आधार, हमें खंड CE मिलता है, ट्रेपेज़ॉइड दो में विभाजित होता है - आयत ABCE और समकोण त्रिभुज ECD। कर्ण पार्श्व पक्ष है जिसे हम जानते हैं ट्रापेज़सीडी, पैरों में से एक लंबवत पक्ष के बराबर है ट्रापेज़(आयत नियम के अनुसार, दो समानांतर भुजाएँ बराबर हैं - AB = CE), और दूसरा एक खंड है जिसके आधारों की लंबाई है ट्रापेज़ईडी = एडी-बीसी।

त्रिभुज की टाँगें खोजें: मौजूदा सूत्रों का उपयोग करके CE = CD*sin(ADC) और ED = CD*cos(ADC)। अब ऊपरी आधार की गणना करें - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = ए - डी * कॉस (अल्फा)। लंबवत पक्ष की लंबाई ज्ञात करें - एबी \u003d सीई \u003d डी * पाप (अल्फा)। तो, आपको आयताकार के सभी पक्षों की लंबाई मिल गई ट्रापेज़.

परिणामी मान जोड़ें, यह एक आयताकार का परिमाप होगा ट्रापेज़:P = AB + BC + CD + AD = d*sin(Alpha) + (a - d*cos(Alpha)) + d + a = 2*a + d*(sin(Alpha) - cos(Alpha) + एक)।

कार्य 3. एक आयताकार का परिमाप ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि इसके आधारों की लंबाई ज्ञात हो AD = a, BC = c, लंबवत पार्श्व भुजा की लंबाई AB = b और तेज़ कोनेदूसरी भुजा के साथ ADC = Alpha। हल। एक लंबवत CE ड्रा करें, एक आयत ABCE और एक त्रिभुज CED प्राप्त करें। अब त्रिभुज CD = AB / sin (ADC) = b / sin (Alpha) के कर्ण की लंबाई ज्ञात करें। तो, आपको सभी पक्षों की लंबाई मिल गई।

परिणामी मानों को जोड़ें: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

हम में से प्रत्येक ने सीखा कि प्राथमिक ग्रेड में परिधि क्या है। एक वर्ग के पक्षों का पता लगाना ज्ञात परिधिसमस्याएँ आमतौर पर उन लोगों के लिए भी उत्पन्न नहीं होती हैं जिन्होंने बहुत समय पहले स्कूल से स्नातक की उपाधि प्राप्त की और गणित के पाठ्यक्रम को भूल गए। हालांकि, हर कोई बिना संकेत के एक आयत या समकोण त्रिभुज के संबंध में एक समान समस्या को हल करने में सफल नहीं होता है।

अनुदेश

आइए मान लें कि एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a, b और c हैं, जिसमें से एक कोण 30 है और दूसरा 60 है। यह आंकड़ा दर्शाता है कि a = c*sin?, and b = c*cos?. यह जानते हुए कि किसी भी आकृति का परिमाप, में और एक त्रिभुज, योग के बराबर हैइसकी सभी भुजाएँ, हम प्राप्त करते हैं: a + b + c = c * sin ? + c * cos + c = p इस व्यंजक से आप अज्ञात भुजा c ज्ञात कर सकते हैं, जो त्रिभुज का कर्ण है। तो कोण कैसा है? = 30, परिवर्तन के बाद हमें मिलता है: p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक आयत का विकर्ण इसे 30 और 60 डिग्री के कोणों के साथ दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। चूँकि p=2(a + b), चौड़ाईएक और लंबाई b आयत इस तथ्य के आधार पर पाया जा सकता है कि विकर्ण समकोण त्रिभुज का कर्ण है: a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2ये दो आयत समीकरण हैं। इस आयत की लंबाई और चौड़ाई की गणना उनसे की जाती है, इसके विकर्ण को खींचते समय परिणामी कोणों को ध्यान में रखते हुए।

संबंधित वीडियो

टिप्पणी

यदि आप परिधि और चौड़ाई जानते हैं तो आयत की लंबाई कैसे ज्ञात करें? लंबाई की दुगुनी पाने के लिए परिमाप से दुगनी चौड़ाई घटाएं। फिर हम लंबाई ज्ञात करने के लिए इसे आधे में विभाजित करते हैं।

उपयोगी सलाह

से अधिक प्राथमिक स्कूलबहुत से लोग याद करते हैं कि किसी की परिधि का पता कैसे लगाया जाता है ज्यामितीय आकृति: बस इसकी सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए और उनका योग ज्ञात कीजिए। यह ज्ञात है कि एक आयत जैसी आकृति में, पक्षों की लंबाई जोड़े में बराबर होती है। यदि किसी आयत की चौड़ाई और ऊँचाई समान लंबाई की हो तो उसे वर्ग कहते हैं। आम तौर पर, आयत की लंबाई को पक्षों में सबसे बड़ा कहा जाता है, और चौड़ाई सबसे छोटी होती है।

स्रोत:

• 2019 में परिधि की चौड़ाई क्या है

परिमाप(पी) - आकृति के सभी पक्षों की लंबाई का योग, और चतुर्भुज में उनमें से चार हैं। तो, एक चतुर्भुज की परिधि को खोजने के लिए, आपको बस इसकी सभी भुजाओं की लंबाई जोड़ने की आवश्यकता है। लेकिन एक आयत, एक वर्ग, एक समचतुर्भुज, यानी नियमित चतुर्भुज जैसी आकृतियों को जाना जाता है। उनकी परिधि विशेष तरीकों से निर्धारित की जाती है।

अनुदेश

यदि दिया गया एक आयत (या समांतर चतुर्भुज) ABCD है, तो इसके निम्नलिखित गुण हैं: समांतर भुजाएँ जोड़ीदार समान हैं (देखें)। एबी = एसडी और एसी = वीडी। इस आकृति में भुजाओं के अनुपात को जानकर, हम व्युत्पन्न कर सकते हैं आयत(और समांतर चतुर्भुज): पी \u003d एबी + एसडी + एसी + वीडी। मान लीजिए कि कुछ भुजाएँ संख्या a के बराबर हैं, दूसरी संख्या b के बराबर है, फिर P \u003d a + a + b + b \u003d 2 * a \u003d 2 * b \u003d 2 * (a + c)। उदाहरण 1. ABCD में, भुजाएँ AB = CD = 7 सेमी और AC = VD = 3 सेमी के बराबर हैं। ऐसे आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए। समाधान: पी \u003d 2 * (ए + सी)। पी \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 सेमी।

एक वर्ग या एक समचतुर्भुज नामक आकृति के साथ भुजाओं की लंबाई के योग के लिए समस्याओं को हल करते समय, थोड़ा संशोधित परिधि सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए। एक वर्ग और एक समचतुर्भुज ऐसी आकृतियाँ हैं जिनकी चार भुजाएँ समान हैं। परिधि की परिभाषा के आधार पर, P \u003d AB + SD + AC + VD और अक्षर a के साथ लंबाई मानते हुए, फिर P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a। उदाहरण 2. 2 सेमी भुजा वाला एक समचतुर्भुज उसका परिमाप ज्ञात कीजिए। हल: 4*2 सेमी = 8 सेमी।

