); शोप्लॉट्स (; 0 noAxes0 );

चावल। 1.10: घनाभ

1.3 पिरामिड में समानांतर वर्गों के गुण

1.3.1 पिरामिड में वर्गों पर प्रमेय

यदि पिरामिड (1.11) को आधार के समांतर समतल द्वारा पार किया जाता है, तो:

1) पार्श्व किनारों और ऊंचाई को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया गया है;

2) खंड में, आधार के समान एक बहुभुज (abcde) प्राप्त होता है;

3) खंड और आधार के क्षेत्र ऊपर से उनकी दूरी के वर्गों के रूप में संबंधित हैं।

1) रेखाओं ab और AB को तीसरे विमान ASB द्वारा दो समानांतर विमानों (आधार और छेदक) के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में माना जा सकता है; तो abkAB. इसी कारण से, bckBC, cdkCD... और amkAM; जिसके चलते

एए सा = बीबी एसबी = सीसी एससी = ::: = एमएम एसएम:

2) त्रिभुज ASB और aSb की समानता से, फिर BSC और bSc, आदि हम प्राप्त करते हैं:

एबी एबी = बीएस बीएस; बीएस बीएस = बीसी बीसी;

एबी एबी = बीसी बीसी:

बीसी बीसी = सीएस सीएस; सीएस सीएस = सीडी सीडी;

बीसी बीसी = सीडी सीडी

हम बहुभुज ABCDE और abcde की शेष भुजाओं की आनुपातिकता भी सिद्ध करेंगे। इसके अलावा, इन बहुभुजों में संगत कोण होते हैं (जैसा कि समानांतर और समान रूप से निर्देशित पक्षों द्वारा बनाया गया है), वे समान हैं। समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफल समान भुजाओं के वर्गों के रूप में संबंधित हैं; इसीलिए

एबी एबी = एएस के रूप में = एम एमएसएस;

सेट 2 डी (1; 9; 1; 14);

;0 डैश0 );

;0 डैश0 );

			चावल। 1.11: पिरामिड
p5 = पॉइंटप्लॉट (

[ 0ए 0; 0 बी 0; 0 सी 0; 0 डी 0; 0 ई 0; 0 ए 0; 0 बी 0; 0 सी 0; 0d0; 0एम0; 0m0; 0S0];

); शोप्लॉट्स (; 0 noAxes0 );

1.3.2 परिणाम

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, ऊपरी आधार निचले आधार के समान एक नियमित बहुभुज है, और पार्श्व फलक समान और समबाहु समलम्बाकार (1.11) हैं।

इनमें से किसी भी समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई को नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम कहा जाता है।

1.3.3 पिरामिड में समानांतर खंड प्रमेय

यदि समान ऊँचाई वाले दो पिरामिड शीर्ष से समान दूरी पर समतलों द्वारा विच्छेदित किए जाते हैं, समानांतर आधार, तो वर्गों के क्षेत्र आधारों के क्षेत्रों के समानुपाती होते हैं।

मान लीजिए (1.12) बी और बी 1 दो पिरामिडों के आधारों के क्षेत्र हैं, एच उनमें से प्रत्येक की ऊंचाई, बी और बी 1 आधारों के समानांतर विमानों द्वारा वर्गों के क्षेत्र और शीर्ष से समान दूरी पर एच।

पिछले प्रमेय के अनुसार, हमारे पास होगा:

एच2 बी1

सेट2डी(2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = टेबलप्लॉट (			;0 तीर0);

p11 = टेबलप्लॉट (			;0 तीर0);

p12 = टेबलप्लॉट (			;0 तीर0);

p13 = टेबलप्लॉट (			;0 तीर0);

p14 = टेबलप्लॉट (				;0 डैश0 );

प्रश्न:

पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा पार किया जाता है। आधार क्षेत्र 1690dm2 है, और क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र 10dm2 है। किस अनुपात में, ऊपर से गिनती करते हुए, खंड विमान पिरामिड की ऊंचाई को विभाजित करता है?

