एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो समानांतर आधारऔर गैर-समानांतर पक्ष। एक आयताकार ट्रेपोजॉइड में एक तरफ एक समकोण होता है।

अनुदेश

1. परिमापआयताकार ट्रापेज़ योग के बराबर है 2 आधारों और 2 भुजाओं की भुजाओं की लंबाई। कार्य 1. एक आयताकार का परिमाप ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि इसकी सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। ऐसा करने के लिए, सभी चार मान जोड़ें: पी (परिधि) = ए + बी + सी + डी। यह परिधि को खोजने का सबसे आदिम संस्करण है, अंतिम आउटपुट में अन्य प्रारंभिक डेटा के साथ कार्य, इसे कम कर दिया जाता है। आइए विकल्पों को देखें।

2. कार्य 2. एक आयताकार का परिमाप ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि निचला आधार AD = a ज्ञात है, तो वह पार्श्व भुजा जो इसके लंबवत नहीं है, CD = d है, और इस पार्श्व भुजा ADC पर कोण अल्फा है। हल। ऊँचाई खींचिए ट्रापेज़शीर्ष C से एक बड़े आधार तक, हमें खंड CE मिलता है, ट्रेपेज़ॉइड को दो आकृतियों में विभाजित किया जाता है - आयत ABCE और समकोण त्रिभुज ECD। त्रिभुज का कर्ण वह पार्श्व भुजा है जिसे हम जानते हैं ट्रापेज़सीडी, पैरों में से एक लंबवत पक्ष के बराबर है ट्रापेज़(आयत नियम के अनुसार, दो समानांतर भुजाएँ समान हैं - AB \u003d CE), और दूसरा एक खंड है जिसकी लंबाई आधारों के अंतर के बराबर है ट्रापेज़ईडी = एडी-बीसी।

3. त्रिभुज की टांगें ज्ञात कीजिए: सूत्र CE = CD*sin(ADC) और ED = CD*cos(ADC) का उपयोग करके। अब ऊपरी आधार की गणना करें - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos (अल्फा)। लंबवत पक्ष की लंबाई ज्ञात करें - AB \u003d CE \u003d d * sin (अल्फा)। यह पता चला है कि आपको आयताकार के सभी पक्षों की लंबाई मिल गई है ट्रापेज़ .

4. परिणामी मान जोड़ें, यह एक आयताकार का परिमाप होगा ट्रापेज़= AB + BC + CD + AD = d*sin(Alpha) + (a - d*cos(Alpha)) + d + a = 2*a + d*(sin(Alpha) - cos(Alpha) + 1 )

5. कार्य 3. एक आयताकार का परिमाप ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि हम इसके आधारों की लंबाई AD = a, BC = c, लंब पार्श्व भुजा की लंबाई AB = b और तेज़ कोनेएक अलग पक्ष के साथ एडीसी = अल्फा। हल। एक लंबवत सीई बनाएं, एक आयत एबीसीई और एक त्रिकोण सीईडी प्राप्त करें। अब त्रिभुज सीडी = एबी / पाप (एडीसी) = बी / पाप (अल्फा) के कर्ण की लंबाई पाएं। यह पता चला है कि आपको सभी पक्षों की लंबाई मिल गई है।

6. परिणामी मानों को जोड़ें: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

हम में से प्रत्येक ने सीखा कि प्राथमिक ग्रेड में परिधि क्या है। ज्ञात परिधि के साथ एक वर्ग के पक्षों को ढूंढना आमतौर पर उन लोगों के लिए भी प्रकट नहीं होता है जिन्होंने बहुत समय पहले स्कूल से स्नातक की उपाधि प्राप्त की थी और गणित के पाठ्यक्रम को भूल गए थे। हालांकि, हर कोई एक संकेत के बिना एक आयत या समकोण त्रिभुज के संबंध में एक समान समस्या को हल नहीं कर सकता है।

अनुदेश

1. ज्यामिति में एक समस्या को कैसे हल करें, जिसमें केवल परिधि और कोण दिए गए हों? बेशक, अगर हम एक न्यून त्रिभुज या बहुभुज के बारे में बात कर रहे हैं, तो किसी एक पक्ष की लंबाई जाने बिना ऐसी समस्या को हल करना अवास्तविक है। हालांकि, अगर हम एक समकोण त्रिभुज या आयत के बारे में बात कर रहे हैं, तो किसी दिए गए परिधि के साथ इसकी भुजाओं का पता लगाना संभव है। आयत है लंबाईतथा चौड़ाई. यदि हम किसी आयत का विकर्ण खींचते हैं, तो हम पाते हैं कि वह आयत को दो भागों में विभाजित करता है सही त्रिकोण. विकर्ण कर्ण है, और लंबाई और चौड़ाई इन त्रिभुजों के पैर हैं। एक वर्ग के लिए, जो एक आयत का एक विशेष मामला है, विकर्ण एक समद्विबाहु त्रिभुज का कर्ण है।

2. कल्पना कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a, b और c हैं, जिसमें से एक कोण 30 है, और दूसरा 60 है। यह आंकड़ा दर्शाता है कि a = c*sin?, और b = c*cos?। यह जानते हुए कि त्रिभुज सहित किसी भी आकृति का परिमाप उसकी सभी भुजाओं के योग के बराबर होता है, हमें प्राप्त होता है: a + b + c = c * sin ? + c * cos + c = p त्रिभुज के लिए। क्योंकि कोने? = 30, सुधार के बाद हमें मिलता है: p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

3. जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक आयत का विकर्ण इसे 30 और 60 डिग्री के कोणों के साथ दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। क्योंकि आयत का परिमाप p=2(a + b) है, चौड़ाईएक और लंबाई b आयतों का पता इस तथ्य के आधार पर लगाया जा सकता है कि विकर्ण समकोण त्रिभुजों का कर्ण है: a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2ये दो समीकरणों की परिधि के रूप में व्यक्त किए जाते हैं आयत। इस आयत की लंबाई और चौड़ाई की गणना उनसे की जाती है, इसके विकर्ण को खींचते समय परिणामी कोणों को ध्यान में रखते हुए।

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टिप्पणी!
यदि परिधि और चौड़ाई ज्ञात हो तो आयत की लंबाई कैसे ज्ञात करें? लंबाई की दुगुनी पाने के लिए परिमाप से दुगनी चौड़ाई घटाएं। फिर हम लंबाई ज्ञात करने के लिए इसे आधे में विभाजित करते हैं।

उपयोगी सलाह
मूल स्कूल से भी, कई लोग याद करते हैं कि किसी भी ज्यामितीय आकृति की परिधि कैसे प्राप्त करें: यह इसके सभी पक्षों की लंबाई का पता लगाने और उनका योग खोजने के लिए पर्याप्त है। यह ज्ञात है कि एक आयत जैसी आकृति में, पक्षों की लंबाई जोड़े में बराबर होती है। यदि किसी आयत की चौड़ाई और ऊँचाई समान लंबाई की हो तो उसे वर्ग कहते हैं। आम तौर पर, आयत की लंबाई को पक्षों में सबसे बड़ा कहा जाता है, और चौड़ाई सबसे छोटी होती है।