यदि दिया गया चतुर्भुज एक समलम्ब है, तो इस स्थिति में आपको केवल इसकी चारों भुजाओं की लंबाई जोड़ने की आवश्यकता है। पी \u003d एबी + एसडी + एसी + वीडी। उदाहरण 3. ABCD ज्ञात कीजिए यदि इसकी भुजाएँ समान हैं: AB = 1 सेमी, SD = 3 सेमी, AC = 4 सेमी, ID = 2 सेमी। हल: P = AB + SD + AC + ID = 1 सेमी + 3 सेमी + 4 सेमी + 2 सेमी = 10 सेमी। ऐसा हो सकता है कि यह समबाहु निकला हो (इसकी दो भुजाएँ बराबर हों), फिर इसकी परिधि को सूत्र में घटाया जा सकता है: P \u003d AB + SD + AC + VD \u003d a + बी + ए + सी \u003d 2 * ए + बी + एस। उदाहरण 4. एक समद्विबाहु का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि उसके पार्श्व फलक 4 सेमी और आधार 2 सेमी और 6 सेमी हैं। हल: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 सेमी + 2 सेमी + 6 सेमी \u003d 16 सेमी।

संबंधित वीडियो

उपयोगी सलाह

व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग किए बिना, कोई भी चतुर्भुज (और कोई अन्य आकृति) की परिधि को पक्षों की लंबाई के योग के रूप में खोजने की जहमत नहीं उठाता। वे सुविधा और गणना में आसानी के लिए दिए गए हैं। समाधान विधि कोई गलती नहीं है, सही उत्तर और गणितीय शब्दावली का ज्ञान महत्वपूर्ण है।

स्रोत:

• एक आयत का परिमाप कैसे ज्ञात करें

चार कोनों वाली एक गणितीय आकृति को समलंब चतुर्भुज कहा जाता है यदि इसके विपरीत पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है और दूसरी जोड़ी नहीं होती है। समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं मैदान ट्रापेज़, अन्य दो पार्श्व हैं। एक आयताकार में ट्रापेज़पार्श्व पक्ष में कोनों में से एक सीधा है।

अनुदेश

कार्य 1. BC और AD के आधार ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि लंबाई AC = f ज्ञात है; भुजा की लंबाई CD = c और उसका कोण ADC = α हल: एक आयताकार CED पर विचार करें। कर्ण c और कर्ण और टांग EDC के बीच के कोण को जाना जाता है। CE और ED की लंबाई ज्ञात कीजिए: कोण सूत्र CE = CD*sin(ADC) का उपयोग करके; ईडी = सीडी * कॉस (एडीसी)। तो: सीई = सी * sinα; ED=c*cosα.

समकोण त्रिभुज ACE पर विचार करें। आप कर्ण एसी और सीई जानते हैं, नियम के अनुसार पक्ष एई खोजें: पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। तो: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα। समीकरण के दाईं ओर के वर्गमूल की गणना करें। आपको शीर्ष आयताकार मिला ट्रापेज़.

आधार AD की लंबाई दो खंडों AE और ED की लंबाई का योग है। AE = वर्गमूल(f(2) - c*sinα); ED = c*cosα)।तो: AD = वर्गमूल(f(2) - c*sinα) + c*cosα। आपने आयताकार का निचला आधार पाया है ट्रापेज़.

कार्य 2. एक आयताकार के आधार BC और AD ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि विकर्ण की लंबाई ज्ञात हो BD = f; भुजा की लंबाई CD = c और उसका कोण ADC = α हल: एक समकोण त्रिभुज CED पर विचार करें। CE और ED भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα.

आयत ABCE पर विचार करें। गुण से AB = CE = c*sinα। एक समकोण त्रिभुज ABD पर विचार करें। एक समकोण त्रिभुज की संपत्ति के अनुसार, कर्ण का वर्ग गणना कुछ हद तक लंबी होगी यदि पक्षों में से एक की गणना करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, हम लंबे आधार, उससे लगे कोणों और ऊंचाई को जानते हैं। आपको लघु आधार और पक्ष की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD खीचें, ऊपरी कोने B से ऊँचाई BE खींचे। आपको एक त्रिभुज ABE मिलेगा। आप कोण A को जानते हैं, क्रमशः, आप इसकी ज्या जानते हैं। समस्या डेटा में ऊंचाई BE भी शामिल है, जो आपके ज्ञात कोण के विपरीत एक समकोण त्रिभुज का पैर भी है। कर्ण AB को ज्ञात करने के लिए, जो समलम्ब चतुर्भुज की भुजा भी है, BE को sinA से भाग देने के लिए पर्याप्त है। इसी प्रकार दूसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, आपको दूसरे ऊपरी कोने, यानी CF से ऊँचाई खींचनी होगी।

अब आप बड़े आधार और भुजाओं को जानते हैं। परिधि की गणना करने के लिए यह पर्याप्त नहीं है, आपको छोटे आधार के आकार की भी आवश्यकता है। तदनुसार, समलम्ब चतुर्भुज के अंदर बने दो त्रिभुजों में, AE और DF खंडों के आकार ज्ञात करना आवश्यक है। यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कोण ए और डी के माध्यम से जो आपको ज्ञात हैं। कोसाइन आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है। पैर को खोजने के लिए, आपको कर्ण को कोसाइन से गुणा करना होगा। इसके बाद, पहले चरण के समान सूत्र का उपयोग करके परिधि की गणना करें, अर्थात सभी पक्षों को जोड़ना।

एक अन्य विकल्प: दो आधार दिए गए हैं, एक ऊँचाई और एक भुजा, आपको दूसरी भुजा खोजने की आवश्यकता है। इसका उपयोग करके भी बेहतर किया जाता है त्रिकोणमितीय फलन. ऐसा करने के लिए, एक ट्रेपोजॉइड बनाएं। मान लीजिए कि आप आधार AD और BC, साथ ही भुजा AB और ऊँचाई BF जानते हैं। इस डेटा से आप कोण ए (साइन के माध्यम से, यानी ऊंचाई और का अनुपात) का पता लगा सकते हैं ज्ञात पार्टी), खंड AF (या स्पर्शरेखा, क्योंकि आप पहले से ही कोण जानते हैं। गुणों को भी याद रखें - एक तरफ के कोणों का योग 180 ° है।

सीएफ ऊंचाई स्वाइप करें। आपके पास एक और समकोण त्रिभुज है जहाँ आपको कर्ण CD DF ज्ञात करने की आवश्यकता है। कैथेटर से शुरू करें। निचले आधार की लंबाई से ऊपरी एक की लंबाई घटाएं, और प्राप्त परिणाम से - खंड AF की लंबाई जिसे आप पहले से ही जानते हैं। अभी इसमें सही त्रिकोणसीएफडी आप दो पैरों को जानते हैं, यानी आप कोण डी की स्पर्शरेखा पा सकते हैं, और इससे - कोण ही। उसके बाद, यह उसी कोण की साइन के माध्यम से सीडी पक्ष की गणना करने के लिए बनी हुई है, जैसा कि पहले ही ऊपर वर्णित है।

संबंधित वीडियो

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो समानांतर आधारऔर गैर-समानांतर पक्ष। एक आयताकार ट्रेपोजॉइड में एक तरफ एक समकोण होता है।

अनुदेश

1. परिमापआयताकार ट्रापेज़ 2 आधारों और 2 भुजाओं की भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर। कार्य 1. एक आयताकार का परिमाप ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि इसकी सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। ऐसा करने के लिए, सभी चार मान जोड़ें: पी (परिधि) = ए + बी + सी + डी। यह परिधि को खोजने का सबसे आदिम संस्करण है, अंतिम आउटपुट में अन्य प्रारंभिक डेटा के साथ कार्य, इसे कम कर दिया जाता है। आइए विकल्पों को देखें।

2. कार्य 2. एक आयताकार का परिमाप ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि निचला आधार AD \u003d a ज्ञात है, तो पार्श्व पक्ष इसके लंबवत नहीं है CD \u003d d, और इस तरफ का कोण ADC है। समाधान। ऊंचाई ड्रा करें ट्रापेज़शीर्ष C से एक बड़े आधार तक, हमें खंड CE मिलता है, ट्रेपेज़ॉइड को दो आकृतियों में विभाजित किया जाता है - आयत ABCE और समकोण त्रिभुज ECD। त्रिभुज का कर्ण वह पार्श्व भुजा है जिसे हम जानते हैं ट्रापेज़सीडी, पैरों में से एक लंबवत पक्ष के बराबर है ट्रापेज़(आयत नियम के अनुसार, दो समानांतर भुजाएँ समान हैं - AB \u003d CE), और दूसरा एक खंड है जिसकी लंबाई आधारों के अंतर के बराबर है ट्रापेज़ईडी = एडी-बीसी।

3. त्रिभुज की टांगें ज्ञात कीजिए: सूत्र CE = CD*sin(ADC) और ED = CD*cos(ADC) का उपयोग करके। अब ऊपरी आधार की गणना करें - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos (अल्फा)। लंबवत पक्ष की लंबाई ज्ञात करें - AB \u003d CE \u003d d * sin (अल्फा)। यह पता चला है कि आपको आयताकार के सभी पक्षों की लंबाई मिल गई है ट्रापेज़ .

