गुणनखंडन करने का क्या अर्थ है? यह कैसे करना है? किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करने से क्या सीखा जा सकता है? इन सवालों के जवाब ठोस उदाहरणों के साथ सचित्र हैं।

परिभाषाएँ:

एक अभाज्य संख्या एक ऐसी संख्या है जिसमें ठीक दो अलग-अलग भाजक होते हैं।

एक भाज्य संख्या वह संख्या है जिसमें दो से अधिक भाजक होते हैं।

घुलना प्राकृतिक संख्याकारकों का अर्थ है इसे प्राकृतिक संख्याओं के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना।

किसी प्राकृत संख्या को अभाज्य संख्या में गुणनखंड करने का अर्थ है इसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करना।

टिप्पणियाँ:

• एक अभाज्य संख्या के विस्तार में, एक गुणनखंड एक के बराबर होता है, और दूसरा इस संख्या के बराबर होता है।
• कारकों में एकता के विघटन के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है।
• एक भाज्य संख्या को कारकों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक 1 से भिन्न होता है।

	आइए 150 की संख्या का गुणनखंड करें। उदाहरण के लिए, 150, 15 गुना 10 है। 15 एक संयुक्त संख्या है। इसे 5 और 3 के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है। 10 एक संयुक्त संख्या है। इसे 5 और 2 के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है। उनके विस्तारों को 15 और 10 के बजाय अभाज्य गुणनखंडों में लिखने के बाद, हमें संख्या 150 का अपघटन प्राप्त हुआ।
	संख्या 150 को दूसरे तरीके से भी विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 150 संख्या 5 और 30 का गुणनफल है। 5 एक अभाज्य संख्या है। 30 एक संयुक्त संख्या है। इसे 10 और 3 के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। 10 एक संयुक्त संख्या है। इसे 5 और 2 के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है। हमने 150 की संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन एक अलग तरीके से किया।
	ध्यान दें कि पहला और दूसरा विस्तार समान है। वे केवल गुणकों के क्रम में भिन्न होते हैं। कारकों को आरोही क्रम में लिखने की प्रथा है।
किसी भी भाज्य संख्या को गुणनखंडों के क्रम तक अद्वितीय तरीके से अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है।

विघटित होने पर बड़ी संख्याप्रमुख कारकों के लिए स्तंभ संकेतन का उपयोग करें:

	वह छोटी से छोटी अभाज्य संख्या, जिससे 216 विभाज्य है, 2 है। 216 को 2 से भाग दें। हमें 108 मिलते हैं।
	परिणामी संख्या 108 2 से विभाज्य है। चलो विभाजन करते हैं। परिणामस्वरूप हमें 54 प्राप्त होते हैं।
	2 से विभाज्यता के परीक्षण के अनुसार, संख्या 54 2 से विभाज्य है। भाग देने पर हमें 27 प्राप्त होते हैं।
	संख्या 27 एक विषम संख्या 7 पर समाप्त होती है। यह 2 से विभाज्य नहीं है। अगली अभाज्य संख्या 3 है। 27 को 3 से भाग दें। हमें 9. सबसे छोटा अभाज्य प्राप्त होता है वह संख्या जिससे 9 विभाज्य है, 3 है। तीन स्वयं है अभाज्य संख्या, यह अपने आप में और एक से विभाज्य है। आइए 3 को अपने आप से विभाजित करें। नतीजतन, हमें 1 मिला।

• एक संख्या केवल उन अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है जो इसके विस्तार का हिस्सा होती हैं।
• एक संख्या केवल उन भाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है, जिनका अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन पूरी तरह से समाहित होता है।

उदाहरणों पर विचार करें:

	4900 अभाज्य संख्या 2, 5 और 7 से विभाज्य है (वे संख्या 4900 के विस्तार में शामिल हैं), लेकिन विभाज्य नहीं है, उदाहरण के लिए, 13 से।
	11 550 75. ऐसा इसलिए है क्योंकि संख्या 75 का विस्तार पूरी तरह से संख्या 11550 के विस्तार में निहित है। विभाजन का परिणाम गुणनखंड 2, 7 और 11 का गुणनफल होगा। 11550 4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 4 के विस्तार में 2 अतिरिक्त है।

संख्या a को संख्या b से विभाजित करने का भागफल ज्ञात कीजिए, यदि इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में निम्न प्रकार से विघटित किया जाता है a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; बी=2∙2∙3∙3∙5∙19

	संख्या b का अपघटन पूरी तरह से संख्या a के अपघटन में निहित है।
	a को b से विभाजित करने का परिणाम a के विस्तार में शेष तीन संख्याओं का गुणनफल है। तो उत्तर है : 30.