उत्तर:

समानांतर समतल एक पिरामिड को इसी तरह काटता है (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

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• विषय पर परीक्षण: "क्रिया विशेषणों की वर्तनी" हम क्रिया विशेषण प्रत्ययों की वर्तनी की जाँच करते हैं, अलग और निरंतर वर्तनीक्रियाविशेषण के साथ नहीं, विलय, अलग, हायफ़नेशन क्रियाविशेषण विकल्प 1. 1. कोष्ठक खोलें। "तीसरा अतिरिक्त" चिह्नित करें: ए) स्थिर (अभी भी) गतिहीन; देखा (नहीं) उम्मीद है; जोर से गाया (नहीं); बी) बिल्कुल नहीं (नहीं) देर से; बिल्कुल नहीं (नहीं) सुंदर; बहुत (नहीं) सभ्य; ग) (नहीं) मैत्रीपूर्ण; (नहीं) अपने तरीके से; (ठीक से नहीं; डी) (नहीं) हास्यास्पद; (नहीं) विस्मयकारी; (नहीं) करीब, लेकिन दूर; ई) अत्यंत (नहीं) जबरदस्ती; बहुत (अन) आकर्षक; बिल्कुल नहीं (नहीं) धमकी देना; 2. श्रृंखला के सभी शब्दों में "नहीं" एक साथ लिखा गया है: क) (नहीं) सत्य; (नहीं) veve; (सुखद नहीं; बिल्कुल नहीं (नहीं) दिलचस्प; बी) (नहीं) आश्चर्य; (अन्याय; बिल्कुल नहीं (नहीं) दूर; (नहीं) हंसमुख; ग) (नहीं) ईमानदारी से; (सुन्दर नहीं; (नहीं) क्रोधित; (निराशाजनक; डी) (अज्ञान); (नहीं) आ गया है; (नहीं) बकवास; (गलत समय पर; 3. नकारात्मक क्रियाविशेषणों वाली एक पंक्ति का चयन करें: क) बिलकुल नहीं; कोई नहीं; कहीं भी नहीं; किसी के साथ नहीं; बी) कहीं नहीं कोई नहीं; कभी नहीँ; कहीं भी नहीं; ग) बिल्कुल नहीं; बिल्कुल भी नहीं; कहीं भी नहीं; कोई जरूरत नहीं है; 4. "तीसरा अतिरिक्त" ढूंढें: ए) एन ... लगभग डरा हुआ; n ... कैसे नहीं मिला; एन ... कितनी बार; बी) एन ... कहाँ जाना है; एन ... क्यों पूछें; n ... चाहे कितना भी ईर्ष्या क्यों न हो; ग) एन ... कितना भी परेशान क्यों न हो; n ... जब गुस्सा न हो; एन ... जहां उम्मीद करनी है; 5. "Нн" श्रृंखला के सभी शब्दों में लिखा गया है: a) beshe ... कताई के बारे में; डर बोला...ओह; सख्त काम किया...ओह; बी) अचानक कंपकंपी ... ओह; योग्य आकर्षित ... ओह; काम का समय नहीं … ओह; ग) उत्साह से बोला ... के बारे में; अप्रत्याशित रूप से छोड़ दिया ... ओह; पुटा ने उत्तर दिया ... ओह; 6. वाक्य को क्रिया विशेषण के साथ परिभाषित करें: क) बैठक उत्साहित है ... संदेश के बारे में। बी) समाज उत्साहित था ... ओह। ग) वह उत्साह से बोली ... ओह। क्रिया विशेषण में यह लिखा है _________________________________________ 7. छूटे हुए अक्षर डालें। "चौथा अतिरिक्त" चिह्नित करें: ए) गर्म ...; ताज़ा…; बहुत खूब ...; अच्छा…; बी) अधिक ...; मधुर...; चिपचिपा ..; भयावह...; ग) सामान ... मी; पहले से ही ... मी; पहनें ... वें; चाकू ... एम; डी) बेल्च ... नोक; स्कोवोर्च ... नोक; चेरी ... एनकेए; हेजहोग ... नोक; 8. प्रत्ययों के साथ लिखे गए क्रियाविशेषणों को दर्शाते हुए अक्षरों को लिखें - ए और - ओ: ए ओ ए) दूर से ...; बी) नवीनीकरण ...; ग) बहरा ...; घ) सही ...; ई) सफेद ...; ई) अनुरोध ...; छ) छोटी उम्र से ...; ज) सूखा ...; मैं) बेटे ...; एक क्रिया विशेषण लिखिए जिसमें प्रत्यय नहीं हैं - a और - o: ______________________________ विकल्प 2. 