4. परिणामी मान जोड़ें, यह एक आयताकार का परिमाप होगा ट्रापेज़😛 = AB + BC + CD + AD = d*sin(Alpha) + (a - d*cos(Alpha)) + d + a = 2*a + d*(sin(Alpha) - cos(Alpha) + 1 )

5. कार्य 3. एक आयताकार का परिमाप ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, अगर हम इसके आधारों की लंबाई AD \u003d a, BC \u003d c, लंबवत पक्ष AB \u003d b की लंबाई और एक अलग पक्ष ADC \u003d अल्फा के साथ न्यून कोण जानते हैं। समाधान। एक लंबवत सीई ड्रा करें, प्राप्त करें एक आयत ABCE और एक त्रिभुज CED। अब त्रिभुज CD \u003d AB / sin (ADC) \u003d b / sin (अल्फा) के कर्ण की लंबाई ज्ञात करें। यह पता चला है कि आपको सभी पक्षों की लंबाई मिल गई है।

6. परिणामी मानों को जोड़ें: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

हम में से प्रत्येक ने सीखा कि प्राथमिक ग्रेड में परिधि क्या है। ज्ञात परिधि के साथ एक वर्ग की भुजाओं को खोजना आमतौर पर उन लोगों के लिए भी प्रकट नहीं होता है जिन्होंने बहुत समय पहले स्कूल से स्नातक की उपाधि प्राप्त की थी और गणित के पाठ्यक्रम को भूल गए थे। हालांकि, हर कोई एक संकेत के बिना एक आयत या समकोण त्रिभुज के संबंध में एक समान समस्या को हल नहीं कर सकता है।

अनुदेश

1. ज्यामिति में एक समस्या को कैसे हल करें, जिसमें केवल परिधि और कोण दिए गए हों? बेशक, अगर हम एक न्यून त्रिभुज या बहुभुज के बारे में बात कर रहे हैं, तो ऐसी समस्या को हल करना अवास्तविक है, बिना किसी एक पक्ष की लंबाई जानने के। हालांकि, अगर हम एक समकोण त्रिभुज या आयत के बारे में बात कर रहे हैं, तो किसी दिए गए परिधि के साथ इसकी भुजाओं का पता लगाना संभव है। आयत है लंबाईतथा चौड़ाई. यदि हम एक आयत का एक विकर्ण खींचते हैं, तो हम पा सकते हैं कि यह आयत को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। विकर्ण कर्ण है, और लंबाई और चौड़ाई इन त्रिभुजों के पैर हैं। एक वर्ग के लिए, जो एक आयत का एक विशेष मामला है, विकर्ण एक समद्विबाहु त्रिभुज का कर्ण है।

2. कल्पना कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a, b और c हैं, जिसमें से एक कोण 30 है, और दूसरा 60 है। यह आंकड़ा दर्शाता है कि a = c*sin?, और b = c*cos?। यह जानते हुए कि त्रिभुज सहित किसी भी आकृति का परिमाप उसकी सभी भुजाओं के योग के बराबर होता है, हम पाते हैं: a + b + c = c * sin ? + c * cos + c = p त्रिभुज के लिए। क्योंकि कोने? = 30, सुधार के बाद हमें मिलता है: p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

3. जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक आयत का विकर्ण इसे 30 और 60 डिग्री के कोणों वाले दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। क्योंकि आयत का परिमाप p=2(a + b) है, चौड़ाईएक और लंबाई b आयतों का पता इस तथ्य के आधार पर लगाया जा सकता है कि विकर्ण समकोण त्रिभुजों का कर्ण है: a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2ये दो समीकरणों की परिधि के रूप में व्यक्त किए जाते हैं आयत। इस आयत की लंबाई और चौड़ाई की गणना उनसे की जाती है, इसके विकर्ण को खींचते समय परिणामी कोणों को ध्यान में रखते हुए।

संबंधित वीडियो

टिप्पणी!
यदि परिधि और चौड़ाई ज्ञात हो तो आयत की लंबाई कैसे ज्ञात करें? लंबाई की दुगुनी पाने के लिए परिमाप से दुगनी चौड़ाई घटाएं। फिर हम लंबाई ज्ञात करने के लिए इसे आधे में विभाजित करते हैं।

उपयोगी सलाह
मूल स्कूल से भी, कई लोग याद करते हैं कि किसी भी ज्यामितीय आकृति की परिधि कैसे प्राप्त करें: यह इसके सभी पक्षों की लंबाई का पता लगाने और उनका योग खोजने के लिए पर्याप्त है। यह ज्ञात है कि एक आयत जैसी आकृति में, पक्षों की लंबाई जोड़े में बराबर होती है। यदि किसी आयत की चौड़ाई और ऊँचाई समान लंबाई की हो तो उसे वर्ग कहते हैं। आम तौर पर, आयत की लंबाई को पक्षों में सबसे बड़ा कहा जाता है, और चौड़ाई सबसे छोटी होती है।

परिमाप(पी) - आकृति के सभी पक्षों की लंबाई का योग, और चतुर्भुज में उनमें से चार हैं। इसका अर्थ है कि किसी चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए उसकी सभी भुजाओं की लंबाई को सरलता से जोड़ना आवश्यक है। लेकिन हम ऐसी आकृतियों को एक आयत, एक वर्ग, एक समचतुर्भुज, अर्थात् धनात्मक चतुर्भुज के रूप में जानते हैं। उनकी परिधि विशेष विधियों द्वारा निर्धारित की जाती है।

अनुदेश

1. यदि यह आकृति एक आयत (या समांतर चतुर्भुज) ABCD है, तो इसके निम्नलिखित गुण हैं: समानांतर भुजाएँ जोड़ीदार समान हैं (आकृति देखें)। एबी = एसडी और एसी = वीडी। इस आकृति में भुजाओं के ऐसे अनुपात को जानकर, परिमाप ज्ञात करना संभव है आयत(और समांतर चतुर्भुज): पी \u003d एबी + एसडी + एसी + वीडी। मान लीजिए कि कुछ भुजाएँ संख्या a के बराबर हैं, दूसरी संख्या b के बराबर है, फिर P \u003d a + a + b + b \u003d 2 * a \u003d 2 * b \u003d 2 * (a + c)। उदाहरण 1. एक आयत ABCD में, भुजाएँ AB = CD = 7 सेमी और AC = VD = 3 सेमी हैं। ऐसे आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए। समाधान: पी \u003d 2 * (ए + सी)। पी \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 सेमी।