परिमाप(पी) - आकृति के सभी पक्षों की लंबाई का योग, और चतुर्भुज में उनमें से चार हैं। इसका अर्थ है कि किसी चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए उसकी सभी भुजाओं की लंबाई को सरलता से जोड़ना आवश्यक है। लेकिन हम ऐसी आकृतियों को एक आयत, एक वर्ग, एक समचतुर्भुज, अर्थात् धनात्मक चतुर्भुज के रूप में जानते हैं। उनकी परिधि विशेष विधियों द्वारा निर्धारित की जाती है।

अनुदेश

1. यदि यह आकृति एक आयत (या समांतर चतुर्भुज) ABCD है, तो इसके निम्नलिखित गुण हैं: समानांतर भुजाएँ जोड़ीदार समान हैं (आकृति देखें)। एबी = एसडी और एसी = वीडी। इस आकृति में भुजाओं के ऐसे अनुपात को जानकर, परिमाप ज्ञात करना संभव है आयत(और समांतर चतुर्भुज): पी \u003d एबी + एसडी + एसी + वीडी। मान लीजिए कि कुछ भुजाएँ संख्या a के बराबर हैं, दूसरी संख्या b के बराबर है, फिर P \u003d a + a + b + b \u003d 2 * a \u003d 2 * b \u003d 2 * (a + c)। उदाहरण 1. एक आयत ABCD में, भुजाएँ AB = CD = 7 सेमी और AC = VD = 3 सेमी हैं। ऐसे आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए। समाधान: पी \u003d 2 * (ए + सी)। पी \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 सेमी।

2. एक वर्ग या एक समचतुर्भुज नामक आकृति के साथ भुजाओं की लंबाई के योग के लिए समस्याओं को हल करते समय, आपको थोड़ा संशोधित परिधि सूत्र का उपयोग करना चाहिए। एक वर्ग और एक समचतुर्भुज ऐसी आकृतियाँ हैं जिनकी चार भुजाएँ समान हैं। परिधि की परिभाषा के आधार पर, P \u003d AB + SD + AC + VD और लंबाई को अक्षर a द्वारा निरूपित करने की अनुमति देता है, फिर P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a। उदाहरण 2. एक समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई 2 सेमी है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए। हल: 4*2 सेमी = 8 सेमी।

3. यदि दिया गया चतुर्भुज एक समलंब चतुर्भुज है, तो इस स्थिति में इसकी चारों भुजाओं की लंबाई को जोड़ना आसान है। पी \u003d एबी + एसडी + एसी + वीडी। उदाहरण 3. समलम्ब चतुर्भुज ABCD का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि इसकी भुजाएँ समान हैं: AB = 1 सेमी, SD = 3 सेमी, AC = 4 सेमी, ID = 2 सेमी। हल: P = AB + CD + AC + ID = 1 सेमी + 3 सेमी + 4 सेमी + 2 सेमी \u003d 10 सेमी। ऐसा हो सकता है कि समलम्ब चतुर्भुज समबाहु है (इसकी दो भुजाएँ समान हैं), तो इसकी परिधि को सूत्र में घटाया जा सकता है: P \u003d AB + SD + AC + VD \u003d ए + बी + ए + सी \u003d 2 * ए + सी + सी। उदाहरण 4. एक समद्विबाहु समलम्ब का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि उसके पार्श्व फलक 4 सेमी और आधार 2 सेमी और 6 सेमी हैं। हल: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 सेमी + 2 सेमी + 6 सेमी \u003d 16 सेमी।

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उपयोगी सलाह
व्युत्पन्न सूत्रों को लागू किए बिना, कोई भी चतुर्भुज (और कोई अन्य आकृति) की परिधि को पक्षों की लंबाई के योग के रूप में खोजने की जहमत नहीं उठाता। वे आराम और गणना में आसानी के लिए दिए गए हैं। समाधान की विधि कोई गलती नहीं है, सही परिणाम और गणितीय शब्दावली का उपयोग करने की क्षमता महत्वपूर्ण है।

टिप 4: एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के आधार कैसे ज्ञात करें?

चार कोनों वाली एक गणितीय आकृति को समलंब चतुर्भुज कहा जाता है यदि इसके विपरीत पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है और दूसरी जोड़ी नहीं होती है। समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं मैदान ट्रापेज़, अन्य दो पार्श्व हैं। एक आयताकार में ट्रापेज़पार्श्व पक्ष में कोनों में से एक सीधा है।

अनुदेश

1. कार्य 1. एक आयताकार के आधार BC और AD ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि हम विकर्ण AC = f की लंबाई जानते हैं; पार्श्व भुजा CD की लंबाई = c और इसके साथ कोण ADC = ?. हल: समकोण त्रिभुज CED को देखें। कर्ण c और कर्ण और टांग के बीच का कोण EDC प्रसिद्ध है। CE और ED भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए: कोण सूत्र CE = CD*sin(ADC) का उपयोग करके; ईडी = सीडी * कॉस (एडीसी)। यह पता चला है: सीई = सी * पाप ?; ईडी=सी*कॉस?.

2. समकोण त्रिभुज ACE पर विचार करें। आप कर्ण एसी और पैर सीई को जानते हैं, एक समकोण त्रिभुज के नियम के अनुसार भुजा AE ज्ञात कीजिए: पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। यह पता चला है: एई (2) = एसी (2) - सीई (2) = एफ (2) - सी * पाप?। गणना वर्गमूलसमानता के दाईं ओर से। आपको आयताकार का ऊपरी आधार मिल गया है ट्रापेज़ .

3. आधार AD की लंबाई 2 खंडों AE और ED की लंबाई का योग है। AE = वर्गमूल(f(2) - c*sin?); ED = c*cos?)। यह पता चला है: AD = वर्गमूल(f(2) - c*sin?) + c*cos?। क्या आपने आयताकार का निचला आधार पाया है ट्रापेज़ .

4. कार्य 2. एक आयताकार के आधार BC और AD ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि हम विकर्ण BD = f की लंबाई जानते हैं; पार्श्व भुजा CD की लंबाई = c और इसके साथ कोण ADC = ?. हल: समकोण त्रिभुज CED को देखें। CE और ED भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD*cos(ADC) = c*cos?.

5. आयत ABCE पर विचार करें। आयत AB = CE = c*sin? के गुण के अनुसार समकोण त्रिभुज ABD को देखिए। एक समकोण त्रिभुज के गुण के अनुसार कर्ण का वर्ग टाँगों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसलिए AD(2) = BD(2) - AB(2) = f(2) - c*sin?. आपको आयताकार का निचला आधार मिल गया है ट्रापेज़ AD = वर्गमूल(f(2) - c*sin?).

6. आयत नियम से BC = AE = AD - ED = वर्गमूल(f(2) - c*sin?) - c*cos?। क्या आपने आयताकार का ऊपरी आधार पाया है ट्रापेज़ .