ग्रन्थसूची

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम .: निमोसिन, 2012।
2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा। - व्यायामशाला। 2006.
3. डेपमैन I.Ya।, विलेनकिन N.Ya। गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - एम .: ज्ञानोदय, 1989।
4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. गणित ग्रेड 5-6 के पाठ्यक्रम के लिए कार्य। - एम .: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार स्कूल के छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - एम .: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: 5-6 . ग्रेड के लिए वार्ताकार पाठ्यपुस्तक उच्च विद्यालय. - एम।: शिक्षा, गणित शिक्षक पुस्तकालय, 1989।

1. इंटरनेट पोर्टल Matematika-na.ru ()।
2. इंटरनेट पोर्टल Math-portal.ru ()।

गृहकार्य

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम .: मेनमोज़िना, 2012। नंबर 127, नंबर 129, नंबर 141।
2. अन्य कार्य: नंबर 133, नंबर 144।

यह सब एक ज्यामितीय प्रगति के साथ शुरू होता है। श्रृंखला पर पहले व्याख्यान में (अनुभाग देखें .) 18.1. मूल परिभाषाएं) हमने साबित कर दिया है कि यह फलन श्रृंखला का योग है , और श्रृंखला एक समारोह में परिवर्तित हो जाती है
. इसलिए,

.

आइए हम इस श्रृंखला की कई किस्मों को लिखें। की जगह एक्स पर - एक्स , हम पाते हैं

प्रतिस्थापित करते समय एक्स पर
हम पाते हैं

आदि।; इन सभी श्रृंखलाओं के अभिसरण का क्षेत्र समान है:
.

2.
.

इस फ़ंक्शन के सभी व्युत्पन्न एक बिंदु पर एक्स =0 बराबर हैं
, तो श्रृंखला दिखती है

.

इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है (उदाहरण 6 खंड का 18.2.4.3. अभिसरण की त्रिज्या, अभिसरण का अंतराल और एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र), इसीलिए
पर
. परिणामस्वरूप, टेलर सूत्र का शेष पद
. तो श्रृंखला अभिसरण करती है
किसी भी बिंदु पर एक्स .

3.
.

यह श्रृंखला बिल्कुल के लिए अभिसरण करती है

, और इसका योग वास्तव में . के बराबर है
. टेलर सूत्र के शेष पद का रूप है
, कहाँ पे
या
- सीमित कार्य, एक
(यह पिछले विस्तार का सामान्य शब्द है)।

4.
.

यह विस्तार पिछले वाले की तरह, डेरिवेटिव की क्रमिक गणना द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन हम अलग तरीके से आगे बढ़ेंगे। आइए पिछली श्रृंखला की अवधि को शब्द से अलग करें:

संपूर्ण अक्ष पर एक फ़ंक्शन के लिए अभिसरण एक शक्ति श्रृंखला के टर्म-बाय-टर्म भेदभाव पर प्रमेय से होता है।

5. स्वयं सिद्ध करें कि पूर्ण संख्या अक्ष पर , .

6.
.

इस फ़ंक्शन के लिए श्रृंखला को कहा जाता है द्विपद श्रृंखला. यहां हम डेरिवेटिव की गणना करेंगे।

... मैकलॉरिन श्रृंखला का रूप है

हम एक अभिसरण अंतराल की तलाश कर रहे हैं: इसलिए, अभिसरण अंतराल है
. हम अभिसरण अंतराल के अंत में शेष पद और श्रृंखला के व्यवहार की जांच नहीं करेंगे; पता चलता है कि जब
श्रृंखला दोनों बिंदुओं पर पूर्णतः अभिसरण करती है
, पर
श्रृंखला सशर्त रूप से एक बिंदु पर परिवर्तित होती है
और बिंदु पर विचलन करता है
, पर
दोनों बिंदुओं पर अलग हो जाता है।

7.
.

यहां हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि
. तब से, टर्म-बाय-टर्म इंटीग्रेशन के बाद,

इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र आधा अंतराल है
, आंतरिक बिंदुओं पर फ़ंक्शन का अभिसरण बिंदु पर एक शक्ति श्रृंखला के टर्म-बाय-टर्म एकीकरण पर प्रमेय से होता है एक्स =1 - फ़ंक्शन की निरंतरता और सभी बिंदुओं पर घात श्रृंखला के योग से, मनमाने ढंग से . के करीब एक्स = 1 बाईं ओर। ध्यान दें कि लेना एक्स = 1, हम श्रृंखला का योग पाएंगे।

8. शृंखला पद को पद द्वारा समाकलित करने पर हमें फलन के लिए एक प्रसार प्राप्त होता है
. सभी गणनाएं स्वयं करें, अभिसरण का क्षेत्र लिखें।

9. आइए हम फ़ंक्शन के विस्तार को लिखें
द्विपद श्रृंखला सूत्र के अनुसार
: . भाजक
डबल फैक्टोरियल के रूप में दर्शाया गया है
अर्थात समान समता की सभी प्राकृत संख्याओं का गुणनफल , जो निम्न से अधिक नहीं है . विस्तार के लिए एक समारोह में परिवर्तित हो जाता है
. टर्म-वाइज इसे 0 से . तक एकीकृत करना एक्स , हम पाते हैं । यह पता चला है कि यह श्रृंखला पूरे अंतराल पर फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है
; पर एक्स =1 हमें संख्या का एक और सुंदर निरूपण मिलता है :
.

