज्यामितीय आकृति के विकर्णों के चौराहे द्वारा गठित एक बिंदु से गुजरता है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित समस्या को हल करते हैं: खंड RK की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है, जो बिंदु O से होकर गुजरता है। त्रिभुज AOD और BOS की समानता से, यह इस प्रकार है कि AO/OS=AD/BS। त्रिभुज AOP और ASB की समानता से, यह इस प्रकार है कि AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD)। यहां से हमें वह आरओ \u003d बीएस * एडी / (बीएस + एडी) मिलता है। इसी प्रकार, त्रिभुज DOK और DBS की समानता से, यह इस प्रकार है कि OK \u003d BS * AD / (BS + AD)। यहाँ से हमें RO=OK और RK=2*BS*AD/(BS+AD) मिलता है। उस बिंदु से गुजरने वाला रेखा खंड जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं आधारों के समानांतरऔर दोनों पक्षों को जोड़ने वाला, प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होता है। इसकी लंबाई आकृति के आधारों का हार्मोनिक माध्य है।

एक समलम्ब चतुर्भुज के निम्नलिखित गुण पर विचार कीजिए, जिसे चार बिन्दुओं का गुण कहते हैं। विकर्णों (ओ) के चौराहे बिंदु, पक्षों (ई) की निरंतरता के चौराहे, साथ ही साथ आधारों (टी और डब्ल्यू) के मध्य बिंदु हमेशा एक ही रेखा पर स्थित होते हैं। यह समानता विधि से आसानी से सिद्ध हो जाता है। परिणामी त्रिभुज BES और AED समान हैं, और उनमें से प्रत्येक में माध्यिकाएँ ET और EZH शीर्ष E पर कोण को बराबर भागों में विभाजित करते हैं। इसलिए, बिंदु E, T और W एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। इसी तरह, बिंदु T, O और G एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। यह सब त्रिभुज BOS और AOD की समानता से होता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार बिंदु - E, T, O और W - एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे।

समान समलम्ब चतुर्भुजों का उपयोग करते हुए, छात्रों को उस खंड (एलएफ) की लंबाई खोजने के लिए कहा जा सकता है जो आकृति को दो समान भागों में विभाजित करता है। यह खंड आधारों के समानांतर होना चाहिए। चूंकि परिणामी समलम्बाकार ALFD और LBSF समान हैं, तो BS/LF=LF/AD। यह इस प्रकार है कि एलएफ = √ (बीएस * बीपी)। हम पाते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज को दो समान भागों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई आकृति के आधारों की लंबाई के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है।

निम्नलिखित समानता संपत्ति पर विचार करें। यह एक खंड पर आधारित है जो समलम्ब को दो समान आकार के आंकड़ों में विभाजित करता है। हम स्वीकार करते हैं कि समलम्बाकार ABSD को खंड EN द्वारा दो समान भागों में विभाजित किया गया है। शीर्ष बी से, ऊंचाई छोड़ी जाती है, जिसे खंड ईएच द्वारा दो भागों - बी 1 और बी 2 में विभाजित किया जाता है। हमें मिलता है: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 और PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. इसके बाद, हम एक ऐसी प्रणाली की रचना करते हैं जिसका पहला समीकरण (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 और दूसरा (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / है। 2. यह इस प्रकार है कि B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) और BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1)। हम पाते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई आधारों की लंबाई के माध्य वर्ग के बराबर होती है: ((BS2 + AD2) / 2)।

समानता अनुमान

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि:

1. समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड AD और BS के समानांतर है और BS और AD के अंकगणितीय माध्य (समलंब के आधार की लंबाई) के बराबर है।

2. AD और BS के समांतर विकर्णों के प्रतिच्छेदन के बिंदु O से गुजरने वाली रेखा संख्याओं AD और BS (2 * BS * AD / (BS + AD)) के हार्मोनिक माध्य के बराबर होगी।

3. समलम्ब चतुर्भुज को समान भागों में विभाजित करने वाले खंड में बीएस और एडी के आधारों के ज्यामितीय माध्य की लंबाई होती है।

4. एक तत्व जो किसी आकृति को दो बराबर भागों में विभाजित करता है उसकी माध्य वर्ग संख्या AD और BS की लंबाई होती है।

सामग्री को समेकित करने और विचार किए गए खंडों के बीच संबंध को समझने के लिए, छात्र को उन्हें एक विशिष्ट समलम्बाकार के लिए बनाने की आवश्यकता है। वह आसानी से मध्य रेखा और उस खंड को प्रदर्शित कर सकता है जो बिंदु O से होकर गुजरता है - आकृति के विकर्णों का प्रतिच्छेदन - आधारों के समानांतर। लेकिन तीसरा और चौथा कहां होगा? यह उत्तर छात्र को औसत के बीच वांछित संबंध की खोज की ओर ले जाएगा।