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो समानांतर और दो गैर-समानांतर पक्ष होते हैं। इसकी परिधि की गणना करने के लिए, आपको समलम्ब चतुर्भुज के सभी पक्षों के आयामों को जानना होगा। इस मामले में, कार्यों में डेटा भिन्न हो सकता है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर;
• - साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की तालिकाएँ;
• - कागज़;
• - ड्राइंग सहायक उपकरण।

अनुदेश

1. समस्या का सबसे आदिम संस्करण तब होता है जब एक समलम्बाकार के सभी पक्षों को दिया जाता है। इस मामले में, उन्हें आसानी से मोड़ा जाना चाहिए। इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की अनुमति है: p=a+b+c+d, जहां p परिधि है, और अक्षर a, b, c और d संबंधित बड़े अक्षरों द्वारा इंगित कोनों के विपरीत पक्षों को इंगित करते हैं।

2. एक समद्विबाहु समलम्बाकार है, यह इसके दो आधारों को मोड़ने के लिए पर्याप्त है और उन्हें पक्ष के आकार से दोगुना जोड़ देता है। यही है, इस मामले में परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: p \u003d a + c + 2b, जहां b समलम्बाकार पक्ष है, और c आधार हैं।

3. यदि किसी एक पक्ष की गणना करने की आवश्यकता है तो गणना कुछ अधिक लंबी होगी। मान लीजिए कि हम लंबे आधार, उससे लगे कोणों और ऊंचाई को जानते हैं। आपको लघु आधार और पक्ष की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD खीचें, ऊपरी कोने B से ऊँचाई BE खींचे। आपको एक त्रिभुज ABE मिलेगा। आपको क्रमशः कोण A दिया गया है, आप इसकी ज्या जानते हैं। समस्या डेटा में ऊंचाई बीई भी शामिल है, जो एक ही समय में आपके द्वारा ज्ञात कोण के विपरीत एक समकोण त्रिभुज का पैर है। कर्ण AB को खोजने के लिए, जो एक ही समय में समलम्ब चतुर्भुज की भुजा है, यह BE को sinA से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। दूसरी भुजा की लंबाई भी सही से ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, आपको एक अलग ऊपरी कोने, यानी CF से ऊँचाई खींचनी होगी। अब आप बड़े आधार और भुजाओं को जानते हैं। परिधि की गणना करने के लिए, यह ज्यादा नहीं है, आपको छोटे आधार के आकार की भी आवश्यकता है। तदनुसार, ट्रेपेज़ॉइड के अंदर बने 2 त्रिकोणों में, एई और डीएफ खंडों के आकार को खोजना आवश्यक है। यह किया जा सकता है, कहते हैं, कोण ए और डी के कोसाइन के माध्यम से जो आपको ज्ञात हैं। कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। पैर को खोजने के लिए, कर्ण को कोसाइन से गुणा करना आवश्यक है। इसके बाद, पहले चरण के समान सूत्र का उपयोग करके परिधि की गणना करें, अर्थात सभी पक्षों को जोड़ना।

4. एक अन्य विकल्प: दो आधार दिए गए हैं, एक ऊँचाई और एक भुजा, आपको दूसरी भुजा खोजने की आवश्यकता है। इसके साथ करना भी बेहतर है त्रिकोणमितीय फलन. ऐसा करने के लिए, एक ट्रेपोजॉइड बनाएं। यह संभव है, आप आधार AD और BC, साथ ही भुजा AB और ऊँचाई BF जानते हैं। इन आंकड़ों से, आप कोण ए (साइन के माध्यम से, यानी, प्रसिद्ध पक्ष की ऊंचाई का अनुपात), खंड एएफ (कोसाइन या स्पर्शरेखा के माध्यम से, इस तथ्य से कि कोण आपके लिए अधिक परिचित है) पा सकते हैं। एक समलम्ब के कोणों के गुण भी - एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° है। ऊँचाई CF खींचिए। आपके पास एक और समकोण त्रिभुज है जिसमें आपको कर्ण सीडी और पैर DF खोजने की आवश्यकता है। से शुरू करें पैर। निचले आधार की लंबाई से ऊपरी की लंबाई, और परिणामी कुल से घटाएं - उस खंड की लंबाई जो आपको अधिक बारीकी से जाना जाता है AF अब एक समकोण त्रिभुज CFD में आप दो पैरों को जानते हैं, कि है, आप कोण D की स्पर्शरेखा और उससे ही कोण का पता लगा सकते हैं। बाद में, ऊपर बताए अनुसार उसी कोण की ज्या के माध्यम से भुजा CD की गणना करना बाकी है।

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हमें जो भी समस्याएँ हल करनी हैं, गणित में पाठ्यपुस्तकों के संकलनकर्ताओं की कल्पना वास्तव में अटूट है। उदाहरण के लिए, एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें? सबसे पहले, आइए जानें कि एक ट्रेपोजॉइड क्या है। इस आंकड़े से डरो मत। यह सिर्फ एक आयत है, जिसमें दो भुजाएँ हमेशा एक दूसरे के समानांतर होती हैं और आधार कहलाती हैं, और बाकी भुजाएँ कहलाती हैं, और वे भिन्न हो सकती हैं। यदि समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ समान हों, तो इसे समद्विबाहु कहते हैं। एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड की अवधारणा भी है, जिसमें एक पक्ष समकोण पर समलम्ब के आधार से जुड़ा होता है।

समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें

एक परिधि क्या है? परिधि आयत की सभी भुजाओं की लंबाई का योग है, जिससे समलंब भी सीधे तौर पर संबंधित है। अन्य सभी समस्याएं, जहां कुछ मात्रा अज्ञात हैं, सभी अज्ञात पाए जाने के बाद पक्षों के योग में भी कम हो जाती हैं।

क्या होगा अगर सभी पक्ष समान हैं? यदि आपको हल करने के लिए कोई समस्या दी जाती है, जहाँ समलम्ब चतुर्भुज a b c d के सभी पक्ष दिए गए हैं, तो उन्हें बस एक साथ जोड़ने की आवश्यकता है, परिणाम परिधि होगा। एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप। मान लीजिए कि हमें एक आयताकार समलम्ब दिया गया है, जहाँ हम निचला आधार AD=a, गैर-लंबवत भुजा CD=d और कोण Alpha जानते हैं।

कैसे तय करें? हम शीर्ष C से एक ऊँचाई खींचते हैं, जो तुरंत हमारे समलम्ब को एक आयत ABCE और एक त्रिभुज ECD में विभाजित करती है। हमारे पास यह त्रिभुज सही है, हम इसकी कर्ण सीडी जानते हैं, जो d के बराबर है। अब हम सूत्र CE = CD*sin(ADC) और ED = CD*cos(ADC) का उपयोग करके त्रिभुज की टांगें ज्ञात करते हैं। अब हम लगभग सब कुछ जानते हैं। BC \u003d AD-ED, और भुजा AB, क्रमशः पहले पाए गए लेग CE के बराबर है। अब यह केवल सभी पक्षों को जोड़ने के लिए बनी हुई है, और उत्तर तैयार है।

