परिभाषा। यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या n को एक संख्या xn दी जाती है, तो हम कहते हैं कि एक क्रम दिया गया है

x1, x2, ..., xn = (xn)

अनुक्रम का सामान्य तत्व n का एक कार्य है।

इस प्रकार एक अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है।

आप अनुक्रम को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट कर सकते हैं - मुख्य बात यह है कि अनुक्रम के किसी भी सदस्य को प्राप्त करने की एक विधि इंगित की गई है।

उदाहरण। (एक्सएन) = ((-1)एन) या (एक्सएन) = -1; एक; -एक; एक; …

(एक्सएन) = (सिन/2) या (एक्सएन) = 1; 0; एक; 0; …

आप अनुक्रमों के लिए निम्नलिखित कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं:

किसी क्रम का गुणा m: m(xn) = (mxn), अर्थात्। एमएक्स1, एमएक्स2,…

अनुक्रमों का जोड़ (घटाव): (xn) (yn) = (xn yn)।

अनुक्रमों का गुणनफल: (xn)(yn) = (xnyn)।

अनुक्रमों का भागफल: (yn) 0 पर।

बंधे और असीमित अनुक्रम।

परिभाषा। एक अनुक्रम (xn) को बाउंडेड कहा जाता है यदि कोई संख्या M>0 मौजूद है जैसे कि किसी भी n के लिए असमानता सत्य है:

वे। अनुक्रम के सभी सदस्य अंतराल (-एम; एम) के हैं।

परिभाषा। एक अनुक्रम (xn) को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है यदि किसी n के लिए एक संख्या M मौजूद हो जैसे कि xn M।

परिभाषा। एक अनुक्रम (xn) को नीचे से घिरा हुआ कहा जाता है यदि किसी n के लिए एक संख्या M मौजूद हो जैसे कि xn M

उदाहरण। (xn) = n - नीचे से घिरा (1, 2, 3,…)।

परिभाषा। संख्या a को अनुक्रम की सीमा (xn) कहा जाता है यदि किसी धनात्मक >0 के लिए ऐसी संख्या N हो कि सभी n > N के लिए शर्त संतुष्ट हो: यह लिखा है: lim xn = a.

इस मामले में, अनुक्रम (xn) को n के लिए a में अभिसरण करने के लिए कहा जाता है।

गुण: यदि हम अनुक्रम के किसी भी सदस्य को छोड़ देते हैं, तो नए अनुक्रम प्राप्त होते हैं, और यदि उनमें से एक अभिसरण करता है, तो दूसरा भी अभिसरण करता है।

उदाहरण। सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम की सीमा लिम है।

मान लीजिए कि यह n > N के लिए सत्य है, अर्थात्। . यह के लिए सत्य है, इसलिए यदि N को के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जाता है, तो उपरोक्त कथन सत्य है।

उदाहरण। दिखाएँ कि n के लिए अनुक्रम 3 है, इसकी सीमा 2 है।

कुल: (एक्सएन)= 2 + 1/एन; 1/एन = एक्सएन - 2

जाहिर है, एक ऐसी संख्या n मौजूद है, यानी। लिम (xn) = 2.

प्रमेय। एक अनुक्रम में एक से अधिक सीमा नहीं हो सकती है।

सबूत। मान लें कि अनुक्रम (xn) की दो सीमाएँ a और b हैं जो एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।

एक्सएन ए; एक्सएनबी; एक ख.

तब परिभाषा के अनुसार एक संख्या >0 मौजूद होती है जैसे कि

यदि किसी फलन को प्राकृत संख्याओं N के समुच्चय पर परिभाषित किया जाता है, तो ऐसे फलन को अनंत संख्या क्रम कहते हैं। आमतौर पर, एक संख्यात्मक अनुक्रम को (Xn) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां n प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित होता है।

संख्यात्मक अनुक्रम एक सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, Xn=1/(2*n)। इस प्रकार, हम प्रत्येक प्राकृत संख्या n को अनुक्रम के कुछ निश्चित अवयव (Xn) प्रदान करते हैं।