18.2.6.2. एक श्रृंखला में कार्यों के विस्तार पर समस्याओं का समाधान।अधिकांश समस्याएं जिनमें एक प्राथमिक कार्य को एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित करने की आवश्यकता होती है
, मानक विस्तारों का उपयोग करके हल किया जाता है। सौभाग्य से, किसी भी बुनियादी प्राथमिक कार्य में एक संपत्ति होती है जो आपको ऐसा करने की अनुमति देती है। आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. फ़ंक्शन को विघटित करें
डिग्री के अनुसार
.

समाधान। . श्रृंखला में अभिसरण होता है
.

2. फ़ंक्शन का विस्तार करें
डिग्री के अनुसार
.

समाधान।
. अभिसरण क्षेत्र:
.

3. फ़ंक्शन का विस्तार करें
डिग्री के अनुसार
.

समाधान। . श्रृंखला में अभिसरण होता है
.

4. फ़ंक्शन को विघटित करें
डिग्री के अनुसार
.

समाधान। . श्रृंखला में अभिसरण होता है
.

5. समारोह को विघटित करें
डिग्री के अनुसार
.

समाधान। . अभिसरण क्षेत्र
.

6. फ़ंक्शन का विस्तार करें
डिग्री के अनुसार
.

समाधान। दूसरे प्रकार के सरल परिमेय भिन्नों की श्रृंखला में विस्तार पहले प्रकार के भिन्नों के संगत विस्तारों के पद-दर-अवधि विभेदन द्वारा प्राप्त किया जाता है। इस उदाहरण में। इसके अलावा, शब्द-दर-अवधि विभेदन द्वारा, कोई व्यक्ति कार्यों के विस्तार प्राप्त कर सकता है
,
आदि।

7. फ़ंक्शन को विघटित करें
डिग्री के अनुसार
.

समाधान। यदि एक परिमेय भिन्न सरल नहीं है, तो इसे पहले योग के रूप में दर्शाया जाता है साधारण भिन्न:
, और फिर उदाहरण 5 के अनुसार आगे बढ़ें, जहां
.

स्वाभाविक रूप से, ऐसा दृष्टिकोण लागू नहीं होता है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के अपघटन के लिए डिग्री के अनुसार एक्स . यहां, यदि आपको टेलर श्रृंखला की पहली कुछ शर्तें प्राप्त करने की आवश्यकता है, तो सबसे आसान तरीका बिंदु पर मूल्यों को खोजना है एक्स =0 पहले डेरिवेटिव की आवश्यक संख्या।

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर किसी फ़ंक्शन को फ़ैक्टराइज़ करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

उदाहरण के लिए, गुणनखंड करें: x 2 /3-3x+12 । आइए इसे x^2/3-3*x+12 के रूप में लिखें। आप इस सेवा का उपयोग भी कर सकते हैं, जहाँ सभी गणनाएँ Word स्वरूप में सहेजी जाती हैं।

उदाहरण के लिए, शब्दों में विघटित करें। आइए इसे (1-x^2)/(x^3+x) के रूप में लिखें। समाधान की प्रगति देखने के लिए, चरण दिखाएँ पर क्लिक करें। यदि आपको वर्ड फॉर्मेट में परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता है, तो इस सेवा का उपयोग करें।

टिप्पणी: संख्या "pi" (π) को pi के रूप में लिखा जाता है; sqrt के रूप में वर्गमूल, जैसे sqrt(3), tg की स्पर्शरेखा को tan के रूप में लिखा जाता है। प्रतिक्रिया के लिए वैकल्पिक अनुभाग देखें।

1. यदि एक सरल व्यंजक दिया जाता है, उदाहरण के लिए, 8*d+12*c*d , तो व्यंजक को गुणनखंड करने का अर्थ व्यंजक को गुणनखंड करना है। ऐसा करने के लिए, आपको सामान्य कारकों को खोजने की आवश्यकता है। हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिखते हैं: 4*d*(2+3*c) ।
2. उत्पाद को दो द्विपद के रूप में व्यक्त करें: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy । यहां हमें पहले से ही कई सामान्य कारकों को खोजने की जरूरत है: x(x + 7z) + 3y(x + 7z)। हम (x+7z) निकालते हैं और प्राप्त करते हैं: (x+7z)(x + 3y) ।