2. एक वर्ग या एक समचतुर्भुज नामक आकृति के साथ भुजाओं की लंबाई के योग के लिए समस्याओं को हल करते समय, आपको थोड़ा संशोधित परिधि सूत्र का उपयोग करना चाहिए। एक वर्ग और एक समचतुर्भुज ऐसी आकृतियाँ हैं जिनकी चार भुजाएँ समान हैं। परिधि की परिभाषा के आधार पर, P \u003d AB + SD + AC + VD और लंबाई को अक्षर a द्वारा निरूपित करने की अनुमति देता है, फिर P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a। उदाहरण 2. एक समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई 2 सेमी है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए। हल: 4*2 सेमी = 8 सेमी।

3. यदि दिया गया चतुर्भुज एक समलंब चतुर्भुज है, तो इस स्थिति में इसकी चारों भुजाओं की लंबाई को जोड़ना आसान है। पी \u003d एबी + एसडी + एसी + वीडी। उदाहरण 3. समलम्ब चतुर्भुज ABCD का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि इसकी भुजाएँ समान हैं: AB = 1 सेमी, SD = 3 सेमी, AC = 4 सेमी, ID = 2 सेमी। हल: P = AB + CD + AC + ID = 1 सेमी + 3 सेमी + 4 सेमी + 2 सेमी = 10 सेमी। ऐसा हो सकता है कि समलम्ब चतुर्भुज समबाहु है (इसकी दो भुजाएँ समान हैं), तो इसकी परिधि को सूत्र में घटाया जा सकता है: P \u003d AB + SD + AC + VD \ u003d ए + बी + ए + सी \u003d 2 * ए + सी + सी। उदाहरण 4. एक समद्विबाहु समलम्ब का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि उसके पार्श्व फलक 4 सेमी और आधार 2 सेमी और 6 सेमी हैं। हल: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 सेमी + 2 सेमी + 6 सेमी \u003d 16 सेमी।

संबंधित वीडियो

उपयोगी सलाह
व्युत्पन्न सूत्रों को लागू किए बिना, कोई भी चतुर्भुज (और कोई अन्य आकृति) की परिधि को पक्षों की लंबाई के योग के रूप में खोजने की जहमत नहीं उठाता। वे आराम और गणना में आसानी के लिए दिए गए हैं। समाधान की विधि कोई गलती नहीं है, सही परिणाम और गणितीय शब्दावली का उपयोग करने की क्षमता महत्वपूर्ण है।

टिप 4: एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के आधार कैसे ज्ञात करें?

चार कोनों वाली एक गणितीय आकृति को समलंब चतुर्भुज कहा जाता है यदि इसके विपरीत पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है और दूसरी जोड़ी नहीं होती है। समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं मैदान ट्रापेज़, अन्य दो पार्श्व हैं। एक आयताकार में ट्रापेज़पार्श्व पक्ष में कोनों में से एक सीधा है।

अनुदेश

1. कार्य 1. एक आयताकार के आधार BC और AD ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि हम विकर्ण AC = f की लंबाई जानते हैं; पार्श्व भुजा CD की लंबाई = c और इसके साथ कोण ADC = ?. हल: समकोण त्रिभुज CED को देखें। कर्ण c और कर्ण और टांग के बीच का कोण EDC प्रसिद्ध है। CE और ED भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए: कोण सूत्र CE = CD*sin(ADC) का उपयोग करके; ईडी = सीडी * कॉस (एडीसी)। यह पता चला है: सीई = सी * पाप ?; ईडी=सी*कॉस?.

2. समकोण त्रिभुज ACE पर विचार करें। आप कर्ण एसी और पैर सीई को जानते हैं, एक समकोण त्रिभुज के नियम के अनुसार भुजा AE ज्ञात कीजिए: पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। यह पता चला है: एई (2) = एसी (2) - सीई (2) = एफ (2) - सी * पाप?। समीकरण के दाईं ओर के वर्गमूल की गणना करें। आपको आयताकार का ऊपरी आधार मिल गया है ट्रापेज़ .

3. आधार AD की लंबाई 2 खंडों AE और ED की लंबाई का योग है। AE = वर्गमूल(f(2) - c*sin?); ED = c*cos?)। यह पता चला है: AD = वर्गमूल(f(2) - c*sin?) + c*cos?। क्या आपने आयताकार का निचला आधार पाया है ट्रापेज़ .

4. कार्य 2. एक आयताकार के आधार BC और AD ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि हम विकर्ण BD = f की लंबाई जानते हैं; पार्श्व भुजा CD की लंबाई = c और इसके साथ कोण ADC = ?. हल: समकोण त्रिभुज CED को देखें। CE और ED भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD*cos(ADC) = c*cos?.

5. आयत ABCE पर विचार करें। आयत AB = CE = c*sin? के गुण के अनुसार समकोण त्रिभुज ABD को देखिए। एक समकोण त्रिभुज के गुण के अनुसार कर्ण का वर्ग टाँगों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसलिए AD(2) = BD(2) - AB(2) = f(2) - c*sin?. आपको आयताकार का निचला आधार मिल गया है ट्रापेज़ AD = वर्गमूल(f(2) - c*sin?).

6. आयत नियम से BC = AE = AD - ED = वर्गमूल(f(2) - c*sin?) - c*cos?। क्या आपने आयताकार का ऊपरी आधार पाया है ट्रापेज़ .

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो समानांतर और दो गैर-समानांतर भुजाएँ होती हैं। इसकी परिधि की गणना करने के लिए, आपको समलम्ब चतुर्भुज के सभी पक्षों के आयामों को जानना होगा। इस मामले में, कार्यों में डेटा भिन्न हो सकता है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर;
• - साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की तालिकाएँ;
• - कागज़;
• - ड्राइंग सहायक उपकरण।

अनुदेश

1. समस्या का सबसे आदिम संस्करण तब होता है जब एक समलम्बाकार के सभी पक्षों को दिया जाता है। इस मामले में, उन्हें आसानी से मोड़ा जाना चाहिए। इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की अनुमति है: p=a+b+c+d, जहां p परिधि है, और अक्षर a, b, c और d संबंधित बड़े अक्षरों द्वारा इंगित कोनों के विपरीत पक्षों को इंगित करते हैं।

2. एक समद्विबाहु समलम्बाकार है, यह इसके दो आधारों को मोड़ने के लिए पर्याप्त है और उन्हें पक्ष के आकार से दोगुना जोड़ देता है। यही है, इस मामले में परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: p \u003d a + c + 2b, जहां b समलम्बाकार पक्ष है, और c आधार हैं।

3. यदि किसी एक पक्ष की गणना करने की आवश्यकता है तो गणना कुछ अधिक लंबी होगी। मान लीजिए कि हम लंबे आधार, उससे लगे कोणों और ऊंचाई को जानते हैं। आपको लघु आधार और पक्ष की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD खीचें, ऊपरी कोने B से ऊँचाई BE खींचे। आपको एक त्रिभुज ABE मिलेगा। आपको क्रमशः कोण A दिया गया है, आप इसकी ज्या जानते हैं। समस्या डेटा में ऊंचाई बीई भी शामिल है, जो एक ही समय में आपके द्वारा ज्ञात कोण के विपरीत एक समकोण त्रिभुज का पैर है। कर्ण AB को खोजने के लिए, जो एक ही समय में समलम्ब चतुर्भुज की भुजा है, यह BE को sinA से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। दूसरी भुजा की लंबाई भी सही से ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, आपको एक अलग ऊपरी कोने, यानी CF से ऊँचाई खींचनी होगी। अब आप बड़े आधार और भुजाओं को जानते हैं। परिधि की गणना करने के लिए, यह ज्यादा नहीं है, आपको छोटे आधार के आकार की भी आवश्यकता है। तदनुसार, ट्रेपेज़ॉइड के अंदर बने 2 त्रिकोणों में, एई और डीएफ खंडों के आकार को खोजना आवश्यक है। यह किया जा सकता है, कहते हैं, कोण ए और डी के कोसाइन के माध्यम से जो आपको ज्ञात हैं। कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। पैर को खोजने के लिए, कर्ण को कोसाइन से गुणा करना आवश्यक है। इसके बाद, पहले चरण के समान सूत्र का उपयोग करके परिधि की गणना करें, अर्थात सभी पक्षों को जोड़ना।