समद्विबाहु समलम्बाकार का परिमाप

1. पार्श्व पक्ष और मध्य रेखा ज्ञात हैं। समद्विबाहु समलम्बाकार का परिमाप कैसे ज्ञात करें यदि आप केवल भुजाओं को जानते हैं बराबर पक्षएबी और सीडी और मध्य रेखा ईएफ? ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा को आधारों के समानांतर के रूप में जाना जाता है, और इन आधारों के आधे योग के बराबर भी। और आधारों की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें केवल लंबाई को दोगुना करना होगा मध्य पंक्ति. इन आंकड़ों के आधार पर, समाधान है: Р=2EF+2AB
2. आधार और ऊंचाई ज्ञात हैं। समस्या में, केवल आधारों की लंबाई और समलम्बाकार की ऊंचाई ज्ञात की जा सकती है। ऊंचाई एक समकोण त्रिभुज बनाती है, और उनमें से दो बराबर हैं। निचला पैर बहुत सरल है: (AD-BC)/2. अब हम दोनों पैरों को जानते हैं, पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने से केवल कर्ण का पता लगाना बाकी है। हमारा कर्ण पैरों के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।
3. तो, हमने समलम्ब चतुर्भुज का पक्ष पाया है, हमारे पास उनमें से दो हैं और वे समान हैं, हम शुरुआत से ही आधारों को जानते हैं, इसलिए अब हमें बस सब कुछ जोड़ना होगा, और हमें वांछित परिधि मिल जाएगी। इस प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करना काफी आसान है। इस मामले में मुख्य और सर्वोपरि है इसके गुणों को जानना, और फिर आपको ट्रेपेज़ॉइड पर समस्याओं को हल करने में कभी समस्या नहीं होगी। इसलिए, गणना करने से पहले, थोड़ा सिद्धांत चोट नहीं पहुंचाएगा।

अनुदेश

यदि दोनों आधारों की लंबाई (ए और बी) और पार्श्व पक्ष (सी) की लंबाई ज्ञात है, तो इस ज्यामितीय आकृति की परिधि (पी) की गणना बहुत सरलता से की जाती है। चूंकि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, इसकी भुजाओं की लंबाई समान है, और यह कि आप सभी भुजाओं की लंबाई जानते हैं - बस उन्हें जोड़ें: P = a + b + 2 * c।

यदि दोनों आधारों की लंबाई अज्ञात है, लेकिन रेखा (l) और भुजा (c) की लंबाई दी गई है, तो ये आंकड़े परिधि (P) की गणना के लिए पर्याप्त हैं। माध्यिका रेखा दोनों आधारों के समानांतर होती है और लंबाई में उनके आधे योग के बराबर होती है। इसे दोगुना करें और इसमें भुजा की लंबाई को भी दुगना जोड़ दें - यह समद्विबाहु समलम्ब की परिधि होगी: P = 2*l+2*c.

यदि दोनों आधारों की लंबाई (ए और बी) और एक समद्विबाहु समलम्बाकार की ऊंचाई (एच) समस्या की स्थितियों से जानी जाती है, तो इन आंकड़ों से लापता पक्ष की लंबाई को बहाल करना संभव है। यह एक त्रिभुज पर विचार करके किया जा सकता है जिसमें कर्ण अज्ञात पक्ष है, और पैर ऊंचाई और छोटा खंड है जो इसे ट्रेपेज़ॉइड के लंबे आधार से काटता है। इस खंड की लंबाई की गणना बड़े और छोटे आधारों की लंबाई के बीच के अंतर को आधे में विभाजित करके की जा सकती है: (ए-बी) / 2. पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण की लंबाई (ट्रेपेज़ॉइड का पार्श्व पक्ष), दोनों ज्ञात पैरों की लंबाई के योग के वर्गमूल के बराबर होगी। परिणामी अभिव्यक्ति के साथ पहले चरण से सूत्र में पक्ष की लंबाई को बदलें, और आपको निम्नलिखित परिधि सूत्र मिलेगा: P \u003d a + b + 2 * (h² + (a-b)² / 4)।

यदि कार्यों को छोटे आधार (बी) और पक्ष (सी) की लंबाई के साथ-साथ समद्विबाहु समलम्बाकार (एच) की ऊंचाई दी जाती है, तो पिछले चरण के समान सहायक त्रिभुज पर विचार करते हुए, आपको करना होगा पैर की लंबाई की गणना करें। फिर से, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें - वांछित मूल्य पक्ष की वर्ग लंबाई (कर्ण) और ऊंचाई (): (c²-h²) के बीच अंतर की जड़ के बराबर होगा। एक समलम्ब के इस अज्ञात आधार से, आप इसकी लंबाई को पुनर्स्थापित कर सकते हैं - इस अभिव्यक्ति को दोगुना करें और परिणाम में छोटे आधार की लंबाई जोड़ें: b + 2 * (c²-h²)। इस व्यंजक को पहले चरण से सूत्र में रखें और समद्विबाहु समलम्ब की परिधि ज्ञात करें: P = b+2*√(c²-h²)+b+2*c = 2*(√(c²-h²)+b+ सी)।

स्रोत:

• समलंब परिधि

टिप 2: समद्विबाहु समलम्बाकार की भुजाओं का पता कैसे लगाएं

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो समानांतर भुजाएँ होती हैं। इन भुजाओं को आधार कहते हैं। उनके समापन बिंदु पार्श्व पक्षों नामक खंडों से जुड़े होते हैं। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं।

आपको चाहिये होगा

• - समद्विबाहु समलम्बाकार;
• - समलम्बाकार आधारों की लंबाई;
• - ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई;
• - कागज़;
• - पेंसिल;
• - शासक।

अनुदेश

समस्या की स्थितियों के अनुसार निर्माण करें। आपको कई पैरामीटर दिए जाने चाहिए। जैसे, यह और ऊँचाई दोनों है। लेकिन अन्य स्थितियां भी संभव हैं - आधारों में से एक, इसके पार्श्व पक्ष का झुकाव और ऊंचाई। समलम्ब चतुर्भुज को ABCD के रूप में नामित करें, आधारों को a और b होने दें, ऊँचाई को h और भुजाओं को x के रूप में निर्दिष्ट करें। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, इसलिए इसकी भुजाएँ समान हैं।

शीर्ष B और C से निचले आधार तक ऊँचाई खींचते हैं। बिंदुओं को एम और एन के रूप में नामित करें। आपको दो समकोण त्रिभुज मिलते हैं - एएमबी और सीएनडी। वे समान हैं, क्योंकि समस्या की स्थितियों के अनुसार, उनके कर्ण AB और CD, साथ ही पैर BM और CN समान हैं। तदनुसार, खंड AM और DN भी एक दूसरे के बराबर हैं। उनकी लंबाई को y के रूप में नामित करें।

इन खंडों के योग की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आधार b की लंबाई को आधार a की लंबाई से घटाना आवश्यक है। 2y = ए-बी। तदनुसार, ऐसा एक खंड आधारों को 2 से विभाजित करेगा। y=(a-b)/2.