यह भी देखें एक कोने से बहुपदों का विभाजन (एक स्तंभ द्वारा विभाजन के सभी चरण दिखाए गए हैं)

गुणनखंडन के नियम सीखने में उपयोगी हैं संक्षिप्त गुणन सूत्र, जिससे यह स्पष्ट हो जाएगा कि वर्ग के साथ कोष्ठक कैसे खोलें:

1. (ए+बी) 2 = (ए+बी)(ए+बी) = ए 2 +2एबी+बी 2
2. (ए-बी) 2 = (ए-बी) (ए-बी) = एक 2 -2ab+b 2
3. (ए+बी)(ए-बी) = ए 2 - बी 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (ए+बी) 3 = (ए+बी)(ए+बी) 2 = ए 3 +3ए 2 बी + 3एबी 2 +बी 3
7. (ए-बी) 3 = (ए-बी) (ए-बी) 2 = ए 3 -3 ए 2 बी + 3एबी 2 -बी 3

फैक्टरिंग तरीके

कुछ तरकीबें सीखने के बाद गुणनसमाधानों को निम्नानुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

1. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना।
2. एक सामान्य कारक की खोज करें।

एक को छोड़कर प्रत्येक प्राकृत संख्या में दो या अधिक भाजक होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 7 केवल 1 और 7 से विभाज्य है और शेषफल नहीं है, अर्थात इसके दो भाजक हैं। और संख्या 8 में 1, 2, 4, 8 के भाजक हैं, यानी एक बार में 4 भाजक हैं।

अभाज्य और भाज्य संख्याओं में क्या अंतर है

वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखंड हों, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। वे संख्याएँ जिनमें केवल दो भाजक हों, एक और स्वयं संख्या, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

संख्या 1 में केवल एक ही भाग होता है, अर्थात् संख्या ही। इकाई अभाज्य या मिश्रित संख्याओं पर लागू नहीं होती है।

• उदाहरण के लिए, संख्या 7 अभाज्य है और संख्या 8 संयुक्त है।

पहले 10 प्राइम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. संख्या 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

संख्या 78 भाज्य है, क्योंकि 1 और स्वयं के अतिरिक्त यह 2 से भी विभाज्य है। 2 से विभाजित करने पर हमें 39 प्राप्त होता है। अर्थात् 78 = 2 * 39। ऐसे मामलों में, संख्या को 2 और 39 से गुणा किया गया है।

किसी भी भाज्य संख्या को दो कारकों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक 1 से बड़ा है। एक अभाज्य संख्या के साथ, ऐसी चाल काम नहीं करेगी। तो यह जाता है।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी समग्र संख्या को दो कारकों में विघटित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 210 लें। इस संख्या को दो कारकों 21 और 10 में विघटित किया जा सकता है। लेकिन संख्या 21 और 10 भी मिश्रित हैं, आइए हम उन्हें दो कारकों में विघटित करें। हमें 10 = 2*5, 21=3*7 मिलता है। और परिणामस्वरूप, संख्या 210 पहले ही 4 कारकों में विघटित हो चुकी है: 2,3,5,7। ये संख्याएँ पहले से ही अभाज्य हैं और इन्हें विघटित नहीं किया जा सकता है। यानी हमने संख्या 210 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया।

मिश्रित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, उन्हें आमतौर पर आरोही क्रम में लिखा जाता है।

यह याद रखना चाहिए कि किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित किया जा सकता है और इसके अलावा एक अनूठे तरीके से, क्रमपरिवर्तन तक।

• आमतौर पर, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, विभाज्यता के संकेतों का उपयोग किया जाता है।

आइए संख्या 378 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

हम संख्याएँ लिखेंगे, उन्हें एक ऊर्ध्वाधर पट्टी से अलग करेंगे। संख्या 378 2 से विभाज्य है, क्योंकि यह 8 में समाप्त होती है। विभाजित करने पर, हमें संख्या 189 मिलती है। संख्या 189 के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या 189 स्वयं 3 से विभाज्य है। एक परिणाम, हमें 63 मिलता है।

विभाज्यता के आधार पर संख्या 63 भी 3 से विभाज्य है। हमें 21 मिलता है, 21 को फिर से 3 से विभाजित किया जा सकता है, हमें 7 मिलता है। सात केवल अपने आप से विभाज्य है, हमें एक मिलता है। यह विभाजन को पूरा करता है। रेखा के ठीक बाद, हमें अभाज्य गुणनखंड मिलते हैं जिसमें संख्या 378 विघटित होती है।

378|2
189|3
63|3
21|3