1. कोष्ठक खोलें। "तीसरा अतिरिक्त" चिह्नित करें: ए) बिल्कुल नहीं (नहीं) दिलचस्प; पूरी तरह से (संयुक्त राष्ट्र) दिलचस्प; दूर (नहीं) मज़ा; बी) (नहीं) मैत्रीपूर्ण; (नहीं) हमारे रास्ते में; (गलत; ग) (नहीं) सामंजस्यपूर्ण; (मित्रवत नहीं; (नहीं) अच्छा, लेकिन बुरा; डी) स्पष्ट रूप से पढ़ें (नहीं); देखा (नहीं) हैरानी से; दूर (नहीं) दूर रहते थे; ई) बहुत (नहीं) सुंदर; अभी इतनी देर नहीं हुई है; अत्यंत (नहीं) सोच-समझकर; 2. श्रृंखला के सभी शब्दों में "नहीं" एक साथ लिखा गया है: ए) (नहीं) थोड़ा; (नहीं) हास्यास्पद; (में) सुगम; (नहीं) छिपाना; बी) (नहीं) लापरवाही से; (जिज्ञासा; (सुंदर नहीं; (नहीं) विचारशील; ग) दूर (नहीं) मज़ा; (नहीं) चाहता था; (दूर नहीं; (मुसीबत; घ) (नहीं) समय पर; (फिजेट; (नहीं कह रहा; (नहीं) भरोसा करना; 3. नकारात्मक क्रियाविशेषणों के साथ एक पंक्ति को हाइलाइट करें: क) कुछ नहीं; कहीं भी नहीं; कहीं भी नहीं; बहुत; बी) बिल्कुल नहीं; कोई जरूरत नहीं है; बिल्कुल नहीं; कहीं भी नहीं; ग) कुछ नहीं; कोई नहीं; किसी को भी नहीं; कोई नहीं; 4. "तीसरा अतिरिक्त" खोजें: ए) वहां नहीं था ... जहां; एन ... क्यों पूछें; n ... जब वह एक कोचमैन था; बी) एन को चोट नहीं पहुंची ... थोड़ा; n ... उसने कितना शोक नहीं किया; n…कहाँ रहना है; सी) एन ... जहां मैं नहीं जाऊंगा; n ... जब मैं नहीं पूछता; मैं n था ... कब; 5. श्रृंखला के सभी शब्दों में "एन" लिखा गया है: ए) सड़क पर कोई हवा नहीं है ... ओ; उत्तर के बारे में सोचा ... के बारे में; नेज़्दा आया ... ओह-नेगडा ... ओह; बी) बुद्धिमानी से बात की ... के बारे में; हवा में प्रवेश किया ... ओह; पुता ने कहा... ओह; ग) उग्र रूप से काता ... ओह; मर्मज्ञ रूप से गाया ... ओह; उत्साह से काम किया ... ओह; 6. वाक्य को क्रिया विशेषण के साथ परिभाषित करें: क) उनके निर्णय पर विचार किया जाएगा ... ओह, पेशेवर। बी) वह हमेशा विचार-विमर्श के साथ कार्य करता है … ओह। सी) सब कुछ ध्यान से माना जाता था ... ओह। 7. लापता अक्षर डालें। "चौथा अतिरिक्त" चिह्नित करें: ए) सामान्य रूप से बोलें ...; गरम…; ताज़ा…; थकाऊ…; बी) दोस्त ... को; पट्टा ... को; कॉकरेल ... को; विश ... एनकेए; ग) अधिक ...; विरोध...; बुला रहा है...; भयावह...; डी) डॉक्टर ... एम; तेज ... एम; प्रिंट… टी; बचाओ ... टी; 8. प्रत्ययों के साथ लिखे गए क्रियाविशेषणों को दर्शाते हुए सेल अक्षरों में लिखें - ए और - ओ: ए ओ ए) पहले ...; बी) कम उम्र से ...; ग) प्रकाश ...; डी) बाएं ...; ई) साफ ...; ई) लाल-गर्म ...; छ) छोड़ दिया ...; ज) अंधेरा ...; मैं) लंबे समय के लिए ...; एक क्रिया विशेषण लिखिए जिसमें प्रत्यय नहीं है - a और - o: ______________________