समलम्ब चतुर्भुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए, जो कि त्रिभुज का कर्ण भी है जिसके पैरों को आप जानते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसकी गणना करें। यह ऊंचाई के वर्गों के योग और आधारों के अंतर का वर्गमूल होगा, जिसे 2 से विभाजित किया जाएगा। यानी, x=√y2+h2=√(a-b)2/4+h2।

आधार की तरफ के झुकाव की ऊंचाई और कोण जानने के बाद, वही निर्माण करें। इस मामले में आधारों के अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं है। साइन प्रमेय का प्रयोग करें। कर्ण विपरीत कोण की ज्या से गुणा किए गए पैर की लंबाई के बराबर है। इस मामले में x=h*sinCDN या x=h*sinBAM।

यदि आपको समलम्ब चतुर्भुज की भुजा के झुकाव का कोण नीचे की ओर नहीं, बल्कि ऊपरी आधार पर दिया जाता है, तो समानांतर रेखाओं के आधार पर वांछित कोण ज्ञात कीजिए। एक समलम्ब चतुर्भुज के गुणों में से एक को याद करें, जिसके अनुसार एक आधार और पक्षों के बीच के कोण बराबर होते हैं।

टिप्पणी

समद्विबाहु समलम्बाकार के गुणों की समीक्षा करें। यदि हम इसके दोनों आधारों को आधा कर दें और इन बिंदुओं से होकर एक रेखा खींच लें, तो यह इस ज्यामितीय आकृति की धुरी होगी।

यदि आप ऊपरी आधार के एक शीर्ष से निचले एक तक की ऊंचाई कम करते हैं, तो इस बाद वाले पर दो खंड प्राप्त होंगे। उदाहरण के लिए, इस मामले में, ये खंड AM और DM हैं। उनमें से एक आधार a और b के योग के आधे के बराबर है, और दूसरा उनके अंतर का आधा है।

स्रोत:

• एक समद्विबाहु समलम्बाकार आधार में भुजाएँ ज्ञात कीजिए

सलाह 3: समद्विबाहु समलम्बाकार की मध्य रेखा का पता कैसे लगाएं

एक समलम्ब चतुर्भुज को केवल दो समानांतर भुजाओं वाला एक चतुर्भुज माना जाता है - उन्हें इस आकृति का आधार कहा जाता है। यदि एक ही समय में अन्य दो - पार्श्व - भुजाओं की लंबाई समान है, तो समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु या समद्विबाहु कहा जाता है। भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को समलम्ब रेखा की मध्य रेखा कहा जाता है और इसकी गणना कई तरीकों से की जा सकती है।

अनुदेश

यदि दोनों आधारों (ए और बी) की लंबाई ज्ञात है, तो लंबाई (एल) की गणना करने के लिए ट्रेपेज़ॉइड के इस तत्व की संपत्ति का उपयोग करें - यह आधारों की लंबाई के आधे योग के बराबर है: एल \u003d ½ * (ए + बी)। उदाहरण के लिए, 10cm और 20cm की लंबाई के साथ, बीच की रेखा ½ * (10 + 20) = 15cm के बराबर होनी चाहिए।

एक समद्विबाहु समलम्बाकार की ऊँचाई (h) के साथ मध्य रेखा (L) इस आकृति के क्षेत्रफल (S) की गणना के लिए सूत्र में एक कारक है। यदि मूल समस्याओं में ये दो पैरामीटर दिए गए हैं, तो मध्य रेखा की लंबाई की गणना करने के लिए, क्षेत्र को ऊंचाई से विभाजित करें: एल = एस/एच। उदाहरण के लिए, 75 सेमी² के क्षेत्र के साथ, 15 सेमी ऊंचे समद्विबाहु समलम्ब की औसत लंबाई 75/15 \u003d 5 सेमी होनी चाहिए।

समद्विबाहु समलम्बाकार के ज्ञात परिमाप (P) और पार्श्व भुजा (C) की लंबाई के साथ, आकृति की मध्य रेखा (L) की गणना करना भी कठिन नहीं है। परिधि से पक्षों की दो लंबाई घटाएं, और शेष मान आधारों की लंबाई का योग होगा - इसे आधे में विभाजित करें, और समस्या हल हो जाएगी: एल \u003d (पी -2 * सी) / 2। उदाहरण के लिए, 150 सेमी की परिधि और 25 सेमी की लंबाई के साथ, मध्य रेखा की लंबाई (150-2 * 25) / 2 = 50 सेमी होनी चाहिए।

परिधि (पी) और ऊंचाई (एच) की लंबाई के साथ-साथ समद्विबाहु समलम्बाकार के न्यून कोणों (α) में से एक के मूल्य को जानने के बाद, आप इसकी मध्य रेखा (एल) की लंबाई की गणना भी कर सकते हैं। ऊँचाई, भुजा और आधार के भाग से बने त्रिभुज में एक कोण सम होता है और दूसरे का मान ज्ञात होता है। यह आपको साइन प्रमेय का उपयोग करके पक्ष की लंबाई की गणना करने की अनुमति देगा - ऊंचाई को ज्ञात कोण की ज्या से विभाजित करें: h/sin(α)। फिर इस व्यंजक को पिछले चरण से सूत्र में बदलें और आपको समानता मिलेगी: L = (P-2*h/sin(α))/2 = P/2-h/sin(α)। उदाहरण के लिए, यदि ज्ञात कोण 30° है, ऊँचाई 10cm है, और परिधि 150cm है, तो मध्य रेखा की लंबाई की गणना निम्नानुसार की जानी चाहिए: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55cm .

युक्ति 4: समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें

परिमाप एक बहुभुज की सभी भुजाओं का योग होता है। नियमित बहुभुजों में, पक्षों के बीच कड़ाई से परिभाषित संबंध परिधि को खोजना आसान बनाता है।

अनुदेश

एक टूटी हुई रेखा के विभिन्न खंडों से घिरी एक मनमानी आकृति में, परिधि पक्षों के क्रमिक माप और माप परिणामों के योग द्वारा निर्धारित की जाती है। नियमित बहुभुजों के लिए, उन सूत्रों का उपयोग करके गणना करना संभव है जो आकृति के पक्षों के बीच के कनेक्शन को ध्यान में रखते हैं।

पक्षों के साथ एक मनमाना त्रिभुज में a, b, c, परिधि P की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: P \u003d a + b + c। एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाएँ होती हैं: a=b, और परिमाप ज्ञात करना P=2*a+c तक सरल हो जाता है।

यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज में सभी भुजाओं के आयाम स्थिति द्वारा नहीं दिए गए हैं, तो अन्य ज्ञात मापदंडों का उपयोग परिधि को खोजने के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल, उसके कोण, ऊँचाई, द्विभाजक और माध्यिकाएँ। उदाहरण के लिए, यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज की केवल दो बराबर भुजाएँ और उसका कोई भी कोण ज्ञात हो, तो साइन प्रमेय का उपयोग करके तीसरी भुजा ज्ञात कीजिए, जिससे यह पता चलता है कि त्रिभुज की भुजा का विपरीत कोण की ज्या से अनुपात इस त्रिभुज के लिए एक स्थिर मान है। तब अज्ञात पक्ष को ज्ञात पक्ष के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: a=b*SinA/SinB, जहां A अज्ञात पक्ष a के विरुद्ध कोण है, B ज्ञात पक्ष b के विरुद्ध कोण है।

यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल S और उसका आधार b ज्ञात है, तो त्रिभुज S \u003d b * h / 2 के क्षेत्रफल का निर्धारण करने के सूत्र से, ऊँचाई ज्ञात करें h: h \u003d 2 * एस / बी। यह ऊँचाई, आधार b तक कम, दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। समकोण त्रिभुजों के मूल समद्विबाहु कर्ण की पार्श्व भुजाएँ a। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग टाँगों b और h के वर्गों के योग के बराबर होता है। तब एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप P सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है:
पी=बी+2*√(बी²/4) +4*एस²/बी²)।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसका आधार दो समानांतर रेखाओं पर होता है, जबकि अन्य दो भुजाएँ समानांतर नहीं होती हैं। सिद्धांत को पारित करते समय और समस्याओं को हल करते समय समद्विबाहु समलम्बाकार का आधार खोजना आवश्यक है शिक्षण संस्थानों, और कई व्यवसायों (इंजीनियरिंग, वास्तुकला, डिजाइन) में।

अनुदेश

एक समद्विबाहु (या समद्विबाहु) समलम्ब चतुर्भुज में गैर-समानांतर भुजाएँ होती हैं, साथ ही निचले आधार को पार करते समय बनने वाले कोण समान होते हैं।

एक ट्रेपेज़ॉइड के दो आधार होते हैं, और उन्हें खोजने के लिए, आपको पहले एक आकृति निर्दिष्ट करनी होगी। मान लीजिए AD और BC के आधारों वाला एक समद्विबाहु ABCD दिया गया है। इस मामले में, आधारों को छोड़कर, सभी पैरामीटर ज्ञात हैं। पार्श्व भुजा AB=CD=a, ऊँचाई BH=h और क्षेत्रफल S के बराबर है।

एक समलम्ब के आधार की समस्या को हल करने के लिए, परस्पर संबंधित मात्राओं के माध्यम से आवश्यक आधारों को खोजने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करना सबसे आसान होगा।

खंड BC को x के रूप में और AD को y के रूप में नामित करें, ताकि भविष्य में सूत्रों को संभालने और उन्हें समझने में सुविधा हो। अगर आप इसे तुरंत नहीं करते हैं, तो आप भ्रमित हो सकते हैं।

ज्ञात आँकड़ों का प्रयोग करते हुए लिखिए, जो समस्या को हल करने में उपयोगी होगा। समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल के लिए सूत्र: S=((AD+BC)*h)/2. पाइथागोरस प्रमेय: a*a = h*h +AH*AH ।

एक समद्विबाहु समलम्बाकार की संपत्ति को याद करें: समलंब के शीर्ष से निकलने वाली ऊंचाई एक बड़े आधार पर समान खंडों को काटती है। यह इस प्रकार है कि इस गुण से निम्नलिखित सूत्र के अनुसार दो आधारों को जोड़ा जा सकता है: AD=BC+2AH या y=x+2AH

आधार, हमें खंड CE मिलता है, ट्रेपेज़ॉइड दो में विभाजित होता है - आयत ABCE और समकोण त्रिभुज ECD। कर्ण पार्श्व पक्ष है जिसे हम जानते हैं ट्रापेज़सीडी, पैरों में से एक लंबवत पक्ष के बराबर है ट्रापेज़(आयत नियम के अनुसार, दो समानांतर भुजाएँ बराबर हैं - AB = CE), और दूसरा एक खंड है जिसके आधारों की लंबाई है ट्रापेज़ईडी = एडी-बीसी।

त्रिभुज की टाँगें खोजें: मौजूदा सूत्रों का उपयोग करके CE = CD*sin(ADC) और ED = CD*cos(ADC)। अब ऊपरी आधार की गणना करें - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = ए - डी * कॉस (अल्फा)। लंबवत पक्ष की लंबाई ज्ञात करें - एबी \u003d सीई \u003d डी * पाप (अल्फा)। तो, आपको आयताकार के सभी पक्षों की लंबाई मिल गई ट्रापेज़.

परिणामी मान जोड़ें, यह एक आयताकार का परिमाप होगा ट्रापेज़:P = AB + BC + CD + AD = d*sin(Alpha) + (a - d*cos(Alpha)) + d + a = 2*a + d*(sin(Alpha) - cos(Alpha) + एक)।

कार्य 3. एक आयताकार का परिमाप ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि इसके आधारों की लंबाई AD = a, BC = c, लंब भुजा की लंबाई AB = b और दूसरी भुजा ADC = Alpha के साथ न्यून कोण ज्ञात हो। हल। एक लंबवत CE खींचिए, एक आयत ABCE प्राप्त कीजिए और एक त्रिभुज CED। अब त्रिभुज CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Alpha) के कर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए। तो आपको सभी भुजाओं की लंबाई मिल गई है।

परिणामी मानों को जोड़ें: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

हम में से प्रत्येक ने सीखा कि प्राथमिक ग्रेड में परिधि क्या है। एक ज्ञात परिधि के साथ एक वर्ग के पक्षों को खोजने से आमतौर पर उन लोगों के लिए भी समस्या नहीं होती है जो बहुत समय पहले स्कूल से स्नातक की उपाधि प्राप्त करते हैं और गणित के पाठ्यक्रम को भूल जाते हैं। हालांकि, हर कोई बिना संकेत के एक आयत या समकोण त्रिभुज के संबंध में एक समान समस्या को हल करने में सफल नहीं होता है।

अनुदेश

आइए मान लें कि एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a, b और c हैं, जिसमें से एक कोण 30 है और दूसरा 60 है। यह आंकड़ा दर्शाता है कि a = c*sin?, and b = c*cos?. यह जानते हुए कि किसी भी आकृति में और एक त्रिभुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं के योग के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं: a + b + c = c * sin ? + c * cos + c = p इस व्यंजक से, आप प्राप्त कर सकते हैं अज्ञात भुजा c ज्ञात कीजिए, जो त्रिभुज का कर्ण है। तो कोण कैसा है? = 30, परिवर्तन के बाद हमें मिलता है: p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक आयत का विकर्ण इसे 30 और 60 डिग्री के कोणों के साथ दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। चूँकि p=2(a + b), चौड़ाईएक और लंबाई b आयत इस तथ्य के आधार पर पाया जा सकता है कि विकर्ण समकोण त्रिभुज का कर्ण है: a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2ये दो आयत समीकरण हैं। इस आयत की लंबाई और चौड़ाई की गणना उनसे की जाती है, इसके विकर्ण को खींचते समय परिणामी कोणों को ध्यान में रखते हुए।

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टिप्पणी

यदि आप परिधि और चौड़ाई जानते हैं तो आयत की लंबाई कैसे ज्ञात करें? लंबाई की दुगुनी पाने के लिए परिमाप से दुगनी चौड़ाई घटाएं। फिर हम लंबाई ज्ञात करने के लिए इसे आधे में विभाजित करते हैं।