4. एक अन्य विकल्प: दो आधार दिए गए हैं, एक ऊँचाई और एक भुजा, आपको दूसरी भुजा खोजने की आवश्यकता है। यह त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके भी बेहतर ढंग से किया जाता है। ऐसा करने के लिए, एक ट्रेपोजॉइड बनाएं। यह संभव है, आप आधार AD और BC, साथ ही भुजा AB और ऊँचाई BF जानते हैं। इन आंकड़ों से, आप कोण ए (साइन के माध्यम से, यानी, प्रसिद्ध पक्ष की ऊंचाई का अनुपात), खंड एएफ (कोसाइन या स्पर्शरेखा के माध्यम से, इस तथ्य से कि कोण आपके लिए अधिक परिचित है) पा सकते हैं। एक समलम्ब के कोणों के गुण भी - एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° है। ऊँचाई CF खींचिए। आपके पास एक और समकोण त्रिभुज है जिसमें आपको कर्ण सीडी और पैर DF खोजने की आवश्यकता है। से शुरू करें पैर। निचले आधार की लंबाई से ऊपरी की लंबाई, और परिणामी कुल से घटाएं - उस खंड की लंबाई जो आपको अधिक बारीकी से जाना जाता है AF अब एक समकोण त्रिभुज CFD में आप दो पैरों को जानते हैं, कि है, आप कोण D की स्पर्शरेखा और उसी से कोण का पता लगा सकते हैं। बाद में, ऊपर बताए अनुसार उसी कोण की ज्या के माध्यम से भुजा CD की गणना करना बाकी है।

संबंधित वीडियो

एक ट्रेपेज़ॉइड एक चतुर्भुज ज्यामितीय आकृति है जिसमें दो समानांतर पक्ष होते हैं, जिन्हें आधार कहा जाता है, और दो गैर-समानांतर पक्ष होते हैं। यदि भुजाएँ समान हों, तो आकृति समद्विबाहु समलम्बाकार कहलाती है। आयताकार समलम्ब - जब एक भुजा आधार के साथ समकोण बनाती है। एक समलम्ब की परिधि का पता लगाने के लिए, आप स्रोत डेटा के आधार पर किसी एक विधि का उपयोग कर सकते हैं।

एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें जब भुजाओं और आधारों की लंबाई ज्ञात हो

इस मामले में, कोई कठिनाई नहीं है। सूत्र P=a+b+c+d का उपयोग करके और सभी ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करके, हम आसानी से समलम्ब चतुर्भुज की परिधि का पता लगा सकते हैं। उदाहरण के लिए: a=5, b=4, c=6, d=4. सूत्र का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं P=5+4+6+4=19

यदि कम से कम एक भुजा की लंबाई ज्ञात न हो तो इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें जब भुजाओं की लंबाई, शीर्ष आधार और ऊँचाई ज्ञात हो

समलम्ब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों और एक आयत में विभाजित करें।

सूत्र P=a+b+c+d का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए, निचला आधार खोजना आवश्यक है। इसे व्यंजक k+a+n के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इसके बाद, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। आइए पहले त्रिभुज c^2=h^2+k^2 के लिए सूत्र लिखें। परिवर्तन के बाद हमें k=(c^2-h^2)^1/2 मिलता है। दूसरे त्रिभुज के लिए: b^2=h^2+n^2, कुल n=(b^2-h^2)^1/2। सभी गणनाओं के बाद, हमें P=a+b+(n+a+k)+c मिलता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज की परिधि कैसे ज्ञात करें जब आधार और ऊँचाई दोनों ज्ञात हों (एक समद्विबाहु समलम्ब के लिए)

पिछली विधि की तरह, आपको समलम्ब को एक आयत और दो त्रिभुजों में विभाजित करने की आवश्यकता है। त्रिभुजों के कर्ण भी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ हैं जिन्हें खोजने की आवश्यकता है। छोटा पैर इस प्रकार पाया जाता है।

चूँकि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, छोटे आधार की लंबाई को बड़े आधार की लंबाई से घटाएँ और आधे में विभाजित करें, अर्थात्। d1=d2=(d-a)/2.

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम भुजाएँ पाते हैं c=(d(1)^2+h^2)^1/2. अगला, सूत्र P=a+2c+d का उपयोग करके, हम परिधि की गणना करते हैं।

जब नीचे का आधार, भुजाएँ और नीचे के कोने ज्ञात हों तो एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें?

एक उदाहरण पर विचार करें जहां निचला आधार AD, भुजाएँ AB और CD, और कोण BAD और CDA ज्ञात हैं।

शीर्ष B और C से हम दो ऊँचाईयाँ खींचते हैं, जो एक आयत और दो समकोण त्रिभुज बनाती हैं। त्रिभुज ABK में, भुजा AB कर्ण है। यह सूत्र BK=AB*sin(BAK) और AK=AB*cos(BAK) का उपयोग करके टांगों को खोजना बाकी है। चूँकि BK और CN ऊँचाई हैं, वे बराबर हैं। उसी सूत्र का प्रयोग करते हुए, हम पाते हैं ND=CD*cos(CDN)। यह बीसी = एडी-एके-एनडी की गणना करने के लिए बनी हुई है। अब आपको सभी पक्षों को मोड़ने की जरूरत है और उत्तर तैयार है।

जब भुजाओं और मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात हो तो एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें?

एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों की लंबाई के आधे योग के बराबर होती है, अर्थात। एफ = (ए + डी) / 2। जब आधारों की लंबाई अज्ञात हो, लेकिन भुजाओं और मध्य रेखा के आयाम दिए गए हों, तो परिमाप सूत्र P=2*f+c+b द्वारा ज्ञात किया जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करना इतना कठिन नहीं है। समस्या को हल करने के लिए, आपको केवल यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी मात्राएं ज्ञात हैं और किस विधि का उपयोग किया जा सकता है। और तब जटिल समस्या का समाधान भी कठिन नहीं होगा।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक द्वि-आयामी ज्यामितीय आकृति है जिसमें चार शीर्ष और केवल दो समानांतर भुजाएँ होती हैं। यदि इसकी गैर-समानांतर भुजाओं में से 2 की लंबाई समान है, तो समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु या समद्विबाहु कहा जाता है। ऐसे बहुभुज की सीमा, जो इसकी भुजाओं से बनी होती है, आमतौर पर निरूपित की जाती है ग्रीक शब्द"परिमाप"। प्रारंभिक डेटा के सेट के आधार पर, विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके परिधि की लंबाई की गणना करना आवश्यक है।

अनुदेश

1. यदि दोनों आधारों की लंबाई (ए और बी) और पार्श्व पक्ष (सी) की लंबाई ज्ञात है, तो इस ज्यामितीय आकृति की परिधि (पी) की गणना बहुत ही प्रारंभिक रूप से की जाती है। क्योंकि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, इसके पक्षों की लंबाई समान है, जिसका अर्थ है कि आप सभी पक्षों की लंबाई जानते हैं - उन्हें प्राथमिक रूप से जोड़ें: P = a + b + 2 * c।

2. यदि समलम्ब चतुर्भुज के दोनों आधारों की लंबाई अपरिचित है, लेकिन मध्य रेखा (l) और पार्श्व पक्ष (c) की लंबाई दी गई है, तो ये आंकड़े परिधि (P) की गणना के लिए पर्याप्त हैं। माध्यिका रेखा दोनों आधारों के समानांतर होती है और लंबाई में उनके आधे योग के बराबर होती है। इस मान को दोगुना करें और इसे पार्श्व पक्ष की लंबाई से भी दोगुना जोड़ें - यह समद्विबाहु समलम्ब की परिधि होगी: P = 2*l+2*c.