आप पिरामिड कैसे बना सकते हैं? सतह पर आरकुछ बहुभुज बनाइए, उदाहरण के लिए, पंचभुज ABCDE। हवाई जहाज से बाहर आरबिंदु S को लें। बिंदु S को खंडों के साथ बहुभुज के सभी बिंदुओं से जोड़ने पर, हमें पिरामिड SABCDE (अंजीर) मिलता है।

बिंदु S कहलाता है बैठक, और बहुभुज ABCDE - आधारयह पिरामिड। इस प्रकार, शीर्ष S और आधार ABCDE वाला एक पिरामिड उन सभी खंडों का संघ है जहाँ M ABCDE है।

त्रिभुज SAB, SBC, SCD, SDE, SEA कहलाते हैं साइड फेसपिरामिड, भुजा की उभयनिष्ठ भुजाएँ SA, SB, SC, SD, SE - पार्श्व पसलियां.

पिरामिड कहलाते हैं त्रिकोणीय, चतुर्भुज, एन-गोनलआधार के पक्षों की संख्या के आधार पर। अंजीर पर। त्रिभुजाकार, चतुर्भुज और षट्कोणीय पिरामिडों के चित्र दिए गए हैं।

पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले तल को कहते हैं विकर्ण, और परिणामी क्रॉस सेक्शन - विकर्ण।अंजीर पर। 186 विकर्ण वर्गों में से एक षट्कोणीय पिरामिडछायांकित

पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचे गए लंबवत के खंड को पिरामिड की ऊंचाई कहा जाता है (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं)।

पिरामिड कहा जाता है सहीयदि पिरामिड का आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष इसके केंद्र में प्रक्षेपित है।

सभी किनारे सही पिरामिडसर्वांगसम समद्विबाहु त्रिभुज हैं। एक नियमित पिरामिड में, सभी पार्श्व किनारे सर्वांगसम होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है, कहलाती है एपोथेमेटिकपिरामिड। एक नियमित पिरामिड के सभी एपोथेम सर्वांगसम होते हैं।

यदि हम आधार की भुजा को इस प्रकार निरूपित करते हैं एक, और apothema के माध्यम से एच, तो पिरामिड के एक ओर के फलक का क्षेत्रफल 1/2 . है आह।

पिरामिड की सभी भुजाओं के क्षेत्रफलों के योग को कहते हैं पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड और S पक्ष द्वारा निरूपित किया जाता है।

चूंकि एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह में होते हैं एनसर्वांगसम चेहरे, तो

एस साइड = 1/2 आह= पी एच / 2 ,

जहाँ P पिरामिड के आधार का परिमाप है। फलस्वरूप,

एस साइड = पी एच / 2

अर्थात। एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पिरामिड के कुल सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

एस = एस महासागर। + एस पक्ष। .

पिरामिड का आयतन इसके आधार S महासागर के क्षेत्रफल के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है। ऊंचाई एच:

वी = 1 / 3 एस ओसीएन। एन।

इसकी व्युत्पत्ति और कुछ अन्य सूत्र बाद के अध्याय में दिए जाएंगे।

अब एक अलग तरीके से पिरामिड बनाते हैं। मान लीजिए कि एक बहुफलकीय कोण दिया गया है, उदाहरण के लिए, एक शीर्ष S (अंजीर) के साथ एक पांच-तरफा कोण।

एक विमान ड्रा करें आरताकि यह दिए गए बहुफलकीय कोण के सभी किनारों को अलग-अलग बिंदुओं A, B, C, D, E (चित्र) पर काटता हो। तब पिरामिड SABCDE को एक बहुफलकीय कोण का प्रतिच्छेदन और एक सीमा के साथ अर्ध-अंतरिक्ष के रूप में माना जा सकता है आर, जिसमें शीर्ष S शामिल है।

जाहिर है, पिरामिड के सभी चेहरों की संख्या मनमानी हो सकती है, लेकिन चार से कम नहीं। जब एक तल एक त्रिभुज कोण को काटता है, तो एक त्रिभुजाकार पिरामिड प्राप्त होता है, जिसके चार फलक होते हैं। किसी भी त्रिभुजाकार पिरामिड को कभी-कभी कहा जाता है चतुर्पाश्वीय, जिसका अर्थ है चतुर्भुज।

छोटा पिरामिडप्राप्त किया जा सकता है यदि पिरामिड आधार के तल के समानांतर एक विमान द्वारा पार किया जाता है।

अंजीर पर। एक चतुर्भुज काटे गए पिरामिड की छवि दी गई है।

काटे गए पिरामिडों को भी कहा जाता है त्रिकोणीय, चतुर्भुज, एन-गोनलआधार के पक्षों की संख्या के आधार पर। एक काटे गए पिरामिड के निर्माण से, यह इस प्रकार है कि इसके दो आधार हैं: एक ऊपरी और एक निचला। एक काटे गए पिरामिड के आधार दो बहुभुज होते हैं जिनकी भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर होती हैं। एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार होते हैं।

कदएक छोटा पिरामिड ऊपरी आधार के किसी भी बिंदु से निचले एक के तल तक खींचा गया लंबवत का एक खंड है।

सही काटे गए पिरामिडएक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और आधार के समानांतर एक खंड विमान के बीच संलग्न होता है। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (ट्रेपेज़ॉइड) के पार्श्व फलक की ऊंचाई को कहा जाता है एपोथेमेटिक.