यदि अब हम क्रमशः 1,2,3, …. के बराबर n लेते हैं, तो हमें अनुक्रम (Xn) प्राप्त होता है: ½, , 1/6, …, 1/(2*n), …

अनुक्रम प्रकार

अनुक्रम सीमित या असीमित हो सकता है, बढ़ या घट सकता है।

अनुक्रम (Xn) कॉल सीमितयदि दो संख्याएँ m और M इस प्रकार हैं कि प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से संबंधित किसी n के लिए, समानता m<=Xn

अनुक्रम (एक्सएन), सीमित नहीं,असंबद्ध क्रम कहलाता है।

की बढ़तीयदि सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए निम्नलिखित समानता है: X(n+1) > Xn। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से बड़ा होना चाहिए।

अनुक्रम (Xn) कहा जाता है घट रहा है,यदि सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए निम्नलिखित समानता X(n+1) रखती है< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

अनुक्रम उदाहरण

आइए देखें कि क्या क्रम 1/n और (n-1)/n घट रहे हैं।

यदि अनुक्रम घट रहा है, तो X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(एन -1) / एन:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. तो अनुक्रम (n-1)/n है की बढ़ती।

3. संख्या अनुक्रम की सीमा

3.1. एक संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा और एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य

परिभाषा 3.1.एक संख्यात्मक अनुक्रम (इसके बाद केवल एक अनुक्रम) संख्याओं का एक क्रमबद्ध गणनीय सेट है

{एक्स1, एक्स2, एक्स3, ... }.

दो बिंदुओं पर ध्यान दें।

1. अनुक्रम में अपरिमित रूप से अनेक संख्याएँ हैं। यदि संख्याओं की एक सीमित संख्या है, तो यह अनुक्रम नहीं है!

2. सभी संख्याओं को क्रमित किया जाता है, अर्थात् एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।

निम्नलिखित में, हम अक्सर अनुक्रम के लिए संक्षिप्त नाम का उपयोग करेंगे ( xn}.

अनुक्रमों पर कुछ ऑपरेशन किए जा सकते हैं। आइए उनमें से कुछ पर विचार करें।

1. किसी क्रम का किसी संख्या से गुणा करना।

परिणाम को सी×{ xn) तत्वों के साथ एक अनुक्रम है ( सी× xn), वह है

सी×{ एक्स1, एक्स2, एक्स3, ... }={सी× एक्स 1, एस× x2, एस× x3, ... }.

2. अनुक्रमों का जोड़ और घटाव।

{xn}±{ Y n}={xn± Y n},

या, अधिक विस्तार से,

{एक्स1, एक्स2, एक्स3, ...}±{ वाई1, वाई2, वाई3,... }={x1± वाई1, एक्स2± वाई2, एक्स3± y3, ... }.

3. अनुक्रमों का गुणन।

{xn}×{ Y n}={xn× Y n}.

4. अनुक्रमों का विभाजन।

{xn}/{Y n}={एक्सएन/वाईएन}.

स्वाभाविक रूप से, यह माना जाता है कि इस मामले में सभी Y n¹ 0.

परिभाषा 3.2.परवर्ती ( xn) को ऊपर से बाउंडेड कहा जाता है यदि https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">। एक अनुक्रम (xn) को बाउंडेड कहा जाता है यदि यह ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हो।

3.2. अनुक्रम सीमा। असीम रूप से बड़ा अनुक्रम

परिभाषा 3.3।संख्या एकअनुक्रम की सीमा कहलाती है ( xn) पर एनअनंत की ओर प्रवृत्त, यदि

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> if .

उनका कहना है कि अगर.

परिभाषा 3.4.परवर्ती ( xn) को अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है यदि (अर्थात, if ).