3. यदि समद्विबाहु समलम्बाकार दोनों आधारों की लंबाई (ए और बी) और ऊंचाई (एच) समस्या की स्थितियों से जानी जाती है, तो इन आंकड़ों की मदद से लापता पक्ष की लंबाई को बहाल करना संभव है। यह एक समकोण त्रिभुज को देखकर किया जा सकता है, जिसमें कर्ण एक अपरिचित पक्ष होगा, और पैर ऊंचाई और एक छोटा खंड होगा, जिसे वह ट्रेपेज़ॉइड के लंबे आधार से काटता है। इस खंड की लंबाई की गणना बड़े और छोटे आधारों की लंबाई के बीच के अंतर को आधे में विभाजित करके की जा सकती है: (ए-बी) / 2. पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार कर्ण की लंबाई (ट्रेपेज़ॉइड का पार्श्व पक्ष) के बराबर होगी वर्गमूलदोनों चालित पैरों की चुकता लंबाई के योग से। परिणामी अभिव्यक्ति के साथ पहले चरण से सूत्र में पक्ष की लंबाई बदलें, और आपको निम्नलिखित परिधि सूत्र मिलेगा: P = a+b+2*?(h?+(a-b)?/4)।

4. यदि समस्या की स्थितियों में छोटे आधार (बी) और पक्ष (सी) की लंबाई, साथ ही समद्विबाहु समलम्बाकार (एच) की ऊंचाई दी जाती है, तो पिछले चरण के समान सहायक त्रिभुज पर विचार करें , आपको पैर की लंबाई की गणना करनी होगी। फिर से, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें - वांछित मूल्य पक्ष की वर्ग लंबाई (कर्ण) और ऊंचाई (पैर) के बीच अंतर की जड़ के बराबर होगा:? (सी? -एच?)। ट्रेपेज़ॉइड के अपरिचित आधार के इस खंड के अनुसार, इसकी लंबाई को बहाल करना संभव है - इस अभिव्यक्ति को दोगुना करें और छोटे आधार की लंबाई को कुल में जोड़ें: b + 2 *? (c? -h?)। इस व्यंजक को पहले चरण से सूत्र में रखें और समद्विबाहु समलम्ब की परिधि ज्ञात करें: P = b+2*?(c?-h?)+b+2*c = 2*(?(c?-h? )+बी+सी)।

टिप 2: समद्विबाहु समलम्बाकार की भुजाओं का पता कैसे लगाएं

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो समानांतर भुजाएँ होती हैं। इन भुजाओं को आधार कहते हैं। उनके अंतिम बिंदु खंडों द्वारा एकजुट होते हैं, जिन्हें पक्ष कहा जाता है। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं।

आपको चाहिये होगा

• - समद्विबाहु समलम्बाकार;
• समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की लंबाई हैं;
• - ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई;
• - कागज़;
• - पेंसिल;
• - शासक।

अनुदेश

1. समस्या की स्थितियों के अनुसार एक समलम्ब चतुर्भुज का निर्माण करें। आपको कई पैरामीटर दिए जाने चाहिए। हमेशा की तरह, ये दोनों आधार और ऊंचाई हैं। लेकिन अन्य डेटा भी स्वीकार्य हैं - आधारों में से एक, पार्श्व पक्ष और ऊंचाई के लिए इसका झुकाव। समलम्ब चतुर्भुज को ABCD के रूप में नामित करें, आधारों को a और b होने दें, ऊँचाई को h और भुजाओं को x के रूप में निर्दिष्ट करें। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, इसलिए इसकी भुजाएँ समान हैं।

2. शीर्ष B और C से निचले आधार तक ऊँचाई खींचते हैं। चौराहे के बिंदुओं को एम और एन के रूप में नामित करें। आपको दो समकोण त्रिभुज मिलते हैं - एएमबी और सीएनडी। वे समान हैं क्योंकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, उनके कर्ण AB और CD, साथ ही साथ पैर BM और CN समान हैं। तदनुसार, खंड AM और DN भी एक दूसरे के बराबर हैं। उनकी लंबाई को y के रूप में नामित करें।

3. इन खंडों के योग की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आधार b की लंबाई को आधार a की लंबाई से घटाना आवश्यक है। 2y = ए-बी। तदनुसार, ऐसा एक खंड 2 से विभाजित आधारों के अंतर के बराबर होगा। y=(a-b)/2.

4. ट्रेपेज़ॉइड के पार्श्व पक्ष की लंबाई ज्ञात करें, जो एक ही समय में पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसे आप जानते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसकी गणना करें। यह ऊंचाई के वर्गों के योग और आधारों के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा, जिसे 2 से विभाजित किया जाएगा। यानी x=?y2+h2=?(a-b)2/4+h2।

5. आधार की तरफ के झुकाव की ऊंचाई और कोण जानने के बाद, वही निर्माण करें। इस मामले में, आधार अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं है। साइन प्रमेय का प्रयोग करें। कर्ण विपरीत कोण की ज्या से गुणा किए गए पैर की लंबाई के बराबर है। इस मामले में x=h*sinCDN या x=h*sinBAM।

6. यदि आपको समलम्ब चतुर्भुज की भुजा के झुकाव का कोण नीचे की ओर नहीं, बल्कि ऊपरी आधार पर दिया जाता है, तो समांतर रेखाओं के गुण के आधार पर वांछित कोण ज्ञात कीजिए। समद्विबाहु समलम्बाकार के गुणों में से एक को याद कीजिए, जिसके अनुसार किसी एक आधार और भुजाओं के बीच के कोण बराबर होते हैं।

टिप्पणी!
समद्विबाहु समलम्बाकार के गुणों की समीक्षा करें। यदि आप इसके दोनों आधारों को आधा में विभाजित कर इन बिंदुओं से होकर एक रेखा खींचते हैं, तो यह इस ज्यामितीय आकृति की धुरी होगी। यदि आप ऊपरी आधार के एक शीर्ष से निचले एक तक की ऊँचाई कम करते हैं, तो दो खंड होंगे इस पर बाद में प्राप्त किया। बता दें, इस मामले में ये सेगमेंट AM और DM हैं। उनमें से एक आधार a और b के योग के आधे के बराबर है, और दूसरा उनके अंतर का आधा है।

टिप 3: कैसे पता करें मध्य पंक्तिसमद्विबाहु समलम्ब

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें केवल दो समानांतर भुजाएँ होती हैं - उन्हें इस आकृति का आधार कहा जाता है। यदि एक ही समय में अन्य 2 - पार्श्व - भुजाओं की लंबाई समान होती है, तो समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु या समद्विबाहु कहा जाता है। भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को समलम्ब रेखा की मध्य रेखा कहा जाता है और इसकी गणना कई तरीकों से की जा सकती है।

अनुदेश

1. यदि दोनों आधारों (ए और बी) की लंबाई ज्ञात है, तो मध्य रेखा (एल) की लंबाई की गणना करने के लिए समद्विबाहु समलम्बाकार के इस तत्व के मुख्य गुण का उपयोग करें - यह आधारों की लंबाई के आधे योग के बराबर है: एल \u003d? * (ए + बी)। मान लीजिए, 10 सेमी और 20 सेमी की लंबाई वाले एक समलम्ब चतुर्भुज में, मध्य रेखा बराबर होनी चाहिए? * (10 + 20) = 15 सेमी।