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व किनारे सर्वांगसम हैं, सभी पार्श्व फलक सर्वांगसम हैं, और सभी एपोथेम सर्वांगसम हैं।

अगर सही काट दिया गया है एन- कोयला पिरामिड के माध्यम से एकतथा बी नहींऊपरी और निचले आधारों के किनारों की लंबाई को निरूपित करें, और इसके माध्यम से एच- एपोथेम की लंबाई, तो पिरामिड के प्रत्येक पक्ष के चेहरे का क्षेत्रफल है

1 / 2 (एक + बी नहीं) एच

पिरामिड के सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग को इसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कहा जाता है और इसे S भुजा के रूप में दर्शाया जाता है। . जाहिर है, नियमित रूप से छंटनी के लिए एन- कोयला पिरामिड

एस साइड = एन 1 / 2 (एक + बी नहीं) एच.

इसलिये देहात= पी और नायब नहीं\u003d पी 1 - काटे गए पिरामिड के आधारों की परिधि, फिर

एस साइड \u003d 1/2 (पी + पी 1) एच ,

यानी, एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके आधारों और एपोथेम के परिमापों के योग के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पिरामिड के आधार के समानांतर खंड

प्रमेय। यदि पिरामिड को आधार के समांतर समतल द्वारा पार किया जाता है, तो:

1) पार्श्व पसलियों और ऊंचाई को आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाएगा;

2) अनुभाग में आपको आधार के समान बहुभुज मिलता है;

3) खंड और आधार के क्षेत्र ऊपर से उनकी दूरी के वर्गों के रूप में संबंधित हैं।

यह एक त्रिभुजाकार पिरामिड के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।

चूँकि समान्तर तल तीसरे तल द्वारा समानांतर रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तब (AB) || (ए 1 बी 1), (बीसी) ||(बी 1 सी 1), (एसी) || (ए 1 सी 1) (चित्र।)।

समांतर रेखाएँ कोण की भुजाओं को समानुपाती भागों में काटती हैं, और इसलिए

$$ \frac(\बाएं|(एसए)\दाएं|)(\बाएं|(SA_1)\दाएं|)=\frac(\बाएं|(एसबी)\दाएं|)(\बाएं|(एसबी_1)\दाएं| )=\frac(\बाएं|(एससी)\दाएं|)(\बाएं|(एससी_1)\दाएं|) $$

इसलिए, SAB ~ SA 1 B 1 तथा

$$ \frac(\बाएं|(एबी)\दाएं|)(\बाएं|(ए_(1)बी_1)\दाएं|)=\frac(\बाएं|(एसबी)\दाएं|)(\बाएं|(एसबी_1 )\दाएं|) $$

एसबीसी ~ ∆एसबी 1 सी 1 और

$$ \frac(\बाएं|(बीसी)\दाएं|)(\बाएं|(B_(1)C_1)\दाएं|)=\frac(\बाएं|(एसबी)\दाएं|)(\बाएं|(SB_1 )\दाएं|)=\frac(\बाएं|(एससी)\दाएं|)(\बाएं|(एससी_1)\दाएं|) $$

इस तरह,

$$ \frac(\बाएं|(एबी)\दाएं|)(\बाएं|(ए_(1)बी_1)\दाएं|)=\frac(\बाएं|(बीसी)\दाएं|)(\बाएं|(बी_ (1)C_1)\दाएं|)=\frac(\बाएं|(एसी)\दाएं|)(\बाएं|(ए_(1)सी_1)\दाएं|) $$

त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 के संगत कोण समान हैं, समानांतर और समान रूप से निर्देशित पक्षों वाले कोणों की तरह। इसीलिए

एबीसी ~ ∆ए 1 बी 1 सी 1

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल संबंधित भुजाओं के वर्गों के रूप में संबंधित हैं:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\बाएं|(एबी)\दाएं|)(\बाएं|(ए_(1)बी_1)\दाएं|)=\frac(\बाएं|(एसएच)\दाएं|)(\बाएं|(SH_1 )\दाएं|) $$