3.3. एक अनंतिम क्रम।

परिभाषा 3.5.एक अनुक्रम (xn) को इनफिनिटसिमल कहा जाता है यदि , अर्थात यदि ।

अनंतिम अनुक्रमों में निम्नलिखित गुण होते हैं।

1. अतिसूक्ष्म अनुक्रमों का योग और अंतर भी एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है।

2. एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम परिबद्ध है।

3. एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम और एक परिबद्ध अनुक्रम का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है।

4. अगर ( xn) एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम है, फिर कुछ . से शुरू होता है एन, अनुक्रम (1/ xn), और यह एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है। इसके विपरीत, यदि ( xn) एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है और सभी xnशून्य से भिन्न हैं, तब (1/ xn) एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम है।

3.4. अभिसरण अनुक्रम।

परिभाषा 3.6.अगर कोई अंतिम सीमा है https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">।

5. अगर , फिर .

3.5. असमानताओं में सीमा तक मार्ग।

प्रमेय 3.1।अगर, कुछ से शुरू एन, सब xn ³ बी, फिर ।

परिणाम।अगर, कुछ से शुरू एन, सब xn ³ Y n, फिर .

टिप्पणी. ध्यान दें कि अगर, कुछ से शुरू करते हुए एन, सब xn > बी, तो, यानी, सीमा से गुजरते समय, सख्त असमानता गैर-सख्त हो सकती है।

प्रमेय 3.2.("दो पुलिसकर्मियों की प्रमेय") अगर, कुछ से शुरू एन, निम्नलिखित गुण धारण करते हैं

1..gif"चौड़ाई="163"ऊंचाई="33 src=">,

तब मौजूद है।

3.6. एक मोनोटोन अनुक्रम की सीमा।

परिभाषा 3.7.परवर्ती ( xn) को नीरस रूप से बढ़ते हुए कहा जाता है यदि किसी के लिए एन एक्सएन+1 ³ xn.

परवर्ती ( xn) को सख्ती से नीरस रूप से बढ़ाना कहा जाता है यदि किसी के लिए एन एक्सएन+1> xn.

xn­.

परिभाषा 3.8.परवर्ती ( xn) को नीरस रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि किसी के लिए एन एक्सएन+1 £ xn.

परवर्ती ( xn) को सख्ती से नीरस रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि किसी के लिए एन एक्सएन+1< xn.

इन दोनों मामलों को प्रतीक के साथ जोड़ा जाता है xn¯.

एक मोनोटोन अनुक्रम की सीमा के अस्तित्व पर प्रमेय।

1. यदि अनुक्रम ( xn) नीरस रूप से बढ़ रहा है (घट रहा है) और ऊपर से (नीचे से) घिरा हुआ है, तो इसकी सुपर के बराबर एक सीमित सीमा है ( xn) (इन्फ ( xn}).

2 यदि अनुक्रम ( xn) नीरस रूप से बढ़ता है (घटता है), लेकिन ऊपर से (नीचे से) सीमित नहीं है, तो इसकी सीमा +¥ (-¥) के बराबर है।

इस प्रमेय के आधार पर यह सिद्ध होता है कि एक तथाकथित उल्लेखनीय सीमा है

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. इसे सीक्वेंस सिक्वेंस कहा जाता है ( xn}.

प्रमेय 3.3।यदि अनुक्रम ( xn) अभिसरण करता है और इसकी सीमा है एक, तो इसका कोई भी परवर्ती भी अभिसरण करता है और उसकी सीमा समान होती है।

यदि एक ( xn) एक अपरिमित रूप से बड़ा अनुक्रम है, तो इसका कोई भी परवर्ती भी अपरिमित रूप से बड़ा होता है।

बोलजानो-वीयरस्ट्रैस लेम्मा।

1. किसी भी बाउंडेड सीक्वेंस से, एक परवर्ती को निकाला जा सकता है जो एक परिमित सीमा में परिवर्तित होता है।

2. किसी भी असीमित अनुक्रम से एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम निकाला जा सकता है।

इस लेम्मा के आधार पर, सीमा के सिद्धांत के मुख्य परिणामों में से एक सिद्ध होता है - बोलजानो-कॉची अभिसरण मानदंड।

अनुक्रम के लिए ( xn) एक सीमित सीमा थी, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि

एक अनुक्रम जो इस संपत्ति को संतुष्ट करता है उसे मौलिक अनुक्रम कहा जाता है, या एक अनुक्रम जो स्वयं में अभिसरण करता है।

परिचय …………………………………………………………………………………3

1. सैद्धांतिक भाग……………………………………………………….4

बुनियादी अवधारणाएं और शर्तें ………………………………………………….4

1.1 अनुक्रमों के प्रकार………………………………………………………6

1.1.1.सीमित और असीमित संख्या क्रम…..6

1.1.2. अनुक्रमों की एकरूपता……………………………………6

1.1.3.अनंततम और अपरिमित क्रम…….7

1.1.4. अतिसूक्ष्म अनुक्रमों के गुण…………………8

1.1.5 अभिसारी और अपसारी अनुक्रम और उनके गुण..…9

1.2 अनुक्रम सीमा…………………………………………………….11

1.2.1. अनुक्रमों की सीमाओं के बारे में प्रमेय……………………………………………………15

1.3. अंकगणितीय प्रगति…………………………………………………………17

1.3.1. एक अंकगणितीय प्रगति के गुण…………………………………..17

1.4 ज्यामितीय प्रगति……………………………………………..19

1.4.1. एक ज्यामितीय प्रगति के गुण…………………………………….19

1.5. फाइबोनैचि संख्या ………………………………………………………..21

1.5.1 ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के साथ फाइबोनैचि संख्याओं का संबंध…………………….22

1.5.2. चेतन और निर्जीव प्रकृति का वर्णन करने के लिए फाइबोनैचि संख्याओं की एक श्रृंखला का उपयोग करना

2. स्वयं का शोध………………………………………….28

निष्कर्ष……………………………………………………………….30

प्रयुक्त साहित्य की सूची………………………………….31

परिचय।

संख्या क्रम एक बहुत ही रोचक और सूचनात्मक विषय है। यह विषय असाइनमेंट में पाया जाता है बढ़ी हुई जटिलतालेखकों द्वारा छात्रों को प्रदान किया गया उपदेशात्मक सामग्री, कार्यों में गणितीय ओलंपियाड, प्रवेश परीक्षाउच्च करने के लिए शैक्षणिक संस्थानोंऔर परीक्षा पर। मुझे ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के साथ गणितीय अनुक्रमों के संबंध को जानने में दिलचस्पी है।

लक्ष्य अनुसंधान कार्य: संख्या अनुक्रम के ज्ञान का विस्तार करें।

1. अनुक्रम पर विचार करें;

2. इसके गुणों पर विचार करें;

3. अनुक्रम के विश्लेषणात्मक कार्य पर विचार करें;

4. ज्ञान के अन्य क्षेत्रों के विकास में अपनी भूमिका प्रदर्शित करें।

5. चेतन और निर्जीव प्रकृति का वर्णन करने के लिए फाइबोनैचि संख्याओं की एक श्रृंखला के उपयोग का प्रदर्शन करें।

1. सैद्धांतिक हिस्सा।

बुनियादी अवधारणाएं और शर्तें।

परिभाषा। एक संख्यात्मक अनुक्रम y = f(x), x N के रूप का एक फलन है, जहां N प्राकृतिक संख्याओं का समूह है (या एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य), जिसे y = f(n) या y1, y2 दर्शाया गया है। …, Y n,…। y1, y2, y3,… के मान क्रमशः पहले, दूसरे, तीसरे, … क्रम के सदस्य कहलाते हैं।

संख्या a को अनुक्रम x \u003d ( x n ) की सीमा कहा जाता है, यदि मनमाने ढंग से पूर्व निर्धारित मनमाने ढंग से छोटा है सकारात्मक संख्यामैं प्राकृतिक संख्याएन ऐसा है कि सभी के लिए n>N असमानता |x n - a|< ε.

यदि संख्या a अनुक्रम x \u003d (x n) की सीमा है, तो वे कहते हैं कि x n a की ओर जाता है, और लिखता है

.

एक अनुक्रम (yn) को बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक सदस्य (पहले को छोड़कर) पिछले एक से बड़ा है:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

एक अनुक्रम (yn) को घटते हुए कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक सदस्य (पहले को छोड़कर) पिछले एक से कम है:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 >… .