2. एक समद्विबाहु समलम्बाकार की ऊँचाई (h) के साथ मध्य रेखा (L) इस आकृति के क्षेत्रफल (S) की गणना के लिए सूत्र में एक कारक है। यदि ये दो पैरामीटर समस्या की प्रारंभिक स्थितियों में दिए गए हैं, तो मध्य रेखा की लंबाई की गणना करने के लिए, क्षेत्र को ऊंचाई से विभाजित करें: एल = एस / एच। कहो, 75 सेमी के क्षेत्र के साथ? एक समद्विबाहु समलम्बाकार 15 सेमी ऊँचा एक मध्य रेखा 75/15 = 5 सेमी लंबी होनी चाहिए।

3. एक ज्ञात परिधि (पी) और एक समद्विबाहु समलम्बाकार के पार्श्व पक्ष (सी) की लंबाई के साथ, आकृति की मध्य रेखा (एल) की गणना करना भी मुश्किल नहीं है। परिधि से पक्षों की दो लंबाई घटाएं, और शेष मान आधारों की लंबाई का योग होगा - इसे आधे में विभाजित करें, और समस्या हल हो जाएगी: एल \u003d (पी -2 * सी) / 2। मान लीजिए, 150 सेमी की परिधि और 25 सेमी की लंबाई के साथ, मध्य रेखा की लंबाई (150-2 * 25) / 2 = 50 सेमी होनी चाहिए।

4. परिधि (पी) और ऊंचाई (एच) की लंबाई जानने के साथ-साथ समद्विबाहु समलम्बाकार के न्यून कोणों (?) में से एक के मूल्य को जानना, इसकी मध्य रेखा (एल) की लंबाई की गणना करना भी संभव है। ऊँचाई, भुजा और आधार के भाग से बने त्रिभुज में एक कोण सम होता है और दूसरे का मान ज्ञात होता है। यह आपको साइन प्रमेय का उपयोग करके पक्ष की लंबाई की गणना करने की अनुमति देगा - ऊंचाई को ज्ञात कोण की ज्या से विभाजित करें: h / sin (?)। उसके बाद, इस व्यंजक को पिछले चरण से सूत्र में प्रतिस्थापित करें और आपको निम्नलिखित समानता प्राप्त होगी: L = (P-2*h/sin(?))/2 = P/2-h/sin(?)। मान लें कि यदि सीसा कोण 30° है, ऊँचाई 10cm है, और परिधि 150cm है, तो मध्य रेखा की लंबाई की गणना निम्नानुसार की जानी चाहिए: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55cm।

युक्ति 4: समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें

परिमाप एक बहुभुज की सभी भुजाओं का योग होता है। नियमित बहुभुजों में, पक्षों के बीच अच्छी तरह से परिभाषित कनेक्टिविटी परिधि को खोजने में आसान बनाती है।

अनुदेश

1. पॉलीलाइन के विभिन्न खंडों से घिरी एक मनमानी आकृति में, परिधि को पक्षों के क्रमिक माप और माप के परिणामों के योग द्वारा निर्धारित किया जाता है। धनात्मक बहुभुजों के लिए, आकृति के पक्षों के बीच संबंधों पर विचार करने वाले सूत्रों की गणना करके परिधि का पता लगाने की अनुमति है।

2. पक्षों के साथ एक मनमाना त्रिभुज में a, b, c, परिधि P की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: P \u003d a + b + c। एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं: a \u003d b, और परिधि को खोजने का सूत्र P \u003d 2 * a + c तक सरल होता है।

3. यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज में सभी पक्षों के आयाम शर्त द्वारा नहीं दिए गए हैं, तो परिधि को खोजने के लिए अन्य ज्ञात मापदंडों का उपयोग करने की अनुमति है, जैसे कि त्रिभुज का क्षेत्रफल, उसके कोण, ऊँचाई, द्विभाजक और माध्यिकाएँ। मान लें कि यदि केवल दो ही प्रसिद्ध हैं बराबर पक्षएक समद्विबाहु त्रिभुज और उसका कोई भी कोण, फिर साइन प्रमेय का उपयोग करके तीसरी भुजा ज्ञात करें, जिससे यह पता चलता है कि त्रिभुज की भुजा का विपरीत कोण की ज्या से अनुपात इस त्रिभुज का एक सतत मान है। तब अज्ञात पक्ष को प्रसिद्ध पक्ष के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है: a=b*SinA/SinB, जहां A अज्ञात पक्ष a के विपरीत कोण है, B प्रसिद्ध पक्ष b के विपरीत कोण है।

4. यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल S और उसका आधार b ज्ञात है, तो त्रिभुज S \u003d b * h / 2 के क्षेत्रफल का निर्धारण करने के सूत्र से, ऊँचाई ज्ञात करें h: h \u003d 2 * एस / बी। यह ऊँचाई, आधार b तक कम, दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। प्रारंभिक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ समकोण त्रिभुज के कर्ण हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग टाँगों b और h के वर्गों के योग के बराबर होता है। फिर एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिधि P की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: P=b+2*?(b?/4) +4*S?/b?)।

टिप 5: समद्विबाहु समलम्बाकार का आधार कैसे ज्ञात करें

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसका आधार 2 समानांतर रेखाओं पर होता है, जबकि अन्य दो भुजाएँ समानांतर नहीं होती हैं। सिद्धांत को पारित करते समय और समस्याओं को हल करते समय समद्विबाहु समलम्बाकार का आधार खोजना आवश्यक है शिक्षण संस्थानों, और कई व्यवसायों (इंजीनियरिंग, वास्तुकला, डिजाइन) में।

अनुदेश

1. एक समद्विबाहु (या समद्विबाहु) समलम्ब चतुर्भुज में गैर-समानांतर भुजाएँ होती हैं, साथ ही निचले आधार को पार करते समय बनने वाले कोण समान होते हैं।

2. ट्रेपेज़ॉइड के दो आधार हैं, और उन्हें खोजने के लिए, आपको पहले आकृति की पहचान करनी होगी। मान लीजिए AD और BC आधारों वाला एक समद्विबाहु समलंब ABCD दिया गया है। इस मामले में, आधारों को छोड़कर, सभी पैरामीटर ज्ञात हैं। पार्श्व भुजा AB=CD=a, ऊँचाई BH=h और क्षेत्रफल S के बराबर है।

3. एक समलम्ब के आधार की समस्या को हल करने के लिए, सभी के लिए समीकरणों की एक प्रणाली बनाना आसान होगा ताकि परस्पर संबंधित मात्राओं के माध्यम से आवश्यक आधारों को खोजा जा सके।

4. खंड BC को x के रूप में और AD को y के रूप में नामित करें, ताकि भविष्य में सूत्रों को संभालने और उन्हें समझने में आसानी हो। अगर आप इसे तुरंत नहीं करते हैं, तो आप भ्रमित हो सकते हैं।

5. प्रसिद्ध आँकड़ों का प्रयोग करते हुए उन सभी सूत्रों को लिखिए जो समस्या को हल करने में उपयुक्त हों। समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल के लिए सूत्र: S=((AD+BC)*h)/2. पाइथागोरस प्रमेय: a*a = h*h +AH*AH ।

6. एक समद्विबाहु समलम्बाकार की गुणवत्ता को याद करें: समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष से निकलने वाली ऊँचाई एक बड़े आधार पर समान खंडों को काटती है। यहाँ से यह इस प्रकार है कि इस गुण से निम्नलिखित सूत्र के अनुसार दो आधारों को जोड़ा जा सकता है: AD=BC+2AH या y=x+2AH

7. पाइथागोरस प्रमेय का अनुसरण करके पाद AH का पता लगाएँ, जिसे आपने पहले लिखा था। मान लीजिए कि यह किसी संख्या k के बराबर है। तब एक समद्विबाहु समलम्बाकार के गुण से निम्नलिखित सूत्र इस प्रकार दिखेगा: y=x+2k.