फलस्वरूप,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

प्रमेय। यदि समान ऊँचाई वाले दो पिरामिडों को आधारों के समांतर तलों द्वारा ऊपर से समान दूरी पर विच्छेदित किया जाता है, तो वर्गों के क्षेत्रफल आधारों के क्षेत्रफलों के समानुपाती होते हैं।

मान लीजिए (चित्र 84) B और B 1 दो पिरामिडों के आधारों के क्षेत्रफल हैं, H उनमें से प्रत्येक की ऊंचाई है, बीतथा बी 1 - आधारों के समानांतर विमानों द्वारा क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र और समान दूरी से शीर्ष से हटा दिया गया एच.

पिछले प्रमेय के अनुसार, हमारे पास होगा:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: और \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
कहाँ पे
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: या \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

परिणाम।अगर बी \u003d बी 1, फिर और बी = बी 1, यानी यदि समान ऊँचाई वाले दो पिरामिडों के आधार समान हों, तो शीर्ष से समान दूरी पर स्थित खंड भी समान होते हैं।

अन्य सामग्री

अध्याय तीन

पॉलीहेड्रल्स

1. पैरालेलिपिड और पिरामिड

पिरामिड में समानांतर वर्गों के गुण

74. प्रमेय। यदि पिरामिड (देव। 83) आधार के समानांतर एक विमान द्वारा पार किया जाता है, तो:

1) पार्श्व किनारों और ऊंचाई को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया गया है;

2) क्रॉस सेक्शन एक बहुभुज है (एबीसीडीई ), जमीन जैसा;

3) खंड और आधार के क्षेत्र ऊपर से उनकी दूरी के वर्गों के रूप में संबंधित हैं।

1) प्रत्यक्ष अबऔर एबी को तीसरे विमान एएसबी द्वारा दो समानांतर विमानों (आधार और छेदक) के चौराहे की रेखा के रूप में माना जा सकता है; इसीलिए अब||एबी (§ 16)। एक ही कारण के लिए बीसी||बीसी, सीडी||सीडी, ... और पर||एएम; जिसके चलते

एस एक / एकए = एस बी / बीबी = एस सी / सीसी=...=एस एम / एमएम

2) त्रिभुज ASB और . की समरूपता से एकएस बी, फिर बीएससी और बीएस सीआदि आउटपुट:

अब / अब= बी एस / बी एस; बी एस / बी एस= ईसा पूर्व / बीसी ,

अब / अब= ईसा पूर्व / बीसी

ईसा पूर्व / बीसी= सीएस / सीएस; सीएस / सीएस= सीडी / सीडीजहां से बीसी / बीसी= सीडी / सीडी .

हम बहुभुज ABCDE की शेष भुजाओं की आनुपातिकता भी सिद्ध करेंगे और एबीसीडीई. इसके अलावा, इन बहुभुजों में समान संगत कोण होते हैं (जैसा कि समानांतर और समान रूप से निर्देशित भुजाओं से बनता है), वे समान होते हैं।

3) बहुभुजों की समानता के क्षेत्र समान भुजाओं के वर्गों के रूप में संबंधित हैं; इसीलिए

75. परिणाम। सही छोटा पिरामिडऊपरी आधार निचले आधार के समान एक नियमित बहुभुज है, और पार्श्व फलक समान हैं और समद्विबाहु समलम्बाकार(देव। 83)।

इनमें से किसी भी समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कहलाती है एपोथेमेटिकनियमित रूप से काटे गए पिरामिड।

76. प्रमेय। यदि समान ऊँचाई वाले दो पिरामिडों को आधारों के समांतर तलों द्वारा ऊपर से समान दूरी पर विच्छेदित किया जाता है, तो वर्गों के क्षेत्रफल आधारों के क्षेत्रफलों के समानुपाती होते हैं।

मान लीजिए (चित्र 84) B और B 1 दो पिरामिडों के आधारों के क्षेत्रफल हैं, H उनमें से प्रत्येक की ऊंचाई है, बीतथा बी 1 - आधारों के समानांतर विमानों द्वारा क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र और समान दूरी से शीर्ष से हटा दिया गया एच.

पिछले प्रमेय के अनुसार, हमारे पास होगा:

77. परिणाम।अगर बी \u003d बी 1, फिर और बी = बी 1, यानी यदि समान ऊँचाई वाले दो पिरामिडों के आधार समान हों, तो शीर्ष से समान दूरी पर स्थित खंड भी समान होते हैं।