उपयोगी सलाह

से अधिक प्राथमिक स्कूलबहुत से लोग याद करते हैं कि किसी भी ज्यामितीय आकृति की परिधि का पता कैसे लगाया जाए: यह उसके सभी पक्षों की लंबाई का पता लगाने और उनका योग खोजने के लिए पर्याप्त है। यह ज्ञात है कि एक आयत जैसी आकृति में, पक्षों की लंबाई जोड़े में बराबर होती है। यदि किसी आयत की चौड़ाई और ऊँचाई समान लंबाई की हो तो उसे वर्ग कहते हैं। आम तौर पर, आयत की लंबाई को पक्षों में सबसे बड़ा कहा जाता है, और चौड़ाई सबसे छोटी होती है।

स्रोत:

• 2019 में परिधि की चौड़ाई क्या है

परिमाप(पी) - आकृति के सभी पक्षों की लंबाई का योग, और चतुर्भुज में उनमें से चार हैं। तो, एक चतुर्भुज की परिधि को खोजने के लिए, आपको बस इसकी सभी भुजाओं की लंबाई जोड़ने की आवश्यकता है। लेकिन एक आयत, एक वर्ग, एक समचतुर्भुज, यानी नियमित चतुर्भुज जैसी आकृतियों को जाना जाता है। उनकी परिधि विशेष तरीकों से निर्धारित की जाती है।

अनुदेश

यदि दिया गया एक आयत (या समांतर चतुर्भुज) ABCD है, तो इसके निम्नलिखित गुण हैं: समांतर भुजाएँ जोड़ीदार समान हैं (देखें)। एबी = एसडी और एसी = वीडी। इस आकृति में भुजाओं के अनुपात को जानकर, हम व्युत्पन्न कर सकते हैं आयत(और समांतर चतुर्भुज): पी \u003d एबी + एसडी + एसी + वीडी। मान लीजिए कि कुछ भुजाएँ संख्या a के बराबर हैं, दूसरी संख्या b के बराबर है, फिर P \u003d a + a + b + b \u003d 2 * a \u003d 2 * b \u003d 2 * (a + c)। उदाहरण 1. ABCD में, भुजाएँ AB = CD = 7 सेमी और AC = VD = 3 सेमी के बराबर हैं। ऐसे आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए। समाधान: पी \u003d 2 * (ए + सी)। पी \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 सेमी।

एक वर्ग या एक समचतुर्भुज नामक आकृति के साथ भुजाओं की लंबाई के योग के लिए समस्याओं को हल करते समय, थोड़ा संशोधित परिधि सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए। एक वर्ग और एक समचतुर्भुज ऐसी आकृतियाँ हैं जिनकी चार भुजाएँ समान हैं। परिधि की परिभाषा के आधार पर, P \u003d AB + SD + AC + VD और अक्षर a के साथ लंबाई मानते हुए, फिर P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a। उदाहरण 2. 2 सेमी भुजा वाला एक समचतुर्भुज उसका परिमाप ज्ञात कीजिए। हल: 4*2 सेमी = 8 सेमी।

यदि दिया गया चतुर्भुज एक समलम्ब है, तो इस स्थिति में आपको केवल इसकी चारों भुजाओं की लंबाई जोड़ने की आवश्यकता है। पी \u003d एबी + एसडी + एसी + वीडी। उदाहरण 3. ABCD ज्ञात कीजिए यदि इसकी भुजाएँ समान हैं: AB = 1 सेमी, SD = 3 सेमी, AC = 4 सेमी, ID = 2 सेमी। हल: P = AB + SD + AC + ID = 1 सेमी + 3 सेमी + 4 सेमी + 2 सेमी = 10 सेमी। ऐसा हो सकता है कि यह समबाहु निकला हो (इसकी दो पार्श्व भुजाएँ समान हों), फिर इसकी परिधि को सूत्र में घटाया जा सकता है: P \u003d AB + SD + AC + VD \u003d a + बी + ए + सी \u003d 2 * ए + बी + एस। उदाहरण 4. एक समद्विबाहु का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि उसके पार्श्व फलक 4 सेमी और आधार 2 सेमी और 6 सेमी हैं। हल: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 सेमी + 2 सेमी + 6 सेमी \u003d 16 सेमी।

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उपयोगी सलाह

व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग किए बिना, कोई भी चतुर्भुज (और कोई अन्य आकृति) की परिधि को पक्षों की लंबाई के योग के रूप में खोजने की जहमत नहीं उठाता। वे सुविधा और गणना में आसानी के लिए दिए गए हैं। समाधान विधि कोई गलती नहीं है, सही उत्तर और गणितीय शब्दावली का ज्ञान महत्वपूर्ण है।

स्रोत:

• एक आयत का परिमाप कैसे ज्ञात करें

चार कोनों वाली एक गणितीय आकृति को समलंब चतुर्भुज कहा जाता है यदि इसके विपरीत पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है और दूसरी जोड़ी नहीं होती है। समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं मैदान ट्रापेज़, अन्य दो पार्श्व हैं। एक आयताकार में ट्रापेज़पार्श्व पक्ष में कोनों में से एक सीधा है।

अनुदेश

कार्य 1. BC और AD के आधार ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि लंबाई AC = f ज्ञात है; भुजा की लंबाई CD = c और उसका कोण ADC = α हल: एक आयताकार CED पर विचार करें। कर्ण c और कर्ण और टांग EDC के बीच के कोण को जाना जाता है। CE और ED की लंबाई ज्ञात कीजिए: कोण सूत्र CE = CD*sin(ADC) का उपयोग करके; ईडी = सीडी * कॉस (एडीसी)। तो: सीई = सी * sinα; ED=c*cosα.

समकोण त्रिभुज ACE पर विचार करें। आप कर्ण एसी और सीई जानते हैं, नियम के अनुसार पक्ष एई खोजें: पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। तो: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα। समीकरण के दाईं ओर के वर्गमूल की गणना करें। आपको शीर्ष आयताकार मिला ट्रापेज़.

आधार AD की लंबाई दो खंडों AE और ED की लंबाई का योग है। AE = वर्गमूल(f(2) - c*sinα); ED = c*cosα)।तो: AD = वर्गमूल(f(2) - c*sinα) + c*cosα। आपने आयताकार का निचला आधार पाया है ट्रापेज़.

कार्य 2. एक आयताकार के आधार BC और AD ज्ञात कीजिए ट्रापेज़, यदि विकर्ण की लंबाई ज्ञात हो BD = f; भुजा की लंबाई CD = c और उसका कोण ADC = α हल: एक समकोण त्रिभुज CED पर विचार करें। CE और ED भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα.