एक रेखाखंड जो एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिन्दुओं को मिलाता है

इस आकृति की निम्नलिखित संपत्ति पर विचार करें। हम स्वीकार करते हैं कि खंड MH आधारों के समानांतर है और विकर्णों को समद्विभाजित करता है। आइए प्रतिच्छेदन बिंदुओं को W और W कहते हैं। यह खंड आधारों के आधे-अंतर के बराबर होगा। आइए इसका अधिक विस्तार से विश्लेषण करें। MSH - त्रिभुज ABS की मध्य रेखा, यह BS/2 के बराबर होती है। MS - त्रिभुज ABD की मध्य रेखा, AD/2 के बराबर होती है। तब हम पाते हैं कि ShShch = Mshch-MSh, इसलिए Sshch = AD/2-BS/2 = (AD + VS)/2.

ग्रैविटी केंद्र

आइए देखें कि किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के लिए यह तत्व कैसे निर्धारित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आधारों को विपरीत दिशाओं में विस्तारित करना आवश्यक है। इसका क्या मतलब है? निचले आधार को ऊपरी आधार से जोड़ना आवश्यक है - किसी भी पक्ष में, उदाहरण के लिए, दाईं ओर। और नीचे को ऊपर की लंबाई से बाईं ओर बढ़ाया जाता है। अगला, हम उन्हें एक विकर्ण के साथ जोड़ते हैं। आकृति की मध्य रेखा के साथ इस खंड का प्रतिच्छेदन बिंदु समलम्ब चतुर्भुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।

उत्कीर्ण और परिचालित ट्रेपेज़ॉइड

आइए ऐसे आंकड़ों की विशेषताओं को सूचीबद्ध करें:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज को केवल एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है यदि वह समद्विबाहु है।

2. एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है, बशर्ते कि उनके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

अंकित वृत्त के परिणाम:

1. वर्णित समलंब की ऊंचाई हमेशा दो त्रिज्या के बराबर होती है।

2. वर्णित समलम्बाकार का पार्श्व पक्ष वृत्त के केंद्र से समकोण पर देखा जाता है।

पहला परिणाम स्पष्ट है, और दूसरे को साबित करने के लिए यह स्थापित करना आवश्यक है कि एसओडी कोण सही है, जो वास्तव में भी मुश्किल नहीं होगा। लेकिन ज्ञान दी गई संपत्तिसमस्याओं को हल करते समय आपको एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करने की अनुमति देता है।

अब हम इन परिणामों को एक समद्विबाहु समलम्बाकार के लिए निर्दिष्ट करते हैं, जो एक वृत्त में अंकित है। हम पाते हैं कि ऊँचाई आकृति के आधारों का ज्यामितीय माध्य है: H=2R=√(BS*AD)। समलम्बाकार (दो ऊंचाइयों को खींचने का सिद्धांत) के लिए समस्याओं को हल करने के लिए मुख्य तकनीक का अभ्यास करते हुए, छात्र को निम्नलिखित कार्य को हल करना होगा। हम स्वीकार करते हैं कि BT समद्विबाहु आकृति ABSD की ऊँचाई है। एटी और टीडी खंडों को खोजना आवश्यक है। ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करना, यह करना कठिन नहीं होगा।

अब आइए जानें कि परिचालित ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र का उपयोग करके एक वृत्त की त्रिज्या कैसे निर्धारित की जाए। हम ऊंचाई को शीर्ष B से आधार AD तक कम करते हैं। चूँकि वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है, तो BS + AD \u003d 2AB या AB \u003d (BS + AD) / 2। त्रिभुज ABN से हम sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD) पाते हैं। पीएबीएसडी \u003d (बीएस + एडी) * बीएन / 2, बीएन \u003d 2R। हमें PABSD \u003d (BS + HELL) * R मिलता है, यह इस प्रकार है कि R \u003d PABSD / (BS + HELL)।

एक समलम्ब की मध्य रेखा के सभी सूत्र

अब इस ज्यामितीय आकृति के अंतिम तत्व पर जाने का समय आ गया है। आइए जानें कि समलम्बाकार (M) की मध्य रेखा किसके बराबर है:

1. आधारों के माध्यम से: एम \u003d (ए + बी) / 2।

2. ऊंचाई, आधार और कोणों के माध्यम से:

एम \u003d ए-एच * (ctgα + ctgβ) / 2;

एम \u003d बी + एच * (ctgα + ctgβ) / 2।

3. ऊंचाई, विकर्णों और उनके बीच के कोण के माध्यम से। उदाहरण के लिए, D1 और D2 एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण हैं; α, β - उनके बीच के कोण:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से: एम = पी / एन।