बढ़ते और घटते क्रम एक सामान्य शब्द - मोनोटोनिक अनुक्रम द्वारा एकजुट होते हैं।

एक अनुक्रम को आवर्त कहा जाता है यदि कोई प्राकृतिक संख्या T मौजूद हो, जैसे कि, कुछ n से शुरू होकर, समानता yn = yn + T धारण करती है। संख्या T को आवर्त लंबाई कहा जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम (ए) है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, योग के बराबर हैपिछले पद और उसी संख्या d को समांतर श्रेणी कहा जाता है, और संख्या d को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है।

इस तरह, अंकगणितीय प्रगतिएक संख्यात्मक अनुक्रम है (ए) संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया गया

a1 = a, a = an–1 + d (n = 2, 3, 4,…)

एक ज्यामितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें सभी सदस्य गैर-शून्य होते हैं और प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से उसी संख्या q से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम (बीएन) है जो संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया जाता है

b1 = b, bn = bn-1 q (n = 2, 3, 4…)।

1.1 अनुक्रमों के प्रकार।

1.1.1 परिबद्ध और असंबद्ध अनुक्रम।

एक अनुक्रम (बीएन) को ऊपर से घिरा हुआ कहा जाता है यदि कोई संख्या एम मौजूद है जैसे कि किसी भी संख्या के लिए असमानता बीएन≤ एम संतुष्ट है;

एक अनुक्रम (बीएन) को नीचे से घिरा हुआ कहा जाता है यदि कोई संख्या एम मौजूद है जैसे कि किसी भी संख्या के लिए असमानता बीएन≥ एम संतुष्ट है;

उदाहरण के लिए:

1.1.2 अनुक्रमों की एकरसता।

एक अनुक्रम (बीएन) को गैर-बढ़ती (गैर-घटती) कहा जाता है यदि किसी भी संख्या के लिए असमानता bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) सत्य है;

एक अनुक्रम (बीएन) को घटते (बढ़ते) कहा जाता है यदि किसी संख्या के लिए असमानता bn> bn+1 (bn)

घटते और बढ़ते क्रम को व्यापक अर्थों में कड़ाई से मोनोटोनिक, गैर-बढ़ते - मोनोटोनिक कहा जाता है।

ऊपर और नीचे दोनों ओर से बंधे अनुक्रमों को बाउंडेड कहा जाता है।

इन सभी प्रकारों के अनुक्रम को मोनोटोनिक कहा जाता है।

1.1.3 असीम रूप से बड़े और छोटे क्रम।

एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य या अनुक्रम है जो शून्य की ओर जाता है।

एक अनुक्रम को अनंतिम कहा जाता है यदि

यदि ℓimx→x0 f(x)=0 बिंदु x0 के पड़ोस में एक फ़ंक्शन को इनफिनिटसिमल कहा जाता है।

यदि ℓimx→.+∞ f(x)=0 या ℓimx→-∞ f(x)=0 एक फलन को अनंत पर इनफिनिटसिमल कहा जाता है

इसके अलावा इनफिनिटसिमल एक फ़ंक्शन है जो एक फ़ंक्शन और उसकी सीमा के बीच का अंतर है, अर्थात, यदि ℓimx→.+∞ f(x)=а, तो f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ एफ (( एक्स) -ए) = 0।

एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य या अनुक्रम है जो अनंत तक जाता है।

एक अनुक्रम को अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है यदि

imn→0 an=∞.