आयत ABCE पर विचार करें। गुण से AB = CE = c*sinα। एक समकोण त्रिभुज ABD पर विचार करें। एक समकोण त्रिभुज की संपत्ति के अनुसार, कर्ण का वर्ग गणना कुछ हद तक लंबी होगी यदि पक्षों में से एक की गणना करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, हम लंबे आधार, उससे लगे कोणों और ऊंचाई को जानते हैं। आपको लघु आधार और पक्ष की गणना करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD खीचें, ऊपरी कोने B से ऊँचाई BE खींचे। आपको एक त्रिभुज ABE मिलेगा। आप कोण A को जानते हैं, क्रमशः, आप इसकी ज्या जानते हैं। समस्या डेटा में ऊंचाई BE भी शामिल है, जो आपके ज्ञात कोण के विपरीत एक समकोण त्रिभुज का पैर भी है। कर्ण AB को ज्ञात करने के लिए, जो समलम्ब चतुर्भुज की भी भुजा है, यह BE को sinA से भाग देने के लिए पर्याप्त है। इसी प्रकार दूसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, आपको दूसरे ऊपरी कोने, यानी CF से ऊँचाई खींचनी होगी।

अब आप बड़े आधार और भुजाओं को जानते हैं। परिधि की गणना करने के लिए यह पर्याप्त नहीं है, आपको छोटे आधार के आकार की भी आवश्यकता है। तदनुसार, समलम्ब चतुर्भुज के अंदर बने दो त्रिभुजों में, AE और DF खंडों के आकार ज्ञात करना आवश्यक है। यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कोण ए और डी के माध्यम से जो आपको ज्ञात हैं। कोसाइन आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है। पैर को खोजने के लिए, आपको कर्ण को कोसाइन से गुणा करना होगा। इसके बाद, पहले चरण के समान सूत्र का उपयोग करके परिधि की गणना करें, अर्थात सभी पक्षों को जोड़ना।

एक अन्य विकल्प: दो आधार दिए गए हैं, एक ऊँचाई और एक भुजा, आपको दूसरी भुजा खोजने की आवश्यकता है। यह त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके भी सबसे अच्छा किया जाता है। ऐसा करने के लिए, एक ट्रेपोजॉइड बनाएं। मान लीजिए कि आप आधार AD और BC, साथ ही भुजा AB और ऊँचाई BF जानते हैं। इस डेटा से आप कोण ए (साइन के माध्यम से, यानी ऊंचाई और का अनुपात) का पता लगा सकते हैं ज्ञात पक्ष), खंड AF (या स्पर्शरेखा, क्योंकि आप पहले से ही कोण जानते हैं। गुणों को भी याद रखें - एक तरफ के कोणों का योग 180 ° है।)

सीएफ ऊंचाई स्वाइप करें। आपके पास एक और समकोण त्रिभुज है जहाँ आपको कर्ण CD DF ज्ञात करने की आवश्यकता है। कैथेटर से शुरू करें। निचले आधार की लंबाई से ऊपरी एक की लंबाई घटाएं, और प्राप्त परिणाम से - खंड AF की लंबाई जिसे आप पहले से ही जानते हैं। अब, एक समकोण त्रिभुज CFD में, आप दो पाद जानते हैं, अर्थात, आप कोण D की स्पर्श रेखा और उससे - कोण स्वयं ही ज्ञात कर सकते हैं। उसके बाद, यह उसी कोण की साइन के माध्यम से सीडी पक्ष की गणना करने के लिए बनी हुई है, जैसा कि पहले ही ऊपर वर्णित है।

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समलम्ब चतुर्भुज - चतुर्भुज ज्यामितीय आकृति, जिसकी दो समानांतर भुजाएँ हैं, जिन्हें आधार कहा जाता है, और दो गैर-समानांतर भुजाएँ। यदि भुजाएँ समान हों, तो आकृति समद्विबाहु समलम्बाकार कहलाती है। आयताकार समलम्ब - जब एक भुजा आधार के साथ समकोण बनाती है। एक समलम्ब की परिधि का पता लगाने के लिए, आप स्रोत डेटा के आधार पर किसी एक विधि का उपयोग कर सकते हैं।

एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें जब भुजाओं और आधारों की लंबाई ज्ञात हो

इस मामले में, कोई कठिनाई नहीं है। सूत्र P=a+b+c+d का उपयोग करके और सभी ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करके, हम आसानी से समलम्ब चतुर्भुज की परिधि का पता लगा सकते हैं। उदाहरण के लिए: a=5, b=4, c=6, d=4. सूत्र का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं P=5+4+6+4=19

यदि कम से कम एक भुजा की लंबाई ज्ञात न हो तो इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें जब भुजाओं की लंबाई, शीर्ष आधार और ऊँचाई ज्ञात हो

समलम्ब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों और एक आयत में विभाजित करें।

सूत्र P=a+b+c+d का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए, निचला आधार खोजना आवश्यक है। इसे व्यंजक k+a+n के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इसके बाद, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। आइए पहले त्रिभुज c^2=h^2+k^2 के लिए सूत्र लिखें। परिवर्तन के बाद हमें k=(c^2-h^2)^1/2 मिलता है। दूसरे त्रिभुज के लिए: b^2=h^2+n^2, कुल n=(b^2-h^2)^1/2। सभी गणनाओं के बाद, हमें P=a+b+(n+a+k)+c मिलता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज की परिधि कैसे ज्ञात करें जब आधार और ऊँचाई दोनों ज्ञात हों (एक समद्विबाहु समलम्ब के लिए)

पिछली विधि की तरह, आपको समलम्ब को एक आयत और दो त्रिभुजों में विभाजित करने की आवश्यकता है। त्रिभुजों के कर्ण भी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ हैं जिन्हें खोजने की आवश्यकता है। छोटा पैर इस प्रकार पाया जाता है।

चूँकि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, छोटे आधार की लंबाई को बड़े आधार की लंबाई से घटाएँ और आधे में विभाजित करें, अर्थात्। d1=d2=(d-a)/2.

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम भुजाएँ पाते हैं c=(d(1)^2+h^2)^1/2. अगला, सूत्र P=a+2c+d का उपयोग करके, हम परिधि की गणना करते हैं।

जब नीचे का आधार, भुजाएँ और नीचे के कोने ज्ञात हों तो एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें?

एक उदाहरण पर विचार करें जहां निचला आधार AD, भुजाएँ AB और CD, और कोण BAD और CDA ज्ञात हैं।

शीर्ष B और C से हम दो ऊँचाईयाँ खींचते हैं, जो एक आयत और दो समकोण त्रिभुज बनाती हैं। त्रिभुज ABK में, भुजा AB कर्ण है। यह सूत्र BK=AB*sin(BAK) और AK=AB*cos(BAK) का उपयोग करके टांगों को खोजना बाकी है। चूँकि BK और CN ऊँचाई हैं, वे बराबर हैं। इसी सूत्र का प्रयोग करते हुए, हम पाते हैं ND=CD*cos(CDN)। यह बीसी = एडी-एके-एनडी की गणना करने के लिए बनी हुई है। अब आपको सभी पक्षों को मोड़ना है और उत्तर तैयार है।

जब भुजाओं और मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात हो तो एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें?

एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों की लंबाई के आधे योग के बराबर होती है, अर्थात। एफ = (ए + डी) / 2। जब आधारों की लंबाई अज्ञात हो, लेकिन भुजाओं और मध्य रेखा के आयाम दिए गए हों, तो परिमाप सूत्र P=2*f+c+b द्वारा ज्ञात किया जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करना इतना कठिन नहीं है। समस्या को हल करने के लिए, आपको केवल यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी मात्राएं ज्ञात हैं और किस विधि का उपयोग किया जा सकता है। और तब जटिल समस्या का समाधान भी कठिन नहीं होगा।