8. अज्ञात मात्रा को समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के रूप में व्यक्त करें। आपको मिलना चाहिए: AD=2*S/h-BC या y=2*S/h-x।

9. बाद में, इन संख्यात्मक मानों को समीकरणों की परिणामी प्रणाली में प्रतिस्थापित करें और इसे हल करें। समीकरणों की किसी भी प्रणाली का समाधान यंत्रवत् MathCAD कार्यक्रम में पाया जा सकता है।

उपयोगी सलाह
जितना हो सके नोटेशन और फॉर्मूले को सरल बनाने के लिए समस्याओं को हल करते समय हमेशा मेहनती रहें। तो निर्णय बहुत तेजी से मिलेगा।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो समानांतर और दो गैर-समानांतर भुजाएँ होती हैं। इसकी परिधि की गणना करने के लिए, आपको समलम्ब चतुर्भुज के सभी पक्षों के आयामों को जानना होगा। इस मामले में, कार्यों में डेटा भिन्न हो सकता है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर;
• - साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की तालिकाएँ;
• - कागज़;
• - ड्राइंग सहायक उपकरण।

अनुदेश

1. समस्या का सबसे आदिम संस्करण तब होता है जब एक समलम्बाकार के सभी पक्षों को दिया जाता है। इस मामले में, उन्हें मूल रूप से तह किया जाना चाहिए। इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की अनुमति है: p=a+b+c+d, जहां p परिधि है, और अक्षर a, b, c और d संबंधित बड़े अक्षरों द्वारा इंगित कोनों के विपरीत पक्षों को इंगित करते हैं।

2. एक समद्विबाहु समलम्बाकार है, यह इसके दो आधारों को मोड़ने के लिए पर्याप्त है और उन्हें पक्ष के आकार से दोगुना जोड़ देता है। यही है, इस मामले में परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: p \u003d a + c + 2b, जहां b समलम्बाकार पक्ष है, और c आधार हैं।

3. यदि किसी एक पक्ष की गणना करने की आवश्यकता है तो गणना कुछ अधिक लंबी होगी। कहते हैं, लंबा आधार, उससे सटे कोण और ऊंचाई प्रसिद्ध हैं। आपको लघु आधार और पक्ष की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD खीचें, ऊपरी कोने B से ऊँचाई BE खींचे। आपको एक त्रिभुज ABE मिलेगा। आप कोण A को जानते हैं, क्रमशः, आप इसकी ज्या जानते हैं। समस्या डेटा में ऊंचाई बीई भी शामिल है, जो एक ही समय में आपके द्वारा ज्ञात कोण के विपरीत एक समकोण त्रिभुज का पैर है। कर्ण AB को खोजने के लिए, जो एक ही समय में समलम्ब चतुर्भुज की भुजा है, यह BE को sinA से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। दूसरी भुजा की लंबाई भी सही से ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, आपको एक अलग ऊपरी कोने, यानी CF से ऊँचाई खींचनी होगी। अब आप बड़े आधार और भुजाओं को जानते हैं। परिधि की गणना करने के लिए, यह ज्यादा नहीं है, आपको छोटे आधार के आकार की भी आवश्यकता है। तदनुसार, ट्रेपेज़ॉइड के अंदर बने 2 त्रिकोणों में, एई और डीएफ खंडों के आकार को खोजना आवश्यक है। यह किया जा सकता है, कहते हैं, कोण ए और डी के कोसाइन के माध्यम से जो आपको ज्ञात हैं। कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। पैर को खोजने के लिए, आपको कर्ण को कोसाइन से गुणा करना होगा। इसके बाद, पहले चरण के समान सूत्र का उपयोग करके परिधि की गणना करें, अर्थात सभी पक्षों को जोड़ना।

4. एक अन्य विकल्प: दो आधार दिए गए हैं, एक ऊँचाई और एक भुजा, आपको दूसरी भुजा खोजने की आवश्यकता है। यह त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके भी बेहतर ढंग से किया जाता है। ऐसा करने के लिए, एक ट्रेपोजॉइड बनाएं। शायद आप आधार एडी और बीसी, साथ ही पक्ष एबी और ऊंचाई बीएफ जानते हैं। इन आंकड़ों के अनुसार, आप कोण ए (साइन के माध्यम से, यानी, प्रसिद्ध पक्ष की ऊंचाई का अनुपात), खंड एएफ (कोसाइन या स्पर्शरेखा के माध्यम से, इस तथ्य से कि कोण आपके करीब है) पा सकते हैं। एक समलम्ब के कोणों के गुणों को भी याद करें - एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° है। ऊँचाई CF खींचिए। आपके पास एक और समकोण त्रिभुज है जिसमें आपको कर्ण सीडी और पैर DF खोजने की आवश्यकता है। प्रारंभ करें पैर के साथ। निचले आधार की लंबाई से ऊपरी की लंबाई, और परिणामी कुल से घटाएं - उस खंड की लंबाई जो आपको अधिक बारीकी से जाना जाता है AF अब एक समकोण त्रिभुज CFD में आप दो पैरों को जानते हैं, अर्थात्, आप कोण D की स्पर्शरेखा और उसी से कोण का पता लगा सकते हैं। बाद में, यह उसी कोण की ज्या के माध्यम से भुजा CD की गणना करने के लिए बनी हुई है, जैसा कि ऊपर वर्णित है।

संबंधित वीडियो

समलम्ब चतुर्भुज की परिधि ज्ञात कीजिए। नमस्ते! इस प्रकाशन में, हम गणित में परीक्षा में शामिल विशिष्ट समस्याओं के समाधान पर विचार करेंगे। एक समलम्ब की परिधि की गणना करना आवश्यक है। हम कह सकते हैं कि ये मौखिक गणना के लिए कार्य हैं, ये सरल हैं। निर्णय लेने से पहले, मैं अनुशंसा करता हूं कि आप "" लेख देखें। कार्यों पर विचार करें:

27834. एक समद्विबाहु समलम्ब में, आधार 12 और 27 हैं, न्यून कोण 60 0 है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

परिधि को खोजने के लिए, हमें पक्ष की गणना करने की आवश्यकता है। छोटे आधार के कोने से हम ऊँचाई कम करते हैं:

AD समकोण त्रिभुज ADF में कर्ण है। हम कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके इसकी गणना कर सकते हैं:

वायुसेना हम गणना कर सकते हैं:

फलस्वरूप:

इस प्रकार परिमाप 12+27+15+15=69 है।

*समस्या का समाधान करते समय 30° के कोण के विरुद्ध पड़े पैर के गुण का उपयोग करना भी संभव था। नज़र:

∠ADF 30° के बराबर है, पैर AF कर्ण AD के आधे के बराबर है। AF=7.5 अत: AD 15 के बराबर होगा।

27835. छोटे आधार के अंत के माध्यम से समलम्ब चतुर्भुज की भुजा के समानांतर खींची गई एक सीधी रेखा, 4 के बराबर, एक त्रिभुज को काटती है जिसका परिमाप 15 है। समलंब का परिमाप ज्ञात कीजिए।

समाधान स्पष्ट है! आइए स्केच को देखें: AD और AE परिधि का हिस्सा हैं, DE=CB समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष हैं। वह है

इसमें DC और EB को जोड़ना बाकी है। शर्त डीसी = 4 कहती है। चूँकि DC और EB समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं, वे बराबर हैं:

अतः परिमाप 15+4+4=23 है।

बस इतना ही, आपको शुभकामनाएँ!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।