एक फ़ंक्शन को एक बिंदु x0 के पड़ोस में अनंत कहा जाता है यदि ℓimx→x0 f(x)= ।

एक फलन को अनंत पर अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है यदि

ℓimx→.+∞ f(x)= या ℓimx→-∞ f(x)= ।

1.1.4 अतिसूक्ष्म अनुक्रमों के गुण।

दो अतिसूक्ष्म अनुक्रमों का योग भी अपने आप में एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम होता है।

दो अतिसूक्ष्म अनुक्रमों का अंतर भी अपने आप में एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है।

अनंतिम अनुक्रमों की किसी भी परिमित संख्या का बीजगणितीय योग अपने आप में एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम भी होता है।

एक परिबद्ध अनुक्रम और एक अपरिमित अनुक्रम का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है।

अनंतिम अनुक्रमों की किसी भी परिमित संख्या का गुणनफल एक अपरिमित अनुक्रम होता है।

कोई भी अतिसूक्ष्म क्रम परिबद्ध है।

यदि स्थिर अनुक्रम अपरिमित रूप से छोटा है, तो इसके सभी अवयव, कुछ से प्रारंभ करके, शून्य के बराबर होते हैं।

यदि संपूर्ण अतिसूक्ष्म अनुक्रम में समान तत्व होते हैं, तो ये तत्व शून्य होते हैं।

यदि (xn) एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम है जिसमें शून्य पद नहीं हैं, तो एक अनुक्रम (1/xn) है जो कि अपरिमित है। यदि, हालांकि, (xn) में शून्य तत्व हैं, तो अनुक्रम (1/xn) को अभी भी कुछ संख्या n से शुरू करके परिभाषित किया जा सकता है, और यह अभी भी अपरिमित होगा।

यदि (ए) एक अनंतिम अनुक्रम है जिसमें शून्य पद नहीं हैं, तो एक अनुक्रम (1/ए) है जो असीम रूप से बड़ा है। यदि, हालांकि, (ए) में शून्य तत्व हैं, तो अनुक्रम (1/ए) को अभी भी कुछ संख्या n से शुरू करके परिभाषित किया जा सकता है, और यह अभी भी असीम रूप से बड़ा होगा।

1.1.5 अभिसारी और अपसारी अनुक्रम और उनके गुण।

अभिसारी अनुक्रम समुच्चय X के तत्वों का एक क्रम है जिसकी इस समुच्चय में एक सीमा होती है।

एक अपसारी अनुक्रम एक अनुक्रम है जो अभिसारी नहीं है।

प्रत्येक अतिसूक्ष्म अनुक्रम अभिसारी होता है। इसकी सीमा शून्य है।

अनंत अनुक्रम से तत्वों की किसी भी सीमित संख्या को हटाने से या तो अभिसरण या उस अनुक्रम की सीमा प्रभावित नहीं होती है।

कोई भी अभिसरण अनुक्रम बाध्य है। हालांकि, प्रत्येक बाध्य अनुक्रम अभिसरण नहीं करता है।

यदि अनुक्रम (xn) अभिसरण करता है, लेकिन असीम रूप से छोटा नहीं है, तो, किसी संख्या से प्रारंभ करके, अनुक्रम (1/xn) परिभाषित किया जाता है, जो परिबद्ध होता है।

अभिसारी अनुक्रमों का योग भी एक अभिसरण अनुक्रम है।

अभिसारी अनुक्रमों का अंतर भी एक अभिसरण अनुक्रम है।

अभिसारी अनुक्रमों का गुणनफल भी अभिसारी अनुक्रम है।

दो अभिसरण अनुक्रमों के भागफल को किसी तत्व से शुरू करके परिभाषित किया जाता है, जब तक कि दूसरा अनुक्रम अपरिमित न हो। यदि दो अभिसारी अनुक्रमों के भागफल को परिभाषित किया जाता है, तो यह एक अभिसारी अनुक्रम है।

यदि एक अभिसरण अनुक्रम नीचे से घिरा हुआ है, तो इसकी निचली सीमाओं में से कोई भी इसकी सीमा से अधिक नहीं है।

यदि एक अभिसरण अनुक्रम ऊपर से घिरा हुआ है, तो इसकी सीमा इसकी किसी भी ऊपरी सीमा से अधिक नहीं है।

यदि किसी संख्या के लिए एक अभिसरण अनुक्रम की शर्तें दूसरे अभिसरण अनुक्रम की शर्तों से अधिक नहीं होती हैं, तो पहले अनुक्रम की सीमा भी दूसरे की सीमा से अधिक नहीं होती है।